Fortgeschrittenen-Praktikum

Versuch 26
Hall-Eekt in Halbleitern
Gruppe 747
Fortgeschrittenen-Praktikum
Autor:
Matthias Hocker
Mail: [email protected]
Unterschrift:...........................................
Autor:
Johannes Deutsch
Mail: [email protected]
Unterschrift:...........................................
Betreuer: Dr. Wolfgang Limmer
Versuchsdatum: 22.10.2009
Abgabedatum: 11.11.2009
1
Hall-Eekt in Halbleitern
2. Dezember 2009
Johannes Deutsch | Matthias Hocker
Inhaltsverzeichnis
1 Einleitung
3
2 Theoretische Grundlagen
2.1 Elektronische Bandstruktur . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2 Ladungsträgerdichte im intrinsischen Halbleiter . . . . . .
2.3 Ladungsträger im dotierten Halbleiter . . . . . . . . . . .
2.4 Bewegung von Ladungsträgern im elektrischen Feld . . . .
2.5 Bewegung von Ladungsträgern im gekreuzten elektrischen
schen Feld . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.6 Der Hall-Eekt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4
4
7
10
14
. . . . . . . . .
. . . . . . . . .
. . . . . . . . .
. . . . . . . . .
und magneti. . . . . . . . . 16
. . . . . . . . . 17
3 Versuchsaufbau und Messmethoden
3.1 Van-der-Pauw-Methode . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.1.1 Spezischer Widerstand . . . . . . . . . . . . . . . .
3.1.2 Hall-Koezient . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.2 Methode und Aufbau der Messung nach der Firma Keithley
3.2.1 Widerstandsmessung . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.2.2 Hall-Koezient . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.3 Versuchsaufbau . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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.
19
20
20
21
22
22
24
25
4 Auswertung
4.1 Vorbereitende Messungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.1.1 Kalibrierung des Elektromagneten . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.1.2 Probenkontakte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.1.3 Orientierung der Probe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.1.4 Magnetfeldabhängigkeit des spezischen Widerstands und Hallkoezienten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.2 Bestimmung von Ladungsträgerdichte und Beweglichkeit . . . . . . . . . .
4.3 Simulation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.4 Fehlerdiskussion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
28
28
28
29
30
5 Anhänge
36
6 Verzeichnisse
37
2
31
33
34
36
Hall-Eekt in Halbleitern
2. Dezember 2009
Johannes Deutsch | Matthias Hocker
1 Einleitung
In diesem Versuch im Fortgeschrittenenpraktikum wollen wir uns mit dem Hall-Eekt,
der temperaturabhängigen Ladungsträgerdichte n, der Beweglichkeit µ der Ladungsträger und dem spezischen Widerstand ρ einer mit Antimon (Sb) n-dotiertem Siliziumprobe
beschäftigen.
In Kapitel 2 werden die Begrie, Variablen und Formeln eingeführt und erklärt. Wir
beginnen hierbei mit der stationären Schrödingergleichung und der elektronischen Bandstruktur. Von der Ladungsträgerdichte im intrinsischen Halbleiter werden wir die Ladungsträgerdichte im dotierten Halbleiter ableiten. Für den Halleekt müssen wir die
Bewegungen von Ladungsträgern in elektrischen und magnetischen Feldern verstehen
und die erforderlichen Formeln herleiten.
Im 3. Kapitel wird der Versuchsaufbau beschrieben, also die Methode nach van-der-Pauw
erklärt sowie die Erweiterung der Firma Keithley, mit deren Geräten wir gearbeitet haben.
Das 4. Kapitel beinhaltet die Auswertung und die Darstellung der Messergebnisse.
3
Hall-Eekt in Halbleitern
2. Dezember 2009
Johannes Deutsch | Matthias Hocker
2 Theoretische Grundlagen
2.1 Elektronische Bandstruktur
Betrachten wir die Elektronen eines Halbleiters, sehen wir, dass sie sich in einem eektiven
periodischen Potential V (~r) bewegen und einer Wechselwirkung mit sich selbst und den
positiv geladenen Atomrümpfen unterliegen. Die stationäre Schrödingergleichung, die aus
der Quantenmechanik bekannt ist, gibt uns die möglichen Energieeigenwerte.
~2
−
∆ + V (~r) · ψ(~r) = E · ψ(~r)
2m
(1)
Die Lösung lieferte uns die Bloch-Funktion:
~
ψ(~r) = ψ~k (~r) = u~k (~r) · ei·k·~r
(2)
~k ist ein quantisierter Wellenvektor und u~ (~r) eine gitterperiodische Funktion. ei·~k·~r bek
zeichnet den Phasenfaktor. Stellen wir die Ergebnisse in einem Bänderschema dar, so
ergibt sich die Abb. (1) und Abb. (2)
Abbildung 1: Bandstruktur GaAs[Iba]
4
Hall-Eekt in Halbleitern
2. Dezember 2009
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Abbildung 2: Bandstruktur Si[Iba]
Hierbei ist die Energie E über dem Wellenvektor ~k dargestellt, in der ~k-Achse sind auch
noch die Punkte L, Γ, X und U, K eingezeichnet. Deutlich erkennbar ist in dieser Abbildung das Valenzband, das Leitungsband und dazwischen die charakteristische Bandlücke
Egap . Innerhalb dieser Bandlücke können keine elektronischen Zustände existieren. Typisch für einen Halbleiter ist, dass bei 0K das Valenzband komplett besetzt bzw. das
Leitungsband leer ist und der Halbleiter damit zum Isolator wird.
Abbildung 3: Gitteraufbau, verschiedene wichtige Punkte sind erkennbar [Internet 1]
Man unterscheidet zwei Arten von Halbleitern: direkte und indirekte Halbleiter. Direkt ist
ein Halbleiter, wenn das Minimum des Leitungsbandes genau überhalb des Maximums des
5
Hall-Eekt in Halbleitern
2. Dezember 2009
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Valenzbandes, am Γ-Punkt (~k = 0), liegt. Bei indirekten Halbleitern ist eine Verschiebung
erkennbar. Das Minimums des Leitungsbandes liegt nicht mehr über dem Maximum des
Valenzbandes, sondern an unterschiedlichen Stellen des ~k-Vektors im reziproken Raum.
GaAs ist ein direkter Halbleiter, Silizium und Germanium sind indirekte Halbleiter, wie
in den Abb. (2) erkennbar ist.
Typische Gröÿen für die Bandlücke liegen im eV -Bereich.
Tabelle 1: Typische Gröÿen für Bandlücken[hall]
Material/Temperatur
Ge
Si
GaAs
0K
300K
0, 74eV
0, 66eV
1, 17eV
1, 12eV
1, 52eV
1, 42eV
In Abb. (3) sind die Punkte hoher Symmetrie in der Brillouin-Zone eines Gitter eingezeichnet. Gut erkennbar ist der Γ-Punkt in der Mitte der Brillouin-Zone und die Punkte
U und K , die bei Rotation, bzw. Aneinanderreihung von mehreren Zellen deckungsgleich
sind.
Betrachten wir nun die Bandstruktur des Valenzbandes in der Nähe des Γ-Punktes. Die
Struktur ist deutlich komplizierter als die des Leitungsbandes.
Abbildung 4: Entartung am Gamma-Punkt[Iba]
Das obere Band lässt sich in leichte (lh) und schwere (hh) Löcher unterteilen. In der
qualitativen Abb. (4) ist zu erkennen, dass die beiden Bänder am Γ-Punkt entartet sind.
Der dritte Ast ist aufgrund der Spin-Bahn-Wechselwirkung energetisch abgesenkt.
In der Nähe des Minimums des Leitungsbandes kann man E(~k) in eine Taylor-Reihe um
k0 parabolisch nähern.
1
1
~2 1
2
2
2
~
E(k) =
(kx − k0x ) +
(ky − k0y ) +
(kz − k0z )
2 mx
my
mz
6
(3)
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Die Flächen konstanter Energie sind Rotationsellipsoide. Sie werden in Abb. (5) dargestellt. Die Halbachsen errechnen sich aus den richtungsabhängigen Massen mi .
Abbildung 5: Flächen konstanter Energie[Iba]
Die Masse ist somit ein Tensor 2. Stufe und berechnet sich zu:
1 ∂ 2 E(~k)
~2 ∂kj ∂ki
(4)
1
→)−1~k
E(~k) = ~k t (←
m
2
(5)
1
m
=
ij
Die Energie lässt sich nun darstellen als:
Dies ist äquivalent zum freien Teilchen, bei dem im Massentensor auf der Hauptdiagonalen die reziproke Masse steht und sonst nur 0. Die eektive Masse kann in longitudinale
Masse (ml , entlang der Rotationsachse) und transversale Masse (mt , senkrecht zur Rotationsachse) unterteilt werden.
2.2 Ladungsträgerdichte im intrinsischen Halbleiter
In einem intrinsischen Halbleiter können freie Elektronen nur durch Anregung aus dem
Valenzband in das Leitungsband zustandekommen. Ist das Elektron in das Leitungsband
gewechselt, bleibt ein Loch im Valenzband übrig. Durch diese Anregung hängt die Ladungsträger der Elektronen n und der Löcher p von der Temperatur ab. Die Besetzung
folgt nach der Fermi-Dirac-Statistik, ähnlich den Fermionen in der Quantenstatistik.
fF D (E, T ) =
1 + exp
1
E−EF
kT
(6)
Die Ladungsträgerdichte berechnet sich dann zu:
Z∞
n = DC (E)f (E, T ) dE ,
ZEV
DV (E)[1 − f (E, T )] dE.
p=
−∞
EC
7
(7)
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Bei p werden alle Zustände besetzt, die bei n nicht besetzt sind, deswegen muss die Verteilungsfunktion von 1 abgezogen werden. EC bezeichnet die Unterkante des Leitungsbandes
(conduction band) und EV dementsprechend die Oberkante des Valenzbandes (valence
band). DC (E) ist die Zustandsdichte des Leitungsbandes und DV (E) die Zustandsdichte
des Valenzbandes.
Abbildung 6: Zustandsdichtefunktionen für 1D, 2D und 3D[Sauer]
In Abb. (6) sind die Zustandsdichtefunktionen für 1D, 2D und 3D aufgetragen.
Die Zustandsdichte ist im eindimensionalen Fall D(E) ∝ √1E , im zweidimensionalen Fall
konstant und im Dreidimensionalen gilt hier:
q
2m3de p
DC (E) = MC ·
E − EC ,
π 2 ~3
q
2m3dh p
DV (E) =
EV − E
π 2 ~3
(8)
mde = (ml · m2t ) 3 ist die eektive Masse von Elektronen in Silizium. mdh = (mlh +
3/2
mhh )2/3 ist dementsprechend die eektive Zustandsdichtemasse der Löcher.
MC ist die Anzahl der äquivalenten Leistungsbandminima, wie man in Abb.5 erkennen
1
3/2
kann.
Eingesetzt in die Integrale ergeben diese:
2
n = NC √ F1/2
π
EF − EC
kT
,
8
2
p = NV √ F1/2
π
EV − EF
kT
(9)
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Die eektiven Zustandsdichten NC und NV (11) vereinfachen die Darstellung des Lösung,
ebenso wie das Fermi-Dirac-Integral (10)
1
Fj (x) =
Γ(j + 1)
Z∞
tj
dt
1 + exp (t − x)
(10)
0
Abbildung 7: Fermi-Dirac-Integral[Sze]
−EC
In Abb. (7) ist ein Fermi-Dirac-Integral F1/2 ( EF kt
) aufgetragen.
NC = 2MC
2πmde kT
h2
3
2
,
NV = 2
2πmdh kT
h2
3
2
(11)
Da diese Funktionen aber analytisch nicht mehr lösbar sind, verwendet man oft die
Annäherung der Fermi-Dirac-Statistik (6) durch die Boltzmann-Statistik, wenn gilt:
kT (EC − EF ) ,
kT (EF − EV ),
also die Exponentialfunktion im Nenner überwiegt. Dann vereinfachen sich die Gleichungen in (9) zu:
n = NC
EC − EF
exp −
kT
,
p = NV
EF − EV
exp −
kT
(12)
Bei konstanter Temperatur T ist die Fermi-Energie genau so groÿ, dass sich Ladungsneutralität einstellt, also n = p = ni . Setzt man also die beiden Gleichungen aus (12) ein, so
9
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ergibt sich für die Fermi-Energie:
EF =
EC + EV
kT
+
ln
2
2
NV
NC

=

EC + EV
3kT  mdh 
+
ln
2
2
4
m M3
de
(13)
C
Die Fermi-Energie bendet sich näherungsweise in der Mitte der Bandlücke Eg und wird
durch den logarithmierten Quotienten von NV und NC von der Mitte verschoben. Unabhängig von der Fermi-Energie kann man die intrinsische Ladungsträgerdichte ni auch
√
über ni = n = p → ni = n · p berechnen.
3
1
p
4
3
Eg
−Eg
15 mde mdh
2
2
= 4, 9 · 10
cm−3 (14)
ni = NC NV exp
MC T exp −
2kT
2kT
m20
2.3 Ladungsträger im dotierten Halbleiter
Deutlich gröÿere Ladungsträgerkonzentrationen werden aber bei nicht reinen Stoen festgestellt.
Abbildung 8: n-dotierter und p-dotierter Halbleiter, am Beispiel eines Donators (a) und
eines Akzeptors (b)[Iba]
Sie können bei der Produktion verunreinigt worden sein. Durch die höhere Ladungsträgerkonzentrationen werden sie aber meist absichtlich dotiert. So lassen sich im Vergleich
zu intrinsischen Halbleitern (ni ≈ 106 cm−3 ) deutlich höhere Konzentrationen im Bereich
n ≈ 1017 cm−3 erreichen. In Abb. (8) ist als Beispiel in (a) eine Siliziumstruktur mit
einem Phosphor-Atom als Störstelle zu sehen. Phosphor besitzt in der äuÿeren Schale ein
Elektron mehr als Silizium, sodass das überzählige Elektron mit geringer Energiezufuhr
abgespaltet werden kann und somit als Leitungselektron zur Verfügung steht. Das zweite
Bild (b) zeigt ein mit Bor p-dotiertes Siliziumgitter. Bor besitzt ein Elektron weniger
als für die Bindung im Si-Kristall notwendig wäre und eignet sich somit als Akzeptor,
der leicht ein weiteres Elektron aufnehmen kann. Da die Ionisierungsenergie des Wasserstoatoms bekannt ist, kann man mit der Gl. (15) die Bindungsenergie eines n-dotierten
Halbleiters abschätzen.
10
Hall-Eekt in Halbleitern
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m0 e4
= 13, 6eV
2(4πε0 ~)2
EH =
(15)
Ersetzt man die Masse des freien Elektrons durch die eektive Masse und die Dielektrizitätskonstante im Vakuum durch die Dielektrizitätskonstante des Halbleiters mit
mce = 3
1
1
1
+
+
mx my
mz
−1
(16)
und
ε0 → ε0 · εs .
Somit ergibt sich für die Ionisierungsenergie eines Donators die Gleichung:
Ed ≈
1
εs
2 mce
m0
EH
(17)
Für unsere Messung mit einer mit Antimon dotierten Siliziumprobe ergibt sich ein Wert
von Ed = 43meV .
Die Dichte ND+ der ionisierten Donatoren lässt sich ausdrücken als:
+
=
ND
ND
−ED
1 + gD · exp EFkT
(18)
Analog gilt für die Dichte der Akzeptoren:
NA− =
NA
−EF
1 + gA · exp EAkT
(19)
Hierbei ist ND und NA die Dichte aller Donatoren und Akzeptoren. Zu beachten ist
hierbei, dass kleine Buchstaben bei den Indizes für eine Dierenz stehen, also Ed =
EC − ED und Ea = EA − EV . g ist der Entartungsfaktor, der für Donatoren mit gD = 2
und für Akzeptoren mit gA = 4 gegeben ist.
In Abb. (9) sind die schematischen Banddiagramme dargestellt, in denen auch die jeweiligen Valenz- und Leitungsbänder erkennbar sind. In der zweiten Spalte sind die Zustandsdichten aufgetragen, inklusive der Peaks bei NA bzw. ND . Bei der in der dritten Spalte
dargestellten Fermi-Dirac-Verteilungen ist der Durchgang der Verteilung bei der FermiEnergie erkennbar. In den letzten Diagrammen ist die Ladungsträgerkonzentration unter
dem Produkt von Zustandsdichte und Fermi-Dirac-Verteilung schraert dargestellt.
Für den Fall reiner n-Dotierung muss die Ladungsneutralität erhalten bleiben, sodass
gilt:
+
n = ND
+p
11
(20)
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Abbildung 9: Schematische Banddiagramme(1.Spalte), Zustandsdichten, Fermi-DiracVerteilungen und Ladungsträgerkonzentrationen für: (a) intrinsischer Halbleiter, (b) n- und (c) p-dotierter Halbleiter im thermischen Gleichgewicht
[Sze]
Unter Verwendung von Gl(12) und (18) kann man (20) schreiben als:
EC − EF
ND
EV − EF
+ NV exp
NC exp −
=
−ED
kT
kT
1 + 2 exp EFkT
Die Fermi-Energie kann nun numerisch berechnet werden.
Alternativ kann EF auch graphisch bestimmt werden.
12
(21)
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Abbildung 10: Graphische Bestimmung der Fermi-Energie [Sze]
Bei niedrigen Temperaturen spielt die intrinsische Leitfähigkeit keine Rolle, so dass sich
Gl. (20) zu n ≈ ND+ vereinfacht.
n≈
ND
Ed
1 + 2 NnC exp kT
(22)
Da n auf beiden Seiten der Gleichung vorkommt, kann man n als Lösung der quadratischen Gleichung schreiben.
"
n ≈ 2ND 1 +
s
ND
1+8
exp
NC
Ed
kt
#−1
(23)
Diese Gleichung (23) kann man für die Grenzfälle hoher und niedriger Temperatur betrachten.
ˆ niedrige Temperatur: Hier sind nur wenige Donatoren ionisiert. Man nennt dies
Störstellenreserve. Aus (23) folgt dann:
1 p
Ed
n≈ √
ND NC exp −
2kT
2
13
(24)
Hall-Eekt in Halbleitern
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ˆ hohe Temperatur: Mit hoher thermischer Energie sind auch fast alle Donatoren
ionisiert. Man nennt dies Störstellenerschöpfung. Aus (23) folgt dann:
n ≈ ND
(25)
Diese Funktionen wurden in Abb. (11) gezeichnet. Eingezeichnet wurden die Störstellenreserve (freeze-out-range) und die Störstellenerschöpfung (Saturation-range).
Abbildung 11: Arrheniusplot der Theoriekurve[Sze]
2.4 Bewegung von Ladungsträgern im elektrischen Feld
Paul Karl Ludwig Drude entwickelte um 1900 die Theorie des Elektronengases, also der
Theorie der Elektronen in Metallen. Mithilfe dieser Annahme und den Newton'schen
Bewegungsgleichungen erhalten wir für Bewegungen von Elektronen im elektrischen Feld
E die Gleichung:
m·
dv m
+
· vd = −e · E
dt
τ
14
(26)
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τ ist die Zeit zwischen zwei Stöÿen, auch Ralaxationszeit genannt, m
τ ·vd der Reibungsterm
dv
und m · dt die klassische Newton'sche Bewegung. Zwischen der Relaxationszeit, bzw. der
mittleren Zeit zwischen zwei Stöÿen, und der Driftgeschwindigkeit vd = v − vtherm gibt
es einen linearen Zusammenhang.
Für uns ist hier der stationäre Fall wichtig. Ändert sich die Geschwindigkeit nicht, so
vereinfacht sich Gl. (26) zu:
vd = −
eτ
· E := −µ · E
m
(27)
Hierbei wurde die Beweglichkeit µ deniert als:
µ=
eτ
m
(28)
Damit kann man die Stromdichte j schreiben als:
j = −envd = enµE
(29)
j =σ·E
(30)
Das Ohmsche Gesetz lautet:
Nun setzt man Gl.(29) mit Gl.(30) gleich und löst nach σ auf.
σ = enµ =
e2 nτ
m
(31)
Abbildung 12: Schematische Abhängigkeit der Beweglichkeit µ in einen Halbleiter von
der Temperatur in doppelt logarithmischer Darstellung[Iba]
In Abb. (12) ist die Zunahme der Beweglichkeit bei steigender Temperatur (T 2 -Gesetz)
erkennbar. Der Eekt kommt von der Zunahme der thermischen Energie, sodass die Elektronen weniger stark von Störstellen abgelenkt werden. Bei weiter steigender Temperatur
3
15
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sind immer mehr Phononen vorhanden, an denen die Elektronen
immer stärker abgelenkt
− 32
werden können. Die Beweglichkeit nimmt wieder ab (T -Gesetz).
Der spezische Widerstand % ist der Kehrwert der Leitfähigkeit σ
(32)
% = σ −1 = (enµ)−1
2.5 Bewegung von Ladungsträgern im gekreuzten elektrischen und
magnetischen Feld
Für unsere Messungen mit Hilfe des Hall-Eekts müssen wir auch noch verstehen, wie
sich bewegte Ladungen in einem zusätzlichen, orthogonal zum elektrischen Feld stehenden
~ verhalten. Aus Gl. (27) wird mit zusätzlichem Magnetfeld:
Magnetfeld B
(33)
~ + v~d × B)
~
v~d = −µ(E


0
~

0  = B · e~z nur in
Als Vereinfachung nehmen wir an, dass das Magnetfeld B =
B
z-Richtung zeigt. Wir können nun die Richtungskomponenten schreiben als:
vdx = −µ(Ex + vdy B)
(34)
vdy = −µ(Ey − vdx B)
(35)
vdz = −µEz
(36)
Wir führen wieder die elektrische Stromdichte ~j ein.

 


1 −µB
0
Ex
jx
enµ
 ·  Ey 
 jy  =
1
0
·  µB
1 + µ2 B 2
2
2
0
0
1+µ B
Ez
jz

(37)
~ aufgelöst
bzw. nach E
 



jx
1
µB 0
Ex
 Ey  = 1 ·  −µB 1 0  ·  jy 
enµ
0
0 1
jz
Ez
→
→
Leitfähigkeit ←
σ und spezischer Widerstand ←
ρ sind Tensoren zweiter Stufe.


1 −µB
0
enµ 
←
→

µB
1
0
σ =
1 + µ2 B 2
2
2
0
0
1+µ B


1
µB 0
1 
←
→
−µB 1 0 
ρ =
enµ
0
0 1
(38)
(39)

16
(40)
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2.6 Der Hall-Eekt
Edwin Hall entdeckte den Hall-Eekt, mit dem wir in diesem Versuch die Ladungsträgerdichte bestimmen wollen.
Abbildung 13: Aufbau einer Hall-Bar[Iba]
Wir betrachten den in Abb. (13) beschriebenen Aufbau einer Hall-Bar, ein Magnetfeld,
dass wie im vorigen
Kapitel
in z -Richtung zeigt. Der Stromuss ist nur in x-Richtung


 nur
jx
j
~



möglich. j = jy = 0 
0
jz
Das E -Feld in y -Richtung lässt sich schreiben als:
Ey = −
I
1
· B · j = RH · B
ne
bd
(41)
Wir denieren hier RH als Hall-Koezient:
1
(42)
ne
Nach Hall ist der Zusammenhang zwischen dem E -Feld und der Hall-Spannung UH über
RH ≡ −
die Breite der Hall-Bar gegeben.
UH = Ey · b = RH · B · I
1
d
(43)
Mit dieser Gleichung kann man nun die Ladungsträgerdichte n bestimmen, indem man
die Hallspannung, das Magnetfeld und die Stromstärke misst und die Angaben zur Probendicke des Herstellers benutzt. Auf ähnliche Weise kann man über die Längsspannung
und die über Gl.(43) bestimmte Ladungsträgerdichte die Beweglichkeit berechnen.
17
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Ux = Ex · l =
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1
l
·I ·
enµ
bd
(44)
Das gilt allerdings nur, wenn der Strom nur von Elektronen übertragen wird. Sind auch
Löcher am Stromuss beteiligt, wird der Hall-Koezient (42) zu:
RH =
p · µ2p − n · µ2n
e · (p · µp + n · µn )2
(45)
Hier wird zwischen der Beweglichkeit der Elektronen (µn ) und der Löcher (µp ) unterschieden.
18
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3 Versuchsaufbau und Messmethoden
Bei Messungen des Hallwiderstandes bei tiefen Temperaturen machen die Probenkontakte wegen ihrer groÿen Übergangswiderstände Probleme. Eine Alternative bildet ein
brückenförmiges Probenstück, dass relativ groÿe Probenkontakte mit geringeren Übergangswiderständen besitzt und nahezu parallele Stromlinien gewährleistet. Es ist in Abb.
(14) zu sehen. Der Herstellungsaufwand ist allerdings enorm.
Abbildung 14: Ursprüngliche Form einer Hall-Bar mit groÿen Kontakten[VDP]
L.J. van der Pauw entwickelte eine Methode, mit der die Form der Probe vereinfacht
wurde. Sie muss nur im mathematischen Sinne einfach konstruiert sein und darf keine
Löcher enthalten. Die Kontakte müssen sich an der Auÿenseite benden und klein sein.
In Abb. (15) ist eine solche Probe exemplarisch dargestellt, die Kontaktbeschriftung M ,
N , O und P wird übernommen.
Abbildung 15: Probenscheibe mit Kontakten M , N , O und P [VDP]
19
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3.1 Van-der-Pauw-Methode
3.1.1 Spezischer Widerstand
Wird an die in Abb. (15) gezeigten Kontakte M und N Strom angelegt und die Spannung
an den Punkten O und P misst, kann man den Widerstand RM N,OP denieren als:
RM N,OP =
VP − VO
IM N
(46)
RN O,P M =
VM − VP
IN O
(47)
und ebenfalls:
Nach van-der-Pauw herrscht zwischen Gl. (46) und Gl. (47) der Zusammenhang:
πd
πd
exp − RM N,OP + exp − RN O,P M = 1
%
%
(48)
Löst man nun Gl. (48) nach dem spezischen Widerstand % auf, kann man ihn mit Hilfe
der Probendicke d berechnen:
%=
πd RM N,OP + RN O,P M
·
·f
ln 2
2
M N,OP
f ist ein Faktor, der von RN
abhängt, sich aber nur implizit abgeben lässt.
O,P M
RM N,OP /RN O,P M − 1 ln 2
1
ln 2
cosh
·
= exp
RM N,OP /RN O,P M + 1 f
2
f
(49)
R
(50)
Abbildung 16: Diagramm des Faktors f [VDP]
Abb. (16) zeigt den Verlauf von f gegenüber dem Faktor RM N,OP /RN O,P M . Ist RM N,OP /RN O,P M ≈
1 so vereinfacht sich Gl. (49) zu:
%=
πd
· RM N,OP
ln 2
(51)
Diese Näherung ist exakt für spiegelsymmetrische Proben wie sie in Abb. (17) dargestellt
ist.
20
Hall-Eekt in Halbleitern
2. Dezember 2009
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Abbildung 17: Mögliche Form einer spiegelsymmetrischen Probe[VDP]
3.1.2 Hall-Koezient
Wollen wir nun den Hall-Koezienten bestimmen, muss man die Kontakte anders schalten. Den Strom muss man zwischen M und O anlegen und die Spannung zwischen P und
N messen. Die Berechnung der Spannung ist komplizierter und erfolgt über ein Wegintegral des elektrischen Feldes. Wir unterteilen dieses Wegintegral von P nach N in einen
Teil senkrecht zu den Feldlinien P → N 0 und die Verbindung an der Auÿenseite N 0 → N
(siehe Abb. (18)).
Abbildung 18: Stromlinien einer Probe und der Weg senkrecht dazu und die Verbindung
zwischen N 0 und N [VDP]
~ auf und schreiben ~vd um:
Lösen wir Gl. (33) nach E
~ = 1 ~j + 1 (~j × B)
~ = 1 ~j − RH (~j × B)
~
~ = − 1 ~vd − ~vd × B
E
µ
enµ
en
enµ
21
(52)
Hall-Eekt in Halbleitern
2. Dezember 2009
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Integriert man das E-Feld über den Weg, so fallen zwei der vier Terme wegen rechten
Winkeln weg. VOS ist die Osetspannung. Es bleibt somit:
ZN
VP − VN =
~ · d~s
E
(53)
P
ZN
=
1 ~
· jM O · d~s − RH ·
enµ
N0
ZN 0
~ · d~s
(~jM O × B)
P
= VOS
ZN 0
~ · |d~s|
− RH · |~jM O × B|
P
= VOS
ZN 0
− RH · jM O · B ds
P
= VOS
1
− RH · B · ·
d
ZN 0
dIM O
P
= VOS − RH · B
IM O
d
(54)
Van der Pauw formulierte den Hall-Koezienten nun als:
RH =
d
∆RM O,N P
B
(55)
∆RM O,N P ist die Änderung von RM O,N P während des Einschaltvorgangs des Magnetfeldes B . Hiermit kann man die Osetspannung VOS eliminieren.
3.2 Methode und Aufbau der Messung nach der Firma Keithley
Im Manual der Firma Keithley wird die Messmethode von van der Pauw erweitert.
3.2.1 Widerstandsmessung
Der spezische Widerstand lässt sich nach der Firma Keithley mit acht Messungen für die
Spannung V nach der Abb. (19) berechnen. Die Schaltungen wurden beim Praktikumsversuch automatisch vom Computer konguriert und danach die Spannung gemessen. In
Tab. (2) sind die Verbindungen abzulesen.
22
Hall-Eekt in Halbleitern
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Abbildung 19: Schaltungen für die acht Widerstandsmessungen[Keithley]
Nach den Messungen kann man mithilfe von der Probendicke d und der Stromstärke I
den spezischen Widerstand % berechnen.
%A =
1, 1331 · fA · d
[V2 + V4 − V1 − V3 ]
I
(56)
%B =
1, 1331 · fB · d
[V6 + V8 − V5 − V7 ]
I
(57)
23
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Tabelle 2: Schaltungen für Widerstandsmessung[Keithley]
Spannung geschlossene Knoten Strom zwischen: Spannung zwischen:
(Spalte, Zeile)
V1
1,2 2,1 3,3 4,4
1-2
3-4
V2
2,2 1,1 3,3 4,4
2-1
3-4
V3
2,2 1,3 3,4 4,1
2-3
4-1
V4
2,3 1,2 3,4 4,1
3-2
4-1
V5
2,3 1,4 3,1 4,2
3-4
1-2
V6
2,4 1,3 3,1 4,2
4-3
1-2
V7
2,4 1,1 3,2 4,3
4-1
2-3
V8
2,1 1,4 3,2 4,3
1-4
2-3
fA und fB sind die bereits erwähnten Symmetriefaktoren die mit der folgenden Formel
berechnet werden können:
Q−1
f
1
0, 693
=
arcosh exp
Q+1
0, 693
2
f
(58)
QA und QB sind hierbei Abkürzungen für:
QA =
V2 − V1
V4 − V3
(59)
QB =
V6 − V5
V8 − V7
(60)
Der spezische Widerstand ist nun der Mittelwert von Gl. (56) und Gl. (57).
%=
%A + %B
2
(61)
3.2.2 Hall-Koezient
Bei der Messung des Hall-Koezienten genügen vier Messungen der Spannung, da es
bei passiven Vierpolen keine Rolle spielt, ob die beiden Kontaktpaare ausgetauscht werden. Hier geben Abb. (20) und Tab. (3) wieder die Informationen über die notwendigen
Schaltungen, die wieder automatisch vom Computer vorgenommen werden.
RH =
2, 5 · 107 · d
· (V2 − V1 + V4 − V3 )
B·I
(62)
Durch die Summation von Spannungen fällt die Osetspannung VOS heraus. Die Beweglichkeit berechnen sich nun:
µ=
|RH |
%
24
(63)
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Abbildung 20: Schaltungen für die vier Hall-Koezientenmessungen[Keithley]
Tabelle 3: Schaltungen für Hall-Koezient[Keithley]
Spannung geschlossene Knoten Strom zwischen: Spannung zwischen:
(Spalte, Zeile)
V1
2,1 1,3 3,4 4,2
1-3
4-2
V2
2,3 1,1 3,4 4,2
3-1
4-2
V3
2,2 1,4 3,1 4,3
2-4
1-3
V4
2,4 1,2 3,1 4,3
4-2
1-3
3.3 Versuchsaufbau
Folgende Komponenten wurden bei der Messung verwendet:
ˆ Ein Elektromagnet wurde über eine variable Stromstärke gesteuert. In der Mitte,
also an einer Stelle mit homogenen Magnetfeld, sitzt die Probe. Der Magnet wurde
mit Wasser gekühlt.
ˆ Eine Probenkammer, die gekühlt werden kann. Sie wird zu Beginn mit üssigem
Sticksto gekühlt und durch eine Widerstandsheizung von 80K auf 300K geheizt.
Die Temperatur kann währenddessen mit einem eingebauten Thermometer gemessen und vom Computer ausgelesen werden.
ˆ Ein Computer, der an die Messanlage angeschlossen ist, diese Steuern kann und
25
Hall-Eekt in Halbleitern
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die Messdaten speichert. Hierbei wurde das Programm Labview verwendet. Die
Schaltungen sind in Abb. (22) dargestellt.
ˆ Eine Stromquelle und eine Messkonguration, wie sie in Abb. (21) dargestellt ist.
Abbildung 21: Messkonguration[Keithley]
26
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Abbildung 22: Schaltungensüberbrückungen[Keithley]
27
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4 Auswertung
4.1 Vorbereitende Messungen
4.1.1 Kalibrierung des Elektromagneten
Um später mit denierten Feldstärken des magnetischen Feldes messen zu können, musste der Elektromagnet zuerst kalibriert werden. Am Elektromagneten selbst lässt sich
nur der durch die Spule ieÿende Strom unmittelbar einstellen. Um den Stromstärken
eine magnetische Flussdichte zuordnen zu können, wurde eine Hallsonde mit bekannten Eigenschaften in die Probenkammer eingebracht und danach die Hallspannung in
Abhängigkeit von der am Elektromagnet eingestellten Stromstärke gemessen. Bei dieser Messung entspricht 1 mV 0,01172 T. Gemessen wurde in einem Bereich von 0 bis
Abbildung 23: B-I-Diagramm der Kalibrierung des Elektromagneten
15 A und in 1 A-Schritten. Die Messung wurde einmal mit aufsteigender (Messung 1)
und einmal mit abnehmender (Messung 2) Stromstärke durchgeführt. Abbildung 23 zeigt
die so gewonnen Messpunkte einschlieÿlich einer linearen Regression. Die Gleichung der
28
Hall-Eekt in Halbleitern
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Regressionsgeraden lautet:
B(I) = 0, 045
T
· I + 0, 015 T
A
(64)
Ausgehend von dieser Messung wurde in allen anderen Messungen die magnetische Flussdichte durch das Einstellen des Spulenstroms am Elektromagneten festgelegt. Die Skala des
dazugehörigen Messinstruments war allerdings nur in 0,5 A-Schritte unterteilt, so dass
trotz der Spiegelskala die Stromstärke und damit auch die magnetische Flussdichte der
ungenauste Parameter der Messung waren.
4.1.2 Probenkontakte
In dieser Messung wurde die Hallsonde der ersten Messung durch die zu untersuchende
Probe ersetzt. Ziel dieser vorbereitenden Messung war es, das Verhalten der Probenkontakte zu überprüfen. Erwartet wurde ein ohmsches Verhalten, das bedeutet, die U(I)Kennlinie der Probe sollte linear und durch den Ursprung verlaufen. Die über der Probe
Abbildung 24: Gemessene U(I)-Kennlinie der Probe mit linearer Regression
abfallende Spannung wurde für einen Strom von -150 µA bis 150 µA in 10 µA gemessen.
29
Hall-Eekt in Halbleitern
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Das Magnetfeld war zu diesem Zeitpunkt ausgeschaltet. Die Temperatur der Probe betrug etwa 293 K. Das Ergebnis der Messung ndet sich in Abbildung 24. Alle Messpunkte
liegen sehr nahe an der Regressionsgeraden. Deren Gleichung lautet:
U (I) = 5, 738
V
· I + 2, 258 · 10−7 V
A
(65)
Der Ordinatenabschnitt der Regressionsgeraden ist hinreichend klein. Zusammen mit dem
linearen Verlauf der Messwerte kann so auf ein ohmsches Verhalten der Probenkontakte
geschlossen werden.
4.1.3 Orientierung der Probe
Für die späteren Messungen sollte die Probe senkrecht zu den Magnetfeldlinien stehen.
Zur Einstellung des Winkels zwischen der Flächennormale der Probe und der Magnetfeldrichtung war am Halter der Probe eine Winkelskala angebracht. Die Ausrichtung
Abbildung 25: Messung der Hallspannung in Abhängigkeit vom Winkel
der Skala in Bezug auf das Magnetfeld war jedoch willkürlich. Deshalb wurde die Hallspannung der Probe bei einer konstanten magnetischen Flussdichte von 0,5 T für einen
30
Hall-Eekt in Halbleitern
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Winkelbereich von 180° gemessen. Anschlieÿend wurde die Probe so eingestellt, dass die
Hallspannung maximal ist. Die so entstandenen Messwerte wurden mit einer Funktion
der Form
U (α) = A · cos(α − α0 ) + B
(66)
angenähert. Dabei ist A der Betrag der maximalen Amplitude der Spannung, die durch
die Drehung der Probe verursacht wird. α0 ist der Winkeloset und B ein Spannungsoset, der für alle Winkel gleich ist. Die ermittelten Fitparameter lauten:
ˆ A = 52, 806 mV
ˆ B = −8, 265 mV
ˆ α0 = −14, 58◦
Während der Messung oss ein konstanter Strom von 100 µA durch die Probe, die Temperatur betrug ungefähr 293 K.
4.1.4 Magnetfeldabhängigkeit des spezischen Widerstands und Hallkoezienten
Abbildung 26: Messung der Magnetfeldabhängigkeit von ρ
31
Hall-Eekt in Halbleitern
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Für eine eine Flussdichte von 0,1 bis 0,6 T wurde der spezische Widerstand ρ und der
Hallkoezient RH der Probe nach der Methode von van der Pouw bestimmt. Durch die
Probe oss dabei ein konstanter Strom von 100 µA. Gemessen wurden die Spannungen
V1 bis V8 zur Bestimmung von ρ sowie die Spannungen V10 bis V40 für die Bestimmung
von RH . Mit dem Programm Labview wurden dabei alle Kombinationsmöglichkeiten der
Probenkontakte automatisch durchgemessen. Die Messung wurde nach dem Abkühlen der
Probe durch üssigen Sticksto auf eine Temperatur von ungefähr 80 K durchgeführt.
In Abbildung 26 ist die Magnetfeldabhängigkeit von ρ aufgetragen. Erwartet wurde ein
leicht parabolischer Verlauf der Messwerte. Dieser ist jedoch bei der geringen Anzahl
an Messwerten und der technisch bedingten Ungenauigkeit der Magnetfeldeinstellung
nicht erkennbar. Zur Illustration wurden die Messwerte von Hand (ohne Fit) durch eine
Parabel angenähert. Ihre gleichung lautet:
ρ(B) = 0, 0045 · B 2
Ωcm
+ 0, 20295 Ωcm
T2
(67)
Der Faktor f (vgl. (56)) wurde stichprobenartig bestimmt und kann in allen Fällen als 1
angenommen werden, sie Probe ist also symmetrisch.
Tabelle 4: Hallkoezient in Abhängigkeit vom magnetischen Feld
B/T
3
RH / cm
C
0,1
0,2
0,3
0,4
0,5
0,6
-341,34 -326,08 -314,78 -334,24 -342,43 -332,52
In Tabelle 4 sind die aus den oben beschriebenen Wertem berechneten Hallkoezienten
für eine Magnetfeldstärke von 0,1 T bis 0,6 T aufgetragen. Ein bestimmter Trend ist im
Verlauf der Messwerte nicht ersichtlich.
32
Hall-Eekt in Halbleitern
2. Dezember 2009
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4.2 Bestimmung von Ladungsträgerdichte und Beweglichkeit
Ziel dieser Messung war es, die Ladungsträgerdichte und die Beweglichkeit der Ladungsträger in der Antimon-dotierten Silizium-Halbleiterprobe nach der Methode von van-derPauw für Temperaturen zwischen 77 K und 300 K zu bestimmen. Nach Einfüllen von
üssigem Sticksto stellte sich eine Temperatur von 80 K ein. Ausgehend von dieser
Temperatur wurde die Probe langsam bis 300 K aufgeheizt, im Abstand von 5 K wurde
je eine Messreihe aufgenommen. Aus den aufgenommenen Werten lassen sich wieder der
Hallkoezient RH und der spezische Widerstand ρ bestimmen. Ausgehend von diesen
Werten lassen sich dann die Ladungsträgerkonzentration n und die Beweglichkeit µ der
Ladungsträger bestimmen. In Abbildung 27 ist die so ermittelte temperaturabhängige
Abbildung 27: Doppelt logarithmischer Plot der Ladungsträgerbeweglichkeit
Beweglichkeit der Ladungsträger in einem doppelt logarithmischen
Plot aufgetragen. Im
3
oberen Temperaturverlauf wird gemäÿ Abbildung 12 eine zu T − 2 proportionale Abnahme der Ladungsträgerbeweglichkeit erwartet. Die Messwerte wurden deshalb durch eine
Funktion der Form:
3
log µ(T ) = − log T + log c
(68)
2
33
Hall-Eekt in Halbleitern
2. Dezember 2009
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angenähert, die auch in Abbildung 27 zu nden ist. Der Fit ergab für den Parameter c
2
einen Wert von 6,477 cm
V s . Die Ursache für die zwei leichten vertikalen Versetzungen im
Bereich hoher Temperatur ist nicht bekannt. Der Plot aus Abbildung 27 ndet sich auch
vergröÿert im Anhang.
Abbildung 28 zeigt den Arrheniusplot der Ladungsträgerkonzentration. Bei 80 K Pro-
Abbildung 28: Arrheniusdarstellung der Ladungsträgerkonzentration
bentemperatur beträgt sie 1, 87 · 1016 cm1 3 und erreicht bei 300 K einen Wert von 1, 09 ·
1
1017 cm
3 . Im folgenden Abschnitt wird die Ladungsträgerkonzentration für einen breiteren Temperaturbereich mittels der im Theorieteil beschriebenen Gleichungen berechnet
und mit den experimentellen Werten verglichen.
4.3 Simulation
In Abbildung 29 sind, wiederum in der Arrheniusdarstellung, die Messwerte der Ladungsträgerkonzentration n und der simulierte temperaturabhängige Verlauf von n aufgetragen. Für hohe Temperaturen gilt der Verlauf gemäÿ Kurve a). Die Ladungsträgerdichte ist gegeben durch (14). Im mittleren Bereich b) sind alle Donatoren ionisiert, man
spricht von der Störstellenerschöpfung. Die Konzentration der Ladungsträger folgt der
34
Hall-Eekt in Halbleitern
2. Dezember 2009
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Abbildung 29: Simulation und Messwerte der Ladungsträgerdichte n. a) intrinsischer Bereich, b) Störstellenerschöpfung, c) Störstellenreserve
Gleichung (23). Der dritte Bereich c) schlieÿlich gilt für niedrige Temperaturen und verhält sich gemäÿ (24). Man erkennt, dass sich die Messung im Übergangsbereich zwischen
Störstellenreserve und -Erschöpfung bewegt. Die Messwerte verlaufen etwas abweichend
von der vorausberechneten Kurve. Abbildung 29 ndet sich noch in vergröÿert im Anhang des Versuchsprotokolls. Bei der Probe handelte es sich um mit Antimon dotiertes
Silizium, was einer n-Dotierung entspricht. Die Bandlücke von Silizium beträgt 1,12 eV.
Die Donatorionisationsenergie beträgt laut [hall] 43 meV. Die Masse mde berechnet sich
aus der transversalen und longitudinalen Masse mit:
1
mde = (ml · m2t ) 3
(69)
Die Einzelmassen wurden vom Versuchsbetreuer mitgeteilt. Die transversale Masse beträgt 0, 1905·me , die longitudinale Masse 0, 9163·me und für die Löcher mdh = 0, 689·me .
Die Anzahl gleicher Energie MC beträgt bei Silizium 6.
35
Hall-Eekt in Halbleitern
2. Dezember 2009
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4.4 Fehlerdiskussion
Die zu dem Versuchsaufbau gehörenden Geräte ermöglichen sehr präzise Messungen. Die
Abweichung der so aufgenommenen Messwerte ist vernachlässigbar klein. Wie bereits
erwähnt ist die gröÿte Abweichung in den Messungen durch die nicht sehr genaue Einstellung der Magnetfeldstärke bedingt. Eine weitere mögliche Fehlerquelle sind die Kontakte, an denen die Probe mit den Messgeräten verbunden wird. Das ohmsche Verhalten
dieser Kontakte wurde jedoch in den vorbereitenden Messungen bestätigt. Zudem wurde
der Stromuss vor und nach der Probe gemessen. Zu keiner Zeit trat eine nennenswerte
Dierenz zwischen zu- und abieÿendem Strom auf.
5 Anhänge
Im Anhang des Praktikumsprotokolls nden sich:
ˆ Kopie der Aufschriebe im Laborbuch
ˆ Vergröÿerung Abbildung 29
ˆ Vergröÿerung Abbildung 27
36
Hall-Eekt in Halbleitern
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6 Verzeichnisse
Abbildungsverzeichnis
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
Bandstruktur GaAs[Iba] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Bandstruktur Si[Iba] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Gitteraufbau, verschiedene wichtige Punkte sind erkennbar [Internet 1] . .
Entartung am Gamma-Punkt[Iba] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Flächen konstanter Energie[Iba] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Zustandsdichtefunktionen für 1D, 2D und 3D[Sauer] . . . . . . . . . . . .
Fermi-Dirac-Integral[Sze] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
n-dotierter und p-dotierter Halbleiter, am Beispiel eines Donators (a) und
eines Akzeptors (b)[Iba] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Schematische Banddiagramme(1.Spalte), Zustandsdichten, Fermi-DiracVerteilungen und Ladungsträgerkonzentrationen für: (a) intrinsischer Halbleiter, (b) n- und (c) p-dotierter Halbleiter im thermischen Gleichgewicht
[Sze] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Graphische Bestimmung der Fermi-Energie [Sze] . . . . . . . . . . . . . .
Arrheniusplot der Theoriekurve[Sze] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Schematische Abhängigkeit der Beweglichkeit µ in einen Halbleiter von
der Temperatur in doppelt logarithmischer Darstellung[Iba] . . . . . . . .
Aufbau einer Hall-Bar[Iba] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Ursprüngliche Form einer Hall-Bar mit groÿen Kontakten[VDP] . . . . . .
Probenscheibe mit Kontakten M , N , O und P [VDP] . . . . . . . . . . . .
Diagramm des Faktors f [VDP] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Mögliche Form einer spiegelsymmetrischen Probe[VDP] . . . . . . . . . .
Stromlinien einer Probe und der Weg senkrecht dazu und die Verbindung
zwischen N 0 und N [VDP] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Schaltungen für die acht Widerstandsmessungen[Keithley] . . . . . . . . .
Schaltungen für die vier Hall-Koezientenmessungen[Keithley] . . . . . .
Messkonguration[Keithley] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Schaltungensüberbrückungen[Keithley] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
B-I-Diagramm der Kalibrierung des Elektromagneten . . . . . . . . . . . .
Gemessene U(I)-Kennlinie der Probe mit linearer Regression . . . . . . . .
Messung der Hallspannung in Abhängigkeit vom Winkel . . . . . . . . . .
Messung der Magnetfeldabhängigkeit von ρ . . . . . . . . . . . . . . . . .
Doppelt logarithmischer Plot der Ladungsträgerbeweglichkeit . . . . . . .
Arrheniusdarstellung der Ladungsträgerkonzentration . . . . . . . . . . . .
Simulation und Messwerte der Ladungsträgerdichte n. a) intrinsischer Bereich, b) Störstellenerschöpfung, c) Störstellenreserve . . . . . . . . . . . .
37
4
5
5
6
7
8
9
10
12
13
14
15
17
19
19
20
21
21
23
25
26
27
28
29
30
31
33
34
35
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Literatur
[hall] Wolfgang Limmer: Anleitung zum Versuch Hall-Eekt in Halbleitern im Fortgeschrittenenpraktikum, Universität Ulm, Institut für Halbleiterphysik, WS2008/09
[Iba] H. Ibach und H.Lüth, Festkörperphysik, (Springer Verlag, Berlin, 1990)
[Sze] S. M. Sze, Physics of Semiconductor Devices, (Wiley, New York, 1981)
[Internet 1] http://pics.computerbase.de/lexikon/50934/180pxBrillouin_Zone_(1st,_FCC).svg.png
[Sauer] R.Sauer, Halbleiterphysik. Lehrbuch für Physiker und Ingenieure, (Oldenbourg,
2009)
[VDP] Originalarbeit von L.J. van-der-Pauw aus Philips' Technischer Rundschau, 20.
Jahrgang
[Keithley] Handbuch der Firma Keithley
[fp] J. Mayer, M. Spähn: Protokoll zum Versuch Halleekt
38