Oberflächen- und Flussintegrale 11.1 Parametrisierung von Flächen
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Kapitel 11: Oberflächen- und Flussintegrale Ziel: Berechnung von Integralen, deren Integrationsbereich eine 2-dim. Fläche in einem 3-dim. Raum ist (z.B. Fläche von Kugel) Motivation / Anwendungen: - z.B. Elektrostatik: freie Ladung eines metallischen Leiters findet sich nur auf der Oberfläche; Gesamtladung = Flächenintegral Gesamtladung: Fläche: Flächenelement: parametrisieren die Fläche Oberflächendadungsdichte (Ladung pro Flächenelement) - Erhaltungssäzte: z.B. Stromerhaltung: Gesamtladungszunahme in einem Volumenbereich V = Gesamtladungsfluss durch Oberfläche, (rein - raus) = Flächenintegral des Stroms, (rein - raus) Volumen (LadungsVolumendichte) element Oberfläche Stromdichte = Ladung pro Zeitinterval gerichtetes pro Flächenelement Flächenelement 11.1 Parametrisierung von Flächen Beispiel 1: Kugeloberfläche Kugelkoordinaten, mit = konstant Beispiel 2: "Gebirge" = konstant = konstant "Höhe" = eindeutige Funktion von Beispiel 3: Rotationsflächen sei eine beliebige Funktion: ("keine Überhänge") Parametrisierung von Flächen - allgemeine Formulierung Parametrisierung einer Fläche erfordert zwei Koordinaten, die ein "lokales Koordinatennetz" definieren. Fläche in wird beschrieben durch eine Abbildung ("Höhenkarte") der Form = konstant = konstant (1) ist eine 2-dim. Verallgemeinerung des Konzepts einer 1-dim. Raumkurve (Seite RK1) Raumkurve: Koordinatenlinie (variere eine d. Variablen, halte andere fest) = Raumkurve = konstant - Koordinatenlinie: = konstant - Koordinatenlinie: Jede Koordinatentransformationen definiert eine Flächenschar: jede fest Wahl v. liefert neue Fläche: = konstant 11.2 Oberflächenintegrale in Analog zu Seite Int16 für 2-dimensionale Integration, aber statt 2-dim Fall dort: hier nun 3-dim Fall: Betrachte das Flächenelement aufgespannt durch Es wird charakterisiert durch seine Fläche, und die Richtung eines zur Fläche stehenden Einheitsvektors ("Normalvektor") (im 2-dim Fall von Seite Int16 war ortsabhängig!) , hier aber ist Definition: gerichtetes Flächenelement [Verallgemeinerung von (Int16.4)] Betrag: Richtung: (legt auch "oben", "unten" fest) Größe der Fläche für : "Fläche über G": Lagrange-Identität (V43.9): Für orthogonale Koordinaten: somit: Betrag des Flächenelements: Richtung: Fläche über G: Beispiel 1: Kugeloberfläche Kugelkoordinaten (siehe Seite Int22, und Blatt 4, Aufgabe 2a): (Int22.5): Einheitsvektoren sind orthonormal: (Blatt 4, Aufgabe 2a) Zur Erinnerung: (obwohl wir sie hier nicht explizit brauchen) Kugeloberfläche: Radius = Kugel Beispiel 2: Gebirge "Höhe" (5.2) ( Über Bereich wie groß ist Gebirgsoberfläche? Beispiel 3: Rotationskörper Orthogonal: Oberfläche des Rotationskörpers für den Bereich -Integral ist trivial, wegen Nutzung von Symmetrie! , also ein nicht-orthog. Koordinatensystem) Verallgemeinerung: Flächenintegral einer Funktion Sei über G: eine Fläche (wie bisher), eine Funktion (auf demselben Gebiet G definiert wie die Fläche) und Definition: Integral von entlang der Fläche über dem Gebiet : Interpretation: Gewichtung jeden Punktes auf der Fläche (parametrisiert durch ) durch die Gewichtsfunktion [z.B. = Flächenladungsdichte, wie in (1.1) ] Vergleiche (6.8) Beispiel Kugelfläche: ist unabhängig von der Wahl der Parametrisierung der Fläche! Anmerkung: [Beweis: siehe z.B. Grossmann, Mathematischer Einführungskurs in für die Physik, 2004] 11.3 Flussintegrale durch Flächen Sei ein Vektorfeld. Wieviel "fliesst" durch die Oberfläche ? sei Oberflächenelement am Ort Zerlege in Anteile : zum Flächenelement "Normalkomponente" fliesst durch Flächenelement hindurch "Tangentialkomponente fliesst am Flächenelement entlang Definition: "Fluss" durch Flächenelement: Definition: "Fluss" durch die Fläche : Beispiel 1: Elektrisches Feld einer Punktladung Berechne Fluss durch Oberfläche einer Kugel mit Radius : Seite 6: Fluss hängt nicht vom Radius ab (!). Das ist ein Beispiel vom Gauss-Gesetz der Elektrostatik: Der durch die Oberfläche eines Volumens hindurchtretende Fluss des elektrischen Feldes ist proportional zur gesamten in enthaltenen elektrischen Ladung: Beispiel 2: Fluss eines Magnetfelds durch Zylinder Magnetfeld sei Fluss nach aussen durch den Boden: Deckel Mantel Boden Fluss nach aussen durch den Deckel: Fluss nach aussen durch den Mantel: Fluss nach aussen durch ganzen Zylinder: Beispiel für allgemeines Gesetz: Magnetfeldfluss durch geschlossene Fläche = 0 !
