2 Rechentechniken

2 Rechentechniken
Übersicht
2.1
Potenzen und Wurzeln . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7
2.2
Lösen linearer Gleichungssysteme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8
2.3
Polynome . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
11
2.4
Polynomdivision
.. .. ... ... .. ... .. ... .. ... ... .. ... .. ... .. ... ... .. ...
12
2.5
Faktorisierung von Polynomen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
13
2.6
Partialbruchzerlegung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
15
Auf die Wiederholung der Grundrechenarten verzichten wir, wir legen gleich mit den
Potenzen und Wurzeln los, wobei wir auch hier nur kurz angeben, welche Regeln hierbei
gelten.
2.1 Potenzen und Wurzeln
Wir bilden Potenzen und Wurzeln aus reellen Zahlen. Dabei setzen wir die folgenden
Zahlenmengen
als bekannt voraus:
N ⊆ N0 ⊆ Z ⊆ Q ⊆ R .
Weiterhin kennen wir die folgenden Schreibweisen:
∀ a ∈ R ∀ n ∈ N : an = a · · · a n-mal (die n-te Potenz von a).
∀ a ∈ R \ {0} ∀ n ∈ N : a−n = (a−1 )n .
∀ a ∈ R : a0 = 1.
√
1
∀ a ∈ R>0 , ∀ n ∈ N : a n = n a (die n-te Wurzel von a).
1
1
∀ a ∈ R>0 , ∀ n ∈ N : a− n = (a−1 ) n .
m
1
m
n = (a n )
∀ a ∈ R>0 , ∀ m
.
n ∈ Q : a
Mit diesen Vereinbarungen gelten die Regeln:
8
2 Rechentechniken
Potenzregeln
∀ a, b ∈ R>0 , ∀ r, s ∈ Q
(i)
ar as = ar+s ,
(ii)
ar br = (a b)r ,
(iii)
(ar )s = ar+s .
Beispiel.
gilt:
a, b > 0:
√ √
5
2
2
9
10
15
6
a
a6 b−2
√
√ = a 10 b− 5 a 5 b− 15 = a 10 b− 15 = .
5
15 9
−2
b
a
b
Es gilt für
10
2.2 Lösen linearer Gleichungssysteme
2.2.1 Lineare Gleichungssysteme
Ein
lineares Gleichungssystem
mit
m
Gleichungen in
n
Unbekannten
x1 , . . . , xn
läÿt sich in folgender Form schreiben:
a11 x1
+
a12 x2
+
···
+
a1n xn
=
b1
a21 x1
+
a22 x2
+
···
+
a2n xn
=
b2
.
.
.
.
.
.
am1 x1
+
am2 x2
.
.
.
+
···
+
amn xn
.
.
.
=
bm
1 ≤ i ≤ m und 1 ≤ j ≤ n reelle Zahlen. Wir bezeichnen
LGS .
Ein n-Tupel (l1 , l2 , . . . , ln ) reeller Zahlen l1 , . . . , ln heiÿt eine Lösung von LGS , wenn
alle Gleichungen von LGS durch Einsetzen von l1 , . . . , ln anstelle von x1 , . . . , xn befriedigt werden. Die Menge aller Lösungen von LGS heiÿt Lösungsmenge von LGS .
Dabei sind
aij
und
bi
für
dieses System kurz mit
Beispiele.
Lineare Gleichungssysteme müssen nicht immer eine Lösung besitzen:
x1 − x2 = 1
x1 − x2 = 0
in den zwei Unbekannten
und
l1 ̸= l2 .
x1
und
x2 .
Es gibt keine reellen Zahlen
Dieses Gleichungssystem ist
unlösbar.
l1 , l2
mit
l1 = l2
9
2.2 Lösen linearer Gleichungssysteme
Wir betrachten das lineare Gleichungssystem:
x1 + x2 = 2
x1 − x2 = 0
x1 = x2 . Setzen wir dies in die erste Gleichung ein,
l1 = 1, l2 = 1 die einzig mögliche Lösung des
vereinbart (l1 , l2 ) = (1, 1) schreiben.
Die zweite Gleichung besagt
so erhalten wir
2 x1 = 2.
Systems, wofür wir wie
Es ist also
Wir betrachten ein weiteres lineares Gleichungssystem:
3 x1 − 6 x2 = 0
−x1 + 2 x2 = 0
Die zweite Gleichung besagt:
so erhält man
x1 = 2 x2 .
Setzt man dies in die erste Gleichung ein,
6x2 − 6x2 = 0. Die zweite Gleichung enthält damit keine Information,
die nicht auch schon die erste Gleichung liefert. Beim genaueren Hinsehen erkennt
man auch, daÿ die zweite Gleichung das
(−3)-fache
der ersten Gleichung ist. Man
kann die zweite Gleichung einfach streichen, es bleibt also das
System
3 x1 − 6 x2 = 0 ,
dessen Lösungsmenge wir nun bestimmen. Durch Probieren erkennt man, daÿ etwa
(2, 1)
Wert
(4, 2) Lösungen des Systems sind. Allgemeiner erkennt man, daÿ wenn
x2 eine beliebige reelle Zahl t einsetzt, die Gröÿe x1 wegen 3 x1 = 6 t den
und
man für
2t
haben muÿ.
Damit haben wir alle Lösungen bestimmt. Für jedes
t∈R
ist
(2 t, t)
eine Lösung
und weitere Lösungen gibt es nicht. Die Lösungsmenge des Systems können wir nun
schreiben als
L = {(2 t, t) | t ∈ R} ,
dies sind unendlich viele Lösungen.
2.2.2 Das Eliminationsverfahren von Gauÿ
Das
Einsetzverfahren
ist unpraktisch bei mehr als zwei Variablen. Bei mehr Variablen
benutzt man das Verfahren, das wir nun schildern, vorab eine Beobachtung: Hat ein
Gleichungssystem eine sogenannte
Zeilenstufenform, wie z. B.
x1
+
x2
+
2 x3
=
2
0 x1
+
1 x2
−
4 x3
=
−4
0 x1
+
0 x2
−
5 x3
=
−3
10
2 Rechentechniken
so ist das System leicht zu lösen: Man erhält
x1 =
12
5 , also
L=
{( 12
5 ,
x3 =
− 85 , 35 )}.
3
5 und damit
x2 = − 58
und damit
Es wäre also schön, wenn jedes System eine solche Zeilenstufenform hätte. Das ist
natürlich nicht so, aber es gilt:
Elementare Zeilenumformungen
Jedes lineare Gleichungssystem kann durch die elementaren Zeilenumformungen
(i) Vertauschen zweier Zeilen,
(ii) Multiplikation einer Zeile mit einem
(iii) Addition des
λ-fachen
λ ̸= 0,
einer Zeile zu einer anderen Zeile
auf eine obere Zeilenstufenform gebracht werden. Die Lösungsmenge ändert sich
bei den Zeilenumformungen nicht.
Beispiel 2.1
Da die
xi
nur stören, lassen wir sie von nun an weg und notieren nur noch die Koe-
zienten:
x1
+
x2
+
2 x3
=
2
2 x1
+
2 x2
−
1 x3
=
1
3 x1
+
4 x2
+
2 x3
=
2

1

−→ 
 2
3
1
2
2
2
−1
4
2


1 
.
2
Wir wenden nun elementare Zeilenumformungen an und erhalten

1

 2

3
1
2
2
−1
4
2
2


1



1 
→ 0
2
0
1
2
0
−5
1
−4
2

1



−3 
→ 0
−4
0
Jetzt beachte obiges Beispiel:
L = {(

12
8 3
, − , )} .
5
5 5
1
2
1
−4
0
−5
2


−4 
.
−3
11
2.3 Polynome
2.3 Polynome
Eine korrekte Denition von Polynomen ist nicht ganz einfach. Wir stellen uns Polynome
p
als
formale Ausdrücke
der Art
p(x) = an xn + · · · + a1 x + a0
vor. Hierbei betrachten wir nur reelle Polynome, d. h., die
sind alle aus
Koezienten an , , . . . , a1 , a0
R.
2.3.1 Der Grad eines Polynoms
p(x) = an xn + · · · + a1 x + a0 , so nennt man die Zahl an =
̸ 0 den
höchsten Koezienten und die Zahl n in diesem Fall den Grad von p, man schreibt
n = deg(p).
Ist
p
ein Polynom mit
konstanten Polynome sind jene Polynome p mit p(x) = a0 . Im Fall a0 ̸= 0
deg p = 0, im Fall a0 = 0 spricht man vom Nullpolynom p = 0, man setzt
deg 0 = −∞.
2 3
1
Das Polynom p mit p(x) =
2 (x − 3) (x + 1) + (x + 2)(x − 1) hat den Grad 5.
Die
gilt
Zwei Polynome
p
und
q
mit
p(x) = an xn + · · · + a0
gleich, wenn sie die gleichen Koezienten haben, d. h.,
man spricht vom
q(x) = bm xm + · + b0 sind
wenn ai = bi für alle i gilt und
Koezientenvergleich.
2.3.2 Nullstellen von Polynomen
Eine Zahl
x0 ∈ R
heiÿt
Nullstelle des Polynoms p, falls p(x0 ) = 0 gilt.
Es gilt:
deg p = −∞ ⇒ ∀ x0 ∈ R : x0 ist Nullstelle von p.
deg p = 0 ⇒ @ x0 ∈ R : x0 ist Nullstelle von p.
deg p = 1 ⇒ p(x) = ax + b ⇒ x0 = − ab ist einzige Nullstelle
von p.
√
2
−b± b2 −4ac
deg p = 2 ⇒ p(x) = ax + bx + c. Betrachte x1/2 =
. Es
2a
• ∃
• @
• ∃
gilt:
b − 4ac = 0,
keine Nullstelle, falls b − 4ac < 0,
2
zwei verschiedene Nullstellen, falls b − 4ac > 0.
(doppelte) Nullstelle, falls
2
2
deg p ≥ 3 : Per Bleistift sind die Nullstellen oftmals nicht mehr berechenbar. Für
die Fälle deg p = 3 oder deg p = 4 gibt es zwar noch Lösungsformeln analog zu der
Formel im Fall deg p = 2. Diese Formeln sind aber zu kompliziert, als daÿ man sie
sich merken kann. Bei den Beispielen aus der Schulzeit kann man aber immer eine
Nullstelle
erraten. Auch wir werden nun vorläug solche Beispiele betrachten.
12
2 Rechentechniken
2.4 Polynomdivision
Nullstellen von Polynomen kann man
wegdividieren :
Lemma 2.1
Ist p ein Polynom vom Grag n, so gilt:
p(a) = 0 ⇔ p(x) = (x − a)q(x)
mit einem Polynom q vom Grad n − 1.
Wie ndet man
q?
Mit Hilfe der sogenannten
Polynomdivision:
Beispiel 2.2
Wir betrachten das Polynom
p
mit
p(x) = x3 − x2 − x − 2.
Es gilt oenbar
p(2) = 0:
x3 − x2 − x − 2 = (x − 2)(x2 + x + 1)
−(x3 − 2x2 )
x2 − x − 2
−(x2 − 2x)
x−2
Wir erhalten sofort eine Folgerung:
Korollar 2.2
Ein Polynom vom Grad n ̸= −∞ hat höchstens n Nullstellen.
Die Division von Polynomen durch Polynome kann man auch für beliebige Polynome
durchführen, es gilt
Satz 2.3 (Division mit Rest)
Sind
mit
und
f
g
vom Nullpolynom verschiedene Polynome, so gibt es Polynome
f =g·q+r
r der Rest
geht auf.
Es ist also
durch
g
der Division von
und
f
und
r
bedeutet: Die Division von
f
q
deg r < deg g .
durch
g. r = 0
13
2.5 Faktorisierung von Polynomen
Beispiele.
Mit
f (x) = x2 − 1
und
g(x) = x − 1
erhalten wir
f (x) = g(x)(x + 1) + 0 .
Hier ist der Rest also
0,
g
d. h.,
ist ein Teiler von
f.
Wir erhalten
f (x)
x −1
=
= x + 1.
g(x)
x−1
2
Mit
f (x) = x2 − 1
und
g(x) = x + 2
erhalten wir wegen
x2 − 1 = (x + 2)(x − 2) + 3
−(x2 + 2x)
− 2x − 1
−(−2x − 4)
3
f (x) = g(x)(x − 2) + 3 .
Wir erhalten
Mit
f (x)
x2 − 1
3
=
=x−2+
.
g(x)
x+2
x+2
f (x) = 4x5 + 6x3 + x + 2
und
g(x) = x2 + x + 1
erhalten wir
f (x)
4x5 + 6x3 + x + 2
−3x + 4
=
= 4x3 − 4x2 + 6x − 2 + 2
.
g(x)
x2 + x + 1
x +x+1
Übung.
2.5 Faktorisierung von Polynomen
Das Multiplizieren von Polynomen ist
einfach :
(3x2 − 2x + 1) · (x + 4) = 3x3 + 10x2 − 7x + 4 .
Viel schwieriger ist es im Allgemeinen, ein Polynom
faktorisieren, d. h. eine möglichst feine
p = an xn + · · · + a1 x + a0
zu
Zerlegung
p = p1 · · · pr
zu bestimmen. Dabei bedeutet
möglichst fein, daÿ die Polynome p1 , . . . , pr
weiter als Produkte von echten Polynomen schreiben lassen, z. B.
x3 − 1 = (x − 1)(x2 + x + 1) .
sich nicht
14
2 Rechentechniken
Das Polynom
x2 + x + 1
hat nämlich keine reelle Nullstelle mehr. Tatsächlich gilt für
reelle Polynome:
Satz 2.4
Ist
p = p1 · · · pr
eine möglichst feine Zerlegung von p, so gilt deg pi ≤ 2 für alle i = 1, . . . , r.
Beweisen können wir diesen Satz noch nicht, wir nehmen das Ergebnis hin.
Aber wie ndet man nun eine solche möglichst feine Zerlegung? Man beachte die
folgenden Punkte:
Kann man Nullstellen erraten bzw. bestimmen?
Man dividiere gegebenfalls Nullstellen per Polynomdivision weg.
Ist
p
ein Polynom vom Grad
≥4
so mache man im Fall, daÿ man keine Nullstelle
ermitteln kann, einen Ansatz der Art
p = (ar xr + · · · + a0 )(bs xs + · · · + b0 )
mit
r+s=n
und führe einen Koezientenvergleich durch.
Beispiel 2.3
Wir zerlegen das Polynom
p mit p(x) = x4 + 1. Da p oenbar keine Nullstelle in R hat,
versuchen wir den Ansatz:
x4 + 1 = (x2 + ax + b)(x2 + cx + d) = x4 + (a + c)x3 + (ac + d + b)x2 + (ad + bc)x + bd .
Der Koezientenvergleich liefert ein Gleichungssystem
a+c=0
ac + b + d = 0
ad + bc = 0
bd = 1
Wegen der vorletzten Gleichung gilt
gilt dann
b = ±1 = d.
b = d im Fall a ̸= 0. Wegen
d = 1 = b und erhalten
Wir setzen mal
c = −a
2
a =2
Damit erhalten wir:
x4 + 1 = (x2 +
√
√
2x + 1)(x2 − 2x + 1) .
der letzten Gleichung
15
2.6 Partialbruchzerlegung
2.6 Partialbruchzerlegung
Brüche addiert man, indem man sie auf einen gemeinsamen Nenner bringt:
x2
x
2
3x2 + x + 2
+
= 2
.
+1
x+1
(x + 1)(x + 1)
Aber wie kann man dies umkehren? D. h.: Wie ndet man zu
albruchzerlegung
x
x2 +1
+
3x2 +x+2
(x2 +1)(x+1) die
Parti-
2
x+1 ?
Erst mal wieder einen Satz, den wir nicht begründen:
Satz 2.5
b(x)
Zu jedem Bruch q(x)
von Polynomen b(x) und q(x) mit deg b(x) < deg q(x) und einer
möglichst feinen Zerlegung q(x) = q1 (x) · · · qr (x) gibt es eine Partialbruchzerlegung der
Art
b(x)
p1 (x)
pr (x)
=
+ ··· +
,
q(x)
(q1 (x))ν1
(qr (x))νr
wobei die Zerlegung von q(x) = q1 (x) · · · qr (x) in die Polynome q1 (x), . . . , qr (x) möglichst fein ist und die Polynome p1 (x), . . . , pr (x) alle einen Grad kleiner oder gleich 1
haben.
Diese Partialbruchzerlegung ndet man mit dem folgenden Ansatz, den wir an Beispielen schildern. Den allgemeinen Ansatz sollten Sie zur Übung formulieren:
Beispiele.
Höhere Potenzen im Nenner muÿ man ebenso oft berücksichtigen, wie der
Exponent angibt:
x
A
B
C
D
(x−a)3 (x−b) = (x−a) + (x−a)2 + (x−a)3 + (x−b) (a ̸= b).
A
B
C
D
x3 −d
(x−a)2 (x−b)2 (x−c)2 = (x−a) + (x−a)2 + (x−b) + (x−b)2
+
E
(x−c)
+
F
(x−c)2 (a,
b, c
verschieden).
Kommen nicht weiter zerlegbare quadratische Faktoren im Nenner vor, so sind die
Zählerpolynome bei den Partialbrüchen als linear anzusetzen:
x3
A
Bx+C
(x−a)(x2 +1)3 = (x−a) + (x2 +1)
4
3
2
x +2x +3x +4
A
(x−a)2 (x2 +1)(x2 +x+1)2 = (x−a)
Die Koezienten
+
+
Dx+E
F x+G
(x2 +1)2 + (x2 +1)3 .
B
Cx+D
Ex+F
(x−a)2 + (x2 +1) + (x2 +x+1)
+
Gx+H
(x2 +x+1)2 .
A, B, C, . . . bestimmt man dann aus dem linearen Gleichungssystem,
das man durch einen Koezientenvergleich erhält, nachdem man den Ansatz mit dem
gemeinsamen Nenner durchmultipliziert hat:
Beispiel 2.4
Wir zerlegen den Bruch
2x4 +x3 +4x2 +1
(x−1)(x2 +1)2 . Der Ansatz lautet
2x4 + x3 + 4x2 + 1
A
Bx + C
Dx + E
=
+ 2
+ 2
.
(x − 1)(x2 + 1)2
(x − 1)
(x + 1)
(x + 1)2
16
2 Rechentechniken
Multiplikation dieses Ansatzes mit dem gemeinsamen Nenner liefert
2x4 + x3 + 4x2 + 1 = A(x2 + 1)2 + (Bx + C)(x − 1)(x2 + 1) + (Dx + E)(x − 1)
= (A + B)x4 + (C − B)x3 + (2A + B − C + D)x2
+ (C − B − D + E)x + (A − C − E) .
Hieraus erhalten wir durch einen Koezientenvergleich das Gleichungssystem
A+B =2
C −B =1
2A + B − C + D = 4
C −B−D+E =0
A−C −E =1
Wir bringen die Koezientenmatrix mit elementaren Zeilenumformungen auf Zeilenstufenform:


1

 0


 2


 0

1
1
0
0
0
−1
1
0
0
1
−1
1
0
−1
1
−1
1
0
−1
0
−1
2




1 






→
·
·
·
→
4 





0 

1

1
0
1
0
0
0
1
−1
0
0
0
0
−2
1
0
0
0
0
1
0
0
0
0
0
1
3

−1 


−1 
.

1 

0
Also gilt
A = 2, B = 0, C = 1, D = 1, E = 0.
Damit haben wir die Partialbruchzerlegung gefunden, sie lautet:
2x4 + x3 + 4x2 + 1
2
1
x
=
+ 2
+ 2
.
(x − 1)(x2 + 1)2
(x − 1)
(x + 1)
(x + 1)2
Aufgaben
2.1 Paul braucht zum Streichen eines Zimmers 2 Stunden, Paula braucht dafür 5 Stunden.
Wie lange brauchen Paul und Paula, wenn sie das Zimmer gemeinsam streichen?