Logik/Beweistechniken

Mathematikvorkurs
bei Marcos Soriano
Logik/Beweistechniken
erstellt von:
Daniel Edler
-II-
Inhaltsverzeichnis
1 Logik/Beweistechniken
1.1 Allgemeine Vorgehensweise . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1
1
2 Konjunktion/Disjunktion
2.1 Wahrheitstafel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1
1
3 Negation
3.1 Wahrheitstafel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.2 Beispiel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1
1
2
4 Negation
4.1 Satz
4.1.1
4.2 Satz
4.2.1
von und/oder
. . . . . . . . . . . . . .
Beweis/Wahrheitstafel
. . . . . . . . . . . . . .
Beweis/Wahrheitstafel
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2
2
2
2
2
5 Implikation/”Wenn. . . , dann. . . “
5.1 Vorsicht: Fallen . . . . . . . . . .
5.2 Lemma . . . . . . . . . . . . . . .
5.2.1 Beweis . . . . . . . . . . .
5.3 Satz – Negation einer Implikation
5.3.1 Beweis . . . . . . . . . . .
5.3.2 Beispiel . . . . . . . . . .
5.4 Satz . . . . . . . . . . . . . . . .
5.4.1 Beweis . . . . . . . . . . .
5.5 Definition - doppelte Implikation
5.5.1 Bespiel . . . . . . . . . . .
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3
3
3
3
3
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4
4
4
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4
4
5
5
5
6
6
6
7
7
7
6 Beweistechniken
6.1 Direkt . . . . . . . . . . . . .
6.1.1 Beweis . . . . . . . . .
6.2 Äquivalenzen . . . . . . . . .
6.3 Indirekt “Widerspruchsbeweis”
6.3.1 Satz . . . . . . . . . .
6.3.2 Beweis – indirekt . . .
6.3.3 Beweis – direkt . . . .
6.4 Induktion . . . . . . . . . . .
6.4.1 Beispiel . . . . . . . .
6.5 Ästhetik/Eleganz/Einsicht . .
7 Notation, etc
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8
alle Angaben ohne Gewähr
-1-
1
Logik/Beweistechniken
1.1
Allgemeine Vorgehensweise
Aus alten Aussagen kann man neue machen. Vorgehensweise:
1. Definition
2. Satz
3. Beweis
4. Beispiel
2
Konjunktion/Disjunktion
Definition: Seien A und B Aussagen.
Konjunktion Dann ist ’A ∧ B’ eine Aussage. Sie ist genau dann wahr, wenn sowohl
A als auch B wahr sind.
Disjunktion Dann ist ’A∨B’ eine Aussage. Sie ist genau dann wahr, wenn mindestens
eine der Aussage A und B wahr ist. (Dies steht im Kontrast zur Umgangssprache.
Dort gilt zusätzlich, dass auch maximal eine Aussage wahr sein muss.)
2.1
A
w
w
f
f
3
Wahrheitstafel
B
w
f
w
f
A∧B
w
f
f
w
A∨B
w
w
w
f
Negation
Definition: Sei A eine Aussage. Dann ist ’nicht A’ (¬A) eine Aussage. Diese ist genau
dann wahr, wenn A falsch ist.
3.1
A
w
f
Wahrheitstafel
¬A
f
w
¬(¬A)
w
f
Dabei entspricht ¬(¬(¬(¬A))) in Text gefasst: “Es ist nicht wahr, dass es gilt, es sei
ungültig, dass 7 nicht prim ist” und ist damit logisch Äquivalent zu ¬¬A und A, was
in Text gefasst “7 ist prim” entspricht.
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alle Angaben ohne Gewähr
-2-
3.2
Beispiel
“Alle Schafe sind weiss.”
Die Negation lautet: “Nicht alle Schafe sind weiß”
Die Negation lautet nicht: “Alle Schafe sind schwarz”, “Alle Schafe sind nicht weiß”
4
Negation von und/oder
4.1
Satz
Die Aussage ’nicht (A und B)’ ist logisch äquivalent zur Aussage ’nicht A oder nicht
B’
4.1.1
Beweis/Wahrheitstafel
Da ¬(A ∧ B) und (¬A) ∨ (¬B) dieselbe Wahrheitstafel besitzen sind sie logisch Äquivalent.
A
w
w
f
f
B
w
f
w
f
4.2
¬(A ∧ B)
w
w
w
f
¬A
f
f
w
w
¬B
f
w
f
w
(¬A) ∨ (¬B)
f
w
w
w
Satz
¬(A ∨ B) ≡ (¬A) ∧ (¬B)
4.2.1
A
w
w
f
f
5
Beweis/Wahrheitstafel
B
w
f
w
f
A∨B
w
w
w
f
¬(A ∨ B)
f
f
f
w
¬A
f
f
w
w
¬B
f
w
f
w
(¬A) ∧ (¬B)
f
f
f
w
Implikation/”Wenn. . . , dann. . . “
Eine Implikation ist eine Ausage der Form: “Falls A wahr ist, dann ist B wahr”
A ⇒ B
Voraussetzung/Hypothese
Schlussfolgerunge/Konklusion
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alle Angaben ohne Gewähr
-3Definition: Seien A, B Aussagen, dann ist A ⇒ B (sprich: “aus A folgt/A impliziert
B”) eine Aussage, deren Wahrheitswert durch die folgende Tabelle gegeben ist:
A
w
w
f
f
B
w
f
w
f
5.1
A⇒B
w
f
w
w
Falls morgen die Sonne scheint, gehe ich hin
Sonne, hingehen
Sonne, nicht hingehen verstößt gegen “Versprechen”
keine Sonne, trotzdem hingehen ist erlaubt
keine Sone, nicht hingehen erlaubt
Vorsicht: Fallen
Die Wahrheit von A ⇒ B besagt nichts über die Wahrheit von A oder B.
A ⇒ B (Wenn ich Winston Churchill bin, bin ich Engländer) und ¬A ⇒ ¬B (Wenn
ich nicht Winston Churchill bin, bin ich kein Engländer) sind logisch nicht äquivalent.
Versteckte Implikationen: “Die Summe zweier ungeraden Zahlen ist gerade” heißt: “Falls
x und y ungerade Zahlen sind, so ist x + y gerade.
5.2
Lemma
A ⇒ B ≡ ¬A ∨ B
5.2.1
A
w
w
f
f
Beweis
B
w
f
w
f
5.3
A⇒B
w
f
w
w
¬A
f
f
w
w
¬A ∨ B
w
f
w
w
Satz – Negation einer Implikation
¬(A ⇒ B) ≡ A ∧ ¬B
5.3.1
Beweis
¬(A ⇒ B)
Lemma
≡ ¬(¬A ∨ B)
Neg von Disjunktion
≡
¬(¬A) ∧ ¬B
Doppelte Neg
≡
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A ∧ ¬B
alle Angaben ohne Gewähr
-45.3.2
Beispiel
“Falls es regent, ist der Boden nass” ≡ “Falls der Boden trocken ist, so regnet es nicht”
5.4
Satz
A ⇒ B ≡ (¬B) ⇒ (¬A)
5.4.1
A
w
w
f
f
Beweis
B
w
f
w
f
5.5
A⇒B
w
f
w
w
¬B
f
w
f
w
¬A
f
f
w
w
¬B ⇒ ¬A
w
f
w
w
Definition - doppelte Implikation
A ⇔ B ≡ (A ⇒ B) ∧ (B ⇒ A)
A
w
w
f
f
B
w
f
w
f
A⇒B
w
f
w
w
B⇒A
f
w
f
w
A⇔B
w
f
f
w
Es müssen ZWEI Beweise geführt werden! Der Regen R reicht hin, die Straße S
nass zu machen (R ⇒ S), aber er ist nicht notwendig
5.5.1
Bespiel
x ∈ R, a ∈ Z
x2 + 2x − 3 = 0 ⇒ x = −3
x2 + 2x − 3 = 0 ⇔ x = −3 oder x = 1
6
6.1
Beweistechniken
Direkt
Satz: Seien x, y positive, reele Zahlen. Dann gilt:
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x+y
2
≥
√
xy
alle Angaben ohne Gewähr
-5Um den Beweis zu finden (6= führen/abgeben) ist es oft nützlich, von der zu beweisenden
Aussage auszugehen und “rückwärts” zu arbeiten (oft bis zur Vorrausetzung)
x+y √
√
≥ xy → x + y ≥ 2 xy
2
→ (x + y)2 ≥ 4 · xy
→ x2 + 2xy + y 2 ≥ 4 · xy
→ x2 − 2xy + y 2 ≥ 0
→ (x − y)2 ≥ 0 Wahr
So aufgeschrieben, ist es kein Beweis! Wir gehen von der Wahrheit der aussage aus,
die wir beweisen müssen !!!
6.1.1
Beweis
Quadrate reeler Zahlen sind nicht negativ (DIES ist eine wahre Aussage), also gilt:
(x − y)2 ≥ 0 ⇔ x2 − 2xy + y 2 ≥ 0
⇔ x2 + 2xy + y 2 ≥ 4 · xy
⇔ (x + y)2 ≥ 4 · xy
√
⇒ x + y ≥ 2 xy
auch “⇐” da x, y positiv
x+y √
≥ xy
⇔
2
6.2
Äquivalenzen
Satz: Sei a ∈ Z. Dann gilt: a gerade ⇔ a2 gerade
Zwei Implikationen müssen gezeigt werden!
Wenn Zahl gerade, dann a = 2α == true für a ∈ Z
a gerade ⇒ a2 gerade
a ist gerade, d.h. a = 2α für ein α ∈ Z
a2 ist gerade, d.h. a2 = (2α)2 = 4α2 = 2 · (2α2 ) für ein α ∈ Z
a2 gerade ⇒ a2 gerade kann man umformen: A ⇒ B ≡ ¬B ⇒ ¬A
a ist ungerade, d.h. a = 2α + 1 für a ∈ Z
a2 ist ungerade, d.h. a2 = (2α + 1)2 = 4α2 + 4α + 1 = 2(2α2 + 2α) + 1 für ein
α∈Z
6.3
Indirekt “Widerspruchsbeweis”
Man möchte A beweisen (A(w)). Hierzu geht man von der Gültigkeit (w) von ¬A aus
(A(w) ≡ ¬A(f )), und leitet Aussagen her, bis man auf eine falsche Aussage trifft. Da
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alle Angaben ohne Gewähr
-6man mit einer Kette von Schlussfolgerungen der Art:
)
B ist wahr
⇒ C ist wahr
B⇒C
niemals eine falsche Aussage herleiten kann, muss die allererste Aussage (unsere Annahme: ¬A) falsch sein, d.h. A ist wahr.Es kann doch auch (im Bsp) C falsch
sein. Dadurch wird die Aussage auch falsch. (-> B/A falsch).
Oder wird gerade nach so einem C gesucht, die A demnach falsifiziert?)
6.3.1
Satz
Die Menge der natürlichen Zahlen N enthält unendlich viele Primzahlen
N = {1, 2, 3, . . .};
p ∈ P;
p > 1; p ist durch 1 und sich selbst teilbar
Nach der PFZ (Primfaktor Zerlegung) lässt sich jede natürliche Zahl – bis auf die
Reihenfolge – eindeutig als Produkt von Primahlen schreiben
360 = 2 · 180 = 2 · 2 · 99 = 23 · 45 = 23 · 3 · 15 = 23 · 3 · 5
Exkurs: Die sog. Fermat-Zahlen folgen nach Fn = 22 +1. Die entstehende Zahlenmenge
beginnt mit 3,5,17,. . . . F5 = 641 · 6700417. Die Zahlenfolge ist bis F11 bekannt, da mit
jeden um eins erhöhten n die Anzahl der Ziffern der Fermat-Zahl sich verdoppelt.
n
6.3.2
Beweis – indirekt
A: Es gibt ∞ - viele Primzahlen
¬A: Es gibt endlich - viele Primzahlen
Seien p1 , p2 , . . . , pk die endlich vielen Primzahlen, die es gibt. Betrachte die Zahl n =
p1 · p2 · . . . · pk + 1. Diese Zahl n hat eine PFZ. Da es nur endlich viele Primazahlen
gibt, muss mindestens einer von p1 , . . . , pk als Primfaktor von n auftauchen und somit
n teilen. Das ist ein Widerspruch: <???> nach Konstruktuion ist n durch keine der
Zahlen pi teilbar, da man bei Division von n mit pi den Rest 1 erhält </???>. Also
ist ¬A falsch, und folglich A wahr.
Achtung: Viele “indirkekte” Beweise lassen sich direkt schreiben.
6.3.3
Beweis – direkt
Seien p1 , p2 , . . . , pk Primzahlen. Keine dieser Primzahlen teilt n = p1 · p2 · . . . · pk + 1
warum teilt die keiner?, also liefert jeder Primfaktoren von n eine neue Primzahl
p.
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alle Angaben ohne Gewähr
-7Beispiel:
n =2 + 1 = 3
n =2 · 3 + 1 = 7
n =2 · 3 · 7 + 1 = 43
6.4
Induktion
Für jede natürliche Zahl n gibt es eine Aussage A(n). Man will alle Aussagen beweisen.
Dazu wird gezeigt:
• A(1) ist wahr
Induktionsanfang
• Die Implikation
⇒ A(n + 1) ist wahr
A(n)
| {z }
Induktionsschritt
Induktionsvoraussetzung
Damit hat man alle Aussagen bewiesen, da gilt:
)
A(1) ist wahr
⇒ A(2) ist wahr
A(1) ⇒ A(2)
6.4.1
Beispiel
Satz: Für alle n ∈ N gilt:
n
X
(2k − 1) = n2
A(n) :
k=1
Beweis:
A(1) ist wahr 12 = 2 · 1 − 1
A(n) ⇒ A(n + 1) ist wahr: P
Falls A(n) wahr ist, dann ist A(n + 1) wahr. Angenommen
A(n) ist wahr, d.h. es gilt: nk=1 (2k − 1) = n2
Dann gilt:
n+1
X
k=1
(2k − 1) =
n
X
(2k − 1) + (2(n + 1) − 1)
k=1
2
= n + 2n + 1
= (n + 1)2
6.5
Ästhetik/Eleganz/Einsicht
Satz: Für alle n ∈ N ist n3 − n durch 3 teilbar
Um dies zu Beweisen gibt es unterschiedliche Möglichkeiten:
• Jede Zahl n lässt bei Division mit 3 den Rest 0,1 oder 2. Eine Fallunterscheidung
ist notwendig!
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alle Angaben ohne Gewähr
-8• Per Induktion
• Einsicht: n3 − n = n(n2 − 1) = n(n + 1)(n − 1) = (n + 1) · n · (n − 1)
Der Term ergibt ein Produkt von 3 aufeinander folgenden natürlichen Zahlen mit
genau einer, die hiervon durch 3 teilbar ist. Es ist außerdem noch zu erkennen,
dass mindestens eine gerade ist, also gilt:
Satz: Für alle n ∈ N ist n3 − n durch 6 teilbar!
7
Notation, etc
≡:= logische Äquivalenz
¬ := logisches Nicht
∧ := logisches Und
∨ := logisches Oder
Tantologie: immer wahre Aussage z.B. A ∨ ¬A
logischer Widerspruch: ist immer falsch z.B. A ∧ ¬A
Lemma: Hilfssatz
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