DE 1 Berechnen Sie den Wert der nachstehenden Determinanten

DE 1
VR 1
Berechnen Sie den Wert der nachstehenden
−2 1 −3 1
D1 = 0 4 6 D2 = 2
3 1 1 4
Determinanten.
1
2 7 4 6 D3 = 2
0
8 −3 4
5
4
Bilden Sie die Vektorprodukte p = a × (b × c) und q = (a × b) × c und
ermitteln Sie p - q.
3 6 2
Gegeben: a = {2, −1, 5}, b = {3, 4, 2}, c = {1, 0, −7}.
VR 2
DE 2
Berechnen Sie den Betrag, den zugehörigen Einheitsvektor sowie die Richtungscosinus des Vektors p = {4, -2, -4}.
Berechnen Sie den Wert folgender Determinante.
1
sin 2x cos 2x cos x D = cos x sin x
sin x cos x − sin x VR 3
Im Umspannwerk eines Kraftwerks führen zwei
Drahtseile aneinander vorbei. Ihr minimaler Abstand soll mindestens 0,75 m betragen.
Ist dieser Sicherheitsabstand eingehalten worden?
DE 3
Berechnen Sie den Wert folgender Determinanten.
1
0
0
−1 6 2 2
cos2 α
5
0
sin
α
D2 = D1 = 3 1 5 0
0
sin
α
+
cos
α
1 2 4
sin α cos α 0 − sin α cos α
−2
sin α + cos α 0
Gegeben: a = {3, 2, 1}m, b = {1, 3, 0}m,
c = {2, −1, 4}m, d = {−1, 1, 2}m.
VR 4
GS 1
Ermitteln Sie den minimalen Abstand zwischen
dem Punkt 0 und dem Seil, dessen Lage durch
die Gerade r = a + bt gegebenen ist.
Bestimmen Sie die je drei Unbekannten in den folgenden Gleichungssystemen:
2x1 − x2 + 2x3 = 7
a) x1 + 10x2 − 3x3 = −7
x1 + x2 − x3 = 2
2x1 + 3x2 − 4x3 = 4
b) 3x1 + 5x2 − 3x3 = 2
−4x1 − 6x2 + 8x3 = 3
Gegeben: a = {12, 6, 8}m, b = {3, 4, 5}m.
GS 2
Für welchen Wert von λ hat das Gleichungssystem unendlich viele Lösungen ?
(2 − λ)x1 − (1 + λ)x2 + 3x3 = 0
x1 + (1 + λ)x2 − 3x3 = 0
x1 + 2x2 − λx3 = 0
Aufgabenkatalog zur einsemestrigen Mechanik SS 2007
1
Stand: 10.04.2007
VR 5
KA 1
Ein Stab der Länge l dreht sich gleichförmig mit
der Drehzahl n. Er erfaßt bei A einen kleinen
Körper, schiebt ihn vor sich her und gibt ihn bei
B frei.
Ermitteln Sie die Geschwindigkeit v und die Beschleunigung b dieses Körpers bei B.
Man berechne die Fläche A, die von den drei Vektoren r1 , r2 und r3 aufgespannt wird, sowie das
Volumen des von ihnen gebildeten Tetraeders.
Gegeben: r1 = {1, 3, 5}m, r2 = {2, 1, 4}m,
r3 = {0, 2, 5}m.
Gegeben: a = 30cm, l = 50cm, n = 1Hz.
VR 6
KA 2
Prüfen Sie, ob der Vektor p in Richtung der zwei Vektoren p1 und p2 zerlegt werden
kann und führen Sie die Zerlegung gegebenenfalls durch.
Ein Flugzeug startet nach dem Gesetz s = v0 t
unter dem Winkel α und wird durch einen Funkleitstrahl verfolgt.
Gesucht sind die benötigten Funktionen
ϕ(t), ϕ̇(t) und ϕ̇(t)max der Antenne.
Gegeben: p = {2, 1, 5}, p1 = {6, 1, 1}, p2 = {1, 4, 0}
p = {1, 8, −1}, p1 = {0, −1, 1}, p2 = {1, 5, 2}.
VR 7
Gegeben: v0 , α, a.
Überzeugen Sie sich anhand des Zahlenbeispiels von der Richtigkeit der folgenden
Formel: a × (b × c) = (a · c) b - (a · b) c.
KA 3
Gegeben: a = {1, 2, 3}, b = {2, 1, 4}, c = {3, 1, 5}.
Ein im Punkt O frei drehbar gelagerter Stab
stützt sich auf eine Halbkreisscheibe, die sich mit
einer konstanten Geschwindigkeit v0 nach rechts
bewegt.
Man bestimme ϕ(t) und ω(t) für den Stab.
VR 8
Überzeugen Sie sich anhand des Beispiels von der Richtigkeit der folgenden Formel:
(a × b)˙ = ȧ × b + a × ḃ.
2
2
Gegeben: a = {− sin2 (2t), et , et }, b = {cos2 (2t), et , et }.
Gegeben: R, v0 .
VR 9
Diskutieren Sie die Raumkurve r = a{cos t, sin t, t} im Bereich 0 ≤ t ≤ 2π und
ermitteln Sie insbesondere:
◦ die Orthonormalbasis et , en , eb allgemein sowie für t =
π
2
◦ die Bogenlänge im Bereich 0 ≤ t ≤ 2π.
Aufgabenkatalog zur einsemestrigen Mechanik SS 2007
2
Stand: 10.04.2007
KA 4
KA 7
Eine Stange A ist im Punkt 0 drehbar befestigt
und bewegt einen Stift P, dessen Position durch
die Rotation dieser Stange gegeben ist.
Gesucht ist die absolute Beschleunigung von P
unter der Voraussetzung, daß die Stange mit konstanter Winkelgeschwindigkeit rotiert.
Ein Kameramann bei A verfolgt die Bewegung
eines Rennbobs B, der mit konstanter Geschwindigkeit vB eine Kurve durchfährt.
Bestimmen Sie die Winkelgeschwindigkeit ϕ̇, mit
der sich die Kamera drehen muß, um in der gesamten Kurve auf den Bob gerichtet zu bleiben.
Gegeben: a = 0, 5m, ψ̇ = 2πHz.
Gegeben: a = 20m, vB = 28m/s.
KA 5
KA 8
Man untersuche die Bewegungsverhältnisse am
skizzierten Kardangelenk. Die Welle 1 dreht sich
nach einem vorgegebenen Gesetz ϕ(t).
Ermittteln Sie für die Welle 2 folgende Grössen
ψ(t), ψ̇(t), ψ̈(t).
Ein Gewicht, das an einem Seil befestigt ist, wird
über eine Walze, die sich mit konstanter Winkelgeschwindigkeit ω dreht, und einen Stab nach
oben gezogen.
Bestimmen Sie den Weg s(t) und die Geschwindigkeit v(t) des Gewichtes.
Bei welchem Radius r der Walze erreicht das
Gewicht innerhalb der Zeit t0 = 1s die Höhe
s(t0 ) = h ?
√
Gegeben: ω = 12Hz, h = 4m, t0 = ls.
Gegeben: ϕ(t).
KA 6
In einem Vergnügungspark saust eine Achterbahn
2
1
t
nach den Gesetzen r(t) = 2 h t0 − 1 + 1
KA 9
und ϕ(t) = π6 tt0 auf den Schienen entlang.
Bestimmen Sie die Absolutgeschwindigkeit der
Achterbahn beim Passieren von B.
Ein Stab stützt sich auf eine Halbkreisscheibe,
die sich mit konstanter Geschwindigkeit v0 nach
rechts bewegt.
Bestimmen Sie das Geschwindigkeit-Zeit-Gesetz
v(t) für den Stab, wenn sich dieser zur Zeit t = 0
genau über dem Mittelpunkt der Scheibe befindet.
Gegeben: h = 20m, t0 = 1s.
Gegeben: R, v0 .
Aufgabenkatalog zur einsemestrigen Mechanik SS 2007
3
Stand: 10.04.2007
KA 10
KW 3
Von einem Turm werden zwei Bälle mit derselben Geschwindigkeit v0 unter zwei verschiedenen
Winkeln α1 und α2 geworfen. Es wird beobachtet,
daß beide Bälle bei diesen Winkeln den Boden an
derselben Stelle treffen.
Wie weit fliegen die Bälle? Wie hoch ist der
Turm?
Der skizzierte Stab dreht sich nach der Funktion ψ(t) um A und zieht dabei über ein Seil ein
Gewicht nach oben.
Gesucht ist der Ort, die Geschwindigkeit und
die Beschleunigung des Gewichtes (s(t), ṡ(t) und
s̈(t)).
Gegeben: ψ(t) =
c
2
t2 , b, c, für ψ = 0 ist s = 0.
Gegeben: v0 = 20m/s, g = 10m/s2 ,
α1 = 30◦ , α2 = 45◦ .
KW 1
KW 4
Ermitteln Sie für den schiefen Wurf x(t), y(t),
y(x), die Wurfweite mit zugehöriger Zeit, den
höchsten Punkt der Wurfbahn mit zugehöriger
Zeit sowie den Winkel α0 , der die maximale
Wurfweite ermöglicht.
Mit welcher Geschwindigkeit vK muß die Katze
abspringen, damit sie genau vor dem Mauseloch
landet?
Mit welcher konstanten Geschwindigkeit vM
müßte die Maus von der Stelle A aus loslaufen,
um der Katze zu entwischen?
Gegeben: v0 , α, g.
Gegeben: α = 45◦ , c = 2m, a = 1m,
h = 0, 5m, g = 10m/s2 .
KW 2
Bei einem Tontaubenschießen wird die Taube mit
der Anfangsgeschwindigkeit v0 unter dem Winkel
α abgeworfen. Wie lange besteht Schußmöglichkeit?
KW 5
Bei welcher Entfernung w der Welle, die sich mit
konstanter Geschwindigkeit vw auf die Klippe zubewegt, muß der Springer abspringen, damit er
genau in den Wellenberg eintaucht?
Gegeben: v0 = 10m/s, a = 1m,
g = 10m/s2 , a = π4 .
Gegeben: v0 = 2m/s, α = 45◦ , H = 40m,
h = 5m, vw = 5m/s, g = 10m/s2 .
Aufgabenkatalog zur einsemestrigen Mechanik SS 2007
4
Stand: 10.04.2007
KW 6
KM 3
Die Schienen A und B bewegen sich mit der Geschwindigkeit vA bzw. vB in entgegengesetzter
Richtung. Auf beiden rollt das Rad.
Ermitteln Sie die Geschwindigkeit des Radmittelpunktes.
Ein Kugelstoßer stößt die Kugel 16 Meter weit.
Berechnen Sie die Abwurfgeschwindigkeit v0 und
den Auftreffwinkel γ der Kugel am Boden.
Gegeben: g = 9, 81m/s2 , w = 16m,
α = 45◦ , h = 2m.
Gegeben: r1 = r, r2 = 3r, vA = v,
vB = 2v, r, v.
KM 1
Ein Kettenfahrzeug bewegt sich eine Wand hinauf.
Wie groß ist die Geschwindigkeit des Mittelpunktes A der Stange?
KM 4
Für den skizzierten Mechanismus ermittle man
die Geschwindigkeit des Punktes A nach Betrag
und Richtung, wenn der Stab BC in der angegebenen Konfiguration gerade die Winkelgeschwindigkeit ω hat.
Gegeben: α = 60◦ , ω = πHz,
c = 3m, r = 1m.
Gegeben: r = 3, 5m, l = 5m,
h = 4m, ω = 3Hz.
KM 2
Bestimmen Sie für das skizzierte Planetenradgetriebe, bestehend aus einem Sonnenrad (a1 , ω1 ),
einem Hohlrad (a2 , ω2 ) und 3 Planetenrädern folgende Grössen:
KM 5
Für das skizzierte System ermittle man die Geschwindigkeiten in den Punkten B und C , sowie
die Winkelgeschwindigkeit ωA in der angegebenen
Konfiguration. Das Rad bewegt sich rein rollend.
◦ die Bahngeschwindigkeit v für den Mittelpunkt des Planetenrades
◦ die Winkelgeschwindigkeit ω des Planetenrades
Gegeben: a = 2m, l = 5m,
ϕ = 30◦ , ψ̇ = 5Hz.
◦ die Winkelgeschwindigkeit ω ∗ des Planetenradträgers
Gegeben: a1 , a2 , ω1 , ω2 .
Aufgabenkatalog zur einsemestrigen Mechanik SS 2007
5
Stand: 10.04.2007
KM 6
KM 9
Auf einer großen ruhenden Kreisscheibe mit dem
Radius R rollen zwei kleine Kreisscheiben, die
durch eine starre Stange miteinander verbunden
sind. Die größere Kreisscheibe hat die Winkelgeschwindigkeit ω2 .
Man bestimme die Winkelgeschwindigkeit ω1 der
kleineren Kreisscheibe.
Ein Zeremonienstab gleitet an zwei Wänden ab.
Man ermittle die Geschwindigkeit des Stabmittelpunktes in der skizzierten Lage.
Gegeben: c, v, α = 60◦
Gegeben: R = 80cm, r1 = 10cm,
r2 = 16cm, ω2 = 4Hz.
KM 7
RS 1
Bestimmen Sie die Geschwindigkeit des Punktes
P nach Betrag und Richtung.
Wie muß das Verhältnis Rr bei den gegebenen
Werten ω1 und ω2 gewählt werden, damit die
große Rolle eine reine Rotation ausführt?
Ein Wartehäuschen ist durch eine symmetrische
Schneelast q(x) und zwei Einzelkräfte F und P
belastet.
Bestimmen Sie die Resultierende des Systems
nach Betrag, Richtung und Lage der Wirkungslinie.
Gegeben: ω1 = 1Hz, ω2 = 0, 5Hz,
r = 0, 2m, R = 0, 5m.
◦
Gegeben: q0 , a, F =
P = 2q0 a, α= 60 ,
q(x) = q0 12 + π4 sin πx
.
2a
KM 8
RS 2
Bestimmen Sie die momentane Winkelgeschwindigkeit ω5 in dem aus fünf Stäben bestehenden
System.
Bestimmen Sie die Resultierende des gegebenen
Systems nach Betrag, Richtung und Lage der
Wirkungslinie.
Gegeben: ω1 , l.
Gegeben: a, q0 , S = F = q0 a, α = 60◦ .
Aufgabenkatalog zur einsemestrigen Mechanik SS 2007
6
Stand: 10.04.2007
RS 3
GG 1
Man ermittle die unbekannten Kräfte A, B und C
so, daß an dem skizzierten System Gleichgewicht
herrscht.
Bestimmen Sie die Resultierende nach Betrag,
Richtung und Lage der Wirkungslinie.
Gegeben: q0 = 1kN/m, a = 1m,
F1 = 3kN, F2 = 1, 5kN, .
Gegeben: F, a, S = 6F, q0 = 12 Fa ,
α = 45◦ , γ = 60◦ .
GG 2
RS 4
Bestimmen Sie die unbekannten Kräfte Ax ,Ay
und B so, daß sich das skizzierte System im
Gleichgewicht befindet.
Ermitteln Sie die Resultierende des Systems nach
Betrag, Richtung und Lage der Wirkungslinie.
Gegeben: a, q0 , M0 = 43 q0 a2 , α = 30◦ .
Gegeben: q0 = 300N/m, l = 1m, α = 30◦ ,
P = q0 l, F = q20 l .
GG 3
Man ermittle die Kräfte A , B und C so, daß am
skizzierten System Gleichgewicht herrscht.
RS 5
Man ermittle die resultierende Kraft der skizzierten Belastung nach Betrag, Richtung und Wirkungslinie.
Gegeben: q(x) = 3q0
h
x
l
−
1
2
x 2
l
i
, α = 30◦ ,
q0 = 5kNm, l = 1m, F =
Aufgabenkatalog zur einsemestrigen Mechanik SS 2007
Gegeben: F = 4q0 l, M = 2q0 l2 , a = 45◦ ,
q0 = 3kN/m, l = 2m.
qo l
2 .
7
Stand: 10.04.2007
GG 4
FR 3
An einem Kran hängt ein Container (Gewicht G).
Wie groß sind die Lagerreaktionen in A und B sowie die Gelenkkraft in C, wenn das Seil über eine
reibungsfreie Rolle R (Radius vernachlässigbar)
geführt wird?
Bestimmen Sie die unbekannten Kräfte A , B und
C so, daß die Dreieckscheibc im Gleichgewicht
ist.
Gegeben: α = 60◦ , F, l, M = 4F l, q0 =
5F
2 l
.
Gegeben: G, a.
FR 1
FR 4
Für das skizzierte System ermittle man die Lagerreaktionen.
Durch eine Spannrolle soll in dem Seil eine Zugkraft der Grösse S erzeugt werden. Berechnen Sie:
◦ die erforderliche Größe des Belastungsgewichtes G am Winkelhebel,
Gegeben: a, q0 .
◦ die an der Lagerstelle A auftretenden Lagerkräfte
RG 1
Welches Moment M ist erforderlich um die von
der Backenbremse gehaltene Scheibe in Drehung
zu versetzen? Untersuchen Sie beide Drehrichtungen.
Für welche Parameterwerte
Die Seilscheibe ’1’ und der Winkelhebel sind starr
miteinander verbunden.
Gegeben: S = 850kN, α = 60◦ ,
L1 = 600mm, L2 = 400mm.
◦ haben beide Momente den gleichen Betrag?
FR 2
◦ tritt Selbsthemmung ein?
Für den skizzierten Bolzenschneider ermittle man
die Schneidkraft.
Gegeben: a, b, c, d, F, µ0 .
Gegeben: F = 100N, a = 67cm, b = 3cm,
c = 5cm, d = 8cm.
Aufgabenkatalog zur einsemestrigen Mechanik SS 2007
8
Stand: 10.04.2007
RG 2
RG 5
Auf einer schiefen Ebene liegt ein Körper vom
Gewicht G.
Welche Kraft K ist erforderlich, um
Wie groß muß die Kraft K mindestens sein, damit
die Rolle mit dem Gewicht G anfängt zu drehen?
◦ den Körper nach oben in Bewegung zu setzen
und unter welchem Winkel β tritt Selbsthemmung ein?
Gegeben: µ0 , r1 , r2 , G.
◦ den Körper am Abrutschen zu hindern und
unter welchem Winkel α bleibt der Körper
von selbst liegen?
RG 3
Gegeben: G, α, β, µ0 .
Wie groß muß die Kraft P mindestens sein, damit
der obere Körper angehoben wird?
Für welchen Winkel α tritt Selbsthemmung ein?
RG 6
Die beiden kreisringförmigen Reibflächen einer
Reibungskupplung werden durch die Kraft P gegeneinander gedrückt.
Wie groß ist das maximal übertragbare Drehmoment M ?
Gegeben: µ0 , α, G1 , G2 .
RG 4
Gegeben: µ0 , P, b, b.
Eine Leiter steht an einer Wand. Bis zu welcher
Höhe h kann die Leiter bestiegen werden?
RG 7
Eine Kiste mit dem Gewicht G soll von einer
Rampe in einen Lkw verladen werden. Wie groß
muß α mindestens sein, damit die Kiste ohne
zusätzliche äußere Krafteinwirkung in den Lkw
rutscht?
Wie groß darf α maximal sein, damit die Kiste
nicht kippt?
Gegeben: l = 5m, α = 60◦ , G = 500N,
P = 750N, µ0 .
Gegeben: µ0 = 0, 5, a = 0, 8m, h = 1, 2m, G.
Aufgabenkatalog zur einsemestrigen Mechanik SS 2007
9
Stand: 10.04.2007
RG 8
ST 3
Welchen Haftreibungsbeiwert µ0 muß die skizzierte Schraubzwinge mindestens aufweisen, damit sie unabhängig von der gewählten Anpreßkraft immer hält?
Ermitteln Sie die Schnittlasten des Systems und
zeichnen Sie die Zustandslinien.
Gegeben: a = 6cm, b = 15cm.
Gegeben: q0 , l.
RG 9
ST 4
Mit einer Schere soll ein kreisförmiger Hartgummistab durchgeschnitten werden. Der Haftreibungsbeiwert von Hartgummi auf Stahl sei µ0 .
Wie groß darf a höchstens sein, damit der Stab
nicht abrutscht?
Ermitteln Sie die Schnittlasten des Systems und
skizzieren Sie die Zustandslinien.
Gegeben: µ0 = 0, 2.
Gegeben: q0 , l, P = q0 l.
ST 1
ST 5
Ermitteln Sie die Schnittlasten des Systems und
zeichnen Sie die Zustandslinien.
Bestimmen Sie für das gegebene System die
Schnittlasten und stellen Sie die Zustandslinien
qualitativ dar.
Gegeben: q0 , l.
Gegeben: a, q0 , M = 25 q0 a2 .
ST 2
ST 6
Ermitteln Sie die Schnittlasten des Systems und
zeichnen Sie die Zustandslinien.
Ermitteln Sie für das dargestellte System die
Schnittlasten und stellen diese grafisch dar.
Gegeben: q0 , a.
Gegeben: a = 2m, h = 1m, q0 = 3kN/m,
P = q0 a.
Aufgabenkatalog zur einsemestrigen Mechanik SS 2007
10
Stand: 10.04.2007
ST 7
ST 11
Ermitteln Sie die Schnittlasten des Systems und
zeichnen Sie die Zustandslinien.
Für das skizzierte System ermittle man die
Schnittlasten und zeichne die Zustandslinien.
Gegeben: M = 200kNm, q0 = 10kN/m,
h = 5m, l = 6m.
Gegeben: a, q0 , M = q0 a2 .
ST 8
FW 1
Die skizzierte ebene Fachwerks-Konstruktion
wird durch die Kraft F mittig belastet. Bestimmen Sie:
Bestimmen Sie für den abgebildeten Balken die
Schnittlasten und skizzieren diese.
Gegeben: F, a, q0 = 2 Fa .
◦ die Nullstäbe des Fachwerks
◦ die verbleibenden Stabkräfte unter Beachtung von Symmetrien.
ST 9
Gegeben: F, l.
Bestimmen Sie für das abgebildete Tragwerk die
Auflagerkräfte und die Schnittlasten.
FW 2
Gegeben: a, b =
3
5 a,
q0 , P =
2
5 q0 a.
Man bestimme die Stabkräfte des Systems und
gebe an, ob die zugehörigen Stäbe Zug- oder
Druck belastet sind.
ST 10
Ermitteln Sie die Schnittlasten des Systems und
zeichnen Sie die Zustandslinien.
Gegeben: F, a.
Gegeben: l, q0 , M = q0 l2 , P = q0 l.
Aufgabenkatalog zur einsemestrigen Mechanik SS 2007
11
Stand: 10.04.2007
FW 3
SL 1
Ein Seil der Länge L vom Eigengewicht q0 ist in
der skizzierten Weise eingespannt.
Man ermittle die größte auftretende Seilkraft S.
Für des skizzierte Fachwerk bestimme man sämtliche Stabkräfte, und gebe an, ob es sich um Zugoder Druckkräfte handelt.
Gegeben: L = 140m, l = 100m,
q0 = 500N/m.
Gegeben: F, l.
SL 2
Das durch die Gewichte Q gespannte Seil wird
zusätzlich durch eine Streckenlast q(x) belastet.
Bestimmen Sie die Seillinie z(x) des Systems sowie den maximalen Durchhang.
FW 4
Ermitteln Sie alle Stabkräfte des skizzierten Fachwerks.
Wie groß darf die Kraft F werden, damit im Stab
7 die Kraft von 1kN nicht überschritten wird?
Gegeben: Q = 10kN, q0 = 14kN/m.
Gegeben: F, l.
SL 3
Zwischen zwei Punkten a und b verschiedener
Höhe sei ein Seil mit konstanter Belastung q0 gespannt.
Gesucht sind die Seilkräfte in den Aufhängepunkten, wenn der vertikale Durchhang bei x = 2l den
l
Wert f = 50
annehmen soll.
FW 5
Im skizzierten Fachwerk besitzen alle Stäbe die
Länge a.
Berechnen Sie alle Stabkräfte und geben Sie an,
ob es sich um Zug- oder Druckstäbe handelt.
Gegeben: l, h, q0 .
Gegeben: F, a.
Aufgabenkatalog zur einsemestrigen Mechanik SS 2007
12
Stand: 10.04.2007
SL 4
SR 2
Ein Kleinkind möchte einen Dampfer, der mit einer Kraft von FSchiff an dem Steg zieht, mit den
eigenen Körperkräften von FBaby festhalten.
Wie oft muß das Seil um die beiden Poller gewickelt werden, damit dies möglich ist?
Sollte um einen der Poller häufiger gewickelt werden und wenn ja, warum?
Eine masselose Wäscheleine wird durch die aufgehängte Wäsche (Länge 5l ) mit einer konstanten
Streckenlast q(x) = q0 belastet.
Überprüfen Sie bei gegebenem Horizontalzug H,
ob die Wäsche den Boden berührt und berechnen
Sie die maximale Seilkraft.
Gegeben: H = q0 l, q0 , l.
Gegeben: FBaby = 40N, FSchiff = 1000kN,
µ0 = 0, 3.
SL 5
HG 1
Ein mit q(x) = q0 belastetes Seil einer Brücke
soll über eine Winde so gestrafft werden, daß sich
maximal der Durchhang h einstellt. Wie groß muß
die Kraft F an der Winde dafür mindestens sein?
√
Gegeben: q0 , c, h = 8c , ab = 5.
Für die aus 3 symmetrisch angeordneten Stäben
bestehende Vorrichtung ermittle man die Beanspruchung der einzelnen Stäbe sowie deren gemeinsame Verkürzung.
Gegeben: P = 730kN, l1 = 100cm, l2 = 80cm,
E1 = 1, 8 · 104 kN/cm2 , F1 = 16cm2 ,
E2 = 2, 4 · 104 kN/cm2 , F2 = 10cm2 .
SR 1
Wie groß muß µ0 mindestens sein, damit sich das
System im Gleichgewicht befindet?
HG 2
Zwischen den ebenen Druckplatten einer Presse werden zwei aufeinanderliegende zylindrische
Metallstücke gleichen Durchmessers, aber mit
verschiedenen Materialwerten, auf Druck beansprucht. Die Meßuhr zeigt eine Verkürzung von
0, 16mm, also eine Längenänderung von ∆h =
−0, 16mm an.
Wie groß sind die Spannungen in beiden Teilen,
die jeweilige Verkürzung und die Druckkraft F ?
Gegeben: G.
Gegeben: l1 = 27, 5mm, l2 = 55mm ,
d = 30mm,
E1 = 4, 5 · 106 N/cm2 ,
E2 = 1, 2 · 107 N/cm2 .
Aufgabenkatalog zur einsemestrigen Mechanik SS 2007
13
Stand: 10.04.2007
HG 3
SW 1
Zwei Säulen verschiedener Hookescher Materialien werden, wie skizziert, durch ein Gewicht G
belastet.
Berechnen Sie unter Vernachlässigung der Säulengewichte und Annahme einachsiger Spannungszustände
Ermitteln Sie ermittle den Schwerpunkt der skizzierten Halbellipse.
Gegeben: a, b.
SW 2
◦ die Spannungen in den Säulen
Berechnen Sie die Schwerpunktlage des skizzierten rechtwinkligen Dreiecks.
◦ die Absenkung ∆h
Gegeben: E1 = 2, 15 · 1011 N/m2 , l1 = 80cm,
E2 = 1, 15 · 1011 N/m2 , l2 = 30cm,
A1 = 75cm2 , A2 = 120cm2 ,
G = 4 · 105 N.
Gegeben: a, b.
SW 3
HG 4
Man bestimme den Schwerpunkt S der schraffierten Fläche unter Verwendung des gegebenen Koordinatensystems.
Ein aus zwei Materialien (E1 , E2 ) zusammengesetzter Rundstab ist gemäß Skizze durch eine axial angreifende Kraft P belastet.
Man bestimme die Spannungen in den einzelnen
Stabteilen (A1 , A2 ) sowie die Verlängerung des
Gesamtstabes.
Gegeben: a, β = 30◦ .
Gegeben: E1 = 1, 5 · 104 kN/cm2 , A1 = 10cm2 ,
E2 = 7, 5 · 103 kN/cm2 , A2 = 20cm2 ,
P = 103 kN, l = 15cm.
SW 4
Ermitteln Sie b so, daß der Schwerpunkt der
schraffierten Fläche auf der x-Achse liegt.
HG 5
An welcher Stelle x muß die Kraft P angreifen,
damit beide Säulen die gleiche Verkürzung erfahren ?
Gegeben: R.
Gegeben: P, a, l1 , l2 , F1 , F2 , E1 , E2 .
Aufgabenkatalog zur einsemestrigen Mechanik SS 2007
14
Stand: 10.04.2007
SW 5
SW 8
Wie groß darf h höchstens sein, damit der aus
Halbkugel und Kegel bestehende Körper noch als
Stehaufmännchen/frauchen wirkt?
Ermitteln Sie bezüglich des vorgegebenen Koordinatensystems den Flächenschwerpunkt des dargestellten Buchstabens.
Gegeben: a.
Gegeben: a.
SW 6
SW 9
Bestimmen Sie den Schwerpunkt des skizzierten
Rotationskörpers.
Welcher Winkel α stellt sich an der frei drehbar
aufgehängten Scheibe ein?
Gegeben: a.
Gegeben: a, β = 30◦ .
FM 1
SW 7
Aus einem kreisrunden Baumstamm vom Radius
r soll ein Balken mit Rechteckquerschnitt herausgeschnitten werden.
Welches Seitenverhältnis muß gewählt werden,
damit sich ein möglichst großes Flächenträgheitsmoment ergibt?
Ermitteln Sie bezüglich des vorgegebenen Koordinatensystems den Schwerpunkt des dargestellten
Rotationskörpers.
Gegeben: r.
Gegeben: a.
Aufgabenkatalog zur einsemestrigen Mechanik SS 2007
15
Stand: 10.04.2007
FM 2
FM 5
Berechnen Sie die Lage des Schwerpunktes der
schraffierten Fläche sowie das Flächenträgheitsmoment bezüglich der durch den Schwerpunkt
verlaufenden Achse SA.
Für das skizzierte Trägerprofil ermittle man das
Flächenträgheitsmoment Ix
Gegeben: l = 10cm.
Gegeben: a = 5mm
FM 3
SP 1
Eine Säule mit kreisrundem Querschnitt wird
durch eine exzentrisch angreifende Kraft F auf
Druck belastet.
Wie groß darf e höchstens sein, damit keine Zugspannungen auftreten?
Für das IPB-550 Profil (DIN 1025) ist das axiale
Flächenträgheitsmoment Iy zu bestimmen.
Welches Trägheitsmoment hat ein Kreisquerschnitt bei gleicher Querschnittsfläche?
Gegeben: d, F.
Gegeben: b = 30cm, h = 55cm,
t = 2, 9cm, s = 1, 5cm.
SP 2
FM 4
Ein Träger mit dem Profil T40 nach DIN 1024
wird wie skizziert belastet. Bestimmen Sie:
Berechnen Sie die Lage des Schwerpunktes der
schraffierten Fläche sowie das Flächenträgheitsmoment bezüglich der durch den Schwerpunkt
verlaufenden Achse SA.
◦ die größte Zugspannung
◦ die größte Druckspannung im Träger
Gegeben: b = 5cm , a = 3, 4cm, h1 = 3cm,
h2 = 4cm, h3 = 1cm.
Aufgabenkatalog zur einsemestrigen Mechanik SS 2007
Gegeben: l = 100mm, F = 5kN, P = 46kN.
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Stand: 10.04.2007
SP 3
SP 7
Berechnen Sie für den skizzierten Balken mit
Hohlquerschnitt die größten auftretenden Zugspannungen.
Ein fest eingespannter Träger mit dem Profil T30
nach DIN 1024 wird durch die Kräfte F und P
belastet. Ermitteln Sie Ort, Betrag und Vorzeichen der größten auftretenden Normalspannung.
Gegeben: F = 90kN, b = 3m, e = 20cm,
a = 2cm.
Gegeben: F = 1kN, P = 10kN, l = 150mm.
SP 8
Man überprüfe für den skizzierten Träger, ob die
zulässige Normalspannung σzul eingehalten wird.
SP 4
Berechnen Sie die maximale Normalspannung in
dem eingespannten, abgesetzten Achszapfen.
Gegeben: b = 10mm, l = 3m, P = 20kN,
σzul = 160N/mm2 .
Gegeben: F = 10kN, β = 60◦ ,
d1 = 100mm, d2 = 200mm,
l1 = 400mm, l2 = 700mm.
BL 1
Ein gelenkig gelagerter Balken der Länge l ist mit
einer Streckenlast q(x) belastet.
Bestimen Sie die Biegelinie w(x) sowie die
Reaktions- und Schnittlasten.
SP 5
Für den Träger mit dem angegebenen Querschnitt ermittle man die extremale Normalspannung.
Gegeben: EIy , q0 , l, q(x) = q0 sin(π xl ).
BL 2
Ein Balken ist in der skizzierten Art belastet.
Wie lautet die Gleichung für die zugehörige Biegelinie w(x)?
Gegeben: P = 2500N, a = 5m.
Gegeben: M, EIy , l.
SP 6
Man überprüfe, ob in dem skizzierten Träger
die zulässige Normalspannung σzul überschritten
wird oder nicht.
Gegeben: M0 = 11kNm, σzul = 160N/mm2 ,
l = 0, 5m, a = 10mm, c = 90mm.
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17
Stand: 10.04.2007
BL 3
SU 1
Bestimmen Sie zu der gegebenen Belastung die
Durchbiegung an der Stelle x = l.
h
2 i
Gegeben: qo , l, EIy , q(x) = q0 xl − xl
.
Ein Balken ist in der skizzierten Art belastet.
Berechnen Sie die Schnittlasten.
Gegeben: q0 , EIy , l.
BL 4
SU 2
Ermitteln Sie die Durchbiegung des Momentenangriffspunktes.
Man ermittle die Reaktionskräfte des skizzierten
Systems.
Gegeben: M, l, EIy .
Gegeben: l, P = 10kN, EIy .
BL 5
SU 3
Man ermittle die Lagerreaktionen und die Biegelinie w(x) für den dargestellten Durchlaufträger.
Man bestimme die Reaktionslasten des einfach
statisch unbestimmt gelagerten Systems.
Gegeben: q0 , EIy , l.
Gegeben: M, EIy , l.
BL 6
SU 4
Für den skizzierten Balken ermittle man die
Größe des Einspannmomentes MA .
An welcher Stelle könnte in dem Träger ein Gelenk eingebaut werden, ohne daß sich die Beanspruchung des Balkens verändert?
Berechnen Sie sämtliche Lagerreaktionen des
skizzierten Systems.
Gegeben: l, q0 , M0 =
1
2
12 q0 l ,
P = 21 q0 l.
Gegeben: q0 , EIy , l.
SU 5
Für das nebenstehende System ist die Reaktionslast an der Stelle A zu bestimmen.
Gegeben: F, c, EIy , a.
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18
Stand: 10.04.2007
SU 6
KI 3
Eine Aufzugskabine der Masse m fährt mit der
Geschwindigkeit v0 abwärts. Plötzlich reißt das
Aufhängeseil.
Mit welcher Kraft K muß die Notbremseinrichtung auf die Kabine einwirken, damit diese innerhalb der Zeit t zum Stillstand kommt?
Bestimmen Sie das Moment M so, daß am Lager
A keine Reaktionslast auftritt.
Wie groß sind die restlichen Auflagerreaktionen?
Gegeben: q0 , l.
Gegeben: m = 1500kg, t = 1, 5s, µ = 0, 6,
g = 9.81m/s2 , v0 = 2m/s.
KI 1
Auf einem Prüfstand kann die Motorleistung bei
Kenntnis der Masse m, der Federverlängerung f
und der Drehzahl n ermittelt werden.
KI 4
Für das gegebene System ermittle man den Zeitpunkt, zu dem sich beide Körper auf gleicher
Höhe befinden. Das Seil sei masselos und die
Bewegung findet aus der gezeichneten Ruhelage
statt.
◦ Wie gross ist die Leistung in kW?
◦ Welcher Gleitreibungsbeiwert µ ist dazu erforderlich?
Gegeben: n = 1500min−1 , m = 3kg,
c = 25N/cm, a = 10cm, f0 = 4cm.
Gegeben: m, a, ΘS = 12 ma2 .
KI 2
KI 5
Aus der Ruhelage rutscht ein Klotz der Masse
m auf einer schiefen Ebene reibungsfrei hinunter
und wird dann durch Reibung abgebremst.
Lösungsschritte:
Ein Körper der Masse m, besitzt zur Zeit t = 0
in A eine aufwärtsgerichtete Geschwindigkeit v1 .
◦ Kommt der Körper nach einer Aufwärtsbewegung zum Stillstand?
◦ Wie lange dauert es, bis er am Ende der
schiefen Ebene ankommt?
◦ Wenn ja, welche Zeit benötigt er und welchen
Weg legt er bis zum Stillstand zurück?
◦ Welche Geschwindigkeit hat er dann?
◦ Wie lange dauert es, bis er in der horizontalen Ebene zum Stillstand kommt?
Die Masse der Rolle ist zu vernachlässigen.
Gegeben: α = 30◦ , m1 = 10kg, m2 = 2kg,
v1 = 5m/s, g = 9, 81m/s2 , µ = 0, 2.
Gegeben: h, α, g, µ, m.
Aufgabenkatalog zur einsemestrigen Mechanik SS 2007
19
Stand: 10.04.2007
KI 6
KI 9
Ein Rad wird durch einen Motor eine schiefe Ebene hinaufgezogen.
Berechnen Sie das maximale Drehmoment des
Motors so, daß das Rad dabei nicht rutscht.
Eine Bremstrommel dreht sich mit der Winkelgeschwindigkeit ω0 um ihren Mittelpunkt, als
plötzlich zwei Bremsbacken gegen die Trommel
drücken.
Wie groß muß die Bremskraft sein, damit die
Trommel nach 3 Umdrehungen zum Stillstand
kommt?
Gegeben: r1 = r2 = 0, 5m, α = 30◦ ,
3m1 = m2 = 150kg, Θ = 21 mr2 ,
√
g = 10m/s2 , µ0 = 61 3.
Gegeben: Θ, ω0 , µ, r.
KI 7
KI 10
Eine Welle, die sich mit der Drehzahl n dreht,
soll durch eine Bandbremse so zum Stillstand gebracht werden, daß sie sich noch um den Winkel
β dreht.
Welche Kraft K ist dazu erforderlich ?
Eine Zahnstange wird von einem Zahnrad mit v0
bewegt, als zur Zeit t = 0 in der dargestellten
Konstellation das konstante Bremsmoment M am
Zahnrad angreift.
Welchen Wert muß M mindestens haben, damit
die Zahnstange noch vor der Wand (x = 2a) zum
Stillstand kommt?
Gegeben: n = 480min−1 , α = 200◦ , β = 180◦ ,
µ = 0, 3, Θ = 0, 09kgm2 , a = 12cm.
Gegeben: a, m = 2kg, Θ = 12 ma2 ,
v0 = 10m/s.
KI 8
Auf eine rauhe Kegelbahn (Gleitreibungsbeiwert
µ) wird eine Bowling-Kugel mit der Geschwindigkeit v0 ohne Drehung aufgesetzt.
Nach welcher Strecke xr rollt die Kugel und wie
groß ist dann ihre Geschwindigkeit vr ?
KI 11
Eine Scheibe rotiert mit ω0 , als zum Zeitpunkt t0
die Kraft F auf den Bremshcbel wirkt.
Wie groß muß diese Kraft sein, damit die Scheibe nach genau einer Umdrehung zum Stillstand
kommt?
Gegeben: v0 = 5m/s, µ = 0, 3.
Gegeben: µ, Θ, a, r, ω0 .
Aufgabenkatalog zur einsemestrigen Mechanik SS 2007
20
Stand: 10.04.2007
KI 12
Ein mit der Winkelgeschwindigkeit ω0 rotierender Kreisring wird in eine Ecke gestellt. Aufgrund der Gleitreibung zwischen dem Ring und
der Wand bzw. dem Boden (Gleitreibungskoeffizient µ) kommt dieser nach der Zeit ts zum Stillstand.
Berechnen Sie die Zeit ts .
Gegeben: µ, m, R, g, ω0 .
Aufgabenkatalog zur einsemestrigen Mechanik SS 2007
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Stand: 10.04.2007
Zusatzaufgabe 1 [ZU1]
Biegelinie
q (x)
x
z , w ( x)
l
Ein Träger ist wie dargestellt gelagert, und wird durch eine cosinusförmige Streckenlast
belastet. Bestimmen Sie das Moment der festen Einspannung am rechten Rand. Wie groß ist
die Durchbiegung am linken Rand?
⎛π x ⎞
Gegeben: qo , l , EI y , q ( x ) = q0 cos ⎜
⎟
⎝2 l⎠
Zusatzaufgabe 2 [ZU2]
Flächenträgheitsmoment
y
R 2
R 2
x
2b
2a
Bestimmen Sie das Flächenträgheitsmoment I x der grauen Querschnittsfläche.
Für welche Werte von b wird das Flächenträgheitsmoment I x maximal und minimal?
Gegeben: a , b , R