Schulmathematik querbeet

Prof. Dr. W. Rosenheinrich
Fachbereich Grundlagenwissenschaften
Fachhochschule Jena
06.12.2010
Wiederholung Schulmathematik
Im Zimmer ’Roter Oktober’ wurde noch gearbeitet. Quasi Rieck stand am Ofen und betete Klimazonen
der Erde vor sich her, und Jakob stellte sich halblaut und offenbar zum wiederholten Male die Frage:
’Wenn neun Frauen zur Herstellung von achthundertundzehn Pulswärmern sechzehnhundertundzwanzig
Strickstunden benötigen, wieviel Pulswärmer werden dann von siebenundsiebzig Frauen in einhundertundsechsundzwanzig Strickstunden hergestellt?’
Trullesand legte sich auf sein Bett und sagte: ’Du machst da wat falsch, Förster, ich seh dir das an den
Augen an. Du läßt dich in Gedanken auf die Pulswärmer ein, du siehst Stricknadeln vor dir und Wollknäuel und siebenundsiebzig Frauen, die ’Zwei schlicht, zwei kraus’ murmeln. Das darfst du nicht. Du denkst
zu konkret, du mußt abstrakt denken. Abstrakt ist, wenn du denkst, daß das ebensogut Rollmöpse sein
könnten oder Honigkuchen oder Hufnägel, was die da stricken. Wenn du konkret denkst, kommst du mit
dem Rechnen nie zu Ende. Konkret könnte zum Beispiel unter den siebenundsiebzig Strickfrauen meine
Tante Mimi sein, und die würde den ganzen Laden mit Erbauungsgeschichten aufhalten und andauernd
’Jesus, unser Freudenmeister’ singen, und die ganze Rechnung wäre flöten. Abstrakt mußt du denken,
Junge.’
’Der Ansatz ist genauso wie in der Aufgabe mit den fünfzehn Hufschmieden und den dreiundneunzig
Rappen’, sagte Robert, ’hast du die schon? Immer der gleiche Ansatz, nur andere Zahlen, das ist der
ganze Trick.’
Jakob hatte das Heft beiseite gelegt und hörte ihnen verstört zu. ’Dann verstehe ich nur nicht’, sagte er
schließlich, ’wozu all diese Pferde und Stricknadeln, wenn es bloß auf die Zahlen ankommt.’
Aber Trullesand verstand es. ’Das ist angewandte Mathematik’, sagte er, ’und später kriegen wir dann
die höhere Mathematik; da wird sich dasselbe wahrscheinlich unter Dachdeckern abspielen oder in einem
Fesselballon oder unter den Englein im Himmel.’
Hermann Kant, Die Aula
... gut rechnet, wer ohne stäbchen rechnet ...
Laudse, Daudedsching, etwa 500 v. u. Z.
Hier sind diverse Aufgaben zusammengetragen, die sich durch Nachdenken und Rechnen mit Hilfe der
Schulmathematik lösen lassen.
Eine besondere Ordnung wurde nicht angestrebt. Im Gegenteil, das in der Schule teilweise beliebte Schubfachdenken (’Diese Woche schließen wir dieses Thema ab und nächste Woche behandeln wir jenes.’) soll
in keiner Weise gefördert werden.
Diese Sammlung wird laufend ergänzt.
Hinweise auf Fehler werden dankbar entgegengenommen.
Aufgaben:
1. Eine Lichterkette besteht aus 16 hintereinandergeschalteten Glühbirnen von 3 Watt. Sie wird ins
Lichtnetz (220V) geschaltet.
Eine Birne brennt durch und wird durch eine aus einer anderen 16er Kette ersetzt, die aber dort
eine Leistungsaufnahme von 5 Watt hat.
Um wieviel Prozent und in welche Richtung ändert sich dadurch die Leistungsaufnahme der anderen
15 Birnen?
2. Die Mitglieder einer vierköpfigen Familie sind derzeit zusammen 73 Jahre alt; vor vier Jahren waren
es 58. Wie alt ist das jüngste Familienmitglied?
3. Eine Eintrittskarte kostet im Vorverkauf 8,-Euro, an der Abendkasse dagegen 10,-Euro.
Um wieviel Prozent ist sie im Vorverkauf billiger als an der Abendkasse, und um wieviel Prozent
ist sie an der Abendkasse teurer als im Vorverkauf?
4. Es seien a1 , a2 , . . . , an feste positive Zahlen, die in der Summe 1 ergeben.
Den aus beliebigen Zahlen x1 , x2 , . . . , xn gebildeten Ausdruck
x̄
=
a1 x1 + a2 x2 + . . . + an xn
nennt man das gewichtete Mittel der Zahlen x1 , x2 , . . . , xn .
Im Falle a1 = a2 = . . . = an = n1 spricht man einfach vom (arithmetischen) Mittel:
x̄
=
x1 + x2 + . . . + xn
.
n
1
a) Warum sollen die Koeffizienten a1 , a2 , . . . , an in der Summe 1 ergeben?
b) Warum werden sie als positive Zahlen vorausgesetzt?
5. Es sei x1 , x2 , . . . , xm ein Satz von Werten und y1 , y2 , . . . , yn ein anderer.
Der erste bezeichne z. B. die gemessenen Körpergrößen der Schüler der Klasse 4a, der andere die
der 4b.
Aus beiden Sätzen werden die arithmetischen Mittel x̄ und ȳ entsprechend berechnet.
Beide Wertesätze werden zu einem zusammengefaßt (die Größen aller Schüler der Klassenstufe 4),
diese mit zk bezeichnet und von ihnen das arithmetische Mittel gebildet: z̄.
In welcher Beziehung steht es zu x̄ und ȳ?
6. Im Ort A gibt es drei Betriebe B1 , B2 und B3 . Im ersten sind 7% der Beschäftigten Ingenieure, im
zweiten 12% und im dritten 17%.
Wieviel Prozent der Beschäftigten in A (in diesen Betrieben) sind Ingenieure?
7. Es werden 800ml einer 3%-igen und 500ml einer 10%-igen wäßrigen Lösung einer Substanz sowie
1l Aqua dest. zusammengegossen. Welche Konzentration hat die resultierende Lösung? (Volumenkontraktion trete nicht ein.)
8. Blütennektar enthält rund 70% Wasser; der von den Bienen daraus gewonnene Honig nur noch rund
17%. Wieviel Nektar müssen die Bienen (mindestens) sammeln, um 1kg Honig zu gewinnen?
9. Jemand liefert eine gewisse Leistung; von seinem Kunden will er den formalen Preis P fordern.
Obendrein muß der Kunde noch die fälligen 16% Mehrwertsteuer M auf diesen Preis an den Lieferanten zahlen, den dieser ans Finanzamt abführt. Auf die Summe P + M zahlt der Lieferant
weiterhin 23% Einkommenssteuer an das Finanzamt.
Wie muß der Lieferant P festsetzen, damit er nach Zahlung aller Steuern 2,800,- behält?
Wieviel Prozent der vom Kunden bezahlten Summe werden insgesamt als Steuern abgeführt?
Wieviel Prozent der vom Lieferanten erhaltenen Endsumme sind das?
10. Eine Balkenwaage hat sich verstellt: Die beiden Arme sind nicht mehr gleichlang. Um 2kg abzuwiegen legt man deshalb zuerst das 1kg - Gewicht links und die Substanz rechts und danach umgekehrt.
Ergibt das Wägegut in der Summe 2kg, oder mehr, oder weniger?
11. Wir sind zusamen 63 Jahre alt. Ich bin jetzt zweimal älter, als er damals war, als ich so alt war wie
er jetzt ist. Wie alt sind wir?
12. Bestimmen Sie die Koeffizienten a, b, . . . in den nachstehenden chemischen Reaktionsgleichungen!
a)
a HCl + b KMnO4
b)
c)
−→
c KCl + d MnCl2 + e Cl2 ↑ +f H2 O
−→
a H3 PO2 + b HJO3
c H3 PO4 + d J2 + e H2 O
a Zn + b NaOH + c NaNO3 + d H2 O
d)
e)
a Co2 S3 + b HNO3
−→
a Fe + b K2 CO3 + c S
a HNO3 + b FeSO4 + c H2 SO4
e Na[Zn(OH)3 ] + f NH3 ↑
c Co(NO3 )2 + d NO ↑ +e S ↓ +f H2 O
−→
d K[FeS2 ] + e K2 SO4 + f CO2 ↑
f) a CoCl2 + b NH4 Cl + c NH3 + d O2
g)
−→
−→
−→
e [Co(NH3 )6 ]Cl3 + f H2 O
d [Fe(NO)]SO4 + e Fe2 (SO4 )3 + f H2 O
13. Aus den offiziellen Verlautbarungen des Betriebs X geht hervor, daß 17.3% der Beschäftigten in der
Krankenkasse Y sind.
Angenommen, diese Zahl ist korrekt und korrekt gerundet - wieviele Mitarbeiter hat dieser Betrieb
mindestens?
14. Finden Sie alle quadratischen Funktionen f (x) = ax2 + bc + c mit den folgenden Eigenschaften:
- die Summe der drei Koeffizienten a, b, und c ist 6,
- ihr Produkt ist -810 und
- f (x) hat eine Nullstelle in x = 2.
2
15. Berechnen Sie x !
a)
d)
x2 + 1 x2 − 1
−
= 23 ,
x−4
x+3
5a
4a
3a
+
+
= 8,
x + a x + 2a x + 3a
b
a
1
m 2 + n2
,
+
= 2,
c) x + = 2 2
x−a x−b
x
m − n2
√
√
√
1
1
e) x2 + 2 + 3 x +
= 8 , f ) 3x + 4 + x − 4 = 2 x
x
x
b)
16. Bestimmen Sie alle Lösungen x der folgenden Gleichungen!
a)
22x+1 + 42x = a > 0 ,
b)
sin 2x = 2 sin x
17. Ermitteln Sie die Lösungen der folgenden Gleichungen!
a)
tan x + cotx = 1 + a2 , 0o < x < 90o ,
b)
23+x = 5 · 32−x
18. Für welche reellen Zahlen x ist die Gleichung e−2x = 2 + a2 + 5e2x erfüllt?
19. Ermitteln Sie alle reellen Zahlen x, die die folgenden Gleichungen lösen!
a)
tan2 x − 2cotx = −1 ,
b)
ln 3x+2 + ln 52−x + x = 8 ,
c) ex + e2x = 0.01
20. Finden Sie alle Lösungen der nachstehenden Gleichungen!
a)
3e−x = e5x − 2e2x ,
b)
cos x + sin x =
1
cos x − sin x
21. Man will mit einer selbstgebauten Balkenwaage 238.9g abwiegen; ein korrekter Satz Wägestücke ist
vorhanden. Ein gewisses Objekt wird (auf der linken Schale liegend) mit 172.3g aufgewogen, rechts
dagegen mit 166.7g.
Wieviel muß man nun rechts auflegen, um links 238.9g zu haben?
.
......f (x)
..
22. Gegeben ist das Bild der Funktion f (x):
....
..
Diese Funktion ist für 1 ≤ x ≤ 5 definiert.
...
.
.
Sie hat eine Nullstelle bei x = 2.
..
.
Skizzieren
Sie
den
Verlauf
von
a)
f
(2
−
x),
.
p
√
.
b) f ( x), c) f 2 (x), d) |f (x)|, e) ef (x) (unter
...
...
der Voraussetzung, daß f (x) moderate Werte
.
..
annimmt), f) 1/[1 + f 2 (x)] (dito) !
.
.............................. .....
...........
.....
.
.
.
..
.
0
...x
.
.
.....
...
.
.
.
.
...
...
.
.
.
...
...
0
1
2
3
4
5
23. Ein Schrank hat die Maße: Breite 115cm, Tiefe 45cm, Höhe 207cm.
Er wurde längs und hochkant durch die Tür in ein 212cm hohes Zimmer gebracht.
Kann man ihn dort aufstellen?
24. Es ist verbreitete Unsitte, in der ersten binomischen Formel das Glied 2ab zu vergessen.
Welcher maximaler prozentualer Fehler entsteht dabei a) im Falle beliebiger oder b) positiver Werte
a und b?
25. Finden Sie die Polynome P (x) und Q(x), die den folgenden Gleichungen genügen:
P 2 (x) + 3P (x) = 4x4 − 20x3 + 23x2 + 5x − 2 ,
Q3 (x) + x · Q(x) = 343x3 − 287x2 + 82x − 8
!
26. In der x − y-Ebene ist ein Achteck A durch seine in der Reihenfolge des Umlaufs numerierten
Eckpunkte Pk = (xk , yk ), k = 1, 2, . . . , 8, gegeben. Es habe eine Fläche von 56cm2 .
Aus ihm wird ein neues Achteck A0 gebildet, dessen analoge Eckpunkte Pk0 = (x0k , yk0 ) sich nach den
Vorschriften x0k = 5 − 2xk und yk0 = 3yk + 34 aus denen von A ergeben. Welche Fläche hat es?
3
27. Angenommen, die Erde ist eine ideale Kugel mit einem Umfang von 40 000km, die sich in 24 Stunden
einmal um die eigene Achse dreht. An den Polen herrsche eine Erdbeschleunigung von 10m/s2 .
Ermitteln Sie den Winkel ϕ(α), um den ein Lot auf der geographischen Breite α von der Senkrechten
abweicht!
Auf welcher Breite ist diese Abweichung maximal und wie groß ist der Maximalwert bzw. der Wert
für Jena (FH, 50o 550 )?
28. Es werden 60ml einer Säure (pH = 3.8) und 110ml einer Base (pH = 9.5) zusammengegossen;
welchen pH -Wert hat die entstehende Flüssigkeit? Voraussetzungen: Der pH − W ert ist der negative
dekadische Logarithmus der Konzentration der H + -Ionen (in Mol/l). Alle beteiligten Substanzen
liegen in wäßriger Lösung vor und sind praktisch völlig dissoziiert. Für die Konzentrationen von
H + und OH − (in Mol/l) gilt stets [H + ] · [OH − ] = 10−14 . Volumenkontraktion tritt nicht ein.
29. Welche Basen müssen den Zahlensystemen zum Grunde liegen, in welchen folgende
Multiplikationen richtig sind : 1) 4 · 13 = 100; 2) 9 · 14 = 100; 3) 3 · 25 = 111; 4) 5 · 36 = 144;
5) 24 · 25 = 666; 6) 26 · 35 = 888; 7) 12 · 21 = 1022; 8) 18 · 81 = 1628?
(Aus einem Mathematikbuch von 1871.)
30. ’Ein gewisser Professor Mensoni gab im Jahre 1864 seinen Studenten eine schwierige Aufgabe: Er
sei im Jahre x2 genau x Jahre alt gewesen. Wann sei er geboren worden?
Eine Antwort auf diese Frage könnten nur wenige Menschen geben, genaugenommen zwei Prozent
der Weltbevölkerung. Geena Davis ist eine von ihnen. Mit einem Intelligenzquotienten von 160 . . . ’
Aus einer Fernsehzeitschrift
√
31. Für zwei Zahlen a und b gelte a < b und a2 + b2 = a + b.
Berechnen Sie den Wert von (3a + 2b)/(4a − 5b) !
32. Finden Sie ein Polynom f (x) möglichst niedrigen Grades mit den folgenden Eigenschaften:
a) Für alle x gilt f (1 − x) = f (x),
b) es gilt f (0) = f 0 (0) = 0 und
c) f (−1) + f (2) = 4.
33. Die beiden positiven Nullstellen der quadratischen Funktion x2 + px + 75 stehen im Verhältnis 1:5.
Bestimmen Sie p!
34. Die quadratischen Funktion x2 + px + 3p hat eine von Null verschiedene doppelte Nullstelle.
Bestimmen Sie p!
35. Bestimmen Sie wenigstens ungefähr die Anzahl der positiven Lösungen der Gleichung
sin(ex ) + ln(x2 + 1) − 4 = 0 !
36. a) Ein Objekt durchläuft eine Strecke der Länge L. Dabei legt es p% der Strecke mit der Geschwindigkeit v1 und den Rest mit der Geschwindigkeit v2 zurück, 0 < p < 100.
Wie lange braucht das Objekt für die gesamte Strecke?
b) Welche Gesamtdauer ergibt sich, wenn es p% seiner Fahrzeit mit der Geschwindigkeit v1 und
den Rest mit der Geschwindigkeit v2 unterwegs ist?
37. Zwei Planspiegel seien zueinander parallel im Abstand d > 0 angebracht. Ein Lichtstrahl fällt genau an der Kante des einen Spiegels vorbei - schräg in den Raum zwischen den Spiegeln, wird
dort vom gegenüberliegenden Spiegel reflektiert, dann wieder vom ersten usw..
Nach n = 2m + 1 Reflexionen verläßt der Strahl den Bereich zwischen den Spiegeln wieder, erneut
knapp an der Kante des ersten Spiegels vorbei.
Bei jeder Reflexion ist der Winkel zwischen Strahl und Spiegeloberfläche derselbe Winkel α > 0.
Eine Reflexion bedeutet den Verlust von ps % der momentanen Lichtstärke durch Absorbtion an der
Oberfläche.
Das Medium, das sich zwischen den Spiegeln (und nur dort) befindet, absorbiert ebenfalls, und zwar
auf einer vom Strahl zurückgelegten Strecke der Länge 1 gerade pm %.
(Auf die Strecke s wird ein Lichtstrahl im Medium auf das e−κs -fache geschwächt, mit einem
positiven Koeffizienten κ).
Ermitteln Sie die Intensität des austretenden Lichstrahls Ia im Verhältnis zu der des eindringenden
Strahls Ie !
Bei welchem Winkel α ist die Wirkung der Absorbtion bei der Reflexion und beim Durchdringen
des Mediums von gleichgroßer Bedeutung?
4
38. Eine Kugel fällt aus der Höhe h0 auf eine elastische ebene Fläche und springt wieder hoch, fällt
erneut usw..
Bei jedem Auftreffen verliert sie p% ihrer Energie.
Bestimmen Sie den Moment Tn des n-ten Auftreffens! (Der erste Fall beginnt bei t = 0.)
39. Setzen Sie in die nachstehenden Ausdrücke an die Stelle von A denjenigen Summanden ein, der
diese Summe zum Quadrat eines linearen Ausdrucks ax + b macht!
a) A + 3x + 4 ,
b) 7x2 + A + 3 ,
c) 4x2 − 5x + A
40. Setzen Sie in die nachstehenden Ausdrücke an die Stelle von A und B diejenigen Summanden ein,
die diese Summe zur dritten Potenz eines linearen Ausdrucks ax + b machen!
a) A + B + 4x + 8 ,
b) A − 2x2 + B − 5 ,
c) A + 3x2 + 5x + B ,
d) 6x3 + A + B − 7
41. Das Polynom ax3 + bx2 + cx + d habe eine von Null verschiedene dreifache reelle Nullstelle.
Was kann man über die Vorzeichen der Produkte ac und bd sagen?
42. Diese Aufgabe ist eine Variation der Idee der Erzählung ’Die Universalbibliothek’ von Kurd
Lasswitz (1848-1910).
Denken wir uns Bücher von 500 Seiten mit je 40 Zeilen zu 50 Zeichen. Letztere sind die 26 Buchstaben des lateinischen Alphabets, die zehn Ziffern 0 bis 9 und die Satzzeichen (.,;!?=:’) sowie der
Zwischenraum, insgesamt also 47 verschiedene Zeichen.
Die Bücher sollen alle möglichen Kombinationen dieser 47 Zeichen enthalten. Das erste ist also
voller ’a’, beim zweiten ist das letzte Zeichen ein ’b’, sonst ’a’-s, usw.. Das letzte Buch ist leer - nur
Zwischenräume.
Jedes Buch enthält insgesamt 500 · 40 · 50 = 1 000 000 Zeichen. Es bezeichne N = 471000000 die Zahl
aller möglicher verschiedener Bücher.
a) Ermitteln Sie mit dem Taschenrechner die vorderen beiden Ziffern von N , in Dezimaldarstellung
geschrieben!
b) Wie lautet die Einerstelle in der Dezimaldarstellung von N ?
c) Wieviele Seiten eines solchen Buches würde N einnehmen, wenn man es als Dezimalzahl ausschreibt?
43. Die Zahl 65 läßt sich in zwei verschiedene Weisen als Summe zweier Quadratzahlen schreiben:
65 = 82 + 12 und 65 = 72 + 52 .
Finden Sie eine Methode, um Zahlen mit einer solchen Eigenschaft zu berechnen!
44. Ein Hase wird von einem Windhund verfolgt. Der Hase macht 5 Spünge, während der Hund 3 macht; der
Hund kommt aber mit 4 Spüngen so weit, als der Hase mit 11. Wie ist das Verhältnis der Schnelligkeiten?
(Aus einem Mathematikbuch von 1871.)
45. Das tropische Sonnenjahr hat 365 Tage 5 Stunden 48 Minuten 46 Sekunden. Nach wie viel Jahren werden
sich die Stunden, Minuten und Sekunden zu wie viel ganzen Tagen ansammeln?
(Aus einem Mathematikbuch von 1871.)
46. Es seien x und y reelle Zahlen. Was bedeuten die folgenden Formeln ?
a) xy 6= 0, b) xy > 0, c) xy < 0, d) xy = 0, e) x2 + y 2 > 0, f) x2 + y 2 = 0, g) x − y > 0,
h) (x + y)(x − y) = 0
47. Es gilt a : b = 1 : q. In welchem Verhältnis stehen ac : bc ?
48. Zerlegen Sie die folgenden Ausdrücke in Produkte!
a) x3 −x ,
f ) w 3 − p3 ,
b) 19xy−29yz ,
g) 16a4 −
x4
,
16
c) (4u+v)(2x−3y)−(x+2y)(4u+v) ,
h) m2 − n2 + 2nr − r2 ,
k) (2a + 3b)2 − (2a + 4b)2 ,
5
d) b2 −5b+6 ,
i) x2 + (y + z)x + yz ,
l) a2 − (p − 4)a − 4p
e) 36t2 −81s2 ,
j) v 2 − 3uv − 10u2 ,
49. Kürzen und vereinfachen Sie die folgenden Brüche!
a)
g)
y 2 + xy
,
y 2 − xy
c3 − s3
,
c2 − s2
h)
b)
y 2 − xy
,
x2 − xy
m 3 + n3
,
m 2 − n2
i)
c)
11a − 11
,
12a − 12
d)
x2 − xy + x − y
,
x2 − xy − x + y
5x − 5
,
9 − 9x
j)
e)
(v + u)2
,
v 2 − u2
t2 − 7t + 12
,
t2 − 8t + 15
k)
f)
h2 + h
,
h2 − 1
p2 + q 2 − r2 + 2pq
p2 − q 2 + r2 + 2pr
50. Nachstehend sind Übersetzungsverhältnisse angegeben. Bei den unendlichen Dezimalbrüchen ist die
Periode durch Gruppenbildung der Stellen kenntlich gemacht.
Wieviele Zähne müssen die beiden Zahnräder haben, die das jeweilige Verhältnis realisieren?
Geben Sie jeweils die minimal mögliche Zahlen an!
a) 1.7 ,
b) 1.4375 ,
c) 0.53125 ,
d) 1.409 09 09 09 ... ,
e) 1.897435 897435 897435 ...
51. Soeben
√ Taschenrechner die Wurzeltaste ausgefallen, man braucht aber dringend die Werte
√ ist am
von 8 und 60.5.
√
Zufällig hat man noch 50 im Speicher. Wie kann man sich damit behelfen?
52. Über eine Rolle hängt ein Seil, seine beiden Enden verschwinden in einem Schacht. An ihnen hängen
unbekannte Massen m1 und m2 .
Um die Bewegung des Seils zu verhindern muß man es mit einer Kraft von 44.6N festhalten.
Läßt man es los, so bewegt sich eine Markierung auf dem Seil innerhalb der ersten 4s um 127cm.
Bestimmen Sie die beiden Massen!
(Die Massen von Seil und Rolle sowie die Reibung wird vernachlässigt.)
53. Eine Sonnenbrille hat p% Absorbtion, wenn p% des auftreffenden Lichts sie nicht passieren.
Jemand setzt zwei Sonnenbrillen übereinander auf, eine mit p%, die andere mit q%.
Einer Sonnebrille mit wieviel Prozent entspricht diese Konstruktion?
54. Ein Graufilter (Planscheibe) absorbiert 75% des senkrecht auftreffenden Lichtes.
Wieviel Prozent werden absorbiert, wenn der Lichtstrahl unter einem Winkel von 27.3o zur Senkrechten auf der Fläche auftrifft? (Brechzahl des Filterglases: 1.574)
55. Gibt es eine zweistellige Zahl z mit der folgenden Eigenschaft: Wenn man ihre Ziffern vertauscht,
so entsteht eine Zahl z 0 mit der Eigenschaft z 0 = nz mit einer ganzen Zahl n > 1 ?
56. Jemand hat eine mechanische Armbanduhr, deren Feder er jeden Tag einmal aufzog. Das geschieht
mit einem gezackten Rädchen mit einem Durchmesser von 3mm und einer Dicke von 2mm.
Nach 25 Jahren stellt der Besitzer der Uhr fest, daß die ursprünglich spitzen Zacken (es sind 28,
sie liefen in einen rechten Winkel aus) am Rädchen sich abgeschliffen haben und jetzt halbrund
aussehen.
Nehmen wir an, daß jenes Rädchen aus Eisen besteht - wieviele Eisenatome wurden durchschnittlich
bei einem Aufziehen abgescheuert?
(Die Aufgabe war einst in einer Zeitung. Wie man an den Details (Uhr mit Feder, 25 Jahre gehalten)
unschwer erkennt muß das lange her sein.)
57. Unmittelbar unter der horizontalen Zimmerdecke soll an der Wand eine Zierleiste der (senkrecht
genommenen) Breite 5cm angebracht werden. Am schrägen Teil der Decke (Neigungswinkel 45o )
soll diese Leiste durch eine der (jetzt schräg genommenen) Breite 4cm so fortgesetzt werden, daß
die Schnittlänge in beiden Leisten gleich ist, sie also ohne Stufe ineinander übergehen.
Unter welchem Winkel zur Senkrechten muß die erste Leiste geschnitten werden?
58. Eine zweiziffrige Zahl n ist das Dreifache des Produkts ihrer Ziffern. Vertauscht man diese, so verhält
sich die neuentstandene Zahl zur vorigen wie 7 zu 4. Ermitteln Sie n !
59. Für welche Werte von a hat die nachstehende Gleichung nur einen Wert x als Lösung?
Ermitteln Sie diese Werte a und x als Dezimalzahlen!
2
5
a
+
=
x+7 x−3
x+4
6
60. Es sind zwei Fotos eingescannt; im Original haben sie die Breiten b1 und b2 und entsprechend die
Höhen h1 und h2 . Sie sollen nebeneinander in einen Text eingefügt werden, so daß sie dessen Breite
B gerade ausfüllen, allerdings soll noch ein Zwischenraum der Breite d zwischen ihnen verbleiben.
Dabei sollen die Reproduktionen der beiden Fotos dieselbe Höhe haben.
Welche Breiten B1 bzw. B2 und Höhe H müssen die eingefügten Bilder haben? Sie sollen nicht
verzerrt werden.
61. Ein Händler plant, den Preis einer schon längere Zeit verkauften Ware heraufzusetzen, um sie bei
einer künftigen Rabattaktion werbewirksam um 30% zu verbilligen und dabei immer noch 10%
teurer zu verkaufen als jetzt. Wieviel Prozent muß er auf den derzeitigen Preis aufschlagen?
62. Die quadratische Funktion f (x) = x2 + px + q habe die beiden reellen Nullstellen x1 und x2 .
Addiert man zu f (x) den Wert 1, so sind die Nullstellen der neuentstandenen Funktion nur noch
die Hälfte der jeweils vorigen. Ermitteln Sie diese!
63. Die Frontscheibe eines Autos sei ein ebenes Rechteck der Breite b und der Höhe h (letztere schräg
gemessen). Sie ist zur Seite des Fahrers um den Winkel α zur Senkrechten geneigt (0o < α < 90o ).
Das Auto fährt horizontal und geradeaus mit der konstanten Geschwindigkeit vA . Regentropfen
fallen mit der konstanten Geschwindigkeit vT senkrecht nach unten; pro Sekunde fällt auf einen
Quadratmeter horizontalen Bodens die Regenmenge q Liter.
Welche Regenmenge trifft pro Sekunde auf diese Frontscheibe?
64. Es soll die spezifische Wärmekapazität cL einer gewissen Legierung ermittelt werden. Zu diesem
Zweck wird ein Probestück in kochendem Wasser auf 100o C erhitzt und dann in ein austemperiertes
Thermosgefäß mit 20o C warmen Wasser gegeben. Nach dem Wärmeausgleich wird die resultierende
Temperatur gemessen und daraus die gesuchte spezifische Wärmekapazität cL berechnet.
Will man dies einigermaßen genau machen, so muß man bedenken, daß ein Teil der vom Körper
abgegebenen Wärme nicht im Wasser ankommt, sondern die Innenwand des zylindrischen Thermogefäßes erwärmt, ein ein Teil geht ins Thermometer. Die Abgabe nach oben an die Luft sei
vernachlässigt.
Um diese Faktoren zu berücksichtigen werden drei Messungen gemacht - einmal mit einem Probestück von 178.3g und 98ml Wasser, hierbei ergibt sich eine Endtemperatur von 53.15o C, dann mit
122ml und dem Ergebnis 48.32o C, und zuletzt ergaben dieselbe Wassermenge und ein Probestück
von 104.8g 40.03o C. Die Legierung hat eine Dichte von %P = 4.09g/cm3 .
Wasser hat eine spezifische Wärmekapazität cW von 4.19 kJ ·kg −1 ·K −1 ; die Wärmemenge in einem
Körper ändere sich bei einer Temperaturänderung ∆T um ∆Q = m · c · ∆T mit der spezifischen
Wärmekapazität c und der Masse m.
Ermitteln Sie aus den gemachten Angaben cL !
65. Nachstehend ist jeweils die Kurve einer Funktion angegeben. Entscheiden Sie, welcher der beiden
angegebenen Formelausdrücke diese Funktion darstellt!
(Man kann die Formelausdrücke in den grafikfähigen Taschenrechener eingeben und sich damit die
Entscheidung erleichtern. Aber dann ist es schade um die Zeit - widmen Sie sich einer anderen Aufgabe oder wählen Sie eine andere Studienrichtung. Selber denken macht schlau. Der Taschenrechner
kann nichts mehr lernen.)
...... y
...
...
..
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.....
....
...
..
....
a) .................................................................................................................................................................................. f (x) = x cos x oder f (x) = x sin x
.
.....
...
x
..
....... .......
....
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..........................................
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........ .... y
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b) ....................................................................................................................................................... f (x) = 1.4x(x−1) oder f (x) = 0.6x(x−1)
x
....
...
...
.
...... y
.......
.........
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....
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.......
....
.................
c) .................................................................................................................................................................................. f (x) = x3 + 2x2 + 3x + 2 oder f (x) = 3x2 + 3x + 2
..
...
x
....
...
.
7
......................................
...... y
..................................
.........
...........
....
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.....
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.... ... ....
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d) .....................................................................................................................................................
... .. .
x
... .... ...
... ... ...
.......
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...... y
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.....
e) ....................................................................................................................................................................
..........
x
...
..........
..............
.......................................................
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...... y .............
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.......
......
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f) ........................................................................................................................................................................
... .. ... .. ... .... ... .. ... ..
....... x
... .
.....
... .... .... .
... ..
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... ..... .. ..
......
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.....
...... ...
...... y
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.............
g) ...........................................................................................................................................................................................
.. .....
............................
x
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............
.......
.......
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...... ..... ...
........ .
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............
..... y ...........
......
......
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.... ...... ..... ..... .....
... .....
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... .. ..
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h) ........................................................................................................................................................................
...
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.. .. ..
... . ... x
... ... ... .
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... .. .... ...
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y
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.... ......
....
.....
.....
.....
....
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........
........
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........................... ....
.....
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i) ...................................................................................................................................................................
...
x
...
...
.
....... y ................................................
...................
......................
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..
j) ...................................................................................................................................................
...
x
...
...
..
f (x) = (x−1)/(x+1) oder f (x) = (x2 −1)/(x2 +1)
f (x) = 2x2 + 1.44x + 2
oder
f (x) = 5x2 + 8x − 5
2
f (x) = e−x sin 3x oder f (x) = e−x sin 3x
√
√
f (x) = (x − 1)/ x4 + 1 oder f (x) = (x − 1)/ x2 + 1
f (x) = sin2 x oder f (x) = sin(x2 )
f (x) = esin x
f (x) =
oder f (x) = ecos x
p
√
x + 1 oder f (x) = (x + 1)(x − 2)
66. Betrachtet wird die Folge an = n7.43 · q n . Bekannt ist, daß q > 0 gelten soll und daß das Folgeglied
mit n = 1293 den größten Wert unter allen Folgegliedern hat.
Ermitteln Sie hieraus den Bereich, in dem q liegt!
67. Gegeben ist ein Koordinatensystem, dessen y-Achse wie üblich nach oben gerichtet ist.
Im Nullpunkt befindet sich eine Düse, aus der ein Wasserstrahl mit der konstanten Geschwindigkeit
v0 austritt und in den ersten Quadranten spritzt.
Das Wasser bewegt sich unter dem Einfluß der Erdbeschleunigung g auf einer Parabel (der Luftwiderstand sei vernachlässigt).
Es tritt unter dem Winkel α zur positiven x-Achse aus der Düse, α variiert im Bereich von 0o bis
90o .
Geben Sie eine Funktion y = f (x) an, so daß bei allen x aus dem Definitionsbereich dieser Funktion
aus y ≤ f (x) folgt, daß der Wasserstrahl bei wenigstens einem α durch den Punkt (x, y) im ersten
Quadranten gehen kann und daß dies bei y > f (x) nie eintritt!
68. Man bestimme den genauen Zeitpunkt kurz nach viertel sieben, wenn der kleine und der goße Zeiger
der Uhr einen rechten Winkel bilden!
69. Ermitteln Sie den Wert von a so, daß der nachstehende Ausdruck das Quadrat einer linearen
Funktion ist!
a)
3ax2 − 9x + 11 ,
b)
5x2 −
8
ax
+ 22 ,
7
c)
8x2 + x −
3
a
70. Geben Sie die kleinste natürliche Zahl größer als 19 an, die bei Division durch 2, 3, 4, 5, 6 und 7
jeweils den Rest 1 läßt!
71. Ermitteln Sie die Werte von a und b so, daß der nachstehende Ausdruck die dritte Potenz einer
linearen Funktion ist!
a)
2ax3 − 15bx2 − 6x − 5 ,
d) x3 + 7ax2 − (b + 2)x − 5 ,
b) ax3 + 6x2 +
bx
+1,
5
− 8x3 + a2 x2 −
e)
c)
32x
+ b3 ,
3
x3
− 4x2 + 4x − 5b
a+2
f)
x3
+ 7x2 − 4ax + 2b
4
72. Ermitteln Sie ohne Verwendung der Differentialrechnung die Gestalt desjenigen Rechtecks, das bei
gegebenem Umfang U den größtmöglichen Flächeninhalt F hat!
73. Von einem Datensatz passen gerade 43 in den Arbeitsspeicher eines Computers.
Um welchen Teil müßte man den Speicher vergrößern, damit die Daten komplett hineinpassen?
74. Differenzieren Sie f (x) = sin(x + 36o ) !
75. An einem Widerstand von 4Ω liegen zwei hintereinandergeschaltete Gleichspannungen U1 und U2
an. Sie entwickeln dort eine Wärmeleistung von 63 W.
Polt man die eine Spannungsquelle um, so verringert sich die Leistung auf 14 W. Wie groß sind die
beiden Spannungen?
76. Gibt es ein Polynom P (x), das der Gleichung
3[P (x)]3 + 2[P (x)]2 + P (x) + 1
=
81x10 − 72x6 + 55x4 − 29x3 − 3x2 + 104x − 376
genügt? Wenn ja - finden Sie es!
77. Ein Flugzeug fliegt mit 800 km/h genau nach Westen. Dabei befindet es sich die ganze Zeit in ein
und derselben Ortszeit. Auf welchem Breitengrad fliegt es?
(Die Erde sei eine Kugel mit einem Umfang von 40 000 km. Die Flughöhe wird ignoriert. Gemeint
ist die wahre lokale Zeit, nicht die auf administrative Zeitzonen zusammengefaßte.)
78. Ist die folgende Rechnung richtig oder falsch? In welchen Fällen kann man das ohne Taschenrechner
entscheiden?
a)
38642 = 14 630 285 ,
b)
28443 = 9 103 336 ,
c)
56472 = 31 878 609
79. Überschlagen Sie im Kopf die Bahnhöhe eines geostationären Erdsatelliten!
Verwenden Sie hierzu das dritte Keplersche Gesetz, die Dauer eines Monats und den Bahnradius
der ziemlich genau kreisförmigen Mondbahn von 380 000km !
80. Wenn man um einen Kreis andere Kreise vom gleichen Radius herumlegt, so daß sie diesen und sich
gegenseitig berühren, so ergeben sich genau sechs anliegende Kreis.
a) Wie kann man das rechnerisch ermitteln?
b) Angenommen, man legt sieben untereinander gleichgroße Kreise um einen in der Mitte - in
welchem Verhältnis zu dessen Radius müßten ihre Radien stehen?
81. Aus einer dünnen quadratischen Metallplatte der Seitenlänge a = 525mm ist in der Mitte ein
quadratisches Loch der Seitenlänge b = 480mm ausgestanzt. Der verbliebene Teil ähnelt einem
Fensterrahmen.
Entlang dem inneren und äußeren Rand verläuft ein Heizdraht, der pro mm Länge eine Wärmeleistung von 90 mW abgibt. Welche Wärmeleistung entfällt damit auf einen Quadratmillimeter der
Platte?
Versuchen Sie, dies ohne Taschenrechner o. ä. zu ermitteln!
82. Es seien A und B positive Werte. Wenn man A um 19% verringert und B um 47%, so nimmt ihre
Summe um 28% ab. Im welchen Verhältnis stehen A und B ?
83. Ermitteln Sie 54053472 · 54053438 − 54053471 · 54053439 !
9
Lösungen:
1. Es wird angenommen, daß sich der Widerstand R der (brennenden) Birne nicht ändert. Die Birnen
sind in Reihe geschaltet.
Die Leistungsaufnahme einer Birne ist P = R · I 2 = U 2 /R.
Die alte Kette hatte eine Gesamtleistung von 48W, also war ihr Widerstand 2202 V 2 /48W =
1008.333Ω, und der einer einzelnen 3W-Birne beträgt ein Sechzehntel davon, mithin 63.021Ω.
Für die 5W-Birne resultiert analog (2202 V 2 /80W )/16 = 37.8125Ω.
Der Gesamtwiderstand der gemischten Kette ist damit 15 · 63.021Ω + 37.813Ω = 983.128Ω, der neue
Strom ist also um den Faktor 1008.333/983.128 = 1.02564 stärker.
Folglich wächst die Leistungsaufnahme der 3W-Birnen auf das 1.025642 = 1.0519fache, also um
5.2%.
Die 3W-Birnen brennen nun eher durch!
2. 73 − 58 = 15 = 3 · 4 + 3 = 16 − 1; das ergibt, daß das jüngste Kind vor drei Jahren geboren wurde.
Wären in dem Zeitraum zwei Kinder geboren worden (und jetzt mindestens ein Jahr alt), so würden
wenigstens zwei Jahre an den 16 fehlen.
3. Sie ist 20% billiger bzw. 25% teurer.
Das ist typisch: Mehr teurer als weniger billiger!
4. a) Es ist naheliegend, daß im Falle x1 = x2 = . . . = xn 6= 0 das Mittel dieser gleichen Werte dieselbe
Zahl ist. Daraus folgt
x̄ = a1 x1 + a2 x2 + . . . + an xn = a1 x̄ + a2 x̄ + . . . + an x̄ = x̄(a1 + a2 + . . . + an ) ,
und dividiert man beide Seiten dieser Gleichung durch x̄ 6= 0, so folgt diese Bedingung.
b) Wenn ein ak den Wert Null hat, so spielt das zugehörige xk bei der Mittelbildung keine Rolle.
Das ist nicht direkt verkehrt (und wird ggfs. sogar benutzt), soll aber hier nicht in Frage kommen.
Das Mittel x̄ soll nicht kleiner sein als der kleinste Wert der xk , und nicht größer als der größte.
Wenn nun z. B. a1 < 0 gilt, so würde der Wertesatz x1 = 1 und x2 = x3 = . . . = xn = 0 (alles
nichtnegative Werte!) das negative Mittel x̄ = a1 < 0 ergeben.
Das ist widersinnig und sei deshalb verboten.
5. z̄ ist ein gewichtetes Mittel von x̄ und ȳ, es liegt also (sofern x̄ und ȳ verschieden sind) irgendwo
zwischen diesen beiden Werten.
Es bestehe der Satz der xk aus m Werten und die yk aus n, dann ist
z̄ =
mx̄ + nȳ
m
n
(x1 + x2 + . . . + xm ) + (y1 + y2 + . . . + yn )
=
=
x̄+
ȳ = a1 x̄+a2 ȳ .
m+n
m+n
m+n
m+n
Die beiden Koeffizienten a1 und a2 sind positiv, es gilt a1 + a2 = 1. Damit ist z̄ ein gewichtetes
Mittel von x̄ und ȳ.
Es ist nur dann das arithmetische Mittel von x̄ und ȳ, wenn die beiden Sätze xk und yk dieselbe
Anzahl von Werten haben (m = n).
6. Diese Frage läßt sich mit den gemachten Angaben nicht beantworten. Man weiß nur, daß die Antwort zwischen 7% und 17% liegen muß.
In den Betrieben seien entsprechend n1 , n2 und n3 Arbeitskräfte beschäftigt, dann ist die Gesamtzahl der Ingenieure 0.07n1 + 0.12n2 + 0.17n3 , deren Anteil an den Gesamtbeschäftigten also
0.07n1 + 0.12n2 + 0.17n3
n1
n2
n3
· 100% =
· 7% +
· 12% +
· 17% .
n1 + n2 + n3
n1 + n2 + n3
n1 + n2 + n3
n1 + n2 + n3
Das ist ein gewichtetes Mittel der drei Prozentzahlen.
Angenommen, die Beschäftigtenzahlen sind 1000, 25 und 100, dann bedeutet das 70, 3 und 17
Ingenieure, also insgesamt 90 von 1125 oder exakt 8%.
Sind es dagegen 100, 25 und 1000 Mitarbeiter, so wären die dann 7+3+170=180 Ingenieure gerade
das Doppelte: 16%.
Erkenntnis: Die mechanische Durchschnittsbildung aus Prozentzahlen ist grober Unfug.
Der Fakt, daß sie trotzdem oftmals ausgeführt wird, worauf aus der resultierenden Zahl auch noch
praktische Entscheidungen abgeleitet werden, ändert daran nichts.
(Noch eine Bemerkung zur Durchschnittsbildung: Würde sich prinzipiell etwas ändern, wenn man
10
statt mit Zahlen die Schülerleistung mit Buchstaben bewertet, also z. B. statt einer ’1’ ein ’A’
vergibt?
Was würde dann aber aus den Notendurchschnitten? Und welchen Sinn haben diese dann?
In Abwandlung eines Faust-Zitats:
’So glaubt der Mensch, wenn er nur Zahlen sieht, es müsse sich damit was rechnen lassen.’)
7. Die Gesamtmenge der Substanz ist - vorausgesetzt, es handelt sich z. B. um Volumenprozente
- 0.03 · 800ml + 0.10 · 500ml = 74ml, diese entfallen jetzt auf 2300ml Flüssigkeit, das wären
100 · 74/2300 = 3.22%.
8. 1kg Honig bedeuten 830g Trockensubstanz, das sind 30% der Nektarmenge, diese beträgt also
0.83kg/0.3 = 2.77kg.
9. Das ist kein Druckfehler! Der Lieferant muß lt. Gesetz Einkommenssteuer auf die Mehrwert- oder
Umsatzsteuer zahlen, die er ans Finanzamt abführt.
Beim Lieferanten bleiben also P −0.23(P +M ) mit M = 0.16P , also P −0.23(P +M ) = P −0.23(P +
0.16P ) = P − 0.23 · 1.16P = P − 0.2668P = 0.7332P = 2800, −. Es folgt P = 2800, −/0.7332 =
3818, 88.
Dazu kommen 0.16 · 3818, 88 = 611.02 Mehrwertsteuer, so daß der Kunde 4429,90 zahlt.
Davon gehen dann 23% Einkommensteuer ab: 0.23·4429, 90 = 1018, 88. Beim Lieferanten verbleiben
4429, 90 − 1018, 88 − 611, 02 = 2800, −.
Die Gesamtsumme der Steuern beträgt 1018, 88 + 611.02 = 1629, 90.
Das sind 36,8% der vom Kunden bezahlten Summe, oder 58,2% des Lieferantenerlöses.
10. Das Verhältnis der beiden Arme sei q, es ist entweder größer oder kleiner als 1, je nachdem, wie
man es bildet. Die abgewogene Menge ist nun q + 1/q (in kg), und es gilt
q+
1
1
√
= ( q)2 − 2 + √ 2 + 2 =
q
( q)
√
1
q− √
q
2
+2 > 2
,
es wird also zuviel abgewogen, denn die Substanzmenge ist 2 plus das Quadrat eines wegen q 6= 1
nicht verschwindenden Ausdrucks.
11. Das Alter des ’ich’ sei x, ’seins’ ist y. Dann ist x + y = 63 und x = 2[y − (x − y)] = 4y − 2x, also
ist 3x = 4y = 4(63 − x) oder 7x = 4 · 63. Es resultiert x = 36 und y = 63 − 36 = 27. Vor 9 Jahren
war ’er’ also 18 und ’ich’ 27.
12. Es werden die Bilanzen in den einzelnen Elementen aufgestellt:
a) H : a = 2f , Cl : a = c + 2d + 2e , K : b = c , Mn : b = d , O : 4b = f
Nun werden alle Unbekannten durch eine ausgedrückt; weiterhin wird dafür immer a genommen,
obwohl dies in manchen Fällen nicht der bequemste Weg ist:
f = a/2 , b = a/8 , c = a/8 , d = a/8 , e = 5a/16 ,
Die kleinste ganzzahlige Lösung erhält man mit a = 16 zu
16 HCl + 2 KM nO4
b)
−→
2 KCl + 2 M nCl2 + 5 Cl2 ↑ +8 H2 O
H : 3a + b = 3c + 2e , P : a = c , O : 2a + 3b = 4c + e , J : b = 2d =⇒
b = 4a/5 , c = a , d = 2a/5 , e = 2a/5 ; a = 5 ,
5 H3 PO2 + 4 HJO3
c)
−→
5 H3 PO4 + 2 J2 + 2 H2 O
Zn : a = e , Na : b + c = e , O : b + 3c + d = 3e , H : b + 2d = 3e + 3f , N : c = f =⇒
b = 3a/4 , c = a/4 , d = 3a/2 , e = a , f = a/4 ; a = 4 ,
4 Zn + 3 NaOH + NaNO3 + 6 H2 O
d)
−→
4 Na[Zn(OH)3 ] + NH3 ↑
Co : 2a = c , S : 3a = e , H : b = 2f , N : b = 2c + d , O : 3b = 6c + d + f =⇒
b = 16a/3 , c = 2a , d = 4a/3 , e = 3a , f = 8a/3 ; a = 3 ,
3 Co2 S3 + 16 HNO3
−→
6 Co(NO3 )2 + 4 NO ↑ +9 S ↓ +8 H2 O
11
e)
Fe : a = d , K : 2b = d + 2e , C : b = f , O : 3b = 4e + 2f , S : c = 2d + e =⇒
b = 2a/3 , c = 13a/6 , d = a , e = a/6 , f = 2a/3 ; a = 6 ,
6 Fe + 4 K2 CO3 + 13 S
−→
6K[FeS2 ] + K2 SO4 + 4 CO2 ↑
f) Co : a = e , Cl : 2a + b = 3e , N : b + c = 6e , H : 4b + 3c = 18e + 2f , O : 2d = f =⇒
b = a , c = 5a , d = a/4 , e = a , f = a/2 ; a = 4 ,
4 CoCl2 + 4 NH4 Cl + 20 NH3 + O2
g)
−→
4 [Co(NH3 )6 ]Cl3 + 2 H2 O
H : a+2c = 2f , N : a = d , O : 3a+4b+4c = 5d+12e+f , Fe : b = d+2e , S : b+c = d+3e =⇒
b = 4a , c = 3a/2 , d = a , e = 3a/2 , f = 2a ; a = 2 ,
2 HNO3 + 8 FeSO4 + 3 H2 SO4
−→
2 [Fe(NO)]SO4 + 3 Fe2 (SO4 )3 + 4 H2 O
13. Es sei n die Zahl der Mitarbeiter und m die der Mitglieder in Y .
Korrekte Rundung bedeutet
m
− 0.173 ≤ 0.0005 =⇒ |m − 0.173n| ≤ 0.0005n .
n
Die Suche überläßt man nun zweckmäßigerweise einen Computer: Man probiert fortlaufende Werte
von n und wählt als m zweckmäßigerweise den auf eine natürliche Zahl gerundeten Wert von 0.173n.
Als kleinstmögliche Zahl ergibt sich n = 52 und m = 9 mit 9/52=0.173 077.
14. 1. Weg: Aufstellen von einem (allerdings nichtlinearen) Gleichungssystem:
a+b+c = 6,
abc = −810 ,
4a + 2b + c = 0
Aus der ersten und dritten Gleichung folgt (die erste ein- bzw. zweimal von der dritten abgezogen):
b = −3a − 6 und
c = 2a + 12 .
Damit wird −a(3a + 6)(2a + 12) = −810, also a(a + 2)(a + 6) = 135.
Die letzte Zahl wird in Primfaktoren zerlegt: 135 = 5 · 3 · 3 · 3 = 3 · (3 + 2) · (3 + 6).
Man erhält also als erste Variante das Polynom f1 (x) = 3x2 − 15x + 18.
Nun wird aus a(a + 2)(a + 6) − 135 = a3 + 8a2 + 12a − 135 der Faktor a −√3 ausgeklammert:
(a − 3)(a2 + 11a + 45), der zweite Faktor hat keine reellen Nullstellen: −5.5 ± 5.52 − 45. Damit
ist f1 (x) die einzige Lösung.
2. Weg: Ansatz des gesuchten Polynoms in der Produktform:
f (x) = a(x − 2)(x − x2 ) = ax2 − a(2 + x2 )x + 2ax2 .
Dann ist a + b + c = a − a(2 + x2 ) + 2ax2 = −a + ax2 = 6, also a = 6/(x2 − 1).
Weiter sei abc = −a · a(2 + x2 ) · 2ax2 = −2a3 · x2 (2 + x2 ) = −810, folglich wird, a eingesetzt und
mit (x2 − 1)3 multipliziert, 2 · 63 · x2 (x2 + 2) = 810(x2 − 1)3 oder 8x2 (x2 + 2) = 15(x2 − 1)3 .
In dieser Form kann man eine Nullstelle durch Probieren noch besser suchen als in der ausmultiplizierten Darstellung; man findet umgehend x2 = 3 als eine solche.
Letztere ist allerdings notwendig, um den Faktor x2 − 3a abzudividieren:
15(x2 − 1)3 − 8x2 (x2 + 2) = 15x3 − 53x2 + 29x − 15 = (x − 3)(15x2 − 8x + 5); der zweite Faktor hat
keine reellen Nullstellen mehr.
Es bleibt also x2 = 3 als einzige zweite Nullstelle der gesuchten Funktion, mithin a = 6/(3 − 1) = 3
usw..
15. a) Die Gleichung wird mit dem Hauptnenner multipliziert:
(x2 + 1)(x + 3) − (x2 − 1)(x − 4) = 23(x + 3)(x − 4) = 23(x2 − x − 12)
(x3 + 3x2 + x + 3) − (x3 − 4x2 − x + 4) = 23x2 − 23x − 276
r
25
625
275
2
±
+
=
16x − 25x − 275 = 0 =⇒ x1,2 =
32
1024
32
25
5√
55
=
±
25 + 11 · 32 = −
, 5
32
32
16
12
b) Die Gleichung wird mit dem Hauptnenner multipliziert:
b(x − b) + a(x − a) = 2(x − a)(x − b)
=⇒
x1,2
=⇒
bx − b2 + ax − a2 = 2x2 − 2(a + b)x + 2ab
2x2 − 3(a + b)x + (a + b)2 = 0
r
9
3
1
3 1
= (a + b) ± (a + b)
−
=
±
(a + b) = a + b ,
4
16 2
4 4
a+b
2
Kontrollmöglichkeit: a und b gehen in die Gleichung in derselben Weise ein, dasselbe muß dann
auch für die Lösung gelten.
c) Die Gleichung wird mit x multipliziert:
s
2
2
2
2
2
2
2
2
m
+
n
m
+
n
m
+
n
m − n2
2
x + 1 = 0 =⇒ x1,2 =
± 2
x −2 2
1−
m − n2
m 2 − n2
m − n2
m2 + n2
s
m2 + n2
m2 + n2 m4 + 2m2 n2 + n4 − m4 + 2m2 n2 − n4
=
± 2
=
m 2 − n2
m − n2
(m2 + n2 )2
m2 + n2
2mn
(m ± n)2
± 2
=
2
2
2
m −n
m −n
m2 − n2
m−n
m+n
x1 =
, x2 =
m+n
m−n
d) Die Gleichung wird mit dem Hauptnenner multipliziert:
=
5a(x + 2a)(x + 3a) + 4a(x + a)(x + 3a) + 3a(x + a)(x + 2a) = 8(x + a)(x + 2a)(x + 3a)
5a(x2 + 5ax + 6a2 ) + 4a(x2 + 4ax + 3a2 ) + 3a(x2 + 3ax + 2a2 ) = 8(x3 + 6ax2 + 11a2 x + 6a3 )
12ax2 + 50a2 x + 48a3 = 8x3 + 48ax2 + 88a2 x + 48a3
19 2
9
3
2
2
2
= 0
8x + 36ax + 38a x = 8x x + ax + a
2
4
r
√
9
−9 ± 5
81 2 76 2
x1 = 0 , x2,3 = − a ±
a − a =
a
4
16
16
4
e) Auf beiden Seiten der Geleichung wird eine 2 addiert; links erscheint sie in der ersten Klammer:
1
1
1
1
1
= 10 =⇒
x2 + 2x · + 2 + 3 x +
= 10
x2 + 2 + 2 + 3 x +
x
x
x x
x
2
1
1
1
x+
+3 x+
= 10 ,
x+ = y
x
x
x
p
2
y + 3y − 10 = 0 =⇒ y1,2 = −1.5 ± 1.52 + 10 = −1.5 ± 3.5 , y1 = 2 , y1 = −5
1
x+
= 2 =⇒ x2 + 1 = 2x =⇒ (x − 1)2 = 0 =⇒ x1 = 1
x
r
√
1
5
25
−5 ± 21
2
x+
= −5 =⇒ x + 1 = −5x =⇒ x2,3 = − ±
−1 =
x
2
4
2
Die Funktion
1
1
f (x) = x2 + 2 + 2 + 3 x +
− 10
x
x
berührt bei x = 1 die x-Achse nur, ohne sie zu schneiden. Man kann also x1 auch als doppelte
Nullstelle zählen, wie es die Gleichung (x − 1)2 = 0 nahelegt.
f) Die Gleichung wird quadriert (beide Seiten müssen positiv sein, also erscheinen dabei noch keine
Scheinlösungen):
p
√
√
2
3x + 4 + x − 4 = (3x + 4) + 2 (3x + 4)(x − 4) + (x − 4) = 4x
4
, x2 = 4
3
Der Wert von x1 entfällt aber, da er, eingesetzt, unter der zweiten und der letzten Wurzel einen
negativen Radikanden ergibt.
p
2 (3x + 4)(x − 4) = 0
13
=⇒
x1 = −
16.
22x+1 + 42x = 22x · 21 + (2 · 2)2x = 2 · 22x + 22x · 22x = a , 22x = y > 0 ⇒
√
2y + y 2 = a ⇒ y1,2 = −1 ± 1 + a
√
√
1+a−1)
Wegen notwendigerweise y > 0 entfällt y2 , also ist 2x = 1 + a − 1 und letztlich x = ln( ln
.
2
a)
sin 2x = 2 sin x cos x = 2 sin x ⇒ 2 sin x(cos x − 1) = 0
b)
Wenigstens einer der beiden Faktoren muß Null werden; der erste wird es bei x = k · 180o ; der
zweite bei x = k · 360o , das ist im ersten enthalten. Also: x = k · 180o .
q
2
(1+a2 )2
17. a) y = tan x > 0 , y + y1 = 1 + a2 ⇒ y 2 + 1 = y(1 + a2 ) ⇒ y1,2 = 1+a
±
− 1, die
2
4
Gleichung hat unter den formulierten Zusatzbedingungen in der Regel zwei Lösungen:
"
#
r
1 + a2
(1 + a2 )2
x1,2 = arctan
±
−1
2
4
Voraussetzung für die Lösbarkeit ist
b)
1+a2
2
≥ 1 ⇒ |a| ≥ 1.
ln(23+x ) = (3+x) ln 2 = ln(5·32−x ) = ln 5+(2−x) ln 3 ⇒ x =
18. Substitution: e2x = y > 0
1
= 2 + a2 + 5y
y
⇒
ln 5·9
ln 5 + 2 ln 3 − 3 ln 2
8
=
= 0.964
ln 2 + ln 3
ln 6
⇒
1 = (2 + a2 )y + 5y 2
⇒
y1,2
2 + a2
=−
±
10
Wegen y > 0 entfällt y2 als Zwischenlösung; es verbleibt

s
2
2
1
2+a
2 + a2
x = ln −
+
+
2
10
10
19.
a)
y3 + y − 2 = 0 ,
tan x = y
=⇒
y2 −
s
2 + a2
10
2
+
1
5

1
5
2
= −1
y
(y 3 + y − 2) : (y − 1) = y 2 + y + 2
y1 = 1 ,
Das Restpolynom hat keine reellen Nullstellen mehr, die Lösungsmenge umfaßt also alle Werte
xk = π/4 + kπ für alle ganzzahligen k.
b)
(x + 2) ln 3 + (2 − x) ln 5 + x = 8
x =
y1,2
=⇒
x(ln 3 − ln 5 + 1) = 8 − 2 ln 3 − 2 ln 5
8 − ln 225
8 − 2 ln 3 − 2 ln 5
=
= 5.282 165
ln 3 − ln 5 + 1
1 + ln 0.6
c) ex = y > 0 =⇒ y + y 2 = 0.1
√
√
= −0.5 ± 0.25 + 0.1 =⇒ y = 0.26 − 0.5 > 0
√
x = ln
0.26 − 0.5 = −4.615 023
20.
a) ex = y > 0
y3 = u > 0
3
= y 5 − 2y 2 ,
y
=⇒
3 = y 6 − 2y 3
0 = u2 − 2u − 3 = (u − 3)(u + 1)
√
√
Da nur positive Lösungen interessieren ist u = 3, also y = 3 3 und zuletzt x = ln 3 3 = ln 3/3.
a)
=⇒
cos x + sin x =
1
cos x − sin x
cos 2x = 1
=⇒
14
=⇒
x = kπ ,
cos2 x − sin2 x = 1
k ganz
21. Wenn links die Masse m liegt, so befindet sich rechts qm mit einem festen Faktor q.
Aus den Testwägungen hat man - mit der unbekannten Objektmasse
p mo - die Gleichungen qmo =
172.3g und q · 166.7g = mo , also q 2 · 166.7g = 172.3g, folglich q = 172.3/166.7 = 1.016 658.
Man muß also rechts 1.016 658 · 238.9g = 242.9g auflegen.
.
...
...... f (3 − x)
...... f (√x)
...
b)
22. a)
...
.
...
..
...
....
...
.
...
..
...
.....
.
...
.. ..
...
...
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............................................ . . . . . .......... . ..
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.... .................................
.
.
.
.
.
............................ . . .
............
....
....
..
.
.... . . .
.
0 .......
.
........x
..x
0
.........
.
.
.
....
.
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... . . .
...
.
...
.. .
...
.. . . .
...
.
....
.
... .
....
..
...
1
7
13
19
25
−3
−2
−1
0
1
2
3
Punktiert ist in b) zum Vergleich die Funktion f (1 + (x − 1)/6), also die auf dieses Intervall gestreckte Ausgangsfunktion.
p
.
......f 2 (x)
...... |f (x)|
..
..
...
...
.
..
..
...
...
.
..
..
c)
d)
...
...
.....
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.....................
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...... .....
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.....
.
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....
.....
.
.
.....
....
x
......... ..................................................................
....
0
0
.........
..x
.
............
...
.........
0
1
.
...... ef (x)
e)
2
3
4
5
..
....
..
..
....
..
....
..
..
....
..
......................................................
.
.
.
.
.
.
.
.
.
......
1. . . . . . . . . . . ................. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
.
.
.......
...........
...x
....
0
0
f)
0
1
2
3
4
5
.
.
.. ...1/[1 + f 2 (x)]
1. . . . . . . . . . ......................................................................................................... . . .
...
.....
...
......
...
...
...
...
...
...
...
.
1
2
3
4
5
..x
.........
0
0
1
2
3
4
5
23. Die maximale Höhe des gekippten Schrankes wird erreicht, wenn die eine untere Längskante gerade
unter der gegenüberliegenden oberen ist. (Ein Aufrichten über die Seitenkante ist ebenso unsinnig
wie die Variante, daß der Schrank im kritischen Moment nur auf einer Ecke steht.)
Der √kritische Wert ist also √die Länge der Diagonale einer Seitenfläche, diese beträgt nun gerade
l = 2072 cm2 + 452 cm2 = 44 874cm2 = 211.83cm.
15
Also, theoretisch geht’s, aber etwas Angst um die Deckentapete kann man schon haben.
24. Wenn a und b beliebig sind, so ist der Fall b = −a möglich, also (a + b)2 = 0 und (bei a 6= 0)
a2 + b2 > 0; der relative Fehler ist hier also - grob gesprochen - unendlich groß.
Bei a > 0 und b > 0 kann man o. B. d. A. von a ≥ b ausgehen. Für den relativen Fehler gilt dann
mit b = ax, x = ab ∈ (0, 1],
δ =
[a2 + b2 ] − [a + b]2
−2ab
−2a2
−2x
=
=
=
.
2
2
(a + b)
(a + b)
(a + ax)2
(1 + x)2
Die Ableitung der Funktion f (x) = −2x/(1 + x)2 ist
f 0 (x) =
−2 · (1 + x)2 − (−2x) · 2(1 + x)
−(1 + x) + 2x
x−1
= 2(1 + x) ·
= 2(1 + x) ·
,
(1 + x)4
(1 + x)4
(1 + x)4
sie ist im betrachteten Bereich 0 < x ≤ 1 negativ bzw. Null. Die Funktion f (x) ist also dort streng
monoton fallend. Es gilt f (0) = 0 und f (1) = −1/2. Wegen der genannten Monotonie ist also bei
0 < x ≤ 1 stets − 21 ≤ f (x) < 0.
Erkenntnis: Bei a > 0 und b > 0 ist a2 + b2 , verglichen mit (a + b)2 , stets zu klein. Die Abweichung
kann maximal 50% erreichen. Das tritt auf, wenn a = b ist.
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a
b
.............................................................................................................................
... . . ....
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.
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a
b
25. P (x) muß exakt ein quadratisches Polynom sein, denn nur dann kann P 2 + 3P ein Polynom vierten
Grades darstellen.
Ansatz: P (x) = ax2 + bx + c, dann ist
P 2 (x)+3P (x) = (ax2 +bx+c)(ax2 +bx+c+3) = a2 x4 +2abx+(2ac+b2 +3a)x2 +(2bc+3b)x+(c2 +3c)
und es folgen die Gleichungen a2 = 4, 2ab = −20, 2ac+b2 +3a = 23, 2bc+3b = 5 und c2 +3c = −2.
Die erste Lösung der ersten Gleichung ist a = 2, dann ergibt die zweite b = −5, die dritte wird zu
4c + 25 + 6 = 23 also c = −2, was auch zur vierten und fünften paßt.
Nimmt man aus der ersten Gleichung a = −2, so ergibt die zweite b = 5 und die dritte c = −1, was
insgesamt auch der Gleichung genügt.
Erstes Lösungspaar: P (x) = 2x2 − 5x − 2 oder P (x) = −2x2 + 5x − 1.
Man hätte das Polynom genausogut vom Absolutglied c her gewinnen können.
Im zweiten Problem ist Q(x) offenbar eine lineare Funktion ax + b.
Q3 (x) + xQ(x) = (ax + b)3 + x(ax + b) = a3 x3 + (3a2 b + a)x2 + (3ab2 + b)x + b3 .
√
Aus den Koeffizienten bei x3 und aus dem Absolutglied folgt sofort a = 3 343 = 7 und b = −2.
Man muß sich nur noch davon überzeugen; daß die anderen beiden Bedingungen ebenfalls erfüllt
sind, was zutrifft.
26. Es sei ein Achteck A00 zwischengeschaltet: x00k = −2xk und yk00 = 3yk , dann ist x0k = 5 + x00k und
yk0 = yk00 + 34.
A00 entsteht aus A durch Spiegelung an der y-Achse (wegen des negativen Faktors an x), weiterhin
wird es horizontal auf das Doppelte gestreckt, was seine Fläche zunächst verdoppelt. Dazu kommt
noch eine Verdreifachung jeder Höhe in ihm, was nochmals den Faktor 3 einbringt. Die Fläche von
16
A00 ist also 2 · 3 · 56cm2 = 336cm2 .
Der Übergang von A00 zu A0 ist nur eine Verschiebung von A00 um 5 Einheiten nach rechts und 34
nach oben, was seine Fläche nicht ändert.
Resultat: 336cm2
27. Die Lotabweichung ist eine Wirkung der durch die
Erdrotation entstehenden Fliehkraft. Die senkrecht zur Erdachse gerichtete Normalbeschleunigung ~ν ist |~ν | = ω 2 r mit dem Abstand r des jeweiligen Oberflächenpunktes von der Erdachse. Diese
Fliehkraft kann zerlegt werden in einen Beitrag
entlang der Lotrichtung, der keine Abweichung
des Lotes bewirkt, und einen senkrecht zu ihr.
Letzterer sei ~τ , er wirkt tangential zur Oberfläche und hat den Betrag |~ν | · cos β, wobei β der
Winkel zwischen ~τ und der Horizontalen ist. Er
ergänzt sich mit α zu einem rechten Winkel, es
folgt |~ν | · cos β = |~ν | · sin α für α ≥ 0, und allgemein |~ν | · | sin α|.
Die an der Masse des Lotes angreifende Kraft hat
also die Komponente mg in Richtung der Senkrechten und m · ω 2 r · sin α tangential zur Oberfläche.
Für den Auslenkwinkel γ des Lotes gilt dann, da
das Lot in Richtung dieser Kraft hängt,
tan γ
=
.....................................
..................
.
.
.
.
.
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.
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...
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........
.....
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.....
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...
.....
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.....
......
...
..... ........
.
r
.
.
α
.
.
.
. ... ..... ..... ..... ..... ..... ..... ..... ..... ..... ..... ..... ..... ..... ..... ...
~ν ..... ..... ..... ..........................α
...
.
.
β
.... .. .........
.
.
.
...
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.....
.
...
.
.....
.........
..
.
.
.
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.....
.......
.
.
.
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.
...
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.....
.
.. .
..... R
..
...
.... .....
.
.
.
.
.....
.
.... ...
.
.
...
.....
.
~τ ..
.....
.
...
..
..
.....
.
.
...
..
.
.....
..
.....
..
.
....
.....
.
.
.
...
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.....
..
.....
..
.....
.
...
..
.....
..
..
.....
.
.
..
.....
....
..
.....
..
.
..... ..
.
..... .
..
....
α
... .
.............................................................r........................................................................................................................................
m · ω 2 r · sin α
mg
=
ω 2 r · sin α
.
g
Weiter ist offenbar r/R = cos α, also r = R cos α. Es folgt
γ = arctan
ω 2 · R cos α · sin α
ω 2 · 2 sin α · R cos α
ω 2 R · sin 2α
= arctan
= arctan
.
g
2g
2g
Das ist die gesuchte Formel in allgemeiner Gestalt.
Mit den konkreten Parametern folgt wegen R = 4 · 107 m/2π und ω = 2π/(24 · 3600s) letztlich
γ(α) = arctan
2π · 4 · 107 m · sin 2α
= arctan(0.0016834 sin 2α) .
(24 · 3600s)2 · 2 · 10m · s−2
Kontrolle: Bei α = 0o (Äquator) und α = 90o (Pol) muß die Lotabweichung offenbar Null sein.
Der Maximalwert wird bei α = 45o angenommen mit arctan 0.0016834 = 0.09645o .
Ein 100m langes Lot weicht dann also auf seine Länge knapp 17cm von der senkrecht unter dem
Befestigungspunkt liegenden Stelle ab.
Für Jena ist der Wert unwesentlich kleiner, er beträgt 0.0944o . Das entspräche nur 16.5cm.
Wegen der getroffenen Voraussetzungen (keine Abplattung der Erde usw.) sind diese Werte nur
bedingt genau.
28. In dem hypothetischen Moment, wo die beiden Substanzen bereits miteinander vermischt sind, aber
noch nicht reagiert haben, liegen in den 170ml gerade 0.06l · 10−3.8 M ol/l + 0.11l · 10−9.5 M ol/l =
(9.5093·10−6 +3.4785·10−11 )M ol = 9.5093·10−6 M ol H + -Ionen vor. Für die Menge der OH + -Ionen
erhält man ausgangs 0.06l · 10−(14−3.8) M ol/l + 0.11l · 10−(14−9.5) M ol/l = (3.7857 · 10−12 + 3.4785 ·
10−6 )M ol = 3.4785 · 10−6 M ol. Gemäß der Gleichung
H+
+
OH −
*
)
H2 O
reagiert von beiden dieselbe Molzahl x zu Wasser; es bleiben also (9.5093 · 10−6 − x)M ol H + übrig
und (3.4785 · 10−6 − x)M ol OH − . Weiterhin muß gelten
9.5093 · 10−6 − x
3.4785 · 10−6 − x
·
0.17
0.17
17
=
10−14
,
(die 0.17 im Nenner resultiert aus der Umrechnung von 170ml auf 1l), also
3.3078 · 10−11 − 1.29878 · 10−5 x + x2 = 2.89 · 10−16
oder
x2 − 1.29878 · 10−5 x + 3.3078 · 10−11
=
0
.
Formal erhält man die Nullstellen
x1,2
=
6.4939 · 10−6 ± 3.3078 · 10−6
x1 = 9.5093 · 10−6 ,
=⇒
x2 = 3.4784 · 10−6
.
Da x kleiner als 3.4785 · 10−6 sein muß entfällt die erste Nullstelle; der gesuchte pH -Wert wird
folglich
9.5093 · 10−6 − 3.4784 · 10−6
= 4.45
.
− lg
0.17
29. Die Basis des Zahlensystems sei die natürliche Zahl b. Beispielhaft sei Aufgabe 6 gelöst:
6) b :
(2b + 6) · (3b + 5) = 8b2 + 8b + 8
2b2 − 20b − 22 = 0
6b2 + 10b + 18b + 30 = 8b2 + 8b + 8
√
b1,2 = 5 ± 25 + 11 b = 11
b2 − 10b − 11
Nummer
1
2
3
4
5
6
7
8
Resultat
6
12
7
13
7
11
3
9
√
30. Es ist offenbar x2 ≤ 1864 und x > 0, also x ≤ 1864 = 43.1774066 . . . . Bei x = 43 wäre der
ehrenwerte Professor im Jahr 432 = 1849 also 43 Jahre alt und jetzt (1864) mithin 43+(1864-1849)=
58 - eine plausible Konstellation, die das Geburtsjahr 1806 ergibt.
Wählt man dagegen x = 42, so handelt es sich um das Jahr x2 = 1764, und Signore Mensoni hätte
die Aufgabe demzufolge im zarten Alter von 142 Jahren formuliert. Mathematisch ist das möglich,
aber beim Vergleich mit der Praxis erscheint es unwahrscheinlich. Aber immerhin wahrscheinlicher
als die Behauptung, 98% der Menschheit könnten dies nicht ausrechnen.
√
31. a2 + b2 = a + b ist keine Identität, also keine für alle Werte von a und b gültige Formel!
Mithin ist es eine Gleichung, die etwas Konkretes über a und b aussagt.
Sie wird quadriert: a2 + b2 = (a + b)2 = a2 + 2ab + b2 .
Nachdem auf beiden Seiten a2 + b2 subtrahiert wurde bleibt 2ab = 0.
(Mindestens) einer der beiden Werte a oder b ist folglich Null.
Wegen a < b ist a 6= b, der andere folglich von Null verschieden. √
Angenommen: b = 0, dann ist a negativ und in der Gleichung a2 + 02 = a + 0 steht links ein
positiver, rechts dagegen ein negativer Wert.
Das ist unmöglich, demzufolge gilt a = 0.
Der gesuchte Wert ist damit (3a + 2b)/(4a − 5b) = (0 + 2b)/(0 − 5b) = −0.4.
32. Laut Eigenschaft b) hat das Polynom in x = 0 eine doppelte Nullstelle, seine Gestalt ist also
f (x) = an xn + an−1 xn−1 + . . . + a2 x2 , d. h. a1 x + a0 fehlen. Man kann aus ihm demzufolge den
Faktor x2 ausklammern.
Nach a) ist f (1) = f (1 − 0) = f (0) ebenfalls Null. Differenziert man die Identität a) (sie gilt für
alle x !) nach x, so folgt f 0 (1 − x) · (−1) = f 0 (x), d. h. −f 0 (1) = f 0 (0) = 0. Damit besitzt f (x) auch
in x = 1 eine doppelte Nullstelle. Folglich kann auch der Faktor (x − 1)2 aus f (x) ausgeklammert
werden.
Es bleibt eine noch nicht betrachtete Bedingung: c). Mit Hilfe einer Bedingung kann man nun
gerade eine Unbekannte bestimmen, und das wäre der Restfaktor a in der Darstellung von f (x):
f (x) = ax2 (x − 1)2 .
Es ist f (−1) = f (1 − 2) = f (2), also wird f (−1) + f (2) = 2f (2) = 2a · 22 · (1 − 2)2 = 8a = 4 mit
dem Ergebnis a = 1/2.
Damit erhält man
x4
1
1
− x2 + .
f (x) = x2 (x − 1)2 =
2
2
2
Die gestellte Aufgabe wird von einem Polynom 4. Grades gelöst, weniger ist nicht ausreichend.
Offenbar ist f (1 − x) = 12 [1 − x]2 ([1 − x] − 1)2 = f (x).
18
√
33. Nach Vieta ist x1 x2 = 5x21 = √
75, also x1 = 15 = 3.872 983.
Weiter ist p = −x1 − x2 = −6 15 = −23.237 900.
34. ’Doppelte Nullstelle’ bedeutet das Verschwinden der Diskriminante; hier heißt das die Erfüllung der
Bedingung p2 /4 − 3p = 0, also p2 − 12q = p(p − 12) = 0. Wegen x1,2 6= 0 muß p 6= 0 sein, folglich
bleibt nur p = 12.
Die quadratischen Funktion ist dann x2 +12x+36 = (x+6)2 mit der doppelten Nullstelle x1,2 = −6.
35. Es gilt in jedem Falle sin(ex ) = 4 − ln(x2 + 1) ∈ [−1, 1], also muß −1 ≤ 4 − ln(x2 + 1) ≤ 1 sein.
Es folgt −5 ≤ − ln(x2 + 1) ≤ −1 oder, nach Multiplikation der Ungleichungskette mit -1, was die
Ungleichungszeichen umdreht, 3 ≤ ln(x2 + 1) ≤ 5. Die Exponentialfunktion ex ist streng monoton
wachsend; wendet man sie auf alle Glieder dieser Ungleichungskette an, so bleibt letztere erhalten:
e3 = 20.0855 ≤ x2√+ 1 ≤ e5 = 148.4132. √
Man erhält x1 = e3 − 1 = 4.3687 ≤ x ≤ e5 − 1 = 12.1414 = x2 .
Das Argument der Sinusfunktion überstreicht damit den Bereich von ex1 = 78.941 bis ex2 =
187 471.496. Das ist ein Intervall der Länge 187 392.555, oder 29 824.45 · 2π.
In jeder dieser ’Perioden’ schneidet die Kurve der Sinusfunktion zweimal die Kurve von ln(x2 +1)−4.
Das ergibt 59 648 Lösungen. Diese Zahl kann noch gerinfügig um eins oder zwei abweichen. Um das
zu ermitteln müßte man die Ränder des Bereichs genauer untersuchen.
36.
p
100 − p
L
+
a) T =
100 v1
v2
b) L = 0.01p · T · v1 + 0.01(100 − p) · T · v2
=⇒
T =
100L
pv1 + (100 − p)v2
37. Zwischen zwei Reflexionen legt der Lichtstrahl die Strecke l zurück; es ist d = l · sin α, also wird
l = d/ sin α.
Die insgesamt im Medium zurckgelegte Strecke ist nun L = (n + 1)l.
(Man veranschauliche sich den Grund, weshalb n + 1 zu nehmen ist!)
Das führt zu einer Abschwächung auf das e−κL -fache durch Absorbtion im Medium.
100
Der Koeffizient κ berechnet sich aus der Bedingung e−κ·1 = (100 − pm )/100 zu κ = ln 100−p
.
m
n
Die n Reflexionen ergeben eine weitere Abschwächung um den Faktor (1 − ps /100) , insgesamt
resultiert (ex =exp(x)):
100
ps n
(n + 1)d
· exp − ln
.
Ia = Ie · 1 −
·
100
100 − pm
sin α
Man beachte: Dem Faktor κ ist noch der Kehrwert der Längenmaßeinheit anzufügen. Die vorstehende Formel kann man aber auch so verstehen, daß von d nur die Maßzahl genommen wird.
Nun zur gleichen Wirkung der beiden Absorbtionsformen: Es muß dann gelten
ps n
100
(n + 1)d
1−
= exp − ln
·
100
100 − pm
sin α
oder, nachdem beide Seiten logarithmiert wurden,
p s n
100
(n + 1)d
= − ln
.
ln 1 −
·
100
100 − pm
sin α
Hieraus folgt - das Minuszeichen wird im Logarithmus zum Kehrwert sin α = ln
100 − pm
(n + 1)d
100 − pm
(n + 1)d
.
·
·
ps
ps n = ln
100
100
n ln 1 − 100
ln 1 − 100
Beide Logarithmen beziehen sich auf Werte kleiner als Eins, sie sind mithin negativ. Der rechts
stehende Ausdruck ist demzufolge insgesamt positiv.
Falls er größer als Eins wird, so bedeutet das, daß ein solcher Winkel nicht existiert, ansonsten ist
"
#
100 − pm
(n + 1)d
.
α = arcsin ln
·
ps
100
n ln 1 − 100
19
Anmerkung: Die Rechnung ist natürlich nur dann sinnvoll, wenn die geometrischen Gesamtbedingungen passen, wenn also zu diesem Winkel der Lichtstrahl gerade neben der Kante des ersten
Spiegels austritt.
Plausibilitätskontrolle: Wenn die Absorbtion im Medium gering ist (pm klein), so wird laut Formel
auch α klein. Der Strahl läuft also sehr flach und legt insgesamt eine große Strecke L zurück - das
entspricht der Erwartung.
p
38. Die Fallzeit aus der Höhe h ist wegen h = g2 t2h bekanntlich th = 2h/g.
Nach dem m-ten Auftreffen steigt die Kugel auf eine Höhe hm . Ihr Gewicht gleich G gesetzt entspricht das einer - auf das Niveau der Ebene bezogenen - potentiellen Energie Em = hm G =
(1 − p/100)Em−1 = qEm−1 .
p
p
Da
in p
jedem Zyklus gleich sind (tm ) und sich aus tm = 2hm /g = 2Em /g · G =
p Steig- und Fallzeit
√
√
2qEm−1 /g · G = q · 2Em−1 /g · G = q · tm−1 ergeben ist folglich tm = q m/2 t0 , und die Zeit
bis zum n-ten Auftreffen wird
Tn = t0 + 2t1 + 2t2 + 2t3 + . . . + 2tn−2 + 2tn−1 = 2[t0 + t1 + t2 + t3 + . . . + tn−2 + tn−1 ] − t0 =
√
√
√
√
√
= t0 {2[1 + q + ( q)2 + ( q)3 + . . . + ( q)n−2 + ( q)n−1 ] − 1} =
√
2 − 2q n/2 − 1 + q
1 − q n/2
= t0 2
=
√ − 1 = t0
√
1− q
1− q
s
p
√
p
p
1 − 2q n/2 + q
2h0 1 − 2(1 − 100 )n/2 + 1 − 100
p
=
·
= t0
.
√
p
1− q
g
1 − 1 − 100
Hierbei wurde die Summenformel für die geometrische Folge benutzt:
Bei Q 6= 1 ist 1 + Q + Q2 + Q3 + . . . + Qn = (1 − Qn+1 )/(1 − Q).
√
(Diese Schreibweise ist im Fall |Q| < 1 günstig.) Im vorliegenden Fall ist Q = q zu setzen.
Kontrolle: Das erste Auftreffen T1 findet nach vorstehender Formel im Moment
s
s
s
p
p
p
p
p
2h0 1 − 2(1 − 100 )1/2 + 1 − 100
2h0 1 − 1 − 100
2h0
p
p
·
·
=
=
p
p
g
g
g
1 − 1 − 100
1 − 1 − 100
statt. Das ist korrekt.
Nach einem Hochspringen ist offensichtlich
s
r
2h0
p
T2 =
· 1+2 1−
,
g
100
und die angegebene Formel liefert andererseits
s
s
p
p
p
p
p
p
p
2h0 1 − 2(1 − 100 )2/2 + 1 − 100
2h0 1 − 1 − 100 − 2(1 − 100 ) + 2 1 −
p
p
T2 =
·
·
=
p
p
g
g
1 − 1 − 100
1 − 1 − 100
s
p
p
p
p
p
p
2h0 1 − 1 − 100 + 2 1 − 100 [1 − 1 − 100 ]
p
=
·
,
p
g
1 − 1 − 100
p
100
=
was sich umgehend zum vorigen Resultat kürzt.
39. (ax + b)2 = a2 x2 + 2abx + b2
a) 2ab = 3, b2 = 4, wählen b = 2 und demzufolge a = 3/4, woraus A = a2 = 9x2 /16 folgt.
Die (auch mögliche) Wahl b = −2
√ dasselbe
√ A ergeben.
√ hätte
b) a2 = 7, b2 = 3, A = 2abx = 2 7 · 3 x = 2 21 x.
c) a2 = 4, 2ab = −5, a = 2, b = −5/4, A = b2 = 25/16.
40. (ax + b)3 = a3 x3 + 3a2 bx2 + 3ab2 x + b3
a) 3ab2 = 4, b3 = 8, wählen b = 2 und demzufolge a = 1/3, woraus A = a3 x3 = x3 /27 und
B = 3a2 bx2 = 2x2 /3 folgt.
q
p
p
√
√
√
b) 3a2 b = −2, b3 = −5, b = − 3 5, a = 2/3 3 5 = 6 8/135, A = 8/135 x3 , B = 30 x
p
p
c) 3a2 b = 3, 3ab2 = 5, a/b = 3/5, a = 3b/5, 9b3 /5 = 5, b = 3 25/9, a = 3 3/5,
A = 3x3 /5, B = 25/9 √
√
√
√
d) a3 = 6, b3 = −7, a = 3 6, b = − 3 7, A = −3 3 252 x2 , B = 3 3 294
20
41. Beide Produkte sind echt positiv.
ax3 + bx2 + cx + d = a(x − x0 )3 = ax3 − 3ax0 x2 + 3ax20 x − ax30 , also ac = a · 3ax20 = 3a2 · x20 .
Bei a = 0 hätte das Polynom keine dreifache Nullstelle, und x0 6= 0 ist vorausgesetzt. Also ist
ac > 0.
bd = (−3ax0 ) · (−ax30 ) = 3a2 · x40 > 0.
42. Zu einer direkten Berechnung von N ist kein Taschenrechner in der Lage. Er braucht also menschliche Hilfe.
Für alle positiven Zahlen a und b mit a 6= 1 gilt
b = aloga b .
Das ist die Definition des Logarithmus (bzw. der Exponentialfunktion, je nachdem, was man als
primär ansehen will).
Es ist nach Dezimalziffern gefragt, also ist es sinnvoll, mit a = 10 zu operieren und den dekadischen
Logarithmus log10 = lg zu verwenden.
1 000 000
N = 471 000 000 = 10lg 47
= 101 000 000 · lg 47 = 101 672 097.8579 =
= 100.8579 · 101 672 097 = 7.239 · 101 672 097
Angenommen, auf dem Taschenrechner konnte man gerade 0.8579 als angezeigte Nachkommastellen
von 1 000 000 · lg 47 ablesen. (Viele Taschrechner haben intern mehr Stellen als sie anzeigen. Diese
zusätzlichen Stellen kann man sichtbar machen, indem man hier z. B. 1 600 000 von dem angezeigten
Wert 1 672 097.858 abzieht. Dadurch fallen die ersten beiden Stellen weg und die Anzeige rutscht
zwei Stellen nach hinten. Allerdings kann man diesen Ziffern nicht mehr bedingungslos vertrauen.)
Zur Kontrolle wird noch 100.8580 = 7.211 und 100.8578 = 7.208 gebildet. In allen Fällen sind die
ersten beiden Dezimalziffern dieselben und können als gesichert gelten: 72 ...
(Begründung vom ersten Satz: Die zehnstellige Anzeige meines Tachenrechners hat eine Länge von
4cm; N würde - bei derselben Schriftgröße - zu seiner kompletten Darstellung fast sieben Kilometer
fordern.)
b) Es ist lt. binomischer Satz
N = 471 000 000 = (40 + 7)1 000 000 =
1 000 000
1 000 000
= 401 000 000 +
· 40999 999 · 71 +
· 40999 998 · 72 + . . . +
1
2
1 000 000
... +
· 401 · 7999 999 + 71 000 000
999 999
Alle Summanden außer dem letzten enthalten eine positive Potenz von 40, also eine Null in der
Einerstelle. Letztere ist also einzig ein Resultat von 71000000 und hat dessen Einerstelle.
Betrachten wir die fortlaufenden Potenzen von 7: 70 = 1, 71 = 7, 72 = 49, 73 = 343, 74 = 2 401.
Resultat: Wenn der Exponent n in 7n durch vier teilbar ist, so ist die letzte Dezimalziffer in 7n eine
1. Für eine Million trifft die Teilbarkeit durch vier zu. Die Antwort auf b) lautet mithin: 1.
c) N enthält, wie ermittelt wurde, 1 672 098 Zeichen. (10n hat nicht n Stellen, sondern n + 1.) Ein
Buch faßt eine Million Zeichen. Es ist also nicht von den Seiten eines Buches die Rede, sondern für
N braucht man ein ganzes und über die Hälfte eines weiteren.
(In dieser ’Universalbibliothek’ würde es übrigens genau ein Buch geben, das die erste Million
Ziffern von N in korrekter Reihenfolge enthält, und sogar 47672097 ≈ 101 123 812 Bücher, die mit
dem - wiederum korrekten - Rest von N beginnen und sich nur in den letzten rund 164 Seiten
unterscheiden.)
43. Mit voneinander verschiedenen Zahlenpaaren a und b sowie c und d soll gelten n = a2 +b2 = c2 +d2 .
Daraus folgt a2 − d2 = c2 − b2 . Man kann annehmen, daß beide Seiten der letzten Gleichung positiv
sind.
Lt. dritter binomischer Formel ist dann (a + d) · (a − d) = (c + b) · (c − b) = n.
Es genügt also, Zahlen m zu ermitteln, die vier geeignete Faktoren p, q, r und s besitzen: m = pqrs,
dann kann man m in zwei Weisen in Produkte zerlegen: n = (pq) · (rs) = (pr) · (qs). Damit diese
Zerlegungen wesentlich verschieden sind ist pq 6= pr und pq 6= qs zu fordern. Wenn der erste Faktor
der linken Zerlegung rechts nicht auftaucht, so gilt dasselbe dann auch für den zweiten. Jedenfalls
21
ist q 6= r und p 6= s Bedingung.
Man setzt dann
a + d = pq ,
2a = pq + rs ,
a − d = rs ,
c + b = pr ,
2d = pq − rs ,
c − b = qs
2c = pr + qs ,
=⇒
2b = pr − sq .
Offenbar muß pq > rs und pr > qs gelten. Damit a, b, c, d ganze Zahlen sind müssen die Zahlen
pq, rs, pr, qs entweder alle ungerade oder alle gerade sein.
Sei z. B. p = 7, q = 5 und r = 3, s = 1, dann ist a = (35 + 3)/2 = 19, b = (35 − 3)/2 = 16,
c = (21 + 5)/2 = 13 und d = (21 − 5)/2 = 8, also ist n = 192 + 82 = 162 + 132 = 425 eine Zahl der
gesuchten Art.
Dieses Ergebnis n resultiert aus der Zerlegung der Zahl m = 105 = 3 · 35 = 5 · 21.
44.
vHase : vHund =
5 4
20
5 3
: =
· =
= 20 : 33
11 4
11 3
33
45. Es seien j Jahre und t Tage.
Ein Tag hat 24 · 60 · 60 = 86 400 Sekunden, und nach Ablauf der vollen Tage bleiben dem Jahr noch
5 · 60 · 60 + 48 · 60 + 46 = 20 926 Sekunden.
Damit genau t volle Tage herauskommen muß also 86 400t = 20 926j gelten, also
20 926
t
=
j
86 400
oder
t : j = 20 926 : 86 400 .
t und j seien möglichst kleine ganze Zahlen. Die Frage ist also, ob sich der vorstehende Bruch noch
kürzen läßt. Die Primzahlzerlegung des Nenners ist kein Problem, da gibt es nur die Faktoren 2,
3 und 5. Nun ist der Zähler 20 926 offenbar durch 2 teilbar, es bleibt 10 463. Das ist weder durch
2 noch durch 5 teilbar, und da die Quersumme 1+0+4+6+3 = 14 nicht durch 3 teilbar ist ist es
diese Zahl selbst auch nicht.
Resultat: In 43 200 Jahren sammeln sich genau 10 463 Tage an, und wenn dieser Zeitraum genau
Mitternacht begonnen hat, so endet er auch genau Mitternacht. Sollte letzteres etwa jetzt geschehen, so hätte man den Prozeß vom Paläanthropus (z. B. einem Neandertaler) starten lassen müssen.
Es ist übrigens 43200:10463 = 4.128 835 (gerundet). Also nach rund 4.13 Jahren hat sich ein zusätzlicher Tag angesammelt, der berücksichtigt werden muß, damit der Kalender wieder stimmt. Das
Einfügen dieses Schalttages immer dann, wenn er gerade zusammen ist, würde aber für Unordnung
sorgen, weshalb man ihn nicht alle 4.13 Jahre einfügt, sondern alle 4 Jahre. Das erzeugt allerdings
eine Abweichung. Man gibt pro Jahr 1/4 Tag zu, müßte aber nur 1/4.13 Tag nehmen, also etwas
weniger. Die Differenz ist
1
1
4.128 835 − 4
−
=
= 0.007 809 ,
4 4.128 835
4 · 4.128 835
womit folglich pro Jahrhundert 0.781 Tage zusammenkommen - etwa ein dreiviertel Tag. Mithin
läßt man jeweils in vier Jahrhunderten dreimal einen Schalttag aus, und zwar - so ist die Festlegung
- in den durch 100, aber nicht durch 400 teilbaren Jahren. Das Jahr 2000 war ein Schaltjahr.
Das kompensiert nicht vollständig, denn pro Jahrhundert bleibt dann noch 0.7809 - 0.75 = 0.0309
= 1/32.36 Tag übrig. Alle 3236 Jahre wäre dann wieder ein Tag wegzulassen. Sinnvollerweise wird
man es aber alle 3000 Jahre machen, sollte davon aber wegen
1
236
1
1
−
=
=
3000 3236
3000 · 3236
41 136
etwa alle 40 000 Jahre wieder abweichen.
Das ist nicht aktuell. Obendrein ändert sich langfristig sowohl die Dauer eines Tages als auch die
des tropischen Jahres.
Zum mathematischen Inhalt der letzten Betrachtung: So etwas nennt man eine Reihenentwicklung,
hier nach praktikablen Brüchen (orientiert am Dezimalsystem).
Es wurden nacheinander die immer genaueren Darstellungen
0.242 199 074 =
22
20 926
1
≈
= 0.25
86 400
4
20 926
1
3
≈
−
= 0.2425
86 400
4 400
20 926
1
3
1
≈
−
−
= 0.242 167
86 400
4 400 3000
20 926
1
3
1
1
≈
−
−
+
= 0.242 191 667
86 400
4 400 3000 40000
gewonnen.
46. Das sind in mathematischen Texten übliche Floskeln, die folgende Sachverhalte ausdrücken:
a) Beide Zahlen sind ungleich 0.
b) Beide Zahlen sind ungleich 0 und haben dasselbe Vorzeichen.
c) Beide Zahlen sind ungleich 0 und haben verschiedene Vorzeichen.
d) Mindestens eine der beiden Zahlen ist gleich 0.
e) Mindestens eine der beiden Zahlen ist ungleich 0.
f) Beide Zahlen sind gleich 0.
g) x ist größer als y.
h) Die Beträge beider Zahlen sind gleich.
47. ac : bc = 1 : q c
48. a) x3 − x = x(x2 − 1) = x(x2 − 12 ) = x(x − 1)(x + 1)
b) 19xy − 29yz = y(19x − 29z)
c) Ausklammern, nicht ausmultiplizieren!
(4u + v)(2x − 3y) − (x + 2y)(4u + v) = (4u + v)[(2x − 3y) − (x + 2y)] = (4u + v)(x − 5y)
d) Das ist ein quadratisches Polynom in b mit den Nullstellen b1 = 2 und b2 = 3, seine Produktform
ist damit b2 − 5b − 6 = (b − 2)(b − 3).
e) 36t2 − 81s2 = (6t)2 − (9s)2 = (6t − 9s)(6t + 9s)
f) (w3 − p3 ) : (w − p) = w2 + wp + p2 = w2 (1 + x + x2 ) mit x = p/w, w 6= 0 vorausgesetzt.
Die quadratische Funktion x2 + x + 1 hat wegen negativer Diskriminante keine reellen Nullstellen,
folglich ist sie (im Reellen) nicht in Faktoren zu zerlegen.
Ergebnis: w3 − p3 = (w − p) (w2 + wp + p2 )
x 4 x 2 x 2 h
xi
x2
xi h
x4
= (2a)4 −
· 2a +
· 4a2 +
= (2a)2 −
· (2a)2 +
= 2a −
g) 16a4 −
16
2
2
2
2
2
4
Der Ausdruck in der letzten Klammer ist nicht mehr zerlegbar (im Reellen)!
h) m2 − n2 + 2nr − r2 = m2 − (n2 − 2nr + r2 ) = m2 − (n − r)2 = [m − (n − r)] · [m + (n − r)] =
(m − n + r)(m + n − r)
i) x2 + (y + z)x + yz = x2 + xy + xz + z 2 = (x + y)(x + z)
j) v 2 − 3uv − 10u2 = u2 (x2 − 3x − 10) mit x = v/u, u 6= 0 vorausgesetzt.
Die quadratische Funktion x2 − 3x − 10 hat die Nullstellen x1 = 2 und x2 = 5, folglich ist
v
v
v 2 − 3uv − 10u2 = u2 (x2 − 3x − 10) = u2 (x − 2)(x − 5) = u2
−2 ·
− 5 = (v − 2u)(v − 5u)
u
u
Nach dem abschließenden Ausmultiplizieren ist die Bedingung u 6= 0 hinfällig.
k) (2a + 3b)2 − (2a + 4b)2 = [(2a + 3b) − (2a + 4b)] · [(2a + 3b) + (2a + 4b)] = −b(4a + 7b)
l) a2 − (p − 4)a − 4p = a2 − ap + 4a − 4p = a(a + 4) − p(a + 4) = (a − p)(a + 4)
49.
y 2 + xy
y(y + x)
y+x
=
=
,
y 2 − xy
y(y − x)
y−x
b)
y 2 − xy
y(y − x)
y
=
=−
x2 − xy
x(x − y)
x
11a − 11
11(a − 1)
11
=
=
,
12a − 12
12(a − 1)
12
d)
5x − 5
5(x − 1)
5
=
=−
9 − 9x
9(1 − x)
9
(v + u)2
(v + u)2
v+u
=
=
,
2
2
v −u
(v − u)(v + u)
v−u
f)
h2 + h
h(h + 1)
h
=
=
h2 − 1
(h − 1)(h + 1)
h−1
a)
c)
e)
g)
h)
c3 − s3
(c − s)(c2 + cx + s2 )
c2 + cs + s2
=
=
c2 − s2
(c − s)(c + s)
c+s
m3 + n3
(m + n)(m2 + mn + n2 )
m2 + mn + n2
=
=
m2 − n2
(m − n)(m + n)
m−n
23
i)
x2 − xy + x − y
x(x − y) + x − y
(x − y)(x + 1)
x+1
=
=
=
x2 − xy − x + y
x(x − y) − (x − y)
(x − y)(x − 1)
x−1
j) Im Zähler und im Nenner werden die Nullstellen bestimmt, worauf man die quadratischen Funktionen in t in die Produktform bringt:
t2 − 7t + 12
(t − 3)(t − 4)
t−4
=
=
2
t − 8t + 15
(t − 3)(t − 5)
t−5
l)
(p + q − r)(p + q + r)
(p + q)2 − r2
p+q−r
p2 + q 2 − r2 + 2pq
=
=
=
2
2
2
2
2
p − q + r + 2pr
(p + r) − q
(p + r − q)(p + r + q)
p+r−q
50. a) 1.7 = 17 : 10; dieses Verhältnis läßt sich nicht weiter kürzen, denn 17 ist eine Primzahl.
b)
1.4375 =
14375
5 · 2875
5 · 575
5 · 115
5 · 23
23
=
=
=
=
=
10000
5 · 2000
5 · 400
5 · 80
5 · 16
16
Der letzte Bruch läßt sich nicht weiter kürzen, denn 23 ist eine Primzahl.
Die minimale Variante ist also: 16 und 23 Zähne.
c)
0.53125 =
5 · 10625
5 · 2125
5 · 425
5 · 85
5 · 17
17
53125
=
=
=
=
=
=
100000
5 · 20000
5 · 4000
5 · 800
5 · 160
5 · 32
32
Der letzte Bruch läßt sich nicht weiter kürzen, denn 17 ist eine Primzahl.
Die minimale Variante ist also: 17 und 32 Zähne.
d) q = 1.409090909 . . . , 100q = 140.9090909 . . . ,
100q − q = 140.9090909 . . . − 1.409090909 . . . = 139.5
Ergebnis: 31 : 22
e) q = 1.897435897435897435 . . . ,
=⇒
q=
139.5
1395
5 · 279
9 · 31
=
=
=
99
990
5 · 198
9 · 22
1000000q = 1897435.897435897435 . . . ,
1000000q − q = 1897434
=⇒
q=
1897434
9 · 210826
=
999999
9 · 111111
210826 = 7 · 30118 = 7 · 11 · 2738 = 7 · 11 · 37 · 74 = 2 · 7 · 11 · 372
111111 = 11 · 10101 = 11 · 3 · 3367 = 11 · 3 · 7 · 481 = 11 · 3 · 3367 · 7 · 13 · 37
q=
2 · 7 · 11 · 372
2 · 37
74
1897434
=
=
=
999999
11 · 3 · 7 · 13 · 37
3 · 13
39
Ergebnis: 74 : 39, die beiden Zahlen sind teilerfremd und das Verhältnis ist nicht kürzbar.
√
51. Sei 50 = a, dann ist
s
3 3
√
√
100
10
1000
3
8= 2 =
=
= 3
50
a
a
√
√
√
60.5 = 1.21 · 50 = 1.12 · 50 = 1.1 a
52. Physik:
a) Kraft = Masse · Beschleunigung: f = m · a
b) Weg - Zeit - Gesetz bei gleichmäßiger Beschleunigung a: s = gt2 /2
Rechnung:
a
1.27m = · 42 s2 =⇒ a = 0.15875m · s−2
2
44.6N = 0.15875m · s−2 · (m1 + m2 )
=⇒
m1 + m2 = 280.9kg
Sei m1 die kleinere der beiden Massen, dann ist mit g = 9.81m · s−2
g(m2 − m1 ) = f
=⇒
m2 − m1 = 4.5kg
Folglich gilt m1 + m2 = 2m1 + 4.5kg = 280.9kg, also m1 = 138.2kg und m2 = 142.7kg.
Man bedenke, daß sich die Differenz der Massen (absolut) wesentlich genauer bestimmen läßt als
die Gesamtmasse.
24
53. Effekte durch seitlich einfallendes Licht usw. ausgeklammert - die äußere Brille (um in der logischen
Reihenfolge zu bleiben) wird z. B. von (100 − p)% des Lichtes durchquert, und davon bleiben nach
der zweiten noch (100 − q)% übrig.
Das sind 100 · (1 − p/100) · (1 − q/100)% Restlicht, und die Absorbtion drückt sich aus als
q 1 000 000 − 100(100 − p)(100 − q)
100(p + q) − pq
p · 1−
%=
%=
%.
100%−100· 1 −
100
100
10 000
100
1. Kontrolle: Die Reihenfolge der Sonnenbrillen darf keine Rolle spielen, also muß die Formel denselben Wert liefern, wenn man p und q vertauscht. - Das trifft zu.
2. Kontrolle: Zwei Sonnebrillen gleicher Stärke (p = q) ergeben lt. vorstehender Formel gerade
(200 − p)p/100.
a) Bei p = 0 wird kein Licht absorbiert, und insgesamt kommt richtig 0% heraus.
b) Bei p = 100 ergibt sich totale Absorbtion.
c) Bei p = 50 schluckt jede Brille die Hälfte des auftreffenden Lichts, es kommt also nur ein Viertel
durch und die Absorbtion ist 75% oder (150 · 50/100)%.
54. Der schräg verlaufende Lichstrahl legt im Filter eine längere Strecke zurück und wird stärker abgeschwächt. (Bedingung ist natürlich, daß das gesamte Filterglas absorbiert, daß es also nicht nur
Träger für eine aufgebrachte dünne Schicht ist. Dort gilt natürlich dieselbe Rechnung, allerdings
müßte man dann mit der Brechzahl jener Schicht arbeiten, und nicht mit der des Glases.)
Gegenüber dem senkrecht passierenden Strahl verläuft er unter einem Winkel α, für welchen laut
Brechungsgesetz sin 27.3o : sin α = 1.574 gilt, woraus α = 16.94o folgt.
Sei d die Dicke der Filterscheibe, so ist die Wegstrecke des schrägen Lichtstrahls also d/ cos 16.94o =
1.0454d.
Die Abnahme der Strahlintensität erfolgt exponentiell: Von der Intensität I0 des in den Filter eindringenden Lichts bleibt nach der Strecke s noch I(s) = I0 · q s mit einem Wert q mit 0 < q < 1
übrig.
Hier ist q d = 0.25, und dann wird
q 1.0454d = q d
1.0454
= 0.251.0454 = 0.2348 = 1 − 0.7652 .
Dieser Strahl wird also statt um 75% um 76.5% geschwächt.
Der Filter z. B. auf einem Fotoobjektiv wirkt folglich am Bildrand anders als in der Bildmitte.
55. Sei z = 10x + y, wobei x, y ∈ {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9} gilt.
(Die Ziffer 0 kommt offensichtlich nicht vor.)
Es ist also 10y + x = n(10x + y) zu fordern, oder (10 − n)y = (10n − 1)x. Das ist gleichbedeutend
mit der Proportion y : x = (10n − 1) : (10 − n).
Laut Voraussetzung ist n ≥ 2. n = 10 entfällt, und n > 10 ebenfalls, da das linke Verhältnis positiv
ist. Es bleiben für n nur Werte von 2 bis 9.
(Man hätte auf die Idee kommen können, alle zweistelligen Zahlen durchzuprobieren, das sind
insgesamt 90. Die vorstehende Überlegung reduziert die Anzahl der Varianten auf acht.)
10n − 1 und 10 − n müssen im Verhältnis einstelliger Zahlen stehen, die unbedingt zweistellige Zahl
10n − 1 muß sich also kürzen lassen. 19, 29, 59 und 79 sind Primzahlen, so entfallen für n die Werte
2, 3, 6 und 8.
n = 4:
39 : 6 = 13 : 2 - kommt nicht in Frage.
n = 5:
49 : 5 - kommt nicht in Frage.
n = 7:
69 : 3 = 21 : 1 - kommt nicht in Frage.
n = 9:
99 : 1 - kommt nicht in Frage.
Die gestellte Frage hat also die Antwort: Nein.
56. Nehmen wir an, die Zacken waren auf einen Kreis vom Durchmesser 3mm aufgesetzt, dann haben
zwei ’Täler’ einen Abstand von π · 3mm/28 = 0.34mm. (Große Genauigkeit ist hier sicher nicht
nötig.)
Auf dieser Strecke erhebt sich ein gleichschenkliges rechtwinkliges Dreieck, dessen Höhe ist die Hälfte
der Grundlinie: 0.17mm.
Der Inhalt eines Zackens wird somit 21 · 0.34mm · 0.17mm · 2mm = 0.0578mm3 .
Hat er eine halbrunde Oberfläche (Querschnitt = Halbkreis), so ergibt das ein Volumen von 21 · π ·
0.172 mm2 · 2mm = 0.0454mm3 , also einen Verlust von 0.0124mm3 pro Zacken oder 0.347mm3 vom
Rädchen.
25
Bei einer Dichte des Eisen von 7.86g/cm3 sind das 2.73 · 10−3 g. Dividiert durch das Atomgewicht
von Eisen (55,8) erhält man 4.9 · 10−5 Mol, und mit der Avogadro-Konstanten 6.023 · 1023 mal
genommen bedeutet dies insgesamt 2.95 · 1019 abgeriebene Atome.
Das sind 1.18 · 1018 pro Jahr oder 3.23 · 1015 pro Tag.
Damals war die Menschheit weniger zahlreich - nur etwa 3 Milliarden. Hätte der Uhrenbesitzer diese
Tagesration gleichmäßig an seine Mitmenschen verteilt, so hätte jeder ungefähr eine Million Atome
bekommen.
57. Der gesuchte Winkel sei α (von der Senkrechten in Richtung horizontale Zimmerdecke genommen),
die Länge l des Schnittes diene als Hilfsunbekannte.
Führt man vom unteren Schnittrand der ersten Leiste eine Senkrechte über sie nach oben, so erkennt
man, daß (alles in cm) 5 = l · cos α ist.
Eine Linie vom selben Punkt quer über die andere Leiste gelegt ergibt 4 = l · sin(α + 450 ) .
Die Hilfsunbekannte l (die lt. Voraussetzung der Aufgabe in beiden Gleichungen dieselbe ist) wird
eliminiert:
4=
√
5 · [sin α cos 450 + cos α sin 450 ]
5 · sin(α + 450 )
=
= 2.5 2(tan α + 1) .
cos α
cos α
Es folgt
√
tan α = 0.8 2 − 1
=⇒
α = 7.5o .
58. Sei n = 10x + y mit x, y ∈ {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}.
Man hat die Gleichungen 10x + y = 3xy und (10y + x) : (10x + y) = 7 : 4, also 40y + 4x = 70x + 7y
oder 33y = 66x, mithin y = 2x.
Die erste Gleichung gibt dann 12x = 6x2 oder x = 2.
Damit gilt n = 24 = 3 · 2 · 4 und 42 : 24 = 6 · 7 : 6 · 4 = 7 : 4.
59. Die Gleichung wird mit dem Hauptnenner der drei Brüche multipliziert:
2(x − 3)(x + 4) + 5(x + 7)(x + 4) = a(x + 7)(x − 3) oder (7 − a)x2 + (57 − 4a)x + (116 + 21a) = 0 .
Nur ein einziger Lösungswert x ergibt sich dann, wenn diese quadratische Gleichung entweder zur
linearen entartet oder aber wenn sie eine doppelte Nullstelle besitzt.
Im ersten Fall muß a1 = 7 sein, dann bleibt 29x + 263 = 0 oder x = −263/19 = −9.0690.
Im zweiten Fall muß die Diskriminante der quadratischen Gleichung Null werden, also
(57 − 4a)2 − 4(7 − a)(116 − 21a) = 0 oder 100a2 − 580a + 1 = 0 .
√
Es ergeben sich zwei weitere Werte: a2,3 = (29 ± 840)/10 = 5.7983 und 0.001725.
Zu a2 gehört x2 = −14.0658, und a3 liefert x3 = −4.0719.
Bei a2,3 berührt die Kurve von
f (x) =
2
5
a
+
−
x+7 x−3 x+4
die x-Achse nur, ohne sie zu überqueren. Bei a3 geschieht das sogar nahe an einer Polstelle.
60. Das erste Foto wird mit dem Vergrößerungs- oder Verkleinerungsfaktor f1 umgerechnet: B1 = f1 b1
und H = f1 h1 . Zum zweiten gehört der Faktor f2 : B2 = f2 b2 und H = f2 h2 .
Durch die Verwendung jeweils eines Faktors für Breite und Höhe wird eine Verzerrung vermieden.
Für die resultierende Breiten erhält man B1 + d + B2 = B. Damit hat man zwei Gleichungen für
f1 und f2 , und zwar ein lineares System:
f1 h1 − f2 h2 = 0 ,
f1 b1 + f1
h1
b2 = B − d
h2
=⇒
f1 b1 + f2 b = B − d .
(B − d)h2
b1 h2 + b2 h1
=⇒
(B − d)h1 b2
,
b1 h2 + b2 h1
H=
f1 =
f2 =
(B − d)h1
b1 h2 + b2 h1
Damit erhält man die Endmaße
B1 =
(B − d)h2 b1
,
b1 h2 + b2 h1
B2 =
26
(B − d)h1 h2
b1 h2 + b2 h1
61. 0.7 · (1 + p) = 1.1 ⇒ 0.7p = 0.4 , p = 4/7 = 0.571 . . .
Die Ware ist also um rund 57% zu verteuern.
62. Nach Vieta ist x1 + x2 = −p = (x1 + x2 )/2, denn am Faktor vor dem linearen Glied wurde nichts
geändert. Aus p = p/2 folgt aber p = 0 oder x2 = −x1 .
Weiter ist x1 x2 =√q und x1 x2 /4 = q + 1, also insgesamt q = 4q + 4, mithin q = −4/3 = −x21 .
Man erhält x1 = 3/2 = −x2 und f (x) = x2 − 4/3.
63. Es gibt mehrere Lösungsmöglichkeiten. Nachstehend die folgende Idee:
Es wird das prismatische Volumen im Raum bestimmt, das in dieser Sekunde auf die Scheibe ’trifft’.
Es reicht aus, dieses in seitlicher Projektion zu betrachten. Die eine Seite ist nun die Scheibe selbst;
nehmen wir ihre Unterkante als Punkt (0,0), und die x-Achse in Fahrtrichtung. (Die Oberkante
befindet sich dann in (−h sin α, h cos α).) Das ist die Lage der Scheibe in t = 0.
Im Moment t trifft eine Schicht auf, die sich bei t = 0 in der Höhe vT ·t befunden hatte (Unterkante),
und in x = vA · t.
Es resultiert ein Parallelogramm mit den beiden ’unteren’ Ecken (0,0) und (vT · 1s, vT · 1s). Der
Anstieg der ’Unterseite’ ist folglich durch den Winkel β = arctan(vT /vA ) gegeben, und ihr Winkel
zur Senkrechten beträgt dann 90o − β. Der dritte Winkel γ im Dreieck ’Frontscheibe bei t = 0 - yAchse im Parallelogramm - Oberseite Parallelogramm zwischen beiden’ ist γ = 180o −α−(90o −β) =
90o − α + β.
Eine Senkrechte schneidet dieses Parallelogramm auf der Länge L, für die nach dem Sinussatz die
Beziehung gilt h : L = sin(90o − β) : sin γ, also
L = h
sin(90o − α + β)
cos(α − β)
sin γ
= h
= h
.
o
sin(90 − β)
sin β
cos β
Nun ist
sin β = q
und
tan β
1 + tan2 β
= q
tan arctan(vT /vA )
2
1 + tan arctan(vT /vA )
= q
vT
vT2
2
+ vA
1
1
vA
cos β = q
= q
= q
2
vT2 + vA
1 + tan2 arctan(vT /vA )
1 + tan2 β
Man erhält
L = h
vA cos α + vT sin α
vA
.
.
(Kleine Kontrolle der Korrektheit: Bei α = 0 ist L = h; das stimmt.)
Das Prinzip des Cavalieri, abgewandelt zur Flächenberechnung, ergibt nun für das Parallelogramm
die Fläche FP = L · (VA · 1s). Die Höhe L entspricht einer Fallzeit von L/vT .
In einer senkrechten (Projektions-)Fläche 1m · (VT · 1s) ist nun gerade die Regenmenge q enthalten;
im gesamten Prisma also
Q = q · b · L · (vA /vT ) = q · b
vA
vA cos α + vT sin α
vA cos α + vT sin α
·h
= qbh
vT
vA
vT
(Eigentlich ist der Wert noch mit 1s zu multiplizieren.)
Zur Kontrolle kann man den Fall des stehenden Autos betrachten, oder aber bedenken, daß Q mit
vA wächst - ein Erfahrungswert aller Autofahrer.
Kurios ist, daß die Niederschlagsmenge mit abnehmender Fallgeschwindigkeit des Regens zunimmt!!
Bei vT = 0 wird sie unendlich!
Der Widerspruch löst sich, wenn man bedenkt, daß dann aber auch q = 0 werden muß.
Falls das im konkreten Fall nicht zutrifft, so ist man wohl in einen See gefahren und rollt jetzt unter
Wasser - Gott bewahre!
Wenn das Auto rückwärts fährt nimmt Q ab und bei vA cos α + vT sin α < 0 bleibt die Scheibe
trocken, also bei va < −vt ·tan α. Sinngemäß trifft das - ohne das Minuszeichen - für die Heckscheibe
zu, auf die bei genügend schneller Fahrt (va > vt · tan α) kein Regen fällt. Ist sie im Winkel von 45o
geneigt, so wäre dazu wegen tan 45o gerade va > vt zu forden. Ein Regentropfen, der gerade knapp
über der Oberkante der Heckscheibe ist, muß dann registrieren, daß sich diese unter ihm schneller
senkt als er fällt.
27
64. Es sei ∆TL die - positiv genommene - Temperaturänderung des Probekörpers und ∆TW die ebenfalls positiv genommene - Temperaturänderung von Wasser, Gefäßwand und Thermometer.
Bei gegebenem ∆TW ist die Wärmeaufnahme von Wand und Thermometer proportional zu ihrem
benetzten Volumen, bezogen auf den Wert der ersten Messung ändert es sich also proportional
zur benetzten Fläche, d. h. - wegen ihrer in diesem Bereich zylindrischen Form - proportional zur
Benetzungshöhe. Letztere ist wiederum proportional zur Änderung des eingebrachten Volumens.
Sei VW das Volumen des Wassers und VP das der Probe, der zweite Index bezeichne die Nummer
des Versuchs. Es ist
V1 = VW,1 + VP,1 = 98cm3 +
178.3g
= 141.6cm3
4.09g/cm3
V2 = VW,2 + VP,2 = 122cm3 +
178.3g
= 165.6cm3 ,
4.09g/cm3
∆V2 = 24.0cm3
V3 = VW,3 + VP,3 = 122cm3 +
104.8g
= 147.6cm3 ,
4.09g/cm3
∆V2 = 6.0cm3
Ansonsten ist die Wärmeaufnahme proportional zur Temperaturänderung.
Die jeweils abgegebene Wärmeenergie (Wärmemenge) des Probekörpers ist Qi = mi · cL · ∆TL,i .
Sie wird von Wasser, Gefäß und Thermometer aufgenommen, dabei ist Q = QW + QG + QT die
Summe dieser drei Größen. Man hat zunächst QW = cW · VW · ∆TW , weiter kann man QG + QT
zusammenfassen in einen Ausdruck, der durch eine lineare Funktion beschrieben wird: QG + QT =
(α + β · ∆V ) · ∆TW . Hierbei sind α und β irgendwelche Konstanten, deren wichtigste Eigenschaft
darin besteht zu existieren.
Jedenfalls hat man drei Gleichungen für die gesuchten Größen cL , α und β, wobei die letzten beiden
nur Hilfsgrößen sind und nicht berechnet werden sollen:
cL · (100o C − 53.15o C) · 178.3g = [4.19kJ · kg −1 · K −1 · 98ml + (α + β · 0)] · (53.15o C − 20o C)
cL · (100o C − 48.32o C) · 178.3g = [4.19kJ · kg −1 · K −1 · 122ml + (α + β · 24.0cm3 )] · (48.32o C − 20o C)
cL · (100o C − 40.03o C) · 104.8g = [4.19kJ · kg −1 · K −1 · 122ml + (α + β · 6.0cm3 )] · (40.03o C − 20o C)
Nachdem man bedacht hat, daß bei Wasser 1g und 1ml dasselbe bedeuten und daß die Differenz
von Celsiuswerten in Kelvin zu schreiben ist gelangt man zu den formalen Zahlengleichungen
8353.355cL = 13612.0530 + 33.15a
9214.544cL = 14476.6176 + 28.32a + 679.68b
6284.856cL = 10238.9354 + 20.03a + 120.18b
mit der Lösung cL = 1.74kJ · kg −1 (auf sinnvolle Länge gerundet).
65. a) Der erste. g(x) = x und h(x) = sin x sind beides ungerade Funktionen, ihr Produkt muß also
gerade sein. Das Bild ist aber nicht zur y - Achse symmetrisch, sondern zum Nullpunkt, was zur
ungeraden ersten Funktion gut paßt.
b) Der zweite. Beide Funktionen haben bei x = 0 den Wert 1. Die erste hat zwischen 0 und 1 ein
Minimum und geht dann für x → ±∞ gegen +∞, die zweite hat dagegen besitzt ein Maximum
und geht dann - passend zum Bild - gegen Null.
c) Der erste. Die Kurve hat offenbar einen Wendepunkt, was der Parabel - der Kurve der quadratischen Funktion - nicht passieren kann. Eine quadratische Funktion hat eine konstante zweite
Ableitung. Wird diese Null, so entartet die Parabel zur Geraden, was hier nicht vorliegt.
d) Der zweite. Die Funktion ist gerade und hat zwei Nullstellen. Die erste Funktion hätte in x = 1
eine Nullstelle, müßte dann aber links im selben Abstand von der Null eine Polstelle besitzen.
e) Der zweite. Es ist kein Maßstab angegeben, man könnte die Nullstellen berechnen und etwas
messen. Aber es reicht aus festzustellen, daß die zweite Funktion bei x = 0 einen negativen Wert
hat, die erste dagegen nicht.
f) Der zweite. e−x wächst nach links zu, hier nimmt die Amplitude aber links von der y - Achse
wieder ab.
g) Der erste. Beide Funktionen haben in x = 0 den Wert -1, das erlaubt eine gewisse Kalibrierung.
Die zweite Funktion strebt bei x → ±∞ gegen ±1, die erste dgegen gegen Null, was dem Bild eher
entspricht.
28
h) Der zweite. sin2 x kann nicht negativ werden und hat seine Nullstellen im konstanten Abstand,
hier dagegen werden sie immer enger.
i) Der erste. cos x ist gerade, also ist es auch ecos x , die betrachtete Funktion ist es aber nicht.
Obendrein müßte ecos x bei x = 0 ein Maximum haben, während esin x dort steigt.
j) Der erste. Der Wert unter der Wurzel wird in beiden Fällen bei x = −1 Null, damit auch die jeweilige Funktion. Die erste Funktion wird nach rechts unbeschränkt wachsen, die zweite im doppelten
Abstand der linken Nullstelle zur Achse wieder Null.
66. a) Laut Voraussetzung ist a1292 < a1293 , d. h.
7.43
1292
·q
1292
7.43
< 1293
·q
1293
⇐⇒
1292
1293
7.43
1293
1294
7.43
= 0.994 267 94 < q .
b) Andererseits ist a1293 > a1294 , d. h.
7.43
1293
·q
1293
7.43
> 1294
·q
1294
⇐⇒
= 0.994 272 36 > q .
Ergebnis: 0.994 267 94 < q < 0.994 272 36 = 0.994 267 94 + 0.000 004 42 .
Die Forderung q > 0 ist übrigens überflüssig. Sie wäre wesentlich, wenn z. B. n = 1292 das größte
Folgeglied ergäbe, aber im vorliegenden Fall ist das n zum Maximalwert ungerade. Wenn q < 0
wäre, so hätte man dazu ein negatives Folgeglied, das mithin nicht das größte sein könnte.
67. Beschreiben wir zunächst die Parabel des Wasserstrahls. Das löst das Problem noch nicht, ist aber
voraussichtlich nützlich und gibt einem erst einmal das Gefühl, etwas Sinnvolles zu tun.
Betrachten wir ein Wasser’teilchen’. Seine Bewegung kann in zwei zerlegt werden - eine horizontale und eine vertikale. Da es keinen Luftwiderstand geben soll erfolgt die Horizontalbewegung
gleichförmig. Die zugehörige Geschwindigkeitskomponente ist vh = v0 · cos α und die zeitabhängige
x-Koordinate des Wasserteilchens, das im Moment t = 0 die Düse verläßt, ist x(t) = vh · t, wobei
die Lage der Düse im Nullpunkt beachtet wurde.
Die vertikale Bewegung ist die Summe zweier Einzelbewegungen: einer gleichförmigen vv · t mit
vv = v0 · sin α, und eines freien Falls g2 · t2 , womit y(t) = vv · t − g2 · t2 wird, da der Fall nach unten
erfolgt.
Das Wasserteilchen durchläuft die Punkte
x(t)
vh · t
~r(t) =
=
.
y(t)
vv · t − g2 · t2
Die geometrische Kurve des zum betreffenden α gehörenden Wasserstrahls erhält man, indem man
den Parameter ’Zeit’ aus der Darstellung eliminiert: t = x/vh , also ist
y = y(x) = G(x) =
gx2
vv x gx2
− 2 = x · tan α − 2
.
vh
2vh
2v0 cos2 α
Damit ist die Kurve eines jeden Wasserstrahls gefunden. Sei nun (x, y) ein beliebiger Punkt im
ersten Quadranten, kann er von wenigstens einem Strahl getroffen werden?
Das ist die Frage, ob es einen Winkel α gibt, so daß der Strahl, in diese Richtung entsandt, den
Punkt passiert. Man muß also die obige Gleichung bei gegebenen Werten x und y nach α auflösen
und sehen, ob das vernünftige Lösungen liefert.
Nach Multiplikation mit cos2 α wird
y cos2 α = x sin α cos α −
gx2
2v02
oder y
1 + cos 2α
x
gx2
= sin 2α − 2 .
2
2
2v0
2
Man erhält x sin 2α−y cos 2α = y+ gx
. Mit noch zu bestimmenden Werten r und β wird x = r cos β
v2
0
und y = r sin β p
angesetzt. Dann ist x2 + y 2 = r2 sin2 β + r2 cos2 β = r2 (sin2 β + cos2 β) = r2 , also
kann man r = x2 + y 2 wählen. Der Punkt (x, y) liegt im ersten Quadranten, also sind x und y
nicht negativ. Sie seien sogar als positiv vorausgesetzt, so wird y/x = (r sin β)/(r cos β) = tan β
und man kann β = arctan(y/x) wählen.
Damit kann man ein Additionstheorem ’rückwärts’ anwenden:
x sin 2α − y cos 2α = r(cos β sin 2α − sin β cos 2α) = r sin(2α − β) = y +
29
gx2
.
v02
Es folgt
v02 y + gx2
v 2 y + gx2
= 0p
.
2
v0 r
v02 x2 + y 2
sin(2α − β) =
α und β liegen zwischen 0o und 90o , 2α − β also zwischen −90o und +180o . Rechts steht aber ein
positiver Wert, also kommt für 2α − β nur ein Wert zwischen 0o und 180o in Frage. Dann ist
2α − β = arcsin
v02 y + gx2
p
v02 x2 + y 2
oder 2α − β = 180o − arcsin
v02 y + gx2
p
.
v02 x2 + y 2
Im Falle der linken Formel wird(bei x > 0)
α=
1
y
1
v 2 y + gx2
arctan +
arcsin 0p
2
x
2
v02 x2 + y 2
garantiert zwischen 0o und 90o liegen, ist also eine akzeptable Lösung.
Sofern sie existiert. Der Arkussinus versagt seinen Dienst, wenn sein Argument größer wird als 1.
Das wird die Bedingung, die an x und y (als Paar) zu stellen ist, damit der Wasserstrahl durch
diesen Punkt geht. Die Stellen, wo der betreffende Bruch genau 1 wird sind offenbar die Genzen
des interessierenden Bereiches. Formulieren wir die Bedingung so um, daß wir x als vorgegeben
betrachten und die zugehörigen y bestimmen.
Also: Die Grenze ist beschrieben durch
v02 y + gx2
p
=1
v02 x2 + y 2
⇐⇒
v02 y + gx2 = v02
p
x2 + y 2
v04 y 2 + 2v02 ygx2 + g 2 x4 = v04 (x2 + y 2 ) .
⇐⇒
Es bleibt eine lineare Gleichung in y, die für dieses eine quadratische Funktion liefert:
2v02 x4 · y = v04 x2 − g 2 x4
⇐⇒
y=
gx2
v02
− 2 .
2g
2v0
Das ’nasse’ Gebiet liegt also unter einer nach unten geöffneten Parabel. Das ist von der Anschauung
her plausibel.
Einige kleine Kontrollen:
1. Man überzeuge sich, daß in der obigen Formel die Maßeinheiten korrekt aufgehen!
2. Sei α = 90o - der Strahl geht wie bei einem Springbrunnen senkrecht nach oben.
Ein Wasservolumen der Masse m besitzt beim Verlassen der Düse die kinetische Energie Ek =
mv02 /2. Im Gipfelpunkt seiner Flugbahn ist diese vollständig in die potentielle Energie mgy umgewandelt: mgy = mv02 /2, woraus y = v02 /2g folgt - gerade das Ergebnis der gewonnenen Formel im
Falle x = 0.
3. Wie lange gilt für die Grenze y ≥ 0? - Dann ist
v02
gx2
= 2
2g
2v0
⇐⇒
x=
v02
.
g
Auch das ist zunächst plausibel - mit Zunahme von v0 kann man weiter spritzen.
Setzt man nun das Wertepaar x = v02 /g und y = 0 in die Formel
α=
1
y
1
v 2 y + gx2
arctan +
arcsin 0p
2
x
2
v02 x2 + y 2
ein, so wird α = 21 arcsin 1 = 45o .
Das ist bekanntlich der Wurfwinkel, bei dem man (vorausgesetzt, es gibt keinen Luftwiderstand)
am weitesten wirft. Auch das hat sich richtig ergeben.
Andere Lösungsvariante: Die Fragestellung sei etwas abgeändert. Anstatt zu klären, ob ein Wasserstrahl durch einen gegebenen Punkt gehen kann sei geklärt, in welcher maximalen Höhe über einem
Wert x auf dieser Achse der Strahl verlaufen kann. Es wird also zu einem momentan fixierten x das
Maximum von y = y(x; α) bezüglich α bestimmt. Das ist dann aber gerade f (x).
Das Maximum wird wie üblich gefunden: Man differenziert nach α und setzt die Ableitung gleich
Null, was eine Bestimmungsgleichung für α ergibt.
dy
d
gx2
x
gx2 sin α
v02 x cos α − gx2 sin α
==
=
x · tan α − 2
=
−
2
dα
dα
2v0 cos2 α
cos2 α v0 cos2 α
v02 cos3 α
30
Der Zähler des letzten Bruches muß verschwinden, woraus sofort tan α = v02 /gx folgt. Den Wasserstrahl unter diesem Winkel losgeschickt kann man die senkrechte Gerade durch den betreffenden
Punkt x der Achse in maximaler Höhe benetzen.
√
Wie groß ist diese maximale Höhe? Bei 0o ≤ α < 90o ist cos α = 1/ 1 + tan2 α, also wird
v2
v4
v2
gx2
gx2
y = x · 0 − 2 · 1 + 20 2 = 0 − 2 .
gx 2v0
g x
2g
2v0
Es beruhigt, daß das Ergebnis dasselbe ist.
68. Der kleine Zeiger steht den Winkel α hinter ’halb’, der große denselben hinter ’viertel’.
Da sich der große Zeiger zwölfmal schneller bewegt als der kleine entspricht α, in Minuten (als
Zeiteinheit, nicht als Sechzigstel vom Grad) ausgedrückt, einem Zwöftel des seit der vollen Stunde
vom großen Zeiger zurückgelegten Winkels: 12α = 15 + α, woraus α = 15/11 folgt.
4
Es handelt sich also um sechs Uhr 16 11
Minuten.
69. Die lineare Funktion sei mx + n, dann ist ihr Quadrat m2 x2 + 2mnx + n2 .
In den quadratischen Polynomen sind jeweils zwei Koeffizienten gegeben, womit man zwei Gleichungen zur Bestimmung von m und n hat. Sind diese ermittelt, so kann man hieraus den dritten
Summanden und damit a bestimmen.
a)
2mn = −9 , n2 = 11
b) m2 = 5 , n2 = 2
=⇒
c) m2 = 8 , 2mn = 1
√
n = ± 11 ,
9
27
81
m=∓ √
=⇒ 3a = m2 =
, a=
44
44
2 11
√
√
√
√
a
m = ± 5 , m = ± 22 =⇒ − = 2mn = ±2 110 , a = ±14 110
7
√
1
3
1
=⇒ m = ± 8 , n = ∓ √
=⇒ − = n2 =
, a = −96
a
32
4 2
=⇒
70. Die gesuchte Zahl sei x, dann ist x − 1 durch die genannten Zahlen ohne Rest teilbar. Sie ist also ein
Vielfaches dieser Zahlen, und entsprechend der Aufgabenstellung hat man das kleinste gemeinsame
Vielfache zu nehmen:
2 = 2
3 =
3
4 = 2 ·
2
5
=
5
6
= 2 · 3
7
=
7
420
=
2
· 3
· 2
· 5
·
7
Man erhält x − 1 = 420, also ist die gesuchte Zahl 421.
Die 19 in der Bedingungung x > 19 ist willkürlich - damit soll nur die triviale Lösung x = 1
ausgeschlossen werden. Und wer sich dadurch ins Bockshorn jagen ließ sollte fürderhin klüger sein.
71. Die lineare Funktion sei mx + n, dann ist ihre dritte Potenz m3 x3 + 3m2 nx2 + 3mn2 x + n3 .
In den kubischen Polynomen sind jeweils zwei Koeffizienten gegeben, womit man zwei Gleichungen
zur Bestimmung von m und n hat. Sind diese ermittelt, so kann man hieraus die anderen beiden
Summanden und damit a und b bestimmen.
a)
3mn2 = −6 , n3 = −5
=⇒
√
3
n=− 5,
m=−
2
52/3
8
4
12
4
2a = m3 = −
, a=−
, −15b = 3m2 n = −
, b=
25
25
5
25
√
√
√
b) m = q2 , n = 1 , a = 2 2 , b = 15 2
4
c) m = 3 43 , n = −m , a = − 54 , b = 15
√
√
√
d) m = 1 , n = − 3 5 , a = − 37 3 5 , b = 3 3 5 − 2
e) m = −2 , n = 34 , a = 4 , b = 43
√
√
f) m = 1/ 3 4 , n = 7 3 4/3 , a = − 49
3 , b := 2744/27
31
=⇒
72. Die Seitenlängen des gesuchten Rechtecks seien a und b, dann ist 2a + 2b = U gegeben und F = a · b
soll maximal werden. Man hat
U
U
F =a·
− a = a − a2 = f (a) .
2
2
Die Funktion f (a) ist eine quadratische Funktion mit einem negativen Koeffizienten vor a2 , ihre
Kurve ist folglich eine nach unten geöffnete Parabel. Ihr Scheitelpunkt liefert das Maximum der
Funktion. Er befindet sich genau in der Mitte zwischen ihren offensichtlichen Nullstellen a1 = 0 und
a2 = U/2, d. h. in as = U/4.
Man erhält daraus bs = U2 − as = U2 − U4 = U4 = as .
Beide Seiten sind gleichlang. Das gesuchte Rechteck ist ein Quadrat.
Andere Variante: Die obige Lösung entspricht der Einstellung eines Kriminalisten: ’Ich suche in
einer gewissen Gruppe von Menschen den Täter.’
Eine andere Denkweise: ’Ich habe einen Verdächtigen. Ich muß nachweisen, daß er der Täter ist.’
Unter allen Rechtecken sind die Quadrate besondere Figuren.
Unter allen Rechtecken desselben Umfangs ist das mit der größten Fläche etwas Besonderes.
Vermutlich sind diese beiden Sonderlinge ein und derselbe Fall. (Verdacht!)
Was macht Inspector Columbo? Er bringt den Verdächtigen in eine sorgfältig konstruierte Situation,
in der er sich verrät.
Machen wir das mit dem Quadrat. Es hat die Seitenlänge a = U/4 und die Fläche a2 .
Dieses sei die Situation: Wir verlängern eine Seite um die Strecke b < a zu a + b. Es soll aber weiter
ein Rechteck mit demselben Umfang bleiben. Also müssen wir die Strecke b von der angrenzenden
Seite wegnehmen: a − b.
Dessen Fläche ist dann (a + b) · (a − b).
Jetzt kommt die Mathematik in Form der 3. binomischen Formel zum Zuge: (a+b)·(a−b) = a2 −b2 .
Nun kann man die zusammengetragenen Indizien auswerten: Das ursprüngliche Quadrat hatte die
Fläche a2 , das (bei b > 0) entstandene Rechteck mit a2 − b2 aber weniger!
Schlußfolgerung: Das Quadrat hat die größte Fläche.
Die erste Variante war konstruktiv - die Lösung wurde gewonnen. In der zweiten hatte man eine
mehr oder weniger begründete Vermutung und beweist ihre Richtigkeit. Das ist bisweilen einfach,
weil man ja das Ergebnis (vermutlich) bereits kennt.
73. Wenn ein Viertel der Daten nicht hineingeht, so muß man den Speicher also um ein Drittel vergrößern.
74. Offensichtlich kommt cos(x + 36o ) heraus, aber die Sache muß einen Achillesfersepferdefuß oder
irgendetwas in dieser Art haben.
Wohl dem, den dieser Verdacht beschlich! Wenn hier etwas sonderbar ist, so sind es die 36o Phasenverschiebung.
Obwohl - es ist nun mal [f (x + a)]0 = f 0 (x + a). Die Verschiebung des Arguments x um einen
konstanten Wert a verschiebt nur das Argument der Ableitung in analoger Weise.
Hier allerdings geschieht mehr als das: Die 36o sind eine Botschaft!
Sie lassen uns auf subtile Weise wissen, daß x im Gradmaß zu messen ist (sonst wäre die Summe
im Argument nicht korrekt), während die wohlbekannte Formel (sin x)0 = cos x ein Argument im
Bogenmaß voraussetzt.
Also rechne man die Funktion f (x) um in eine korrekte Sinusfunktion, deren Argument im natürlichen Bogenmaß angegeben ist (x bleibt im Gradmaß, man unterscheide also sinB und sinG ):
π
o
(x
+
36
)
=⇒
f (x) = sinG (x + 36o ) = sinB
180o
π
π
π
o
f 0 (x) =
cos
(x
+
36
)
=
cosG (x + 36o ) .
B
180o
180o
180o
Im letzten Ausdruck ist die Kosinusfunktion wieder von einem Argument im Gradmaß genommen.
Beispiel: Für eine kleine Änderung ∆x gilt bekanntlich ∆f ≈ f 0 (x) · ∆x.
Sei x1 = 7o und x2 = 8o mit ∆x = 1o , dann ist f (x1 ) = sin 43o = 0.681 998 und f (x2 ) = sin 44o =
0.694 658 mit ∆f = f (x2 ) − f (x1 ) = 0.694 658 − 0.681 998 = 0.012 660.
Weiterhin ist cos 43o = 0.731 353.
Im Bogenmaß ist ∆x = (π/180o ) · 10 = π/180 = 0.017 453 (das Gradzeichen wurde im letzten Bruch
32
nicht vergessen!) und man hat f 0 (x) · ∆x = 0.731 353 · 0.017 453 = 0.012 765 ≈ 0.012 660.
Nach der gewonnenen Formel hätte man
π
o
∆f ≈
cos
(x
+
36
)
· ∆x = (0.017 453 Grad−1 · 0.731 353) · 1o
G
180o
zu rechnen mit demselben Ergebnis. (Der Kehrwert von Grad läßt sich schlecht mit dem Symbol
dieser Maßeinheit schreiben.)
Die schlichte Formel cos 43o · 1o = 0.731 353o liefert völligen Unsinn.
√
√
R. Im ersten Fall hat man U1 + U2 = ± 63W · 4Ω = ±15.875V ,
75. Es ist P = U 2 /R oder U = P · √
im zweiten dagegen U1 − U2 = ± 14W · 4Ω = ±7.483V .
Eine der beiden Spannungsquellen ist betragsmäßig größer als die andere, denn sonst hätte man im
zweiten Fall die Leistung Null. Im ersten Fall haben dann beide Spannungen dasselbe Vorzeichen, im
zweiten verschiedene. In beiden Fällen hat die Gesamtspannung das Vorzeichen der betragsgrößeren
Spannung. Man muß also im entstandenen Gleichungssystem beide Wurzeln mit demselben Vorzeichen nehmen; sei es ’+’. Addiert man die Gleichungen U1 + U2 = 15.875V und U1 − U2 = 7.483V ,
so folgt 2 U1 = 23.358V , also U1 = 11.679V und daraus U2 = 4.196V .
Ein zweites Lösungspaar hat dieselben Werte, aber beide negativ. Ob die betragsgrößere oder
-kleinere Spannung umgepolt wurde ist nicht entscheidbar.
76. Gibt es nicht.
Angenommen, es existierte und hätte den Grad n, dann hätte 3[P (x)]3 + 2[P (x)]2 + P (x) + 1 den
Grad 3n = 10. Der Grad eines Polynoms ist aber eine natürliche Zahl und nicht 10/3.
77. Das Flugzeug muß die Erde in genau 24 Stunden umrunden, damit es stets dieselbe lokale Zeit
hat. In dieser Dauer legt es 19 200 km zurück, was einem Kreis mit dem Radius 19 200 km/ 2π
entspricht.
Ein Punkt P auf dem gesuchten Breitenkreis hat also den obigen Abstand zur Erdachse und 40 000
km/ 2π zum Erdmittelpunkt. Diese beiden Strecken und das dazwischen befindliche Stück Erdachse
bilden ein rechtwinkliges Dreieck. Für dessen Winkel α in P gilt cos α = 19200km/40000km oder
α = 61.3146o = 61o 180 5300 . Das ist dann aber auch der Winkel zwischen der Äquatorebene und der
Strecke zum Erdmittelpunkt, also die Festlegung des Breitenkreises.
(Den Radius der Erde und den jenes Kreises muß man nicht ausrechnen. Es reicht aus zu bedenken,
daß Radius und Umfang eines Kreises proportional sind.)
Anmerkung: Die obige Genauigkeit ist übertrieben, allein schon wegen der Abweichung der Erde
von der exakten Kugelform. Ein anderer Umstand wurde auch übersehen: Es wurde so gerechnet,
daß die Sonne vom Flugzeug aus gesehen dauernd an derselben Stelle am Himmel steht. Fliegt man
allerdings auf der Nachthälfte und fixiert man einen Stern, so hat der sich scheinbar bewegt! Die
Erde befindet sich auf einer Kreisbahn um die Sonne und legt darauf pro Tag einen Winkel von
360o /365.25 ≈ 1o zurück (gerechnet mit den Schaltjahren). Der Sternentag, an dem sich die Erde
genau einmal um sich selbst dreht, ist rund vier Minuten kürzer als der Sonnentag, jener ist also
rund vier Minuten länger. Auf den Sonnentag bezieht sich unsere Zeitrechnung. Genau hat man
24h/365.25d = 3.95min/d. Das Flugzeug fliegt also notgedrungen mehr als einmal um den Planeten,
nämlich 3.95min · 800km/h = 52.7km mehr. Diesen Wert muß man vom Kreisumfang abziehen,
denn diese Teilstrecke wird zweimal durchflogen. Damit muß man also cos α = (19200 − 52.7)/40000
rechnen, was α = 61.4006o = 610 240 200 bedeutet.
Man hat die Flugbahn also um 61.4006o −61.3146o = 0.0860o nach Norden (oder Süden) zu verlegen,
was einer Strecke von 40000km · 0.0860o /360o = 9.56km entspricht.
78. Alle drei Ergebnisse sind falsch.
a) Offensichtlich, denn die letzte Ziffer des Quadrats muß eine 6 sein.
b) Wenn eine Quadratzahl mit 9... beginnt, so beginnt ihre Wurzel entweder mit 3... oder mit 9... .
c) Hier ist der Einsatz des Taschenrechners vertretbar.
79. Das dritte Keplersche Gesetz lautet(e): ’Die Quadrate der Umlaufzeiten zweier Planeten verhalten
sich wie die Kuben1 der mittleren Entfernung zur Sonne.’ Statt Sonne ist hier die Erde zu nehmen,
deren Mittelpunkt der Mittelpunkt der offenbar kreisförmigen Satellitenbahn ist (sonst würde das
zweite Keplersche Gesetz zuschlagen!) und den wir kühn zum Mittelpunkt der Mondbahn erklären
(was allerdings nicht stimmt, aber es soll sich ja um eine Überschlagsrechnung handeln).
1 d.
h. die dritten Potenzen
33
Die Bahnradien seien RS und RM von Satellit und Mond entsprechend, die Umlaufzeiten hingegen
2
3
TS und TM . Man hat TM
: TS2 = RM
: RS3 und daraus
s
T2
RS = RM · 3 2S .
TM
Nun ist TS gerade ein Tag. Die Umlaufzeit TM ist ein astronomischer Monat, aber welcher - der
siderische, synodische, drakonitische oder tropische oder noch etwas anderes?
Nehmen wir (Überschlag!) einfach für TM den Wert von 27 Tagen, diese Zahl hat drei Vorteile: 1)
Sie ist halbwegs im Bereich all jener Angaben, 2) sie stimmt mit keiner von jenen genau überein,
was das Gerechtigkeitsgefühl beruhigt und 3) ist sie eine Kubikzahl, was das Ziehen der dritten
Wurzel außerordentlich erleichtert.
Damit bleibt (die Maßeinheit Tag kürzt sich heraus)
r
380 000km
380 000km
12
3
=
=
≈ 42 000km .
RS = 380 000km ·
272
32
9
Aus den Medien weiß man vermutlich, daß die Satelliten, die uns mit den Fernsehprogrammen
und anderen Segnungen der Zivilisation versorgen, in einer Höhe von rund 36 000km über unseren
Köpfen ihre Bahn ziehen. Also war der Überschlag doch recht ordentlich: Diese 36 000km plus rund
6 000km Erdradius ergibt obiges Resultat.
80. a) Man verbinde den Mittelpunkt des zentralen Kreises mit den Mittelpunkten zweier benachbarter anliegender Kreise und letztere miteinander, dann entsteht ein gleichseitiges Dreieck. Dessen
Innenwinkel betragen 60o und man kann deshalb sechs Stück mit einer gemeinsamen Ecke aneinanderlegen. Damit gibt es sechs Umkreise.
b) Der Radius des inneren Kreises sei R, die angelegten Kreise haben die Radien r < R. Analog gebildete Dreiecke haben im Zentrum des Mittelkreises einen Winkel von 360o /7. Bilden wir dort noch
die Winkelhalbierende, so geht diese durch den Berührungspunkt der beiden anliegenden Kreise, ist
dort also eine Tangente an diese. Der Radius aus dem Berührungspunkt steht senkrecht auf dieser
Tangente, also bilden die Winkelhalbierende, die Verbindung der Mittelpunkte des zentralen und
eines anliegenden Kreises und jener Radius ein rechtwinkliges Dreieck mit der Hypotenusenlänge
R + r. Damit ist
sin
r
1
360o
=
=
14
R+r
1 + R/r
o
=⇒
sin 360
r
14
=
o = 0.766 422 .
R
1 − sin 360
14
81. Viele Schüler verlassen die Schule mit der anerzogenen oder zumindest nicht bekämpften Gewohnheit, bei Rechenaufgaben zunächst erst einmal alle verfügbaren Zahlen in die vorhandenen Formeln
einzusetzen. Gedacht wird - wenn überhaupt - erst danach.
Im vorliegenden Fall (und in vielen anderen) rächt sich das. Hier nur durch unnötiges Rechnen, bei
anderen Aufgaben auch noch dadurch, daß man im Wust der Zahlen die inhaltlichen Zusammenhänge nicht erkennt, die sich einem bei Buchstabenrechnung offenbart hätten. Es geht darum, eine
längenbezogene Leistung pL in eine flächenbezogene Leistung pF umzurechnen. Die Leistung P ist
in beiden Fällen dieselbe:
P = pL · L = pF · F
=⇒
pL · 2(a + b) = pF · (a2 − b2 )
=⇒
pL · 2(a + b)
2 pL
2 · 90mW · mm−2
=
=
= 4mW · mm−2
2
2
a −b
a−b
45mm
Die binomische Formel sei ein weiteres Mal gepriesen!
pF =
82. Es muß gelten
0.81 A + 0.53B = 0.72(A + B)
⇒
0.09A = 0.19B
⇒
A : B = 19 : 9
83. Wo liegt das Problem ???
Es handelt sich um eine Differenz. Um diese zu ermitteln berechne man den Wert von Minuend und
Subtrahend und ziehe ab, fertig.
Die meisten Taschenrechner dürften das Ergebnis 0 liefern. Wenn man sich die Aufgabe noch einmal
gründlich ansieht, so stellt man fest, daß beim zweiten Produkt der erste Faktor des ersten Produkts
34
um 1 verkleinert und der zweite um 1 vergrößert wurde.
Es ist klar, daß dann dasselbe Produkt herauskommt.
Wohl dem, bei dem dann die innere Stimme ein warnendes ’Naaa!?’ flüstert. Stimmt das?
Man kann versuchen, dies allgemein zu beweisen. Einfacher ist es, einfach mit überschaubaren Zahlen
zu probieren. Wenn es bei einem Zahlenpaar stimmt, so ist damit aber noch nichts entschieden. Wenn
es bei einem Zahlenpaar nicht stimmt, so ist diese Vermutung als allgemeine Aussage falsch. Wenn
es bei fünf Zahlenpaaren stimmt, so trifft die Aussage vermutlich zu. Dann lohnt es sich eventuell,
über ihren allgemeinen Beweis nachzudenken.
Die Aussage ’Wenn man bei einem Produkt einen Faktor um 1 vergrößert und den anderen um 1
verkleinert, so ändert sich der Wert des Produktes nicht.’ sei am Produkt 3 · 3 überprüft:
3 · 3 = 9, aber 4 · 2 = 8.
Also ist die Aussage falsch.
Wer trotz hochentwickelter Taschenrechner u. ä. in der Schule beim Rechnen sein Hirn weiterlaufen
ließ wird vielleicht die folgende Beobachtung gemacht haben: Das Produkt zweier ungerader Zahlen
ist stets ungerade, das zweier gerader dagegen gerade. Wenn man weiter bedenkt, das die Addition
oder Subtraktion von 1 aus einer ungeraden Zahl eine gerade macht und umgekehrt, der weiß sofort,
daß die vorige Behauptung nicht stimmen kann.
Und wer auf die Idee kommt, den zu verringernden Faktor mit 1 anzusetzen, der braucht zu ihrer
Widerlegung nicht einmal zu rechnen.
Wenn diese Aussage also allgemein falsch ist, so könnte sie doch in konkreten Fällen zutreffen. Ist
dies vielleicht so einer?
Nein. Das erste Produkt ist offenbar gerade und das zweite ungerade, also ist ihre Differenz garantiert
nicht gleich 0.
Es seien x, y Zahlen, für die xy = (x − 1)(y + 1) = xy − y + x − 1 gilt. Dann ist 0 = −y + x − 1, also y = x − 1.
Man stelle sich diese Gerade im Koordinatensystem vor! Tatsächlich ist z. B. 18 · 17 = 17 · 18.
Die Zahlen unseres Problems genügen dieser Bedingung nicht.
Der Taschenrechner hat sich also verrechnet. Halt!! Nicht an die Wand werfen!
Angeblich hingen in den Bars der Goldgräbersiedlungen im Wilden Westen, wo sich die 49s nach harter Arbeit des
Abends erholten, Emailleschilder mit der Aufschrift: Bitte nicht auf den Pianisten schießen, er spielt so gut er kann!
Es ist keine Schande, an einer Aufgabe zu scheitern, für die man nicht gemacht ist. Außer Konkurrenz
sei vermeldet:
54 053 472 · 54 053 438 = 2 921 775 997 436 736 .
Was liest man in der Beschreibung des Taschenrechners, sofern noch vorhanden? Z. B. dieses: ’Das
Gerät rechnet intern mit etwa zwölfstelligen Dezimalzahlen und zeigt zehn Stellen an.’ (Das ist ein
recht ordentlicher Taschenrechner.) Nanu, was soll das ’etwa’ ? Sind die Konstrukteure nicht in der
Lage, korrekt bis 12 zu zählen? - Nun, intern rechnet der Taschenrechner nicht dezimal, sondern dual.
1012 ist aber keine Zweierpotenz, vielmehr gilt log2 1012 = 239.8631... . Es könnte gemeint sein, daß der
Taschenrechner eine Mantissenlänge von 40 bit, also 5 Byte, besitzt: 240 = 1 099 511 627 776 6= 1012 .
Daher das ’etwa’ .
Wie dem auch sei, nach der obigen Produktbildung stehen im Gerät dann nur die ersten zwölf
Ziffern des Produkts, in dezimaler Sprechweise also 2.92177599744 · 104 - bis zur Tausenderstelle ist
alles weggerundet. Anscheinend unterscheiden sich die beiden Produkte aber nur in diesen letzten
Stellen.
Der Fakt, daß sich eine konkrete Rechnung nicht wie gewohnt an den Taschenrechner delegieren
läßt, versetzt die meisten rezenten Menschen in einen hilflosen Stupor. Ziel dieser kleinen Aufgabe
ist es, einen Ausweg zu weisen. Es sei vorab verraten: Man kann dazu die Mathematik nutzen.
Wenn die Lösung der Aufgabe so wichtig ist, daß sie fast jeden Aufwand rechtfertigt, so kann man
zur Not auf die Technik der Vor-Taschenrechner-Zeit zurückgreifen:
35
54053472 · 54053438
432427776
162160416
216213888
162160416
270267360
216213888
270267360
2921775997436736
Bei dieser Art der Multiplikation wurde ein Faktor maximal zerlegt. Man muß nicht in dieses Extrem
verfallen - bei Symbiose von Mensch und Taschenrechner kann man so vorgehen:
54053472 · 54053438 = (54050000 + 3472) · (54050000 + 3438) =
= 2921402500000000 + 185823900000 + 187661600000 + 11936736
Die vierstelligen Zahlen wurden vom Taschenrechner multipliziert, die Nullen per Hand gesetzt. Der
Aufwand ist etwas geringer.
Mit etwas abstrakten Denken geht es aber deutlich einfacher. Wie schon festgestellt wurde: Beim
zweiten Produkt wurde der erste Faktor des ersten Produkts um 1 verkleinert und der zweite um 1
vergrößert. Damit ist
54053472·54053438−54053471·54053439 = (54053472·54053438)−(54053472−1)·(54053438+1) =
= 54053472 · 54053438 − (54053472 · 54053438 + 54053472 − 54053438 − 1) = −(72 − 38 − 1) = −33
Das große Produkt kommt doppelt vor und hebt sich weg, man muß es nicht ausrechnen!
Frohlocket, das technische Problem hat sich in Wohlgefallen oder irgend etwas anderes NichtUmweltschädigendes aufgelöst!
Bei den beiden mittleren Summanden kann man die vorderen sechs Stellen streichen, bevor man
subtrahiert.
Es gehört zu den Merkwürdigkeiten der Mathematik, daß es bisweilen einfacher ist, alle Aufgaben
eines gewissen Typs zu lösen statt einer.2 Hier kann man die Schreibarbeit drastisch reduzieren,
indem man die Faktoren des ersten Produkts statt mit acht Ziffern (bei deren Abschreiben man
aufpassen muß) mit je einem Buchstaben schreibt:
ab − (a − 1)(b + 1) = ab − (ab − b + a − 1) = b − a − 1 .
Das ist die Umformung eines Problems in eine bequeme Rechenformel. In diese kann man nun
a = 54053472 und b = 54053438 einsetzen und das Ergebnis finden.
Ein etwas anderer Weg, basierend auf zwei zwei so simplen Erkenntnissen, daß sie vermutlich im
Mathematikunterricht der Schule keine Rolle spielen:
- Die kleinere von zwei Zahlen ist um soviel kleiner als das arithmetische Mittel der beiden, wie die
größere größer ist.
- Wenn man die eine der beiden um einen gewissen Betrag verringert und die andere um denselben
Betrag vergrößert, so haben die neuen Werte dasselbe arithmetische Mittel wie die alten.
Das sind abstrakte Formulierungen äußerst primitiver Sachverhalte.
Das arithmetische Mittel der ersten beiden Werte ist nun
54053472 + 54053438
m =
= ... .
2
So bitte nicht! Das ist zwar die Vorschrift, aber es gibt noch andere Wege.3
Hier hat man 72 − 38 = 34 = 2 · 17 = 2 d und damit ist das genannte Mittel
m = 54053472 − 17 = 54053438 + 17 = 54053455 .
2 Das
hängt mit der Natur der Mathemtik zusammen - sie ist abstrakt. Bei der Behandlung eines Problems wird also
nur dessen Wesen betrachtet und für die Sache unwesentliche Besonderheiten blendet man aus. So vernebeln sie nicht den
Blick auf dieses Wesen.
3 In der Schulformelsammlung steht die richtige Formel a/b + c/d = (ad + bc)/bd. Ich erlebe immer wieder Rechnungen
der Form 3/4 + 5/8 = 44/32.
Für ein 1907 erstmals verkauftes Waschmittel wurde in der Vorkriegszeit mit Emailleschildern mit dem Aufdruck ’Es gibt
nur ein Persil’ geworben. Warum nicht?
In der Mathematik kann man selten sagen: Es gibt nur einen Weg.
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Übrigens wird dieser Wert nicht gebraucht.
Jedenfalls hat man (3. binomische Formel, mehrfach und obendrein rückwärts benutzt!)
54053472 · 54053438 − 54053471 · 54053439 = (m + d)(m − d) − [m + (d − 1)] · [m − (d − 1)] =
= [m2 −d2 ]−[m2 −(d−1)2 ] = (d−1)2 −d2 = [(d−1)−d]·[(d−1)+d] = (−1)·(2d−1) = −(2·17−1) = −33
Überdenken Sie also diese Aussage nochmals: Es handelt sich um eine Differenz. Um diese zu ermitteln berechne man den Wert von Minuend und Subtrahend und ziehe ab, fertig.
Zunächst war ja mein Fleiß nicht der beständigste gewesen, doch nahm er mit meinen
Fortschritten zu und war alsbald zu solch brennendem Eifer entfacht, daß oft genug
das Licht der Sterne im Dämmer des Morgens verblaßte, während ich noch in meiner
Studierstube wach saß.
Mary W. Shelley,
Frankenstein
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