7 Rationale und Irrationale Zahlen

1.Rationale und irrationale Zahlen
1.1Quadratwurzeln
Definition
 25 = 5; denn 5 2 = 25 und 25 > 0
Die Quadratwurzel aus einer rationalen Zahl
r > 0 (geschrieben  r ) ist diejenige nichtnegative Zahl, deren Quadrat r ergibt.
 0 = 0; denn 0 2 = 0 und 0 > 0
Definition
 3,24 = 1,8; denn 1,8 2 = 3,24 und
Die Quadratwurzel aus einer rationalen Zahl
r > 0 ist die nicht-negative
Lösung der Gleichungen x2 = r .
1,8 > 0
r heißt Radikand der Wurzel.
Der Radikand einer Wurzel darf nicht
2
negativ sein. Es ist  x = │x│.
−82
Wenn die Gleichung x2 = r mit r > 0 in Q lösbar
ist, dann hat sie die beiden Lösungen  r und − r .
= | -8 | = 8
x2= 4↔x=
4
oder x= − 4
also x = 2 oder x = -2
Eine rationale Zahl besitzt genau
dann eine rationale Quadratwurzel,
wenn in vollständig gekürzten
Form im Nenner und im Zähler
alle Primfaktoren mit geraden
Exponenten vorkommen.

175
=
252
Für

7⋅5 2
=
7⋅2 2⋅32

5
5
52
=
=
2 2
6
2⋅3
2 ⋅3
175
11⋅5 2
=
gibt es keine rationale
252
7⋅2 2⋅32
Quadratwurzel.
Aufgaben:
1. Berechne.
a)
9
b)
 0,16
c)
−42
d)

e)
8 · 7
12
3
Rationale und irrationale Zahlen
Seite 1 von 7
Lösungen
1. Berechne.
a)
9 = 3
b)
 0,16 = 0,4
c)
−42
d)

e)
8 · 7 =
=4
12
=2
3
14
2
Rationale und irrationale Zahlen
Seite 2 von 7
1.2 Irrationale Zahlen und die Menge der reellen Zahlen
-1,21122111222
R
6,0269
Q
0
Z
-7,8
N
18
-4
Die Menge R der reellen Zahlen besteht aus der Menge der rationalen Zahlen und der
Menge der irrationalen Zahlen. Die rationalen Zahlen sind die endlichen und unendlichen,
periodischen Dezimalzahlen, die irrationalen Zahlen sind die unendlichen, nichtperiodischen Dezimalzahlen.
Die Menge der reellen Zahlen R ist also die Menge aller Dezimalzahlen.
Ist eine narürliche Zahl keine Quadratzahl, so ist ihre Quadratwurzel irrational. Irrationale
Zahlen lassen sich durch endliche Dezimalzahlen beliebig genau annähern.
Das Heron-Verfahren liefert mit einem Startwert x0 > 0 mittels der Formel
xn = (xn-1 +
a
x n−1
):2
schnell sehr gute Näherungswerte xn für
a .
In der folgenden Tabellenkalkulation braucht man noch die Werte für a und x0 (gelbe
Felder) einzugeben.
A
1
2
B
C
Ermitteln von Wurzel aus a
a = 11
3
4
n
xn
5
0
5.00000000000000
2.20000000000000
6
1
3.60000000000000
3.05555555555556
7
2
3.32777777777778
3.30550918196995
8
3
3.31664347987386
3.31660610094225
Rationale und irrationale Zahlen
a/xn
Seite 3 von 7
Aufgaben:
1. Berechne durch systematisches Probieren für die folgenden reellen Zahlen
jeweils Näherungswerte, die von den exakten Werten um weniger als 0,001
abweichen.
a)  13
b)
c)
d)
 153


19
17
3⋅4
9
Lösungen:
1. Berechne durch systematisches Probieren für die folgenden reellen Zahlen
jeweils Näherungswerte, die von den exakten Werten um weniger als 0,001
abweichen.
a)  13 = 3,605
b)
c)
d)
 153 = 12,369


19
= 1,647
7
3⋅4
= 1,154
9
1.3 Umgang mit Wurzeltermen
Summen, Produkte und Quotienten
von reellen Zahlen, die nicht alle
rational sind, lassen sich im Allgemeinen
nur näherungsweise berechnen.
 16 -  4 = 4 – 2 = 2
π/2 = 3,14 : 2 = 1,57
oder im TR: π ·  5 = 7,024814731
Für das Produkt bzw. den Quotienten von
Quadratwurzeln gilt:
 a ∙  b =  a⋅b
a
b =

a
b
(a,b ≥ 0)
 4,5 ·  2 =  9 = 3
(a ≥0, b > 0)
12,5
 2 =  6,25 = 2,5
Summen und Differenzen von Quadratwurzeln kann man nur dann zusammenfassen, wenn die Radikanden gleich sind.
Rationale und irrationale Zahlen
2·
3
+3·
3
–4·
7
=5·
3
–4·
7
Seite 4 von 7
Lässt sich der Radikand so faktorisieren,
dass ein Faktor eine Quadratzahl ist, dann
 108 =  3 · 36 = 6 ·  3
kann die Wurzel teilweise radiziert werden.
Umgekehrt lässt sich ein positiver Faktor vor
 a2
einer Quadratwurzel durch Quadrieren unter
die Wurzel ziehen.
Quadratwurzeln im Nenner eines Bruchs
2·
· b = |a| · √b (b ≥ 0)
 6 =  2 2 · 6 =  24
6
=
2
können durch geeignetes Erweitern
beseitigt werden (Rational machen des Nenners).
6⋅ 2
 2⋅ 2
=
6⋅ 2
=3·
2
2
Aufgaben:
1. Vereinfache soweit wie möglich.
a)
 13 ·  8 · 7
b)
7 · 7
c)
8 ·

3⋅2
2
 50 ·  2 ·  12
12
e)
2
d)
2. Richtig oder Falsch? Korrigiere die falschen Lösungen!
a)
 48 = 3⋅ 4
 4 + 36 = 8
c)  80 = 4⋅ 5
b)
d)
 200 = 5⋅ 8
e)

3⋅2
=6
2
Lösungen:
1. Vereinfache soweit wie möglich.
a)
 13 ·  8 · 7 = 14⋅ 26
b)
7 · 7 = 7
Rationale und irrationale Zahlen
Seite 5 von 7
c)
8 ·

3⋅2
= 2⋅ 6
2
 50 ·  2 ·  12 = 20⋅ 3
12 =  6
e)
2
d)
2. Richtig oder Falsch? Korrigiere die falschen Lösungen!
 48 = 3⋅ 4 → Falsch:  48 = 4⋅ 3
b)  4 + 36 = 8→ Falsch:  4 + 36 = 38
c)  80 = 4⋅ 5 → Richtig
a)
d)
 200 = 5⋅ 8 → Falsch:  200 = 10⋅ 2
e)

3⋅2
= 6 → Falsch:
2

3⋅2
=
2
3
1.4 Potenzen mit rationalen Exponenten
Definition
Die n-te Wurzel (n ε N ) aus einer reellen
Zahl a ≥ 0 ist diejenige nicht-negative Zahl,
deren n-te Potenz a ergibt.
3 8 = 2, denn 23 = 8 und 2 > 0

1
1
=
, denn
10
10000
1 4
1
1
(
) =
und
>0
10
10000
10
4
Definition
Die n-te Wurzel (n ε N ) aus einer reellen
Zahl a ≥ 0 ist die nicht-negative Lösung der
Gleichung xn = a.
Schreibweise: n a oder a1/n ; a heißt Radikand der n-ten Wurzel.
Zum Beispiel: 271/3 = 3 27 = 3
Potenzen mit ratinalen Exponenten sind so definiert, dass die von Potenzen mit
ganzzahligen Exponenten bekannten Rechengesetzen weiterhin gelten.
Für a, b ε R und x, y ε Q gilt:
(1) ax · ax = ax + y
Bsp.: 81/3 · 85/3 = 81/3 + 5/3 = 82
(2) ax : ay = ax – y
Bsp.: 0,162 : 0,161,5 = 0,162 – 1,5 = 0,160,5 =
 0,16 0,4
Rationale und irrationale Zahlen
Seite 6 von 7
(3) (ax)y = ax · y
Bsp.: (81/3)6 = 81/3 · 6= 86/3 = 82
(4) ax · bx = (a · b)x
Bsp.: 1,60,5 · 100,5 = (1,6 · 10)0,5 = 160,5 =
 16 = 4
(5) ax : bx =(a : b)x
Bsp.: 1,60,5 : 100,5 = (1,6 : 10)0,5 = 0,160,5 =
 16 = 0,4
Die Wurzelschreibweise lässt sich bei der Verwendung rationaler Exponenten komplett
durch die Potenzschreibweise ersetzen:
n a m
= (am)1/n = am · 1/n = am/n ; für alle reellen Zahlen a ≥ 0.
Aufgaben:
1. Berechne den Wert ohne Taschenrechner.
a)
4 625
b)
3 0,008
c) 80-0,25 · 80-0,25
d) (320,2)4
e) (112)0,5
Lösungen:
1. Berechne den Wert ohne Taschenrechner.
a)
4 625 = 6251/4 = 5
b)
3 0,008 = 0,0081/3 = 0,2
c) 80-0,5 · 80-0,5 = 80-1 =
1
= 0,0125
80
d) (320,2)4 = 320,2 · 4 = 16
e) (112)0,5= 112 · 0,5 = 11
Rationale und irrationale Zahlen
Seite 7 von 7