Kombinatorik 1. Mathematische Einordnung 1. Mathematische
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1. Mathematische Einordnung 1. Ziehung der Lotto-Zahlen 2. Beobachten der Fallrichtung eines vom Baum fallenden Apfels 3. Feststellen der Himmelsrichtung, in der die Sonne untergeht 4. Ermitteln des Siegers beim Mensch-ärgere-dich-nicht-Spiel 5. Messen des Blutdrucks 6. Wirkung eines Medikaments 7. Ermitteln der Schuhgrösse 8. Drehen eines Glücksrades Kombinatorik Theorie 1. Mathematische Einordnung 2. Produktregel Einstiegsbeispiel: Stochastik Kurz: Mathematik der Zufalls Beschreibung und Untersuchung von Zufallsexperimenten Bsp.: Werfen von Würfeln, Werfen von Münzen, Ziehen von Kugeln aus einer Urne bla Kombinatorik Wahrscheinlichkeitstheorie Statistik In einer Werkstatt stehen zwei Fräsmaschinen F1 und F2 , drei Bohrmaschinen B1 , B2 und B3 sowie zwei Schleifmaschinen S1 und S2 . Wie viele Wege gibt es für ein Werkstück, das im Fertigungsprozess zuerst gefräst, dann gebohrt und zum Schluss geschliffen werden muss? 2. Produktregel 3. Permutationen, Variationen und Kombinationen Regel: Produktregel der Kombinatorik Ein Versuch wird in k Stufen durchgeführt. Auf der 1. Stufe gebe es n1 mögliche Ergebnisse, 2. Stufe gebe es n2 mögliche Ergebnisse, 3. Stufe gebe es n3 mögliche Ergebnisse, ··· k. Stufe gebe es nk mögliche Ergebnisse. Sind die Ergebnisse einer Stufe unabhängig von den Ergebnissen der vorangehenden Stufen, dann gibt es bei dem Versuch insgesamt die folgende Anzahl mögliche Ergebnisse: Einstiegsbeispiele: 2. Wie viele Möglichkeiten gibt es, eine dreistellige Zahl mit den Ziffern 3 und 7 zu bilden? Versuchen Sie, dafür auch eine allgemeine Formel zu finden, wobei Sie annehmen, dass Sie k-stellige Zahlen mit n verschiedenen Ziffern haben. n = n1 · n2 · n3 · . . . · nk 3. Permutationen, Variationen und Kombinationen Einstiegsbeispiele: 1. Wie viele Möglichkeiten gibt es, 4 Autos auf 4 freie Parkplätze zu stellen? Versuchen Sie, dafür auch eine allgemeine Formel zu finden, wobei Sie annehmen, dass Sie n Autos und n freie Parkplätze haben. 3. Permutationen, Variationen und Kombinationen Einstiegsbeispiele: 3. Anja, Bettina, Chris, Doris, Eva, Fabienne und Gaby nehmen an einem Schwimmwettkampf teil. Ein Reporter der Lokalzeitung möchte von den ersten drei auf dem Siegerpodest ein Foto machen. Wie viele verschiedene Möglichkeiten können vorkommen? Versuchen Sie, dafür auch eine allgemeine Formel zu finden, wobei Sie annehmen, dass Sie n verschiedene Mädchen und das Podest k Plätze hat. Sie dürfen zusätzlich davon ausgehen, dass k kleiner als n ist. 3. Permutationen, Variationen und Kombinationen Einstiegsbeispiele: 4. Wie viele Möglichkeiten gibt es, 2 Männer, 3 Frauen und 4 Kindern auf 9 vorhandene Stühle zu setzen? Versuchen Sie, dafür auch eine allgemeine Formel zu finden, wobei Sie annehmen, dass Sie n Stühle, k1 Männer, k2 Frauen und k3 Kinder vorhanden sind. Sie dürfen zusätzlich davon ausgehen, dass k1 + k2 + k3 = n. 3. Permutationen, Variationen und Kombinationen Permutationen Definition: Die Fakultät ist das Produkt aller natürlichen Zahlen kleiner und gleich dieser Zahl: n! := 1 · 2 · 3 · . . . · (n − 1) · n (sprich: n Fakultät) Weiter ist definiert: 0! := 1 TI-89: unter ’CATALOG’ 3. Permutationen, Variationen und Kombinationen 3. Permutationen, Variationen und Kombinationen Permutationen Permutationen Definition: Jede Anordnung aller Elemente einer Menge in einer bestimmten Reihenfolge heisst Permutation der Elemente. alle Elemente sind verschieden Satz: Zu einer Menge mit n verschiedenen Elementen gibt es 1 · 2 · 3 · . . . · (n − 1) · n = n! Permutationen oder Anordnungen. Beweisidee: 3. Permutationen, Variationen und Kombinationen 3. Permutationen, Variationen und Kombinationen Permutationen Variationen ki Elemente sind gleich Ziehen ohne Zurücklegen Satz: Zu n Elementen, von denen jeweils k1 , k2 , . . . , kr gleich sind, gibt es n! k1 ! · k2 ! · . . . · kr ! Permutationen mit Wiederholungen. Satz: Gegeben seien einmalig n Elemente (ohne Wiederholung). Somit gibt es n! n · (n − 1) · (n − 2) · . . . · (n − k + 1) = (n − k)! Anordnungen. Beweisidee: Beweisidee: 3. Permutationen, Variationen und Kombinationen Variationen Ziehen mit Zurücklegen Satz: Gegeben seien n Elemente für jede Position (mit Wiederholung). Somit gibt es nk Anordnungen. Beweisidee: 3. Permutationen, Variationen und Kombinationen Exkurs: Pascalsches Dreieck Die Zahlen des Pascalschen Dreiecks werden zur Entwicklung von binomischen Termen benötigt. Es gilt: (a + b)0 (a + b)1 (a + b)2 (a + b)3 (a + b)4 (a + b)5 (a + b)6 .. . = 1 = 1a + 1b = 1a2 + 2ab + 1b2 = 1a3 + 3a2 b + 3ab2 + 1b3 = 1a4 + 4a3 b + 6a2 b2 + 4ab3 + 1b4 5 = 1a + 5a4 b + 10a3 b2 + 10a2 b3 + 5ab4 + 1b5 = 1a6 + 6a5 b + 15a4 b2 + 20a3 b3 + 15a2 b4 + 6ab5 + 1b6 .. .. . . 3. Permutationen, Variationen und Kombinationen Exkurs: Pascalsches Dreieck Die Koeffizienten von den binomischen Termen bilden das Pascalsche Dreieck. ! Solch ein Binomialkoeffizient wird auch mit nk bezeichnet und ist folgendermassen definiert: n! n (sprich: n tief k) := k! · (n − k)! k 3. Permutationen, Variationen und Kombinationen 3. Permutationen, Variationen und Kombinationen Kombinationen Einstiegsbeispiele: 6. 6 Äpfel sollten auf 3 Kinder verteilt werden. Wie viele Möglichkeiten gibt es? 3. Permutationen, Variationen und Kombinationen Kombinationen Kombinationen Einstiegsbeispiele: 5. Aus einer Urne mit 49 durchnummerierten Kugeln werden 6 Kugeln nacheinander mit Zurücklegen entnommen. Wie viele Möglichkeiten gibt es, wenn es dabei nicht auf die Reihenfolge der Kugeln ankommt? Einstiegsbeispiele: 7. 8 Auto-Mechanikern stehen 4 nicht-unterscheidbare Wagenheber zur Verfügung. Auf wie viele Arten können die Heber verteilt werden? 3. Permutationen, Variationen und Kombinationen 3. Permutationen, Variationen und Kombinationen Kombinationen Kombinationen Satz: Aus einer Menge mit n Elementen kann man auf n n! n · (n − 1) · . . . · (n − k + 1) = = k k!(n − k)! 1 · 2 · 3 · ... · k Satz: Aus einer Menge mit n Elementen kann man auf n+k−1 k Arten k Teilmengen (k ≤ n) ohne Wiederholung auswählen. ! ! n ! !10 Zahlenbsp.: 10 Hinweis: nk = n−k 8 = 2 = 45 Arten k-Teilmengen mit Wiederholung auswählen. Beweisidee: Beweisidee: 3. Permutationen, Variationen und Kombinationen Entscheidunghilfe Kombinationen TI-89: Unter Catalog: nCr Werden alle Elemente angeordnet? Permutationen Ist die Reihenfolge wichtig? Variationen Kombinationen Urnenmodell
