Blatt 1 - Universität Paderborn

Universität Paderborn
Institut für Informatik
Prof. Dr. Hans Kleine Büning
Paderborn, 16. Oktober 2009
Präsenzübungen zur Vorlesung
Modellierung
WS 2009/2010
Blatt 1
Aufgabe 1: Extensionale Darstellung
Beschreiben Sie die folgenden intensional definierten Mengen jeweils mit einem kurzen Satz und geben Sie
zu jeder Menge die entsprechende extensionale Definition an. Es gelte 0 < N.
(a) M := {(i, j)| i ∈ Z ∧ j ∈ Z ∧ j = i2 ∧ j < 10}
(b) M := {a | a ∈ N ∧ 4 < a ≤ 10}
(c) M := {b | b ∈ Z ∧ 2b2 + b − 6 = 0}
(d) M := {c | c ∈ N ∧ c2 < 10}
(e) M := {d | d ∈ N ∧ d < −1}
(f) M := {(x, y)| x, y ∈ N ∧ x ∗ y < 20 ∧ x < y}.
(g) M := {(x, y)|x, y ∈ N und x ∗ y = 24 und x < y}
(h) M := {i | i ∈ Z ∧ i2 < 10}
(i) M := {(i, j) | i, j ∈ N ∧ i ≤ 8 ∧ j = 2i }
(j) M := {(i, j, k) | i, j, k ∈ N ∧ i ∗ j = k ∧ k ≤ 4}
(k) M := {(i, j) | i, j ∈ N ∧ 3 < i ∧ i + 1 = j ∧ j < 10}
(l) M := {m | m ⊆ {1, 2, 3, 4, 5} ∧ |m| = 3}
(m) M := {(m, n) | m, n ⊆ {1, 2, 3, 4} ∧ m ∪ n = {1, 2, 3, 4} ∧ m ∩ n = ∅}
(n) M := Pow({Salz, Pfeffer}) × {Spiegelei, Steak, Salat}
(o) M := {Kopf , Zahl}3
√
(p) M := {(i, j)|i ∈ Z und j ∈ Z und j = ± i und i < 10}
Aufgabe 2: Intensionale Darstellung
Geben Sie zu jeder Menge die entsprechende intensionale Definition an.
(a) Die Menge M geordneter Paare natürlicher Zahlen, deren Produkt kleiner als 7 ist.
(b) Die Menge M der natürlichen Zahlen, deren Wurzel kleiner als 20 ist.
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(c) Die Menge M geordneter Paare ganzer Zahlen, deren Summe nicht größer als 20 ist.
(d) Die Menge M der positiven Teiler der Zahl 18.
(e) M := {(3, 27), (1, 1), (4, 256), (2, 4)}.
(f) M := {(1, 1), (2, 8), (3, 27), (4, 64), (5, 125)}
Aufgabe 3: Mengenoperationen / Kardinalitäten
(a) Seien Holzart := {Eiche, Kiefer} und Möbelobjekt := {Tisch, Schrank, Stuhl, Bett} gegeben. Geben Sie
alle Elemente des Kartesischen Produkts Möbelstücke := Holzart×Möbelobjekt an. Bestimmen Sie
auch die Kardinalität von Möbelstücke und Pow(Möbelstücke)..
(b) Seien X := {Hund, Pferd}, Y := {Katze}, Z := {Maus}. Geben Sie alle Elemente sowie die Kardinalitäten der Mengen M1 := Pow(X ∪ Y) und M2 := Pow(X × Y) × Z an.
(c) Seien X := {Hund, Pferd}, Y := {Katze}, Z := {Pferd, Maus}. Geben Sie alle Elemente sowie die
Kardinalitäten der Mengen M1 := Pow(X ∪ Y) und M2 := Pow(X\Z) an.
(d) Gegeben seien
A := {Englisch, Deutsch, Spanisch, Holländisch}
B := {Englisch, Spanisch, Portugiesisch}
C := {Griechisch, Deutsch, Französisch}
(d1) Berechnen Sie:
i. A ∪ B
ii. B ∩ C
iii. A\B
(d2) Rechnen Sie folgende Formel mit den oben angegebenen Mengen nach
A ∩ (B ∪ C) = (A ∩ B) ∪ (A ∩ C)
(e) Seien Farbe := {Rot, Blau} und Kleidungsform := {Pullover, Jacke, Hose} gegeben. Gesucht sind die
Elemente des kartesischen Produkts Kleidungsstücke := Farbe × Kleidungsform. Geben Sie auch die
Kardinalität von Kleidungsstücke an.
(f) Seien M := {Pizza, Brot} und N := {Salami, K äse, Sardellen}. Geben sie die Kardinalitäten von
Pow(M × N), Pow(M ∪ N), Pow(M\N) und Pow(M ∩ N) an.
(g) M := {a, b, c}, N := {b, c, d}
Geben Sie den Wertebereich von M ∪ N, M ∩ N, M\N, N\M und Pow(M ∩ N) als Menge in extensionaler Notation an.
(h) Die Mengen M und N haben die Kardinalitäten |M| = m und |N| = n. Bestimmen Sie die Kardinalität
der Menge Pow(M × N).
Aufgabe 4: Relationen, Eigenschaften, Funktionen
Es seien folgende Relationen gegeben:
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• R1 := {(0, 3), (1, 2), (2, 1)} ⊆ {0, 1, 2, 3}2
• R2 := {(a, b), (b, b)} ⊆ {a, b}2
• R3 := {(n, m) ∈ N2 |n = m + 1} ⊆ N2
• R4 := {(n, m) ∈ N2 |n = m oder n ≥ 2m} ⊆ N2
(a) Geben Sie an, ob die Relationen reflexiv, irreflexiv, symmetrisch, antisymmetrisch, asymmetrisch,
transitiv oder alternativ sind. Geben Sie jeweils entweder eine kurze Begründung oder ein Gegenbeispiel an.
(b) Entscheiden Sie, welche der Relationen Funktionen sind. Geben Sie an, ob diese Funktionen total,
surjektiv, injektiv oder bijektiv sind. Geben Sie jeweils entweder eine kurze Begründung oder ein
Gegenbeispiel an.
Aufgabe 5: Relationen, Eigenschaften
Begründen Sie, welche der folgenden Eigenschaften die als Matrix dargestellten Relationen aufweisen und
welche nicht: Reflexivität, Irreflexivität, Symmetrie, Asymmetrie, Alternativität.
Ra
1
2
3
4
5
6
1
+
Rc
1
2
3
4
5
6
1
Re
1
2
3
4
5
6
+
+
2
+
+
2
+
+
3
+
+
3
+
+
4
+
+
4
5
+
+
5
6
+
+
6
+
+
1
2
+
+
+
+
+
+
3
4
5
Rb
1
2
3
4
5
6
Rd
1
2
3
4
5
6
1
+
2
3
+
+
4
5
6
+
+
+
1
2
3
4
5
6
+
+
+
+
+
+
6
Aufgabe 6: Relationen
(a) Gegeben sei die Relation R := {(x, y)| x, y ∈ N∧y = x2 ∧ x ≤ 6} ∈ Pow(N×N). Geben Sie die Relation
R in extensionaler Schreibweise an. Geben Sie an, ob die Relation reflexiv, irreflexiv, symmetrisch,
antisymmetrisch, asymmetrisch, transitiv oder alternativ ist.
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(b) Anja, Horst und Dieter müssen an einigen Wochentagen zur Uni, an anderen haben sie frei. Geben
Sie den Wertebereich von Relationen an, die so eine Zuordnung modellieren. Geben Sie ein Element
des Wertebereichs an.
(c) Sei R := {(x, y) | x, y ∈ N und y = x x und x < 5} ∈ Pow(N × N).
Überprüfen Sie, ob die Relation R reflexiv, irreflexiv, symmetrisch, antisymmetrisch, asymetrisch,
alternativ oder transitiv ist und geben Sie jeweils entweder eine kurze Begründung oder ein Gegenbeispiel an.
(d) Seien M und N beliebige endliche Mengen mit |M| = m, |N| = n. Wie viele Relationen über M × N
gibt es? Begründen Sie Ihre Antwort.
(e) Sei R := {(x, y)| x ∈ Z ∧ y ∈ N ∧ x = y ∗ 2 ∧ 1 < y < 21}
Überprüfen Sie, ob die Relation R reflexiv, irreflexiv, symmetrisch, antisymmetrisch, asymetrisch,
alternativ oder transitiv ist und geben Sie R in extensionaler Schreibweise an.
(f) Seien H := {1, 2, 3} und R := {(1, 1), (3, 1), (1, 2), (3, 3), (2, 1), (1, 3)} ⊆ H × H. Bestimmen Sie, ob die
Relation R reflexiv, irreflexiv, transitiv, symmetrisch oder alternativ ist.
Aufgabe 7: Funktionen
(a) Gegeben sei die Funktion f : N → Z mit f (x) = x − 5 für alle x ∈ N. Geben Sie an, ob diese Funktion
total, surjektiv, injektiv oder bijektiv ist.
(b) Anja und Claudia haben dieses Jahr an einem Dienstag Geburtstag, Horst an einem Mittwoch, Dieter
an einem Montag und Meike an einem Samstag. Geben Sie den Graphen der Funktion Geburtstag an,
die jeder Person einen Wochentag zuordnet. Aus welchem Wertebereich stammt diese Funktion? Wie
lautet der Definitions- und Bildbereich?
(c) Holger fährt mit dem Fahrrad zur Uni. Susanne und Jens wohnen nebenan im Studentenwohnheim
und gehen zu Fuß. Ingo und Rainer bilden eine Fahrgemeinschaft und kommen mit dem Auto. Wie
lautet der Definitions- und Bildbereich der Funktion VerkehrsmittelZurUni, die jeder Person ein Verkehrsmittel zuordnet. Geben Sie den Graphen der Funktion an.
(d) Sei f : N → N mit f (x) = x ∗ x + 1
Überprüfen Sie, ob die Funktion f surjektiv, injektiv oder bijektiv ist.
Aufgabe 8: Wertebereiche, Modellierung
Modellieren sie:
(a) Die Menge aller Ergebnisse, die bei der Ziehung der Lottozahlen (6 aus 49) herauskommen kann.
(b) Die Menge aller Möglichkeiten, eine Top-10 aus einer Menge von Liedern zu bilden
(c) Die Menge aller Punkte im zweidimensionalen Raum, die auf dem Einheitskreis liegen.
(d) Eine Spielkarte zeigt entweder eine Zahl zwischen 2 und 10 oder ein Bild (Bube, Dame, König oder
Ass). Außerdem hat jede Spielkarte eine Farbe, nämlich Kreuz, Pik, Herz oder Karo.
(e) Ein Kegelklub besteht aus einer Menge von Personen. Die wichtigsten Eigenschaften einer Person
sind Vorname, Nachname, Telefonnummer und Adresse.
(f) Eine Lichterkette der Firma Ledom besitzt 25 Fassungen. Jede Fassung kann mit einer Glühbirne
bestückt, oder leer sein. Glühbirnen können funktionstüchtig oder defekt sein.
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