und Flussintegrale 11.1 Parametrisierung von Flächen

Kapitel 11: Oberflächen- und Flussintegrale
Ziel: Berechnung von Integralen, deren Integrationsbereich eine
2-dim. Fläche in einem 3-dim. Raum ist (z.B. Fläche von Kugel)
Motivation / Anwendungen:
- z.B. Elektrostatik: freie Ladung eines metallischen Leiters
findet sich nur auf der Oberfläche; Gesamtladung = Flächenintegral
Gesamtladung:
Fläche:
Flächenelement:
parametrisieren
die Fläche
Oberflächendadungsdichte
(Ladung pro Flächenelement)
- Erhaltungssäzte: z.B. Stromerhaltung:
Gesamtladungszunahme in einem Volumenbereich V
= Gesamtladungsfluss durch Oberfläche, (rein - raus)
= Flächenintegral des Stroms, (rein - raus)
Volumen
(LadungsVolumendichte)
element
Oberfläche
Stromdichte
= Ladung pro Zeitinterval
gerichtetes
pro Flächenelement
Flächenelement
11.1 Parametrisierung von Flächen
Beispiel 1: Kugeloberfläche
Kugelkoordinaten,
mit
= konstant
Beispiel 2: "Gebirge"
= konstant
= konstant
"Höhe" = eindeutige Funktion von
Beispiel 3: Rotationsflächen
sei eine beliebige Funktion:
("keine Überhänge")
Parametrisierung von Flächen - allgemeine Formulierung
Parametrisierung einer Fläche erfordert zwei Koordinaten,
die ein "lokales Koordinatennetz" definieren.
Fläche in
wird beschrieben durch eine
Abbildung ("Höhenkarte") der Form
= konstant
= konstant
(1) ist eine 2-dim. Verallgemeinerung des Konzepts einer 1-dim. Raumkurve (Seite RK1)
Raumkurve:
Koordinatenlinie (variere eine d. Variablen, halte andere fest) = Raumkurve
= konstant,
- Koordinatenlinie:
= konstant,
- Koordinatenlinie:
Jede Koordinatentransformationen
definiert eine Flächenschar>
jede fest Wahl v.
= konstant,
11.2 Oberflächenintegrale in
Analog zu Seite Int16 für 2-dimensionale Integration,
aber statt 2-dim Fall dort:
hier nun 3-dim Fall:
Betrachte das Flächenelement aufgespannt durch
Es wird charakterisiert durch seine Fläche,
und die Richtung eines
zur Fläche stehenden Einheitsvektors
("Normalvektor")
(im 2-dim Fall von Seite Int16 war
ortsabhängig!)
, hier aber ist
Definition: gerichtetes Flächenelement [Verallgemeinerung von (Int16.4)]
Betrag:
Richtung: (legt auch
"oben", "unten" fest)
Größe der Fläche für
:
"Fläche über G":
Lagrange-Identität (V43.9):
Für orthogonale Koordinaten:
somit:
Betrag des
Flächenelements:
Richtung:
Fläche über G:
Beispiel 1: Kugeloberfläche
Kugelkoordinaten (siehe Seite Int22, und Blatt 4, Aufgabe 2a):
(Int22.5):
Einheitsvektoren sind orthonormal: (Blatt 4, Aufgabe 2a)
Zur Erinnerung:
(obwohl wir sie
hier nicht explizit
brauchen)
Kugeloberfläche:
Radius =
Kugel
Beispiel 2: Gebirge
"Höhe"
(5.2)
(
Über Bereich
wie groß ist Gebirgsoberfläche?
Beispiel 3: Rotationskörper
Orthogonal:
Oberfläche des Rotationskörpers für den Bereich
-Integral ist trivial, wegen Nutzung von Symmetrie!
, also ein nicht-orthog.
Koordinatensystem)
Verallgemeinerung: Flächenintegral einer Funktion
Sei
über G:
eine Fläche (wie bisher),
eine Funktion (auf demselben Gebiet
G definiert wie die Fläche)
und
Definition: Integral von
entlang der Fläche
über dem Gebiet
:
Interpretation: Gewichtung jeden Punktes auf der Fläche (parametrisiert durch
)
durch die Gewichtsfunktion
[z.B.
= Flächenladungsdichte, wie in (1.1) ]
Vergleiche
(6.8)
Beispiel
Kugelfläche:
Anmerkung:
ist unabhängig von der Wahl der Parametrisierung der Fläche!
[Beweis: siehe z.B. Grossmann, Mathematischer Einführungskurs in für die Physik, 2004]
11.3 Flussintegrale durch Flächen
Sei
ein Vektorfeld.
Wieviel "fliesst" durch die Oberfläche
?
sei gerichtetes Oberflächenelement am Ort
Zerlege
in Anteile
:
zum Flächenelement
"Normalkomponente" fliesst durch Flächenelement hindurch
"Tangentialkomponente fliesst am Flächenelement entlang
Definition: "Fluss" durch
Flächenelement:
Definition: "Fluss" durch die Fläche
:
Beispiel 1: Elektrisches Feld einer Punktladung
Berechne Fluss durch Oberfläche einer Kugel mit Radius
:
Seite 6:
Fluss hängt nicht vom Radius ab (!). Das ist ein Beispiel vom
Gauss-Gesetz der Elektrostatik: Der durch die Oberfläche
eines Volumens
hindurchtretende Fluss
des elektrischen Feldes ist proportional zur gesamten in
enthaltenen elektrischen Ladung:
Beispiel 2: Fluss eines Magnetfelds durch Zylinder
Magnetfeld sei
Fluss nach aussen durch den Boden:
Deckel
Mantel
Boden
Fluss nach aussen durch den Deckel:
Fluss nach aussen durch den Mantel:
Fluss nach aussen durch ganzen Zylinder:
Beispiel für allgemeines Gesetz: Magnetfeldfluss durch geschlossene Fläche = 0 !