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Unterichtszusammenfassungen
Jahrgansstufen 12/13, Abitur 2010
Mathematik
erstellt von:
Daniel Edler
Dieses Dokument wurde mit LATEX am 12. April 2010 um 14:29 gesetzt
-II-
Inhaltsverzeichnis
1 Themenpunkte Abitur Mathematik, Analysis
1.1 Ableitungsregeln . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2 Funktionen und Geraden . . . . . . . . . . . . . .
1.3 Funktionsscharen/gebrochen rationale Funktionen
1.4 Ortslinien . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.5 Exponentialfunktionen . . . . . . . . . . . . . . .
1.6 Integralrechnung . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.6.1 Aufleitungsregeln . . . . . . . . . . . . . .
1.6.2 Flächen und Volumen . . . . . . . . . . .
1.7 (grafische) Funktionsuntersuchung . . . . . . . . .
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2
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2
2
2
2 Themenpunkte Abitur Mathematik, Algebra
2.1 Lagebeziehungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2 Ebenen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.3 Skalarprodukt und Einsatz in der Winkelberechnung
2.4 Tipps . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.5 Prozesse und Matrizen . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.6 Eigenwerte und Eigenvektoren einer Matrix . . . . .
2.6.1 Entwicklungsverhalten . . . . . . . . . . . . .
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4
4
4
4
3 Themenpunkte Abitur Mathematik, Stochastik
3.1 Grundbegriffe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.2 Binominalverteilung . . . . . . . . . . . . . . . .
3.3 Kombinatorik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.4 Hypergeometrische Verteilung . . . . . . . . . . .
3.5 Bedingte Wahrscheinlichkeit - Satz von Bayes . .
3.6 Erwartungswert (Gewinnerwartung) . . . . . . . .
3.7 Varianz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.8 Standardabweichung . . . . . . . . . . . . . . . .
3.9 Normalverteilung . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.10 Hypothesentest, Signifikanz . . . . . . . . . . . .
3.10.1 Mögliche Fehler beim Testen . . . . . . . .
3.11 Konfidenz-/, Vertrauensintervall, Schätzung . . .
3.12 “mindestens ein Treffer” Aufgabe . . . . . . . . .
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published under cc-by-nc-sa by Daniel Edler
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alle Angaben ohne Gewähr
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1
Themenpunkte Abitur Mathematik, Analysis
1.1
Ableitungsregeln
• Potenzregel: xn ⇒ n · xn−1
• Faktorregel: c · xn ⇒ c · n · xn−1
• Produktregel:u(x) · v(x) ⇒ u0 (x) · v(x) + u(x) · v 0 (x)
• sin/cos Regel: cos(x) ⇒ − sin(x)
• Kettenregel: u(x) ◦ v(x) = u(v(x)) ⇒ v 0 (x) · u0 (v(x))
0
0 (x)
⇒ u (x)·v(x)−u(x)·v
Quotientenregel: u(x)
v(x)
v(x)2
1.2
Funktionen und Geraden
Tangentengleichung Gleichung die einen Punkt einer Funktionion tangiert und dessen Steigung besitzt
Normalengleichung Steht senkrecht zur Tangente eines Punktes (und schneidet auch
diesen Punkt). Dabei wird der negative Kehrwert der Tangetensteigung genommen und der Schnittpunkt mit der y-Achse neu berechnet
Umkehrfunktion Ist die an der Geraden der Funktion g(x) = x gespiegelten Funktion. Zur Berechnung müssen die x und y Werte vertauscht und nach y umgestellt
werden.
Polynomfunktion Eine Polynomfunktion zum Beispiel des dritten Grades ist ax3 +
bx2 + cx + d
1.3
Funktionsscharen/gebrochen rationale Funktionen
Der Funktionsterm einer gebrochen rationalen Funktion ist eine Division aus zwei ganzrationalen Funktionen/Polynomen. Zu beachten sind:
• Nullstelle des Nennerpolynoms:
– hebbare Lücke
– Polstelle: nach einer Polynomdivision ist festzustellen, um welche Art es sich
handelt.
Faustregel: Ist die Ordnung der Polstelle gerade so ist es eine Polstelle ohne
Vorzeichenwechsel; ist die Ordnung der Polstelle ungerade so ist es eine
Polstelle mit Vorzeichenwechsel
• Asymptoten:
– Grenzwert ergibt eine Zahl (Grad p = Grad q)
– Grenzwert ergibt Null und nähert sich der x-Achse an (Grad p < Grad q)
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alle Angaben ohne Gewähr
-2– Die Ganzrationalen Polynome nach einer Polynomdivision geben die Nährungskurve an (Grad p > Grad q). Grenzwerte gegen ±∞
1.4
Ortslinien
• Linie auf der zum Beispiel alle Hoch- oder Tiefpunkte liegen.
• Nach Berechnung eines Punktes in Abhängigkeit einer Variablen werden beide
Terme wie in einem Parametersystem angesehen. Beispiel: Aus den Gleichungen
x(t) = 3t und y(t) = 10 · t2 wird t eliminiert und es ergibt sich die Gleichung
2
y(x) = 10 · x3
1.5
Exponentialfunktionen
• Die Ableitung von ex bleibt ex .
• Die Ableitung von ln x ist
1
x
• Es gilt: eln a = a
1.6
Integralrechnung
Uneigentliche Integrale sind Integrale, dessen Grenzen im Intervall [−∞, +∞] liegen
und somit unbeschränkt sind.
1.6.1
Aufleitungsregeln
n+1
• Hauptsatz: xn ⇒ xn+1
Ra
NICHT VERGESSEN!!!: 0 f (x)dx = F (a) − F (0) 6= F (a)
R
R
• Produktregel: u0 v = uv − uv 0 (u’ und v weise definieren und wählen)
1.6.2
Flächen und Volumen
• Nicht über Nullstellen integrieren
• Bei der Rotation um die y-Achse einfach die Umkehrfunktion um die x-Achse
rotieren lassen
1.7
(grafische) Funktionsuntersuchung
• Prüfen auf Symmetrie (Achsen-, Punktsymmetrie)
• Asymptoten bestimmen (auch senkrechte bei gebrochenrationalen Funktionen)
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alle Angaben ohne Gewähr
-3-
2
Themenpunkte Abitur Mathematik, Algebra
Stichwörter: Stützvektor/Ortsvektor, Richtungsvektor, Spurpunkte
2.1
Lagebeziehungen
• Komplanar sind zwei Vektoren, wenn sie linear Abhängig sind - also der Eine ein
vielfaches vom Anderen ist
• Komplanar sind drei Vektoren, wenn sie linear abhängig sind - es kann also der
dritte Vektor als Linearkombination aus den anderen beiden ausgedrückt werden
→
−
→
−
−
−c gilt
• linear Unabhängig sind (drei) Vektoren, wenn für 0 = r→
a + s b + t→
r=s=t=0
• zwei Geraden können:
−
−
– parallel: 1. identisch (→
x1 = →
x2 ergibt ∞ Lösungen)
→
−
→
−
2. nicht identisch (x1 = x2 ergibt 0 Lösungen)
– schneiden
−
−
– windschief (→
x1 = →
x2 ergibt 0 Lösungen)
• Bei der Bestimmung vom Abstand zweier Geraden muss beachtet werden, ob sie
windschief oder parallel sind; eine Mögliche Methode dieser Bestimmung ist die
Erstellung einer Funktion
2.2
Ebenen
−
−
−
• Bei der Normalenform gilt: 0 = (→
x −→
p)·→
n
• Bei der Umrechnung von der Normalenform in die Parameterform ist es nützlich
(bzw. einfacher) die Spurpunkte zu nehmen, um Vektoren dadraus zu basteln
2.3
Skalarprodukt und Einsatz in der Winkelberechnung
→
−
→
−
−
−
• Das Skalarprodukt ist definiert durch: →
a b = |→
a | · | b | · cos ϕ
• Der Winkel ϕ zwischen zwei Geraden lässt sich berechnen über die Definition des
Skalarprodukts:
→
−
→
−
→
−
−
a b = |→
a | · | b | · cos ϕ
→
− !
→
−
a b
ϕ = arccos
→
−
−
|→
a|·| b |
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alle Angaben ohne Gewähr
-4-
2.4
Tipps
Normalenform zu Parameterform
Spurpunkte als Basis der Richtungsvektoren in der Parameterform nutzen
Abstand Punkt zu Ebene oder Geraden
Einen Punkt auf der Ebene/Geraden erstellen, der mit dem anderen Punkt außerhalb in Verbindung steht
2.5
Prozesse und Matrizen

x 1 x2 . . .
a1,1 a1,2 · · ·
 a2,1 a2,2 · · ·

 ..
..
..
 .
.
.
am,1 am,2 · · ·
 
y1
 y2 
 
 .. 
 . 
ym
xn 
a1,n
a2,n 

.. 
. 
am,n
−
−
• →
x wird als Eingangsvektor bezeichnet; →
y wird als Ausgangsvektor bezeichnet
• Eingangsvektor multipliziert mit einer Matrix ergibt einen Ausgangsvektor
• Als Zweistufiger Prozess wird die Multiplikation zweier Matrizen bezeichnet:
a1,1 b1,1 + a2,1 b1,2 + a1,3 b3,1 a1,2 b1,1 + a2,2 b1,2 + a3,2 b1,3
A·B =C =
a1,1 b2,1 + a2,1 b2,2 + a2,3 b3,2 a1,2 b2,1 + a2,2 b2,2 + a3,2 b2,3
Diese Multiplikation ist nicht kommutativ
• Austauschprozess: ist ein Prozess mit einer quadratischen Matrix und positiven
Koeffizienten, bei der in allen Spalten die Koeffizientensumme gleich 1 ist
→
−
−
−
−
• Gleichgewichtsverteilung: Jeder Vektor (→
g 6= 0 ), der die Gleichung A · →
g =→
g
erfüllt, heißt Gleichgewichtsverteilung/stabile Verteilung des Prozesses
Dabei ist die Grenzmatrix G definiert als Ak = G mit k → ∞
• absorbierende Zustände sind Systemzustände, die nicht mehr verlassen werden
können
2.6
Eigenwerte und Eigenvektoren einer Matrix
−
−
−
• Die Grundidee ist, dass A→
x = λ→
x mit: →
x := Eigenvektor; λ := Eigenwert
−
• später ergibt das dann (A − λE) · →
x = 0 ⇒ 0 = |A − λE|
2.6.1
Entwicklungsverhalten
Es soll das Entwicklunsverhalten eines Eingangsvektors und einer Matrix beschrieben
werden:
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alle Angaben ohne Gewähr
-5• Eingangsvektor durch Eigenvektoren beschreiben
• und jedes Polynom mit den Eigenwerten mulitplizieren
• Eigenwerte mit einer Variablen (x) exponieren
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alle Angaben ohne Gewähr
-6-
3
Themenpunkte Abitur Mathematik, Stochastik
3.1
Grundbegriffe
Ergebnis Mögliche Ausgänge eines Zufallsexperiments
Ereignis Teilmenge der Ergebnisse (wird mit Zufallsgröße beschrieben)
Elementarereignis Ein Element der Ergebnismenge
Laplace - Experiment Wahrscheinlichkeit ist für alle Ergebnisse gleich groß
Bernoulli - Experiment Es gibt nur zwei mögliche Ergebnisse
Stetigkeitskorrektur Möglichkeit eine Normalverteilung der Realität durch Rundung näher anzupassen; Es gibt keine Zuckertüte, die exakt 1kg wiegt
„Man unterscheidet zwischen diskreten Verteilungen, die sich auf eine endliche oder
abzählbare Menge konzentrieren, und stetigen (kontinuierlichen) Verteilungen, die sich
auf größere Bereiche erstrecken und bei denen einzelne Punkte die Wahrscheinlichkeit
0 haben. Beispiele für diskrete Verteilungen sind die Binomialverteilung und die Hypergeometrische Verteilung, die die Anzahl der Erfolge beim Ziehen aus einer Urne mit
und ohne Zurücklegen beschreiben“ 1
3.2
Binominalverteilung
• Bernolli - Kette der Länge n, die die Wahrscheinlichkeit angibt, k Treffer zu
erzielen:
n k
P (X = k) =
p · (1 − p)n−k
k
• Dabei gibt nk an, wie viele Pfade es gibt, die die richtigen Elementarereignisse
enthalten. Es gibt zum Beispiel verschiedene Möglichkeiten zwei Treffer T und
eine Niete N darzustellen:
Anzahl der Züge =: n = 3
Anzahl der Nieten =: k = 1
n
⇒
=3
k
3.3
Kombinatorik
Man zieht k Kugeln aus einer Urne mit n Kugeln:
1
http://de.wikipedia.org/wiki/Wahrscheinlichkeitsverteilung 7. Januar 2010 um 17:19
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alle Angaben ohne Gewähr
-7Beachtung der Reihenfolge {a, b} =
6
{b, a}
mit
Zurücklegen
ohne
Zurücklegen
3.4
Ohne Beachtung der Reihenfolge
{a, b} = {b, a}
nk
(n + k − 1)!
k! · (n − 1)!
n+k−1
=
k
n · (n − 1) · . . . · (n − k + 1)
k · (k − 1) · . . . · 1
n!
n
=
=
k!
(n − k)!
k
n!
(n − k)! · k!
n
=
k
Hypergeometrische Verteilung
Von 45 Kugeln werden 10 Kugeln gezogen. Gesucht ist die Wahrscheinlichkeit, dass
genau 4 gelbe von insgesamt 20 gelben dabei sind:
25
M N −M
20
·
4
n−4
4
6 =
45
N
10
3.5
n
Bedingte Wahrscheinlichkeit - Satz von Bayes
• Wenn es eine bedingte Wahrscheinlichkeit ist, gilt:
P (A ∩ B) = P (A) · PA (B)
P (A) = PB (A)
⇒ P (B) = PA (B)
mit P (A) 6= 0
(1)
(2)
(3)
• Tipp: Sachverhalt in einer Vierfeldtabelle aufzeichnen
• Satz von Bayes: Man erhält die a posteriori Wahrscheinlichkeit einer Alternative
PB (A), in dem man Wahrscheinlichkeit des zugehörigen Pfades P (B)·P (A) durch
die totale Wahrscheinlichkeit des beobachteten Indizes teilt P (B) · P (A) + P (B) ·
P (A)
3.6
Erwartungswert (Gewinnerwartung)
• Der Erwartungswert E(X) = µ ist der zu erwartende Durchschnittswert und ist
die Summe aus allen Produkten aus allen Ereignissen und deren Wahrscheinlich-
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alle Angaben ohne Gewähr
-8keit. Rechenregeln:
(4)
(5)
(6)
E(X + Y ) = E(X) + E(Y )
E(kX) = kE(X)
E(X · Y ) = E(X) · E(Y )
• Bei einer binominalvertelten Zufallsgröße gilt: µ = n · p
3.7
Varianz
• Die Varianz V (X) = σ 2 beschreibt die Streuung um einen Wert.
• Sie ist die Summe aus den Produkten von der quadratischen Abweichung vom
Erwartungswert und der dazugehörigen Wahrscheinlichkeit
3.8
Standardabweichung
Die Wurzel aus der Varianz ergibt die Standardabweichung σ =
3.9
√
σ2 =
p
V (X)
Normalverteilung
Die Normalverteilung ist eine Annäherung an die “Wirklichkeit” der Bionominalverteilung. Es gilt:
1
−
1
1
ϕµ,σ (x) = · √ · e 2
σ
2π
Ist es bionominalverteilt gilt zusätzlich: µ = np
„
∧
x−µ
σ
«2
σ=
p
np(1 − p)
Diese Normalverteilung ist nährungsweise eine Binominalverteilung
3.10
Hypothesentest, Signifikanz
Nach einem Experiment wird eine Hypothese der Wahrscheinlichkeit p0 (bezüglich der
Ergebnisse) aufgestellt. Befindet es sich im selbst gewählten Signifikanzniveau (α; 1 − α
ist das Intervall, in dem X befinden muss) um den „echten“ Wert so ist diese These
bestätigt:
µ−c·σ ≤X ≤µ+c·σ
p
p
np0 − c np0 (1 − p0 ) ≤ X ≤ np0 + c np0 (1 − p0 )
Es wird eine These aufgestellt, dass die Wahrscheinlichkeit für ein Ereignis p = 70%
beträgt. Nach einer Stichprobe von n = 100 beträgt der Treffer k = 65 (⇒ p0 = nk =
65
= 65%. Die Frage ist, ob der Wert p innerhalb eines Tolleranzbereichs(-intervalls)
100
um p0 liegt und somit die These bestätigt werden kann.
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alle Angaben ohne Gewähr
-93.10.1
Mögliche Fehler beim Testen
falsch/ablehnen
(Behauptung)
wahr/zustimmen
(Behauptung)
3.11
wahr (Wirklichkeit)
falsch (Wirklichkeit)
Fehler 1.Art
Fehler 2. Art
Konfidenz-/, Vertrauensintervall, Schätzung
Beim Konfidenzintervall hat man das Problem, dass man – im Gegensatz zum Testen
– keinerlei Angaben hat. Es gilt für ein Experiment o.ä. einen guten Schätzwert p im
Vertrauensintervall zu erhalten.
Für das Konfidenzintervall für p zum Konfidenzniveau β gilt:
r
r
h · (1 − h)
h · (1 − h)
≤p≤h+c·
h−c·
n
n
mit: h =
k
n
=
Treffer (in der Stichprobe)
Anzahl Durchgänge/Befragten (in der Stichprobe) insgesamt
Für steigendes n wächst die Genauigkeit – das Intervall wird enger.
3.12
“mindestens ein Treffer” Aufgabe
Bei diesem Aufgabentyp ist gefragt, ab dem wie vielten Versuch n man mit einer
Treffwahrscheinlichkeit(-sicherheit) p treffen muss, damit mindestens einen Treffer mit
zum Beispiel 90% iger Wahrscheinlichkeit trifft. Sei X die Anzahl der Treffer:
P (X ≥ 1) = 0, 9
Mindestens ein Treffer bedeutet man kann 1 + 2 + . . . + n Treffer haben. Das heißt,
dass es nicht 0 Treffer geben darf:
1 − P (X = 0) = 0, 9
Die Wahrscheinlichkeit dafür, dass es kein Treffer ist:
1 − (1 − p)n = 0, 9
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