Mathematik und Physik

Unterrichtszusammenfassungen
Jahrgansstufen 12/13, Abitur 2010
Mathematik und Physik
erstellt von:
Daniel Edler
Dieses Dokument wurde mit LATEX am 29. März 2010 um 14:00 gesetzt
-2-
Inhaltsverzeichnis
I
Themenpunkte Abitur Mathematik
1
1 Themenpunkte Abitur Mathematik, Analysis
1.1 Ableitungsregeln . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2 Funktionen und Geraden . . . . . . . . . . . . . .
1.3 Funktionsscharen/gebrochen rationale Funktionen
1.4 Ortslinien . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.5 Exponentialfunktionen . . . . . . . . . . . . . . .
1.6 Integralrechnung . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.6.1 Aufleitungsregeln . . . . . . . . . . . . . .
1.6.2 Flächen und Volumen . . . . . . . . . . .
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2 Themenpunkte Abitur Mathematik, Algebra
2.1 Lagebeziehungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2 Ebenen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.3 Skalarprodukt und Einsatz in der Winkelberechnung
2.4 Tipps . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.5 Prozesse und Matrizen . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.6 Eigenwerte und Eigenvektoren einer Matrix . . . . .
2.6.1 Entwicklungsverhalten . . . . . . . . . . . . .
3 Themenpunkte Abitur Mathematik, Stochastik
3.1 Grundbegriffe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.2 Binominalverteilung . . . . . . . . . . . . . . . .
3.3 Kombinatorik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.4 Hypergeometrische Verteilung . . . . . . . . . . .
3.5 Bedingte Wahrscheinlichkeit - Satz von Bayes . .
3.6 Erwartungswert (Gewinnerwartung) . . . . . . . .
3.7 Varianz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.8 Standardabweichung . . . . . . . . . . . . . . . .
3.9 Normalverteilung . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.10 Hypothesentest, Signifikanz . . . . . . . . . . . .
3.10.1 Mögliche Fehler beim Testen . . . . . . . .
3.11 Konfidenz-/, Vertrauensintervall, Schätzung . . .
3.12 “mindestens ein Treffer” Aufgabe . . . . . . . . .
II
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Themenpunkte Abitur Physik
4 Themenpunkte Abitur Physik, Elektronen
4.1 Feldbegriff . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.2 Messverfahren: elektrische Feldstärke . . .
4.3 Elektrische Spannung in homogenen Felder
4.3.1 Elektrisches Potential . . . . . . . .
4.4 Flächenladungsdichte . . . . . . . . . . . .
4.5 Dielektrikum/Isolator im E-Feld . . . . . .
published under cc-by-nc-sa by Daniel Edler
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in
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Feldern
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alle Angaben ohne Gewähr
-34.6
4.7
4.8
4.9
4.10
4.11
4.12
4.13
4.14
4.15
Kapazität eines Kondensators . . . . . . . . . . . . . . .
Coulomb – Kraft . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Schaltungensmöglichkeiten des Kondensators . . . . . . .
Messverfahren: magnetischer Fluss . . . . . . . . . . . .
4.9.1 elektrische Spule . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Halleffekt und Funktion der Hallsonde . . . . . . . . . .
Induktion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.11.1 Selbstinduktion/Spuleneigeninduktivität . . . . .
4.11.2 Sinusförmige Wechselspannung . . . . . . . . . .
Widerstände . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.12.1 Kapazitive Widerstand . . . . . . . . . . . . . . .
4.12.2 Induktive Widerstand . . . . . . . . . . . . . . .
4.12.3 Scheinwiderstand . . . . . . . . . . . . . . . . . .
freie Elektronen in homogenen elektrischen/magnetischen
4.13.1 glühelektrische Effekt . . . . . . . . . . . . . . . .
4.13.2 Fadenstrahlrohr . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Geschwindigkeitsfilter . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.14.1 Braunsche Röhre . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Energie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.15.1 des Magnetfeldes . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.15.2 des elektrischen Feldes . . . . . . . . . . . . . . .
5 Themenpunkte Abitur Physik, Interferenz
5.1 Das Huygensche Prinzip . . . . . . . . . .
5.2 Bedingungen an die Lichtquelle . . . . . .
5.3 Doppelspalt . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.4 optische Gitter . . . . . . . . . . . . . . .
5.5 Einfachspalt . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.6 Reflexion . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.6.1 Polarisation . . . . . . . . . . . . .
5.7 Bragg-Gleichung (Welle – Teilchen) . . . .
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Feldern
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& Spektroskopie
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6 Themenpunkte Abitur Physik, Atome: Hülle und Kern
6.1 Bohrsche Atommodell . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.1.1 kinetische Energie . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.1.2 potentielle Energie . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.1.3 Gesamtenergie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.2 Fotoeffekt/Vakuumfotozelle (Bestimmung von h) . . . . .
6.3 Teilcheneigenschaft des Lichts (Teilchen) . . . . . . . . . .
6.4 Compton Effekt (Teilchen, Bestimmung von h) . . . . . . .
6.5 Paarbildung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.6 Bremsstrahlung und charakteristische Röngtenstrahlung .
6.7 Heisenbergsche Unschärferelation . . . . . . . . . . . . . .
6.8 Potentialtopf/Lokalisationsenergie . . . . . . . . . . . . . .
6.9 Floureszenz und Phosphoreszenz . . . . . . . . . . . . . . .
6.10 Nachweisgeräte von Radioaktivtät . . . . . . . . . . . . . .
6.10.1 Geiger-Müller-Zählrohr . . . . . . . . . . . . . . . .
6.10.2 Nebelkammer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.10.3 Ionisationskammer . . . . . . . . . . . . . . . . . .
published under cc-by-nc-sa by Daniel Edler
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alle Angaben ohne Gewähr
-46.11 Halbwertszeit und Aktivität . . . .
6.11.1 C-14 Methode . . . . . . . .
6.12 Absorption . . . . . . . . . . . . . .
6.13 α Teilchen, Geschwindigkeit . . . .
6.14 β Teilchen/Strahlung . . . . . . . .
6.15 Kernkräfte . . . . . . . . . . . . . .
6.16 Kernmodell . . . . . . . . . . . . .
6.17 Massendefekt und Bindungsenergie
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7 Grundlagen in der Mechanik
7.1 Wellen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7.2 Überlagerung und Interferenz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7.3 Die stehende Welle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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alle Angaben ohne Gewähr
-1-
Teil I
Themenpunkte Abitur Mathematik
1
Themenpunkte Abitur Mathematik, Analysis
1.1
Ableitungsregeln
• Potenzregel: xn ⇒ n · xn−1
• Faktorregel: c · xn ⇒ c · n · xn−1
• Produktregel:u(x) · v(x) ⇒ u0 (x) · v(x) + u(x) · v 0 (x)
• sin/cos Regel: cos(x) ⇒ − sin(x)
• Kettenregel: u(x) ◦ v(x) = u(v(x)) ⇒ v 0 (x) · u0 (v(x))
0
0 (x)
Quotientenregel: u(x)
⇒ u (x)·v(x)−u(x)·v
v(x)
v(x)2
1.2
Funktionen und Geraden
Tangentengleichung Gleichung die einen Punkt einer Funktionion tangiert und dessen Steigung besitzt
Normalengleichung Steht senkrecht zur Tangente eines Punktes (und schneidet auch
diesen Punkt). Dabei wird der negative Kehrwert der Tangetensteigung genommen und der Schnittpunkt mit der y-Achse neu berechnet
Umkehrfunktion Ist die an der Geraden der Funktion g(x) = x gespiegelten Funktion. Zur Berechnung müssen die x und y Werte vertauscht und nach y umgestellt
werden.
Polynomfunktion Eine Polynomfunktion zum Beispiel des dritten Grades ist ax3 +
bx2 + cx + d
1.3
Funktionsscharen/gebrochen rationale Funktionen
Der Funktionsterm einer gebrochen rationalen Funktion ist eine Division aus zwei ganzrationalen Funktionen/Polynomen. Zu beachten sind:
• Nullstelle des Nennerpolynoms:
– hebbare Lücke
– Polstelle: nach einer Polynomdivision ist festzustellen, um welche Art es sich
handelt.
Ist die Ordnung der Polstelle gerade so ist es eine Polstelle ohne Vorzeichenwechsel; ist die Ordnung der Polstelle ungerade so ist es eine Polstelle mit
Vorzeichenwechsel
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alle Angaben ohne Gewähr
-2• Asymptoten:
– Grenzwert ergibt eine Zahl (Grad p = Grad q)
– Grenzwert ergibt Null und nähert sich der x-Achse an (Grad p < Grad q)
– Die Ganzrationalen Polynome nach einer Polynomdivision geben die Nährungskurve an (Grad p > Grad q). Grenzwerte gegen ±∞
1.4
Ortslinien
• Linie auf der zum Beispiel alle Hoch- oder Tiefpunkte liegen.
• Nach Berechnung eines Punktes in Abhängigkeit einer Variablen werden beide
Terme wie in einem Parametersystem angesehen. Beispiel: Aus den Gleichungen
x(t) = 3t und y(t) = 10 · t2 wird t eliminiert und es ergibt sich die Gleichung
2
y(x) = 10 · x3
1.5
Exponentialfunktionen
• Die Ableitung von ex bleibt ex .
• Die Ableitung von ln x ist
1
x
• Es gilt: eln a = a
1.6
Integralrechnung
Uneigentliche Integrale sind Integrale, dessen Grenzen im Intervall [−∞, +∞] liegen
und somit unbeschränkt sind.
1.6.1
Aufleitungsregeln
n+1
• Hauptsatz: xn ⇒ xn+1
Ra
NICHT VERGESSEN!!!: 0 f (x)dx = F (a) − F (0) 6= F (a)
R
R
• Produktregel: u0 v = uv − uv 0 (u’ und v weise definieren und wählen)
1.6.2
Flächen und Volumen
• Nicht über Nullstellen integrieren
• Bei der Rotation um die y-Achse einfach die Umkehrfunktion um die x-Achse
rotieren lassen
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alle Angaben ohne Gewähr
-3-
2
Themenpunkte Abitur Mathematik, Algebra
Stichwörter: Stützvektor/Ortsvektor, Richtungsvektor, Spurpunkte
2.1
Lagebeziehungen
• Komplanar sind zwei Vektoren, wenn sie linear Abhängig sind - also der Eine ein
vielfaches vom Anderen ist
• Komplanar sind drei Vektoren, wenn sie linear abhängig sind - es kann also der
dritte Vektor als Linearkombination aus den anderen beiden ausgedrückt werden
→
−
→
−
−
−c gilt
• linear Unabhängig sind (drei) Vektoren, wenn für 0 = r→
a + s b + t→
r=s=t=0
• zwei Geraden können:
−
−
– parallel: 1. identisch (→
x1 = →
x2 ergibt ∞ Lösungen)
→
−
→
−
2. nicht identisch (x1 = x2 ergibt 0 Lösungen)
– schneiden
−
−
– windschief (→
x1 = →
x2 ergibt 0 Lösungen)
• Bei der Bestimmung vom Abstand zweier Geraden muss beachtet werden, ob sie
windschief oder parallel sind; eine Mögliche Methode dieser Bestimmung ist die
Erstellung einer Funktion
2.2
Ebenen
−
−
−
• Bei der Normalenform gilt: 0 = (→
x −→
p)·→
n
• Bei der Umrechnung von der Normalenform in die Parameterform ist es nützlich
(bzw. einfacher) die Spurpunkte zu nehmen, um Vektoren dadraus zu basteln
2.3
Skalarprodukt und Einsatz in der Winkelberechnung
→
−
→
−
−
−
• Das Skalarprodukt ist definiert durch: →
a b = |→
a | · | b | · cos ϕ
• Der Winkel ϕ zwischen zwei Geraden lässt sich berechnen über die Definition des
Skalarprodukts:
→
−
→
−
→
−
−
a b = |→
a | · | b | · cos ϕ
→
− !
→
−
a b
ϕ = arccos
→
−
−
|→
a|·| b |
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alle Angaben ohne Gewähr
-4-
2.4
Tipps
Normalenform zu Parameterform
Spurpunkte als Basis der Richtungsvektoren in der Parameterform nutzen
Abstand Punkt zu Ebene oder Geraden
Einen Punkt auf der Ebene/Geraden erstellen, der mit dem anderen Punkt außerhalb in Verbindung steht
2.5
Prozesse und Matrizen


y1
 y2 
 
 .. 
 . 
ym
 x 1 x2 . . .
a1,1 a1,2 · · ·
 a2,1 a2,2 · · ·

 ..
..
...
 .
.
am,1 am,2 · · ·
xn 
a1,n
a2,n 

.. 
. 
am,n
−
−
• →
x wird als Eingangsvektor bezeichnet; →
y wird als Ausgangsvektor bezeichnet
• Eingangsvektor multipliziert mit einer Matrix ergibt einen Ausgangsvektor
• Als Zweistufiger Prozess wird die Multiplikation zweier Matrizen bezeichnet:
a1,1 b1,1 + a2,1 b1,2 + a1,3 b3,1 a1,2 b1,1 + a2,2 b1,2 + a3,2 b1,3
A·B =C =
a1,1 b2,1 + a2,1 b2,2 + a2,3 b3,2 a1,2 b2,1 + a2,2 b2,2 + a3,2 b2,3
Diese Multiplikation ist nicht kommutativ
• Austauschprozess: ist ein Prozess mit einer quadratischen Matrix und positiven
Koeffizienten, bei der in allen Spalten die Koeffizientensumme gleich 1 ist
→
−
−
−
−
• Gleichgewichtsverteilung: Jeder Vektor (→
g 6= 0 ), der die Gleichung A · →
g =→
g
erfüllt, heißt Gleichgewichtsverteilung/stabile Verteilung des Prozesses
Dabei ist die Grenzmatrix G definiert als Ak = G mit k → ∞
• absorbierende Zustände sind Systemzustände, die nicht mehr verlassen werden
können
2.6
Eigenwerte und Eigenvektoren einer Matrix
−
−
−
• Die Grundidee ist, dass A→
x = λ→
x mit: →
x := Eigenvektor; λ := Eigenwert
−
• später ergibt das dann (A − λE) · →
x = 0 ⇒ 0 = |A − λE|
2.6.1
Entwicklungsverhalten
Es soll das Entwicklunsverhalten eines Eingangsvektors und einer Matrix beschrieben
werden:
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alle Angaben ohne Gewähr
-5• Eingangsvektor durch Eigenvektoren beschreiben
• und jedes Polynom mit den Eigenwerten mulitplizieren
• Eigenwerte mit einer Variablen (x) exponieren
published under cc-by-nc-sa by Daniel Edler
alle Angaben ohne Gewähr
-6-
3
Themenpunkte Abitur Mathematik, Stochastik
3.1
Grundbegriffe
Ergebnis Mögliche Ausgänge eines Zufallsexperiments
Ereignis Teilmenge der Ergebnisse (wird mit Zufallsgröße beschrieben)
Elementarereignis Ein Element der Ergebnismenge
Laplace - Experiment Wahrscheinlichkeit ist für alle Ergebnisse gleich groß
Bernoulli - Experiment Es gibt nur zwei mögliche Ergebnisse
Stetigkeitskorrektur Möglichkeit eine Normalverteilung der Realität durch Rundung näher anzupassen; Es gibt keine Zuckertüte, die exakt 1kg wiegt
„Man unterscheidet zwischen diskreten Verteilungen, die sich auf eine endliche oder
abzählbare Menge konzentrieren, und stetigen (kontinuierlichen) Verteilungen, die sich
auf größere Bereiche erstrecken und bei denen einzelne Punkte die Wahrscheinlichkeit
0 haben. Beispiele für diskrete Verteilungen sind die Binomialverteilung und die Hypergeometrische Verteilung, die die Anzahl der Erfolge beim Ziehen aus einer Urne mit
und ohne Zurücklegen beschreiben“ 1
3.2
Binominalverteilung
• Bernolli - Kette der Länge n, die die Wahrscheinlichkeit angibt, k Treffer zu
erzielen:
n k
P (X = k) =
p · (1 − p)n−k
k
• Dabei gibt nk an, wie viele Pfade es gibt, die die richtigen Elementarereignisse
enthalten. Es gibt zum Beispiel verschiedene Möglichkeiten zwei Treffer T und
eine Niete N darzustellen:
Anzahl der Züge =: n = 3
Anzahl der Nieten =: k = 1
n
⇒
=3
k
3.3
Kombinatorik
Man zieht k Kugeln aus einer Urne mit n Kugeln: ist das richtig (s.u.)?
1
http://de.wikipedia.org/wiki/Wahrscheinlichkeitsverteilung 7. Januar 2010 um 17:19
Uhr
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alle Angaben ohne Gewähr
-7Beachtung der Reihenfolge {a, b} =
6
{b, a}
mit
Zurücklegen
ohne
Zurücklegen
3.4
Ohne Beachtung der Reihenfolge
{a, b} = {b, a}
nk
(n + k − 1)!
k! · (n − 1)!
n+k−1
=
k
n · (n − 1) · . . . · (n − k + 1)
k · (k − 1) · . . . · 1
n!
n
=
=
k!
(n − k)!
k
n!
(n − k)! · k!
n
=
k
Hypergeometrische Verteilung
Von 45 Kugeln werden 10 Kugeln gezogen. Gesucht ist die Wahrscheinlichkeit, dass
genau 4 gelbe von insgesamt 20 gelben dabei sind:
25
M N −M
20
· 6
4
n−4
4
=
45
N
10
3.5
n
Bedingte Wahrscheinlichkeit - Satz von Bayes
• Wenn es eine bedingte Wahrscheinlichkeit ist, gilt:
P (A ∩ B) = P (A) · PA (B)
P (A) = PB (A)
⇒ P (B) = PA (B)
mit P (A) 6= 0
(1)
(2)
(3)
• Tipp: Sachverhalt in einer Vierfeldtabelle aufzeichnen
• Satz von Bayes: Man erhält die a posteriori Wahrscheinlichkeit einer Alternative
PB (A), in dem man Wahrscheinlichkeit des zugehörigen Pfades P (B)·P (A) durch
die totale Wahrscheinlichkeit des beobachteten Indizes teilt P (B) · P (A) + P (B) ·
P (A)
3.6
Erwartungswert (Gewinnerwartung)
• Der Erwartungswert E(X) = µ ist der zu erwartende Durchschnittswert und ist
die Summe aus allen Produkten aus allen Ereignissen und deren Wahrscheinlich-
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alle Angaben ohne Gewähr
-8keit. Rechenregeln:
(4)
(5)
(6)
E(X + Y ) = E(X) + E(Y )
E(kX) = kE(X)
E(X · Y ) = E(X) · E(Y )
• Bei einer binominalvertelten Zufallsgröße gilt: µ = n · p
3.7
Varianz
• Die Varianz V (X) = σ 2 beschreibt die Streuung um einen Wert.
• Sie ist die Summe aus den Produkten von der quadratischen Abweichung vom
Erwartungswert und der dazugehörigen Wahrscheinlichkeit
3.8
Standardabweichung
Die Wurzel aus der Varianz ergibt die Standardabweichung σ =
3.9
√
σ2 =
p
V (X)
Normalverteilung
Die Normalverteilung ist eine Annäherung an die “Wirklichkeit” der Bionominalverteilung. Es gilt:
1
−
1
1
ϕµ,σ (x) = · √ · e 2
σ
2π
Ist es bionominalverteilt gilt zusätzlich: µ = np
„
∧
x−µ
σ
«2
σ=
p
np(1 − p)
Diese Normalverteilung ist nährungsweise eine Binominalverteilung
3.10
Hypothesentest, Signifikanz
Nach einem Experiment wird eine Hypothese der Wahrscheinlichkeit p0 (bezüglich der
Ergebnisse) aufgestellt. Befindet es sich im selbst gewählten Signifikanzniveau (α; 1 − α
ist das Intervall, in dem X befinden muss) um den „echten“ Wert so ist diese These
bestätigt:
µ−c·σ ≤X ≤µ+c·σ
p
p
np0 − c np0 (1 − p0 ) ≤ X ≤ np0 + c np0 (1 − p0 )
Es wird eine These aufgestellt, dass die Wahrscheinlichkeit für ein Ereignis p = 70%
beträgt. Nach einer Stichprobe von n = 100 beträgt der Treffer k = 65 (⇒ p0 = nk =
65
= 65%. Die Frage ist, ob der Wert p innerhalb eines Tolleranzbereichs(-intervalls)
100
um p0 liegt und somit die These bestätigt werden kann.
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-93.10.1
Mögliche Fehler beim Testen
falsch/ablehnen
(Behauptung)
wahr/zustimmen
(Behauptung)
3.11
wahr (Wirklichkeit)
falsch (Wirklichkeit)
Fehler 1.Art
Fehler 2. Art
Konfidenz-/, Vertrauensintervall, Schätzung
Beim Konfidenzintervall hat man das Problem, dass man – im Gegensatz zum Testen
– keinerlei Angaben hat. Es gilt für ein Experiment o.ä. einen guten Schätzwert p im
Vertrauensintervall zu erhalten.
Für das Konfidenzintervall für p zum Konfidenzniveau β gilt:
r
r
h · (1 − h)
h · (1 − h)
≤p≤h+c·
h−c·
n
n
mit: h =
k
n
=
Treffer (in der Stichprobe)
Anzahl Durchgänge/Befragten (in der Stichprobe) insgesamt
Für steigendes n wächst die Genauigkeit – das Intervall wird enger.
3.12
“mindestens ein Treffer” Aufgabe
Bei diesem Aufgabentyp ist gefragt, ab dem wie vielten Versuch n man mit einer
Treffwahrscheinlichkeit(-sicherheit) p treffen muss, damit mindestens einen Treffer mit
zum Beispiel 90% iger Wahrscheinlichkeit trifft. Sei X die Anzahl der Treffer:
P (X ≥ 1) = 0, 9
Mindestens ein Treffer bedeutet man kann 1 + 2 + . . . + n Treffer haben. Das heißt,
dass es nicht 0 Treffer geben darf:
1 − P (X = 0) = 0, 9
Die Wahrscheinlichkeit dafür, dass es kein Treffer ist:
1 − (1 − p)n = 0, 9
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-10-
Teil II
Themenpunkte Abitur Physik
4
Themenpunkte Abitur Physik, Elektronen in Feldern
4.1
Feldbegriff
„Ein Feld besteht in einem Raum, der leer oder stofferfüllt sein kann, und messbaren
physikalischen Eigenschaften, die jedem Raumpunkt zugeordnet werden können. Diese
physikalischen Größen nennt man Feldgrößen.“ 2
• Wirbelfrei bedeutet ohne Anfang und Ende
• Magnetfeld geht von Nord nach Süd
• Da ein elektrischer Leiter ein Magnetfeld erzeugt überlagert es sich mit dem
bestehenden und wird somit abgelenkt.
4.2
Messverfahren: elektrische Feldstärke
• Ein elektrisches Feld lässt sich mit der Gesetzmäßigkeit E = Fqel am leichtesten
in einem Plattenkondensator messen. Dort ist auch das E-Feld überall gleich
• Dies ist mit einem Fadenpendel und einem Körper als Probeladung realisierbar.
Die Auslenkung senkrecht zum Lot s verhält sich genauso wie die elektrische
Kraft Fel . Genauso, wie das Lot und die Gewichtskraft.
4.3
Elektrische Spannung in homogenen Felder
In homogenen Feldern eines Kondensators gilt, dass die Transportarbeit Wel (unabhängig vom Weg; nur Anfang und Ende sind entscheidend) von −Q zu +Q proportional
zur transportierten Ladung q ist:
Wel
Fd
qEd
=
=
=U
q
q
q
4.3.1
Elektrisches Potential
• Das elektrische Potential ϕ (auch energetische Niveau) gibt die Spannung eines
Punktes zu einem (wilkürlich) gewählten Bezugspunkt an.
• Alle Punkte mit demselben energetischen Niveau werden als Äquipotentialfläche
bezeichnet.
2
http://de.wikipedia.org/wiki/Feld_%28Physik%29 19. Oktober 2009 um 06:07 Uhr
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-11• Die Differenz aus zwei Potentialen ergibt die Spannung U
4.4
Flächenladungsdichte
Die Flächenladungsdichte gibt die Ladung auf/pro einer Fläche an. Habe ich einen
größeren Ladungslöffel passt auch mehr Ladung drauf. Dieser Quotient ergibt die Konstante σ(sigma) an: σ = Q
A
4.5
Dielektrikum/Isolator im E-Feld
• Das Medium zwischen zwei Kondensatorplatten beeinflusst die Spannung
• Solch ein Isolator/Dielektrikum ist immer unterschiedlich und wird mit r angegeben (im Vakuum gleich eins)
4.6
Kapazität eines Kondensators
Aus dem Zusammenhang der Proportionalität von σ und E ergibt sich die Dielektrizitätskonstante 0 :
σ = 0 · E
⇒
U
Q
= σ = 0 · E = 0
A
d
A
Q
→
= 0 = C
U
d
Die elektrischen Größen Q
lassen sich durch die Geometrischen 0 Ad beschreiben und
U
ergeben die Kapazität C eines Kondensators. Sie wird in der Einheit Farad angegeben
4.7
Coulomb – Kraft
• Es sind nur die Ladungszentren entscheidend; nicht die Größe von z.B. einer
gelandenen Kugel
• Obwohl ein radiales Feld inhoogen ist, kann man es zu einem Punkt P als homogen bezeichnen. Es ergibt sich mit der der Fläche A = 4πr2 einer Kugel:
Q
A
F
q
0 · =
q
4πr2
1
Qq
⇒F =
· 2
4π0 r
0 E =
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-12-
4.8
Schaltungensmöglichkeiten des Kondensators
• Der Ersatzkondensator CErsatz einer Parallelschaltung errechnet sich aus seinen
n )·U
Einzelkondensatoren: CErsatz = (C1 +C2 +...+C
= C1 + C2 + . . . + Cn . Dies liegt
U
daran, dass nach der kirchhoffschen Regel an allen Verzweigungen die Spannung
gleich groß ist und sich dadurch quasi die Plattengröße vergrößert.
• Bei einer Reihenschaltung sind die Spannungen hingegen an jedem Kondensator
Q
1
unterschiedlich und die Ladung an jedem gleich: CErsatz = Q +...+
Q = C +...+
1
C1
1
Cn
4.9
Cn
Messverfahren: magnetischer Fluss
• Mit einer Leiterschaukel lässt sich die magnetische Flussdichte bestimmen:
FL
→ FL = IsB
Is
s
Q
mit: I = ∧ Q = n · e− ∧ v =
t
t
−
→
→
−
−
− →
⇒ FL = n · e · v · B
B=
Dabei gibt es eine Lorenztkraft nach unten, die mit Kraftmessern zu messen ist.
Die Kräfte zur Seite heben sich gegenseitig auf.
• Bei einer Stromwaage wird ein Leiter, frei schwingend aufgehängt unter dessen
ebenfalls ein Leiter liegt. Bei Stromfluss - also bei Erzeugung eines B-Feldes schwingt der Leiter aufgrund der Lorentzkraft zur Seite
• Bewegt sich ein Metallstück durch ein Magnetfeld, so beginnnen die Elektronen,
aufgrunder der Lorentzkraft “sich im Kreis zu drehen” - zu wirbeln.
4.9.1
elektrische Spule
Das magnetische Feld einer Spule hängt von der Stromstärke I, der Zahl der WIndungen n, der Länge der Spule l und dem Medium in der Spule µ ab und stehen in
folgenden Zusammenhang:
nIµ0 µr
B=
l
4.10
Halleffekt und Funktion der Hallsonde
Der Halleffekt ist das Auftreten einer elektrischen Spannung in einem stromdurchflossenen Leiter, der sich in einem stationären Magnetfeld befindet. Eine Hallsonde ist ein
Gerät, welches sich diesen Effekt zu Nutze nimmt. Zu erklären ist dies damit, dass die
Elektronen in einem stromdurchflossenen Leiter sich bewegen und eine Lorentzkraft
ausgesetzt sind. Die durch diese Ladungstrennung erzeugte Spannung ist die Hallspannung. Gleichzeitig wirkt jedoch ein elektrisches Feld dem entgegen. Aus dem Ansatzt,
dass die Kräfte im Gleichgewicht sind folgt:
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-13-
E
B
U
→ UH = Bdv
v=
d·B
v=
4.11
Induktion
Ein Stab der Länge d befindet sich auf zwei Schienen in einem (homogen) Magnetfeld
B. Er wird mit der Geschwindigkeit v (in eine Richtung innerhalb es Magnetfeldes)
bewegt. Die induzierte Spannung Ui ist:
Ui = Bvd
• Liegt die Anordnung nicht genau senkrecht zum Magnetfeld, so muss die Geschwindigkeit in ihre Komponenten zerlegt werden.
• Allgemeiner gesprochen wird nur dann Strom induziert, wenn sich durch die
Bewegung die senkrecht stehende Fläche ändert. Oder das B-Feld. Das Produkt
aus der Flussdicht und dem Querschnitt ergibt die den magnetischen Fluss Φ.
• Lenzsche Regel: Der Induktionsstrom ist immer so gerichtet, dass er der Ursache seiner Entstehung entgegen gerichtet wirkt
– beim Thomsonschen Ring geht das Magnetfeld durch den Aluring durch.
Nach Lentz muss sich der Ring dann seiner Ursache entgegen bewegen
• Beim Transformator induziert die Primärspule ein wechselndes B-Feld. Es gilt:
nP
IS
UP
=
=
nS
IP
US
4.11.1
Selbstinduktion/Spuleneigeninduktivität
• Wenn in einer Spule die Stromstärke steigt (dies geschieht allmählich; nicht plötzlich) wird ein B-Feld induziert
• Nach Lenz wirkt aber die Induktionsspannung dieser Ursache entgegen:
Ui = −nΦ̇ = −nA ·
∆B
µ0 µr n ˙
= −n · A ·
·I
∆t
l
• Erst zeitversetzt baut sich das B-Feld auf, aufgrund der Induktionsspannung wird
es allerdings nie voll aufgebaut sein
• Wie groß diese Eigeninduktivität einer Spule ist wird mit L beschrieben:
Ui = −L · I˙
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-144.11.2
Sinusförmige Wechselspannung
• Eine sinusförmige Wechselspannung ist mit einem Generator/Dynamo zu erstellen. Dabei muss die Bewegung in ihrer Komponeten vs und vp zerlegt werden,
wobei nur vs für die Induktion zuständig ist. Es ergibt sich für Ui :
U = 2nBd · vs = 2nBd · v · sin α = 2nBd · v · sin ωt
Ui (t) = Û · sin ωt
• Die Energie dafür beträgt mit P (t) = U (t)I(t) =
Z
T
W =
0
1
P (t)dt = P̂ T
2
U 2 (t)
R
:
Beweis auch am Graphen zu sehen
Die mittlere Leistung P ist:
WT
Û 2
P̂ · 2−1 =
=
2R
2
U
Û
Û
P = eff =
⇒ Ueff = √
2R
R
2
P =
4.12
4.12.1
Widerstände
Kapazitive Widerstand
Im Wechselstromkreis (Wechselspannung ist angelegt) ist die Umladestromstärke um
π
˙ = 0 ist U = 0. Für den Kapazitiven
nach links verschoben. Für I(t) = max ⇒ I(t)
2
Widerstand gilt in einem solchen Stromkreis:
Ueff ∼ Ieff
Ueff
1
1
= XC =
=
Ieff
2π · f · C
ωC
4.12.2
Induktive Widerstand
Im Wechselstromkries sind ist die Stromstärke um π2 nach rechts verschoben. Für I(t) =
˙ = 0 ist Ui = 0. Für den induktiven Widerstand gilt in einem solchen
max ⇒ I(t)
Stromkreis:
Ueff ∼ Ieff
Ueff
= XL = 2π · f · L = ωL
Ieff
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-154.12.3
Scheinwiderstand
Im Zeigermodell sind UL und UC um π voneinander gedreht. Die „normale“ Spannung
am Widerstand R ist dazwischen und unverschoben. Es ergibt sich für die resultierende
Spannung U :
→
−
−
→ −
→ −
→
U = UR + UL + UC
p
Û = Iˆ R2 + XL 2 + XC 2
p
Û
Z=
= R 2 + XL 2 + XC 2
Iˆ
4.13
4.13.1
freie Elektronen in homogenen elektrischen/magnetischen
Feldern
glühelektrische Effekt
An einem Heizdraht wird eine hohe Spannung angelegt. Die fließenden Elektronen
haben somit eine hohe Geschwindigkeit, also auch hohe Energie, die sie bei Stößen
(teilweise) an die Heizdrahtatome übertragen. Dadurch werden die Atome in thermische
Bewegungen versetzt. Ist diese Energie groß genug, wird von einem Atom aus der
Atomhülle die Austrittsarbeit aufgebracht und werden zu freien Elektronen. Werden
die Elektronen nicht, wie bei einer Vakuumdiode, braunsche Röhre, etc. “abgesaugt”
so entsteht um den Glühdraht im Vakuum eine Raumladungswolke.
4.13.2
Fadenstrahlrohr
In einem evakuierten Raum werden Elektronen (gebündelt) in eine Richtung ausgesendet und mit der Hilfe eines Mangetfeldes auf eine Kreisbahn gebracht. Aus dem Ansatz
−
→ −
→
v
FL = FZ ergibt sich die spezifische Ladung eines Elektrons: me = rB
4.14
Geschwindigkeitsfilter
Beim Geschwindigkeitsfilter (auch Wienfilter) werden gladene Teilchen (zum Beispiel
α - Strahlen, Elektronen, . . . ) in eine Kombination aus elektrischen und magnetische
Feld geschossen und nach einer bestimmten Geschwindigkeit gefiltert. Dabei müssen
beide Kräfte Fel und Fmag , die auf dieses Teilchen wirken, gleich groß sein, damit seine
Laufbahn geradlinig verläuft. Ist ein Teilchen beispielsweise schneller (als gewünscht)
wird es aufgrunder der größeren magnetischen Kraft stärker abgelenkt und somit ausgefiltert:
Fel = Fmag
Eq = Bqv → v =
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E
B
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-164.14.1
Braunsche Röhre
Aufgrund des glühelektrischen Effekts werden an einem Heizdraht (Kathode) Elektronen freigesetzt. Diese werden bis zur positiven Anode, welches in der Mitte ein
Loch besitzt, beschleunigt (fliegen sie durch das Loch wurden sie quasi von der Anode
verArscht).
Um die Elektronen noch auf den Richtigen Punkt auf dem Schirm zu kriegen, werden
sie über weitere Platten von ihrer Flugbahn abgebracht.
4.15
4.15.1
Energie
des Magnetfeldes
Z
Wmag =
Z
P (t)dt =
Z
Ui · I(t)dt =
˙
−LI(t)I(t)dt
= −L
Z
I(t) ·
dI
dt
dt
1
= − LI 2
2
4.15.2
des elektrischen Feldes
Da U ∼ Q ist in einem U-Q-Diagramm bildet die Fläche unter dem Graphen ein
Dreieck und steht für die Energie des elektrischen Feldes:
1
1
Wel = U Q = CU 2
2
2
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-17-
5
Themenpunkte Abitur Physik, Interferenz & Spektroskopie
5.1
Das Huygensche Prinzip
• Jede Stelle einer Wellenfront kann als Ausgangspunkt einer Elementarwelle angesehen werden
• Jede Wellenfront kann man sich als Einhüllende von Elementarwellen entstanden
denken
5.2
Bedingungen an die Lichtquelle
Um erfolgreich Spaltversuche durchzuführen muss man eine Lichtquelle nutzen, die
sowohl zeitlich, als auch örtlich kohärente Wellenzüge aussendet. Das bedeutet, dass
alle Wellen zueinander eine feste Phasenbeziehung haben, wie zum Beispiel die gleiche
Wellenlänge
5.3
Doppelspalt
Das Gebilde eines Doppelspalts bildet zwei Dreiecke, wobei g := Spalt-/Gitterabstand,
δ := Gangunterschied, a := Abstand zum Schirm und d := Abstand vom Punkt zur
optischen Achse:
d
δ
= sin α ≈ tan α0 =
g
a
nλ · a
⇒ dn =
g
Dabei sind die Minima um die Hälfte von n verschoben: dn =
5.4
λ(n+ 12 )a
g
optische Gitter
Es bilden sich Nebenmaxima aus. Die umliegenden Minima ergeben sich, wenn beispielsweise beim 6-fach-Spalt die Spalte 1,4; 2,5; 3,6 destruktiv interferieren:
dn =
λ(n +
g
1
a)
N
Es ergeben sich für N Spalte N − 1 Minima.
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-18-
5.5
Einfachspalt
Vorstellung von unedlich vielen Spalten. Dabei löschen sich bei den Minima immer zwei
Bündel aus und ein letztes sorgt für die Resthelligkeit. Beim ersten Minimum löschen
sich zwei Bündel gegenseitig aus: mit n 6= 0
dminn =
nλa
l
Die Maxima entstehen, wenn das letzte Bündel einen relativen Gangunterschied von
λ(n+ 21 )a
1
λ
hat:
d
=
max
n
2
l
5.6
Reflexion
• Trifft ein Lichtstrahl vom optisch dünnen ins optisch dichtere, so wird er zum
Lot hin gebrochen.
• Die Ausbreitungsgeschwindigkeit c des Lichtes ist nur in einem Medium konstant.
• Reflektiertes Licht ist polarisiert (ist abhängig von der Brechzahl n)
5.6.1
Polarisation
• Die Richtung des elektrischen Feldvektors bestimmt die Polarisation der Welle
• Versuche mit Polarisationsfiltern und elektromagnetischen Wellen geben rückschlüsse darauf, dass diese Wellen Longitudinalwellen sein müssen
5.7
Bragg-Gleichung (Welle – Teilchen)
• Um Röngtenstrahlen zu spektroskopieren wird die Gittereigenschaft von Kristallen zu Hilfe gezogen, da solche Gitterabstände nicht herzustellen sind
• Dabei treffen die Teilchen unter dem Winkel ϕ (und der Netzebene) ein
• Zur Nachbarwelle beträgt der Gangunterschied sin ϕ =
nλ
g
• Da das Teilchen reflektiert wird, muss der gesamte Gangunterschied (auf beiden
Seiten) ein ganzzahlige Vielfache von λ sein, damit unter dem Glanzwinkel ein
Maximum entsteht:
sin ϕ =
1 nλ
→ 2 · g · sin ϕ = nλ
2 g
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-19-
6
Themenpunkte Abitur Physik, Atome: Hülle und
Kern
6.1
Bohrsche Atommodell
• Elektronen sind energetisch diskret verteilt
• Jede Kreisbahn stellt eine andere Energiestufe dar
• Die Radien sind definiert durch: (erstes Postulat) 2πme rn vr = nh
• Für Quantensprünge gilt: (zweites Postulat) hf = W2 − W1
• Die erste Serie bei Quantensprünge heißt Lyman (Balmer, Paschen, . . . )
• Anregung erfolgt durch: Erwärmung, Stöße, Photon
6.1.1
kinetische Energie
Zur Beschreibung der kinetischen Energie setzt man die auf das Elektron wirkende
elektrische bzw. Coulombkraft der Zentripetalkraft gleich und löst nach der Geschwindigkeit auf:
Wkin (r) =
6.1.2
1
(Ze)e
·
8π0
r
potentielle Energie
Die potentielle Energie eines Elektrons zum Atomkern ist definiert durch:
Wpot = −FC r = −
1
(Ze)e
·
4π0
r
Dabei ist der Nullpunkt Wpot = 0 in der Unendlichkeit gewählt.
6.1.3
Gesamtenergie
Mit steigendem Abstand r zum Atomkern steigt auch dessen Energie: Wges = Wkin +
Wpot
6.2
Fotoeffekt/Vakuumfotozelle (Bestimmung von h)
• Beim Fotoeffekt werden aus einem Material Elektronen durch Photonenbestrahlung herausgelöst, nachdem diese eine Ablösearbeit vollbracht haben
• Die restliche Energie geht in Kinetische über – das Photon hört auf zu existieren:
Wkin = WLicht − WAb
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-20• Intensität: viele energiearme Elektronen; Frequenz: unabhängig von Anzahl sind
energiereich
• Bei der Vakuumfotozelle wird zusätzlich eine Gegenspannung erzeugt, um zu
bestimmen, wie schnell das schnellste Elektron ist → Wkin . Führt man dies mit
einer anderen Lichtquelle (andere Wellenlänge) so lässt sich h bestimmen
6.3
Teilcheneigenschaft des Lichts (Teilchen)
• Ein Photon besitzt zwar kein Ruhemasse, da es nur bei Lichtgeschwindigkeit
existieren kann, jedoch eine kinetische Energie nach Wkin = mph c2
• Ferner gilt: Wkin = WLicht = mph c2 = hf
6.4
⇒ mph =
h
cλ
Compton Effekt (Teilchen, Bestimmung von h)
• Trifft ein Photon mit der relativen Masse mph auf ein Elektron der Ruhemasse
m0 , so tritt der Compton Effekt ein. Mithilfe der De-Broglie-Wellenlänge lässt
sich die nötige Comptonwellänge/Energie des Photons berechnen.
• Die Elektronen werden unter dem Winkel α weggestoßen
• Das Photon wird unter dem Winkel β gestreut und reduziert seine Energie/verringert
seine Wellenlänge:
∆λ = λN − λr =
6.5
h
(1 − cos β)
me · c
Paarbildung
Aus einem energiereichen Quant in der Dimension von γ Strahlung können jeweils ein
Elektron und ein Positron entstehen. Dazu muss die dem Quant zugeschriebene Masse
mindestens genau so groß wie die Masse zweier Elektronen sein (Wkin = 2me c2 ≈
1, 02MeV). Dies tritt auf wenn sie abgebremst werden.
6.6
Bremsstrahlung und charakteristische Röngtenstrahlung
Wenn ein Elektron schnell an (Blei-)Kernen abgebremst wird, so strahlt es Quanten
aus. Ein Teil der kinetische Energie des Elektrons ist also in die Energie Quants übergegangen. Das Elektron ist also diskret abgebremst worden ? In einer Röntgenröhre
kann die gesammte Beschleunigungenergie in ein Photon übergehen (max. f ; min λ).
Schlägt nun das Elektron beim Abbremsen ein Elektron aus einer unteren Hülle des
Kerns so wird beim Auffüllen der entstehenden Lücke ein zusätzliches Photon emittiert.
Diese charakteristische Röngtenstrahlung ist in einem Diagramm als Peak zu sehen.
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-21-
6.7
Heisenbergsche Unschärferelation
Man betrachte den Einfachspalt und dessen Interferenzmuster. Je kleiner die Blende
ist, desto „breiter“ ist das Interferenzmuster.
Sei nun ein Photon in dieser Öffnung der Länge l = ∆x (und fliege in Richtung Schirm)
so erfährt es in x - Achsenrichtung die Impulsunbestimmtheit ∆p. Je kleiner man den
Ort ∆x wählt (den Ort also bestimmt) desto größer können die Ablenkungen (von
∆p) sein (die Unbestimmtheit der Richtung) und damit wird die Geschwindigkeit und
Energie unbestimmbar und unvohersebar. Es gilt der Zusammenhang:
∆x · ∆px ≈ h
6.8
Potentialtopf/Lokalisationsenergie
Zur Bestimmung der Lokalisationsenergie bedient man sich des Models des Potentialtopfs. Dabei beschreibt die Länge l des Topfes den eingesperrten Bereich der Neutronen
und Protonen des Atomkerns. Man sagt, dass das Teilchen nur diskrete Energiezustände einnehmen kann und in seiner Wellenbewegung eine stehende Welle ist (Knoten,
Nullpunktsenergie). Demnach gilt für die Länge l = 12 nλ → λ = 2nl. Da es sich um
Quantenobjekte handelt gilt nach De-Broglie-Wellenlänge:
h
h
=
λ
2nl
p2
h2
me · vx2
= x =
· n2
Ex = Wkinx =
2
2
2me
8me l
3h2
E=
· n2
8me l2
px =
6.9
Floureszenz und Phosphoreszenz
Wird ein Elektron durch Absorption eines Quants bestimmter Energie auf ein höheres
Niveau angehoben so emittiert es beim Quantensprung auf sein ursprüngliches Niveau
ein Quant. Dies ist in einer Absorptionsline zu sehen. Hat das absorbierte und das
emittierte Quant dieselbe Energie und verläuft das fallen quasi sofort so spricht man
von (Resonanz-) Floureszenz. Verläuft das Fallen zunächst über einen zwischen, metastabilen Zustand, so nennt man es Phosphoreszenz.
Ein Beispiel der Resonanzfloureszenz ist der Franck-Hertz-Versuch.
6.10
6.10.1
Nachweisgeräte von Radioaktivtät
Geiger-Müller-Zählrohr
• Radioaktive Strahlung ionisiert ein Gasatom in ein Elektron, welches zur Kathode
und einen positives Ion, welches zur Anode beschleunigt wird
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alle Angaben ohne Gewähr
-22• Die Stoßionisation des Ions/Elektrons erzeugt eine Elektronenwolke, die aufgrund
eines Spannungsabfalls zu registrieren ist
• Zu beachten ist die Totzeit (während des Vorgangs) und das Hintergrundrauschen
6.10.2
Nebelkammer
• Die (vornehmlich α) Strahlung ionisiert auf ihrer Laufbahn die Teilchen in der
Kammer
• Da Wasser (und Alkohol) Dipole sind lagern sie sich an die Teilchen und eine
Spur wird sichtbar
6.10.3
Ionisationskammer
• Die Strahlung ionisiert in der Ionisationskammer Teilchen, welche an die Kondensatorplatten bewegen und dadurch eine Stromfluss gemessen werden kann
• Zu beachten ist die Ionendosis J, die angibt, wie viel ein radioaktiver Stoff Ladung
pro bestrahlter Masse entstehen lassen kann.
6.11
Halbwertszeit und Aktivität
• Für die Halbwertszeit gilt:
− Tt
N (t) = N0 · 2
H
− ln(2)· T+t
= N0 · e
H
= N0 · e−kt
• Die Aktivität wird in s−1 = Bq angegeben und ist der Zerfall pro Zeiteinheit, also
die Ableitung von N (t):
∆N
= −Ṅ
∆t
A(t) = k · N0 · e−kt = A0 · e−kt
A=−
6.11.1
C-14 Methode
• Aufgrund der kosmischen Strahlung (10 n) bilden sich aus N-14 C-14-Isotope
• Stirbt ein Organismus ab, senkt sich die C-14-Konzentration mit einer Aktivität
von A0 = 16min−1
• Um das Alter zu bestimmt wird die aktuelle Aktivität bestimmt. Mit der gegebenen Halbwertszeit von TH = 5730a kann nun die Zeit t bestimmt werden
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alle Angaben ohne Gewähr
-23-
6.12
Absorption
Die Reichweite kann bei der γ - Strahlung nicht absolut angegeben werden; nur die
Halbwertsdicke um nur noch die Hälfte der Impulse zu zählen. Es kommen weniger γ
Strahlen an, da ein Teil bei Effekten (Paarbildung, Photoeffekt, Comptoneffekt, etc.)
„drauf gehen“. Die Zählrate folgt dem Gesetzt:
Z = Z0 · e−α·d
6.13
α Teilchen, Geschwindigkeit
• Um die Geschwindigkeit eines α Teilchens zu bestimmen schickt man es gleichzeitig durch ein elektrisches und magnetischen Feld, also einen Geschwindigkeitsfilter, wonach die Impulsrate gemessen werden kann
• Mit dieser Methode lässt sich zusätzlich ein Energiespektrum erstellen.
• Häufig sind die Atomkerne nach dem Zerfall noch in einem angeregten Zustand
und fällt später unter Aussendung eines γ - Quants auf ein stabileres Niveau
• Beim zufälligen Zerfall eines Mutterkerns in einen Tochterkern und einem α Teilchen (dem zweiten Tochterkern) wird eine bestimmte (Bindungs-) Energie frei.
Diese ist allerdings nicht so groß, dass sie den Potentialwall überwinden kann.
Durch Tunnelung kann das Teilchen jedoch trotzdem den starken Wechselwirkungen entkommen und durch den Potentialwall hindurchtunneln. Die Wahrscheinlichkeit, dass dies eintritt wird geringer bei steigender Höhe/Dicke des Potentialwalls. Die Ψ - Welle nimmt exponentiell ab
6.14
β Teilchen/Strahlung
• β Teilchen ionisieren aufgrund ihrer Größe weniger Teilchen
• Die Geschwindigkeit ist so groß, dass die relativistische Masse m =
r m0
1−
mehr trivial ist
v2
c2
nicht
• Die Gesamtenergie ist gleich der Summe aus Ruheenergie und kinetischer Energie
• Die Energie bestimmt man über die Geschwindigkeit, die wiederum mithilfe eines
Geschwindigkeitsfilters festzustellen ist.
Das resultierende Geschwindigkeits-/Energiespektrum ist kontinuierlich, wohingegen die Energiezustände vom Kern diskontinuierlich sind.
→ Es gibt ein weiteres Teilchen, welches den Energieerhaltungssatz erfüllen lässt
• β Zerfall bedeutet im Kernmodell anschaulich, dass ein Neutron (Proton) aus
seinem Topf in den Topf der Protonen (Neutronen) geht
• Beim β − Zerfall zerfällt ein Neutron in ein Proton, ein Elektron und ein Antineutrino und Energie in Form von Kinetischer (keine Gammastrahlung), die sich
beliebig auf Elektron und Antineutrino verteilt:
n → p + e− + ν + Wkin
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-24• Beim β + Zerfall zerfällt ein Protron in ein Neutron, ein Positron und ein Neutriono und Energie:
p → n + e+ + ν + Wkin
• Der Vorgang wenn ein Elektron mit seinem Antiteilchen (dem Positron) zusammenkommt nennt man allgemein Annihilation/ spezieller auch Paarvernichtung/
Paarzerstrahlung. Dabei vernichten sich beide Teilchen und senden zwei Photonen
der Energie 511keV (“Energieklasse” von Gammaquanten) aus
6.15
Kernkräfte
• kurze Reichweite: Nur Einfluss auf benachbarte Nukleonen
• stärkere Kräfte: ist 104 stärker als es Coulomb - Kräfte wären
6.16
Kernmodell
Rutherford fand mit seinem Streuversuch heraus, dass Teilchenstrahlung beim Auftreten auf eine dünne Goldfolie abgelengt werden können. Daraus wird gefolgert, dass die
Kernladung (/Atommasse) in einem Punkt, der im Verhältnis 1 : 105 zum gesamten
Atome (mit Elektronenhülle) steht.
Das Modell des Atomkerns ist ähnlich dem der Elektronen. Dabei befinden sich Protonen und Nukleonen unabhängig voneinander in einem Potentialtopf. Auch hier gilt das
Pauliprinzip, dass jeweils zwei Nukleonen dasselbe Energieniveau einnehmen können.
Die Tiefe des Topfes gibt die Bindungsenergie an (deshalb ist dieser Wert negativ). Je
tiefer der Topf ist, desto stärker sind die Bindungsenergien.
6.17
Massendefekt und Bindungsenergie
Die Summe aus den Komponenten eines Atomkerns sind ungleich seiner tatsächlichen
Masse. Diese Differenz aus realer und errechneter (aus den Komponenten) Atommasse
ist der Massendefekt. Diese Masse ist in die Bindungsenergie übergegangen (, die zum
Massendefekt äquivalent ist):
WB = ∆mc2 = (mA − (ZmP + Zme + N mN )) · c2
Beim Zerfall eines Atomkern kann über den Massendefekt der freiwerdende Energie
berechnen. Diese Energie wird allerdings nicht komplett auf das α oder β Teilchen
übertragen, da die Impuls- und Energieerhaltung eingehalten werden muss: Impuls des
Tochterkerns = Impuls des Geschosses.
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-25-
7
Grundlagen in der Mechanik
7.1
Wellen
Wellen bestehen aus gekoppelten Schwingungssystemen (→Oszilatoren) . Bei der Wellenbewegung findet (durch Verdichtung und Verdünnung) ein Energietransport, deoch
kein Materietransport, statt.
7.2
Überlagerung und Interferenz
Die ungestörte Überlagerung mehrerer Wellen von gleicher Frequenz am selben Ort mit
fester Phasenbeziehung bezeichnet man als Interferenz
7.3
Die stehende Welle
Eigenschaften:
• Ausbreitungsgeschwindigkeit c = 0
• Wellenlänge λ = const
• Frequenz f = const
• zwischen zwei Konten haben Oszilatoren die gleiche Bewegungsrichtung, aber
unterschiedliche Bewegungsamplituden
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