8 1 ARITHMETIK, ALGEBRA Pascalsches Dreieck zur Berechnung

8
1 ARITHMETIK, ALGEBRA
Pascalsches Dreieck zur Berechnung der Binomialkoeffizienten n
k
0
1
2
3
4
5
6
ZeilenSumme
Binomialkoeffizienten n
k
n
Jede Zahl ist Summe der zwei
links und rechts über ihr
1
stehenden Zahlen.
1
z.B.: 6 + 4 = 10
1
1
↑
6
0
5
6
↑
6
1
1
3
4
1
3
6
10
15
↑
6
2
ց
+
10
20
↑
6
3
binomische Formel
21 = 2
22 = 4
1
2
1
20 = 1
1
1
ւ
4
1
5
15
↑
6
4
(a + b)n =
1
6
↑
6
5
1
↑
23
24
25
26
= 8
= 16
= 32
= 64
6 P
6
6
26 =
6
k
k=0
n X
n an−k bk , n ∈ IN
k
k=0
n an−1 b1 + n an−2 b2 + · · · + n an−k bk + · · · + n bn
n
(a + b)n = n
a
+
n
0
1
2
k
(a + b)2
=
(a + b)3
···
(a + b)6
=
2
2
2 2
a2 + 2ab + b2 = 2
0 a + 1 ab + 2 b
3
3 2
3 2
3 3
a3 + 3a2 b + 3ab2 + b3 = 3
0 a + 1 a b + 2 ab + 3 b
··· 6 a6 + 6a5 b1 + 6a4 b2 + 6a3 b3 + 6a2 b4 + 6a1 b5 + 6b6
0
1
2
3
4
5
6
1 a6 + 6 a5 b + 15 a4 b2 + 20 a3 b3 + 15 a2 b4 + 6 ab5 + 1 b6
=
=
Speziell:
(1 + x)n =
=
(1 + x)2
(1 + x)3
(1 + x)4
(1 + x)5
(1 + x)6
=
=
=
=
=
n + nx +
0
1
1 + nx +
n x2
2
k
n n−1 + nxn
+ ··· + n
n
k x + ··· + n − 1 x
n(n−1) 2
x +
2
···
+
nxn−1
+
xn
1 + 2x + x2
1 + 3x + 3x2 + x3
1 + 4x + 6x2 + 4x3 + x4
1 + 5x + 10x2 + 10x3 + 5x4 + x5
1 + 6x + 15x2 + 20x3 + 15x4 + 6x5 + x6
Ersetzt man x durch −x, so alternieren die Vorzeichen, z.B.:
(1 − x)6 = 1 − 6x + 15x2 − 20x3 + 15x4 − 6x5 + x6
(a + b + c)2 = a2 + b2 + c2 + 2ab + 2ac + 2bc
(a + b + c)3 = a3 + b3 + c3 + 3a2 b + 3ab2 + 3a2 c + 3ac2 + 3b2 c + 3bc2 + 6abc
1.1 Reelle Zahlen
9
r
k – zunächst nur für r ∈ IN erklärt – wird folgendermaßen für alle r ∈ IR definiert:
r
allgemeine Binomialkoeffizienten k
5
Für r ∈ IR und k = 1, 2, . . . ist
= 5·4·3
= 10
3!
3
1.4 = 1.4·0.4·(−0.6) = −0.056
r über k
3!
3
r(r−1)···(r−k+1)
r =
−2 = (−2)·(−3)·(−4) = −4
k
k!
3!
3
z.B.:
π·(π−1)
π
=
≈ 3.364
r
r
2!
2
0 =1
1 =r
1
1
1/2
1
2 ·(− 2 )
(−1)n+1 (2n)!
=
= −8
1/2
2
2!
=
2n
2
n
2 (n!) (2n−1)
−1/2 (− 1 )·(− 3 )
3
(−1)n (2n)!
2
2
−1/2 =
= 8
=
2
n
22n (n!)2
2!
allgemeine binomische Formel, binomische Reihe
∞ X
r xk = r + r x+ r x2 + r x3 +· · · ,
(1 + x)r =
für |x| < 1
0
1
2
3
k
k=0
= 1 + rx +
1
1+x
√
1+x
√1
1+x
=
=
=
−1 k
x
k
P∞ 1/2 k
k=0 k x
P∞
k=0
P∞
k=0
r(r−1) 2
x
1·2
+
r(r−1)(r−2) 3
x
1·2·3
+ ···
= 1 − x + x2 − x3 + x4 − x5 + − · · · für |x| < 1
2
3
= 1/2
+ 1/2
x + 1/2
x + 1/2
x + ···
0
1
2
3
1 3
5 4
x − 128
x + − ·für
· · |x| < 1
= 1 + 21 x − 81 x2 + 16
−1/2 k
x = −1/2
+ −1/2
x+ −1/2
x2 + −1/2
x3 +· · ·
k
0
1
2
3
= 1 − 12 x + 83 x2 −
5 3
x
16
+
35 4
x
128
− + ·für
· · |x| < 1
Siehe auch Potenzreihen, Seiten 79–83 und geometrische Reihe, Seite 80
Γ(x) =
Z
∞


−t x−1

dt

 0 e t
, x>0
-4 -3........ -2 -1
. ..
... ...
... ....
..
..
..
..
...
..
..
..
.
...
..
..
(Polstellen)
Γ(x+1) = x · Γ(x)
π
Γ(n) = (n − 1)!
, x ∈ IR
, n ∈ IN
Γ(x) · Γ(1 − x) = sin πx
1
3
2
1
.
..
..
...
... ......
........
x 6=

n! nx−1


lim x(x+1)(x+2)···(x+n−1) , 0,−1,−2, · · ·

n→∞
Eigenschaften:
y
... ...
.. ...
.. ..
... ..
......
Γ–Funktion Γ(x)
√
π
Γ(x) · Γ(x+ 2 ) = 22x−1 Γ(2x)
.....
.. ..
.. ...
1
..
6
..
...
..
..
..
... y = Γ(x) .....
...
...
.
.
.
...
....
.....
....................................
-1 1
-2
-3
-4
2
√
π
√
1
Γ(− 2 ) = −2 π
√
3
1
Γ( 2 ) = 2 π
Γ( 2 )
=
-
x
30
2 GEOMETRIE
Eine Parabel ist die Menge aller
festen Punkt (Brennpunkt F =
Parabel
6
.......
p
...........
...........
...........
2 ........•.......................
..... ..
...... ...
...... ...
...... ....
..... ......
p
.
.
.
.
.
..
....
....
...
....
2
..
....
.
.
.
.
.
.
.. ......
... •
.
..
...
...
....
....
....
.....
......
......
.....
.
x+
(Leitlinie L : x = − 2 ) gleichen Abstand (= x + 2 ) haben.
Bezeichnungen: S = (0, 0) Scheitelpunkt
p
F = ( 2 , 0) Brennpunkt

(x, y)
x+
p
x
Parabel

Ordinate im Brennpunkt
-
F
L
p
p
y
Punkte P = (x, y), die von einem
p
( 2 , 0)) und einer festen Geraden
p Halbparameter Entfernung
Brennpunkt zur Leitlinie
y 2 = 2px
ε = 1 numerische Exzentrizität

Darstellungen der Parabel (Scheitelpunkt im Ursprung, nach rechts geöffnet)
y
y
6
y
6
.......
..............
...........
.......•
.........
.......
.
.
.
.
.
.
...
.......
......
....
...
..
.
....
...
...
....
.....
......
......
..............
...........
........•
.............
....... .......
.
.
.
.
.
.
.
...
....... .......
......
...
....
...
...
....
.
..
.
.
.
.
....
....
•
...
...
....
.....
......
(x, y)
r I
ϕ
-
x
x
-
x
F
kartesische Darstellung
y 2 = 2px
Pol im Brennpunkt
p
r = 1−cos ϕ
y
6
....
.............
...........
................•....
.............
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
................
.......
......
..........
....
.........
...............
...................
......................
.................
..
Länge L
des Parabelbogens OP
-
x
Fläche
des Parabelabschnitts
4p
4
F = 3 xy = 3 2px3
p
T : yy0 = p(x + x0 )
N
y
Die Gerade y = mx + n
ist Tangente an die Parabel
⇐⇒ p = 2mn
2x
2x
(1 + p ) + ln
p
p
p
x(x + 2 ) + 2 arsinh
T
P = (x , y )
F
x
-
x
...
...
.
p
−2
x
F = ( , 0)
L
-
x
Leitlinieneigenschaft
p
Leitlinie L : x = − 2
Abstand P zu L = Abstand P zu F
2x
+
qp
2x
p
q
2x
1+ p
6
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
..
...
..
.
.
...
.
s
...
....
...
....
.
...
2 .......
1
....
...
....
.
.
.
.....
.....
......
...................................
•
x
P = (x, y)
p
q
c ........
y
L
x
Tangente T und Normale N im
Parabelpunkt P = (x0 , y0 ) sind
Winkelhalbierende der Winkel
zwischen dem Brennpunktradiusvektor und der Geraden y = y0 .
y
..
6
..........
...........
...........
...........
...........
.
.
.
.
.
.
.
.
.
..........•
...... ...
...... ...
...... ....
...... ......
.
.
.
.
.
....
....
....
....
....
...
...
....
.... ......
.... •
...
...
p
...
...
....
2
....
.....
......
......
......
...
-
x
....
q
...
...
...
.... ..
...................
...
....................
...
....................
... .......................
.
.
.
.....
0
.......•
............. ..
0 0
.......... ... .....
.............. ....
...
.................... ......
.
.
.
.
.
...
.
.
.
..... ......
..
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
...
.
...... ......
....
.
....
...
....
..
.. ......
... •
.
.. .
...
...
0
....
....
.....
.....
.......
......
......
.
y
6
Tangente T , Normale N
..
O .........
L= 2
q
=
y
...
...........
...........
P.....................................
....•
.............
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
(x, y)
............
...........
.........
............
.......... L
......
.
.
....
...
.....
(x, y)
F
y
6
x
ys
S
Parabel
y = ax2 + bx + c,
x
-
x
a 6= 0
−b 4ac−b2
)
4a
1
x1 +x2
p = 2|a| und xs =
√ 2
−b± b2 −4ac
Nullstellen x1,2 =
2a
Scheitel S = (xs , ys ) = ( 2a ,
2.4
2.4
Die 5 regulären Polyeder (Platonische Körper)
31
Die 5 regulären Polyeder (Platonische Körper)
Platonische Körper werden durch kongruente regelmäßige Vielecke begrenzt so, daß
in jedem Eckpunkt dieselbe Kantenzahl auftritt. Es gibt nur 5 Platonische Körper:
.....
....... .....
.... . .......
....
.... ....
.
.
.
.....
... ..
....
...
....
..
...
....
...
...
.
....
.
.
....
..
.
.
.
.
...
...
...
....
...
..
.
..
..
...
Tetraeder
Würfel
..
.........
........ ..
..... .. .....
..... ....
...
.
.
.
.
.
..
...
......
...
...
..
.....
...
..
......
.
...
.
.
.
.
.
...
........
..
.
...
...
..
.
...
...
.
.
...
.
...
.
...
.
.
... .
.....
...
......
.
.
.
...
.
.
....
.
.
...
.
.
.
..
...
.......
...
......
... ............
........
.......
............... ..........................
............
... ...
.......
.. ............................................ ....
.
...
...
...
...
...
..
....
..
....
...
..
..
...
..
..
..
...
.
...
.
..
...
....
....... ....
.
.
.........................
.
.
... ............
.
.....
.
....
.
.
.....
..
...
.
....
.
.
.
.
.
.
.
.
..... .....
.
....
.......
....
....
....
..........
..
........... ... .....................
................
...
..............
...... .... ..........
.
.....
...................................................................................
.
.
.
.
.
..........
.
..........
... .....
......
..
...
...
......
......
.
...
.. ..
... ....
...
.. ....
...
.
.
... ... ....
... .. ..
... ... ...
... .. ...
...... ..
.... ......
.... ..
. ........
.... .........
.
............. ......
.
.. .........
...... ....
.
.
.
. ...
...... ...
.......... ..................
....... .........
.......
Oktaeder
Dodekaeder
Ikosaeder
Elemente der 5 regulären Polyeder (a = Kantenlänge )
Tetraeder
Anzahl/Form
Seitenflächen
Ecken e
Anzahl Kanten k
Flächen f
Volumen V
Radius
einbe–
schriebene
Kugel ri
Oktaeder
4 Dreiecke 6 Quadrate 8 Dreiecke
√
Oberfläche F
Würfel
4
6
4
8
12
6
3 a2
6a2
√
2 3
a
12
√
6
a
12
umbe–
schriebene
Kugel ru
√
6
a
4
a3
1
a
2
√
3
a
2
6
12
8
√ 2
2 3a
√
2 3
a
3
√
6
a
6
√
2
a
2
Dodekaeder
Ikosaeder
12 Fünfecke
20 Dreiecke
20
30
12
p
√
3 5(5+2 5 ) a2
12
30
20
√ 2
5 3a
√
15+7 5 3
a
4
√
√
10+22 0.2
a
4
√
√
3 (1+ 5 )
a
4
√
5(3+ 5 ) 3
a
12
√
√
3 (5+ 5 )
a
12
√
√
2(5+ 5 )
a
4
Eulerscher Polyedersatz
Ist e die Anzahl der Ecken, k die Anzahl der Kanten und f die Anzahl der Flächen
eines konvexen Polyeders (oder eines Polyeders, das sich durch stetige Deformation in ein
konvexes Polyeder überführen läßt), so ist
e−k+f = 2
Würfels
Oktaeder
Verbindet man die Flächenmittelpunkte eines Dodekaeders , so erhält man ein Ikosaeder
Tetraeders
Tetraeder
Flächen).
und umgekehrt (vgl. oben: Ecken
Würfel und Oktaeder sind dual, ebenso Dodekaeder und Ikosaeder.
Tetraeder sind selbstdual.
Faltpläne
...
......
...
... .....
...
...
...
...
...
... ....
...
... ...
..
....
.....
.
..
.
.. ....
... ...
.
...
.. .....
.. ....
..
.
.
... ...
... ....
..
.
... ..
... ..
...
......
......
..
...
..
...
.. ...
...
.. .....
.
.
...
.
...
... ....
...
... ..
...
.....
..
..
... ....
... .....
..
...
.
...
...
...
...
...
...
.
.
.....
.
.....
.. ...
.
... ...
.. ....
.. ....
.
.
...
...
..
..
.
.
...
...
.
...
...
... ...
...
... ...
...
.
...
...
Tetraeder
Würfel
Oktaeder
......
......
...
... ...
... ....
...
... ..... ..... .... ....
..
......
.....
..................... .....................
.
.
..
.. ..
..
...
......
......
... ..
...
... ..... .... ..... ....
...
.....
.
......
... ...
... ..
...
..... ........ ......... .........
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
......................
.
....
.
.
...
.......
......................
...
.......
..
..........
..
..
..
... ........ ........
...
... ..
... ..
..
..
...
.
.. ..
.. ..... ... ..... ...
.....
..
.. ...........
.
......
...
.
..... ................................... ....................
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.....
.
.
.......... ..
.
.....
... ...........
......
..
.
...
.......
.......
......................
... ...
...
..
.......
... .... .... ..... ....
..
..
..... ......... ....
..
... ..
..
... ...
..
.......
..
.......................
.....
.........................
....
.
.
.
.
.
.
.
..... .................. .........
...
.....
.....
.
......
..
.. ...
.. ...
..
..
......
... ..... .... ..... ....
..
...
.. .
.....
.....
...
..
....................... ....
.
.
.
.
.
.
.................
Dodekaeder
Ikosaeder
52
4
~a × ~b
Vektorprodukt
~a × ~b =
a1
a2
a3
!
b1
b2
b3
×
!
=
a 2 b3 − a 3 b2
a 3 b1 − a 1 b3
a 1 b2 − a 2 b1
VEKTORRECHNUNG
6
!
~b
........
...... ....
ϕ
F
|~a × ~b| = |~a| · |~b| · sin <
)(~a, ~b)
~a
Eigenschaften des Vektorproduktes:
(1) ~a × ~b steht senkrecht auf ~a und ~b.
Flächeninhalt F des von ~a und ~b
aufgespannten Parallelogramms.
Reihenfolge
ein Rechtssystem.
~a~a ~a~b
~a~a ~a~b = det
~a~b ~b~b
~a~b ~b~b (2)
|~a × ~b| = |~a| · |~b| · sin <
)(~a, ~b) =
(3)
~a, ~b, ~a × ~b
(4)
|~a × ~b|2
Rechenregeln
bilden in dieser
= (~a × ~b)2 = (4)
~a × ~b = −(~b × ~a)
(6)
~a × (~b + ~c) = ~a × ~b + ~a × ~c
(7)
~a × ~b = ~0
⇐⇒
(5)
~a, ~b
sind linear abhängig.
mehrfache Produkte
(8) ~a · (~b × ~c) = (~a × ~b) · ~c = h~a, ~b, ~c i
(9)
(10)
(λ~a) × ~b = ~a × (λ~b) = λ(~a × ~b)
~a × (~b × ~c) = (~a · ~c) ~b − (~a · ~b) ~c
(~a × ~b) × ~c = (~a · ~c) ~b − (~b · ~c) ~a
Spatprodukt (Determinante)
~a × (~b × ~c) + ~b × (~c × ~a) + ~c × (~a × ~b) = ~0
Skalarprodukt aus 2 Vektorprodukten
~ = (~a · ~c)(~b · d)
~ − (~a · d)(
~ ~b · ~c)
(11) (~a × ~b) · (~c × d)
speziell: (~a × ~b)2 = ~a2~b2 − (~a · ~b)2
Entwicklungssatz
Jacobi–Identität
Lagrange–Identität
Vektorprodukt aus 2 Vektorprodukten
~ = h~a, ~c, d~ i~b − h~b, ~c, d~ i~a = h~a, ~b, d~ i~c − h~a, ~b, ~c id~
(12) (~a × ~b) × (~c × d)
speziell: (~a × ~b) × (~b × ~c) = h~a, ~b, ~c i~b
Beispiel
~b
Man berechne Fläche F und Winkel ϕ des von ~a = (2, −1, 1)
F
und ~b = (−1, 3, 2) aufgespannten Parallelogramms.
ϕ
√
!
!
!
F = |~a × ~b| = 5 3
−5
−1
2
~a
√
3 = −5
~a × ~b = −1 ×
~b|
|~
a
×
3
5
ϕ =<
)(~a, ~b) = arcsin
= arcsin √ √
≈ 70.90
5
2
1
6 14
|~a|·|~b|
4.1
Skalarprodukt, Vektorprodukt, Spatprodukt
53
Spatprodukt
h~a, ~b, ~c i
a1
= a2
a
3
b1
b2
b3
c1
c2
c3
~c = det(~a, ~b, ~c)
~b
=
~a · (~b × ~c) = ~c · (~a × ~b) = ~b · (~c × ~a)
=
~a
h~a, ~b, ~c i = h~c, ~a, ~b i = h~b, ~c, ~a i
zyklische Vertauschungen ändern das Spatprodukt nicht!
=
a1 b2 c3 + a2 b3 c1 + a3 b1 c2 − a3 b2 c1 − a2 b1 c3 − a1 b3 c2
Regel von Sarrus (siehe Seite 55)
-
Eigenschaften des Spatproduktes:
(
> 0 ⇐⇒ ~a, ~b, ~c bilden ein Rechtssystem.
= 0 ⇐⇒ ~a, ~b, ~c sind lin. abhängig (liegen in einer Ebene).
(1) h~a, ~b, ~c i
< 0 ⇐⇒ ~a, ~b, ~c bilden ein Linkssystem.
(2)
h~a, ~b, ~c i
=
(3)
h~a, ~b, ~c i
=
(4)
|h~a, ~b, ~c i |
=
(5)
(6)
1
|h~a, ~b, ~c i | =
6
h~a, ~b, ~c i2
=
−h~b, ~a, ~c i = −h~a, ~c, ~b i = −h~c, ~b, ~a i
orientiertes Volumen (= Volumen mit Vorzeichen)
des von den drei Vektoren ~a, ~b, ~c aufgespannten Spats.
Volumen des von ~a, ~b, ~c aufgespannten Spats.
Volumen des von ~a, ~b, ~c aufgespannten Tetraeders.
~a ~a
~a ~b
~a ~c
~a ~a ~a ~b ~a ~c
~a ~b ~a ~c ~b ~b ~b ~c = det  ~a ~b ~b ~b ~b ~c 
~b ~c ~c ~c ~a ~c ~b ~c ~c ~c


~a, ~b, ~c linear abhängig ⇐⇒ h~
a , ~b, ~
c i = 0 ⇐⇒ ~a, ~b, ~c liegen in einer Ebene.
Die Geraden ~
x = ~a1 + t~b1 und ~
x = ~a2 + t~b2 sind windschief ⇐⇒ h~a1 − ~a2 , ~b1 , ~b2 i =
6 0.
Beispiel
1
2
1
0 , ~c = 1 .
2 , ~b =
Es seien ~a =
2
−2
−1
Man berechne das Volumen VS des von ~a, ~b, ~c aufgespannten Spats,
sowie das Volumen VT des von ~a, ~b, ~c aufgespannten Tetraeders.
1
2
0
h~a, ~b, ~ci = det(~a, ~b, ~c) = 2
−1 −2
!
!
!
1 1 2 = 1 · 0 · 2 + 2 · (−2) · 1 + (−1) · 2 · 1 − 1 · 0 · (−1) − 1 · (−2) · 1 − 2 · 2 · 2 = −12
Die Determinante ist negativ, die Vektoren ~a, ~b, ~c bilden also ein Linkssystem!
1
Für die Volumina erhält man (Tetraedervolumen = 6 Spatvolumen):
1
Vol. des Spats: VS = |h~a, ~b, ~ci| = | det(~a, ~b, ~c)| = 12, Vol. des Tetraeders: VT = 6 VS = 2.
154
12 VEKTORANALYSIS UND INTEGRALSÄTZE
Gradient eines Skalarfeldes, Richtungsableitung
Ist f : IR3 → IR ein Skalarfeld, so ist grad f : IR3 → IR3 ist ein Vektorfeld.
grad f =
∂f ∂f ∂f ∂x , ∂y , ∂z = ∇f
Gradient von f
Darstellung des Gradienten in
∂f
∂f
∂f
∂f
1
∂f
1 ∂f
kartesischen Koordinaten:
grad f = ∂x e~x + ∂y e~y + ∂z e~z
Zylinderkoordinaten:
grad f = ∂r e~r + r
∂ϕ e~ϕ + ∂z e~z
Kugelkoordinaten:
grad f = ∂ρ e~ρ + ρ
∂θ e~θ + ρ sin θ ∂ϕ e~ϕ
(~
x) = lim
f (~x+h |~~aa| )−f (~x)
h
h→0
∂f
∂f
1
∂f
Richtungsableitung von f an der Stelle ~
x
in Richtung des Vektors ~a 6= ~o.
Ist f in ~
x differenzierbar, gilt für die Richtungsableitung
(~
x) ==⇒ a ·
~a
|~a| = | =⇒ a| · cos ϕ mit
ϕ =<
) =⇒ a, ~a .
Richtungsableitung = Gradient mal Einheitsvektor
Geometrische Eigenschaften von Gradient und Richtungsableitung:
Ist ϕ =<
) =⇒ a, ~a der Winkel zwischen grad f (~
x) und ~a, so gilt:
• Die Richtungsableitung ist maximal für ϕ = 00 :
Der Gradient zeigt in Richtung maximalen Anstiegs!
• Die Richtungsableitung ist 0 für ϕ = 900 :
Der Gradient steht senkrecht auf der zu ~
x gehörenden Niveaulinie/Niveaufläche.
Jacobi–Matrix eines Vektorfeldes, Vektorgradient
Ist ~v : IR3 → IR3 mit ~v (~
x) = vx (~
x) , vy (~
x) , vz (~
x) ein Vektorfeld, so heißt


J~v = 

∂vx
∂x
∂vy
∂x
∂vz
∂x
(~a grad) ~v = lim
h→0
∂vx
∂y
∂vy
∂y
∂vz
∂y
∂vx
∂z
∂vy
∂z
∂vz
∂z
~v(~
x+h~a)−~
v (~
x)
h




Jacobi–Matrix von ~v
Vektorgradient von ~v an der Stelle ~
x
nach dem Vektor ~a
Ist ~v in ~
x differenzierbar, d.h. sind vx , vy , vz in ~
x differenzierbar, so gilt:
x) · ~a = grad vx (~
x) · ~a , grad vy (~
x) · ~a , grad vz (~
x) · ~a
(~a grad) ~v (~
x) = J~v (~
Vektorgradient = Jacobi–Matrix mal Vektor
1
(~a grad) ~v = 2 rot(~v ×~a) + grad(~v ·~a) + ~a div ~v − ~v div ~a − ~a ×rot ~v − ~v ×rot ~a
12.1 Vektoranalysis
155
Divergenz eines Vektorfeldes
Ist ~v : IR3 → IR3 mit ~v = vx (~
x) , vy (~
x) , vz (~
x) ein Vektorfeld, so
ist : IR3 → IR ein Skalarfeld.
∂vx ∂vy ∂vz
∂x + ∂y + ∂z = ∇ · ~v
=
Eine Stelle ~
x heißt
Divergenz von ~v
(~
x) > 0
Quelle
ist.
, falls
(~
x) < 0
Senke
~v heißt in G quellenfrei, wenn (~
x) = 0 ist für alle ~
x ∈ G.
Darstellung der Divergenz in
∂v
∂vy
∂v
Zylinderkoordinaten:
div ~v = ∂xx + ∂y + ∂zz
1 ∂vϕ
∂v
1 ∂(rvr )
div ~v = r ∂r + r ∂ϕ + ∂zz
Kugelkoordinaten:
div ~v = ρ2
kartesischen Koordinaten:
1 ∂(ρ2 vρ )
1 ∂(sin θ vθ )
1 ∂vϕ
+ ρ sin θ
+ ρ sin θ ∂ϕ
∂ρ
∂θ
Rotation eines Vektorfeldes
Ist ~v : IR3 → IR3 mit ~v = vx (~
x) , vy (~
x) , vz (~
x) ein Vektorfeld, so
ist rot ~v : IR3 → IR3 ein Vektorfeld.
rot ~v =
∂vz ∂vy ∂vx ∂vz ∂vy ∂vx
−
,
−
,
−
= ∇ × ~v
∂y
∂z
∂z
∂x
∂x
∂y
Rotation von ~v
Entsprechend zum Kreuzprodukt von Vektoren merkt man sich rot ~v als:
e~x e~y e~z ∂
∂vy
∂vy
∂v
∂v
∂v
∂v
∂
∂ rot ~v = ∂x ∂y ∂z = ∂yz − ∂z , ∂zx − ∂xz , ∂x − ∂yx .
vx vy vz ~v heißt wirbelfrei in G, wenn rot ~v = ~0 ist für alle ~
x ∈ G.
rot ~v = ~0 ist die vektorielle Schreibweise der Integrabilitätsbedingung (Seite 158).
Ein in einem einfach zusammenhängenden Gebiet G wirbelfreies Feld ist dort notwendigerweise konservativ!
Darstellung der Rotation in
∂vy ∂v ∂v
∂v ∂vz ∂vy − ∂z e~x + ∂zx − ∂xz e~y + ∂x − ∂yx e~z
∂y
∂v
∂v 1 ∂(rvϕ ) 1 ∂v 1 ∂vz ∂vϕ − ∂z e~r + ∂zr − ∂rz e~ϕ + r ∂r − r ∂ϕr e~z
r ∂ϕ
kartesischen Koordinaten: rot ~v =
Zylinderkoordinaten: rot ~v =
Kugelkoordinaten:
1
rot ~v = ρ sin θ
∂(vϕ sin θ) ∂vθ 1 ∂vρ 1 ∂(ρ·vϕ ) 1 ∂(ρv ) 1 ∂vρ − ∂ϕ e~ρ + ρ sin θ ∂ϕ − ρ ∂ρ
e~θ + ρ ∂ρθ − ρ ∂θ e~ϕ
∂θ
160
12 VEKTORANALYSIS UND INTEGRALSÄTZE
Oberflächenintegrale
Z
Das Oberflächenintegral
f dF
F
Ist f : IR3 → IR Skalarfeld und F = {~
x(u, v) | (u, v) ∈ B} Fläche im IR3 , so ist
Z
~
xu =
xu
yu
zu
!
f dF =
F

 ∂x
B
 ∂u 
=  ∂y  ,
∂u
∂z
∂u
dF = |~
xu × ~
xv | d(u, v)
Z
f ~
x(u, v) |~
xu (u, v) × ~
xv (u, v)| d(u, v).
xv
yv
zv
~
xv =
!
 ∂x 
 ∂v 
sind Tangentenvektoren an
die Koordinatenlinien auf F .
=  ∂y 
∂v
∂z
∂v
~n = ~
xu × ~
xv
ist Normalenvektor an F .
heißt skalares Flächenelement.
Für f ≡ 1 ergibt sich der Flächeninhalt:
A=
Z
B
Z
Das Oberflächenintegral
|~
xu (u, v) × ~
xv (u, v)| d(u, v).
~
~
v dF
(Flußintegral)
F
Ist ~v : IR3 → IR3 Vektorfeld und F = {~
x(u, v) | (u, v) ∈ B} Fläche im IR3 , so ist
Z
~ =
~v dF
F
~ = ~
dF
xu × ~
xv d(u, v)
Z
B
~v ~x(u, v) · ~
xu (u, v) × ~
xv (u, v) d(u, v).
heißt vektorielles Flächenelement.
Das Vorzeichen ist ggf. der vorgegebenen Normalenrichtung anzupassen!
Bezeichnet ~n das Feld der äußeren Normaleneinheitsvektoren von F , so besteht zwischen
den Integraltypen folgender Zusammenhang :
Z
~ =
~v dF
F
Beispiel
Z
F
(~v · ~
n) dF .
−x
−2x
0
1
=⇒ ~
xx × ~
xy = 0 × 1 = −2y .
~
x=
1
2y
2x
!
!
−2x
−x/2
~ = y 2 d(x, y).
−y
· −2y = y 2 =⇒ ~v · dF
~v (~
x) · (~
xx × ~
xy ) =
1
−x2 −y 2
Z
Z
Z 2π Z 1
1
2
~
r 2 · sin2 ϕ · r dr dϕ = 4 π.
~v dF =
y d(x, y) =
2
2
0
F
0
x +y ≤ 1
x
y
x2 + y 2
Man berechne den Fluß des Feldes ~v (x, y, z) = 2 , −y, −z
durch die Paraboloidkappe F = {(x, y, z) | z = x2 + y 2 , x2 + y 2 ≤ 1}.
!
!
!
!
12.2 Wichtige Felder
12.2
161
Wichtige Felder
Kugelsymmetrische
Felder
p
ρ=
Coulombfeld
Gravitationsfeld
x2 + y 2 + z 2
~v (x, y, z)
√ (x,y,z)
2
2
(x, y, z)
~v (~
x)
x +y
~x
||~x||
~
x
Kugelkoord.
~v (ρ, θ, ϕ)
+z 2
(ρ, 0, 0)
(1, 0, 0)
Def.bereich
einf. zushg.
IR3
ja
IR3 \ {~o}
ja
Potential
Φ(x, y, z)
1 2
(x +y 2 +z 2 )
2
1
Kurvenintegral
wegunabhängig
ja
div ~v
3
rot ~v
~o
~x
1
||~x||2 · ||~x||
1
( 2 , 0, 0)
ρ
IR3 \ {~o}
ja
IR3 \ {~o}
ja
(Newton–Potential)
= ln ||~
x|| = ln ρ
ja
ja
ja
p
x2 +y 2 +z 2
√
2
1
2
2
2
x2 +y 2 +z 2 x +y +z
2
1
2
1
=
=
||~x|| = ρ
||~x||2 = ρ2
√
~o
Achsialsymmetrische
Felder
p
r=
~x
1
||~x|| · ||~x||
1
( , 0, 0)
ρ
= ||~
x|| = ρ
x2 +y 2 +z 2 ln
1
(x,y,z)
(x2 +y 2 +z 2 )3/2
−1
x2 +y 2 +z 2
−1 −1
=
||~x|| = ρ
p
= 2 ||~
x||2 = 2 ρ2
(x,y,z)
x2 +y 2 +z 2
x2 + y 2
0
~o
~o
elektr. Feld
Magnetfeld
geladener Draht stromdurchfl. Leiter
~v (x, y, z)
(x, y, 0)
√(x,y,0)
2
2
x +y
(x,y,0)
x2 +y 2
Zylinderkoord.
~v (r, ϕ, z)
(r, 0, 0)
(1, 0, 0)
( , 0, 0)
(0, r , 0)
Def.bereich
einf. zushg.
IR3
ja
IR3 \ {(0, 0, z)}
nein
Potential
Φ(x, y, z)
IR3 \ {(0, 0, z)}
nein
log. Potential
IR3 \ {(0, 0, z)}
nein
lokal:
1 2
(x + y 2 )
2
1
= 2 r2
p
x2 + y 2
=r
1
r
ln
p
x2 + y 2
(−y,x,0)
x2 +y 2
1
y
arctan x , x 6= 0
x
= ln r
− arctan y , y 6= 0
Kurvenintegral
wegunabhängig
ja
ja
ja
nein
div ~v
2
1
r
0
0
rot ~v
~o
~o
~o
~o
13.6 Lineare DGL mit konstanten Koeffizienten
13.6
171
Lineare DGL mit konstanten Koeffizienten
Homogene lineare DGL n–ter Ordnung mit konstanten Koeffizienten
y (n) + an−1 y (n−1) + · · · + a1 y ′ + a0 y = 0, ak ∈ IR
H
Gesamtlösung:
yH = c1 y1 + · · · + cn yn , ck ∈ IR
Dabei sind y1 , . . . , yn n linear unabhängige Funktionen,
man nennt sie ein Fundamentalsystem oder Basislösungen.
Der Ansatz y = eλx führt auf die charakteristische Gleichung
λn + an−1 λn−1 + . . . + a1 λ + a0 = 0.
Jede k–fache Lösung der char. Gleich. liefert k lin. unabh. Lösungen der DGL:
Lösungen der char. Gleich.
λ
λ
Basislösungen der DGL
λx
1–fach reell
k–fach reell
e
eλx , x eλx , . . . , xk−1 eλx ,
λ = a ± bi
1–fach kompl.
eax cos bx
eax sin bx
λ = a ± bi
k–fach kompl.
eax cos bx,
eax sin bx,
x eax cos bx, . . .
x eax sin bx, . . .
xk−1 eax cos bx
xk−1 eax sin bx
Beispiele Lösungen der charakteristischen Gleichung und Basislösungen:
Lösungen der
char. Gleichung
Basislösungen der homogenen DGL
1, −2, 3
√
√
0, 3 , 1 + 2
0, 0, 2, 2, 2,
ex , √e−2x , e3x√
1, e 3 x , e(1+ 2 )x
1, x, e2x , x e2x , x2 e2x
1, 2 ± 3i
1 ± 2i, 1 ± 2i
0, 0, 0, ±i, ±i, ±i
ex , e2x cos 3x, e2x sin 3x
ex cos 2x, ex sin 2x, x ex cos 2x, x ex sin 2x
1, x, x2 , cos x, sin x, x cos x, x sin x, x2 cos x, x2 sin x
Homogene Eulersche DGL
n
x y
(n)
+ an−1 x
n−1
y
(n−1)
+ . . . + a1 xy ′ + a0 y = 0 mit x > 0, ak ∈ IR
Die Subst.: x = et , u(t) = y( et ) führt die DGL in eine homogene lineare DGL mit
konstanten Koeffizienten über. Mit der Kettenregel berechnet man z.B.
x · y ′ = u̇
x3 · y ′′′ = ü˙ − 3ü + 2u̇
2
′′
¨ − 6ü˙ + 11ü − 6u̇
x · y = ü − u̇
x4 · y ′′′′ = ü
Ein weiterer Lösungsweg wird im REP Seite 457 beschrieben.
13.6 Lineare DGL mit konstanten Koeffizienten
Schwingungs – DGL
(lin. DGL 2. Ord. mit konst. Koeffizienten)
y + 2ky + ω02 y = r(x)
′′
′
Die Gesamtlösung ist
173
y = yS + yH .
mit
k ≥ 0, ω0 > 0
Dabei ist
y ′′ + 2ky ′ + ω02 y = 0
yH
die Gesamtlösung der homogenen DGL
yS
eine (spezielle) Lösung der inhomogenen DGL y ′′ + 2ky ′ + ω02 y = r(x)
Charakterist. Gleichung: λ2 + 2kλ + ω02 = 0 =⇒ Lösungen λ1,2 = −k ±
H
Gesamtlösung yH der homogenen DGL y ′′ + 2ky ′ + ω02 y = 0
k > ω0
p
k2 −ω02
Starke Dämpfung (Kriechfall) λ1,2 reell, verschieden.
yH = c1 eλ1 x + c2 eλ2 x mit c1,2 ∈ IR
k = ω0
Aperiodischer Grenzfall, λ1 = λ2 = −k.
yH = (c1 + c2 x) e−kx mit c1,2 ∈ IR
k < ω0
Schwache Dämpfung,
λ1,2 konjugiert komplexe
Lösungen:
p
p
λ1,2 = −k ± i ω02 − k2 . Abkürzung ω1 := ω02 − k2
yH = (c1 cos ω1 x + c2 sin ω1 x) e−kx mit
p c1,2 ∈ IR
c
−kx
= Ae
sin(ω1 x + ϕ) mit A = c21 + c22 , tan ϕ = c1
2
I
Eine spezielle Lösung yS der inhomogenen DGL y ′′ + 2ky ′ + ω02 y = r(x)
k > ω0
Starke Dämpfung (Kriechfall), Abkürzung a :=
Z
1 x −k(x−t)
yS =
sinh a(x − t)r(t) dt
a x e
p
k2 − ω02
0
k = ω0
Aperiodischer Grenzfall.
Z x
(x − t) e−k(x−t) r(t) dt
yS =
x0
k < ω0
Schwache Dämpfung, Abkürzung ω1 :=
Z x
1
yS =
e−k(x−t) sinh ω1 (x − t)r(t) dt
ω1 x
0
p
ω02 − k2
Kosinuserregte Schwingung y ′′ + 2ky ′ + ω02 y = F cos ωx, F ∈ IR
k=0
ungedämpfter harmonischer Oszillator
F
ω 6= ω0 keine Resonanz y = c1 cos ω0 x + c2 sin ω0 x + ω2 −ω2 cos ωx
0
ω = ω0
k>0
Resonanzfall
F
y = c1 cos ω0 x + c2 sin ω0 x + 2ω x sin ω0 x
0
gedämpfter harmonischer Oszillator
y = e−kt (c1 cos ω1 x + c2 sin ω1 x) +
√
F
sin(ωx + ϕ)
(ω02 −ω 2 )2 +4k 2 ω 2
225
17
Finanzmathematik
p
Zinssatz p% jährlich, Zinsfaktor q = 1 + 100
1. Einmalige Zahlung: Anfangskapital K
Kapital nach n Jahren:
Kn = K · q n
K = Kn · q −n
Barwert einer in n Jahren fälligen Zahlung:
Anzahl der Jahre:
n
=
70
ln(Kn /K)
ln q
Faustformel: Eine Verdoppelung tritt nach etwa p Jahren ein.
2. Periodische Zahlungsraten R (Zinsgutschrift am Jahresende)
Zahlungsperiode:
Monat (k = 12), Vierteljahr (k = 4),
Halbjahr (k = 2),
Jahr (k = 1)
p
k+1
p
k−1
Zahlung von R am Anfang der Zahlungsperiode:
K1 = R(k + 100 · 2 )
Zahlung von R am Ende der Zahlungsperiode:
K1 = R(k + 100 · 2 )
Kapital nach n Jahren:
Kn = K1 q−1
q n −1
Im Fall k = 1 (jährliche Zahlung) heißt R die Annuität und es gilt
q n −1
q n −1
Kn = R q−1 q (vorschüssige Zahlung),
Kn = R q−1 (nachschüssige Zahlung).
3. Startkapital S und periodische Entnahme oder Einlage R
q n −1
= S · q n ± K1 q−1
Kapital nach n Jahren, K1 wie in 2.:
Kn
Ein Schuldbetrag S ist abgetragen bzw.
ein Startkapital S ist verbraucht, falls
S · q n = K1 q−1
die benötigte Anzahl an Jahren ist
n
q n −1
=
ln K1 −ln(K1 −S(q−1))
ln q
Beispiel: Durch welche monatliche Sparrate R (Zahlung am Monatsanfang)
kann eine Schuld von 20 000 C bei p% = 6% in 5 Jahren abgetragen werden ?
Lösung:
6
13
20 000 · 1, 065 = R(12 + 100 · 2 ) ·
1,065 −1
0,06
=⇒ R = 383, 21 C .
4. Barwert B einer Ratenzahlung (Rente)
Erfolgt die Zahlung jeweils am Ende der Zahlungsperiode, gilt (vgl. mit 2.):
p
k−1
K1 = R(k + 100 · 2 )
q n −1
Kn = K1 · q−1
q n −1
= K1 q−1 · q −n
K1
Der Barwert B einer ewigen Rente (n → ∞) ist B = q−1
.
Der Barwert ist B
Beispiel: Welches Kapital B sichert eine ewige monatliche Rente von 1 000 C
bei einem Zinssatz von p% = 5% jährlich?
Lösung:
K
5
11
1
B = q−1
= 1 000 (12 + 100 · 2 )/0, 05 =⇒ B = 245 500 C .