Zusatzübung zur Signalübertragung

Dr. Diana Fanghänel
1
Sommersemester 2015
2. Übung: Periodische Funktionen
Besprechung am 23.04.2015 in der
Zusatzübung zur Signalübertragung
Periodische Funktionen
Periodische Signale x : R → C sind keine Energiesignale (mit Ausnahme der
Nullfunktion). Ist T die Periode, d.h. x(t + T ) = x(t), so wird hier das Skalarprodukt wie folgt definiert:
1
hx(t), y(t)i =
T
T
Z
x∗ (t)y(t) dt
0
Damit ist das Normquadrat
1
Px = kx(t)k =
T
2
Z
0
T
1
x (t)x(t) dt =
T
∗
T
Z
|x(t)|2 dt.
0
Aufgabe 1. Gegeben seien die Funktionen xn (t) = e
2πjnt
T
für n ∈ Z.
1. Zeigen Sie, dass die Funktionen xn (t) periodisch sind mit Periode T .
2. Zeigen Sie, dass gilt:
(a) kxn (t)k = 1 für alle n ∈ Z
(b) hxn (t), xm (t)i = 0 für alle m 6= n
Betrachtet man periodische Funktionen r(t) =
cn = he
2πjnt
T
1
, r(t)i =
T
Z
T
e
P
n∈Z cn e
−2πjnt
T
2πjnt
T
, so ist
· r(t) dt.
0
P
2πjnt
Summen der Form n∈Z cn e T bezeichnet man als komplexe Fourierreihe.
Viele periodische Funktionen lassen sich als komplexe Fourierreihe darstellen.
Hinweis: Das Buch von Oppenheim/Willsky enthält weitere interessante Details.
Aufgabe 2. Bestimmen Sie für die periodische Funktion x(t) mit Periode T = 1
und
t
für 0 < t < 1
x(t) =
1
für t = 0
2
die Darstellung als Fourierreihe.
1 [email protected]
Wegen der Beziehung ejα = cos(α) + j sin(α) gilt weiterhin
X
2πjnt
r(t) =
cn e T
n∈Z
=
X
cn [cos(
n∈Z
= c0 +
∞
X
2πnt
2πnt
) + j sin(
)]
T
T
(ck + c−k ) cos(
k=1
∞
=
2πkt
2πkt
) + j(ck − c−k ) sin(
)
T
T
a0 X
2πkt
2πkt
+
) + bk sin(
)
ak cos(
2
T
T
k=1
mit ak = ck + c−k und bk = j(ck − c−k ). Bei reellen Funktionen sind die
ak , bk ∈ R.
Aufgabe 3. Zeigen Sie
ak =
2
T
Z
T
r(t) · cos(
0
2πkt
)dt
T
und
bk =
Z
2
T
T
r(t) · sin(
0
2πkt
)dt.
T
Additionstheoreme
Bei der Berechnung von Fourierreihen ist es wichtig, die Rechenregeln für komplexe Zahlen und Winkelfunktionen zu beherrschen. Zum Beispiel gelten die
Eulerschen Formeln:
cos(x) =
1 jx
(e + e−jx )
2
und
sin(x) =
1 jx
(e − e−jx ).
2j
Desweiteren ist ejx = cos(x) + j sin(x) und somit cos(x) = Re(ejx ) und sin(x) =
Im(ejx ). Hiermit erhalten wir das folgende Additionstheorem
cos(x + y)
=
Re(ej(x+y) ) = Re(ejx · ejy )
=
Re((cos(x) + j sin(x)) · (cos(y) + j sin(y)))
=
cos(x) cos(y) − sin(x) sin(y).
Aufgabe 4. Zeigen Sie das Additionstheorem sin(x + y) = sin(x) cos(y) +
cos(x) sin(y).
Aus den Additionstheoremen
cos(x + y)
=
cos(x) cos(y) − sin(x) sin(y)
sin(x + y)
=
sin(x) cos(y) + cos(x) sin(y)
folgen die Beziehungen
2
cos(x) cos(y)
=
sin(x) sin(y)
=
sin(x) cos(y)
=
1
(cos(x − y) + cos(x + y)),
2
1
(cos(x − y) − cos(x + y)),
2
1
(sin(x + y) + sin(x − y)).
2
Aufgabe 5. Geben Sie die Periodenlänge und die Fourierreihen für die folgenden Funktionen an:
1. x(t) = cos2 (2πt)
2. x(t) = sin2 (t) · cos(3t)
Berechnen Sie jeweils Px = kx(t)k2 .
Literatur
1. A. Oppenheim, A. Willsky, Sinale und Systeme, VCH-Verlag 1989, Kapitel
4.2
2. J. Proakis, M. Salehi, Grundlagen der Kommunikationstechnik, Pearson
2003, Kapitel 2.1
3. W. Strampp, E.V. Vorozhtsov, Mathematische Methoden der Signalverarbeitung, Oldenbourg 2004, Kapitel 2
4. H. Clausert, G. Wiesemann, Grundgebiete der Elektrotechnik 2, Oldenbourg 2003, Kapitel 11.2
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