Uebungsblatt 5

MAT 183: Stochastik für die Naturwissenschaften
FS 2008
Übungsblatt 5
Wahrscheinlichkeitstheorie
Abgabetermin: Mittwoch, 2. April 08, bzw. Freitag, 4. April 08, bei der Semesterassistentin
oder beim Semesterassistenten in der jeweiligen Übungsstunde.
Diskrete Zufallsgrössen
Aufgabe 49 (3 Punkte):
Zufallsgrössen werden oft durch einen umgangssprachlichen Satz beschrieben. Hier ein
paar Beispiele:
a) Die Zufallsgrösse X sei die Anzahl Oliven in einem Glas mit Abtropfgewicht 120 g.
b) Die Zufallsvariable Y sei die Fahrzeit eines Trams der Linie 9 vom Bellevue bis zum
Irchel.
c) Die Zufallsgrösse Z sei die Anzahl der pro volle Stunde ins Parkhaus Irchel einfahrenden
Autos.
Beschreiben Sie in den drei Fällen ein passendes Zufallsexperiment und geben Sie den
Ergebnisraum Ω sowie die Abbildungen X : Ω → R, Y : Ω → R und Z : Ω → R in
Worten an.
Aufgabe 50 (4 Punkte):
Die diskrete Verteilung einer Zufallsgrösse X ist durch die folgende Tabelle gegeben:
-2
-1
0
1
2
3
4
5
6
xi
pi 0.01 0.03 0.1 0.25 0.2 0.3 0.05 0.01 a
a) Wie gross ist a? b) Zeichnen Sie den zugehörigen
√Graphen derVerteilungsfunktion.
c) Berechnen Sie P[X ≤ 2]. d)
Berechnen
Sie
P
− 2 ≤ X ≤ π . e) Berechnen Sie die
Wahrscheinlichkeit P |X| ≥ 1 .
Aufgabe 51 ◦ :
Der gemischte Chor Sangesfreude“ besteht aus 20 Damen und 10 Herren. An der Fahnen”
weihe eines befreundeten Chores darf eine Viererdelegation teilnehmen. Die Präsidentin
bestimmt, dass sie (natürlich) mitgeht und dass die übrigen drei TeilnehmerInnen auszulosen seien. Die Zufallsgrösse X bezeichnet die Anzahl der Frauen in dieser Delegation.
Geben Sie die Verteilung von X a) tabellarisch, b) mit dem Graphen der Verteilungsfunktion an. c) Wie gross ist P[2 ≤ X ≤ 3]?
Aufgabe 52 (4 Punkte):
Wir würfeln mit zwei unverfälschten Würfeln. Die Zufallsgrösse Y sei die Summe der
beiden Augenzahlen. Geben Sie die Verteilung von Y an durch
a) eine Tabelle, b) das Stabdiagramm, c) den Graphen der Verteilungsfunktion.
Aufgabe 53 (4 Punkte):
In einer Vase sind 3 rote und 3 weisse Kugeln. Sie dürfen nacheinander 3 Kugeln ziehen.
1
Pro gezogene rote Kugel erhalten Sie Fr. 1.–, pro weisse Fr. 2.–. Dabei gilt aber die
Regel, dass eine rote Kugel vor dem nächsten Zug wieder in die Vase zurückgelegt wird,
während eine weisse auf dem Tisch liegen bleibt. Geben Sie die Verteilung der Zufallsgrösse
Gewinn“ in Form einer Tabelle an.
”
Die Binomialverteilung
Aufgabe 54 (2 Punkte):
Sei X binomialverteilt mit Parametern n und p. Berechnen Sie unter Verwendung einer
Tabelle zur Binomialverteilung die Wahrscheinlichkeit P[2 < X ≤ 6], wenn a) n = 6 und
p = 0.4, b) n = 8 und p = 0.75.
Aufgabe 55 (3 Punkte):
Die Wahrscheinlichkeit dafür, dass ein Mensch Blutgruppe 0+ hat, beträgt 36%. Mit
welcher Wahrscheinlichkeit haben von 8 zufällig ausgewählten Personen strickt weniger
als drei die Blutgruppe 0+?
Aufgabe 56 (3 Punkte):
Die Wahrscheinlichkeit einer Knabengeburt beträgt 51%. Sie untersuchen Familien mit 4
Kindern. In wievielen Prozent der Familien erwarten Sie 2 Mädchen und 2 Knaben?
Aufgabe 57 (3 Punkte):
Eine unverfälschte Münze wird 15-mal geworfen. Sie gewinnen, wenn 5- 6-, oder 7-mal
Kopf erscheint. Wie gross ist Ihre Gewinnwahrscheinlichkeit?
Aufgabe 58 ◦ :
Eine unverfälschte Münze wird zehnmal geworfen. Man spricht von einem Wechsel, wenn
das Bild eines Wurfs vom vorangehenden Wurf verschieden ist, d.h., wenn ein Paar KZ
oder ZK vorkommt. Beispielsweise hat die Folge
ZKKKZKZZKK
fünf Wechsel. Die Zufallsgrösse W bezeichnet die Anzahl der Wechsel. a) Geben Sie die
Verteilung von W an. b) Wie gross ist die Wahrscheinlichkeit für genau einen Wechsel?
c) Wie gross ist die Wahrscheinlichkeit für mindestens einen Wechsel?
Aufgabe 59 (4 Punkte):
Ein Grossverteiler verkauft Packungen zu 8 (angeblich) kernlosen Mandarinen. Die Erfahrung zeigt aber, dass 20% all dieser Mandarinen eben doch Kerne enthalten. Die Firma
garantiert jedoch, dass mindestens 6 der Mandarinen auch wirklich kernlos sind. Mit
welcher Wahrscheinlichkeit erfüllt eine solche Packung die Garantie?
Aufgabe 60 (5 Punkte):
Rote und weisse Kugeln werden zufällig in Schachteln mit je 5 Stück abgefüllt. Die Farbe
der einzelnen Kugeln wird mit einem Zufallsmechanismus bestimmt, der bewirkt, dass im
Schnitt 25% der Kugeln rot sind.
2
a) Mit welcher Wahrscheinlichkeit haben die Kugeln in einer Schachtel alle dieselbe Farbe?
b) Wie viele Schachteln muss man mindestens auswählen, damit unter diesen mit einer
Wahrscheinlichkeit > 95% mindestens eine Schachtel mit 4 oder 5 roten Kugeln ist?
Repetitionsaufgaben
Aufgabe 61 (4 Punkte):
In einem Käfig sind n weibliche und n männliche Meerschweinchen. Ihr Geschlecht ist aber
nicht ohne weiteres erkennbar. Sie wählen gleichzeitig und zufällig zwei Tiere aus. Mit pn
bezeichnen wir die Wahrscheinlichkeit dafür, dass die beiden verschiedenes Geschlecht
haben. a) Berechnen Sie pn . b) Bestimmen Sie den Grenzwert limn→∞ pn .
18. März 2008
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