Komplexe Leistung

Komplexe Leistung
Scheinleistung im Zeitbereich für sinusförmige Spannungen und Ströme (1)
Spannung und Strom:
u ( t ) = U 2 cos (ωt + ϕu ) ,
i ( t ) = I 2 cos (ωt + ϕi )
Momentanleistung zu jedem Zeitpunkt:
p ( t ) = u ( t ) ⋅ i ( t ) = 2UI cos (ωt + ϕu ) cos (ωt + ϕi )
= UI cos (ϕu − ϕi ) + UI cos ( 2ωt + ϕu + ϕi )
= UI cos (ϕ ) + UI cos ( 2ωt + ϕu + ϕi )
= P + S cos ( 2ωt + ϕu + ϕi )
2 cos(α ) cos( β ) = cos(α − β ) + cos(α + β )
Komplexe Leistung
Scheinleistung im Zeitbereich für sinusförmige Spannungen und Ströme (2)
Momentanleistung p(t):
Mischgrösse mit dem Durchschnittswert P (Wirkleistung)
und der Amplitude S des Wechselanteils (Scheinleistung)
p( t ) = P + S cos( 2ωt + ρ u + ρ i )
} Negative Leistung
(d. h. Energie zurück in die Quelle)
Komplexe Leistung
Q = S 2 − P 2 = UI 1 − cos 2 (ϕ ) = UI sin (ϕ )
S = UI
P = UI cos (ϕ )
Q = UI sin (ϕ )
Komplexe Leistung
Beispiele
Gesucht: Aalu, malu
1.6 Mal grösser
VB-2
Beispiele
Masse der Kupferleitung pro Meter
mCu = ACu ⋅ ρ Cu ⋅ l = 79 g
Masse der Aluminiumleitung pro Meter:
m Al = AAl ⋅ ρ Al ⋅ l = 43 g
1.83 Mal leichter
⇒ Die Aluminiumleitung ist bei gleichem Widerstand leichter als Kupferleitung
⇒ Aluminium ist 2.797 Mal pro kg billiger als Kupfer (Stand 2006)
=> 2.797*1.83 = 5.13 Mal billiger
Aluminiumleitung wurden/werden eingesetzt in:
- In der DDR bei Hausinstallationen
- Überlandleitungen
- Airbus A380
- Chips, Prozessoren
VB-3
Beispiele
Gesucht: R=f(ν), Ik, Iw
Spez. Widerstand:
Kupfer:
Wolfram:
1.78e-8 Ω/m
5.6e-8 Ω/m
VB-4
Beispiele
Rw=Rk(1+αΔν+βΔν2)
VB-5
Beispiele
Kaltwiderstand:
Rk =
ρ ⋅l
A
=
l
λ⋅A
λW = 18.2 S ⋅ m / mm 2
l
= 0.62m
(
)
2
A = r 2π = 12 ⋅ 10 − 3 mm 2π = 452.4 ⋅ 10 − 6 mm 2
R20 = 73 Ω
Warmwiderstand (Widerstand bei Δϑ über Temperatur des Kaltwiderstands):
Rw = Rk (1 + α ⋅ Δϑ + β ⋅ Δϑ 2 )
R2200 = 1073 Ω
α = 4.1 kK −1 = 4.1 ⋅ 10−3 K −1
β = 1.0 kK − 2 = 1.0 ⋅ 10−6 K − 2
Δϑ = 2180 K
VB-7
Beispiele
Temperaturabhängigkei t
R kalt
α
β
73
0.0041
0.000001
Übertemp.
0
300
600
900
1200
1500
1800
2180
R warm
lin
73
169.36
278.86
401.5
537.28
686.2
848.26
1072.3992
quad
0
1.23
2.46
3.69
4.92
6.15
7.38
8.938
Klammer
0
0.09
0.36
0.81
1.44
2.25
3.24
4.7524
1
2.32
3.82
5.5
7.36
9.4
11.62
14.6904
Temperaturabhängigkeit Wolfram
1200
Warnwiderstand
1000
800
Quasi linearer Verlauf
600
=> Beta vernachlässigbar
400
200
0
0
300
600
900
1200
Temperatur
VB-8
1500
1800
2180
Beispiele
= 15facher Strom!
VB-9
Beispiele
Gesucht: Iq2
VB-10
Beispiele
1.
I4=0 verlangt, dass der Strom der Quelle q1 durch den Widerstand R3
fliesst, wobei dort die Teilspannung
U3=R3 Iq1=20V
(Knotenregel: iq1 = i3+iR4 = i3)
entsteht.
2.
Die Punkte a und c müssen das gleiche Potential aufweisen, damit der
Widerstand R4 stromlos ist. (Uac = R4*iR4 = R4*0A = 0V)
3.
Ist nur möglich wenn Uba = Ubc ist. (Maschenregel: Uac = -Uba+Ubc = 0V)
4.
Das heisst, am Widerstand R5 muss die gleiche Teilspannung U5 = 20V
herrschen.
5.
Dann fliesst in R5 der Strom I5 = U5/R5 = 4A
6.
Der gesuchte Quellenstrom Iq2 muss dann Iq1+I5 = 14A betragen
VB-11
Beispiele
Gesucht: R, X
Im
I
VB-12
Re
Beispiele
VB-12b
Beispiele
Oder:
1. Wirkleistung fällt nur über Wirkwiderstand ab
PWirk
R=
I RMS
2
=
150W
( 4 A) 2
= 37.5Ohm
2. Gesamtimpedanz
Z=
U
= 110Ohm
I
X=
und
Z=
Z 2 − R 2 = 103.4Ohm
R2 + X 2
Beispiele
Eine Drossel soll durch drei Spannungsmessungen bei
der Frequenz f=50 Hz in Wirkwiderstand und
Induktivität bestimmt werden.
In Übung 3: drei Strommessungen
Es seien: U = 70V
U1 = 40V
Im
UDr = 50V
R1 = 20 Ω
Gesucht: RDr, LDr
I
VB-13
Re
Beispiele
I, U1 und URDr müssen in Phase liegen
ULDr steht senkrecht dazu
•U
Jetzt kann UDr eingezeichnet werden
U schliesst das Diagramm
ULDr
• UDr
ϕDr
ϕ
• gemessen
I
VB-14
• U1
URDr
Beispiele
Mit dem Kosinussatz lässt sich der Winkel ϕDr bestimmen:
U Dr2 + U 12 − U 2 (502 + 402 − 702 )V 2
cos(180° − ϕ Dr ) =
=
= −0.2
2U Dr U 1
2 ⋅ 50V ⋅ 40V
ϕ Dr = 78.5°
Folglich:
U RDr = U Dr ⋅ cos ϕ Dr = 50V ⋅ 0.2 = 10V
U LDr = U Dr ⋅ sin ϕ Dr = 50V ⋅ 0.98 = 49V
I=
U 1 40V
=
= 2A
R1 20Ω
U RDr 19V
=
= 5Ω
2A
I
X
U
49V
= L = LDr =
= 78mH
ω
ω ⋅ I 313 s −1 ⋅ 2 A
RDr =
LDr
VB-15
Beispiele
Gesucht: R, X
VB-16
Beispiele
Klemmen ac (I =6mA, P=108mW)
R=
P
I2
=
108mW
(6mA )2
= 3 kΩ
U R = 18V
Klemmen ab (I' =15mA)
ZC =
U
1
30V
=
=
= 2kΩ ( kap.)
ωC I 15mA
Klemmen bc (I‘‘=8.3mA)
U x = U 2 − U R2 = U 2 − ( I ′′R ) 2
(30V )2 − (8.3mA ⋅ 3kΩ )2
=
Zx =
= 16.7V
Ux
16.7V
=
= 2kΩ ( kap. oder ind . ?)
I ′′ 8.3mA
VB-17
Beispiele
Zeigerdiagramm (für Fall ac):
UR = 18V; UC = 12V
Im
1. Längen von U und Ux gegeben
U
|U| = 30V
UX= 6mA . 2kΩ = 12V
2. Richtung von Ux bekannt
UC
UR
3. U = UC + UR + UX
I
VB-17a
UX
UX
Re
Beispiele
Zeigerdiagramm:
UR = 18V; UC = 12V
Im
UC
U
Also kapazitiv!
UR
I
Re
UX
VB-18
Beispiele
Gesucht: Uq, UG
VB-19
Beispiele
VB-20
Beispiele
VB-21
Beispiele
Zeigerdiagramm:
Im
I
Re
Beispiele
Winkel zwischen I und Uq
tan(α ) =
α
Im(U q )
Re(U q )
=
( X v + X L + X G )I ( X v + X L + X G )
=
( Rv + RL + RG ) I
( Rv + RL + RG )
α = 60.08°
Uq =
Re(U q )
cos(α )
=
U q = 13467V
( Rv + RL + RG ) I
cos(α )