Arbeitsblatt 6 ¨Ubungen zu Mathematik IV für das Lehramt an der

6. Mai 2005
Arbeitsblatt 6
Übungen zu Mathematik IV für das Lehramt an der Grund- und Mittelstufe
sowie an Sonderschulen
B. Werner
SoSe 05
9.5.05
Präsenzaufgabe:
1. Das berühmte Geburtstagsproblem kann auch so formuliert werden: Aus einer Urne mit n
Kugeln werden k Kugeln mit Zurücklegen gezogen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass
alle k Kugeln verschieden sind?
Was ist hier der Merkmalraum?
2. Analysieren Sie das Ziegenproblem“ mit 4 Türen (wobei hinter drei Türen eine Ziege“,
”
”
hinter einer der Hauptgewinn steht. Die SpielerIn hat zwei Versuche, nach dem ersten wird eine
Ziegentür“ geöffnet).
”
3. Für einen Euro Einsatz gewinnen Sie einen weiteren Euro, wenn Sie mit 4 Spielwürfeln
mindestens eine 6 werfen. Lohnt sich das Spiel?
Übungsaufgaben: (Abgabe 24.5.05 in den Übungen)
Aufgabe 21:
Man stelle zufällig 3 Flaschen Saft aus drei verschiedenen Sorten (Apfel, Orange, Birne) zu
einem Saftkorb“ zusammen.
”
(a) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass (mindestens) eine Sorte nicht im Saftkorb vertreten ist?
(b) Man könnteso (falsch)
rechnen: es gibt mit n = 3 und k = 3 nach der vierten Urnenfor
”
n+k−1
5
mel“
= 3 = 10 mögliche verschiedene Zusammenstellungen des Saftkorbes“.
k
”
Von denen gibt es nur eine mit genau 3 (verschiedenen) Säften. Also ist die Wahrscheinlichkeit 9/10. Worin liegt der Fehler in der Argumentation?
3
(c) Oder so: Aus 2 Sorten
kann man 2 = 8 verschiedene Saftkörbe mit drei Säften zusam3
menstellen. Da es 2 = 3 Möglichkeiten gibt, 2 Sorten aus drei Sorten auszuwählen, gibt
24
es 3 · 8 = 24 Saftkörbe mit nur 2 Sorten. Die gesuchte Wahrscheinlichkeit ist also 27
= 89 .
Aufgabe 22:
Sechs Kugeln fallen zufällig und unabhängig voneinander in eines von 3 verschiedenen Fächern.
Mit welcher Wahrscheinlichkeit bleibt mindestens ein Fach leer?
Aufgabe 23:
Im Folgenden handelt es sich um klassische Fragen im Staatsexamen. Es geht um ein sprachlich
ausgedrücktes Verständnis.
1
(a) Sei |A| = n. Denken Sie sich die n Elemente von A durchnummeriert und durch n
Plätze veranschaulicht. Begründen Sie unter Verwendung von |{0, 1}n | = 2n die Aussage
|P otA| = 2n .
(b) Erklären Sie, warum hieraus und aus der kombinatorischen Interpretation von nk sofort
n X
n
k
k=0
= 2n
folgt.
(c) Begründen Sie
n X
n
k
k=0
= 2n
mit Hilfe des binomischen Lehrsatzes.
Aufgabe 24:
Sei A := {1, 2, ..., n} und
Ω1 (n, k) := Ak = {(a1 , a2 , ..., ak ) : aj ∈ A, j = 1, 2, ..., k},
Ω2 (n, k) := {(a1 , a2 , ..., ak ) ∈ Ak : ai 6= aj , i, j = 1, 2, ..., k, i 6= j},
Ω3 (n, k) := {(a1 , ..., ak ) ∈ Ak : a1 < a2 < · · · < ak }.
(a) Geben Sie die Mengen Ωj (4, 2) durch Auflistung und ihre Anzahlen |Ωj (4, 2)|, j = 1, 2, 3
an.
(b) Sei
Ω13 (n, k) := {(1, a2 , ..., ak ) ∈ INk : 2 ≤ a2 < · · · < ak ≤ n}
und
Ω23 (n, k) := {(a1 , a2 , ..., ak ) ∈ INk : 2 ≤ a1 < a2 < · · · < ak ≤ n}
Zeigen Sie: Ω3 (n, k) ist die disjunkte Vereinigung von Ω13 (n, k) und Ω23 (n, k).
(c) Jetzt folgt
|Ω3 (n, k)| = |Ω13 (n, k)| + |Ω23 (n, k)|.
Was hat diese Aussage mit dem Pascalschen Dreieck zu tun?
2