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Übungsmaterial
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Laplace-Experimente
Laplace-Experimente
sind Zufallsexperimente, bei denen alle Ausgänge gleichwahrscheinlich sind.
Sie sind benannt nach dem Mathematiker Pierre Simon Laplace (1749 - 1827).
6.1 Denition
Unter der
(Laplace-)Wahrscheinlichkeit
P(E) eines Ereignisses E versteht man den Quotienten aus
der Anzahl der für das Ereignis E günstigen Fälle und der Anzahl aller möglichen Fälle. Letzteres ist
nichts anderes als die Mächtigkeit |Ω| des Ergebnisraumes
P (E) =
Ω:
Anzahl der für E günstigen Fälle
Anzahl aller möglichen gleichwahrscheinlichen Fälle
=
|E|
|Ω|
Für Laplace-Wahrscheinlichkeiten gelten die selben Eigenschaften und Rechenregeln wie für das aus
Kapitel 4 bekannte Wahrscheinlichkeitsmaÿ.
6.2 Beispiele für Laplace-Experimente
1) Zweimaliger Würfelwurf
Ein Würfel werde zweimal hintereinander geworfen. Die beiden Augenzahlen werden addiert. Wir
betrachten folgende Ereignisse:
E1 :
E2 :
Die Augensumme ist gerade
Mindestens ein Würfel zeigt die Zahl 6
Im ersten Schritt wird der Ergebnisraum
Ω
festgelegt:
Bei diesem Zufallsexperiment können sich Augensummen von 2 bis 12 ergeben. Da diese jedoch nicht
gleichwahrscheinlich sind, ist es nicht sinnvoll, als Ergebnisraum {2, 3, ..., 12} zu wählen. Irrtümer bei
der Berechnung der einzelnen Wahrscheinlichkeiten sind mit Sicherheit ausgeschlossen, wenn man sich
für
Ω
=
{
(1,1),
(1,2),
(1,3),
(1,4),
(1,5),
(1,6)
(2,1),
(2,2),
(2,3),
(2,4),
(2,5),
(2,6)
(3,1),
(3,2),
(3,3),
(3,4),
(3,5),
(3,6)
(4,1),
(4,2),
(4,3),
(4,4),
(4,5),
(4,6)
(5,1),
(5,2),
(5,3),
(5,4),
(5,5),
(5,6)
(6,1),
(6,2),
(6,3),
(6,4),
(6,5),
(6,6) }
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entscheidet. Die Augensummen, die sich in den Paaren auf den (Neben-)Diagonalen von links unten
nach rechts oben ergeben, sind jeweils gleich. Es ist
|Ω|
=
6·6
= 36.
Man erkennt dank dieser Schreibweise auf Anhieb, dass die Augensumme 7 am wahrscheinlichsten
eintritt, da die zugehörige Diagonale die meisten Einträge enthält und es daher für das Erreichen der
Augensumme 7 die meisten Möglichkeiten gibt.
Im zweiten Schritt werden die für die Ereignisse
E1
und
E2
günstigen Fälle ermittelt:
E1 = {(1, 1), (1, 3), (1, 5), (2, 2), ..., (5, 3), (5, 5), (6, 2), (6, 4), (6, 6)}; |E1 | = 18
E2 = {1, 6), (2, 6), (3, 6), (4, 6), (5, 6), (6, 1), (6, 2), (6, 3), (6, 4), (6, 5), (6, 6)}; |E2 | = 11
Im dritten Schritt werden die Wahrscheinlichkeiten berechnet:
P (E1 ) =
P (E2 ) =
18
1
|E1 |
=
=
≈ 33, 3%
|Ω|
36
3
|E2 |
11
=
≈ 30, 6%
|Ω|
36
2) Skatspiel
Beim Skatspiel werden beim Geben zwei der 32 im Spiel bendlichen Karten in den Skat gelegt.
Folgende Ereignisse werden betrachtet:
E1 :
E2 :
E3 :
Der Skat enthält zwei Herzkarten
Der Skat enthält zwei Buben
Der Skat enthält mindestens ein Ass
Im ersten Schritt wird wieder der Ergebnisraum
Ω
festgelegt:
Die beiden in den Skat gelegten Karten bilden eine Kombination ohne Wiederholung (siehe Kapitel
|Ω| =
32
2
= 496 Elementen, die jeweils Kartenpaare darstellen.
Jede Karte ist durch die Angabe einer Farbe (Kreuz ♣, Pik ♠, Herz ♥, Karo ♦) und eines Kartenwerts
(7, 8, 9, 10, Bube, Dame, König, Ass) eindeutig bestimmt. Elemente aus Ω könnten beispielsweise
♥8/♦Dame oder ♣10/♣Ass sein.
5.1.2). Der Ergebnisraum besteht aus
Im zweiten Schritt werden die günstigen Fälle ermittelt:
E1 = {♥7/♥8, ♥7/♥9, ♥7/♥10, ..., ♥Dame/♥Ass, ♥König/♥Ass}; |E1 | =
E2 = {♣Bube/♠Bube, ♣Bube/♥Bube, ♣Bube/♦Bube, ♠Bube/♥Bube,
4
♠Bube/♦Bube, ♥Bube/♦Bube}; |E2 | =
=6
2
28
E3 = Ω\E3 = Ω\{Der Skat enthält kein Ass }; |E3 | =
= 378
2
8
= 28
2
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Im dritten Schritt werden die Wahrscheinlichkeiten berechnet:
|E1 |
28
=
≈ 5, 6%
|Ω|
496
|E2 |
6
P (E2 ) =
=
≈ 1, 2%
|Ω|
496
|E3 |
378
P (E3 ) = 1 −
=1−
≈ 23, 7%
|Ω|
496
P (E1 ) =
6.3 Aufgabe 1
1) Berechne die Wahrscheinlichkeiten folgender Ereignisse beim Skatspiel:
a)
E1 :
Zwei Buben liegen im Skat
b)
E2 :
Zwei Herzkarten liegen im Skat
2) Antonia, Bärbel, Conny und Doris feiern mit vier weiteren Freundinnen eine Geburtstagsfeier.
Zum Essen nehmen alle rein zufällig an einem runden Tisch Platz. Wie groÿ ist die Wahrscheinlichkeit, dass Antonia und Doris nebeneinander sitzen, Bärbel und Conny dagegen nicht?
Lösung
1) Die Anzahl aller möglichen Ereignisse ist
a)
|E1 | =
4
2
= 6,
b)
|E2 | =
8
2
= 28,
also
P (E1 ) =
also
(42)
=
(32
2)
P (E2 ) =
|Ω| =
6
496
(82)
=
(32
2)
32
2
= 496.
= 0, 01209... ≈ 1, 2%
28
496
= 0, 05645... ≈ 5, 6%
(8 − 1)! = 5040 Möglichkeiten, dass sich acht Personen an einem runden
gibt 2 · 6! = 1440 verschiedene Sitzordnungen, bei denen Antonia und
2) Es gibt insgesamt
versammeln. Es
Tisch
Doris
nebeneinander sitzen. Davon sind die Anordnungen zu subtrahieren, bei denen zusätzlich Bärbel
und Conny nebeneinander sitzen. Das sind
Wir erhalten als Wahrscheinlichkeit
p=
2 · 6! − 4 · 5!
4
=
≈ 0, 19%
7!
21
4 · 5! = 480
Möglichkeiten.
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6.4 Aufgabe 2
1) Aus vier Ehepaaren werden rein zufällig zwei Personen ausgewählt. Mit welcher Wahrscheinlichkeit erhält man ein Ehepaar?
2) Unter 20 Losen benden sich vier Gewinnlose. Bestimme die Wahrscheinlichkeit, dass sich unter
acht willkürlich ausgewählten Losen
a) genau ein Gewinnlos bendet (Ereignis A).
b) mindestens ein Gewinnlos bendet (Ereignis B).
c) alle Gewinnlose benden (Ereignis C).
Lösung
8
2
4
Die Wahrscheinlichkeit, ein Ehepaar auszuwählen, beträgt daher
28
1) Es gibt 4 günstige Ereignisse (nämlich die vier Ehepaare) und
20
4
2) Die Anzahl der möglichen Fälle ist
= 28 mögliche
= 17 ≈ 14, 9%.
= 4845.
a) Wir ziehen ein Gewinnlos und drei Nieten. Dafür gibt es
4
1
·
16
3
lichkeiten. Die Wahrscheinlichkeit ist also
P (A) =
2240
= 46, 2%
4845
b) Wir rechnen mit dem Gegenereignis
P (B) = 1 − P (B) = 1 −
4
0
P (C) =
4
4
· 16
0
≈ 0, 02%
4845
B:
Kein Gewinnlos. Dann ist
· 16 · 4
≈ 37, 6%
4845
c) Wir rechnen wie oben und erhalten
Ereignisse.
= 4 · 560 = 2240
Mög-