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Übersicht Kräfte Energien Bewegung Physik: Beschreibung der unbelebten Natur Mathematische Formulierung der Gesetzmäßigkeiten (Theorie) Überprüfung der theoretischen Vorhersagen durch Experimente Überprüfe bei allen berechneten Größen, ob sie die richtige Dimension haben. Basisgrößen Basiseinheit Länge Zeit Masse Temperatur Elektrische Stromstärke Lichtstärke Stoffmenge Meter (m) Sekunden (s) Kilogramm (kg) Kelvin (K) Ampere (A) Candela (cd) Mol (mol) Kräfte Energien Kapitel 3: Klassische Mechanik Kinematik Bewegung Kinematik: Lehre von der Bewegung im Raum ohne Einwirken von äußeren Kräften (mit Kräften: Dynamik) d.h. wie komme ich von A nach B? 2 Kapitel 3: Klassische Mechanik Wiederholung: Vektoren Kräfte Energien Bewegung Kartesisches Koordinatensystem Einheitsvektoren Vektoren allgemein: A: (x1, y1, z1) B: (x2, y2, z2) 3 Kapitel 3: Klassische Mechanik Kinematik Geschwindigkeit ist mittlere Geschwindigkeit ortsabhängig Achterbahn 2 1 0 0 1 2 3 t freizeitpark-welt.de Kapitel 3: Klassische Mechanik Kinematik Geschwindigkeit ist ortsabhängig mittlere Geschwindigkeit wird zur Momentangeschwindigkeit falls Δt immer kürzer wird. 2 1 . 0 0 1 2 3 t Kapitel 3: Klassische Mechanik Kinematik Geschwindigkeit ist Momentangeschwindigkeit ortsabhängig Tangente am Punkt 2 1 0 0 1 → 2 . → 3 t Kapitel 3: Klassische Mechanik Kinematik mittlere Geschwindigkeit Momentangeschwindigkeit im Zeitinterval [t1,t2] zum Zeitpunkt t1: . Oft läßt man in Rechungen die Vektoren weg . Kapitel 3: Klassische Mechanik Kinematik Geschwindigkeit in 3-Dimensionen Momentangeschwindigkeit Zeit 8 Kapitel 3: Klassische Mechanik Kinematik Luftkissenbahn: geradlinige gleichförmige Bewegung 0 0 s0 s0 s1 s1 s 1. Newtonsches Axiom: Ein Körper verharrt im Zustand der Ruhe oder der gleichförmigen geradlinigen Bewegung, solange keine Kraft auf ihn einwirkt. 9 Kapitel 3: Klassische Mechanik Kinematik, gleichförmige Bewegung (1. Newtonsches Axiom) 0 s0 s1 v1 > 0 0 s0 s1 s s: Strecke (s ist üblicher, r wäre auch okey) v1: Geschwindigkeit s0: Ort zum Zeitpunkt t0 in der Regel: Beginn der Zeitmessung s1: Ort zum Zeitpunkt t1 s s1 in der Regel: Ende der Zeitmessung s1 = s0 + v1t s0 0 t1 v 0 v1 = const. > 0 0 t1 v1 = v0, da v1 = const! v0: Anfangsgeschwindigkeit Kapitel 3: Klassische Mechanik Freier Fall Magnet Stahlkugel s0 = 0, v0 = 0 Erdanziehung bewirkt, dass die Kugel fällt g = 9.81 m/s2 g: Erdbeschleunigung Fallzeit t für die Strecke s ? 11 Kapitel 3: Klassische Mechanik Freier Fall s0 = 0 v0 = 0 Fallzeit für die Strecke s: Magnet Stahlkugel Zeit (ms) 400 300 200 100 0 0 20 40 60 80 100 Strecke (cm) 12 Kapitel 3: Klassische Mechanik Freier Fall Magnet Stahlkugel s0 = 0, v0 = 0 Zeit (ms) 400 300 200 100 0 0 20 40 60 80 100 Strecke (cm) 13 Kapitel 3: Klassische Mechanik Freier Fall Allgemeine Bewegungsgleichung (gleichmäßig beschleunigte Bewegung) s0, v0 Ableitung nach t 14 Kapitel 3: Klassische Mechanik Freier Fall s0 = 0; v0 = 0 Strecke (m) Weg-Zeit Diagramm (g = -10m/s2) Sprung vom 5-Meter Turm 0 -2 -4 s(t) = 0.5 g t2 0,0 = -0.5*10 ms-2 t2 0,5 1,0 (Aufprallgeschwindigkeit: v = -10m/s) In der Regel wird nur der Betrag angegeben. Geschwindigkeit (m/s) Zeit (s) 0 -2 v(t) = -10m/s2 t -4 -6 -8 -10 0,0 0,5 Zeit (s) 1,0 Kapitel 3: Klassische Mechanik Freier Fall Wo fange ich an zu messen? s0 = 5m; v0 = 0 g = -10m/s2 Strecke (m) 6 Weg-Zeit Diagramm 4 2 s(t) = 0.5 g t2 + s 0 = -0.5*10 ms-2 t2 + 5m 0 0,0 0,5 1,0 Geschwindigkeit (m/s) Zeit (s) - Geschwindigkeit ist unabhängig von s0 ! 0 -2 v(t) = -10m/s2 t -4 -6 -8 -10 0,0 0,5 Zeit (s) 1,0 Kapitel 3: Klassische Mechanik Freier Fall Weg-Zeit Diagramm s0 = 5m; v0 = 5m/s g = -10m/s2 Strecke (m/s) => 6 s(t) = -0.5*10m/s2 t2 + 5m/s t + 5 m 4 2 0 0 1 2 - Geschwindigkeit ist unabhängig von s0 - Position und Geschwindigkeit sind unabhängig vom Gewicht der Person! Geschwindigkeit (m/s) Zeit (s) 5 v(t) = -10m/s2 t + 5m/s 0 -5 -10 0,0 0,5 1,0 Zeit (s) 1,5 2,0 Kapitel 3: Klassische Mechanik Zur Übung Welches/welche der v-t-Diagramme in der Abbildung beschreibt/beschreiben am besten die Bewegung eines Teilchens (Sie müssen ihre Antwort nicht begründen.). • Mit positiver Geschwindigkeit und zunehmendem Geschwindigkeitsbetrag • Mit positiver Geschwindigkeit und der Beschleunigung null • Mit konstanter, von null verschiedener Beschleunigung • Mit abnehmendem Geschwindigkeitsbetrag Lösung ⇒B ⇒ C ⇒ B,D, E ⇒ D (da Geschwindigkeitsbetrag) Kapitel 3: Klassische Mechanik Fallrohr Bremer Fallturm, 1989 146 m 119 m Fallkapsel Fallschacht Wie lange benötigt eine Kugel für den Fall? (Vakuum = > kein Luftwiderstand) 0m Fallrohr Kapitel 3: Klassische Mechanik Fallrohr Bremer Fallturm 146 m 119 m Fallkapsel Fallschacht (Vakuum) 𝑡= 𝑠 𝑡 2 𝑔 = ℎ 2 𝑔 0m Fallrohr Kapitel 3: Klassische Mechanik Freier Fall Fallversuche auf dem Mond, 1971 : Feder und Hammer D. Scott gM = 1.6 m/s2 http://www.youtube.com/watch?v=-4_rceVPVSY Experimenteller Beweis, dass eine Feder und ein Hammer gleich schnell fallen! 21 Kapitel 3: Klassische Mechanik Freier Fall Position und Geschwindigkeit sind unabhängig vom Gewicht der Person! Grund: Beschleunigung auf Grund der Erdanziehungskraft Beachte: Dies gilt nicht für leichte kleine Objekte, wie z.B. ein Regentropfen. Da bewirkt die Luftreibung, dass er mit konstanter Geschwindigkeit auf dem Boden auftrifft. (Erdbeschleunigung <-> Luftreibung) Allgemein: Beschleunigung a auf Grund einer externen Kraft Kapitel 3: Klassische Mechanik Gleichförmig beschleunigte Bewegung: Differential- u. Integralrechung Mathematik (Differentiation) Physik . (a,b,c sind Konstanten) s (oder r, ): Strecke t: Zeit g: Erdbeschleunigung s0: Startposition v0=: Anfangsgeschwindigkeit Kapitel 3: Klassische Mechanik Gleichförmige Bewegung: Differential- Integralrechung s Durchschnitts- oder Intervallgeschwindigkeit: ∆𝑠 = 𝑣0 ∆𝑡 𝑠1 = 𝑣0 𝑡1 v 𝑣0 t1 gleichförmige Bewegung: ∆𝑡 t 𝑣 = konstant t 24 Kapitel 3: Klassische Mechanik Gleichförmige Bewegung: Differential- Integralrechung s Durchschnitts- oder Intervallgeschwindigkeit: ∆𝑠 = 𝑣0 ∆𝑡 𝑠1 = 𝑣0 𝑡1 t1 v 𝑣0 𝑠1 = 𝑣0 𝑡1 gleichförmige Bewegung: ∆𝑡 t 𝑣 = konstant ∆𝑠 = 𝑣0 ∆𝑡 ∆𝑡 für t => 25 Kapitel 3: Klassische Mechanik Gleichförmig beschleunigte Bewegung: Differential- Integralrechung s 1 2 𝑎𝑡 2 1 𝑣0 𝑡1 𝑡1 𝑠0 t Kapitel 3: Klassische Mechanik Gleichförmig beschleunigte Bewegung: Differential- Integralrechung Ableitung s v 1 2 𝑎𝑡 2 1 𝑣 = 𝑎𝑎 + 𝑣0 𝑣0 𝑡1 𝑡1 𝑠0 𝑎𝑎1 𝑣0 t 𝑡1 𝑣0 t Kapitel 3: Klassische Mechanik Gleichförmig beschleunigte Bewegung: Differential- Integralrechung Ableitung Ableitung s a v 1 2 𝑎𝑡 2 1 𝑣 = 𝑎𝑎 + 𝑣0 𝑣0 𝑡1 𝑡1 𝑠0 𝑎𝑎1 𝑣0 t 𝑡1 𝑣0 𝑎 t 𝑎 = 𝑘𝑘𝑘𝑘𝑘𝑘𝑘𝑘 𝑡1 t Kapitel 3: Klassische Mechanik Gleichförmig beschleunigte Bewegung: Differential- Integralrechung Ableitung Ableitung Integration s a v 1 2 𝑎𝑡 2 1 𝑣 = 𝑎𝑎 + 𝑣0 𝑣0 𝑡1 𝑡1 𝑠0 𝑎𝑎1 𝑣0 t 𝑡1 𝑣0 𝑎 t 𝑎 = 𝑘𝑘𝑘𝑘𝑘𝑘𝑘𝑘 𝑎𝑎1 𝑡1 t Kapitel 3: Klassische Mechanik Gleichförmig beschleunigte Bewegung: Differential- Integralrechung Ableitung Ableitung Integration Integration s v 1 2 𝑎𝑡 2 1 𝑡1 𝑠0 𝑣0 : Integrationskonstante 𝑣 = 𝑎𝑎 + 𝑣0 𝑣0 𝑡1 𝑠0 : Integrationskonstante a 𝑣0 t 𝑎𝑎1 1 2 𝑎𝑡 2 1 𝑣0 𝑡1 𝑡1 𝑣0 𝑎 t 𝑎 = 𝑘𝑘𝑘𝑘𝑘𝑘𝑘𝑘 𝑎𝑎1 𝑡1 t Kapitel 3: Klassische Mechanik Zusammenfassung: Bewegungsgesetze 31 Kapitel 3: Klassische Mechanik Gleichmäßig beschleunigte Bewegung in 2-Dimensionen Geschwindigkeit in x- und z- Richtung sind unabhängig voneinander (Grund: Geschwindigkeit ist eine vektorielle Größe) Tennisbälle, Affe Kapitel 3: Klassische Mechanik Waagerechter Wurf Geschwindigkeiten in x- und z- Richtung sind unabhängig voneinander Wasserstrahl, s0 = 0 v0 = v x g 𝑠𝑥 𝑡 = 𝑣0 𝑡 1 2 𝑠𝑧 𝑡 = 𝑔𝑡 2 𝑠⃗(𝑡) = 𝑠𝑥 (𝑡) 𝑠𝑧 (𝑡) = 𝑣0 𝑡 1 𝑔𝑡 2 2 Kapitel 3: Klassische Mechanik Waagerechter Wurf 1 2 Überlagerung gleichförmige Bewegung (𝑣0 𝑡) und freier Fall ( 𝑔𝑡 2 ) 𝑠⃗(𝑡) = 𝑠𝑥 (𝑡) 𝑠𝑧 (𝑡) = 𝑣0 𝑡 1 2 𝑔𝑡 2 1 2 z = 𝑔𝑡 2 z Tennisbälle 34 Kapitel 3: Klassische Mechanik Waagerechter Wurf Überlagerung gleichförmige Bewegung und freier Fall 𝑣⃗(𝑡) = 𝑣0 𝑔𝑔 gleichförmige Bewegung freier Fall Tennisbälle 35 Kapitel 3: Klassische Mechanik schnelle Bewegung Rotationsbewegung 36 Kapitel 3: Klassische Mechanik Drehbewegung Drehbewegung läßt sich mittels einer sinus-Funktion beschreiben sinx 1 0 -1 -360° (-2π) 0 360° (2π) 37 Sinusbewegung Kapitel 3: Klassische Mechanik schnelle Bewegung Geschwindigkeit einer Pistolenkugel? Versetzung der Löcher um Winkel ϕ Motor f = 25 Hz = 25 s-1 ∆x = 1m Zurückgelegter Winkel pro Sekunde: ϕ = f 360° 38 Kapitel 3: Klassische Mechanik schnelle Bewegung Geschwindigkeit einer Pistolenkugel? Versetzung der Löcher um Winkel Motor f = 25 Hz = 25 s-1 ∆x = 1m Kapitel 3: Klassische Mechanik Drehbewegung Rotation (Drehbewegung um eine Achse) Winkel (in rad: Radiant) Winkelgeschwindigkeit (in rad/s) Winkelbeschleunigung (in rad /s2) Winkel in Bogenmaß, 𝜑 dimensionslos 𝜑 s ω= 𝑑𝜔 𝑑𝑑 Translation 𝑑𝜑 𝑑𝑑 = 𝑑2 𝜑 𝑑𝑡 2 𝜑 𝑟 𝑏 𝑣= 𝑑𝑑 𝑑𝑑 𝑎= 𝑑𝑑 𝑑𝑑 = 𝑏 𝜑= 𝑟 𝑑2 𝑑𝑡 2 Kapitel 3: Klassische Mechanik Drehbewegung Rotation (Drehbewegung um eine Achse) Winkel (in rad: Radiant) s 𝜑 𝑑𝜑 𝑑𝑑 𝑑𝜔 𝑑2 𝜑 = 2 𝑑𝑑 𝑑𝑡 Winkelgeschwindigkeit (in rad/s) Winkelbeschleunigung (in rad Translation ω= /s2) 𝑣= 𝑎= Eine volle Umdrehung: 𝜑 𝑟 𝑏 ⇒ 𝑏 = 2𝜋𝑟 𝜑 = 2𝜋𝜋 𝑟 = 2𝜋 Mit 2𝜋 = � 360° ⇒ ⇒ 𝛼𝑔𝑔𝑔𝑔 = 𝑑𝑑 𝑑𝑑 𝑑𝑑 𝑑𝑑 𝑏 𝜑= 𝑟 360° 𝜑𝐵𝐵𝐵𝐵𝐵𝐵𝐵𝐵 2𝜋 1 rad = � 57.29° = 𝑑2 𝑑𝑡 2 Kapitel 3: Klassische Mechanik Drehbewegung Rotation (Drehbewegung um eine Achse) Translation Winkel (in rad: Radiant) s Winkelgeschwindigkeit (in rad/s) Winkelbeschleunigung (in rad 𝜑 𝑏 𝜑= 𝑟 𝑟 𝑏 /s2) 𝜑 𝑑𝜑 𝑑𝑑 𝑑𝜔 𝑑2 𝜑 = 2 𝑑𝑑 𝑑𝑡 ω= 𝑎 Bahngeschwindigkeit, 𝒗 𝑑𝑑 𝑑𝑠 𝑑𝜑 = = 𝑟 𝑟 ω= 𝑑𝜑 𝑑𝑑 = 𝑣=𝜔𝑟 𝑑𝑑 𝑑𝑑 𝑑𝑑 = 𝑑𝑑 𝑣= 1 𝑑𝑑 𝑟 𝑑𝑑 = 𝑣 𝑟 = 𝑑2 𝑑𝑡 2 (ersetze b durch s ⇒ alte Notation für Geschwindigkeit) Kapitel 3: Klassische Mechanik Drehbewegung Rotation (Drehbewegung um eine Achse) Translation Winkel (in rad: Radiant) s Winkelgeschwindigkeit (in rad/s) Winkelbeschleunigung (in rad 𝜑 𝑟 𝑏 /s2) 𝜑 𝑑𝜑 𝑑𝑑 𝑑𝜔 𝑑2 𝜑 = 2 𝑑𝑑 𝑑𝑡 ω= 𝑑𝑑 𝑑𝑑 𝑑𝑑 = 𝑑𝑑 𝑣= 𝑎 = 𝑑2 𝑑𝑡 2 Zahl der Umläufe pro Zeiteinheit: 𝑣 = 𝑓 2𝜋 𝑟 𝜔 = 2𝜋𝜋 𝑣 = 𝜔𝜔 Umlaufzeit (Periode): 𝑇 = 1 𝑓 = 2𝜋 𝜔 𝑓: Frequenz 1 𝑓 = 𝑠 Kapitel 3: Klassische Mechanik Drehbewegung Translation Weg Geschw. Beschl. Rotation 𝑠 𝑣 𝑎 Bewegungsgleichungen 𝑣 = 𝑣0 + 𝑎𝑎 𝑟 1 2 𝑠 = 𝑠0 + 𝑣0 𝑡 + 𝑎𝑡 2 Winkel Winkelgeschw. Winkelbeschl. 𝑑𝜔 𝜔 = 𝜔0 + 𝑡 𝑑𝑑 𝜑 ω= 𝑑𝜔 𝑑𝑑 𝑑𝜑 𝑑𝑑 = 𝑑2 𝜑 𝑑𝑡 2 1 𝑑𝜔 2 𝜑 = 𝜑0 + 𝜔0 𝑡 + 𝑡 2 𝑑𝑑 Kapitel 3: Klassische Mechanik Drehbewegung Winkelgeschwindigkeit ist ein Vektor, 𝜔 Betrag: 𝜔 = 𝜔 x 𝑣⃗ 𝑣 𝑟 • Richtung der Bewegung ist senkrecht zur Bewegungsebene. 𝑣⃗ • Geschwindigkeit ist konstant bei y • Gleichförmiger Drehbewegung 𝜔, 𝑣⃗, 𝑟⃗ sind Vektoren Vektorprodukt (Krezprodukt) 𝑣⃗ = 𝜔 x 𝑟⃗ Rechenregeln: später Kapitel 3: Klassische Mechanik Beispiel 𝜔 Beschleunigung einer Zentrifuge: z.B. 6 000 𝑈𝑈𝑈𝑈𝑈𝑈𝑈𝑈𝑈𝑈𝑈 𝑚𝑚𝑚 Radius: r = 10 cm 2𝜋 𝜔 = 6 000 = 630 𝑠 −1 60𝑠 𝑎= 𝜔2 𝑟 = 630 𝑠 −1 2 ∙ 0.1𝑚 = 40 000 Ultrazentrifuge bis ca. 106 𝑔 𝑚 𝑠2 ≈ 4000 𝑔 Kräfte Energien Kapitel 3: Klassische Mechanik Kräfte Bewegung Allgemein: Beschleunigung a auf Grund einer externen Kraft 𝐹 =𝑚𝑎 Beachte: 𝑣0 ist angegeben, oder 𝑣0 = ∆𝑠 ∆𝑡 oder 𝑣0 = 𝑠 𝑡 Kraft = Masse mal Beschleunigung Beachte: Im allgemeinen sind Kraft, Strecke, Geschwindigkeit und Beschleunigung Vektoren, d.h. sie sind richtungsabhängig. Kräfte Energien Kapitel 3: Klassische Mechanik Kräfte Bewegung Kraft = Masse mal Beschleunigung F = m a Erdanziehungskraft: Auf Wagen wirkt: Start s0 mw F = m2 g F = mw a Geschwindigkeit ändert sich, Beschleunigung bleibt konstant s1 a g Start s0 s1 s Gewicht m2 Wirkt eine Kraft => ändert der Körper seinen Bewegungszustand Kräfte Energien Kapitel 3: Klassische Mechanik Kräfte Bewegung 2. Newtonsches Axiom: Kraft = Masse mal Beschleunigung Erdanziehungskraft: Auf Wagen wirkt: Start s0 F = mG g F = mw a a s1 g Start s0 s1 s Gewicht m2 Beispiel: Erdanziehungskraft wird verwendet, um einen Wagen zu beschleunigen. mg = m2 49 Kräfte Energien Kapitel 3: Klassische Mechanik Kräfte Bewegung 2. Newtonsches Axiom: Kraft = Masse mal Beschleunigung Start s0 Start s0 mit F = mw a a s1 2m s1 mw = 250 g m2 = 10 g s g Gewicht m2 F = m2 g Kräfte Energien Kapitel 3: Klassische Mechanik Kräfte Bewegung 2. Newtonsches Axiom: Kraft = Masse mal Beschleunigung Start s0 Start s0 Vergleich: mw = 250 g a s1 2m s1 s g m2=10g Kräfte Energien Kapitel 3: Klassische Mechanik Kräfte Bewegung 2. Newtonsches Axiom: Kraft = Masse mal Beschleunigung Start s0 mw = 250 g a Start s0 s1 s1 2m2 = 20g s g Gewicht m2=10g Kräfte Energien Kapitel 3: Klassische Mechanik Kräfte Bewegung 2. Newtonsches Axiom: Kraft = Masse mal Beschleunigung Start s0 a Start s0 s1 s1 2m2 = 20g 2mw = 500g s g Gewicht m2 Kapitel 3: Klassische Mechanik Zur Übung Kräfte Energien Bewegung 1) Ein Fahrzeug der Masse m= 1500 kg wird aus dem Stillstand mit einer konstanten Kraft F = 5000 N beschleunigt. a) Wie groß ist die Beschleunigung? b) Welche Strecke hat das Fahrzeug nach 15 s zurückgelegt? Lösung a) F=ma => a = F/m = 5000N/1500kg = 3.33m/s2 b) s=0.5 a t2 = 0.5 * 3.33m/s2 * (15s)2 = 374.6 m Aus Klausur SS2006 Kapitel 3: Klassische Mechanik Energie Energieerhaltung: Kräfte Energien Bewegung Kapitel 3: Klassische Mechanik Energie Kräfte Energien Bewegung Vergleich: Arbeit ≡ Kraft mal Strecke W = 𝐹⃗ ∙ 𝑠⃗ = |𝐹⃗ | ∙ |𝑠⃗| ∙ cos(𝐹⃗ , 𝑠⃗) (Winkel zwischen Kraft und Strecke) Energieerhaltung: Kapitel 3: Klassische Mechanik Wiederholung s0 = 5m; v0 = 5m/s F=mg Kraft beim Aufprall: F=mg Energieerhaltung: s (oder r, h): Strecke, Höhe t: Zeit g,a: (Erd)beschleunigung s0: Startposition v0=: Anfangsgeschwindigkeit W = Kraft * Strecke Kräfte Energien Kapitel 3: Klassische Mechanik Energieerhaltung Bewegung kinetische Energie: Wkin = 0.5 m v2 m = 250g v = 1.4m/s hh==10 10cm cm l = 2.8m Wpot = m g h Wkin = 0.5 m v2 2° Kräfte Energien Kapitel 3: Klassische Mechanik Energieerhaltung Bewegung kinetische Energie: Wkin = 0.5 m v2 m = 250g v = 1.4m/s hh==10 10cm cm l = 2.8m 2° Wpot = m g h Wkin = 0.5 m v2 = 0.5 * 0.25kg * (1.4 m/s)2 = 0.25 J Kapitel 3: Klassische Mechanik Bestimmung der Erdbeschleunigung hh=10 = 10 cm cm l = 2.8m 2° “Fallhöhe: h” ℎ = 𝑙 ∙ sin 2° ≈ 10𝑐𝑐 ℎ = 𝑙 ∙ 𝑠𝑠𝑠 2° ∙ 2𝜋 360° = 𝑙 ∙ 2° oder mit sinα≈α 2𝜋 ∙ 360° = 2.8𝑚 ∙ 0.035 ≈ 10𝑐𝑐 Kräfte Energien Kapitel 3: Klassische Mechanik Energieerhaltung Bewegung Potentielle Energie: Wpot = mgh m = 250g v = 1.4m/s hh==10 10cm cm l = 2.8m W = m g h = 0.25 kg*10m/s2 * 0.1m = 0.25 kg m2/s2 = 0.25 J 2° Kapitel 3: Klassische Mechanik Energieerhaltung Wpot = Kraft * Strecke Kräfte Energien Bewegung . = m 9.81m/s2 * 5m = m 4.9 J/kg = 0.5 m (9.8m/s)2 = m 4.9 J/kg Energieerhaltung: Kapitel 3 Klassische Mechanik Zur Übung Kräfte Energien Bewegung 6) Ein Mensch springt von einem Tisch (Höhe h = 80 cm) herunter. Mit welcher Geschwindigkeit kommt er auf dem Boden an? (Erdbeschleunigung g = 9.81m/s2) Lösung: => 𝑣 = 1 𝑚𝑚𝑚 = 𝑚𝑣 2 2 2𝑔𝑔 = 2 ∙ 9.81𝑚𝑠 −2 ∙ 0.8𝑚 = 3.96𝑚/𝑠 Aus Klausur SS2011 Kräfte Energien Kapitel 3 Klassische Mechanik Zur Übung Bewegung Ein kleiner Junge fährt auf einem Schlitten einen Hang hinab. Der Junge wiegt 40 kg. Die zurückgelegte Höhendifferenz betrage 20 m. Die Erdbeschleunigung betrage 10m/s2. a) Welche kinetische Energie erreicht der Junge (Reibung soll vernachlässigt werden)? b) Welche Endgeschwindigkeit erreicht der Junge, wenn Reibung vernachlässigt werden kann? Lösung: a) Energieerhaltung: mgΔh = ΔEkin ΔEkin= 40 kg 10 ms-2 20 m = 80 kJ b) mgΔh = ΔEkin = 0.5 m v2 𝑣= 2𝑔∆ℎ = 2 ∙ 10 𝑚 20𝑚 𝑠2 = 20 𝑚s-1 Kapitel 3 Klassische Mechanik Zur Übung Kräfte Energien Bewegung 13) Aus dem Stand beschleunigt ein Auto (Masse m=1000 kg) mit a = 2 m/s2. a) Welche Geschwindigkeit hat es nach einer Entfernung von s = 50 m erreicht? b) Wie viel Energie wurde benötigt, wenn nur 1/3 davon in Bewegungsenergie umgewandelt worden ist? Lösung: a) 14,1 m/s b) W=1/2 m v2= 0.5 1000kg (14.1m/s)2 ≈ 100kJ da nur ein drittel in Bewegungsenergie umgesetzt wird, werden 3 W = 300kJ benötigt. Kräfte Energien Kapitel 3: Klassische Mechanik Rotationsenergie Bewegung Rollende Kugel * R r h s=1m Winkelgeschwindigkeit: Bahngeschwindigkeit: Kräfte Energien Kapitel 3: Klassische Mechanik Rotationsenergie Bewegung * R Rollende Kugel r h s=1m Winkelgeschwindigkeit: Bahngeschwindigkeit: Ziel: Struktur der Geschwindigkeitsgleichungen soll einheitlich sein Trägheitsmoment: 𝜃 = � 𝑟 2 𝑑𝑑 67 Kräfte Energien Kapitel 3: Klassische Mechanik Zur Übung Bewegung 12) Wie viel Rotationsenergie besitzt ein rollender Vollzylinder 1 𝜃 = 𝑚𝑟 2 , 𝑚 = 10𝑘𝑘 2 (Trägheitsmoment 𝜃, Masse m), wenn sich dessen Masseschwerpunkt mit einer Geschwindigkeit von v = 5 m/s fortbewegt? Lösung: 𝑊𝑟𝑟𝑟 = 1 𝜃 2 𝑍𝑍𝑍𝑍𝑍𝑍𝑍𝑍 1 1 𝑣 2 2 2 𝜔 = 𝑚𝑟 2 2 𝑟 1 4 = 𝑚𝑣 2 = 62.5𝐽 Aus Klausur SS2010 Kapitel 3: Klassische Mechanik Energieerhaltung Energieerhaltung für rollende Kugel h Wges = Wpot + Wkin + Wrot Trägheitsmoment: 𝜃 = � 𝑟 2 𝑑𝑑 θ Ist abhängig von Form des Körpers 69 Kapitel 3: Klassische Mechanik Kräfte Gesamtkraft 𝐹⃗ : Vektorsumme der Einzelkräfte 𝐹𝑖 𝑁 𝐹⃗ = 𝐹1 + 𝐹2 + … = � 𝐹𝑖 𝑖=1 Graphische Bestimmung der Gesamtkraft 2 Kräfte wirken auf einen Körper, die in unterschiedliche Richtungen weisen. 𝐹1 𝐹2 𝐹⃗ 𝐹⃗ = 𝐹1 + 𝐹2 𝐹2 Parallelverschiebung 𝐹⃗ 𝜃 ∆𝑠 Kapitel 3: Klassische Mechanik Energie - Leistung Arbeit: 𝑊 = 𝐹⃗ ∙ ∆𝑠 = 𝐹⃗ cos𝜃 ∆𝑠 falls θ = 0° => W= 𝐹∆𝑠 Arbeit: macht keinerlei Aussage darüber wie lange es dauert die Arbeit zu verrichten (laufe ich eine Treppe hoch, oder gehe ich langsam) Leistung: Arbeit pro Zeit 𝑃= 𝑑𝑑 𝑑𝑑 = Einheit: [P] = 1 W, = 1 J s-1 𝐹⃗ ∙𝑑𝑠⃗ 𝑑𝑑 = 𝐹⃗ ∙ 𝑣⃗ W: Watt falls Skalar 𝑃 = 𝑑𝑑 𝑑𝑑 Stromrechnung: Angabe in kWh mit: 1𝑘𝑘𝑘 = 103 𝑊 3600𝑠 = 3.6 𝑊𝑊 = 3.6 𝑀𝑀 = 𝐹𝐹 Kapitel 3: Klassische Mechanik Energie - Leistung Beispiel: Haarfön benötigt ca. 1500 … 2000 W Energiesparlampe benötigt ca. 20 W ⇒ 30 min Haare föhnen benötigt gleich viel Energie wie 50 Stunden Energiesparlampe. Preis (Haare fönen): 1kWh ca. 20 Cent => 30 min ∙ 2000 𝑊 = 1000 𝑊𝑊 = 1 𝑘𝑘𝑘 => 30 min Haare fönen kostet ca. 20 Cent Kapitel 3: Klassische Mechanik Energie - Leistung Energieverbrauch: Strom, Wärme, Verkehr, und Verluste • Primärenergieverbrauch in Deutschland 2009: 14 000 PJ = 14∙1018 J (Petajoule) Wobei 1 PJ = 1 000 000 000 000 000 J • Primärenergieverbrauch produzierte Energie Sekundärenergieverbrauch Energie wird zuvor in eine andere Energieform umgewandelt z.B. Wäre in Strom => Verluste http://www.nachwachsenderohstoffe.de/fileadmin/fnr/images/daten-und-fakten/2010/Abb05_2010_300dpi_RGB.jpg Kapitel 3: Klassische Mechanik Energie - Leistung Energieverbrauch: Strom, Wärme, Verkehr, und Verluste Primärenergieverbrauch in Deutschland 2009: 14 000 PJ = 14 000 ∙1015 J (Petajoule) Primärenergieverbrauch in Watt (1J = 1Ws): 14∙1018 J = 14∙1018 Ws = 1.5 ∙1012 kWh 1 Tafel Schokolade: ≈ 2000 kJ => 14∙1015 kJ = � 7 ∙1012 Tafel Schokoladen Kapitel 3: Klassische Mechanik Energie - Leistung Primärenergie in Deutschland 2009 Mineralöle 34.7% Braunkohle 11.3% Steinkohle 11.0% Gesamt: 14 103 PJ Kernenergie 11.0% Sonstige 1.3% erneuerbare Energien 8.9% Erdgas 21.8% http://www.nachwachsenderohstoffe.de/fileadmin/fnr/images/daten-und-fakten/2010/Abb05_2010_300dpi_RGB.jpg Kapitel 3: Klassische Mechanik Newtonschen Axiome Newtonsche Axiome 1. Trägheitsprinzip Ein Körper, der sich selbst überlassen ist, verharrt in Ruhe oder in gleichförmiger, geradliniger Bewegung. 2. Aktionsprinzip Die Beschleunigung eines Körpers ist umgekehrt proportional zu seiner Masse und direkt proportional zur resultierenden Kraft, die auf ihn wirkt 𝐹⃗ = 𝑚𝑎⃗ 3. Actio = Reactio Jede Kraft (actio) ruft stets eine dem Betrag nach gleiche aber entgegengesetzt gerichtete Kraft (reactio) hervor 𝐹𝐴→𝐵 = −𝐹𝐵→𝐴 Kapitel 3: Klassische Mechanik Newtonschen Axiome 3. Newtonsches Axiom: Jede Kraft ruft stets eine dem Betrag nach gleiche aber entgegengesetzt gerichtete Kraft hervor. www.chiemgau24.de/waging/tettenhausengegen-baum-chiemgau24-599431.html Actio = Reactio s0 Start s0 F -F m1,v1 m2,v2 v www.jawapohl.de/bilder_florida.htm 2 Wagen Kapitel 3: Klassische Mechanik Newtonschen Axiome 3. Newtonsches Axiom: Jede Kraft ruft stets eine dem Betrag nach gleiche aber entgegengesetzt gerichtete Kraft hervor Actio = Reactio F -F Wenn sie auf einer Personenwaage stehen, spüren ihre Füße die Kraft, die die Waage auf sie ausübt. Die Waage ist so geeicht, dass sie die Gegenkraft anzeigt, die sie aufbringt, um die auf sie wirkende Gegenkraft zu kompensieren. 2 Wagen Kapitel 3: Klassische Mechanik Reibung Kontaktkräfte: Normalkraft & Reibungskraft Kapitel 3: Klassische Mechanik Reibung Kontaktkräfte: Normalkraft & Reibungskraft Normalkräfte 𝐹𝑁 : Kräfte, die senkrecht zur Kontaktfläche wirken z.B.: Glas auf Tischplatte: Auf das Glas wirkt eine nach oben gerichtete Normalkraft Normalkräfte sind mit den auf den Körper (Glas) wirkenden nach unten gerichtete Gegenkräfte (i.a. Gravitationskraft) im Gleichgewicht. Normalkräfte sind proportional zur mikroskopischen Kontaktfläche. Reibungskräfte Kräfte, die parallel zu den Kontaktflächen wirken. Kapitel 3: Klassische Mechanik Reibung Reibung, 𝐹𝑅 Zwei Körper, die im direkten Kontakt stehen, üben Reibungskräfte aufeinander aus. Reibungskräfte sind parallel zu den Kontaktflächen der Körper und wirken deren Gleiten oder Bestreben zu gleiten entgegen. - Haftreibung - Gleitreibung - Rollreibung 𝐹𝑅,ℎ ≤ 𝜇𝑅,ℎ 𝐹𝑁 mit: 𝜇𝑅,ℎ : Haftreibungskoeffizient 𝐹𝑅,𝑔 = 𝜇𝑅,𝑔 𝐹𝑁 mit: 𝜇𝑅,𝑔 : Haftreibungskoeffizient 𝐹𝑅,𝑟 = 𝜇𝑅,𝑟 𝐹𝑁 𝜇𝑅,𝑟 : Rollreibungskoeffizient Kapitel 3: Klassische Mechanik Reibung, Oberflächen sind rau Oberfläche eines (Lotus)blattes Stahloberfläche Bild eines menschlichen Haares (AFM- Rasterkraftmikroskopie) Kapitel 3: Klassische Mechanik Reibung Beachte: Reibungskräfte sind unabhängig von der Größe der Kontaktfläche. 𝐹R 𝐹R 𝐹⃗ Oberfläche z.B. Tischplatte 𝐹⃗ Beachte: Der Druck P (Kraft, 𝐹, pro Fläche 𝐴) ist abhängig 𝐹 von der Größe der Kontaktfläche, 𝑃 = 𝐴 Kapitel 3: Klassische Mechanik Reibung Gleitreibungskraft ist kleiner als maximale Haftreibungskraft FN F FR 𝐹𝑅,ℎ,𝑚𝑚𝑚 = 𝜇𝑅,ℎ 𝐹𝑁 => 𝐹𝑅,𝑔 = 𝜇𝑅,𝑔 𝐹𝑁 𝐹𝑅,𝑔,𝑚𝑚𝑚 < 𝐹𝑅,ℎ,𝑚𝑚𝑚 Oberfläche z.B. Tischplatte 𝐹𝑅,ℎ : Haftreibung 𝐹𝑅,𝑔 : Gleitreibung Kapitel 3: Klassische Mechanik Reibung Körper auf schiefer Ebene - Gravitationskraft (nach unten) - Normalkraft (nach oben, senkrecht zur Ebene) 𝐹G - Reibungskraft (parallel zur Ebene) Kapitel 3: Klassische Mechanik Reibung Körper auf schiefer Ebene α 𝐹G α - Gravitationskraft (nach unten) - Normalkraft (nach oben, senkrecht zur Ebene) - Reibungskraft (parallel zur Ebene) y FN,y α α FN,x x 𝐹𝑅,ℎ ≤ 𝜇𝑅,ℎ 𝐹𝑁 y 𝐹𝑁,𝑥 𝑠𝑠𝑠𝛼 = |𝐹𝑁 | α FR,x FR,y cos𝛼 = x −𝐹𝑅,𝑥 |𝐹𝑅 | Kapitel 3: Klassische Mechanik Reibung Körper auf schiefer Ebene: |𝐹𝑁 |= 𝐹𝑁 |𝐹𝑅 |= 𝐹𝑅 α 𝐹𝑁,𝑥 = 𝐹𝑁 𝑠𝑠𝑠𝑠 𝐹G 𝐹𝑅,𝑥 = − 𝐹𝑅 𝑐𝑐𝑐𝑐 𝐹𝐺,𝑥 = 0 α Kräfte entlang x-Achse: 𝐹𝑁,𝑥 + 𝐹𝑅,𝑥 + 𝐹𝐺,𝑥 = 0 => Maximaler Winkel: 𝐹𝑁 𝑠𝑠𝑠𝑠 − 𝐹𝑅 𝑐𝑐𝑐𝑐 + 0 = 0 𝐹𝑅,ℎ = 𝜇𝑅,ℎ 𝐹𝑁 𝐹𝑁 𝑠𝑠𝑠𝑠 −𝜇𝑅,ℎ 𝐹𝑁 𝑐𝑐𝑐𝑐 = 0 𝜇𝑅,ℎ = 𝑠𝑠𝑠𝛼 𝑐𝑐𝑐𝛼 = 𝑡𝑡𝑡𝛼 Kapitel 3: Klassische Mechanik Reibung Der Betrag der Gleitreibungskraft, 𝐹𝑅,𝑔 sowie der maximalen Haftreibungskraft 𝐹𝑅,ℎ ist proportional zur mikroskopischen Kontaktfläche und zur Stärke der Kraft, die die beiden Oberflächen zusammen drückt, 𝐹𝑁 . Gummi auf trockenem Boden 𝜇𝑅,ℎ 1.0 0.8 Gummi auf nassem Boden 0.3 0.25 Gewachste Ski auf Schnee 0.1 0.05 𝜇𝑅,𝑔 Gummireifen auf Beton 𝜇𝑅,𝑟 0.01 … 0.02 𝜇𝑅,ℎ > 𝜇𝑅,𝑔 >> 𝜇𝑅,𝑟 Kapitel 3: Klassische Mechanik Kräfte (für Interessierte) Tipler, Seite 116 Kapitel 3: Klassische Mechanik Kräfte (für Interessierte) Tipler, Seite 114/115 Kapitel 3: Klassische Mechanik Kräfte (für Interessierte) Tipler, Seite 114/115 Kapitel 3: Klassische Mechanik Kräfte (für Interessierte) Tipler, Seite 118/119 Kapitel 3: Klassische Mechanik Impuls Impulserhaltung Kapitel 3: Klassische Mechanik Impuls LKW fährt in einen Stau Impuls: 𝑝⃗ = m𝑣⃗ Einheit: [𝑝⃗] = kg Anschaulich: 𝑚 𝑠 LKW, 7.5 t v = 70 km/h PKW PKW „Maß für die Schwierigkeit, um einen Körper zum Stillstand zu bringen“ http://motortraffik.com/sites/default/files/imagecache/node_320x240px/images/images_per_node/lkw_pkw_unfall.jpg Kapitel 3: Klassische Mechanik Impuls (in einer Dimension) F = ma mit v = at gilt Ft = mv p Impuls: 𝑝⃗ = m𝑣⃗ Gesamtimpuls: 𝑝⃗ = ∑𝑖 𝑚𝑖 𝑣𝑖 = ∑𝑖 𝑝𝑖 Impulserhaltung: Wenn die Summe aller äußeren Kräfte auf eine System null ist, dann bleibt der Gesamtimpuls des Systems konstant. Kapitel 3: Klassische Mechanik Impuls Elastischer Stoß: Kinetische Energie vor und nach dem Stoß identisch m1,v1 v Inelastischer Stoß: m1,v2 Kinetische Energie wird in thermische oder innere Energie umgewandelt Kapitel 3: Klassische Mechanik Impuls Impuls: 𝑝⃗ = m𝑣⃗ Impulserhaltung beim elastischen Stoß - Impuls ist eine Vektorgröße - Richtung des Impulses ist identisch zur Richtung der Geschwindigkeit m1,𝑣1 v m1,𝑣2 Hier: 𝑚1 = 𝑚2 Vor Zusammenstoß: Nach Zusammenstoß: In 1-Dimension (Luftkissenbahn) ist der Vektor Identisch zu seinem skalaren Wert => keine Pfeile erforderlich 𝑝 = 𝑚 𝑣1 + 𝑚 0 𝑝 = 𝑚 0 + 𝑚 𝑣2 𝑣2 = −𝑣1 Kapitel 3: Klassische Mechanik Impuls ineleastischen Stoß 𝑚1 , 𝑣1 𝑚2 𝑚1 +𝑚2 𝑣2 : Geschwindigkeit Massenmittelpunkt Impulserhaltung: Für 𝑚1 = 𝑚2 𝑣2 𝑚1 𝑣1 = (𝑚1 +𝑚2 ) 𝑣2 => 𝑣2 = => 𝑣2 = 𝑚1 𝑣 𝑚1 +𝑚2 1 1 𝑣 2 1 Kapitel 3: Klassische Mechanik Drehimpuls Impuls: 𝑝 = 𝑚𝑚 𝑝⃗ = 𝑚𝑣⃗ Kraft: 𝑑𝑑 𝐹 = 𝑚𝑚 = 𝑚 𝑑𝑑 𝑑𝑣⃗ 𝐹⃗ = 𝑚𝑎⃗ = 𝑚 𝑑𝑑 Drehimpuls: 𝐽 =θ𝜔 𝐽⃗ = θ 𝜔 Drehmoment: 𝑑𝜔 𝑀=θ 𝑑𝑑 𝑑𝜔 𝑀=θ 𝑑𝑑 Kapitel 3: Klassische Mechanik Zur Übung 5) Die Drehzahl eines Zentrifugenrotors steigt von 1500 auf 6000 U/min. a) Um welchen Faktor vergrößert sich der Drehimpuls? b) Wie groß ist die Bahngeschwindigkeit eines Teilchens auf dem Rotor, das mit dem Radius R=2,5 cm bei 6000 U/min um die Drehachse rotiert? Lösung: a) 4 b) 15,7 m/s Aus Klausur SS2011 Kapitel 3: Klassische Mechanik Zur Übung 7) Welche Aussagen sind korrekt? (Pro richtiger Antwort 0,25 Punkte, pro falscher Antwort 0,25 Punkte Abzug, minimal erreichbare Punktzahl 0. Aufmerksam lesen! Richtige Antworten ankreuzen) [ a] Eine Hohlkugel rollt aus gleicher Höhe schneller als eine massive Kugel gleicher Masse eine schiefe Ebene hinab. [ b] Die Geschwindigkeit am Ende eines reibungslosen freien Falls hängt von der Masse des fallenden Gegenstandes ab. [ c ] Masse und Trägheitsmoment sind in den Formeln für Translation und Rotation analoge Größen. [ d] Die Gewichtskraft eines Körpers auf einer schiefen Ebene ist gleich der Summe aus Normalkraft und Hangabtriebskraft. [ e] Der Impuls ist definiert als Masse mal Geschwindigkeit pro Zeit. [ f] Die Beschleunigung eines Körpers ist proportional zu der auf ihn wirkenden Kraft. [ g] Ein Kraftwerk produziert 1.2*107J in 1h. Dann beträgt seine Leistung 12MW. [ h ] Ein Wagen wird mit der konstanten Kraft F = 2*104 N eine Strecke von 2m eine schiefe Ebene hinauf gezogen. Dabei wird eine Arbeit von 40kJ verrichtet. Richtig: c, d, f, h Aus SS2011 14) Ein Polizeiwagen startet aus dem Stillstand mit einer konstanten Beschleunigung a = 4 m/s2 zur Verfolgung eines mit der konstanten Geschwindigkeit v = 25 m/s fahrenden Fahrzeuges, als dieses den Polizeiwagen passiert. a) Nach welcher Zeit ist das verfolgte Fahrzeug eingeholt? b) Wie schnell ist dann der Polizeiwagen? Lösung: a) t = 12,5 s b) v = 50 m/s 18) Eine Stahlkugel der Masse 2 kg kreist mit 5 Umdrehungen pro Sekunde an einem Seil im Abstand l = 1,5m um einen Aufhängepunkt. Berechnen Sie die kinetische Energie dieser Bewegung (die Stahlkugel kann als Massepunkt genähert werden und die Masse des Seils ist vernachlässigbar). E = 2221 J Klausur SS2006
