Beweistechniken

Beweistechniken
Um zu zeigen, dass aus einer wahren Aussage p die wahre Aussage q folgt, gibt es verschiedene Beweistechniken, die je nach Typ der Aussage angewendet werden. Einige dieser
Techniken wie der direkte Beweis sind seit Jahrtausenden Gemeingut jedes Mathematikers, andere wie der indirekte Beweis werden erst seit 150 Jahren von jedem Mathematiker
akzeptiert. Diese Akzeptanz war stark an die entsprechende Weiterentwicklung der Axiomatik und der logischen Fundamente der Mathematik gebunden. Die Tautologie
(p ∧ (p =⇒ q)) =⇒ q
(1)
charakterisiert den direkten Beweis.
Beispiel 1 Betrachten wir den folgenden einfachen
Satz: Sei x eine reelle Zahl. Aus
x
x2 +1
> 2 folgt x < 1/2.
Für jedes reelle x hat p (x) = x2x+1 > 2 einen Wahrheitswert. Im Satz steht aber nur:
Wenn für ein gewisses reelles x die Aussage p (x) wahr ist, dann gilt für dieses x die Aussage (Konklusion) x < 1/2. Diese Schlussfolgerung ist, wie folgt, elementar beweisbar.
Beweis: Man setzt p (x) als wahr voraus für ein reelles x und zieht daraus richtige Schlüsse. x2x+1 > 2 ergibt unmittelbar x > 0. Daraus ergibt sich x1 = xx2 > x2x+1 > 2. Dies hat
zur Folge x < 1/2.
2
Damit ist der direkte Beweis des Satzes formal beendet und die Aussage als wahr erkannt.
I Leider gibt es im Bereich der reellen Zahlen aber kein x mit der Eigenschaft
x
x2 +1
> 2.
Das bedeutet, die Voraussetzung ist für jedes x falsch und kann nie erfüllt werden. Damit
ist der obige Satz für die Mathematik ohne Bedeutung. Die Voraussetzung p(x) sollte
mindestens für eine reelle Zahl x eine wahre Aussage sein. Deshalb ist bei allen Beweisen
die Erfüllbarkeit der Prämisse (= Voraussetzung) von großer Bedeutung.
2
Ein Beweisschema (Tautologie) für den direkten Beweis der Negation von p ist
((p =⇒ q) ∧ q̄) =⇒ p̄.
(2)
Beispiel 2 Sei x eine reelle Zahl. Aus p (x) = „x < −1“ folgt sofort q (x) = „x2 > 1“.
Wenn wir z.B. aus anderen Überlegungen ableiten können, dass q (x) = „x2 ≤ 1“ wahr ist,
folgt hieraus nach dem Beweisschema (??) unmittelbar p (x) = „x ≥ −1“ ist wahr.
2
Häufig ist es wegen der Tautologie
(p =⇒ q) ⇐⇒ (q̄ =⇒ p̄)
einfacher, die Implikation p =⇒ q durch den Nachweis der Kontraposition q̄ =⇒ p̄ zu
verifizieren. Wegen der Transitivität der Folgerung
((p =⇒ q) ∧ (q =⇒ r)) =⇒ (p =⇒ r)
lassen sich Beweise aus Beweisketten zusammensetzen.
1
Beim indirekten Beweis nutzt man die Tautologie
(p ∧ q̄) ⇐⇒ (p =⇒ q)
Um aus p die Aussage q zu folgern, ist zu zeigen, dass p und die Negation von q einen
Widerspruch (Kontradiktion) bilden. Die folgenden Varianten sind häufig zu finden. Bei
der 3. Variante werden aus p ∧ q̄ eine Aussage r und ihr Gegenteil r̄ abgeleitet.
(p ∧ q̄) =⇒ p̄
(p ∧ q̄) =⇒ q
(p ∧ q̄) =⇒ r ∧ r̄
Werden Aussageformen mit Quantoren verknüpft, gestaltet sich der indirekte Beweis analog. Im folgenden Beispiel wollen wir zeigen:
∀x : (p (x) =⇒ q (x))
Beim indirekten Beweis müssen wir somit zeigen, dass die Negation
(∀x : p (x) =⇒ q (x)) = ∀x : p (x) ∨ q (x) = ∃x : p (x) ∧ q (x)
falsch ist, d.h. einen Widerspruch erzeugt.
Schlußfiguren für den indirekten Beweis
(Zur Erinnerung: p ⇒ q := p̄ ∨ q ,
p ⇒ q ⇔ p ∧ q̄)
Indirekter Beweis:
1.) [(p ∧ q̄) ⇒ p̄] ⇒ [p ⇒ q]
p
0
1
0
1
q
0
0
1
1
p̄
1
0
1
0
q̄ p ∧ q̄
1
0
1
1
0
0
0
0
s := (p ∧ q̄) ⇒ p̄
1
0
1
1
t := p ⇒ q
1
0
1
1
2.) [q ∧ (p̄ ⇒ q̄)] ⇒ p
p
0
0
1
1
q
0
1
0
1
p̄
1
1
0
0
q̄ p̄ ⇒ q̄
1
1
0
0
1
1
0
1
s := q ∧ (p̄ ⇒ q̄) s ⇒ p
0
1
0
1
0
1
1
1
2
s⇒t
1
1
1
1
Beispiel 3
√
Satz: 2 ist keine rationale Zahl.
Indirekter Beweis: Die zu beweisende Aussage lautet in logischer Formulierung:
∀ m, n : (m, n natürliche teilerfremde Zahlen) =⇒
√
2 6=
m
.
n
Die Negation ergibt:
∃ m, n : (m, n natürliche teilerfremde Zahlen) ∧
Hieraus folgt wegen
2=
√
2=
m
.
n
√ √
2 2 = 2 unmittelbar
m2
.
n2
Aus der Primzahlzerlegung von natürlichen Zahlen ergibt sich nach kurzer Rechnung,
dass m und n gerade Zahlen und damit nicht teilerfremd sind. Zwei Zahlen m und n sind
damit gleichzeitig teilerfremd (=
√ Aussage r) und nicht teilerfremd (= Aussage r̄). Das ist
2
ein Widerspruch. Somit kann 2 keine rationale Zahl sein.
Beispiel 4
Will man p ⇒ q zeigen, dann ist (q ⇒ p) ⇒ (p ⇒ q) falsch. M.a.W.: Für bel. p, q besitzt
diese Aussage nicht stets den Wahrheitswert 1!
Trotzdem kann die Vorgehensweise nützlich sein, z.B. beim Nachweis von Ungleichungen.
Man erhält einen möglichen Hinweis auf einen Beweis der Ungleichung.
√
für a > 0 und b > 0.
Man beweise: a 6= b ⇒
a · b < a+b
2
√
Wir zeigen zunächst: q ⇒ p, d.h. es gelte
a · b < a+b
.
2
⇒
(a + b)2 > 4ab
⇒
(a − b)2 > 0
⇒
a 6= b .
Nun rückwärts:
(a − b)2 > 0
⇒
⇒
a2 − 2ab + b2 > 0
⇒
a2 + 2ab + b2 > 4ab
√
√
a+b
⇒
(a + b)2 > (2 a · b)2
> a·b
2
2
3
Beispiel 5
I Wir beweisen eine einfache Behauptung auf 3 verschiedene Arten: direkt, indirekt, mittels Widerspruch. J
Es seien a, b > 0. Behauptung: „Wenn a2 < b2 ist, dann ist auch a < b.“
Mit p := „a2 < b2 “ und q := „a < b“ ist also zu beweisen: p ⇒ q oder äquivalent
(¬ q) ⇒ (¬ p). Bezieht man noch die Quantoren ein, dann lautet die Behauptung:
∀a, b > 0 : p ⇒ q .
Beweis: 1. Direkt: p ⇒ q
Wir setzen a2 < b2 als wahr voraus.
a2 < b2 | −a2
0 < b2 − a2 = (b − a)(b +√
a) | : (b + a) > 0
0 < b − a ⇔ a < b.
2. Indirekt: (¬ q) ⇒ (¬ p)
Wir gehen von ¬ q aus, d.h.
a
a2
Andererseits:
a
a·b
≥
≥
≥
≥
b
|·a>0
a · b.
(1)
b
|·b>0
b2 .
(2)
Kombination von (1) und (2) liefert a2 ≥ a · b ≥ b2 also „a2 ≥ b2 “ = ¬ p .
√
3. Widerspruch: (¬ q) ∧ p ist falsch
(Die Annahme, dass (¬ q) ∧ p gleichzeitig gelten können, also a ≥ b und a2 < b2 , wird
zum Widerspruch führen.)
(¬ q) :
a ≥ b
|·a
2
a ≥ a·b
Zusammen mit p := a2 < b2 ergibt dies:
b2 > a 2 ≥ a · b
(¬ q) :
(3)
a ≥ b |·b
a · b ≥ b2
(4)
Die Ungleichungskette aus (4) und (3) lautet nun:
a · b ≥ b2 > a2 ≥ a · b .
D.h.: a · b > a · b, was nicht sein kann.
Wir haben also die Annahme, (¬ q) ∧ p könnte gelten, zum Widerspruch geführt.
Somit ist (¬ q) ∧ p falsch und demzufolge ¬ q ∧ p wahr. √
Dies bedeutet aber auch: ¬ q ∧ p ⇔ q ∨ p =: p ⇒ q.
2
4