Einschub: Indirekter Beweis

Chr.Nelius : Graphentheorie (WS 2016/17)
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Einschub: Indirekter Beweis
I)
Einige Sprech– und Bezeichnungsweisen der Aussagenlogik
A und B seien zwei (mathematische) Aussagen. Sätze der Mathematik sind meistens von der
Form
Aus der Richtigkeit der Aussage A folgt die Richtigkeit der Aussage B,
d.h. A ist die Voraussetzung des Satzes und B die Behauptung. Diese Folgerung stellt man
symbolisch durch
A =⇒ B
dar und nennt diese Aussage eine Implikation. Lesarten für A =⇒ B sind
1)
2)
3)
4)
Aus A folgt B
Wenn A, dann B
A ist hinreichend für B
B ist notwendig für A .
In besonders angenehmen Fällen gilt bei einer Implikation “A =⇒ B” auch die Umkehrung
“B =⇒ A” . Man spricht dann von einer Äquivalenz der beiden Aussagen A und B und
schreibt dafür
A ⇐⇒ B
Lesarten hierfür sind:
1) A ist äquivalent zu B
2) A gilt genau dann, wenn B gilt
3) A ist notwendig und hinreichend für B
Achtung: Für den Beweis einer Äquivalenz “A ⇐⇒ B” muss man in der Regel zwei
Beweise führen, nämlich zum einen den Beweis für “A =⇒ B” und zum anderen den für
“B =⇒ A” !!!
II)
Indirekter Beweis
Eine Möglichkeit, eine Implikation “A =⇒ B” zu beweisen, besteht darin, einen indirekten Beweis (oder Beweis durch Widerspruch) zu führen. Bei einem indirekten Beweis wird
das (logische) Gegenteil der Behauptung B angenommen und daraus ein Widerspruch zur
Voraussetzung A hergeleitet. Dies hat zur Konsequenz, dass die Negation von B nicht gelten
kann und dass daher die Behauptung B richtig ist.
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Chr.Nelius : Graphentheorie (WS 2016/17)
Beispiel 1: Ist eine Summe ungerader ganzer Zahlen gerade, so ist die Anzahl der Summanden
der Summe eine gerade Zahl. (Dieses Ergebnis wird beim Beweis von (1.11) benutzt!)
Die Voraussetzung A lautet hier: “a1 , a2 , . . . , am sind ungerade ganze Zahlen, und die Summe
a1 + a2 + . . . + am =
m
X
ai
i=1
ist eine gerade Zahl”.
Behauptung B : “die Anzahl m der Summanden ist gerade”.
Annahme: m ist nicht gerade.
Dann ist m ungerade, m − 1 also gerade. Wir fassen in der Summe immer zwei aufeinanderfolgende Summanden zusammen. Da m ungerade ist, bleibt der letzte Summand am allein übrig.
Folglich ist die Summe
(a1 + a2 ) + (a3 + a4 ) + . . . + (am−2 + am−1 ) +
| {z }
gerade
|
| {z }
gerade
{z
=2a (gerade)
|
{z
gerade
}
a
m
|{z}
ungerade
}
= |2{z
· a} + am
|{z}
gerade
ungerade
eine ungerade Zahl im Widerspruch zur Voraussetzung.
Also war die Annahme falsch, und es gilt die Behauptung.
N . Ist dann n2 gerade, so ist auch n gerade.
Hier ist also die Voraussetzung A: “n ∈ N und n2 ist gerade” und die Behauptung B:
Beispiel 2: Sei n ∈
gerade” , und es soll die Implikation “A =⇒ B” bewiesen werden.
Annahme: n ist ungerade.
Dann läßt sich n darstellen in der Form n = 2k + 1 mit einer Zahl k ∈
N . Folglich ist
n2 = (2k + 1)2 = 4k 2 + 4k + 1 = 4(k 2 + k) + 1
eine ungerade Zahl im Widerspruch zur Voraussetzung, dass n2 gerade sein soll.
“n ist
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Chr.Nelius : Graphentheorie (WS 2016/17)
Beispiel 3:
√
2 ist keine rationale Zahl.
Hierbei bezeichnet
√
2 diejenige (positive) reelle Zahl, deren Quadrat 2 ist.
Den Beweis führen wir wieder indirekt.
√
Annahme: 2 ist eine rationale Zahl.
Dann können wir teilerfremde Zahlen p, q ∈
√
N
2 =
finden mit
p
.
q
Quadrieren wir beide Seiten der Gleichung, so erhalten wir
2 =
√ 2
2
=
p
q
!2
=
p2
.
q2
Also ist p2 = 2q 2 eine gerade Zahl, so dass p nach Beispiel 2 selbst eine gerade Zahl sein
muss. Es gibt daher ein k ∈ mit
p = 2k .
N
Setzen wir dies ein, so ergibt sich
2q 2 = p2 = (2k)2 = 4k 2 ,
so dass q 2 = 2k 2 eine gerade Zahl sein muss. Nach Beispiel 2 ist dann auch q eine gerade
Zahl.
Da p und q beide gerade Zahlen sind, haben sie 2 als gemeinsamen Teiler und können daher
nicht teilerfremd sein. Widerspruch! Folglich muss unsere Annahme falsch gewesen sein,
und es gilt die Behauptung.