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Mathe und Physik eLK
(Documentation Project)
www.muphel.de.vu
Kristina Gebhardt, Andreas Bauer und Christoph Scholz∗
Projektstart: 19.09.2003
6. September 2005
∗ mit
freundlicher Unterstützung durch den M LK 1 So und Maximilian Klein bei
MiLK’s kleinem Bruder
Inhaltsverzeichnis
1 Vorwort
2 Analysis I — Differentialrechnung
2.1 Ganzrationale Funktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.1.1 Die Summenregel und die Faktorregel . . . . . . . . . . .
2.1.2 Kurvendiskussion am Beispiel f (x) = x3 + 6x2 − 4x − 9
2.1.3 Symmetrie ganzrationaler Funktionen . . . . . . . . . . .
2.2 Gebrochen-rationale Funktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2.1 Herleitung der Quotientenregel . . . . . . . . . . . . . .
2.2.2 Anwendung der Quotientenregel . . . . . . . . . . . . .
2.2.3 Arten von Definitionslücken . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2.4 Asymptoten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2.5 Symmetrie gebrochen-rationaler Funktionen . . . . . . .
2.2.6 Beispielaufgaben für eine Kurvendiskussion . . . . . . .
2.2.7 Anwendungsaufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2.8 Kettenregel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2.9 Klausur Nr. 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.3 Lösungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.4 Numerische Verfahren zur Nullstellenbestimmung . . . . . . .
2.4.1 Intervallhalbierung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.4.2 Sekantenverfahren - Regula Falsi . . . . . . . . . . . . . .
2.4.3 Von der Sekante zur Tangente — Das Newton–Verfahren
2.4.4 Verallgemeinerung: Fixpunktverfahren . . . . . . . . . .
2.5 Kurvenscharen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.5.1 Was ist eine Kurvenschar? . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.5.2 Aufgaben zu ganzrationalen Kurvenscharen . . . . . . .
2.5.3 Klausur Nr. 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.5.4 Aufgaben zu gebrochenrationalen Kurvenscharen . . . .
2.5.5 Ableitungsregeln . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.6 Trigonometrische Funktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.6.1 Vorkenntnisse aus der Sekundarstufe I . . . . . . . . . .
2.6.2 Additionstheoreme und andere Zusammenhänge . . . .
2.6.3 Warum ist sin(x) abgeleitet cos(x)? . . . . . . . . . . . . .
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9
9
9
10
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50
50
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56
56
72
84
92
93
94
95
96
3
Inhaltsverzeichnis
2.7
2.8
2.6.4 Die Produktregel . . . . . . . . . . . . . . . .
2.6.5 Untersuchung trigonometrischer Funktionen
Klausur Nr. 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Extremwertaufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3 Vektorrechnung
3.1 Anwendungsgebiete der Vektorrechnung . . . . . .
3.2 Schnitt zweier Geraden . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.2.1 ... in zwei Dimensionen . . . . . . . . . . . .
3.2.2 Mögliche Lagebeziehungen zweier Geraden
mensionalen Bereich . . . . . . . . . . . . . .
3.2.3 Übungsaufgaben . . . . . . . . . . . . . . . .
3.3 Orthogonalität von Geraden und Ebenen . . . . . .
3.4 Das Skalarprodukt von Vektoren . . . . . . . . . . .
3.4.1 Betrag/Länge eines Vektors . . . . . . . . . .
3.4.2 Winkel zweier Vektoren . . . . . . . . . . . .
3.5 Klausur Nr. 4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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im
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. . . . . 115
dreidi. . . . . 116
. . . . . 117
. . . . . 122
. . . . . 123
. . . . . 123
. . . . . 123
. . . . . 123
4 Wahrscheinlichkeitsrechnung und Statistik
129
4.1 Grundbegriffe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129
4.1.1 Der Begriff der absoluten/relativen Häufigkeit . . . . . . 129
4.1.2 Ereignis und Ergebnis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129
4.1.3 Der Begriff der Häufigkeit - Das Gesetz der großen Zahlen130
4.1.4 Mehrstufige Zufallsexperimente / Pfad,- Baumdiagramme130
4.1.5 Das Gegenereignis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131
4.2 Kombinatorik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131
4.2.1 Das Urnenmodell . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131
4.3 Rechnen mit Wahrscheinlichkeitsverteilungen . . . . . . . . . . 132
4.3.1 Bernoulli-Experimente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132
4.3.2 Die Binomialverteilung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132
4.3.3 Kumulierte Binomialverteilung . . . . . . . . . . . . . . . 133
4.4 Beurteilende Statistik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133
4.4.1 Zweiseitiger Hypothesentest/ Signifikanztest . . . . . . 133
4.4.2 Einseitiger Signifikanztest . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133
4.5 Der Alternativtest . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134
4.5.1 Das Einstiegsverfahren - Möglichkeiten und Fehler . . . 134
4.5.2 Aufgabe zum Alternativtest . . . . . . . . . . . . . . . . . 135
4.5.3 Der zweiseitige Test . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 136
4.6 Klausur Nr. 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137
5 Analysis II — Integralrechnung
143
5.1 Grundbegriffe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143
5.2 Die Grundidee der Differentialrechnung . . . . . . . . . . . . . . 143
4
Inhaltsverzeichnis
5.3
5.4
5.5
5.6
5.7
5.8
Die Grundidee der Integralrechnung . . . . . . . . . . . . . . . .
Einfache Beispiele zur Flächeninhaltsberechnung . . . . . . . . .
Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung (HDI): . . . .
5.5.1 Integrieren durch Hinsehen“ . . . . . . . . . . . . . . . .
”
Flächeninhalt zwischen zwei Graphen . . . . . . . . . . . . . . .
Einige Anwendungen der Integralrechnung . . . . . . . . . . . .
5.7.1 Berechnung von Mittelwerten . . . . . . . . . . . . . . . .
5.7.2 Volumenberechnung von Rotationskörpern . . . . . . . .
Verfahren zur Bestimmung komplexerer Aufleitungen . . . . .
5.8.1 Verfahren zur Umkehrung der Produktregel: Partielle Integration . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.8.2 Herleitung einer Formel zur partiellen Integration . . . .
5.8.3 Zur Herleitung der Ableitungsregel für Umkehrfunktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.8.4 Integration durch Substitution . . . . . . . . . . . . . . .
5.8.5 Ein kleiner Trick zum Bilden der Stammfunktion . . . .
144
146
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153
153
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158
158
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165
167
5
Inhaltsverzeichnis
6
1 Vorwort
Lieber Mathe-LK,
vor euch liegt MiLK (Mathe im Leistungskurs), das Werk des Mathe-LKs 20032005 von Herrn Scholz, das versucht, die Unterrichtsinhalte der Qualifikationsphase zusammenfassend aufzuschreiben.
Einige von euch kennen sicherlich PlemPlem (Physik lernen mit Applets und
Multimedia), das Ähnliches sehr viel umfangreicher in der Physik geschafft
hat. Doch im Gegensatz zu diesem ist MiLK noch gar nicht fertig. Wir haben es geschafft, bereits einiges festzuhalten, würden uns aber freuen, wenn
zukünftige Mathe-Leistungskurse daran weiterarbeiten würden.
Ziel ist es, eine Mitschrift in der Hand zu haben, die insbesondere die Vorbereitung auf die Abiturprüfungen erleichtern kann. Eigene Mitschriften und
Bücher können durch diese Mitschrift natürlich nicht ersetzt werden, jedoch
hat MiLK allemal den Vorteil, dass die Inhalte dem Unterricht und der Art
und Weise, wie die Themen an der Hildegardis-Schule vermittelt werden, angepasst sind.
Ein besonderer Dank gilt unserem LK-Lehrer Herrn Scholz, der sich sehr viel
Zeit genommen hat, die Mitschriften mitzudigitalisieren und vor allem alle Inhalte zu korrigieren.
Wir hoffen also, dass die Erklärungen und Beispiele einigen von euch beim
Lernen helfen und die ein oder anderen sich entschließen werden, an MiLK
weiterzuarbeiten.
Der Mathe-LK 2003-2005
7
1 Vorwort
8
2 Analysis I —
Differentialrechnung
2.1 Ganzrationale Funktionen
2.1.1 Die Summenregel und die Faktorregel
Bevor wir uns an einem Beispiel anschauen, wie man bei einer ganzrationalen
Funktion (auch Polynom“ genannt) eine Kurvendiskussion durchführt, wol”
len wir uns zunächst noch einmal die uns aus der Jahrgangsstufe 11 bekannten
Ableitungsregeln vor Augen führen:
Die Summenregel
Die Summenregel lautet
(f + g)0 = f 0 + g 0
und ist natürlich auf beliebig viele Summanden erweiterbar. Vorausgesetzt
weden muss hierbei natürlich, dass jeder einzelne Summand für sich gesehen
differenzierbar ist. Dann kann man diese Regel mit Hilfe der Differentialquotienten und der Regeln für das Rechnen mit Grenzwerten einfach herleiten.
Bitte beachtet hierbei, dass es sich bei f und g um Funktionsnamen handelt,
bei x und h jedoch um Variablen bzw. um die Argumente der Funktionen.
9
2 Analysis I — Differentialrechnung
(f + g)(x + h) − (f + g)(x)
h→0
h
f (x + h) + g(x + h) − [f (x) + g(x)]
lim
h→0
h
f (x + h) + g(x + h) − f (x) − g(x)
lim
h→0
h
f (x + h) − f (x) + g(x + h) − g(x)
lim
h→0
h
f (x + h) − f (x) g(x + h) − g(x)
+
lim
h→0
h
h
f (x + h) − f (x)
g(x + h) − g(x)
lim
+ lim
h→0
h→0
h
h
f 0 (x) + g 0 (x)
(f + g)0 (x) = lim
=
=
=
=
=
=
Die Faktorregel
Die Faktorregel lautet
(c · f )0 (x) = c · f 0 (x),
wobei c eine reelle Konstante und f eine differenzierbare Funktion ist. Der Beweis für diese Regel verläuft wie folgt:
(c · f )(x + h) − (c · f )(x)
h→0
h
c · [f (x + h) − f (x)]
= lim
h→0
h
f (x + h) − f (x)
= c · lim
h→0
h
= c · f 0 (x)
(c · f )0 (x) = lim
2.1.2 Kurvendiskussion am Beispiel von
f (x) = x3 + 6x2 − 4x − 9
1. Nullstellen
2. Extremstellen/-punkte
3. Wendestellen/-punkte
4. Symmetrie des Funktionsgraphen
5. Verhalten im Unendlichen
6. Skizze (evtl. zur Unterstützung Wertetabelle erstellen)
10
2.1 Ganzrationale Funktionen
f (x) = x3 + 6x2 − 4x − 9
f 0 (x) = 3x2 + 12x − 4
f 00 (x) = 6x + 12
1. Nullstellen:
Setze f(x) = 0 ⇔ x3 + 6x2 − 4x − 9 = 0,
erste Nullstelle durch Ausprobieren ermitteln: x = −1
Die restlichen Nullstellen werden durch Polynomdivision bestimmt.
Lösungen: x = −1 ∨ x2 + 5x − 9 = 0
Lösen durch p-q-Formel oder quadratische Ergänzung:
(x + 2, 5)2 − 15, 25 = 0
x + 2, 5 ≈ 3, 9 ∨ x + 2, 5 ≈ −3, 9
Es ergeben sich als Nullstellen: x ≈ −6, 409 ∨ x ≈ 1, 405 ∨ x = −1
2. Extrempunkte:
f 0 (x) = 3x2 + 12x − 4
notwendige Bedingung:
3x2 + 12x − 4 = 0
4
x2 + 4x − = 0
3
1
(x + 2)2 − 5 = 0
3
x + 2 ≈ 2, 309 ∨ x + 2 ≈ −2, 309
x ≈ 0, 309 ∨ x ≈ −4, 309
hinreichende Bedingung:
f 0 (0, 3) = −0, 13 und f 0 (0, 4) = 1, 28 > 0 bedeutet: x = 0, 309 ist Minimalstelle.
f 0 (−4, 4) = 1, 28 und f 0 (−4, 3) = −1, 48 < 0 bedeutet: x = −4, 309 ist Maximalstelle.
11
2 Analysis I — Differentialrechnung
T (0, 309| − 9, 63) und H(−4, 309|39, 63)
3. Wendepunkte:
f 00 (x) = 6x + 12
notwendige Bedingung für Wendepunkte: f 00 (x) = 0
6x + 12 = 0 ⇔ x = −2
hinreichende Bedingung (VZW von f 00 (x) an der Stelle −2):
f 00 (−2, 1) = −0, 6: Rechtskrümmung und f 00 (−1, 9) = 0, 6: Linkskrümmung.
Also ist x = −2 eine RL-Wendestelle.
Wendepunkt: WRL (−2|15)
4. Symmetrie des Graphen:
Anhand der Funktion lässt sich keine Aussage über eine Symmetrie des Funktionsgraphen machen, da sie sowohl gerade als auch ungerade Exponenten
von x enthält.
5. Verhalten im Unendlichen:
Da der größte Exponent von x ungerade ist, verläuft der Funktionsgraph im
Unendlichen aus dem dritten in den ersten Quadranten.
lim f (x) = −∞
x→−∞
lim f (x) = +∞
x→+∞
6. Skizze der Funktion:
12
2.1 Ganzrationale Funktionen
Skizze
40
f(x)
30
y-Achse
20
10
0
-10
-10
-5
0
x-Achse
5
10
13
2 Analysis I — Differentialrechnung
2.1.3 Symmetrie ganzrationaler Funktionen
1. Achsensymmetrie zur y-Achse
Für die Achsensymmetrie bezüglich der y-Achse gilt:
f (x) = f (−x)
20
f(x)
15
10
5
0
-5
-10
-20
-15
-10
-5
0
5
10
15
20
Wenn ein Polynom achsensymmetrisch zur y-Achse ist, ist das an der Ausgangsfunktion daran zu erkennen, dass alle Exponenten von x gerade sind,
wie zum Beispiel bei der Funktion f (x) = x6 + 7x4 − 2x2 + 3.
2. Achsensymmetrie zu einer beliebigen senkrechten Achse
Ist der Graph eines Polynoms zwar achsensymmetrisch, dies aber nicht zur yAchse, ist das nicht auf den ersten Blick an der Funktion zu erkennen. Vermutet man eine Achsensymmetrie, verschiebt man das Polynom auf die y-Achse
und kann eine mögliche Symmetrie ablesen.
Beispiel: f (x) = (x − 2)2 + 1 = x2 − 4x + 5
20
f(x)
15
10
5
0
-5
-5
14
0
5
10
15
2.1 Ganzrationale Funktionen
Vermutung: f (x) ist symmetrisch bezüglich der Achse x = 2.
Nachweis: Man verschiebt f (x) um 2 Einheiten nach links und kontrolliert, ob
sich eine Symmetrie bzgl. der y-Achse ergibt:
(x + 2)2 − 4(x + 2) + 5 = x2 + 4x + 4 − 4x − 8 + 5 = x2 + 1
Antwort: Da sich nur ungerade Exponenten von x in der Funktion befinden
(x2 + 1 = x2 + x0 ), ist der Graph achsensymmetrisch zur y-Achse und so auch
f(x) symmetrisch zur Achse x=2.
3. Punktsymmetrie zum Ursprung
Für die Punktsymmetrie zum Ursprung gilt:
f (x) = f (−x)
20
g(x)
f(x)
15
10
5
0
-5
-10
-15
-20
-4
-2
0
2
4
Wenn ein Polynom punktsymmetrisch zum Ursprung ist, ist das an der Ausgangsfunktion daran zu erkennen, dass alle Exponenten von x ungerade sind,
wie zum Beispiel bei der Funktion f (x) = 4x5 + 2x3 − 4x.
15
2 Analysis I — Differentialrechnung
4. Punktsymmetrie zu einem beliebigen Punkt
Ist eine Symmetrie erneut nicht erkennbar, aber vermutet man eine Punktsymmetrie bezüglich des Punktes P (xP |yP ), verschiebt man das Polynom so, dass
der Punkt P auf den Ursprung fällt und kann dann mit der oben dargestellten
Methode ablesen, ob sich eine Punktsymmetrie zum Ursprung ergeben hat.
Beispiel: f (x) = x3 + 6x2 + 12x + 12
20
f(x)
15
10
5
0
-5
-10
-10
-8
-6
-4
-2
0
2
4
Vermutung: Punktsymmetrie bzgl. Punkt P (−2|4)
Nachweis: Man verschiebt f(x) um 2 Einheiten nach rechts und 4 Einheiten
nach unten und kontrolliert, ob sich eine Punktsymmetrie bzgl. des Ursprungs
ergibt:
(x − 2)3 + 6(x − 2)2 + 12(x − 2) + 12 − 4
... = x3
Antwort: Demnach ergibt sich eine Punktsymmetrie bzgl. des Ursprungs, das
heißt, dass der ursprüngliche Funktionsgraph punktsymmetrisch bzgl. des
Punktes P (−2|4) war.
16
2.2 Gebrochen-rationale Funktionen
2.2 Gebrochen-rationale Funktionen
Eine gebrochen-rationale Funktion hat die Gestalt:
f (x) =
Z(x)
,
N (x)
wobei Z(x) und N(x) ganzrationale Funktionen (Polynome) sind.
Z(x): Zählerpolynom und N(x): Nennerpolynom
Die Nullstellen von f(x) liegen dort, wo Z(x) = 0 ist. An den Stellen, wo
N (x) = 0 ist, ist die Funktion nicht definiert, dort hat der Graph eine Definitionslücke.
Wenn man nach Extrem- und Wendestellen sucht, ergibt sich zunächst die Frage:
Wie leitet man eine Funktion der Form f (x) =
u(x)
v(x)
ab?
2.2.1 Herleitung der Quotientenregel
Zur Wiederholung:
Differenzenquotient (Steigung der Sekanten, bestimmbar mit Hilfe eines Steigungsdreiecks)):
msek =
∆y
y − y0
f (x) − f (x0 )
=
=
∆x
x − x0
x − x0
Differentialquotient (Steigung der Tangente)(= f 0 (x0 )):
mtan = lim
x→x0
bzw.:
f (x) − f (x0 )
x − x0
f (x + h) − f (x0 )
h→0
h
mtan = lim
Der Beweis:
f (x) =
u(x)
f (x + h) − f (x0 )
⇒ f 0 (x) = lim
h→0
v(x)
h
17
2 Analysis I — Differentialrechnung
u(x)
v(x)
für f(x) einsetzen:
1 u(x + h) u(x0 )
−
= lim ·
h→0 h
v(x + h) v(x0 )
auf den Hauptnenner erweitern:
1 u(x + h) · v(x0 ) u(x0 ) · v(x + h)
= lim ·
−
h→0 h
v(x + h) · v(x0 ) v(x0 ) · v(x + h)
zusammenfassen:
1 u(x + h) · v(x0 ) − u(x0 ) · v(x0 + h)
·
h→0 h
v(x0 ) · v(x + h)
= lim
Kameltrick anwenden (wie bei der quadratischen Ergänzung):
1 u(x + h) · v(x0 )−u(x) · v(x) + u(x) · v(x) − u(x0 ) · v(x + h)
·
h→0 h
v(x0 ) · v(x + h)
= lim
v(x0 ) und u(x0 ) ausklammern:
1 v(x0 ) · [u(x + h) − u(x)] + u(x0 ) · [v(x0 ) − v(x + h)]
·
h→0 h
v(x0 ) · v(x + h)
= lim
[v(x0 )−v(x+h)] mit −1 multiplizieren und neu anordnen, dabei das Vorzeichen
bei u(x0 ) verändern, damit die Werte der Gleichung sich nicht verändern:
1 v(x0 ) · [u(x + h) − u(x)] − u(x0 ) · [v(x + h) − v(x)]
·
h→0 h
v(x0 ) · v(x + h)
= lim
ausmultiplizieren:
= lim
h→0
u(x+h)−u(x0 )
h
· v(x0 ) − u(x0 ) ·
v(x0 ) · v(x + h)
v(x+h)−v(x)
h
Die Aufforderung, den Grenzwert limh→0 zu bilden, steht vor dem gesamten
Bruch, bezieht sich aber auch auf jeden einzelnen Bestandteil des Bruches (diese Tatsache fasst man in der Mathematik in den sog. Grenzwertsätzen zusammen).
0)
limh→0 u(x+h)−u(x
ist Differentialquotient, d.h. = u0 (x0 ) und limh→0 v(x+h)−v(x)
h
h
entspricht v 0 (x0 ):
u0 (x0 ) · v(x0 ) − u(x0 ) · v 0 (x0 )
= lim
h→0
v(x0 ) · v(x + h)
h wird an 0 angenähert (bzw. entspricht 0), somit ergibt sich die Quotientenregel:
u0 (x0 ) · v(x0 ) − u(x0 ) · v 0 (x0 )
f 0 (x0 ) =
[v(x0 )]2
oder einfacher:
u
u0 v − uv0
f = ⇒ f0 =
v
v2
18
2.2 Gebrochen-rationale Funktionen
2.2.2 Anwendung der Quotientenregel
Beispiel:
f (x) =
2x2 + 3x + 4
x2 + 5x
in Quotientenregel
f 0 (x0 ) =
u0 (x0 ) · v(x0 ) − u(x0 ) · v 0 (x0 )
[v(x0 )]2
einsetzen:
f 0 (x) =
[(x2 + 5x) · (4x + 3)] − [(2x2 + 3x + 4) · (2x + 5)]
(x2 + 5x)2
und ausmultiplizieren, woraus sich ergibt:
f 0 (x) =
7x2 − 8x − 20
7x2 − 8x − 20
=
x4 + 10x3 + 25x2
x2 · (x + 5)2
y-Achsenabschnitt:
f (0) = n. def.
Der Graph schneidet die y-Achse an keiner Stelle!
Nullstellen von f(x):
2x2 + 3x + 4 = 0
...
Es gibt keine Lösung, da eine negative Diskriminante in der p-q-Formel auftritt.
Extrempunkte:
f 0 (x) =
7x2 − 8x − 20
=0
x2 · (x + 5)2
19
2 Analysis I — Differentialrechnung
(mit x2 · (x + 5) multiplizieren.)
notwendige Bedingung:
7x2 − 8x − 20 = 0
8
6
x2 − x − 2 = 0
7
7
9
4
(x − )2 − 3 = 0
7
49
4
4
x − ≈ 1, 78 ∨ x − ≈ −1, 78
7
7
x ≈ 2, 35 ∨ x ≈ −1, 21
hinreichende Bedingung:
f 0 (2, 3) = −0, 00486 und f 0 (2, 4) = 0, 00355 > 0 bedeutet: x = 2, 35 ist Minimalstelle.
f 0 (−1, 3) = 0, 146 und f 0 (−1, 2) = −1, 48 < 0 bedeutet: x = −1, 21 ist Maximalstelle.
T(2, 35|1, 28) und H(−1, 21| − 0, 72)
Definitionslücken:
x2 + 5x = 0
x · (x + 5) = 0
x = 0 ∨ x = −5
20
2.2 Gebrochen-rationale Funktionen
Beispiel, wenn f(x) in einem Punkt nicht differenzierbar ist:
f(x)
15
10
5
0
-10
-5
0
5
10
f (x) = |x| ist in x = 0 nicht differenzierbar!
x , x≥0
f (x) =
−x , x < 0
und
f 0 (x) =


1 ,
n.def ,

−1 ,
x>0
x=0
x<0
21
2 Analysis I — Differentialrechnung
2.2.2.1 Fragestellung: Ist es möglich mit Hilfe der Beispielfunktionen
eine Gesetzmäßigkeit für die 1. Ableitung herauszufinden?
Beispielfunktionen in die Quotientenregel einsetzen:
f (x) =
1
−1
1
→ f 0 (x) = 2 = − 2
x
x
x
1
→ f 0 (x) =
x2
1
h(x) = 3 → f 0 (x) =
x
Gesetzmäßigkeit:
g(x) =
−2x
2
=− 3
4
x
x
−3x
3
=− 4
6
x
x
f (x) = xn → f 0 (x) = n · xn−1
1
n
0
→
f
(x)
=
−
xn
xn+1
Damit ist bewiesen, dass die Potenzregel für alle ganzen (auch negative) Zahlen gilt. Sie gilt außerdem (mit Einschränkungen) für alle reellen Zahlen, was
aber schwieriger nachzuweisen ist.
f (x) =
allgemeine Regel:
f 0 (x) = −
v0 (x)
v2 (x)
Beweis:
v(x) = xn , v 0 (x) = n · xn−1 , v 2 (x) = x2n
eingesetzt ergibt sich:
−
22
v 0 (x)
n · xn−1
n
=
−
= −n · xn−1−2n = −n · x−1−n = − n+1
2
2n
v (x)
x
x
2.2 Gebrochen-rationale Funktionen
2.2.3 Arten von Definitionslücken
Bei gebrochen-rationalen Funktionen unterscheidet man von drei Arten von
Definitionslücken:
1.) stetig ergänzbare Definitionslücken / hebbare Definitionslücken:
2.) Polstellen
Es wird zwischen zwei Arten von Polstellen unterschieden:
Polstellen mit VZW und Polstellen ohne VZW
10
15
f(x)
f(x)
5
10
0
5
-5
0
-10
-10
-5
0
5
10
-5
-10
-5
0
5
10
23
2 Analysis I — Differentialrechnung
2.2.3.1 Wie erkennt man an der Funktionsvorschrift, um welche Art von
Definitionslücke es sich handelt?
1 1 1
x , x3 , x5 , ... hat eine Polstelle mit VZW bei x = 0
1 1 1
x2 , x4 , x6 , ... hat eine Polstelle ohne VZW bei x = 0
1
1
1
x−2 , (x−2)3 , (x−2)5 , ... hat eine Polstelle mit VZW bei x = 2
1
1
1
(x−2)2 , (x−2)4 , (x−2)6 , ... hat eine Polstelle ohne VZW bei x = 2
Man sieht also, dass es von der Vielfachkeit der Nullstelle im Nennerpolynom
abhängt, ob es sich um eine Polstelle mit oder ohne VZW handelt.
2.2.3.2 Wie funktioniert das Ganze, wenn mehrere Definitionslücken
vorliegen?
1. Beispiel:
f (x) =
2x2 + 3x + 4
x2 + 5x
f (x) =
2x2 + 3x + 4
x · (x + 5)
Die Definitionslücken der Funktion liegen bei x = 0 und x = −5, wobei x = 0
und x = −5 einfache Nullstellen sind.
Zur Bestimmung, ob an der Polstelle ein VZW vorliegt oder nicht, betrachtet man die Vielfachheit der jeweiligen Nullstelle im Nennerpolynom. Bei gerader Vielfachheit liegt kein VZW vor, bei ungerader Vielfachheit ein VZW.
Hierbei ist zu beachten, dass zunächst alle Linearfaktoren im Zähler bzw. Nenner durchgekürzt werden müssen. Hebt sich dabei eine Nullstelle im Nenner
komplett weg, so hat man dort eine stetig ergänzbare Definitionslücke vorliegen.
Beispiel:
f (x) =
(x − 3)2 · (x + 2) · (x + 3)
(x − 4) · (x + 2)2 · (x + 3)
Df = R\{−3; −2; 4}
24
2.2 Gebrochen-rationale Funktionen
Polstelle mit VZW in x = 4 und x = −2, sowie stetig ergänzbare Definitionslücke in x = 3, ergänzbar durch den Punkt P (−3| − 36
)
7
2. Beispiel:
x2 · (x2 − 12x + 32) · (x2 + 6x + 9)
f (x) = 4
x · (x2 − 8x + 16) · (x2 − 7x − 8)
durch den Satz von Vieta oder Nullstellenberechnung ergibt sich:
f (x) =
x2 · (x − 4) · (x − 8) · (x + 3)2
x4 · (x − 4)2 · (x − 8) · (x + 1)
Df = R\{−1; 0; 4; 8}
Gleichung kürzen:
f (x) =
(x + 3)2
x2 · (x − 4) · (x + 1)
x = −1 ist Polstelle mit VZW,
x = 0 ist Polstelle ohne VZW,
x = 4 ist Polstelle mit VZW und
121
in x = 8 hat die Funktion eine Definitionslücke, stetig ergänzbar durch P (8| 2304
)
3. Beispiel:
f (x) =
x3 − 2x2 − 7x − 4
x4 + 5x3 + 8x2 + 4x
f (x) =
x3 − 2x2 − 7x − 4
x · (x3 + 5x2 + 8x + 4)
durch Polynomdivision die Nullstellen ermitteln, beginnend beim Nenner mit
einer Nullstelle von x = −2:
(x3 + 5x2 + 8x + 4) : (x + 2) = x2 + 3x + 2
durch den Satz von Vieta ergibt sich:
x2 + 3x + 2 = (x + 1) · (x + 2)
nun die Nullstellen für den Zähler bestimmen mit Nullstelle x = 4:
(x3 − 2x2 − 7x − 4) ÷ (x − 4) = x2 + 2x + 1 = (x + 1)2
25
2 Analysis I — Differentialrechnung
die Linearfaktoren in die Funktion einsetzen:
f (x) =
(x − 4) · (x + 1)2
x · (x + 2) · (x + 1) · (x + 2)
Df = R\{−2; −1; 0}
dies zeigt, dass die Funktion bei
x = −2 eine Polstelle ohne VZW,
x = −1 eine stetig ergänzbare Definitionslücke in P (−1|0) und bei
x = 0 eine Polstelle mit VZW besitzt.
2.2.4 Asymptoten
Unter Asymptoten versteht man gedachte Linien, an die sich der Funktionsgraph immer weiter annähert.
Zu einer Polstelle gehört immer eine senkrechte Asymptote
f(x)
15
10
5
0
-10
26
-5
0
5
10
2.2 Gebrochen-rationale Funktionen
Sehr häufig treten auch waagerechte Asymptoten auf:
Die Asymptote y = 2 spiegelt das Verhalten der Funktion im Unendlichen
wider:
lim f (x) = 2
x→±∞
schräge Asymptoten:
f (x) =
1
1 + 2x2 + 2x + x + 1
2x2 + 3x + 2
+ 2x + 1 =
=
x+1
x+1
x+1
27
2 Analysis I — Differentialrechnung
2.2.4.1 Bei Asymptoten unterscheidet man die Fälle:
1.) Zählergrad < Nennergrad
z. B. f (x) =
2x + 4
+ 5x + 1
3x2
Bei allen Funktionen, bei denen gilt Zählergrad < Nennergrad“ , bildet die
”
x-Achse (y = 0) die Asymptote.
Beweis mit Hilfe der Beispielfunktion:
Da hierbei das Verhalten der Funktion im Unendlichen gefragt ist, gilt:
2 + x4
2x + 4
lim f (x) = lim
= lim
x→∞
x→∞ 3x2 + 5x + 1
x→∞ 3x + 5 +
1
x
Strebt nun also x → ∞, so steht im Nenner immer ein größerer Wert als im
Zähler. Bei der Division durch eine unendliche Zahl wird das Ergebnis quasi
0. Gleiches gilt für x → −∞.
2.) Zählergrad = Nennergrad
z. B. f (x) =
5x2 + 4
3x2 + 2x + 1
Die Asymptote wird durch den Quotienten der Leitkoeffizienten1 beschrieben,
hier also
5
lim f (x) =
x→∞
3
(y =
5
3
ist Gleichung der Asymptote)
3.) Zählergrad > Nennergrad
z. B. f (x) =
4x3 + 2x + 3
2x2 + 5x − 4
Um an die Gleichung der Asymptote zu kommen, wird eine Polynomdivision
durchgeführt:
(4x3 + 2x + 3) ÷ (2x2 + 5x − 4) = 2x − 5 +
1
Faktor vor dem x mit dem höchsten Exponenten
28
35x − 17
2x2 + 5x − 4
2.2 Gebrochen-rationale Funktionen
Die Gestalt der Asymptote (Gerade, Parabel, etc.) hängt davon ab, um wie viel
der Zählergrad größer ist als der Nennergrad.
Ist z.B. der Zählergrad um 2 größer als der Nennergrad, so bleibt nach der
Polynomdivision ein quadratischer Term (sowie ein vernachlässigbarer Rest)
übrig, die Asymptote ist demnach parabelförmig.
2.2.4.2 Übung zu Definitionslücken und Asymptoten
Fragestellung: Wie kann ich mir selber eine Aufgabe basteln, bei der ich Definitionslücken und Asymptoten bestimmen kann? Man gibt sich die Funktion fertig
zerlegt in Linearfaktoren vor und multipliziert aus:
f (x) =
=
(x − 1)2 · (x + 4) · (x + 3)
(x2 − 2x + 1) · (x2 + 7x + 12)
=
(x − 1) · (x + 4)2 · (x + 5)2
(x − 1) · (x2 + 8x + 16) · (x2 + 10x + 25)
x4 + 5x3 − x2 − 17x + 12
(x3 + 7x2 + 8x − 16) · (x2 + 10x + 25)
x4 + 5x3 − x2 − 17x + 12
x5 + 17x4 + 103x3 + 239x2 + 40x − 400
Mit der letzten Funktion können nun die Asymptoten und Definitionslücken
berechnet werden. Dabei ist es bei einer solchen Funktion eventuell sinnvoll,
die Nullstellen durch Erraten zu bestimmen anstatt mehrere Polynomdivisionen durchführen zu müssen.
f (x) =
Für den Zähler sieht dies wie folgt aus:
erratene Nullstellen: x = 1, x = −4 und x = −3
Die Nullstellen werden in Linearfaktoren ausgedrückt, damit bei der folgenden Polynomdivision die Art der Asymptote bzw. Definitionslücke zu erkennen ist:
(x − 1) · (x + 4) · (x + 3) = (x2 + 3x − 4) · (x + 3) = x3 + 6x2 + 5x − 12
Bei der Polynomdivision ergibt sich also:
(x4 + 5x3 − x2 − 17x + 12) ÷ (x3 + 6x2 + 5x − 12) = x − 1
Für den Nenner wird genauso vorgegangen:
erratene Nullstellen: x = 1, x = −4 und x = −5
29
2 Analysis I — Differentialrechnung
in Linearfaktoren umwandeln:
(x − 1) · (x + 4) · (x + 5) = (x2 + 3x − 4) · (x + 5) = x3 + 8x2 + 11x − 20
Polynomdivision:
(x5 + 17x4 + 103x3 + 239x2 + 40x − 400) ÷ (x3 + 8x2 + 11x − 20) = x2 + 9x + 20
= (x + 4) · (x + 5)
Df = R\{−5; −4; 1}
Um nun herauszufinden, um welche Art von Polstelle bzw. Definitionslücke
es sich handelt, betrachtet man die erratenen Nullstellen sowie die durch die
Polynomdivision berechneten Linearfaktoren im Zähler und Nenner. Ergibt
sich zum Beispiel bei dieser Funktion im Zähler als erratene Nullstelle x = 1
und als Linearfaktor (x − 1) , so handelt es sich hierbei um eine Nullstelle mit
gerader Vielfachheit.
Für diese Funktion sieht dies wie folgt aus:
f (x) =
(x − 1)2 · (x + 4) · (x + 3)
(x − 1) · (x + 4)2 · (x + 5)2
Damit ergeben sich für die Funktion für:
x = −5 eine Polstelle ohne VZW,
x = −4 eine Polstelle mit VZW sowie
x = 1 eine stetig ergänzbare Definitionslücke in P (1|0).
Asymptote der Funktion ist die x-Achse, da Zählergrad < Nennergrad.
2.2.5 Symmetrie gebrochen-rationaler Funktionen
Bei gebrochen-rationalen Funktionen werden zwei Fälle von Symmetrie unterschieden:
1. Fall: wenn eines der beiden Polynome unsymmetrisch ist, ist die gesamte
Funktion unsymmetrisch.
30
2.2 Gebrochen-rationale Funktionen
2. Fall:
a)
AS
→ AS
AS
b)
PS
→ AS
PS
c)
AS
→ PS
PS
d)
PS
→ PS
AS
2.2.6 Beispielaufgaben für eine Kurvendiskussion
(im Buch zu finden auf S. 213, Nr. 2f)
f (x) =
3x2 − 3x
(x − 2)2
0. Zerlegung in Linearfaktoren
f (x) =
3x2 − 3x
3x · (x − 1)
=
2
(x − 2)
(x − 2)2
1. Definitionsmenge:
(x − 2)2 = 0
x=2
Df = R\{2}
2. Symmetrie:
31
2 Analysis I — Differentialrechnung
Es ist zunächst keine Symmetrie erkennbar, da die Funktion sowohl gerade als
auch ungerade Exponenten von x enthält.
3. Typisierung der Definitionslücken:
Der Linearfaktor (x − 2)2 lässt sich nicht gegen Linearfaktoren aus dem Zähler
kürzen. Daher liegt wegen des geraden Exponenten an der Stelle x = 2 eine
Polstelle ohne VZW vor.
4. Verhalten für x → +∞ und x → −∞ :
f (x) =
3x2 − 3x
3x2 − 3x
=
(x − 2)2
1x2 − 4x + 4
Zählergrad = Nennergrad
Die Asymptote wird durch den Quotienten der Leitkoeffizienten beschrieben,
also:
lim f (x) =
x→∞
3
1
Gleichung der Asymptote: y = 3
5. Nullstellen:
Aus der obigen Zerlegung in Linearfaktoren ergeben sich für die Nullstellen
des Zählers und damit auch von f (x):
x=0 ∨ x=1
6. Ableitungen:
Für die 1. Ableitung wird auf die Funktion f (x) =
tenregel angewendet:
3x2 − 3x
die Quotienx2 − 4x + 4
[(6x − 3) · (x2 − 4x + 4)] − [(3x2 − 3x) · (2x − 4)]
f (x) =
(x2 − 4x + 4)2
0
6x3 − 24x2 + 24x − 3x2 + 12x − 12 − (6x3 − 12x2 − 6x2 + 12x)
=
(x2 − 4x + 4)2
=
6x3 − 24x2 + 24x − 3x2 + 12x − 12 − 6x3 + 12x2 + 6x2 − 12x
(x2 − 4x + 4)2
f 0 (x) =
32
−9x2 + 24x − 12
(x − 2)4
2.2 Gebrochen-rationale Funktionen
Da f 0 (x) für eine weitere Ableitung relativ kompliziert aussieht, versucht man
f 0 (x) zu kürzen (oder aber es wird gleich die Kettenregel angewendet, dazu
folgt anschließend eine weitere Erläuterung).
Also durch Polynomdivision f 0 (x) vereinfachen:
(−9x2 + 24x − 12) ÷ (x − 2) = −9x + 6
einsetzen:
f 0 (x) =
−9x + 6
(−9x + 6) · (x − 2)
=
4
(x − 2)
(x − 2)3
Für die 2. Ableitung wird nun f 0 (x) in die Quotientenregel eingesetzt:
f 00 (x) =
[(−9) · (x3 − 6x2 + 12x − 8)] − [(−9x + 6) · (3x2 − 12x + 12)]
[(x − 2)3 ]2
=
−9x3 + 54x2 − 108x + 72 − (−27x3 + 108x2 − 108x + 18x2 − 72x + 72)
(x − 2)6
=
−9x3 + 54x2 − 108x + 72 + 27x3 − 108x2 + 108x − 18x2 + 72x − 72
(x − 2)6
f 00 (x) =
18x3 − 72x2 + 72x
(x − 2)6
Um die 2. Ableitung zu vereinfachen geht man durch Polynomdivision genauso vor wie bei f 0 (x) :
(18x3 − 72x2 + 72x) ÷ (x2 − 4x + 4) = 18x
Also:
f 00 (x) =
18x · (x − 2)2
18x
=
6
(x − 2)
(x − 2)4
7. Extrempunkte:
notwendige Bedingung: f 0 (x) = 0
f 0 (x) =
−9x + 6
2
= 0 ⇔ −9x + 6 = 0 ⇔ x =
3
(x − 2)
3
hinreichende Bedingung: (Untersuchung von f 00 (x))
f 00 ( 32 ) > 0 bedeutet: x =
2
3
ist Minimalstelle.
Alternativ Untersuchung auf VZW von f 0 (x):
f 0 (0, 6) = −0, 22 und f 0 (0, 7) = 0, 96 bedeutet: VZW in der Umgebung von
33
2 Analysis I — Differentialrechnung
x=
2
3
;x=
2
3
ist Minimalstelle.
f ( 23 ) = −0, 375 , also ergibt sich der Tiefpunkt:
2
T( | − 0, 375)
3
8. Wendepunkte:
notwendige Bedingung: f 00 (x) = 0
f 00 (x) =
18x
= 0 ⇔ 18x = 0 ⇔ x = 0
(x − 2)4
hinreichende Bedingung (VZW von f 00 (x)):
f 00 (−0, 1) = −0, 093 und f 00 (0, 1) = 0, 14 bedeutet: VZW in der Umgebung von
x = 0 ; es handelt sich um eine RL-Wendestelle
f (0) = 0 , also ergibt sich der Wendepunkt:
WR→L (0|0)
34
2.2 Gebrochen-rationale Funktionen
9. Skizze der Funktion:
2.2.7 Anwendungsaufgaben
S. 207, Nr. 6
Sauerstoffgehalt in einem Teich nach Einbringung giftiger Substanzen:
t in Tagen
Sauerstoffgehalt c(t) in mg/l
0
1
12,0 4,5
2
6,0
3
7,5
allgemeiner Ansatz für t ≥ 0 :
c(t) =
at2 + bt + c
t2 + d
a) Berechne a, b, c und d mit Hilfe der obigen Daten.
b) Skizziere c(t) im Intervall 0 ≤ t ≤ 14.
c) Nach wie vielen Tagen beträgt c(t) = 90% des Normalwertes 12, 0 mg
?
l
zu a) Mit Hilfe der Daten aus der Tabelle lassen sich folgende Gleichungen
ermitteln:
12 =
c
d
a+b+c
1+d
4a + 2b + c
6=
4+d
4, 5 =
35
2 Analysis I — Differentialrechnung
9a + 3b + c
9+d
Wird das Gleichungssystem aufgelöst, ergibt sich a = 12, b = −15, c = 12 und
d = 1 und somit folgende Gleichung für die Funktion:
7, 5 =
f (t) =
12t2 − 15t + 12
t2 + 1
zu b) Da bei der Funktion Zählergrad = Nennergrad ist, wird die Asymptote
durch den Quotienten der Leitkoeffizienten gebildet: y = 12
= 12
1
zu c) Unter normalen Bedingungen beträgt der Sauerstoffgehalt im Teich 12 mg
,
l
mg
also entsprechen 90% 10,8 l .
für f (t) ≥ 0 gilt:
f (t) =
12t2 − 15t + 12
t2 + 1
10, 8 = 12t2 − 15t + 12t2 + 1
10, 8t2 + 10, 8 = 12t2 − 15t + 12
t2 − 12, 5t + 1 = 0
(t − 6, 24)2 − 38, 0625 = 0
t ≈ 12, 41 ∨ t ≈ 0, 081
Der Sauerstoffgehalt beträgt also nach ca. 12,41 Tagen 90 % des normalen Wertes. Die Lösung t ≈ 0, 081 ergibt sich hierbei gleich zu Beginn während der
Abnahme des Sauerstoffgehaltes und ist daher für die Fragestellung unwichtig.
36
2.2 Gebrochen-rationale Funktionen
S. 215, Nr. 1
Um herauszufinden wie hart ein Vogel arbeiten muss um zu fliegen wurden
im Windkanal Versuche mit australischen Sittichen (Körpergewicht zwischen
20 und 40 Gramm) durchgeführt. Durch Messung des Sauerstoffverbrauchs des
Vogels konnte man auf den Energieverbrauch zurückschließen. Ist v die Geschwindigkeit des Vogels gegenüber der Luft beim Horizontalflug, so kann der
Energieverbrauch E(v) für eine Strecke von 1km und pro Gramm Körpergewicht
näherungsweise beschrieben werden durch:
E(v) =
0, 31(v − 35)2 + 92
v
J
wobei 20 ≤ v ≤ 60 (E in g·km
; v in km
).
h
Wie hoch ist der Energieverbrauch pro Kilometer und Gramm bei einer Geschwindigkeit von 25 km
? Bei welcher Geschwindigkeit ist der Energieverbrauch
h
des Vogels am geringsten?
E(v) =
E(25
0, 31(v − 35)2 + 92
v
0, 31(25 km
− 35)2 + 92
km
J
h
)=
= 4, 92
km
g · km
h
25 h
Um den geringsten Energieverbrauch des Vogels zu ermitteln, muss die Extremstelle berechnet werden:
f (v) =
0, 31v 2 − 21, 7v + 471, 75
v
durch Einsetzen in die Quotientenregel ergibt sich:
f 0 (v) =
[(0, 62v − 21, 7) · v)] − [(0, 31v 2 − 21, 7v + 471, 75) · (1)]
v2
062v 2 − 21, 7v − 0, 31v 2 + 21, 7v − 471, 75
v2
0, 31v 2 − 471, 75
f 0 (v) =
v2
Extremstelle:
f 0 (v) =
0, 31v 2 − 471, 75 = 0
37
2 Analysis I — Differentialrechnung
v = ±39
Der Vogel hat den geringsten Energieverbrauch bei v = 39 km/h (die negative
Extremstelle ist für den Versuch nicht relevant).
S. 215, Nr. 2
Der Sauerstofftransport im Blut wird überwiegend durch den Blutfarbstoff
Hämoglobin geleistet. In der Lunge nimmt das Hämoglobin Sauerstoff auf und
gibt diesen in den meisten Körpergeweben wieder ab. Der Zusammenhang zwischen der Sauerstoffsättigung S und dem Sauerstoffpartialdruck p kann nähe42198p3
, p ≥ 0 (p in
rungsweise beschrieben werden durch s1 (p) =
421, 98p3 + 17576
kPa; s1 in %).
In Muskelzellen wird Sauerstoff durch Myoglobin transportiert. Für Myoglo750p
; p ≥ 0 (p in kPa; s2 in Prozent).
bin gilt: s2 (p) =
7, 5p + 2, 8
a) Zeichnen Sie in ein gemeinsames Koordinatensystem Graphen der Funktionen p → s1 (p) bzw. p → s2 (p) einschließlich Asymptoten (Sauerstoffbindungskurven).
b) Myoglobin gibt im Unterschied zu Hämoglobin über ein breites Intervall
von p nur wenig Sauerstoff ab. Vergleichen Sie hierzu für die beiden Sauerstoffbindungskurven die Funktionswerte 3kPa und 13kPa.
c) Ermitteln Sie den Wendepunkt der Sauerstoffbindungskurve von Hämoglobin.
zu a) Skizze der Funktion:
38
2.2 Gebrochen-rationale Funktionen
zu b) folgt noch!
zu c) s(p) =
42198p3
in die Quotientenregel einsetzen um s0 (p) zu
421, 98p3 + 17576
bestimmen:
s0 (p) =
=
[126594p2 ) · (421, 98p3 + 17576)] − [(42198p3 ) · (1265, 9p2 )]
(421, 98p3 + 17576)2
53420136, 12p5 + 2225016144p2 − 53420136, 12p5
421, 98p3 + 17576)2
s0 (p) =
2225016144p2
421, 98p3 + 17576)2
Um nun s00 (p) zu ermitteln wird die Quotientenregel mit der Kettenregel verknüpft:
s00 (p) =
[4450032288p · (421, 98p3 + 17576)2 ] − 2225016144p2 · 2 · (421, 98p3 + 17576) · 1265, 94p2
(421, 98p3 + 17576)4
=
4450032288p · (421, 98p3 + 17576) − 4450032288 · 1265, 94p4
(421, 98p3 + 17576)3
s00 (p) =
−3, 755 · 1012 p4 + 7, 821 · 1013 p
(421, 98p3 + 17576)3
notwendige Bedingung für Wendepunkte:
−3, 755 · 1012 p4 + 7, 821 · 1013 p = 0
p · (−3, 755 · 1012 p3 + 7, 821 · 1013 ) = 0
p = 0 ∨ p3 = 20, 83
p = 0 ∨ p ≈ 2, 75
Die Stelle p = 0 ist für die vorliegende Fragestellung uninteressant, daher beschränken wir uns auf den Wendepunkt an der Stelle p = 2, 75:
s1 (2, 75) = 33, 3
Der Wendepunkt der Hämoglobinkurve liegt bei W (2, 75|33, 3).
39
2 Analysis I — Differentialrechnung
2.2.8 Kettenregel
2.2.8.1 Beweis der Kettenregel
Wir gehen im Folgenden von einer Funktion f aus, die sich aus zwei differenzierbaren Funktionen u und v, die hintereinander ausgeführt werden, zusammensetzt. Hierbei wird die Funktion v, von der wir im Folgenden annehmen, dass sie als erste ausgeführt wird, als innere Funktion, die Funktion u,
die im Anschluss an v ausgeführt wird, als äußere Funktion bezeiochnet. Diese
sogenannte Verkettung zweier Funktionen u und v zu einer neuen Funktion f
notieren wir von nun an in der Form
f (x) = u[v(x)]
Um nun zu ermitteln, in welcher Weise und ob überhaupt eine solche Verkettung zweier Funktionen ihrerseits differenzierbar ist, wird der Differentialquotient
(x0 )
f 0 (x) = limx→x0 f (x)−f
betrachtet, in den die gegebene Funktion f (x) =
x−x0
u[v(x)] eingesetzt wird:
f 0 (x) = lim
x→x0
u[v(x)] − u[v(x0 )]
x − x0
mit v(x) − v(x0 ) erweitert, so dass sich folgendes ergibt:
= lim
x→x0
u[v(x)] − u[v(x0 )]
v(x) − v(x0 )
· lim
x→x
x − x0
0 v(x) − v(x0 )
anders anordnen:
= lim
x→x0
u[v(x)] − u[v(x0 )]
v(x) − v(x0 )
· lim
x→x
v(x) − v(x0 )
x − x0
0
nun wird v(x) durch v abgekürzt:
= lim
v→v0
u(v) − u(v0 )
v(x) − v(x0 )
· lim
x→x0
v − v0
x − x0
Für die beiden Differentialquotienten gilt:
limv→v0
u(v)−u(v0 )
v−v0
= u0 (v) und limx→x0
v(x)−v(x0 )
x−x0
= v0 (x):
f 0 (x) = u0 (v) · v 0 (x)
Nun schreiben wir wieder v(x) an Stelle von v, womit sich die Kettenregel
ergibt:
f 0 (x) = u0 [v(x)] · v 0 (x)
40
2.2 Gebrochen-rationale Funktionen
2.2.8.2 Beispiele zur Anwendung der Kettenregel
f (x) = (3x3 + 2x − 4)5 =⇒ f 0 (x) = 5 · (3x3 + 2x − 4)4 · (9x2 + 2)
f (x) =
(x3
1
= (x3 +5x2 −4)−3 =⇒ f 0 (x) = −3·(x3 +5x2 −4)−4 ·(3x2 +10x)
+ 5x2 − 4)3
√
1
1
1
4x4 + 3x3 + 2x = (4x4 +3x3 +2x) 2 =⇒ f 0 (x) = ·(4x4 +3x3 +2x)− 2 ·(16x3 +9x2 +2)
2
3
2
16x + 9x + 2
√
⇐⇒ f 0 (x) =
2 · 4x4 + 3x3 + 2x
f (x) =
2.2.9 Klausur Nr. 1
2.2.9.1 Aufgaben
Aufgabe 1: Zum Warmrechnen
a) Was versteht man unter einer Asymptote? — Erläutere an Hand von Beispielen und zugehörigen Skizzen die verschiedenen Möglichkeiten, die
bei einer gebrochen–rationalen Funktion auftreten können.
b) Weise rechnerisch nach, dass der Graph der Funktion
f (x) =
2x3 + 30x2 + 122x + 154
3x2 + 18x + 28
punktsymmetrisch bezüglich des Punktes P (−3|4) ist.
c) Berechne die erste Ableitung der folgenden Funktionen, indem du die
Kettenregel anwendest. Forme hierzu nötigenfalls den Funktionsterm in
Potenzschreibweise um.
√
5
c1) f (x) = (3x3 −4x+1)3
c2) g(x) = 5x4 − 3x
c3) h(x) = 3
(x + 5x2 − 4)4
Aufgabe 2: Eine klassische Kurvendiskussion
Gegeben ist die gebrochen–rationale Funktion
f (x) =
x3 − 2x2 − 4x + 8
2x2 + 4x − 8
Führe eine vollständige Kurvendiskussion von f durch (Alternative Schreibweise mit Linearfaktoren, Ort und Art der Definitionslücken, Nullstellen, Schnittpunkt mit der y–Achse, Symmetrie, Verhalten der Funktion im Unendlichen
(Berechnung der Gleichung der Asymptote), Extrempunkte (ohne Berechnung
41
2 Analysis I — Differentialrechnung
der zweiten Ableitung), Skizze).
Aufgabe 3:
Überlegungen zum Bau eines Autobahntunnels
Bei der Planung eines Autobahntunnels soll überlegt werden, bei welcher Geschwindigkeit die meisten Autos pro Stunde den Tunnel passieren können.
Bedingung hierbei ist, dass sich die Autofahrer vernünftig“ verhalten und
”
einen Sicherheitsabstand zum Vordermann wahren, der gleich dem Anhalte1
· v 2 + v · t0 ist. In dieser Formel ist v die Geschwindigkeit, b die
weg sa =
2b
Bremsverzögerung (Betrag der Bremsbeschleunigung) und t0 die Reaktionszeit. Wenn alle Autos mit der gleichen, am Tunneleingang durch ein Schild
vorgeschriebenen Geschwindigkeit v fahren und diesen Abstand genau einhalten, dann beträgt die Entfernung von Autoheck zu Autoheck s = sa + l =
1
· v 2 + v · t0 + l, wobei l die durchschnittliche Wagenlänge bedeutet.
2b
Folglich fährt ein Auto erst dann in den Tunnel ein, wenn das Fahrzeug vor
ihm die Strecke s im Tunnel zurückgelegt hat. Nach der allseits bekannten
s
Formel s = v · t braucht es dafür die Zeit t = , und wenn man t in Sekunv
den misst, müssen die 3600 Sekunden einer Stunde durch diese Zeit t geteilt
werden, wenn man wissen will, wie viele Autos in einer Stunde den Tunnel
durchfahren können. Nennen wir diese Zahl D ( Durchsatz“), so gilt also:
”
D=
3600
s
v
=
3600 · v
=
s
1
2b
3600 · v
· v 2 + v · t0 + l
Da man die Werte von b, t0 und l als konstant annehmen kann, hängt der
Durchsatz ausschließlich von der am Tunneleingang angezeigten Geschwindigkeit v ab.
a) Wir nehmen zunächst die folgenden Konstanten für b, t0 und l an:
b = 5 sm2 , t0 = 1 s und l = 5 m.
Damit ergibt sich der folgende Durchsatz in Abhängigkeit von v:
D(v) =
3600 v
0, 1 v 2 + v + 5
,
m
wobei v in
gemessen wird.
s
Verwende die aus dem Unterricht bekannten Methoden zur Untersuchung
gebrochen–rationaler Funktionen, um die folgenden Fragestellungen zu
beantworten:
a1) Vervollständige zunächst die folgende Wertetabelle:
42
2.2 Gebrochen-rationale Funktionen
Geschwindigkeit v in
m
s
0
5
10
15
20
25
30
Durchsatz D in Autos pro Stunde
a2) Skizziere den Verlauf von D(v) in einem Diagramm. Wähle den Maßm
stab hierbei so, dass 1 cm auf der v–Achse 5
entspricht, auf der
s
senkrechten Achse soll 1 cm einen Durchsatz von 200 Autos pro Stunde bedeuten.
a3) Welche Geschwindigkeit v muss man am Tunneleingang vorgeben,
damit der Durchsatz D maximal wird, so dass also möglichst viele
Autos pro Stunde den Tunnel passieren können?
a4) Wie groß ist der maximale Durchsatz?
a5) Wie lang sind in diesem Falle der Reaktionsweg sr = v · t0 und der
1
Bremsweg sb =
· v2?
2b
b) Wie verändert sich die Formel für D, wenn man von einer kürzeren Reaktionszeit, und zwar von t0 = 0, 4 s ausgeht? Beantworte hierfür die gleichen Fragen wie in a3) bis a5). Was fällt dir auf?
c) Wie ändert sich die günstigste Geschwindigkeit, wenn man von einem
m
besseren Bremsvermögen der Fahrzeuge ausgeht und b = 10 2 setzt?
s
d) Wenn man die in Autofahrerkreisen weit verbreitete Faustregel Abstand
”
halber Tacho“ anwendet2 , ergibt sich für D eine andere Formel, nämlich
D2 (v) =
3600 v
l + 1, 8 v
d1) Begründe diese Formel.
Hinweis: Wenn v in m/s gemessen wird, so gibt 3, 6 v die Geschwindigkeit
in km/h an.
d2) Inwiefern unterscheidet sich für große Geschwindigkeiten der Graph
dieser Funktion von dem in a2) skizzierten Verlauf von D(v)? Erläutere, ohne den Graphen von D2 (v) zu zeichnen, nur an Hand der Funktionsvorschrift.
d3) Welche Kapazität kann eine zweispurige Autobahn nach deinen Erkenntnissen aus d2) höchstens haben, wenn die Abstand–halber-Tacho–
”
Regel“ (s.o.) eingehalten wird?
2
Hiermit ist gemeint, dass jeder Autofahrer einen Abstand in Metern einhält, der der halben
Tachoanzeige in km/h entspricht.
43
2 Analysis I — Differentialrechnung
2.3 Lösungen
zu Aufgabe 1:
a) Eine Asymptote ist eine gedachte Linie, an die sich der Funktionsgraph
für
x → ±∞ annähert. Asymptoten können Funktionen verschiedenen Grades sein, wie z.B. Geraden, Parabeln usw.
Beispiele: Bei gebrochen–rationalen Funktionen gibt es drei Möglichkeiten:
1. Wenn der Zählergrad kleiner ist als der Nennergrad, nähert sich der
Graph der x–Achse an, da bei x → ±∞ der Nenner schneller als der
Zähler unendlich groß wird und sich die Funktion so Null annähert.
2. Wenn der Zählergrad gleich dem Nennergrad ist, ergibt der Quotient
der Leitkoeffizienten (die Zahlen vor dem x mit größtem Exponenten) die Gleichung der Asymptote an, da bei sehr großen und kleinen
x–Werten jeweils der x–Wert mit größtem Exponenten am schnellsten unendlich groß wird. Da die Exponenten im Nenner und Zähler
aber gleich groß sind, kommt es hier nur auf die Leitkoeffizienten an.
3. Wenn der Zählergrad größer ist als der Nennergrad, muss man durch
Polynomdivision die Gleichung der Asymptote ermitteln. Ob die Asymptote dann geraden- oder parabelförmig bzw. noch höheren Grades
ist, ergibt sich aus der Differenz von Zählergrad und Nennergrad.
b) Man verschiebt den Funktionsgraphen von f um drei Einheiten nach rechts
und um vier Einheiten nach unten, so dass der Punkt, bezüglich dessen man die Punktsymmetrie vermutet bzw. nachweisen will, in den Ursprung zu liegen kommt. Der Graph der durch diese Verschiebung neu
entstandenen Funktion g muss nun punktsymmetrisch bezüglich des Ursprungs sein, was sich mit den altbekannten einfachen Mitteln nachweisen lässt.
Wir führen nun diese Verschiebung durch (einige Umformungsschritte
44
2.3 Lösungen
lassen wir hierbei aus):
2(x − 3)3 + 30(x − 3)2 + 122(x − 3) + 154
−4
3(x − 3)2 + 18(x − 3) + 28
2x3 + 12x2 − 4x + 4
=
−4
3x2 + 1
2x3 + 12x2 − 4x + 4 12x2 + 4
=
−
3x2 + 1
3x2 + 1
3
2x − 4x
=
3x2 + 1
g(x) =
Wie leicht zu erkennen ist, ist das sich ergebende Zählerploynom punktsymmetrisch, das Nennerpolynom achsensymmetrisch. Da Punktsymmetrie durch Achsensymmetrie wieder Punktsymmetrie ergibt, ist die gebrochen–
rationale Funktion g punktsymmetrisch zum Ursprung und damit f punktsymmetrisch zu P.
c) f 0 (x) = 3 · (3x3 − 4x + 1)2 · (9x2 − 4)
1
1
g 0 (x) = · (5x4 − 3x)− 2 · (20x3 − 3)
2
h0 (x) = −20 · (x3 + 5x2 − 4)−5 · (3x2 + 10x)
zu Aufgabe 2:
1. Linearfaktorzerlegung
f (x) =
(x − 2)2 · (x + 2)
2 · (x − 1, 236) · (x + 3, 236)
2. Definitionslücken
Bei x ≈ 1, 236 und x ≈ −3, 236 liegen Polstellen mit Vorzeichenwechsel
vor, da dort im Nenner einfache Nullstellen vorliegen.
3. Nullstellen
Um die Nullstellen der Funktion zu untersuchen setzt man den Zähler
gleich Null. Daraus folgt:
Einfache Nullstelle bei x = −2
Doppelte Nullstelle bei x = 2
4. Schnittpunkt mit der y–Achse
Einsetzen von 0 für x:
8
f (0) =
= −1
⇒ P (0| − 1) ist y–Achsenabschnitt.
−8
5. Symmetrie
Es ist keine Symmetrie erkennbar, da im Nenner- und Zählerpolynom
sowohl gerade als auch ungerade Exponenten vorkommen.
45
2 Analysis I — Differentialrechnung
6. Verhalten im Unendlichen / Asymptote
Zählergrad > Nennergrad ⇒ Polynomdivision
Die Polynomdivision führt auf folgende Darstellungsmöglichkeit der Funktion f :
1
8x − 8
f (x) = x − 2 + 2
2
2x + 4x − 8
1
Also haben wir als Gleichung der Asymptote y = x − 2, d. h. eine
2
schräge Gerade.
7. Extrempunkte
Die erste Ableitung lautet
2x4 + 8x3 − 24x2
f (x) =
(2x2 + 4x − 8)2
0
Man findet die folgenden Nullstellen von f 0 (x):
x = 0 (doppelt), x = −6 und x = 2.
Wenden wir das VZW–Kriterium als hinreichendes Kriterium für Extremstellen an, so ergibt sich, dass wir in H (−6| − 6, 4) einen Hochpunkt
vorliegen haben, in S (0| − 1) einen Sattelpunkt und in T (2|0) einen Tiefpunkt.
8. Für den Graphen von f ergibt sich folgende Skizze:
4
2
0
-2
-4
-6
-8
-10
-10
-8
-6
-4
zu Aufgabe 3:
a1) Die ausgefüllte Wertetabelle lautet:
46
-2
0
2
4
2.3 Lösungen
Geschwindigkeit v in
m
s
0
5
10
15
20
25
30
0
1440
1440
1271
1108
973
864
15
20
Durchsatz D in Autos pro Stunde
a2) Es ergibt sich das folgende Diagramm:
1400
1200
1000
800
600
400
200
0
0
5
10
25
30
a3) Maximalstelle berechnen:
D0 (v) =
−360v 2 + 18000
(0, 1v 2 + v + 5)2
D0 (v) = 0
⇒
v ≈ ±7, 07
Bei Betrachtung des Diagramms kann man davon ausgehen, dass an der
Stelle v = +7, 07 ein Hochpunkt vorliegt.
Für die Aufgabe sind nur positive Geschwindigkeiten (Vorwärtsbewegungen) relevant, also ist bei einer Geschwindigkeit von etwa 7 m/s der
Durchsatz am größten.
a4) Berechnung der y–Koordinate zur Maximalstelle durch Einsetzen in D(v):
D(7, 07) ≈ 1491, 2
Der maximale Durchsatz beträgt etwa 1491 Autos pro Stunde.
a5) Der Reaktionsweg beträgt etwa 7m. Der Bremsweg beträgt etwa 5m.
b) Nun gilt
D(v) =
0, 1v 2
3600v
+ 0, 4v + 5
47
2 Analysis I — Differentialrechnung
und damit
D0 (v) =
−360v 2 + 18000
(0, 1v 2 + 0, 4v + 5)2
ba3) Der maximale Durchsatz wird wieder bei einer Geschwindigkeit von
7 m/s erreicht.
ba4) Durch Einsetzen erhält man: Der maximale Durchsatz beträgt etwa 1984
Autos pro Stunde.
ba5) Der Reaktionsweg beträgt etwa 2,38 m. Der Bremsweg beträgt wiederum 5m.
Es fällt auf, dass bei kürzerer Reaktionszeit trotzdem die Geschwindigkeit
um den maximalen Durchsatz zu erzielen gleich ist. Daher beträgt auch
der Bremsweg 5 m wie bei a).
Der maximale Durchsatz vergrößert sich allerdings und der Reaktionsweg
verkleinert sich. Dies ist damit zu erklären, dass bei geringerer Reaktionszeit eines Fahrers der Sicherheitsabstand (Reaktionsweg) verkleinert werden kann. Dadurch passen auch mehr Autos und den Tunnel (also mehr
Autos auf gleicher Strecke) und der Durchsatz erhöht sich.
c) Nun gilt
D(v) =
3600v
0, 05v 2 + v + 5
und damit
D0 (v) =
−180v 2 + 18000
(0, 05v 2 + v + 5)2
Die Geschwindigkeit für den maximalen Durchsatz betrug bei a) etwa
7 m/s, in diesem Falle etwa 10 m/s. Die günstigste Geschwindigkeit bei
einem besseren Bremsvermögen vergrößert sich also um ca. 3 m/s.
d1) Wenn der Autofahrer sagt Abstand halber Tacho“, drückt er die Abhängig”
keit des Bremsweges von der Geschwindigkeit aus, also etwa Bremsweg
”
= halbe Geschwindigkeit“
d2) Bei großen Geschwindigkeiten wird der Durchsatz immer größer, denn
der Leitkoeffizient im Zähler ist größer als im Nenner. Hiermit ergibt sich
eine Asymptote. Bei großen Geschwindigkeiten nähert sich der Durchsatz
48
2.3 Lösungen
also dem Wert 2000 Autos pro Stunde an. Dieser Wert kann nicht überschritten werden. Unterschiede: Bei a2) ist der Durchsatz bei 7m/s am
größten und sinkt dann wieder ab. Bei d2) aber wird der Durchsatz immer größer bei zunehmender Geschwindigkeit.
d3) Bei den vorherigen Rechnungen ist man von einem einspurigen Autobahntunnel ausgegangen. Bei einer zweispurigen Autobahn müsste sich
der Durchsatz also verdoppeln.
Wie bei d2) ausgerechnet kann bei einer Spur der maximale Durchsatz
von 2000 Autos pro Stunde nicht überschritten werden. Bei zwei Spuren
beträgt also der Durchsatz höchstens 4000 Autos pro Stunde.
49
2 Analysis I — Differentialrechnung
2.4 Verfahren zur Nullstellenbestimmung
2.4.1 Intervallhalbierung
Numerikideen]Idee: Man sucht sich ein Intervall [a; b], in dem das Vorzeichen
wechselt, halbiert das Intervall und wiederholt das Verfahren für die Intervallhälfte, in der das Vorzeichen wechselt. Dies geschieht so oft, bis man für
seine Zwecke genügend Nachkommastellen der gesuchten Nullstelle bestimmt
hat.
2.4.2 Sekantenverfahren - Regula Falsi
Idee: Man berechnet die Sekante durch die Punkte P1 (a|f (a)) und P2 (b|f (b))
und nimmt die Nullstelle der Sekante (die in den meisten Fällen näher an der
50
2.4 Numerische Verfahren zur Nullstellenbestimmung
Nullstelle von f(x) liegt) als nächste Sektionsstelle.
2.4.2.1 Eine vereinfachte Formel zur Durchführung der Regula Falsi
Verallgemeinerung: Wie lautet die Formel für xn+1 , wenn xn−1 und xn bekannt
sind?
gegeben sind: P (xn |yn ) und Q(xn−1 |yn−1 )
in die Punkt-Steigungs-Formel einsetzen:
s(x) − yn =
yn − yn−1
· (x − xn )
xn − xn−1
Nach der obigen Vorgabe, dass wir nämlich die Nullstelle der Sekante s(x) als
nächsten Wert xn+1 verwenden, wenn wir also s(xn+1 ) = 0 setzen, vereinfacht
sich die obige Gleichung zu
−yn =
yn − yn−1
· (xn+1 − xn ) = mxn+1 − mxn
xn − xn−1
Es ergibt sich nach Umformung die allgemeine Formel für den nächsten Annäherungsschritt an die gesuchte Nullstelle:
xn+1 = xn −
f (xn )
yn − yn−1
, mit m =
m
xn − xn−1
Beispiel:
gegeben ist die Funktion f (x) = sin(x):
Startwerte sind x0 = 3 und x1 = 3, 2, die beiden Werte in die Formel einsetzen:
x2 = 3, 2 −
sin(3, 2)
sin(3,2)−sin(3)
3,2−3
= 3, 2 −
sin(3, 2) · (3, 2 − 3)
sin(3, 2) · sin(3)
x2 = 3, 14147784
Für den nächsten Schritt verwendet man dann die Werte von x1 und x2 .
51
2 Analysis I — Differentialrechnung
2.4.3 Von der Sekante zur Tangente — Das
Newton–Verfahren
Voraussetzung: f ist differenzierbar und man kann f 0 (x) berechnen.
Idee: Man nimmt eine Stelle xn in der Nähe der gesuchten Nullstelle als Startwert (im Gegensatz zur Regula Falsi, wo man zwei Startwerte benötigte) und
verwendet die Nullstelle der Tangente durch den Punkt (xn |f (xn ) ) als nächste
Annäherung xn+1 an die Nullstelle.
tn (x) = f 0 (xn ) · (x − xn ) + yn
Nimmt man nun gemäß der obigen Erläuterung tn (xn+1 ) = 0 an, so ergibt sich
hieraus
⇒ 0 = f 0 (xn ) · (xn+1 − xn ) + yn
Umgeformt nach xn+1 erhalten wir die folgende Berechnungsformel für die
nächste Annäherung an die Nullstelle:
xn+1 = xn −
f (xn )
f 0 (xn )
Beispiel:
√
2: Berechnung mit dem Startwert x0 = 2 und der vorgegebenen Funktion
f (x) = x2 − 2, woraus f 0 (x) = 2x folgt.
Ergebnisse:
x1 = 1, 5
x2 = 1.416
52
2.4 Numerische Verfahren zur Nullstellenbestimmung
x3 = 1, 414215686
x4 = 1, 414213562
2.4.4 Verallgemeinerung: Fixpunktverfahren
Fragestellung: Was ist ein Fixpunkt?
Fixpunkte nennt man bei einer Funktion f diejenigen Punkte P (xp |f (xp ) ), für
die gilt f (xp ) = xp , also graphisch die Schnittpunkte des Funktionsgraphen
mit der Winkelhalbierenden y = x (siehe obiges Diagramm, in dem auf Grund
der unterschiedlichen Skalierung die Gerade y = x allerdings nicht wie eine
Winkelhalbierende aussieht).
Was haben Fixpunkte mit Nullstellen zu tun?
Angenommen, man hätte ein Verfahren, mit dem man Fixpunkte berechnen
kann, wie kann man dann ein solches Verfahren nutzen, um die Nullstellen
einer Funktion zu berechnen?
Nehmen wir einmal an, wir möchten von einer Funktion f (x) eine Nullstelle
bestimmen, z. B. von
f (x) = 3x4 + 2x3 − 4
Definieren wir uns nun eine Funktion g(x) = f (x) + x, so ist die x–Koordinate
eines Fixpunktes von g gleichzeitig auch Nullstelle der Funktion f . Im obigen
Beispiel ist es also gleichgültig, ob man einen Fixpunkt der Funktion
g(x) = f (x) + x = 3x4 + 2x3 + x − 4
bestimmt oder eine Nullstelle der Funktion
f (x) = 3x4 + 2x3 − 4
53
2 Analysis I — Differentialrechnung
Wie könnte nun die Rechenvorschrift für ein Verfahren aussehen, das Fixpunkte bestimmt?
Man hat herausgefunden, dass in vielen Fällen die Folge
xn+1 = g(xn )
gegen einen Fixpunkt konvergiert. Näheres zu den Voraussetzungen für die
Konvergenz siehe weiter unten.
2.4.4.1 Beispiele für das Fixpunktverfahren
1.) g(x) =
x1
x2
x3
x4
x5
x6
√
3x + 10
hat den Fixpunkt 10 und als Startwert wählen wir x0 = 3:
x+3
= 3, 16
= 3, 162
= 3, 162280702
= 3, 16227758
= 3, 162277662
= 3, 16227766
2.) g(x) =
√
x3 + 6x
2
hat den Fixpunkt 2 und als Startwert wählen wir x0 = :
2
3x + 2
3
x1 = 1, 28
x2 = 1, 413931709
x3 = 1, 414213562
3.) f (x) = 3x4 + 2x3 − 4 und g(x) = 3x4 + 2x3 + x − 4, gewählter Startwert:
x0 = 0, 5
x1 = g(x1 ) = −3.0625
x2 = g(x2 ) = 199, 38
Wie man sieht, ist für dieses Beispiel dieses Verfahren nicht möglich! Wir untersuchen im Folgenden wie oben angekündigt, woran das liegt.
Fragestellung: Warum konvergiert in vielen Fällen die Folge xn+1 gegen einen
Fixpunkt und unter welchen Voraussetzungen geschieht das?
Geometrische Voraussetzungen im KO–System (s. Beispielblatt unten)
Die Folge xn+1 = f (xn ) konvergiert gegen den Fixpunkt, wenn sich der Graph
von f im Intervall [x0 ; x] in dem rechten bzw. linken Sektor des Kreuzes befindet, das aus der Gerade y = x (Winkelhalbierende) und der Gerade gebildet,
54
2.4 Numerische Verfahren zur Nullstellenbestimmung
wird, die senkrecht auf y = x und durch den Fixpunkt verläuft.
Vom Startwert bis zum Fixpunkt müssen alle Punkte in diesem Dreieck sein,
damit eine Folge gegen einen Fixpunkt konvergiert.
Mathematische Erklärung:
|f (x) − x| < |x − x|
|xn+1 − x| < |xn − x|
|f (xn ) − x| < |xn − x|
⇔ |f (xn ) − x| = k · |xn − x|; k ∈]0; 1[
⇔
(gleichbedeutend mit 0 < k < 1)
|f (xn ) − x|
=k
|xn − x|
Unter der Voraussetzung, dass |f (xn ) − x| = k · |xn − x| ist, funktioniert das
Fixpunktverfahren.
(k = Kontraktionskonstante)
55
2 Analysis I — Differentialrechnung
2.5 Kurvenscharen
2.5.1 Was ist eine Kurvenschar?
Unter einer Kurvenschar versteht man die (unendlich vielen) Graphen einer
Funktion, in der neben der üblichen Variablen x auch noch ein Parameter auftritt. Für jeden Wert, den der Parameter annimmt, ergibt sich dann ein unterschiedlicher Funktionsgraph. Als Beispiel schauen wir uns die Funktionenschar
fr (x) = rx2
an. Hierin spielt r die Rolle des Parameters. Setzt man zum Beispiel für r = 2,
so erhält man den folgenden Vertreter der Kurvenschar:
f2 (x) = 2x2
Um eine Kurvenschar zeichnerisch darzustellen, skizziert man mehrere Vertreter der Kurvenschar in das gleiche Koordinatensystem, um dem Betrachter
ein Gefühl dafür zu vermitteln, wie sich die Veränderung des Parameters auf
die Gestalt des Funktionsgraphen auswirkt:
2.5.2 Aufgaben zu ganzrationalen Kurvenscharen
2.5.2.1 ft (x) = x3 − 3t2 x,
t ∈ R+
0
Für welchen Wert von t
a) geht Kt durch A(3|0)
b) ist die 2. Winkelhalbierende Tangente im Ursprung
c) liegen die Extrempunkte auf der 2. Winkelhalbierenden
d) ist die Tangente im Schnittpunkt mit der positiven x-Achse parallel zur 1.
Winkelhalbierenden?
56
2.5 Kurvenscharen
a) Den Punkt A(3|0) in die Funktionsgleichung einsetzen:
0
0
t2
t
=
=
=
=
33 − 3t2 · 3
27 − 9t2
3
√
√
+ 3 (t = − 3 ∈
/ Dt )
f√3 (x) = x3 − 9x ist die gesuchte Funktion.
b) Die Steigung von ft in x = 0 muss -1 sein.
ft0 (0) = −1
ft0 (x) = 3x2 − 3t2
−3t2 = −1
r
1
t =
3
Hervorzuheben ist, dass wir zum Ableiten von ft (x) nur die x beachtet
haben. Der Parameter bleibt unverändert erhalten, weil er wie eine konstante Zahl behandelt wird (→ Faktorregel)
In diesem Beispiel ergab sich daher für die 1. Ableitung: f 0 (x) = 3x2 − 3t2
c) Es gilt: ft (x) = x3 −3t2 x und f 0 (x) = 3x2 −3t2 , zuerst wird der Extrempunkt
ermittelt: f 0 (x) = 0
3x2 − 3t2 = 0
x = ±t
Es ergeben sich die Extrempunkte P1 (t| − 2t3 ) und P2 (−t|2t3 ), der Extrempunkt soll auf y = −x liegen:
y = −x = −2t3
da x = t gilt, kann das x in der Gleichung ersetzt werden:
−t = −2t3
t − 2t3 = 0
t · (1 − 2t2 ) = 0
also ist:
t=0
∨
t2 =
1
2
57
2 Analysis I — Differentialrechnung
r
t=0
∨
t=±
1
2
q
Hier sind allerdings nur t = 12 und t = 0 relevant, da für t nur alle positiven reellen Zahlen inklusive 0 möglich sind (siehe Aufgabenstellung).
Wird die hinreichende Bedingung angewandt, so ist zu erkennen, dass
bei t = 0 kein Extrempunkt, sondern ein Sattelpunkt vorliegt und somit
als mögliche Lösung ausscheidet.
Nun kann der zweite Extrempunkt P2 (−t|2t3 ) ebenfalls untersucht werden, doch ergibt sich das gleiche Ergebnis und wird daher nicht weiter
aufgeführt.
q
Der Extrempunkt liegt also nur für den Wert t =
bierenden.
1
2
auf der 2. Winkelhal-
d) Berechnung des Schnittpunktes mit der positiven x-Achse (Nullstelle):
ft (x) = x3 − 3t2 x = 0
x · (x2 − 3t2 ) = 0
x=0
(x = 0)
x2 = 3t2
∨
∨
√
(x = − 3t)
∨
√
x = + 3t
Um nun t zu ermitteln, lässt sich folgende Beziehung aufstellen:
√
ft0 (x0 ) = ft0 ( 3t) = 1
| mit ft0 (x) = 3x2 − 3t2
√
√
ft0 ( 3t) = 3( 3 · t)2 − 3t2 = 1
6t2 = 1 r
1
t = ±
6
r
Auch hier gilt nur die Lösung t =
2.5.2.2 fa (x) = − 2a12 x4 + a1 x3 ,
1
.
6
a ∈ R+
0
Durch fa (x) = − 2a12 x4 + a1 x3 , a ∈ R+
0 , ist eine Funktionenschar gegeben. Die
zugehörigen Parabeln seien Ka .
a) Bestimme die Schnittpunkte von Ka mit den Koordinatenachsen, Hoch-,
Tief- und Wendepunkte.
b) Die Normale Ka im (von 0 verschiedenen) Wendepunkt W schneidet die xAchse in P. Berechne den Flächeninhalt A des Dreiecks OPW. Für welches a
beträgt A 13 FE?
58
2.5 Kurvenscharen
a)
1. Schnittpunkte mit den Koordinaten-Achsen:
Nullstellen:
1
1
− 2 x4 + x3 = 0
2a
a
1
1
x3 · (− 2 x + ) = 0
2a
a
1
1
x = 0 (dreifach) ∨ − 2 x + = 0
2a
a
x = 0 ∨ x = 2a
y-Achsenabschnitt:
f (0) = 0
2. Extrempunkte:
fa0 (x) = −
4 3 3 2
x + x
2a2
a
notwendige Bedingung: fa0 (x) = 0
−
2
3
4 3 3 2
x + x = − 2 x3 + x2 = 0
2
2a
a
a
a
x2 · (−
2
3
x+ )=0
2
a
a
x = 0 (doppelt) ∨ −
2
3
x
+
=0
a2
a
3a
2
hinreichende Bedingung: fa0 (x) = 0 ∧ fa00 (x) 6= 0
x=0 ∨ x=
fa00 (x) = −
12 2 6
x + x
2a2
a
fa00 (0) = 0
für x = 0 ist zuerst keine Entscheidung möglich, doch stellt sich
später heraus, dass es sich hierbei um eine Sattelstelle handelt.
2
3a
12
3a
6 3a
00
fa
=− 2 ·
+ ·
= −4, 5 < 0
2
2a
2
a 2
x=
3a
ist Maximalstelle.
2
59
2 Analysis I — Differentialrechnung
3. Wendepunkte:
fa00 (x) = −
12 2 6
x + x
2a2
a
notwendige Bedingung: fa00 (x) = 0
6
6
x · − 2x +
=0
a
a
6
6
x+ =0
2
a
a
x=0 ∨ x=a
x=0 ∨ −
Nach der Anwendung der hinreichenden Bedingung ergeben sich als
Wendepunkte: W1 (0|0) und W2 (a|0, 5a2 )
b) Es gilt allgemein für den Flächeninhalt A eines Dreiecks: A = 21 · g · h, dies
lässt sich wie folgt auf die Aufgabe beziehen: A = 21 · yw · xp
Aus Teilaufgabe a) ergibt sich der Wendepunkt: W (a|0, 5a2 ), woraus sich
xw = a ergibt.
Die Steigung der Tangente in dem Wendepunkt lässt sich wie folgt ermitteln:
mt = fa0 (x) = −
2 3 3 2
x + x
a2
a
wobei x = a ist:
mt = fa0 (a) = −2a + 3a = a
Aus mt ergibt sich die Steigung der Normalen, die sich aus dem negativen
1
Kehrwert von mt zusammensetzt: mn = −
a
Für die Normalengleichung wird mn in die Punkt-Steigungs-Form eingesetzt:
y = mn · (x − a) + fa (a)
1
y = − x + 1 + 0, 5a2
a
Nullstelle bestimmen um xp zu ermitteln:
1
− x + 1 + 0, 5a2 = 0
a
xp = 0, 5a3 + a
60
2.5 Kurvenscharen
für A gilt:
A=
1
· yw · xp
2
1
· 0, 5a2 · (0, 5a3 + a)
2
1
= · (0, 25a5 + 0, 5a3 )
2
= 0, 125a5 + 0, 25a3
=
der Flächeninhalt soll 13 FE groß sein:
0, 125a5 + 0, 25a3 = 13
a5 + 2a3 − 104 = 0
Untersuchung von f auf VZW, um herauszufinden an welcher Stelle sich
eine Nullstelle befindet:
f (2) = 25 + 2 · 23 − 104 = −56
f (3) = 35 + 2 · 33 − 104 = 193
Anwendung des Newton-Verfahrens:
f (a) = a5 + 2a3 − 104 und f 0 (a) = 5a4 + 6a2
xn+1 = xn −
f (xn )
f 0 (xn )
Startwert: x0 = 2, 5
x1 = 2, 5 − ff0(2,5)
= 2, 393020134
(2,5)
x2 = 2, 383527898
x3 = 2, 38345837
x4 = 2, 383458366
Für a ≈ 2, 38 beträgt der Flächeninhalt A 13 FE.
2.5.2.3 fk (x) = x2 + kx − k,
k∈R
Durch fk (x) = x2 +kx−k, k ∈ R, ist eine Funktionenschar gegeben. Das Schaubild von fk sei Ck .
a) Berechne die Schnittpunkte von Ck mit der x-Achse. Für welchen Wert von
k sind 2 (1; 0) Schnittpunkte vorhanden?
b) Ermittle den Tiefpunkt von Ck .
c) Zeige, dass alle Kurven Ck durch den Punkt S(1|1) gehen.
61
2 Analysis I — Differentialrechnung
d) Für welche k-Werte berührt Ck die x-Achse?
e) Für welchen Wert k1 ∈ R ist das Minimum von fk am größten?
f) Gib die Gleichung der Kuve an, auf der alle Tiefpunkte der Kurvenschar liegen. (Anleitung: Drücke die Koordinaten xT und yT des Tiefpunktes Ck durch k
aus; eliminiere k.)
a) Nullstellen von fk (x) = x2 + kx − k bestimmen:
x2 + kx − k = 0
s 2
k
k
+k
x1,2 = − ±
2
2
k2
Die Diskriminante
+ k entscheidet über die Anzahl der Schnittpunkte
4
mit der x-Achse.
Hierbei gibt es 3 mögliche Fälle:
D > 0, dann ergeben sich 2 Lösungen
D = 0, eine Lösung
D < 0, keine Lösung
1.Fall: 2 Lösungen
k2
+k >0
4
k 2 + 4k > 0
k · (k + 4) > 0
Der letzte Term ist positiv, wenn beide Faktoren entweder positiv oder negativ sind:
a) k > 0 und k + 4 > 0 lässt sich zusammenfassen zu k > 0.
b) k < 0 und k + 4 < 0 lässt sich zusammenfassen zu k < −4
Somit gilt: Wenn k > 0 oder k < −4, dann hat die Funktion 2 Schnittpunkte mit der x-Achse.
2.Fall: 1 Lösung
k2
+k =0
4
k · (k + 4) = 0
Wenn k = 0 oder k = −4 ist, dann gibt es jeweils einen Schnittpunkt.
62
2.5 Kurvenscharen
3.Fall: keine Lösung
k2
+k <0
4
k · (k + 4) < 0
Fallunterscheidung:
a) k < 0 und k + 4 > 0 bedeutet: −4 < k < 0
b) k > 0 und k + 4 < 0 ist nicht möglich, da k nicht k > 0 und k < −4 sein
kann
Es gibt also keine Lösungen, wenn gilt: −4 < k < 0
b) Tiefpunkt von fk (x) = x2 + kx − k ermitteln:
fk0 (x) = 2x + k
notwendige Bedingung: fk0 (x) = 0
2x + k = 0
k
2
y-Wert bestimmen:
2
k
k
k
f −
= −
+k· −
−k
2
2
2
k
1
f −
= − k2 − k
2
4
k 1 2
Tiefpunkt von Ck : T − − k − k
2
4
x=−
c) fk (x) = x2 + kx − k soll durch den Punkt S(1|1) verlaufen:
1=1+k−k
1=1
allgemein: Will man zeigen, dass alle Funktionsgraphen einer Schar eine
bestimmte Eigenschaft haben (hier der Punkt S(1|1)), so muss der Parameter k bei der Rechnung herausfallen.
63
2 Analysis I — Differentialrechnung
d) Da es sich bei der Funktion fk (x) = x2 + kx − k um eine Parabel handelt,
die nur in ihrem Extrempunkt die x-Achse berührt, ergibt sich die Lösung
aus dem 2. Fall der Teilaufgabe a).
k
1
e) Tiefpunkt: T (− | − k 2 − k)
2
4
1
t(k) = − k 2 − k
4
2
t0 (k) = − k − 1
4
notwendige Bedingung: t0 (k) = 0
2
− k−1=0
4
k = −2
hinreichende Bedingung: VZW von t00 (k) an der Stelle k = −2
t00 (k) = −
2
4
2
t00 (−2) = − < 0
4
Wenn k = −2 ist, dann ist das Minimum von fk am größten.
k 1 2
f) Tiefpunkt: T − − k − k
2
4
daraus ergibt sich:
x=−
k
⇐⇒ k = −2x
2
und:
1
y = − k2 − k
4
k = −2x einsetzen:
1
y = − · (−2x)2 − (−2x)
4
y = −x2 + 2x
64
2.5 Kurvenscharen
2.5.2.4 ft (x) = −
1 4 t 3
x + x,
18
3
t ∈ R+
1
t
Für jedes t ∈ R+ ist durch ft (x) = − x4 + x3 eine Funktionenschar festge18
3
legt.
a) Führe eine vollständige Kurvendiskussion für ft durch. Zeichne f1 und
f 1 in dasselbe Koordinatensystem (LE=1 cm).
2
b) Untersuche, ob alle Schaubilder gemeinsame Punkte haben.
c) Zeige, dass die Hochpunkte aller Parabeln auf der Ortslinie mit der
1
Gleichung y = x4 liegen.
54
d) Die Tangente im (von O verschiedenen) Wendepunkt von ft bildet mit
den Koordinatenachsen ein Dreieck. Bestimme seinen Flächeninhalt.
zu a)
Symmetrie
Es ist keine Symmetrie erkennbar, da die Funktion gerade und ungerade
Potenzen von x aufweist.
Schnittpunkte mit den KO–Achsen
Der y–Achsenabschnitt liegt bei N (0|0).
1
t
Die Suche nach Nullstellen führt auf die Gleichung x · − x +
= 0.
18
3
Hieraus folgt, dass es sich bei x = 0 um eine dreifache Nullstelle handelt,
eine vierte Nullstelle liegt bei x = 6t.
3
Extrempunkte
Die ersten drei Ableitungen lauten
2
ft0 (x) = − x3 + tx2
9
2
ft00 (x) = − x2 + 2tx
3
4
ft000 (x) = − x + 2t
3
Die notwendige Bedingung ft0 (x) = 0 führt auf x = 0 (doppelte Nullstel9t
le der ersten Ableitung) oder x =
als potentielle Extremstellen. Setzt
2
man diese potentiellen Extremstellen zur Überprüfung der hinreichenden
Bedingung in die zweite Ableitung ft00 (x) ein, so erhält man ft00 (0) = 0.
Hieraus kann man zunächst keine Schlussfolgerung ziehen, aber entweder über eine Überprüfung der ersten Ableitung auf VZW an der Stelle
65
2 Analysis I — Differentialrechnung
x = 0 oder über die Tatsache, dass eine doppelte Nullstelle der ersten Ableitung an der Stelle x = 0 bedeutet, dass dort kein VZW vorliegt, kann
man begründen, dass in x = 0 ein Sattelpunkt S (0|0) vorliegen muss.
Eine Berechnung der zweiten Ableitung an der Stelle der zweiten potentiellen Extremstelle ergibt
9t
9t2
00
ft
=−
<0
2
2
Also liegt an der Stelle x =
9t
2
9t
ein Hochpunkt vor:
2
19 4
·t
32
9t 19 4
Also haben wir H
7 · t .
2 32
ft
=7
Wendepunkte
Die notwendige Bedingung ft00 (x) = 0 führt auf x = 0 (einfache Nullstelle
der zweiten Ableitung) oder x = 3t als potentielle Wendestellen. Setzt
man diese potentiellen Wendestellen zur Überprüfung der hinreichenden
Bedingung in die dritte Ableitung ft000 (x) (s.o.) ein, so erhält man ft000 (0) =
2t > 0 und ft000 (3t) = −2t < 0. An der Stelle x = 0 liegt also ein RL–
Wendepunkt mit den Koordinaten W1 (0|0) vor, an der Stelle x = 3t ein
LR–Wendepunkt mit den Koordinaten W2 (3t|4, 5t4 ).
66
2.5 Kurvenscharen
Skizze
1
1
t = 1 ⇒ f1 (x) = − x4 + x3
18
3
1
1 4 1 3
t = ⇒ f0,5 (x) = − x + x
2
18
6
zu b) Das Problem lässt sich in die Frage übersetzen, was man für x einsetzen
muss, damit t wegfällt. Hierzu gehen wir von zwei verschiedenen Funktionen ft1 und ft2 aus, für welche x diese den gleichen Wert unabhängig
von t liefern:
1 4
x +
18
1
ft2 (x) = − x4 +
18
ft1 (x) = −
1 3
t1 x
3
1 3
t2 x
3
Da wir auf der Suche nach gemeinsamen Punkten sind, setzen wir die
beiden Funktionen gleich und erhalten
1 4 1 3
1
1
x + t1 x = − x4 + t2 x3
18
3
18
3
1 3 1 3
t1 x − t2 x = 0
3
3
1 3
x · (t1 − t2 ) = 0
3
−
67
2 Analysis I — Differentialrechnung
Da man von zwei verschiedenen Funktionen ausgegangen ist, also von
t1 6= t2 , bleibt als Lösung nur x = 0. Der einzige Punkt, der allen Funktionsgraphen gemein ist, ist also P (0|0).
zu c) Für die
Hochpunkte
hatten wir herausgefunden, dass sie die Koordi9t 19 4
naten H
7 · t haben. Zur Bestimmung der Ortskurve eliminieren
2 32
2x
9t
wir aus den beiden Koordinaten den Parameter t. x =
wird zu t =
,
2
9
eingesetzt in y ergibt sich
19
19
y = 7 t4 = 7
32
32
2x
9
4
=
1 4
x
54
zu d) Für den Wendepunkt hatten wir herausgefunden, dass er in W 3t| 92 t4
liegt. Im Wendepunkt haben wir dann eine Steigung von f 0 (3t) = 3t3 . Mit
Hilfe der Punkt–Steigungs–Form ergibt sich für die Wendetangente die
Gleichung
9
t(x) = (3t3 )x − t4
2
Die Wendetangente schneidet die y–Achse in − 92 t4 . Der Schnittpunkt mit
der x–Achse ergibt sich aus der Nullstelle:
9
0 = (3t3 )x − t4
2
3
Diese Gleichung ergibt x = als Nullstelle der Tangente.
2
Für den Flächeninhalt des gesuchten Dreiecks erhalten wir nach der all1
seits bekannten Formel A = gh
2
1 3
9 4
27
A= · t·
t = t5
2 2
2
8
2.5.2.5 ft (x) = tx4 − 2x2 + 1,
t ∈ R\0
Gegeben sei eine Funktionenschar durch ft (x) = tx4 − 2x2 + 1 mit t ∈ R\0.
a) Für welches t hat ft an der Stelle x = −2 eine Tangente mit der Steigung
4? Zeichne den Graphen ft .
b) An welcher Stelle haben alle Funktionen ft (x) die gleiche Ableitung m?
Berechne m.
68
2.5 Kurvenscharen
c) Für welche t hat ft keine Wendepunkte?
d) Bestimme t so, dass ft zwei zueinander orthogonale Wendetangenten
hat.
zu a) Die Funktion ft (x) = tx4 − 2x2 + 1 hat als erste Ableitung ft0 (x) = 4tx3 −
4x. Nun ist verlangt, dass in x = −2 die Steigung des Funktionsgraphen 4
betragen soll. Hieraus ergibt sich die Forderung
ft0 (−2) = 4t · (−2)3 − 4 · (−2) = 4
1
Wir erhalten nach t aufgelöst t = .
8
zu b) Die Ableitung von ft lautete ft0 (x) = 4tx3 − 4x. Für zwei verschiedene
Funktionen nehmen wir ft01 (x) = 4t1 x3 − 4x und ft02 (x) = 4t2 x3 − 4x an.
Die Forderung nach der gleichen Steigung mündet in die Gleichung
4t1 x3 − 4x = 4t2 x3 − 4x
Umgeformt:
4x3 · (t1 − t2 ) = 0
Bei der gesuchten Stelle handelt es sich also um x = 0. Die Steigung beträgt m = 0.
zu c) Die zweite Ableitung lautet ft00 (x) = 12tx2 − 4. Die notwendige
r Bedin1
gung für einen Wendepunkt führt auf 12tx2 − 4 = 0 ⇐⇒ x = ±
. Der
3t
letzte Ausdruck ist nicht definiert, falls t < 0 ist, daher gibt es für alle ft
mit t < 0 keinen Wendepunkt.
r
1
.
3t
Der Funktionswert an dieser Stelle muss zur Lösung dieser Teilaufgabe
nicht berechnet werden. Da die erste Ableitung ft0 (x) = 4tx3 − 4x lautete,
ergibt sich für die Steigung in den beiden Wendepunkten
zu d) Wie gerade gesehen, liegt der Wendepunkt an der Stelle x = ±
r
ft0
r
ft0
−
1
3t
!
1
3t
!
!3
r !
r !
r !
r
1
1
1
1
1
8
1
−4·
= 4t ·
·
−4·
=− ·
3t
3t
3t
3t
3t
3
3t
r !3
r !
r !
r !
r
1
1
1
1
1
8
1
+4·
= −4t ·
·
+4·
= ·
3t
3t
3t
3t
3t
3
3t
r
= 4t ·
= −4t ·
69
2 Analysis I — Differentialrechnung
Die Forderung, dass die beiden Wendetangenten senkrecht aufeinander
stehen sollen, kann man mathematisch formulieren als mW1 · mW2 = −1.
Wir erhalten
r
r
8
1 8
1
− ·
· ·
= −1
3
3t 3
3t
Nach t umgeformt erhalten wir schließlich t =
t
2.5.2.6 ft (x) = x3 + x2 + (t + 1)x,
2
64
.
27
t∈R
t
Für jede Zahl t ∈ R ist durch ft (x) = x3 + x2 + (t + 1)x ein Funktionsgraph
2
ft gegeben.
a) Es gibt zwei Punkte, die auf allen Funktionsgraphen liegen. Gib ihre
Koordinaten an.
b) Zeige: Es gibt eine Stelle x0 , für welche die Tangenten aller Graphen ft
parallel sind. Gib x0 und die Steigung der Tangenten an.
c) Für welche t–Werte schneidet ft die zweite Winkelhalbierende y = −x
dreimal (zweimal, einmal)?
d) Skizziere die Kurvenschar, indem du f−1 , f0 , f1 , f2 und f3 zeichnest.
zu a) Wir setzen wie bei den vorigen Aufgaben wiederum an:
t1 2
x + (t1 + 1)x
2
t2
ft2 (x) = x3 + x2 + (t2 + 1)x
2
ft1 (x) = x3 +
Gleichsetzen:
t1 2
t2
x + (t1 + 1)x = x3 + x2 + (t2 + 1)x
2
2
t1
t2
⇐⇒ x ·
x + t1 + 1 − x − t2 − 1 = 0
2
2
t1
t2
⇐⇒ x = 0 ∨
x − x + t1 − t2 = 0
2
2
1
⇐⇒ x = 0 ∨
x · (t1 − t2 ) + t1 − t2 = 0
2
1
t1 − t2
⇐⇒ x = 0 ∨
x=−
=0
2
t1 − t2
x3 +
70
2.5 Kurvenscharen
⇐⇒ x = 0
∨
x = −2
t
Es gilt: ft (0) = 0 und ft (−2) = (−2)3 + · (−2)2 + (t + 1) · (−2) = −10. Bei
2
den beiden gesuchten gemeinsamen Punkten handelt es sich daher um
P1 (0|0) und P2 (−2| − 10).
zu b) Wie bei allen Aufgaben, in denen wir zeigen sollen, dass alle Funktionsgraphen einer Schar eine bestimmte gleiche Eigenschaft haben, setzen
wir wieder an:
t1
+ t1 + 1
x
t2
ft02 (x) = 3x2 + + t2 + 1
x
ft01 (x) = 3x2 +
Gleichsetzen ergibt
3x2 +
t1
t2
+ t1 + 1 = 3x2 + + t2 + 1
x
x
Umgeformt erhalten wir x = −1. Die gesuchte Steigung ist ft0 (−1) = 3 −
t + t + 1 = 4.
zu c) Zur Berechnung der Schnittpunkte von ft (x) mit der zweiten Winkelhalbierenden setzen wir die Gleichungen der beiden Kurven gleich:
t
x3 + x2 + (t + 1)x = −x
2
t
2
x· x + x+t+2 =0
2
t
x2 + x + t + 2 = 0
2
r
t
t2
x = 0 ∨ x1,2 = − ±
−t−2
4
16
Für die Anzahl der Lösungen ist nun das Vorzeichen des Radikanden entscheidend. Ist der Radikand positiv, so gibt es zwei Lösungen, ist er gleich
Null, so gibt es eine Lösung, ist er kleiner Null, dann ist die Wurzel nicht
definiert und es gibt keine Lösung.
Nun muss man sich fragen, für welche Parameter t der Radikand das Vorzeichen wechselt. Das tut er natürlich dort, wo er gleich Null wird. Daher
setzen wir an:
x=0
∨
t2
− t − 2 = 0 ⇐⇒ t2 − 16t − 32 = 0 ⇐⇒ t ≈ 17, 8
16
∨
t ≈ −1, 8
71
2 Analysis I — Differentialrechnung
Eine Sonderrolle ergibt sich für den Parameter t = 2, weil dann eine der
beiden Lösungen für x1,2 (siehe oben) mit der Lösung x = 0 übereinstimmt.
Zusammengefasst erhalten wir:
3 Lösungen für (t < −1, 8 ∧ t 6= −2) ∨
2 Lösungen für t ≈ 17, 8 ∨ t ≈ −1, 8
1 Lösung für −1, 8 < t < 17, 8
t > 17, 8
∨ t = −2
zu d) Skizze der Funktionenschar:
2.5.3 Klausur Nr. 2
2.5.3.1 Aufgaben
Aufgabe 1: Zum Warmrechnen
a) Beschreibe kurz mit Hilfe von Skizzen die Grundideen der folgenden Verfahren zur Nullstellenbestimmung von Funktionen (keine Herleitung der
Iterationsvorschriften!):
- Intervallhalbierung
- Regula Falsi
- Newton–Verfahren
b) Skizziere eine Situation, in der das Fixpunktverfahren konvergiert und
eine, in der es nicht konvergiert.
72
2.5 Kurvenscharen
√
c) Gesucht ist ein Näherungswert für√3 5. Stelle eine möglichst einfach abzuleitende Funktion f (x) auf, die 3 5 als Nullstelle hat (wenn du keine
findest, frage deinen Mathelehrer), wähle x0 = 2 als Startwert und berechf (xn )
ne nach dem Newton–Verfahren xn+1 = xn − 0
die Iterationen bis
f (xn )
einschließlich x3 .
d) Zeige, dass die Funktion g(x) =
Intervall [1,5;2] in sich abbildet.
√
6x + 5
den Fixpunkt 3 5 hat und das
2
x +6
e) Berechne mit dem Startwert x0 = 2 nach dem Fixpunktverfahren xn+1 =
g(xn ) mit der Funktion g(x) aus Teilaufgabe d) die Iterationen bis einschließlich x3 .
√
f) Berechne mit dem Taschenrechner einen möglichst exakten Wert für 3 5
und vergleiche mit den Ergebnissen für x3 aus den vorhergehenden Aufgaben. Welches der beiden Verfahren ist demnach in diesem Fall das bessere?
Aufgabe 2: Ganzrationale Kurvenscharen
Gegeben ist die Funktionenschar
ft (x) =
1
x · (x − t)2 ,
12
t>0
a) Berechne die Nullstellen, Extrem- und Wendepunkte der Funktionenschar.
b) Bestimme die Ortskurven oH , oT und oW , auf denen die Hoch-, Tief- bzw.
Wendepunkte liegen.
c) Zeige, dass die Wendetangente der Funktion ft durch die folgende Gleichung beschrieben wird:
wt (x) = −
1 2
2 3
·t ·x+
·t
36
81
Hinweis:
Falls duin a) keinen Wendepunkt errechnen konntest, verwende bitte
2 1
W
· t
· t3 .
3
162
d) Für welches t steht die Wendetangente parallel zur zweiten Winkelhalbierenden y = −x?
e) Für welches t schließt die Wendetangente mit den Koordinatenachsen ein
Dreieck mit dem Flächeninhalt 72 F. E. ein?
73
2 Analysis I — Differentialrechnung
Aufgabe 3:
Zum Newton–Verfahren
Gegeben ist die Normalparabel y =
x2 und der Punkt P (1|3) (siehe die
Skizze rechts). Auf der Parabel gibt
es drei Punkte, die vom Punkt P einen
extremalen Abstand haben (Vorsicht
— hiermit sind lokale Extrema gemeint!). Diese drei Punkte A, B und
C sind ebenfalls auf der Skizze zu
erkennen.
C
A
B
a) Zeige, dass der Abstand d(x) des
Punktes P von einem Punkt mit
den Koordinaten (x|x2 ) berechnet
werden kann zu
√
d(x) = x4 − 5x2 − 2x + 10
Tipp (auf vielfachen Wunsch):
Die Formel für den Abstand zwischen zwei Punkp
ten A und B lautet d = (xA − xB )2 + (ya − yB )2 .
b) Übertrage die nachstehende Wertetabelle für d(x) auf deinen Klausurbogen und fülle sie aus:
-3
x
-2
-1,5
-1
-0,5
0
0,5
1
1,5
2
3
d(x)
c) Skizziere den Graphen von d(x) im Intervall −3 ≤ x ≤ 3. Wähle den
Maßstab hierbei so, dass auf der x–Achse 2 cm einer Einheit entsprechen,
auf der y–Achse 1 cm einer Einheit.
d) Wie bereits im einleitenden Text erwähnt und wie nun an dem Graphen
von d(x) zu erkennen, gibt es drei Punkte, deren Abstand d(x) von der
Normalparabel ein lokales Extremum bildet. Um diese drei lokalen Extrema zu bestimmen, benutzen wir einen beliebten Trick:
Anstatt die drei Extrema der Wurzelfunktion d(x) zu berechnen, bestimmen wir die drei Extrema der Funktion d 2 (x) = x4 − 5x2 − 2x + 10. Diese
liegen nämlich an denselben Stellen. Warum?
e) Zeige, dass die notwendige Bedingung für lokale Extrema von d2 (x) letztendlich auf das Problem führt, die Nullstellen der Funktion
h(x) = 2x3 − 5x − 1
zu bestimmen.
74
2.5 Kurvenscharen
f) Bestimme die Nullstelle von h(x), die zum absoluten Minimum von d(x)
gehört (siehe deine Skizze aus c) ) mit Hilfe des Newton–Verfahrens (Iterationsvorschrift siehe Aufgabe 1) auf drei Nachkommastellen genau (wenn
du deinen Startwert x0 genannt hast, rechne nicht weiter als bis x3 ). Zur
Wahl eines geeigneten Startwertes gehe so vor, dass du die x–Koordinate
des absoluten Minimums von d(x) näherungsweise aus der Skizze abliest.
g) Führe nun eine Polynomdivision von 2x3 − 5x − 1 mit dem soeben bestimmten Linearfaktor durch, vernachlässige den entstehenden kleinen
Rest (es war ja schließlich nur eine Näherungslösung) und bestimme abschließend näherungsweise aus der verbleibenden quadratischen Gleichung
die beiden übrigen lokalen Extremstellen.
2.5.3.2 Lösungen
zu Aufgabe 1:
a) Die Ideen befinden sich bereits explizit weiter oben im Skript.
b) In den oberen beiden Abbildungen konvergiert das Fixpunktverfahren, in
den unteren beiden Skizzen divergiert es:
y
y
id
id
f
f
x1
x3 x4 x2
x
x
x x3
x2
x1
x
75
2 Analysis I — Differentialrechnung
y
y
f
f
id
x
x
x1x2 x3 x4
id
x3 x1 x2
x
x4
x
c) Gesucht ist das x, für das gilt:
√
3
5 = x ⇐⇒ x3 = 5 ⇐⇒ x3 − 5 = 0
Das gesuchte x ist somit die Nullstelle von f (x) = x3 − 5. Die Ableitung
von f (x) lautet f 0 (x) = 3x2 .
Durchführung des Newton–Verfahrens:
x0 = 2
x1 = 1, 75
x2 ≈ 1, 710884354
x3 ≈ 1, 709976429
√
d) Ist 3 5 Fixpunkt von g(x)?
Die Stelle eines Fixpunktes von g(x) ist jedes x, für das g(x) = x gilt:
g(x) =
6x + 5
=x
x2 + 6
6x + 5 = x(x2 + 6)
x3 + 6x − 6x − 5
∧
∧
x2 + 6 6= 0
x2 6= −6
x3 + 5 = 0
Die Lösung der Gleichung entspricht
gerade der Nullstelle von f (x) aus
√
Aufgabenteil c), die ja den Wert 3 5 hat.
Ist g(x) eine Selbstabbildung des Intervalls [1,5;2]?
Angenommen die Funktion würde das Intervall nicht in sich abbilden. Da
g(x) in diesem Intervall stetig ist (die Funktion hat keine Definitionslücken)
23
und g(1, 5) = 1
in diesem Intervall liegt, müsste g(x) in diesem Inter33
vall eine der Geraden u(x) = 2 oder v(x) = 1, 5 schneiden.
76
2.5 Kurvenscharen
Schnitt von g(x) und u(x):
6x + 5
= 2
x2 + 6
6x + 5 = 2(x2 + 6)
0 = 2x2 − 6x + 7
7
0 = x2 − 3x +
2
r
9 14
3
±
−
x1,2 =
2
4
4
Da die Diskriminante (der Radikand) negativ ist, existiert keine Lösung
der Gleichung und kein Schnittpunkt zwischen g(x) und u(x).
Schnitt von g(x) und v(x):
6x + 5
= 1, 5
x2 + 6
6x + 5 = 1, 5(x2 + 6)
0 = 1, 5x2 − 6x + 4
8
0 = x2 − 4x +
3
r
8
x1,2 = 2 ± 4 −
3
2
2
x = 2+ √
∨ x=2− √
3
3
2
2
Da 2 + √ > 2 und 2 − √ < 1, 5 gilt, liegen beide Schnittpunkte außer3
3
halb des Intervalls [1,5;2].
Also schneidet g(x) im Intervall [1,5;2] weder u(x) noch v(x), was den obigen Ausführungen, dass es einen solchen Schnittpunkt geben müsste, widerspricht. Somit muss die Annahme, die Funktion würde das Intervall
nicht in sich abbilden, falsch sein. Das Intervall wird von g(x) also in sich
abgebildet.
e) Durchführung des Fixpunktverfahrens:
x0 = 2
x1 = 1, 7
77
2 Analysis I — Differentialrechnung
x2 ≈ 1, 709786277
x3 ≈ 1, 709972710
√
f) Der exakte“ mit dem Taschenrechner ermittelte Wert für 3 5 lautet 1,709975947.
”
Vergleicht man diesen Wert mit den oben ermittelten, dann stellt man fest,
dass das Newton–Verfahren den genaueren Näherungswert geliefert hat.
zu Aufgabe 2:
Vorweg schreiben wir die ersten drei Ableitungen der Funktionenschar auf:
ft (x) =
=
ft0 (x) =
ft00 (x) =
ft000 (x) =
1
x · (x − t)2
12
1
x · (x2 − 2tx + t2 )
12
1 2 1
1
x − tx + t2
4
3
12
1
1
x− t
2
3
1
2
a) Untersuchung auf Nullstellen:
ft (x) = 0
⇒
2
˙
12x(x−t)
= 0 ⇐⇒ 12x = 0 ∨ (x−t)2 = 0 ⇐⇒ x = 0 ∨ x = t
ft (x) hat also die Nullstellen x = 0 und x = t. Bei x = t handelt es sich dabei um eine doppelte Nullstelle, da der Faktor (x − t) in der faktorisierten
Funktionsschreibweise zweimal (quadriert) enthalten ist.
Untersuchung auf Extrempunkte:
Notwendige Bedingung für Extremstellen: ft0 (x) = 0
1 2 1
1
x − tx + t2 = 0
4
3
12
4
1
x2 − tx + t2 = 0
3
3
78
2.5 Kurvenscharen
r
2
4 2 3 2
x1,2 =
t±
t − t
3
9
9
2
1
x1,2 =
t± t
3
3
1
x=t ∨ x= t
3
Hinreichende Bedingung für Extremstellen: ft0 (x) = 0 ∧ ft00 (x) 6= 0
1
1
1
1
ft00 (t) = t − t = t: Da t > 0, gilt t > 0. Also ist x = t Minimalstelle.
2
3
6
6
1
1
1
1
1
ft00
t = t − t = − t: Da t > 0, gilt − t < 0. Also ist x = t Maximal3
6
3
6
6
stelle.
Berechnung der Funktionswerte der Extremstellen:
ft (t) = 0
2
1
1
2
1
4
1
ft
t = t · − t = t · t2 = t3 .
3
36
3
36 9
81
ft (x) hat also den Tiefpunkt T (t|0) und den Hochpunkt H
1 1 3
t t .
3 81
Untersuchung auf Wendepunkte:
Notwendige Bedingung für Wendestellen: ft00 (x) = 0
1
1
x− t = 0
2
3
2
x =
t
3
Hinreichende
Bedingung für Wendestellen: ft00 (x) = 0 ∧ ft000 (x) 6= 0
2
1
ft000
t = .
3
2
1
2
Da > 0, ist x = t RL–Wendestelle.
2
3
Berechnung des Funktionswertes der Wendestelle:
79
2 Analysis I — Differentialrechnung
ft
2
1 3
2
1
1
=
t = t· −
t
3
18
3
162
ft (x) hat also den Wendepunkt W
2 1 3
t
t .
3 162
b) Ortskurve der Hochpunkte:
1
xH = t ⇐⇒ t = 3xH
3
Eingesetzt in yH ergibt sich
oH (x) =
1
1
· (3x)3 = x3
81
3
Für die Ortskurve der Tiefpunkte erhalten wir analog
oT (x) = 0
Für die Ortskurve der Wendepunkte ergibt sich
1
oW (x) =
·
162
3
x
2
3
=
1 3
x
48
c) Zu zeigen ist,
1. dass die durchdie vorgegebene
Gleichung beschriebene Gerade durch
2 1 3
t
t verläuft und
den Punkt W
3 162
2. dass die Steigung des Funktionsgraphen von ft (x) an der Stelle x =
2
1
t wie die Steigung der Gerade den Wert − t2 hat.
3
36
zu 1) Die Rechnung lautet
wt
2
1 2
2
2
1 3
t =− t ·
t + t3 =
t
3
36
3
81
162
zu 2) Man erhält
ft0
2
2
1 2
1 2
1
1
2
1
1
=
t − t
t + t2 = t2 − t2 + t2 = − t2
3
4 3
3 3
12
9
9
12
36
d) Die Parallelität zweier Geraden ist gleichbedeutend mit der Übereinstimmung ihrer Steigung. Daher ist ein t gesucht, für das die Steigung von
80
2.5 Kurvenscharen
wt (x) gleich der Steigung der zweiten Winkelhalbierenden ist, also −1.
−
1 2
t = −1
36
t2 = 36
t = 6
Die Wendetangente steht parallel zu y = −x, wenn t = 6 ist.
e) Zunächst soll die Funktion A(t), die den Flächeninhalt des Dreiecks in
Abhängigkeit von t liefert, bestimmt werden.
wt (x)
Höhe
A
Grundseite
Der Flächeninhalt lässt sich anhand der eingezeichneten Grundseite und
der dazugehörigen Höhe mit der Formel für die Fläche eines Dreiecks
1
A = g · h bestimmen.
2
Die Länge der Grundseite entspricht der Nullstelle von wt (x):
wt (x) = 0
1
2
− t2 x + t3 = 0
36
81
2 3
1 2
t =
tx
81
36
8
x =
t
9
81
2 Analysis I — Differentialrechnung
Die Länge der Höhe entspricht dem y-Achsenabschnitt von wt (x):
wt (0) =
2 3
t
81
Nun lässt sich die Funktionsvorschrift für A(t) angeben:
1
1
A(t) = g · h = ·
2
2
8
2 3
8 4
t ·
t =
t
9
81
729
Zur Bestimmung des gesuchten t muss man A(t) gleich 72 setzen:
A(t)
8 4
t
729
t4
t
= 72
= 72
= 6561 | t > 0
= 9
Den Flächeninhalt 72 hat das gegebene Dreieck für t = 9.
zu Aufgabe 3:
a) Aus den Koordinaten der Punkte Ap
(1|3) und B (x|x2 ) erhält man zusammen mit der Abstandsformel d = (xA − xB )2 + (yA − yB )2 den folgenden Ausdruck für den Abstand zwischen A und B:
d(x) =
p
(1 − x)2 + (3 − x2 )2 =
p
(x2 − 2x + 1) + (x4 − 6x2 + 9) =
√
x4 − 5x2 − 2x + 10
b) Die ausgefüllte Wertetabelle sieht folgendermaßen aus:
x
-3
-2
-1,5
-1
-0,5
0
0,5
1
1,5
d(x)
7,21
3,16
2,61
2,83
3,13
3,16
2,80
2
0,90 1,41
c) Der Graph von d(x) hat die folgende Gestalt:
82
2
3
6,32
2.5 Kurvenscharen
9
f(x)
8
7
6
5
4
3
2
1
0
-3
-2
-1
0
1
d) Gemäß Kettenregel ergibt sich als Ableitung von d(x) =
d0 (x) = (d2 )0 (x) ·
2
p
3
1
d2 (x) = [d2 (x)] 2 :
(d2 )0 (x)
1 2 − 21
p
d (x)
=
2
2 · d2 (x)
Notwendige Bedingung für Extremstellen von d(x): d0 (x) = 0
(d2 )0 (x) ·
1
p
= 0 ⇐⇒ (d2 )0 (x) = 0
2
2 · d (x)
Dies ist gerade die entsprechende notwendige Bedingung für Extremstellen von d2 (x). Diese ist also äquivalent zu der für Extremstellen von d(x).
Hinreichende Bedingung für Extremstellen von d(x) (für jede Extremstelle
zutreffend): d0 (x) = 0 mit Vorzeichenwechsel bei x
Auch ein Vorzeichenwechsel von d0 (x) liegt genau an den Stellen vor, an
1
p
in
denen (d2 )0 (x) einen Vorzeichenwechsel hat, da der Faktor
2 · d2 (x)
1
p
der Gleichung d0 (x) = (d2 )0 (x) ·
für alle x positiv ist und somit
2 · d2 (x)
sein Vorzeichen an keiner Stelle wechselt.
Damit ist gezeigt, dass d(x) an den gleichen Stellen Extremstellen hat wie
d2 (x).
e) Wir betrachten also nun
(d2 )0 (x) = 4x3 − 10x − 2
83
2 Analysis I — Differentialrechnung
Notwendige Bedingung für Extremstellen von d2 (x): (d2 )0 (x) = 0
4x3 − 10x − 2 = 0
2x3 − 5x − 1 = 0
h(x) = 0
f) Mit h0 (x) = 6x2 −5 und dem Newton–Verfahren erhalten wir für den Startwert x0 = 1, 5:
x1
x2
x3
x
=
=
=
≈
1, 705882353
1, 673865103
1, 672982311
1, 673
g) Polynomdivision ergibt:
(2x3 − 5x − 1) : (x − 1, 673) = 2x2 + 3, 346x + 0, 597858
Der verbleibende Rest ist vernachlässigbar. Die restlichen beiden lokalen
Extremstellen erhält man durch Lösen der quadratischen Gleichung
x2 + 1, 673x + 0, 298929 = 0
p
x1,2 = −0, 8365 ± 0, 83652 − 0, 298929
x ≈ −1, 470 ∨ x ≈ −0, 203
2.5.4 Aufgaben zu gebrochenrationalen Kurvenscharen
2.5.4.1 ft (x) =
2x
1
+
,
x2 + t2
t
t>0
a) Bestimme die Nullstellen, den y–Achsenabschnitt, Extrem- und Wendepunkte.
b) Berechne die Gleichungen der Wendetangenten.
c) Fertige eine Skizze von f1 (x) an (LE = 1cm).
84
2.5 Kurvenscharen
d) Zeige, dass der Graph ft (x) zu einem seiner Wendepunkte symmetrisch
ist.
e) Zeige: Die Verbindungsgerade der Wendepunkte für jedes t ist Tangen1
te an den Graphen der Funktion g(x) = − .
2x
f) Gib die Koordinaten der Berührpunkte aus e) an.
g) Für welches t sind die beiden parallelen Wendetangenten zur dritten
Wendetangente orthogonal? Welchen Abstand haben in diesem Fall die
beiden parallelen Tangenten?
zu a)
Nullstellen:
Wir setzen den Funktionsterm gleich Null:
2x
1
+
2
+t
t
2
2
2xt
1 · (x + t )
⇐⇒
+
2
3
tx + t
t · (x2 + t2 )
2xt + x2 + t2
⇐⇒
x2 t + t3
⇐⇒ x2 + 2xt + t2
⇐⇒ (x + t)2
⇐⇒ x
x2
= 0
= 0
= 0
= 0
= 0
= −t
An der Stelle x = −t liegt eine doppelte Nullstelle vor.
y–Achsenabschnitt:
Wir setzen für x = 0 ein:
1
t
ft (0) =
Extrempunkte:
Berechnung der ersten beiden Ableitungen:
ft0 (x) =
2(x2 + t2 ) − 2x · 2x
−2x2 + 2t2
=
(x2 + t2 )2
x4 + 2x2 t2 + t4
−4x · (x4 + 2x2 t2 + t4 ) − (−2x2 + 2t2 ) · (4x3 + 4t2 x)
(x4 + 2x2 t2 + t4 )2
4x5 − 8t2 x3 − 12t4 x
=
(x4 + 2x2 t2 + t4 )2
ft00 (x) =
85
2 Analysis I — Differentialrechnung
Notwendige Bedingung für Extrempunkte: ft0 (x) = 0
−2x2 + 2t2 = 0 ⇐⇒ −2x2 = −2t2 ⇐⇒ x2 = t2 ⇐⇒ x = ±t
Hinreichende Bedingung für Extrempunkte: ft0 (x) = 0 ∧ ft00 (x) 6= 0
ft00 (t) =
4t5 − 8t5 − 12t5
−16t5
−16t5
1
=
=
= − 3 6= 0
4
4
4
2
4
2
8
(t + 2t + t )
(4t )
16t
t
ft00 (−t) =
−4t5 + 8t5 + 12t5
16t5
16t5
1
=
=
= 3 6= 0
4
4
4
2
4
2
8
(t + 2t + t )
(4t )
16t
t
Also liegt an der Stelle x = t eine Maximalstelle vor, da sich dort aufgrund
von t > 0 eine negative zweite Ableitung ergibt.
Dementsprechend liegt an der Stelle x = −t eine Minimalstelle.
Wir berechnen nun noch die Koordinaten des Hoch- bzw. Tiefpunktes:
ft (t) =
2t
1
2
+
=
t2 + t2
t
t
−2t
1
+ =0
2
+t
t
Wir haben also die Extrempunkte H (t| 2t ) und T (−t|0).
ft (−t) =
t2
Wendepunkte:
Notwendige Bedingung für Wendepunkte: ft00 (x) = 0
Mit Hilfe der oben bereits berechneten zweiten Ableitung erhalten wir
4x5 − 8t2 x3 − 12t4 x
x5 − 2t2 x3 − 3t4 x
x · (x4 − 2t2 x2 − 3t4 )
x = 0 ∨ x4 − 2t2 x2 − 3t4
x = 0 ∨ z 2 − 2t2 z − 3t4
x = 0 ∨ z1,2
x = 0 ∨ z = 3t2 ∨ z
x = 0 ∨ x2 = 3t2 ∨ x2
√
x=0 ∨ x= 3·t ∨ x
=
=
=
=
=
=
=
=
=
0
0
0
0 | Subst. x2 → z
0
√
t2 ± t4 + 3t4 = t2 ± 2t2
−t2 | Resubst. z → x2
−t2
√
− 3 · t ∨ n. def.
Wir
√ haben also drei potentielle Wendestellen, nämlich in x = 0 und x =
± 3 · t. Anwendung des hinreichenden VZW–Kriteriums ergibt, dass es
sich bei allen drei Stellen um Wendestellen handelt. Hierzu setzen wir die
Stellen x = −2t, x = −t, x = t und x = 2t in die zweite Ableitung ein
und zeigen, dass das Vorzeichen jeweils wechselt. Hierbei reicht es zu zeigen, dass das Vorzeichen des Zählers 4x5 − 8t2 x3 − 12t4 x wechselt, da der
Nenner aufgrund des Quadrates immer positiv ist:
86
2.5 Kurvenscharen
x = −2t
x = −t
x=t
x = 2t
−→
−→
−→
−→
Zähler −40t5 < 0
Zähler 16t5 > 0
Zähler −16t5 < 0
Zähler 40t5 > 0
√
An der Stelle x = − 3 · t liegt also ein VZW von - nach + vor, das heißt,
dass der dortige Wendepunkt ein R–L–Wendepunkt√ist. Demgemäß haben
wir in x = 0 einen L–R–Wendepunkt und in x = 3 · t wiederum einen
R–L–Wendepunkt vorliegen.
Abschließend berechnen wir noch die y–Koordinaten der Wendepunkte:
√
√
√
2 · (− 3)t 1
− 3+2
ft (− 3 · t) =
+ =
3t2 + t2
t
2t
ft (0) =
1
t
√
√
√
2· 3·t 1
3+2
ft ( 3 · t) = 2
+ =
2
3t + t
t
2t
zu b)
Wendetangenten
Das allgemeine Vorgehen zur Berechnung von Wendetangenten besteht
darin, die Steigung des Funktionsgraphen im Wendepunkt zu berechnen
und anschließend zusammen mit der x–Koordinate des Wendepunktes in
die Punkt–Steigungs–Form der Geradengleichung y = m · (x − xW ) + yW
einzusetzen.
Wir berechnen also zunächst die Steigungen von ft (x) in den drei Wendepunkten:
√
√
−2(− 3 · t)2 + 2t2
1
0
√
ft (− 3 · t) =
=− 2
4t
((− 3 · t)2 + t2 )2
2t2
2
= 2
4
t
t
√
√
1
−2( 3 · t)2 + 2t2
0
ft ( 3 · t) = √
=− 2
4t
(( 3 · t)2 + t2 )2
ft0 (0) =
Hiermit und mit den y–Koordinaten aus Teilaufgabe a) ergeben sich die
folgenden Wendetangenten:
√
!
− 3 + 2
√
1. durch den Wendepunkt W1 − 3 · t
:
2t
√
√
√
1
− 3+2
1
4−3 3
y = − 2 · (x + 3 · t) +
=− 2 ·x+
4t
2t
4t
4t
87
2 Analysis I — Differentialrechnung
1
2. durch den Wendepunkt W2 0 :
t
y=
1
2
1
2
· (x − 0) + = 2 · x +
2
t
t
t
t
3. durch den Wendepunkt W3
√
1
y = − 2 · (x − 3 · t) +
4t
√
√
√
!
3+2
3 · t
:
2t
√
3+2
1
4+3 3
=− 2 ·x+
2t
4t
4t
zu c)
Skizze von f1 (x):
2x
f1 (x) = 2
+1
x +1
Wir sammeln zunächst noch einmal die Eigenschaften, die wir in a) und
b) herausgefunden haben:
• Doppelte Nullstelle bei x = −1
• y–Achsenabschnitt: f1 (0) = 1
• Hochpunkt H (1|2) und Tiefpunkt T (−1|0)
• Wendepunkte W1 (−1, 73|0, 13), W2 (0|1) und W3 (1, 73|1, 87)
• Des weiteren kann man an der Funktionsvorschrift erkennen, dass
sich der Funktionsgraph für x → ±∞ der Asymptote mit der Glei2x
chung y = 1 annähert, da der erste Summand 2
für x → ±∞
x +1
immer kleiner wird, also gegen Null geht.
Es ergibt sich die folgende Skizze des Funktionsgraphen:
88
2.5 Kurvenscharen
3
f(x)
2.5
2
1.5
1
0.5
0
-0.5
-1
-10
-5
0
5
10
zu d)
Symmetrie:
Aufgrund der Skizze des Funktionsgraphen liegt die Vermutung nahe,
dass der Funktionsgraph punktsymmetrisch bezüglich des Wendepunktes W2 (0|1) bzw. allgemein W2 (0| 1t ) ist.
Der Nachweis ist ganz einfach: Man verschiebt den Funktionsgraphen um
1
nach unten, also in den Ursprung und erhält dann
t
f˜t (x) =
x2
2x
1 1
2x
+ − = 2
2
+t
t
t
x + t2
Man erkennt sofort, dass das Zählerpolynom punktsymmetrisch zum Ursprung, das Nennerpolynom achsensymmetrisch zur y–Achse ist. Nach
den oben besprochenen Vererbungsregeln zur Symmetrie bei gebrochen–
rationalen Funktionen ist danach der Funktionsgraph von f˜t (x) punktsymmetrisch zum Ursprung.
zu e)
In den vorherigenTeilaufgaben
sich folgenden Wendepunkte
√
! haben
! erge√
√
√
− 3 + 2
3+2
1
ben: W1 − 3 · t
, W2 0
und W3
3 · t
2t
2t
t
Zuerst wird die Verbindungsgerade zwischen W2 und W3 ermittelt:
y = m · (x − x1 ) + y1
89
2 Analysis I — Differentialrechnung
Für die Steigung m zwischen W1 und W3 gilt:
√
√
√
3+2
− 3+2
−
(
)
3
1
y2 − y1
2t
2t
√
√
=
·
m=
= √
t 2 · 3t
x2 − x1
3t − (− 3t)
m=
1
t2
in die Punkt-Steigungs-Form einsetzen:
1
· (x − x1 ) + y1
t2
1
mit W2 0 :
t
y=
y=
1
1
x+
2
t
t
Weiterhin gilt:
g 0 (x) =
1
= mv
2x2
g(t) = −
u(t) =
1
2t
1
1
1
1
3
·t+ =
+ =
2
2t
t
2t t
2t
g(−t) =
1
2t
u(−t) =
1
1
1
1
1
· (−t) + = − + =
2
2t
t
2t t
2t
zu f)
Schnittpunkt von y und g(x) ermitteln:
1
1
1
x2 2x
x+ =−
⇔ 2 +
= −1 ⇔ x2 + 2tx + t2 = 0
2
2t
t
2x
t
t
Somit ergibt sich nach der Berechnung mit der p-q-Formel und dem Ein1
setzen in y oder g(x) der Berührpunkt: B(−t| )
2t
90
2.5 Kurvenscharen
zu g)
Wendetangenten:
√
√
√
4−3 3
1
− 3+2
1
W1 (t) = − 2 · (x + 3 · t) +
=− 2 ·x+
4t
2t
4t
4t
2
1
2
1
·
(x
−
0)
+
=
·
x
+
t2
t
t2
t
√
√
√
4+3 3
1
3+2
1
W3 (t) = − 2 · (x − 3 · t) +
=− 2 ·x+
4t
2t
4t
4t
Ansatz: Für welches t ist die Steigung von W2 der negative Kehrwert von
der Steigung von W1 bzw. W3 ?
W2 (t) =
1
t2
=
−
4t2
2
r
4 1
t=
2
−
Schnittpunkte bestimmen:
S1 = W 2 ∩ W 3
√
√
2
1
1
4·3· 3
x + = − 2x +
t2
t
4t
4t
√
2
1
4−3· 3 1
x
+
x
=
−
t2
4t2
4t
t
√
1
(4 − 3 · 3) · t
2x + x =
−t
4
4
√
1
4t 3 · 3t
2x + x =
−
−t
4
4
4
√
9
−3 · 3t
x=
4
4
√
9x = −3 · 3t
√
3
·t
xS1 = −
3
3
· t kann durch eine weitere Umformung in eine anschaulichere Form
3
1
gebracht werden: − √ · t
3
−
91
2 Analysis I — Differentialrechnung
2
1
Nun wird xS1 in W2 (t) = 2 · x + eingesetzt, um den y-Wert zu bet
t
stimmen:
yS1 =
1
2
1
2
1
· (− √ · t) + = (1 − √ ) ·
2
t
t
3
3 t
Analog dazu wird auch der Schnittpunkt von W1 ∩ W2 bestimmt:
√
2
1
1
4−3 3
·x+ =− 2 ·x+
t2
t
4t
4t
nach weiteren Umformungen (die durch die Vergleichbarkeiten mit dem
Schnittpunkt S1 nicht weiter aufgeführt werden) ergibt sich:
√
3
1
xS2 =
·t= √ ·t
3
3
yS2 berechnen indem xS2 in W2 (t) =
yS2 =
2
1
·
x
+
eingesetzt wird :
t2
t
2 √
1
·
t
3
+
t2
t
2
1
yS2 = √ +
3t t
q
Für den Abstand der beiden parallelen Tangenten wird nun t = 4 12 eingesetzt, sodass S1 und S2 Näherungsweise bestimmt werden können:
S1 (−0, 485| − 0, 18) und S2 (0, 485|2, 56).
Der Abtand zwischen zwei Punkten lässt sich wie folgt berechnen:
p
l(S1 S2 ) = (y2 − y1 )2 + (x2 − x1 )2
p
l(S1 S2 ) = (2, 56 − 0, 184)2 + (0, 485 − 0, 485)2 ≈ 2, 91
2.5.5 Ableitungsregeln
Wir fassen nun abschließend noch einmal alle Ableitungsregeln übersichtlich zusammen. Wenn man auf den jeweiligen Namen klickt, kommt man
an die Stelle im Skript, wo der Beweis für die jeweilige Regel zu finden ist.
Die Produktregel wurde bisher weder eingeführt noch bewiesen noch an
irgendeiner Stelle verwendet. Wir werden sie erst im Kapitel über trigonometrische Funktionen benötigen und dort kennenlernen. Aus Gründen
der Übersichtlichkeit führen wir sie aber bereits hier auf.
92
2.6 Trigonometrische Funktionen
• Summenregel: (f + g)0 = f 0 + g 0
Beispiel: (x2 + x)0 = 2x + 1
• Faktorregel: (c · f )0 = c · f 0 (wobei c = konst.)
Beispiel: (2x2 )0 = 2 · 2x = 4x
• Produktregel: (u · v)0 = u0 v + uv 0
Beispiel: (3x2 · sin(x))0 = 6x · sin(x) + 3x2 · cos(x)
u0 v − uv 0
u
• Quotientenregel: ( )0 =
v
v2
0
sin(x)
cos2 (x) + sin2 (x)
1
0
Beispiel: (tan(x)) =
=
=
cos(x)
cos2 (x)
cos2 (x)
• Kettenregel: f [g(x)]0 = f 0 [g(x)] · g 0 (x)
Beispiel: [sin(3x2 )]0 = cos(3x2 ) · 6x
2.6 Trigonometrische Funktionen
Die trigonometrischen Funktionen, die auf den drei Grundfunktionen sin(x),
cos(x) und tan(x) aufbauen, haben insbesondere in der Physik, und dort hauptsächlich in der Lehre von den Schwingungen und Wellen, eine große Bedeutung. Die mathematische Untersuchung solcher Funktionen ist nicht so einfach wie die Untersuchung rationaler Funktionen, da es keine festgelegten
Rezepte“gibt, nach denen man die Funktionen betrachtet. Man benötigt viel”
mehr einen ganzen Fundus an Methoden und Erfahrungen mit solchen Funktionen, und selbst dann kommt man oftmals auf analytischem Wege nicht
mehr weiter und muss auf CAS3 ausweichen. Nichtsdestotrotz wollen wir in
diesem Kapitel einige grundlagende Verfahrensweisen vorstellen. Die Grundmethoden der Analysis, wie z. B. die Untersuchung der Ableitungen auf Nullstellen, finden natürlich auch auf trigonometrische Funktionen weiterhin Anwendung.
3
Computer–Algebra–Systeme
93
2 Analysis I — Differentialrechnung
2.6.1 Vorkenntnisse aus der Sekundarstufe I
Wiederholung:
allgemein:
f (x) = 5 · sin(3 · x − 1) − 2
1
f (x) = 5 · sin[3 · (x − )] − 2
3
• Amplitude: 5
• 2 Einheiten nach unten verschoben
• Wf [-7;3]
• Periode
2·π
3
• Phasenverschiebung um
1
3
Einheiten nach rechts
Phasenverschiebung:
sin(x) = cos(x −
π
π
) = cos( − x)
2
2
sin(α) = cos(90 − α)
94
2.6 Trigonometrische Funktionen
π
π
) = sin( − x)
2
2
π
π
π
cos(x) = sin(x + ) = − sin(−x − ) = sin(−x + )
2
2
2
Achsensymmetrie der Kosinusfunktion:
cos(x) = sin(x +
cos(x) = cos(−x)
Punktsymmetrie der Sinusfunktion:
sin(x) = − sin(−x)
Die Tangensfunktion:
f(x)
4
2
0
-2
-4
-4
-2
0
2
4
Nullstellen bei 0, π, 2π, 3π, ..., z · π (z ∈ Z)
Definitionslücken bei − π2 , π2 , 3π
, 5π
, ...
2
2
Allgemein:
tan(x) =
sin(x)
cos(x)
2.6.2 Additionstheoreme und andere funktionale
Zusammenhänge
Neben den reinen Eigenschaften der Funktionsgraphen, die aus der Sekundarstufe I bekannt sind, gibt es noch einige funktionale Zusammenhänge zwischen den trigonometrischen Funktionen, die wir im Laufe dieses Kapitels
95
2 Analysis I — Differentialrechnung
noch benötigen werden. Einige davon sind uns ebenfalls aus früheren Schuljahren bekannt, wie zum Beispiel der sogenannte trigonometrische Pythagoras
sin2 (x) + cos2 (x) = 1
oder die Tatsache, dass die Graphen von Sinus und Kosinus eigentlich idenπ
tisch und nur um gegeneinander verschoben sind, was sich durch die Glei2
chungen
π
sin(x) = cos x −
2
bzw.
π
cos(x) = sin x +
2
ausdrücken lässt.
Neu hinzu kommen die sogenannten Additionstheoreme
sin(x ± y) = sin(x) · cos(x) ± cos(x) · sin(y)
bzw.
cos(x ± y) = cos(x) · cos(y) ∓ sin(x) · sin(y)
sowie die Produktformel
sin(2x) = 2 · sin(x) · cos(x),
die sich aus dem oben erstgenannten Additionstheorem ergibt, wenn man es
auf sin(2x) = sin(x + x) anwendet.
Diese Formeln stellen nur eine kleine Auswahl an Beispielen dar, die aber sehr
oft gebraucht werden. Sollten in den folgenden Abschnitten andere Formeln
gebraucht werden, so werden sie an Ort und Stelle eingeführt.
Um sich einen Eindruck der Fülle an gleichgearteten Formeln zu verschaffen,
die es gibt, nehme man sich eine mathematische Formelsammlung zur Hand.
2.6.3 Warum ist sin(x) abgeleitet cos(x)?
In diesem Kapitel soll auf zwei verschiedenen Wegen gezeigt werden, dass die
folgenden Ableitungen gültig sind:
[sin(x)]0 = cos(x)
[cos(x)]0 = − sin(x)
1
[tan(x)]0 =
= 1 + tan2 (x)
cos2 (x)
96
2.6 Trigonometrische Funktionen
2.6.3.1 Graphisches Ableiten
Die folgende Begründung für die Tatsache, dass der Sinus abgeleitet zum Kosinus wird, ist keine streng mathematische Begründung, sondern eine auf der
Anschauung basierende Plausibilitätsbetrachtung.
Betrachten wir den Graphen der Sinusfunktion und überlegen uns, wie der
Graph der Steigungsfunktion aussieht, so kann man folgendes feststellen:
1
f(x)
0.8
0.6
0.4
0.2
0
-0.2
-0.4
-0.6
-0.8
-1
0
2
4
6
8
10
12
• Der Graph der Ableitung muss wiederum eine periodische Funktion sein,
da sich beim Sinus neben den Funktionswerten auch die Steigungen periodisch wiederholen.
π 3π 5π
• Die Ableitungsfunktion muss an den Stellen x = , , , . . . den Wert
2 2 2
Null annehmen, da der Sinus dort Extremstellen hat.
• Die gesuchte Ableitungsfunktion scheint an den Stellen x = 0, 2π, 4π, . . .
die Steigung 1 und an den Stellen x = π, 3π, 5π, . . . die Steigung -1 zu
haben.
Dies kann man einmal durch Hinsehen abschätzen, was natürlich keine
Methode ist, die den echten Mathematiker zufriedenstellen würde. Eine
andere Möglichkeit, die Steigung z. B. an der Stelle x = 0 zu bestimmen,
bestände darin, für x = ±h die jeweilige Sekantensteigung zu berechnen
und das h immer kleiner werden zu lassen.
Alle diese Überlegungen legen nahe, dass es sich bei der gesuchten Ableitungsfunktion um den Kosinus handeln muss, denn er hat alle oben gefor-
97
2 Analysis I — Differentialrechnung
derten Eigenschaften.
Analog zu diesem Vorgehen kann man begründen, dass die Ableitung der Kosinusfunktion gleich der negativen Sinusfunktion ist.
2.6.3.2 Analytische Ableitung
Um die Ableitung der Sinusfunktion analytisch herzuleiten, geht man vor, wie
man es von den rationalen Funktionen her gewohnt ist, und zwar über die
Grenzwertberechnung des Differenzenquotienten (Berechnung des Differentialquotienten, Übergang von Sekantensteigungen zur Tangentensteigung), in
diesem Fall mit der h–Methode. Der Ansatz lautet also
f (x + h) − f (x)
h→0
h
f 0 (x) = lim
Setzen wir die Sinusfunktion für f (x) ein, so erhalten wir
sin(x + h) − sin(x)
h→0
h
[sin(x)]0 = lim
Den ersten Summanden im Zähler ersetzen wir nach dem ersten oben angeführten Additionstheorem sin(x + y) = sin(x) cos(y) + cos(x) sin(y) und erhalten
sin(x) cos(h) + cos(x) sin(h) − sin(x)
h→0
h
[sin(x)]0 = lim
Dies lässt sich auch folgendermaßen schreiben:
sin(x) · [cos(h) − 1] cos(x) · sin(h)
0
[sin(x)] = lim
+
h→0
h
h
Da man nach den sog. Grenzwertsätzen die Faktoren, die nicht von h abhängen,
vor den Limes ziehen kann, und da man außerdem bei der Grenzwertbildung
einer Summe (ähnlich dem Distributivgesetz beim Rechnen mit Zahlen) auch
stattdessen die beiden Grenzwerte der einzelnen Summanden addieren kann,
lässt sich der obige Ausdruck auch folgendermaßen schreiben:
cos(h) − 1
sin(h)
+ cos(x) · lim
h→0
h→0
h
h
[sin(x)]0 = sin(x) · lim
Wie wir gleich noch zeigen werden, gelten die Zusammenhänge
cos(h) − 1
=0
h→0
h
lim
98
sowie
sin(h)
=1
h→0
h
lim
2.6 Trigonometrische Funktionen
und damit erhalten wir endgültig das gewünschte Ergebnis
[sin(x)]0 = cos(x)
Ähnlich kann man zeigen, dass [cos(x)]0 = − sin(x) gilt. Einfacher ist es aber,
wenn man argumentiert, dass der Graph der Kosinusfunktion identisch mit
π
dem um nach links verschobenen Graphen der Sinusfunktion ist, und dass
2
daher auch die Ableitungen auf die gleiche Weise gegeneinander verschoben
sein müssen.
cos(h) − 1
sin(h)
Es fehlt nun noch der Nachweis, dass limh→0
= 0 und limh→0
=
h
h
1 gilt.
Wir beginnen mit dem Nachweis der zweiten Gleichung und betrachten hierzu die Definition von Sinus und Tangens im Einheitskreis:
y
1
P
T h
tan(h)
h
-1
Q E
x
sin(h)
-1
Wenn man davon ausgeht, dass der Winkel des abgebildeten Kreissektors im
Bogenmaß gemessen h beträgt, dann ist die Länge der Strecke QP gleich sin(h),
d
die Länge der Strecke ET gleich tan(h) und die Länge des Kreisbogens EP
(gemäß der Definition des Bogenmaßes als Länge des zugehörigen Kreisbogens im Einheitskreis) gleich h.
Man erkennt durch Hinschauen, dass die Ungleichungskette
sin(h) < h < tan(h)
gilt. Dividiert man diese Ungleichungskette durch sin(h) und bildet anschließend den Kehrwert, wobei bei der Bildung des Kehrwertes die Ungleichheits-
99
2 Analysis I — Differentialrechnung
zeichen umgedreht werden müssen, so erhält man
sin(h)
tan(h)
1
h
cos(h)
1<
<
=
=
sin(h)
sin(h)
sin(h)
cos(h)
und
1>
sin(h)
> cos(h)
h
Wenn man nun in der letzten Ungleichungskette den Grenzwert für h → 0
bildet und berücksichtigt, dass limh→0 cos(h) = 1 ist, dann erhalten wir
sin(h)
>1
h→0
h
1 > lim
Das bedeutet aber automatisch, dass der gesuchte Grenzwert
sin(h)
=1
h→0
h
lim
sein muss, wie zu zeigen war.
cos(h) − 1
zu berechh
nen. Erweitern wir den Bruch mit cos(h) + 1 und beachten wir den trigonometrischen Pythagoras sin2 (h) + cos2 (h) = 1, dann erhalten wir
Wir können nun dazu übergehen, den Grenzwert limh→0
cos(h) − 1
cos2 (h) − 1
sin2 (h)
sin2 (h)
h
=
=−
=−
·
2
h
h · (cos(h) + 1)
h · (cos(h) + 1)
h
cos(h) + 1
Also gilt nach den Rechenregeln für Grenzwerte
cos(h) − 1
lim
= − lim
h→0
h→0
h
sin(h)
h
2
h
0
= −12 · = 0.
h→0 cos(h) + 1
2
· lim
Das entspricht genau dem, was wir zeigen wollten.
2.6.4 Die Produktregel
Bevor wir uns nun der konkreten Untersuchung verschiedener Typen von trigonometrischen Funktionen zuwenden, führen wir zunächst noch die letzte
Ableitungsregel ein, die wir von nun an benötigen werden, nämlich die Produktregel. Sie lautet:
(u · v)0 (x) = u0 (x) · v(x) + u(x) · v 0 (x)
100
2.6 Trigonometrische Funktionen
oder auch kürzer
(uv)0 = u0 v + uv 0
Der Beweis verläuft folgendermaßen. Die entscheidende Stelle ist die, wo man
geschickt einen Summanden einfügt (siehe die fett gedruckte Stelle in der Herleitung unten), den man gleich darauf wieder subtrahiert (Addition der Null,
Kameltrick“).
”
(u · v)(x + h) − (u · v)(x)
h→0
h
u(x + h) · v(x + h) − u(x) · v(x)
lim
h→0
h
u(x + h) · v(x + h)−u(x) · v(x + h) + u(x) · v(x + h) − u(x) · v(x)
lim
h→0
h
[u(x + h) − u(x)] · v(x + h) + u(x) · [v(x + h) − v(x)]
lim
h→0
h
[u(x + h) − u(x)] · v(x + h) u(x) · [v(x + h) − v(x)]
lim
+
h→0
h
h
[u(x + h) − u(x)] · v(x + h)
u(x) · [v(x + h) − v(x)]
lim
+ lim
h→0
h
h
h→0 u(x + h) − u(x)
v(x + h) − v(x)
lim
· v(x + h) + lim u(x) ·
h→0
h→0
h
h
u(x + h) − u(x)
v(x + h) − v(x)
lim
· lim v(x + h) + lim u(x) · lim
h→0
h→0
h→0
h→0
h
h
0
0
u (x) · v(x) + u(x) · v (x)
(u · v)0 (x) = lim
=
=
=
=
=
=
=
=
2.6.5 Untersuchung trigonometrischer Funktionen
2.6.5.1 Typ 1: Periodische trigonometrische Funktionen
Vorarbeit: Man weist die Periode nach, bestimmt ihren Wert und beschränkt
die Funktionsuntersuchung auf eine komplette Periode. Abschließend muss
dann nur festgestellt werden, dass sich alle Eigenschaften des Graphen periodisch wiederholen.
Beispiel: f (x) = 2 cos(x) − 2 cos(0, 5x) + 1
Diese Funktion ist 4π periodisch, weil alle Summanden 4π-periodisch sind
(cos(x) ist 2π periodisch und damit auch 4π-periodisch; (cos(0, 5x) ist 4π-periodisch,
2π
weil 0,5
= 4π ; 1 ist konstant und damit beliebig periodisch).
101
2 Analysis I — Differentialrechnung
2.6.5.2 Typ 2: Nichtperiodische trigonometrische Funktionen
1 2
Beispiel 1: f (x) = 2 sin( 16
x)
Durch das quadratische x im Argument des Sinus verändert sich die Periode
ständig, wie man leicht an der Lage der Nullstellen feststellen kann:
f(x)
2
1
0
-1
-2
-0.3
-0.2
-0.1
0
0.1
0.2
0.3
Für Nullstellen von f(x) muss gelten:
1 2
x = z · π,
16
z∈Z
x2 = 16 · z · π
√
√
x = 4 · z · π ∨ x = −4 · z · π
Da diese Nullstellen nicht in gleichmäßigen Abständen liegen (aufgrund des
Wurzel z), ist f(x) nicht periodisch. Hingegen kann man leicht erkennen, dass
der Graph von f(x) achsensymmetrisch zur x-Achse ist.
Beispiel 2:
f (x) = 2 cos(x) − 2 cos(0, 5x) + 1
f 0 (x) = −2 sin(x) + sin(0, 5x)
f 00 (x) = −2 cos(x) + 0, 5 cos(0, 5x)
102
2.6 Trigonometrische Funktionen
Hier wollen wir nun die Extremstellen der Funktion bestimmen:
notwendige Bedingungen: (mit Hilfe des Newton-Verfahrens)
f (xn )
f 0 (xn )
f 0 (xn )
= xn − 00
f (xn )
allgemein: xn+1 = xn −
hier: xn+1
5
f(x)
4
3
2
1
0
-1
-2
-10
-5
0
5
10
erste feste Nullstelle: 2π
zweite feste Nullstelle: 4π
Nun wird ein geeigneter Startwert zur Bestimmung der Nullstellen mit Hilfe
des Newton-Verfahrens gesucht, hierbei ergeben sich die vermuteten Nullstellen bei: x ≈ 3 und x ≈ 10
erster Startwert: x0 = 3
x1 = x0 −
f 0 (x0 )
−2 sin(3) + sin(0, 5 · 3)
=
3
−
f 00 (x0 )
−2 cos(3) + 0, 5 · cos(0, 5 · 3)
x2 = 0, 354902967
x3 = 0, 374835594
103
2 Analysis I — Differentialrechnung
zweiter Startwert: x0 = 10
x1 = 9, 929055065
x2 = 9, 930138244
x3 = 9, 930138471
Als Extremstellen der Funktion ergeben sich also: x = 2, 636 ∨ x = 9, 930
Die Extremstellen der Funktion lassen sich auch auf analystischem Weg ermitteln:
Hierbei gilt wie zuvor: f 0 (x) = 0
−2 sin(x) + sin(0, 5x) = 0
sin(2x) = 2 sin(x) · cos(x)
sin(x) = 2 sin(0, 5x) · cos(0, 5x)
in −2 sin(x) + sin(0, 5x) = 0 einsetzen:
−4 sin(0, 5x) · cos(0, 5x) + sin(0, 5x) = 0
sin(0, 5x) · [−4 cos(0, 5x) + 1] = 0
Es muss nun entweder sin(0, 5x) = 0 oder −4 cos(0, 5x) + 1 = 0 werden:
1. Fall: sin(0, 5x) = 0
0, 5x = z · π
x = z · 2π
sin(x) = 0 ⇔ x = z · π,
z∈Z
sin(0, 5x) = 0 ⇔ 0, 5x = z · π ⇔ 2 · z π̇
2. Fall: −4 cos(0, 5x) + 1 = 0
cos(0, 5x) = 0, 25
0, 5x = arccos(0, 25)
0, 5x = 1, 318 ∨ 0, 5x = 4, 965
x = 2, 636 ∨ x = 9, 930
104
2.6 Trigonometrische Funktionen
Beispiel 3: f (x) = 0, 5x + sin(x)
6
f(x)
4
2
0
-2
-4
-6
-10
-5
0
5
10
f 0 (x) = 0, 5 + cos(x)
f 00 (x) = − sin(x)
notwendige Bedingung für Extremstellen: f 0 (x) = 0
0, 5 + cos(x) = 0
x = arccos(−0, 5) + z · 2π ∨ x = [2π · arccos(−0, 5)] + z · 2π
x = 2, 094 + z · 2π ∨ x = (2π − 2, 094) + z · 2π= 4, 189 + z · 2π
hinreichende Bedingung für Extremstellen: f 00 (x) = 0
f 00 (2, 094 + z · 2π) = −0, 87 < 0
→ lokales Maximum
f 00 (4, 189 + z · 2π) = 0, 87 > 0
→ lokales Minimum
105
2 Analysis I — Differentialrechnung
f (2, 094 + z · 2π) = 0, 5 · (2, 094 + z · 2π) + sin(2, 094 + z · 2π)
= 1, 047 + z · π + 0, 87
= 1, 917 + z · π
f (4, 189 + z · 2π) = 0, 5 · (4, 189 + z · 2π) + sin(4, 189 + z · 2π)
= 2, 094 + z · π − 0, 87
= 1, 224 + z · π
Beispiel 4: f (x) = x · sin(x)
f 0 (x) = sin(x) + x · cos(x)
f 00 (x) = 2 cos(x) − sin(x) · x
Nullstellen:
x · sin(x) = 0
x = 0 ∨ sin(x) = 0
x = 0 (doppelt) ∨ x = z · π,
z∈Z
Extremstellen:
notwendige Bedingung für Extremstellen: NEWTON-Verfahren
x0 = 2
f 0 (2)
= 2, 029048281
f 00 (2)
x2 = 2, 028757866
x1 = 2 −
x2 = 2, 028757838
x = 2, 0288
hinreichende Bedingung für Extremstellen: f 00 (x) = 0
f 00 (2, 0288) = 2 cos(2, 0288) − sin(2, 0288) · 2, 0288 = −2, 704 < 0
→ lokales Maximum
f 00 (0) = 2 > 0
→ lokales Minimum
106
2.7 Klausur Nr. 3
2.7 Klausur Nr. 3
Aufgabe 1: Zum Warmrechnen
√
a) Zeige, dass man die Funktion
f
(x)
=
sin(x)
+
3 · cos(x) auch in der alter
π
nativen Form f (x) = 2 · sin x +
darstellen kann.
3
Tipp: Verwende das folgende Additionstheorem:
sin(x ± y) = sin(x) · cos(y) ± cos(x) · sin(y)
1
π
· sin(x) + cos x −
in der Form f (x) =
2
6
a · sin(x + c) dar. Entwirf mit Hilfe der neuen Darstellung ein Schaubild
des Funktionsgraphen
fπ! Tipp: Wende auf cos x −
und sin(x+c) die Additionstheoreme für den Sinus
6
(s.o.) bzw. den Kosinus,
b) Stelle die Funktion f (x) =
cos(x ± y) = cos(x) · cos(y) ∓ sin(x) · sin(y),
an. Leite aus den beiden sich für f (x) ergebenden Darstellungen zwei Gleichungen für a und c her, bestimme daraus a und c. Runde gegebenenfalls auf zwei
Dezimalen.
Aufgabe 2:
Eine trigonometrische Kurvendiskussion
a) Untersuche
Funktionsgraphen der Funktion f (x) = 3x − tan(x) im Inh π den
πi
tervall − ;
auf Periodizität, Symmetrie, Nullstellen, Hoch-, Tief- und
2 2
Wendepunkte. Verwende bei der Bestimmung der Nullstelle das Newton–
Verfahren mit x0 = 1, 25 als Startwert und rechne vier Iterationsschritte
(also bis x4 ).
Zwischenergebnis: f 00 (x) = −
2 sin(x)
cos3 (x)
b) Skizziere den Funktionsgraphen im Intervall [−1, 5; 1, 5]. Verwende 5 cm
als Einheit auf der x-Achse, 2 cm als Einheit auf der y-Achse.
c) Wo liegen die Hoch- bzw. Tiefpunkte des Funktionsgraphen, auf die man
als erste stößt, wenn man das obige Intervall nach links bzw. nach rechts
verlässt?
Achtung: Hier ist keine langwierige Rechnung verlangt, sondern eine Argumentation über die Eigenschaften von f bzw. f 0 !
107
2 Analysis I — Differentialrechnung
Ein Elektrogerätehersteller verkauft einen
Staubsauger im Direktvertrieb. Nach seinen Marktbeobachtungen beträgt die monatliche Verkaufszahl für ein solches Gerät
etwa
n=
2000
Gewinnmaximierung
1500
Anzahl Staubsauger
Aufgabe 3:
1012
,
x4
1000
500
0
0
50
100 150 200 250 300 350 400 450 500
wenn der Staubsauger für x Euro angebox in Euro
ten wird (siehe nebenstehende Abbildung).
Wir rechnen im Folgenden mit dieser Näherung und nehmen in Kauf, dass sie auch
nichtganzzahlige Werte annimmt.
a)
Die Herstellungskosten für das Gerät betragen 150 Euro. Sei G(x) der monatliche Gewinn bei einem Verkaufspreis von x Euro. Diskutiere die Gewinnfunktion
G(x) für x ≥ 150 und zeichne diese Kurve über dem Intervall x ∈ [150; 500].
Wähle auf der x-Achse 1 cm für 50 Euro und auf der y-Achse 1 cm für 10 000
Staubsauger.
b)
Bei welchem Verkaufspreis wird in a) der maximale Gewinn erzielt? Wie hoch ist
dieser Gewinn?
c)
Nimm an, dass die Herstellungskosten h Euro betragen und bestimme sowohl
einen Term für den günstigsten Verkaufspreis als auch für den maximalen Gewinn g(h).
1
Kontrollergebnis: g(h) = 1, 05 · 1011 · 3
h
d)
Um wie viel Prozent wächst der Maximalgewinn g(h), wenn die Herstellungskosten h um 20% gesenkt werden, zum Beispiel durch Auslagerung der Produktion in ein Billiglohnland?
Aufgabe 4:
Verzweigung von Blutgefäßen
C
Das Blutgefäßsystem des Körpers sollte so
r2
l
angelegt sein, dass der Bluttransport vom
Herzen zu allen Organen und zurück zum
s
Herzen möglichst energiesparend geschehen kann. Dabei spielen viele Faktoren eir1
α
ne Rolle, etwa die Weite der Blutgefäße A
B
D
und die Dünnflüssigkeit (Viskosität) des
x
Blutes. Ein Faktor ist auch die VerzweiL
gung der Gefäße.
Ein Hauptblutgefäß mit dem Radius r1 verlaufe von A nach B (siehe Abbildung).
108
2.8 Extremwertaufgaben
Ein Punkt C im Körper soll nun durch ein seitlich abzweigendes Nebenblutgefäß mit
dem Radius r2 mit Blut versorgt werden. Wir wählen für eine komfortablere Rechnung einen weiteren Punkt B, so dass BC senkrecht zu AB ist. Im Folgenden ist nun
derjenige Winkel α gesucht, für den der totale Widerstand des Blutes, das von A über
D nach B fließt, minimal wird. Die Frage nach dem günstigsten Verzweigungswinkel
ist bei vorgegebenen Punkten B und C übrigens gleichbedeutend mit der Frage nach
einem möglichst günstigen Verzweigungspunkt D, also nach der optimalen Länge
x = DB.
a)
Für den Widerstand R einer Flüssigkeit entlang eines (Blut-)Gefäßes gilt die Formel
R=k·
L
.
r4
Der Widerstand ist also proportional zur Länge L des Blutgefäßes und umgekehrt
proportional zur vierten Potenz des Radius r. Der konstante Faktor k beschreibt
die Dünnflüssigkeit des Blutes (je dünnflüssiger das Blut, desto kleiner k). Vorgegeben sind ferner wie in der Zeichung angedeutet die Längen BC = s und
AB = L.
Zeige, dass für den Gesamtwiderstand des Blutes entlang des Weges von A über
D nach C in Abhängigkeit vom Verzweigungswinkel α der folgende funktionale
Zusammenhang gilt:
k s · cos α s
k
R(α) = 4 · L −
+ 4·
sin α
r1
r2 sin α
b)
Zeige, dass für die Nullstelle α0 der ersten Ableitung von R(α) der Zusammenhang
4
r2
cos(α) =
r1
gilt. An dieser Stelle liegt dann ein Minimum von R(α) vor (braucht nicht gezeigt
zu werden).
c)
Wie du in b) gezeigt hast, hängt der optimale Verzweigungswinkel nur vom
Verhältnis r1 /r2 der Radien der Blutgefäße ab. Berechne den optimalen Verzweigungswinkel (in Grad, nicht im Bogenmaß gemessen) für die Radienverhältnisse
r1 /r2 = 4/3 und r1 /r2 = 3/2.
2.8 Extremwertaufgaben
Nr.5
In einer Firma werdeb Radiogeräte hergestellt. Bei einer Wochenproduktion von x
Radiogeräten entstehen fixe Kosten von 2000 Euro und variable Kosten, die durch
60x + 0, 8x2 (in Euro) näherungsweise beschrieben werden können.
109
2 Analysis I — Differentialrechnung
a) Bestimmen Sie die wächentlichen Gesamtkosten.
b) Die Firma verkauft alle wöchentlich produzierten Geräte zu einem Preis von
180 Euro je Stück. Geben Sie den wächentlichen Gewinn an.
c) Bei welchen Produktionszahlen macht die Firma Gewinn? Bei welcher Produktionszahl ist der Gewinn am größten?
d) Wegen eines Überangebotes auf dem Markt muss die Firma den Preis senken.
Ab welchem Preis macht die Firma keinen Gewinn mehr?
a) Radiogeräte:
F ixkosten = 2000 Euro, variable Kosten = 60x + 0, 8x2
K(x)ges = 0, 8x2 + 60x + 2000
b)
G(x) = 180x − K(x)
G(x) = 180x − (0, 8x2 + 60x + 2000)
G(x) = −0, 8x2 + 120x − 2000
c) Nullstellen berechnen:
G(x) = −0, 8x2 + 120x − 2000
0 = x2 − 150x + 2500
p
x1,2 = +75 ± (75)2 − 2500
x1 ≈ 19, 098 ∨ x2 ≈ 130, 902
Die Firma macht zwischen 20 und 130 Teilen Gewinn.
G0 (x) = −1, 6x + 120
−1, 6x + 120 = 0
−1, 6x = −120
x = 75
G00 (x) = −1, 6 < 0
→ lokales Maximum.
Bei einer Produktionszahl von 75 Stück ist der Gewinn am größten.
110
2.8 Extremwertaufgaben
d1)
gegeben: a = Preis, x = 75
G(x, a) = xa − (0, 8x2 + 60x + 2000)
= 75a − [(0, 8 · 752 ) + (60 · 75) + 2000]
= 75a − 11000
0 = 75a − 11000
a ≈ 146, 6
d2)
G(x, a) = ax − K(x)
= ax − 0, 8x2 − 60x − 2000
= −0, 8x2 + (a − 60)x + 2000
G(x, a) = 0
0 = −0, 8x2 + (a − 60)x + 2000
5a
= x2 + (75 − ) · x + 2500
4
x = −37, 5 + 0, 625a ±
p
(−37, 5 + 0, 625a)2 − 2500
0 = (−37, 5 + 0, 625a)2 − 2500)
2500 = (−37, 5 + 0, 625a)2
±50 = −37, 5 + 0, 625a
0, 625a = 37, 5 ± 50
a = 1, 6 · (37, 5 ± 50)
a = 140 ∨ a = −20
111
2 Analysis I — Differentialrechnung
112
3 Vektorrechnung
Die rechnerische Addition/Subtraktion von Vektoren erfolgt koordinatenweise.
Beispiel:
3
5
+
=
−4
−1
10
−2
12
−
=
−3
3
−6
2
3
zeichnerische Subtraktion:
Man subtrahiert zwei Vektoren zeichnerisch, indem man den Gegenvektor des zweiten Vektors zum ersten Vektor addiert: ~a − ~b = ~a + (−~b)
113
3 Vektorrechnung
S-Multiplikation
Beispiel:
3·
3
2
=
3
2
+
3
2
+
3
2
=
9
6
Ortsvektoren und Verbindungsvektoren
Definition: Den Vektor, der im Koordinatensystem vom Ursprung zu einem Punkt P
zeigt, nenne man Ortsvektor von x~p von P.
Beispiel: P (2|3| − 5)


2
x~p =  3 
−5
Definition: Den Vektor, der von einem Punkt P zu einem Punkt Q zeigt, nennt man
Verbindungsvektor P~Q.
P~Q = x~Q − x~P
3.1 Anwendungsgebiete der Vektorrechnung
• Physik (Mechanik, E-Lehre, Relativitätstheorie, Quantenmechanik, usw.)
• Lösung von Gleichungssystemem mit Hilfe von Vektoren und Matrizen
• Betriebswirtschaftslehre und Umverteilungsprozesse
• Untersuchung von (elementar-) geometrischen Fragestellungen, z.B. Berechnung
von Längen, Winkeln, Abständen, Schnittgebilden
• Vektorielle Beweise elementargeometrischer Sätze
Fragestellung: Wie lässt sich eine Gerade mit Hilfe von Vektoren darstellen?
114
3.2 Schnitt zweier Geraden
Ziel: Aufstellen einer Gleichung für die Ortsvektoren aller Punkte, die auf g liegen
(Parametergleichung der Geradengleichung):
g : ~x =
x~p
|{z}
Stützvektor
+ |{z}
r
·
~u
|{z}
Parameter Richtungsvektor
Beispiel 1: Die Gerade g durch die Punkte A(3|2| − 3) und B(−1|7|0) hat die Gleichung:




3
−4
g : ~x =  2  + r ·  5 
−3
3




3
−2
Beispiel 2: Liegt der Punkt P (7|5|−8) auf der Geraden g : ~x =  1  +r ·  2 ?
−2
−3
Gleichsetzen:

 



7
3
−2
 5 = 1 +r· 2 
−8
−2
−3
Diese Gleichung stimmt für r = 2 für alle drei Koordinaten.
Beispiel 3: Liegt der Punkt A(4|3|−1) auf der Geraden BC durch die Punkte B(−8|1|2)
und C(3|2| − 3)?




−8
11
g : ~x =  1  + r ·  1 
2
−5
~x = x~p + r · ~u




 
11
4
−8
 3 = 1 +r· 1 
−5
−1
2




12
11
 2 =r· 1 
−3
−5
Da es kein r gibt, das die Gleichung erfüllt, liegt der Punkt nicht auf der Geraden!
3.2 Schnitt zweier Geraden
3.2.1 ... in zwei Dimensionen
Es gibt drei verschiedene Möglichkeiten:
115
3 Vektorrechnung
1. Die Geraden schneiden sich,
2. sind identisch oder
3. sie sind echt parallel.
Beispiel:
p
~
~
u
z }| {
z }| {
3
2
+r ·
g:
4
5
1
−4
h:
+s ·
−2
10
| {z }
| {z }
q~
~v
~u und ~v sind kollinear, d.h. g und h sind parallel.
Sind g und h identisch oder echt parallel?
Man überprüft, ob der Punkt P1 (3|4) auf h liegt (alternativ kann man auch kontrollieren, ob P2 (1| − 2) auf g liegt):
3
4
=
1
−2
+s·
−4
−10
Es gibt kein s (bzw. r), welches diese Gleichung erfüllt, somit sind g ung h echt parallel.
Alternative
Man bildet die Differenz der Stützvektoren p~ − ~q und untersucht, ob p~ − ~q kollinear ist
zu ~u bzw. ~v . Im Falle der Kollineariät sind g und h identisch.
3.2.2 Mögliche Lagebeziehungen zweier Geraden im
dreidimensionalen Bereich
1. identische
2. echt parallel
3. ein gemeinsamer Schnittpunkt
4. windschief
Fall 1 und 2: g und h haben kollineare (d.h. linear unabhängige) Richtungsvektoren.
Die Unterscheidung der Fälle 1 und 2 erfolgt dann genau wie in 2 Dimensionen
116
3.2 Schnitt zweier Geraden
Fall 3 und 4: g und h haben nicht kollineare Richtungsvektoren.
Für Fall 3: ~u, ~q − p~ und ~v liegen in einer Ebene, sind also komplaner.
Fall 4: ~u, ~q − p~ und ~v liegen in keiner gemeinsamen Ebene.
Bedeutung von kollinear und komplanar
Kollinear: 2 Vektoren zeigen in die gleiche Richtung: ~a = r · ~b
Komplanar: 3 Vektoren liegen in einer gemeinsamen Ebene (Linearkombination der
Vektoren ~a und ~b: ~c = r~a + s~b

 



3
2
5
Beispiel: Behauptung:  4 ,  −1  und  14  sind komplanar.
−1
5
−13






3
2
5
 4  = r ·  −1  + s ·  14 
−1
5
−13
Daraus ergibt sich ein LGS:
3 = 2r + 5s
4 = −r + 14s
−1 = 5r − 13s
Das Lösen durch die ersten beiden Gleichungen ergibt: s =
Gleichung einsetzen:
1
3
und r =
2
3.
In dritte
−1 = 5r − 13s
−1 = −1

3
Kein Widerspruch, also ist  4  =
−1
Vektoren komplanar.


2
3

2
·  −1  +
5

1
3

5
·  14 , somit sind die
−13
3.2.3 Übungsaufgaben
Aufgabe: Untersuche die folgenden Geraden auf ihre gegenseitige Lagebeziehung.
a)




1
−3
g : ~x =  4  + r ·  2 
−2
−2
117
3 Vektorrechnung




2
−6
h : ~x =  5  + s ·  −4 
−1
4
g und h haben kollineare Richtungsvektoren, d.h. sie sind indentisch oder echt
parallel. Es wird nun überprüft, ob der Punkt (1|4| − 2) auf h liegt:

 



1
2
−6
 4  =  5  + s ·  −4 
−2
−1
4




−1
−6
 −1  = s ·  −4 
−1
4
Es gibt kein s (bzw. r, dies kann überprüft werden, indem untersucht wird, ob
(2|5| − 1) auf g liegt), d.h. die beiden Geraden sind echt parallel.
Allternative Lösung über Schnittberechnung:



 



1
−3
2
−6
 4  + r ·  2  =  5  + s ·  −4 
−2
−2
−1
4
in Gleichungssystem umformen:
1 + 3r = 2 − 6s
4 + 2r = 5 − 4s
−2 − 2r = −1 + 4s
werden die unteren beiden Gleichungen addiert, so ergibt sich:
1 + 3r = 2 − 6s
2
=
4
4 + 2r = 5 − 4s
Da es hier zu einem Widerspruch kommt (2 = 4), gibt es keinen Schnittpunkt.
Die Richtungsvektoren sind nicht kollinear, d.h. g und h sind echt parallel.
b)




2
−4
g : ~x =  3  + r ·  2 
−1
−6
 


4
6
h : ~x =  2  + s ·  −3 
2
9
118
3.2 Schnitt zweier Geraden
g und h haben nicht kollineare Richtungsvektoren, d.h. sie sind windschief oder
haben einen gemeinsamen Schnittpunkt. Ansatz:


 


4
2
1
 4 =a· 4 +b· 5 
−2
1
−2
Gleichungssystem:
4 = 2a + b
4 = 4a + 5b
−2 = a − 2b
durch umformen der ersten beiden Gleichungen ergibt sich: b = − 43 und a = 2 23 ,
überprüfen indem r und s in die dritte Gleichung eingesetzt werden:
2
4
−2 = 2 − 2 · (− )
3
3
−2 = 5
1
3
Da es sich um einen Widerspruch handelt, sind die Geraden windschief.
Schnittpunktberechnung:



  


2
−4
4
6
 3  + r ·  2  =  2  + s ·  −3 
−1
−6
2
9
Gleichungssystem:
3 + 2r = −1 + s
2 + 4r = −2 + 5s
1 + r = 3 − 2s
werden die ersten beiden Gleichungen umgeformt, so ergibt sich: s = − 34 und
r = −2 23 , in die dritte Gleichung einsetzen: −1 32 = 5 23 . Es gibt also keinen Schnittpunkt, zudem sind die Richtungsvektoren nicht kollinear, sodass die Gerade windschief sind.
c)


 
3
2
g : ~x =  2  + r ·  4 
1
1
119
3 Vektorrechnung




−1
1
h : ~x =  −2  + s ·  5 
3
−2
g und h haben kollineare Richtungsvektoren, d.h sie sind entweder identisch oder
echt parallel. Es wird nun überprüft, ob der Punkt (2|3| − 1) auf h liegt:

  






2
4
6
−2
6
 3  =  2  + s ·  −3  ⇔  1  = s ·  −3 
−1
2
9
−3
9
Die Gleichung lässt sich für r = -2 lösen, d.h. die Geraden sind identisch.
Schnittpunktberechnung:



  


2
−4
4
6
 3  + r ·  2  =  2  + s ·  −3 
−1
−6
2
9
daraus ergibt sich folgendes Gleichungssystem:
2 − 4r = 4 + 6s
3 + 2r = 2 − 3s
−1 − 6r = 2 + 9s
umformen:
−4r − 6s = 2 4r + 6s = −2 −6r − 9s = 3 0 =
0
3
1
r = − − s 2
2 r = −1 − 3s 2
2
Es gilt: g ∩ h = g und g ∩ h = h




2
−4
g : ~x =  3  + r ·  2 
−1
−6
die Lösung r = − 12 − 32 s in die Gleichung einsetzen:



  


2
−4
4
6
1
3
g : ~x =  3  + (− − s) ·  2  =  2  + s ·  −3 
2 2
−1
−6
2
9
120
(3.1)
3.2 Schnitt zweier Geraden
Somit haben die Geraden einen Schnittpunkt. Da die Richtungsvektoren kollinear sind, sind die beiden Geraden identisch.
d)




4
2
g : ~x =  −1  + r ·  1 
3
−4


 
8
1
h : ~x =  6  + s ·  3 
3
2
g und h sind nicht kollinear, d.h sie sind entweder windschief oder besitzen einen
gemeinsamen Schnittpunkt.
Ansatz:
 


 
4
2
1
 7 =a· 1 +b· 3 
0
−4
2
Gleichungssystem aufstellen:
4 =
2a + b
7 =
a + 3b
0 = −4a + 2b
(3.2)
(5) mit (-2) multiplizieren und anschließend mit (4) addieren:
10 = −5b ⇔ b = −2
in (4) einsetzen:
−4 = 2a − 2 ⇔ a = −1
mit (6) überprüfen:
0=4−4
0=0
Kein Widerspruch, also schneiden sich die beiden Geraden.
Schnittpunktberechnung:



  
 
4
2
8
1
 −1  + r ·  1  =  6  + s ·  3 
3
−4
3
2
121
3 Vektorrechnung
daraus ergibt sich folgendes Gleichungssystem:
4 + 2r = 8 + s
−1 + r = 6 + 3s
3 − 4r = 3 + 2s
|·2
(3.3)
(8) und (9) subtrahieren:
6 = −4 − 5s ⇔ s = −2
in (7) einsetzen:
4 + 2r = 8 − 2
r=1
zum überprüfen in (9) einsetzen:
3−4=3−4
0=0
Kein Widerspruch und linear unabhängige Richtungsvektoren bedeutet, dass die
beiden Geraden einen gemeinsamen Schnittpunkt haben.
3.3 Orthogonalität von Geraden und Ebenen
Frage: Wann sind zwei Vektoren
Senkrecht im zweidimensionalen Raum?
zueinander
a
Um einen orthogonalen Vektor
zu finden, vertauscht man die Koordinaten und
b
b
ein Vorzeichen
.
−a
Ein senkrechter Vektor kann bei Abstandsberechnungen nützlich sein:
Beispiel:
Berechne
den Abstand des Punktes P (4| − 2) von der Geraden g : ~x =
1
−2
+r·
5
3
Schritt 1: Aufstellen der Geradengleichung für h:
4
3
h : ~x =
+s·
−2
2
Schritt 2: Berechne g ∩ h = [Q], LGS aufstellen:
1 − 2r = 4 + 3s
5 + 3r = −2 + 2s
ergibt: s =
122
5
13
und r =
1
−2 13
demnach ist x =
2
5 13
3
−1 13
3.4 Das Skalarprodukt von Vektoren
3.4 Das Skalarprodukt von Vektoren
3.4.1 Betrag/Länge eines Vektors


a1
q


|~a| = | a2
| = a21 + a22 + a23
a3




a1
b1
Herleitung einer Bedingung, unter der ~a =  a2  und ~b =  b2  orthogonal sind:
a3
b3
~
~
~a steht senkrecht auf b, wenn ~a, b und ~c ein rechtwinkliches Dreieck bilden, also genau
dann, wenn in diesem Dreieck der Satz von Pythagoras gilt: |~c|2 = |~a|2 + |~b|2 .
Einsetzen der Koordinaten:
Beweis!!

 

a1
b1
Den Ausdruck ~a ·~b =  a2  ·  b2  nennt man Skalarprodukt der Vektoren ~a und
a3
b3
~b.
Also: Wenn das Skalarprodukt zweier Vektoren gleich Null ist, sind die Vektoren orthogonal.
3.4.2 Winkel zweier Vektoren
Kosinussatz: c2 = a2 + b2 − 2ab · cos(γ), einsetzen:
|~a − ~b|2 = |~c|2 = |~a|2 + |~b|2 − 2 · |~a| · |~b| · cos(γ)
3.5 Klausur Nr. 4
Aufgabe 1:
Zum Warmrechnen
a)
Forme die folgende Ebenengleichung von Parameterform zunächst in Normalenform, dann in Koordinatenform um:






2
1
5
E : ~x =  −3  + r ·  −2  + s ·  3 
5
4
−1
b)
Gib die Spurpunkte und Spurgeraden der Ebene E an.
c)
Berechne den Schnittpunkt der Ebene E mit der Geraden




2
1
g : ~x =  2  + t ·  4 
−2
−5
123
3 Vektorrechnung
Hinweis: Wähle für deine Rechnung eine der drei Darstellungsformen der Ebene E frei
nach deinem Geschmack aus.
d)
Begründe ohne Gleichsetzen der Geradengleichungen, dass die beiden Geraden




1
−2
g : ~x =  2  + t ·  4 
−3
6




3
3
und h : ~x =  0  + t ·  −6 
4
−9
echt parallel sind.
e)
Berechne den Schnittwinkel α der Ebene E und der Gerade g aus den Teilaufgaben a) und c).
f)
Leite aus der Definition des Skalarproduktes im IR2 , ~a · ~b = a1 b1 + a2 b2 , mit Hilfe
des Kosinussatzes wie im Unterricht den Zusammenhang ~a · ~b = |~a| · |~b| · cos(α)
her.
g)
Welche Sonderfälle ergeben sich für das Skalarprodukt ~a · ~b, falls ~a ⊥ ~b bzw. ~a k ~b
gilt?
h)
Gib eine außermathematische (z. B. eine physikalische) Anwendungsmöglichkeit
des Skalarproduktes an, oder erläutere alternativ, welche mathematisch–geometrische Anschauung hinter der Berechnung des Skalarproduktes steht.
i)
Erläutere an Hand einer Skizze und mit einem kurzen Text, wie wir im Unterricht
die Normalenform der Ebenengleichung
E : (~x − ~xP ) · ~n = 0
hergeleitet haben.
Aufgabe 2:
Untersuchungen am Dreieck
Gegeben ist das Dreieck ABC mit den Eckpunkten A (1|4), B (−2|5) und C (−4|8).
a)
Stelle die Geradengleichungen der drei Geraden a, b und c auf, die durch die Seiten des Dreiecks verlaufen, berechne die drei Innenwinkel des Dreiecks und weise somit für dieses spezielle Dreieck nach, dass die Summe seiner Innenwinkel
180o beträgt.
b)
Stelle die Geradengleichungen der drei Mittelsenkrechten ma , mb und mc des
Dreiecks auf und zeige, dass sie sich in einem gemeinsamen Schnittpunkt M
schneiden. Gib die Koordinaten dieses Punktes M an.
Hinweise:
•
124
Unter der Mittelsenkrechten einer Seite versteht man die Gerade, die durch den
Mittelpunkt der Seite verläuft und auf dieser senkrecht steht.
3.5 Klausur Nr. 4
•
Den Mittelpunkt einer Strecke PQ berechnet man, indem man von den Koordinaten der Punkte P und Q jeweils das arithmetische Mittel bildet: ~xM (P Q ) =
~xP + ~xQ
2
c)
Weise rechnerisch nach, dass der Punkt M, den du in b) berechnet hast, der Mittelpunkt eines Kreises ist, der durch A, B und C verläuft. Wie wir aus der Unterstufe
wissen, nennt man diesen Kreis auch Umkreis des Dreiecks.
d)
Begründe mit Hilfe einer Skizze und einer kurzen Rechnung den folgenden Satz:
Der Flächeninhalt des Parallelogramms, das durch die Vektoren ~a und ~b aufgespannt wird, berechnet sich nach der Formel
A = |~a| · |~b| · sin(α),
wobei α der Winkel zwischen den beiden Vektoren ist.
e)
Berechne mit Hilfe der Formel aus d) den Flächeninhalt des oben beschriebenen
Dreiecks ABC.
Aufgabe 3:
Spiegelung an einer Ebene
Gegeben ist die Ebene
E : 3x − 2y + 6z = 18
sowie der Punkt P (4| − 1|3).
a)
Berechne die Parameterdarstellung
der Gerade g, die durch den Punkt P
verläuft und senkrecht auf der Ebene E steht.
b)
Berechne den Schnittpunkt F von E
und g (den sogenannten Lotfußpunkt).
c)
Berechne den Abstand des Punktes
P von der Ebene E.
d)
Gib die Koordinaten des Punktes P0
an, den man erhält, wenn man den
Punkt P an der Ebene E spiegelt.
Aufgabe 4:
P'
F
.
x
x
P
x
g
E
Winkelberechnungen im Oktaeder
Verbindet man die Mittelpunkte der Seitenflächen eines Würfels, so erhält man einen
sog. Oktaeder (siehe Abbildung). Zur Vereinheitlichung der Rechnungen gehen wir
wie in der Abbildung gezeigt davon aus, dass der Oktaeder einem Einheitswürfel
einbeschrieben ist.
125
3 Vektorrechnung
y
a)
Gib zunächst für die weiteren Berechnungen die Koordinaten der sechs
Eckpunkte des Oktaeders an.
1
γ
b)
Formuliere die Geradengleichungen
der drei Geraden, die die abgebildeten Winkel α, β und γ begrenzen
und zeige durch Berechnung dieser
Winkel, dass es sich bei den Seitenflächen des Oktaeders um gleichseitige Dreiecke handelt.
δ α
β
1
x
1
z
c)
Berechne den in der Abbildung angedeuteten Winkel δ, unter dem eine Ebene/ein Dreieck der oberen Hälfte des Oktaeders auf die entsprechende Ebene/das entsprechende Dreieck der unteren Hälfte stößt.
Aufgabe 5:
Beweis des Höhensatzes mit Hilfe des Skalarproduktes
Aus der Sekundarstufe I kennen wir den sog. Höhensatz für rechtwinklige Dreiecke.
Dieser lautet für ein Dreieck mit rechtem Winkel in C und den Bezeichnungen aus der
Abbildung unten links:
h2 = p · q
Drücken wir nun die Dreiecksseiten und die Höhe gemäß der Abbildung unten rechts
mit Vektoren aus, dann bekommt der Höhensatz die folgende Form:
|~h|2 = |~
p| · |~q|
Beweise die vektorielle Form des Höhensatzes, indem du zunächst die Vektoren ~a
und ~b als Summe bzw. Differenz der Vektoren ~h, p~ und ~q ausdrückst und anschließend
ausnutzt, dass ~a und ~b senkrecht aufeinander stehen.
126
.
.
.
h
p
a
3.5 Klausur Nr. 4
b
h
q
a
b
.
q
p
127
3 Vektorrechnung
128
4 Wahrscheinlichkeitsrechnung
und Statistik
4.1 Grundbegriffe
4.1.1 Der Begriff der absoluten/relativen Häufigkeit
Ist ein Ereignis A bei n Durchführungen eines Zufallsexperimentes H-mal eingetreten,
so nennt man H seine absolute und H
n seine relative Häufigkeit h.
H
n
10 Würfe mit einem Würfel, 3 mal fällt die 6
absolute Häufigkeit: 3
relative Häufigkeit: 3/10 = 0,3
h(A) =
Bei einem Würfel beträgt die Wahrscheinlichkeit, dass die 6 bei einem Wurf fällt
oder auch 1 : 5.
1
6
4.1.2 Ereignis und Ergebnis
Ereignisse werden im Vorfeld eines Zufallsexperimentes definiert, z.B.:
E1 : Der Würfel zeigt eine gerade Zahl.
Zu diesem Ereignis gehören die Ergebnisse 2, 4 und 6:
E1 = {2;4;6}
Wir setzen im Folgenden voraus, dass der Würfel nicht gezinkt ist, d.h. dass die Ergebnisse 1, 2, ..., 6 alle gleich wahrscheinlich sind. Dann ist die Wahrschinlichkeit für
das Ereignis E1
1 ∧
3
= = 50%
6
2
Allgemeines Vorgehen bei Zufallsexperimenten, deren einzelne Ergebnisse gleich wahrscheinlich sind (sogenannte Laplace-Experimente“, wie z.B. Würfel, Münze usw.):
”
Anzahl der Ergebnisse, die zu E gehören
p(E) =
Anzahl aller möglichen Ergebnisse
p(E1 ) =
129
4 Wahrscheinlichkeitsrechnung und Statistik
4.1.3 Der Begriff der Häufigkeit - Das Gesetz der großen
Zahlen
Je öfter man ein Zufallsexperiment durchführt, desto geringer werden die Schwankungen in der relativen Häufigkeit. Die relativen Häufigkeiten nähern sich also mit
zunehmender Anzahl von Versuchsdurchführungen immer weiter einem Grenzwert
an. Diesen Grenzwert nennt man Wahrscheinlichkeit.
4.1.4 Mehrstufige Zufallsexperimente / Pfad,Baumdiagramme
Führt man ein Zufallsexperiment mehrmals hintereinander oder mit mehreren identischen Geräten gleichzeitig durch, so spricht man von einem mehrstufigen Zufallsexperiment.
Werden n Zufallsexperimente nacheinander durchgeführt, so kann man dies als einmalige Durchführung eines n-stufigen Zufallsexperimentes auffassen, dessen Ergebnisse n-Tupel sind.
w
P(ww)= 3/4 x 3/4 = 9/16
r
P(wr)= 3/4 x 1/4 = 3/16
w
P(rw)= 1/4 x 3/4 = 3/16
r
P(rr)= 1/4 x 1/4 = 1/16
3/4
w
1/4
3/4
3/4
1/4
r
1/4
Für mehrstufige Zufallsexperimente gelten die Pfadregeln:
Pfadmultiplikationsregel:
Im Baumdiagramm ist die Wahrscheinlichkeit eines Pfades gleich dem Produkt der
Wahrscheinlichkeiten auf den Teilstrecken des Pfades.
130
4.2 Kombinatorik
Pfadadditionsregel:
Gehören mehrere Pfade zu einem Ereignis, so ist dessen Wahrscheinlichkeit die Summe der Pfade, die zu dem Ereigns gehören.
4.1.5 Das Gegenereignis
Alle Ergebnisse, die nicht zum Ereignis E gehören, bilden das Gegenereignis E (zu
dem Ereignis E gehören in einem Baumdiagramm also alle Pfade, die nicht zu E
gehören). Wenn die Wahrscheinlichkeit für E p(E) beträgt, dann berechnet sich die
Wahrscheinlichkeit des Gegenereignisses E zu:
p(E) = 1 − p(E)
4.2 Kombinatorik
4.2.1 Das Urnenmodell
Man unterscheidet zwischen Ziehen mit bzw. ohne Zurücklegen.
Eine Lottoziehung entspricht z. B. einer Urnenziehung ohne Zurücklegen, denn eine
Lottozahl tritt nicht mehrfach auf.
Ein Experiment mit einem Würfel entspräche z. B. einer Urnenziehung mit Zurücklegen, denn die einzelnen Ergebnisse, in diesem Fall die oben liegenden Augenzahlen,
dürfen sich wiederholen.
Es gibt 4 Typen von Abzählverfahren, die sich an zwei Kriterien orientieren:
1.) Handelt es sich um eine Ziehung mit oder ohne Zurücklegen?
2.) Kommt es bei der Ziehung auf die Reihenfolge an oder nicht?
Für jeden der 4 Typen gibt es eine Formel zur Berechnung der Anzahl der
Möglichkeiten.
Ziehung...
ohne
Beachtung
der Reihenfolge
mit
...ohne Zurücklegen
n
k
=
n!
k!(n−k)!
... mit Zurücklegen
n+k−1
k
Bsp.: Ziehen mit einem Griff
Beachtung
n!
(n−k)!
nk
der Reihenfolge
Bücher im Regal sortieren
Wort MEER aus einer Urne ziehen
131
4 Wahrscheinlichkeitsrechnung und Statistik
Weitere Beispiele:
• Ziehung ohne Zurücklegen und ohne Berücksichtigung der Reihenfolge: 3 von
20 Busgästen werden auf Schmuggelware untersucht. (Diesen Typ nennt man
auch Ziehen mit einem Griff“.)
”
• ohne Zurücklegen mit Berücksichtigung der Reihenfolge: 20 Bücher werden
zufällig in ein Regal gestellt.
• mit Zurücklegen ohne Berücksichtigung der Reihenfolge: Augensumme zweier
Würfel.
• mit Zurücklegen mit Berücksichtigung der Reihenfolge: Fußballtoto.
4.3 Rechnen mit Wahrscheinlichkeitsverteilungen
4.3.1 Bernoulli-Experimente
Unter einem Bernoulli-Experiment versteht man ein Zufallsexperiment mit zwei möglichen Ergebnissen bzw. Ereignissen (Stichwort: Treffer-Niete Experiment), wobei sich
die Treffer-Nieten Wahrscheinlichkeit von Ziehung zu Ziehung nicht verändert (Also
z.B. Ziehen mit Zurücklegen im Urnenmodell oder eine sehr große Grundgesamtheit).
Eine Zufallsvariable, die bei einem der Ergebnisse den Wert 1 (Treffer), beim anderen
den Wert 0 (Niete) annimmt, heißt Bernoulli-Variable.
Bei einem Bernoulli-Experiment mit n Schüssen und mit einer Trefferwahrscheinlichkeit von p beträgt die Wahrscheinlichkeit für k Treffer
n
p(X = k) =
· pk · (1 − p)n−k
k
p(X=k): ist die Wahrscheinlichkeit für k Treffer.
X: Zufallsvariable für die Anzahl der Treffer.
Ein Zufallsexperiment, das aus n unabhängigen Durchführungen desselben BernoulliExperimentes besteht, heißt Bernoulli-Kette der Länge n.
Viele Rechnungen führen dann auf die zugehörige Wahrscheinlichkeitsverteilung, die
man mit einem Diagramm darstellen kann. Die Verteilung, die sich bei einem BernoulliExperiment ergibt, nennt man Binomialverteilung.
4.3.2 Die Binomialverteilung
...ist eine Wahrscheinlichkeitsverteilung, die sich bei einem Bernoulli-Experiment ergibt (Treffer/ Niete mit gleichbleibender Wahrscheinlichkeit).
Formel für k Treffer bei n Schüssen bei einer Trefferwahrscheinlichkeit von p:
n
Bn;p (k) = p(n; X = k) =
· pk · (1 − p)n−k
k
132
4.4 Beurteilende Statistik
4.3.3 Kumulierte Binomialverteilung
kumuliert: aufaddiert, angesammelt.
Bei n Versuchen eines Bernoulli-Experimentes mit der Trefferwahrscheinlichkeit p gilt
die folgende Formel für die Wahrscheinlichkeit für k Treffer:
Fn;p (k) = p(n; X ≤ k) = Bn;p (X = 0)+Bn;p (X = 1)+Bn;p (X = 2)+. . .+Bn;p (X = k)
4.4 Beurteilende Statistik
4.4.1 Zweiseitiger Hypothesentest/ Signifikanztest
Schema eines zweiseitigen Signifikanztestes:
1.) Wie lauten die Nullhypothese und die Gegenhypothese?
2.) Wie groß sind der Stichprobenumfang n und die Irrtumswahrscheinlichkeit α?
3.) Welche Zufallsvariable X ist Prüfvariable und wie ist sie verteilt?
4.) Wie lautet der Ablehnungsbereich?
5.) Wie wird aufgrund der Stichprobe entschieden?
4.4.2 Einseitiger Signifikanztest
Allgemein sind 2 Fälle von Hypothesenpaaren denkbar:
1. Fall: p ≤ p0 ; p > p0
2. Fall: p ≥ p0 ; p < p0
Durch die Betrachtung des Extremfalles p = p0 wird die Prüfverteilung eindeutig festgelegt:
1. Fall: H0 : p ≤ p0 ; H1 : p > p0
2. Fall: H0 : p ≥ p0 ; H1 : p < p0
Da man die Nullhypothese p ≤ p0 nur bei sehr großen Werten der Prüfvariable ablehnen wird, nennt man diesen Test einen rechtsseitigen Signifikanztest.
Ist p ≥ p0 die Nullhypothese, so wird man diese ablehnen, wenn die Prüfvariable sehr
kleine Werte annimmt. Deshalb heißt dieser Test linksseitiger Signifikanztest.
Beide Arten von Test zusammen heißen einseitige Tests.
Rechtsseitiger Test
Bsp: Der Hersteller eines Artikels garantiert, dass der Ausschussteil höchstens 4% beträgt.
Ein Abnehmer entnimmt einer Lieferung 100 Artikel und findet 9 Ausschussstücke. Kann
man hieraus mit einer Irrtumswahrscheinlichkeit von 5% schließen, dass der Ausschussanteil
höher als 4% ist?
133
4 Wahrscheinlichkeitsrechnung und Statistik
Behauptung des Herstellers: pdef ekt ≤ 0, 04
Zu untersuchende Trefferwahrscheinlichkeit: p = 0, 04
Stichprobenumfang: n = 100
Irrtumswahrscheinlichkeit α höchstens 5 %
F100;0,04 (X ≤ g) ≥ 0, 95
| g gehört zum Annahmebereich
F-Tabelle → g= 7
Antwort: Enthält die Probe bis zu 7 defekte Teile, vertraut man der Aussage des Herstellers und behält die Sendung, ab 8 defekten Teilen schickt man die Ladung zurück.
Linksseitiger Test
Bsp: Bei der letzten Wahl hat ein Kandidat 40% der abgegebenen Stimmen erhalten. Im zu
prüfen, ob er seinen Stimmenanteil zumindest gehalten hat, wird einige Zeit vor der nächsten
Wahl eine Umfrage durchgeführt. Von 100 Personen geben nur 34 an, dass sie diesen Kandidaten wählen werden. Kann man hieraus mit der Irrtumswahrscheinlichkeit 0,05 schließen,
dass der Stimmenanteil des Kandidaten gesunken ist?
Der Kandidat behauptet, bei ihm sei p ≥ 0, 4
n = 100 und α ≤ 5%
F100;0,04 (x ≤ g) ≤ 0, 05
| g gehört zum Ablehnungsbereich
F- Tabelle → g = 31.
Antwort: Wenn man behauptet, dass sich der Kandidat verschlechtert, wenn er höchstens 31 von 100 Stimmen in der Stichprobe erhalten hat, obwohl er den Anteil gehalten
hat, geschieht dies in höchstens 5% aller Stichproben.
4.5 Der Alternativtest
4.5.1 Das Einstiegsverfahren - Möglichkeiten und Fehler
Der Hypothesentest als Prüfverfahren
Es werden beispielhaft die beiden alternativen Hypothesen p=0,8 und p=0,6 aufgestellt (stark vereinfachte Prüfsituation). Es wird nun ein Zufallsversuch durchgeführt,
der zeigen soll, welche der beiden Hypothesen richtig und welche falsch ist.
Entscheidungsregel
Bevor der Hypothesentest durchgeführt wird, muss eine Entscheidungsregel aufgestellt werden.
Bsp.: Es soll die Hypothese p=0,8 verworfen werden (und somit für die Richtigkeit von p=0,6
entschieden werden), falls eine beliebige Anzahl X höchstens 14 beträgt, also X ≤ 14.
Beiden Hypothesen können nun Annahme- und Verwerfungsbereich zugeordnet werden:
134
4.5 Der Alternativtest
Hypothese p=0,8: Annahmebereich: X ≥ 15 und Verwerfungsbereich: X ≤ 14
Hypothese p=0,6: Annahmebereich: X ≤ 14 und Verwerfungsbereich: X ≥ 15
Der sogenannte kritische Wert trennt Annahme- und Verwerfungsbereich.
Fehler beim Testen von Hypothesen
Beim Testen von Hypothesen wird wie oben bereits erwähnt zwischen Annahmebereich und Verwerfungsbereich einer Hypothese unterschieden:
• Liegt das Ergebnis eines Zufallsversuches im Verwerfungsbereich, dann hält
man die Hypothese für falsch.
• Liegt es im Annahmebereich, dann hat man dazu keinen Anlass.
Es können beim Hypothesentest Fehler 1. und 2. Art unterlaufen (Achtung: folgende Tabellenaufteilung entspricht der Mitschrift aus dem Unterricht. Sie unterscheidet
sich in der Form der Spalten- und Zeilenaufteilung der Tabelle von den kopierten
Zetteln.) :
Ergebnis
des Hypothesentests
Hypothese
angenommen
(X im Annahmebereich)
Hypothese
verworfen
Hypothese
wahr
Entscheidung
richtig
Hypothese
falsch
Fehler 2. Art
(p = β)
Fehler 1. Art
(p = α)
Entscheidung
richtig
Fehler 1. Art: Eine wahre Hypothese wird verworfen.
Fehler 2. Art: Eine falsche Hypothese wird nicht verworfen.
Bsp.: Der Medikamententest in der Einstiegsaufgabe (bei der: p=0,8 und p=0,6) wird mit
n=50 Patienten durchgeführt. Bestimme α und β bezüglich der Entscheidungsregel: Verwirf
p=0,6, falls X > 30.
Berechnung von α:
∧
F50;0,6 (X > 30) = 1 − F50;0,6 (X ≤ 30) = 1 − (1 − 0, 4465) = 0, 4465 = 44, 65%
Berechnung von β (p=0,8 und X ≤ 30):
∧
F50;0,8 (X ≤ 30) = 1 − 0, 9991 = 0, 0009 = 0, 09%
4.5.2 Aufgabe zum Alternativtest
Bei einem gezinkten Würfel fällt in 30% aller Fälle die 6. Du möchtest das dir vorliegende Exemplar daraufhin testen, ob es ein gezinkter Würfel ist. Hierzu wirfst du 100
mal und gehst davon aus, dass er der gezinkte Würfel ist, wenn du mehr als 24 mal
135
4 Wahrscheinlichkeitsrechnung und Statistik
die 6 hattest.
a) Berechne α und β zur Nullhypothese p0 = 0, 3.
b) Wie muss man Annahme- und Verwerfungsbereich wählen, damit α < 0, 05 ist?
zu a) gegeben: p0 = 0, 3, p =
1
6
und n = 100
∧
F100;0,3 (X ≤ 24) = 0, 1136 = 11, 36% = α
∧
F100; 1 (X > 24) = 1 − F100; 1 (X ≤ 24) = 1 − 0, 9738 = 2, 17% = β
6
6
zu b)
F100;0,3 (X ≤ k) < 0, 05
F100;0,3 (X ≤ 22) = 0, 048
Ablehnungsbereich: 0-22 und Annahmebereich: 23-100.
4.5.3 Der zweiseitige Test
• nur eine Hypothese liegt vor und soll getestet werden
• Abweichungen in beide Richtungen sind möglich
• Aufteilung des Verwerfungsbereich in zwei etwa gleich große Hälften
Aufgabe: Ein Loseverkäufer garantiert, dass 25% seiner Lose aus seiner Lostrommel Gewinnlose sind. Wir beobachten den Verkaufsstand und die Reaktionen der
Loskäufer während einer halben Stunde. In dieser Zeit werden n = 50 Lose verkauft.
Bestimme eine Entscheidungsregel für die Irrtumswahrscheinlichkeit α = 10%. (Unter welcher Voraussetzung darf man hier davon ausgehen, dass es sich um eine BERNOULLIKette handelt?
Man kann in dieser Aufgabe in guter Näherung davon ausgehen, dass eine Binomialverteilung vorliegt, weil es sich um ein Treffer- / Niete-Experiment mit konstanter
Trefferwahrscheinlichkeit handelt, vorausgesetzt, es befinden sich sehr viele Lose in
der Trommel.
gegeben: p = 0, 25, n = 50, α ≤ 0, 1 und
α
2
≤ 0, 05
1. Berechnung von kl :
F50;0,25 (X ≤ kl ) ≤ 0, 05
F50;0,25 (X ≤ 7) = 0, 045
kl = 7 (gehört zum Verwerfungsbereich)
136
4.6 Klausur Nr. 5
2. Berechnung von kr :
F50;0,25 (X ≥ kr ) ≤ 0, 05
1 − F50;0,25 (X < kr ) ≤ 0, 05
F50;0,25 (X < kr ) > 0, 95
F50;0,25 (X ≤ kr − 1) ≥ 0, 95
F50;0,25 (X < 18 − 1) = 0, 971
kr − 1 = 18
kr = 19 (gehört zum Verwerfungsbereich)
Freuen sich zwischen 8 und 18 Käufer, gehen wir davon aus, dass der Losverkäufer
nicht betrügt und irren uns dabei mit weniger als 10% Wahrscheinlichkeit.
4.6 Klausur Nr. 5
Aufgabe 1:
Zum Warmwerden
a)
Erläutere und unterscheide anhand von Beispielen das Begriffspaar Ereignis und
Ergebnis.
b)
Was versteht man unter einem Laplace–Experiment und einem Bernoulli–Experiment?
c)
Erläutere die Laplaceregel zur Berechnung von Wahrscheinlichkeiten.
d)
Was versteht man unter der Pfadadditions- und der Pfadmultiplikationsregel?
Erläutere anhand jeweils eines Beispiels!
e)
Es werden mit einem Griff 6 aus 10 verschiedenen Kugeln aus einer Urne gezogen. Wie viele Möglichkeiten gibt es hierfür? Begründe dein Vorgehen zur
Lösung dieser Aufgabe.
f)
Begründe, wie es zu der Formel
n
Bn;p (X = k) =
· pk · (1 − p)n−k
k
zur Berechnung der einzelnen Wahrscheinlichkeiten bei der Binomialverteilung
kommt.
g)
Was versteht man bei einem Hypothesentest unter einem Fehler 1. und 2. Art?
Aufgabe 2:
Baumdiagramme
137
4 Wahrscheinlichkeitsrechnung und Statistik
a)
Die langjährige Statistik der Bundesliga zeigt, dass Bayern München gegen Bo3
russia Dortmund in 35 aller Spiele gewonnen und in 10
aller Spiele verloren hat.
Berechne mit Hilfe von (reduzierten) Baumdiagrammen die Wahrscheinlichkeit
dafür, dass
a1) das nächste Spiel unentschieden endet.
a2) Bayern München die nächsten fünf Spiele in Folge gewinnt.
a3) Borussia Dortmund die nächsten fünf Spiele nicht gewinnt.
a4) von den drei nächsten Begegnungen mindestens zwei unentschieden enden.
b)
Aus einer Gruppe von Personen, die 30% Männer und 70% Frauen enthält, werden zufällig vier Personen ausgewählt und jeweils vor der Wahl der nächsten
Person wieder zurückgestellt. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass
b1) nur Frauen,
b2) wenigstens ein Mann,
b3) je zwei Männer und Frauen,
b4) mehr Männer als Frauen,
b5) höchstens soviel Männer wie Frauen
ausgewählt werden?
c)
Berechne die neuen Wahrscheinlichkeiten, die sich ergeben, wenn man von einer konkreten Gruppe von 6 Männern und 14 Frauen ausgeht und die jeweils
gewählte Person nicht wieder in die Gruppe zurückstellt, bevor man die nächste
Person wählt.
d)
Max (Trefferwahrscheinlichkeit 0,75) und Moritz (Trefferwahrscheinlichkeit 0,6)
führen einen Torwand–Wettbewerb nach folgenden Regeln durch:
1.
Moritz beginnt und sie schießen abwechselnd.
2.
Der Wettbewerb ist beendet, wenn einer trifft oder jeder dreimal geschossen
hat.
d1) Mit welcher Wahrscheinlichkeit gewinnt Max?
d2) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass das Wettschießen unentschieden
endet?
d3) Gib eine faire Wette1 an, die Max und Moritz vor dem Schießen abschließen
können.
1
Eine faire“ Wette ist dann gegeben, wenn das Produkt aus Gewinnwahrscheinlichkeit und
”
Gewinn für beide Spieler gleich ist.
138
4.6 Klausur Nr. 5
e)
Auf einer Party wird folgendes Spiel ( Reise nach Jerusalem“) durchgeführt:
”
Drei Jungen und zwei Mädchen bewegen sich zur Musik um vier Stühle; wenn
die Musik aufhört, muss jeder zusehen, einen Stuhl zu bekommen. Wer keinen
Stuhl hat, scheidet aus. Dann wird ein Stuhl weggenommen, und für die restlichen vier Personen geht der Kampf um die Stühle“ weiter. Das Spiel ist beendet,
”
wenn alle Mädchen oder alle Jungen ausgeschieden sind.
Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit für einen Sieg der Mädchenmannschaft?
f)
Ein Großvater sagt zu seinem Enkel: Du bekommst 5 Euro von mir, wenn du
”
von drei Partien des Geschicklichkeitsspiels Mikado, die du abwechselnd gegen
deinen Vater und deine Mutter spielst, zwei hintereinander gewinnst.“
Der Junge weiß: Die Wahrscheinlichkeit a, gegen den Vater zu gewinnen, ist
größer als die Wahrscheinlichkeit b, gegen die Mutter zu gewinnen. Soll er erst gegen den Vater oder erst gegen die Mutter spielen? — Löse die Aufgabe zunächst
für a = 0, 8 und b = 0, 6, bevor du sie allgemein löst.
g)
Der Enkel aus Teilaufgabe f) macht dem Großvater folgenden Gegenvorschlag:
Ich spiele fünf Partien abwechselnd gegen meine Eltern; wenn ich vier nachein”
ander gewinne, zahlst du mir 10 Euro.“
g1) Sind seine Gewinnchancen (Bei doppelter Gewinnsumme reicht die halbe
Gewinnwahrscheinlichkeit!) jetzt besser als vorher, wenn er wiederum von
a = 0, 8 und b = 0, 6 ausgeht?
g2) Bei welchen Werten von a und b sind seine Chancen gestiegen, bei welchen
Werten von a und b waren drei Partien günstiger als fünf?
Aufgabe 3:
Kombinatorik
a)
Wie viele 4–stellige Zahlen mit verschiedenen ungeraden Ziffern gibt es?
b)
In einem Club, bestehend aus fünf Frauen und neun Männern, soll ein Festausschuss aus je zwei Frauen und Männern gebildet werden. Wie viele verschiedene
Ausschüsse sind möglich?
c)
Bei einem Motorradrennen mit 17 Startern sollen diejenigen vier Fahrer vorhergesagt werden, die die ersten vier Plätze belegen. Wie viele Tippmöglichkeiten gibt
es hierfür, wenn es auf die richtige Reihenfolge ankommt bzw. nicht ankommt?
d)
Fünf Eintrittskarten zu verschiedenen Sportveranstaltungen sollen in einer Klasse mit 20 Schülern verlost werden.
d1) Wie viele Verteilungen sind möglich, wenn auch zugelassen ist, dass ein
Schüler mehr als eine Karte bekommt?
d2) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass alle fünf Karten an einen Schüler
gehen?
139
4 Wahrscheinlichkeitsrechnung und Statistik
d3) Wie viele Verteilungen sind möglich, wenn keiner der Schüler mehr als eine
Karte bekommt?
e)
Berechne die Wahrscheinlichkeit, dass bei einem Skatblatt (bestehend aus den 32
Karten 7,8,9,10,Bube,Dame,König,As zu jeweils vier Farben Kreuz,Pik,Herz,Karo)
e1) von vier gezogenen Karten alle gleicher Art sind (z. B. viermal die 7, viermal
die 8, usw.),
e2) von vier gezogenen Karten genau zwei die Farbe Karo tragen,
e3) von drei gezogenen Karten alle die gleiche Farbe haben (z. B. dreimal Kreuz
usw.),
f)
Wir setzen im Folgenden voraus, dass alle 365 Tage des Jahres mit der gleichen
Wahrscheinlichkeit als Geburtstag auftreten.
Wie groß ist dann die Wahrscheinlichkeit, dass in einer Klasse mit 30 Schülern
mindestens zwei am gleichen Tag Geburtstag haben?
Hinweis: Benutze das Gegenereignis!
Aufgabe 4:
a)
Binomialverteilung
Ein Test besteht aus 10 Fragen mit je 4 möglichen Antworten, von denen genau
eine richtig ist. Ein Schüler, der überhaupt keine Ahnung hat, kreuzt bei jeder
Frage rein zufällig eine Antwort an.
Mit welcher Wahrscheinlichkeit hat er dann
a1) alle 10 Fragen,
a2) genau 5 Fragen,
a3) mindestens die Hälfte aller Fragen,
a4) weniger als 25% der Fragen
richtig beantwortet?
b)
Auf einem internationalen Flughafen versuchen erfahrungsgemäß etwa 10% der
Ferientouristen, die aus einem bestimmten Land zurückkehren, zu schmuggeln.
Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass unter 100 Ferientouristen
b1) kein,
b2) genau ein,
b3) höchstens 10%,
b4) mehr als 15% Schmuggler sind?
140
4.6 Klausur Nr. 5
c)
Eine Firma hat sechs Telefonleitungen, die von 20 Sachbearbeitern benutzt werden. Jeder von ihnen benötigt eine Leitung durchschnittlich für 12 Minuten pro
Stunde.
c1) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass die vorhandenen Telefonleitungen
zu einem bestimmten Zeitpunkt ausreichen?
c2) Wie verändert sich die Wahrscheinlichkeit, wenn eine weitere Leitung eingerichtet wird?
c3) Wie viele Leitungen müssen zur Verfügung stehen, damit diese mit einer
Wahrscheinlichkeit von mindestens 99% ausreichen?
d)
Unter dem Erwartungswert E(X) einer Wahrscheinlichkeitsverteilung versteht
man die Summe der Produkte aus den verschiedenen Werten, die die Zufallsvariable X annehmen kann, und der jeweiligen Wahrscheinlichkeit, mit der das
geschieht.
Beispiel: Für die Augensumme zweier Würfel sieht die Wahrscheinlichkeitsverteilung bekanntermaßen wie folgt aus:
Augensumme X
Wahrscheinlichkeit p
2
1
36
3
2
36
4
3
36
5
4
36
6
5
36
7
6
36
8
5
36
9
4
36
10
3
36
11
2
36
12
1
36
Der Erwartungswert der obigen Wahrscheinlichkeitsverteilung berechnet sich dann
wie folgt:
X
2
3
1
252
1
E(X) =
X i · pi = 2 ·
+3·
+4·
+ . . . + 12 ·
=
=7
36
36
36
36
36
i
Dieses Ergebnis ist nicht völlig überraschend, denn es handelte sich schließlich
um eine symmetrische Wahrscheinlichkeitsverteilung um das Maximum bei 7.
d1) Stelle zunächst die Binomialverteilung, die sich für n = 8 Ziehungen mit
einer Trefferwahrscheinlichkeit von p = 0, 6 ergibt, tabellarisch dar, und
berechne anschließend nach obigem Muster mit Hilfe der Formel E(X) =
P
i Xi · pi den Erwartungswert für die Anzahl der Treffer.
d2) Welche Vermutung legt das Ergebnis aus d1) für die direkte Berechnung des
Erwartungswertes bei einer Binomialverteilung nahe?
Aufgabe 5:
Hypothesentests
Von den nachfolgenden drei Teilaufgaben müssen nur zwei bearbeitet werden!
a)
Bei einer Prüfung werden einem Schüler 20 Aufgaben gestellt. Zu jeder Aufgabe
werden drei Lösungen angeboten, von denen genau eine richtig ist.
141
4 Wahrscheinlichkeitsrechnung und Statistik
a1) Angenommen, man wendet folgenden Notenschlüssel an:
Zahl der richtig
angekreuzten
Antworten
Note
0 1 2 3 4 5
6 7 8 9 10
11 12 13
14 15 16
17 18
19 20
6
5
4
3
2
1
Mit welcher Wahrscheinlichkeit erhält dann ein Schüler, der sich völlig aufs
Raten verlegt, die Note 1, 2, 3, 4, 5 oder 6? Stelle die sich ergebende Wahrscheinlichkeitsverteilung auf!
a2) Von welcher Anzahl richtig gelöster Aufgaben an können wir die Hypothese
der Schüler rät blindlings“ verwerfen, wenn wir höchstens 5% Wahrschein”
lichkeit riskieren wollen, dass wir ihm irrtümlich Wissen bescheinigen?
b)
Ein Schießbudenbesitzer erbt von seinem Onkel ein Gewehr. Er weiß von früher,
dass sein Onkel zwei (äußerlich nicht unterscheidbare) Gewehre hatte; das gute
hatte eine Treffsicherheit von 0,9, das weniger gute eine von 0,7. Auf dem Gewehr
kann er nun das Geheimzeichen des Onkels nicht mehr entziffern. Deshalb beschließt er, das Gewehr mit 50 Schüssen zu testen. Er hält es für zweckmäßig, die
Entscheidung so zu wählen, dass die Wahrscheinlichkeit für den Fehler, das gute
Gewehr für das weniger gute zu halten, etwa gleich groß ist wie die Wahrscheinlichkeit für den anderen möglichen Fehler. Welche Entscheidungsregel sollte er
dann nehmen?
c)
Ein Arzneimittelhersteller behauptet, dass sein neuer Impfstoff gegen Heuschnupfen mindestens 80% aller geimpften Personen fünf Monate lang schützt. Diese
Hypothese soll an 100 gefährdeten“ Personen getestet werden.
”
c1) Welcher mögliche Entscheidungsfehler aufgrund des Ergebnisses der Stichprobe ist aus Sicht der Patienten schwerwiegender?
c2) Bei welchen Entscheidungsregeln kann man die Wahrscheinlichkeit α für
diese Fehlentscheidung auf maximal 10% beschränken?
c3) Bei welcher dieser Entscheidungsregeln ist gleichzeitig die Wahrscheinlichkeit β für die andere mögliche Fehlentscheidung am kleinsten?
Viel Erfolg und schöne Ferien!
142
5 Analysis II — Integralrechnung
5.1 Grundbegriffe
Aus der Sekundarstufe 1: Kreisflächenberechnung
• Annäherung der Kreisfläche durch N-Ecke. Je größer n, desto genauer die Annäherung (→ Archimedes)
• Annäherung durch Obersumme und Untersumme. → Annäherung umso besser, je schmaler die Rechtecke sind.
5.2 Die Grundidee der Differentialrechnung
Die Grundidee der Differentialrechnung ist die Berechnung der Tangentensteigung
im Punkt (x|f (x)) durch Berechnen des Differentialquotienten (Grenzwert des Differenzenquotienten; Ableitung“):
”
lim
f (x) − f (x0 )
x − x0
lim
f (x + h) − f (x)
h
x→x0
bzw.
h→0
143
5 Analysis II — Integralrechnung
5.3 Die Grundidee der Integralrechnung
Berechnung des Flächeninhalts unter dem Graphen einer Funktion in einem bestimmten Intervall [a;b].
Berechnung durch Bildung von Ober- und Untersumme immer schmaler werdender Rechtecke (→ B. Riemann).
Bei geeigneten Funktionen nähern sich Ober- (s.
Abbildung) und Untersumme immer weiter einander an, bis sie einen gemeinsamen Grenzwert
erreichen. Diesen Grenzwert nennt man dann
das Integral der Funktion f im Intervall [a;b].
Das Integral ergibt dann den gerichteten Flächeninhalt der Fläche zwischen Graph
und x-Achse im Intervall [a;b] an. Funktionen, bei denen der oben beschriebene Grenzwert existiert, heißen integrierbar.
Das gesamte Integral schreibt man:
Z b
f (x) dx
a
gerichtete Fläche “:
”
b
Z
A=
f (x) dx
a
Z
F =
d
f (x) dx
c
Verläuft der Graph unterhalb der x-Achse, ergibt sich für das Integral ein negativer
Wert.
144
5.3 Die Grundidee der Integralrechnung
Interessiert einen jedoch der Flächeninhalt, müsste man den Betrag nehmen.
gemischter Fall:
Z
π
sin(x) dx = 0
−π
Z
0
A=|
Z
sin(x) dx| + |
−π
π
sin(x) dx|
0
Beispiel:
1. Schritt: Nullstellen bestimmen im betrachteten Intervall, z.B. x1 , x2 , x3
2. Schritt: Von Nullstelle zu Nullstelle integrieren und jeweils Betrag setzen:
Z x1
Z x2
Z x3
Z 1,6
A=|
f (x) dx| + |
f (x) dx| + |
f (x) dx| + |
f (x) dx|
0,2
x1
x2
x3
145
5 Analysis II — Integralrechnung
5.4 Einfache Beispiele zur
Flächeninhaltsberechnung
Beispiel 1: f (x) = c
Wir stellen eine Flächeninhaltsfunktion F0 (x) auf, die den Flächeninhalt unter dem
Graphen von f im Intervall von 0 (fest) bis x (variabel) angibt:
F0 (0) = 0
F0 (x) = c · x
[F2 (x) = c · (x − 2)]
[F4 (x) = c · (x − 4)]
Z
[F2 (4) = c · (4 − 2)] =
c dx (wobei c = f(x) ist) = F2 (x) − F4 (x)
2
146
4
5.4 Einfache Beispiele zur Flächeninhaltsberechnung
Möchte man den konkreten Flächeninhalt im Intervall [2;4] berechnen, subtrahiert
man die allgemeinen Flächeninhaltsfunktionen:
Z
4
f (x) dx = F2 (x) − F4 (x)
2
Vereinbarung: bei 0 als linker Grenze schreiben wir F (x) anstatt F0 (x).
Dann gilt auch:
allgemein also:
R4
2
f (x) dx = F (4) − F (2)
Z
b
f (x) dx = F (b) − F (a)
a
Beispiel 2: Lineare Funktion f(x) = 3x + 5
ARechteck = 5x
1
ADreieck =
· [f (x) − f (0)] · x
2
1
=
· [3x + 5 − 5] · x
2
1
=
· 3x2
2
F (x) = ARechteck + ADreieck =
1
· 3x2 + 5x
2
Vermutung: f(x) ist die Ableitung von F(x):
F 0 (x) = f (x)
Diese Aussage gilt immer (wir verzichten auf den Beweis bzw. liefern ihn noch nach).
F(x) nennt man dann Aufleitung oder Stammfunktion von f(x).
147
5 Analysis II — Integralrechnung
Konsequenz: Zu einem gegebenen f(x) gibt es unendlich viele Stammfunktionen, die
sich nur durch eine Konstante unterscheiden.
Bsp. 1:
f (x) = 7x + 4
7
F (x) = x2 + 4x (+c)
2
Bsp. 2:
f (x) = 3x4 + 2x2 − x + 5
3
2
1
F (x) = x5 + x3 − x2 + 5x (+c)
5
3
2
[axn ]0 = n · axn−1
5.5 Hauptsatz der Differential- und
Integralrechnung (HDI):
Die Funktion f sei auf dem Intervall I stetig. Ist F eine beliebige Stammfunktion von f
in I, dann gilt:
Z
b
f (x) dx = F (b) − F (a)
a
Anwendung des HDI:
Z 4
3x2 + 2x − 4 dx
1
f (x) = 3x2 + 2x − 4
⇐ F (x) = x3 + x2 − 4x
F (4) = 64
F (1) = −2
F (4) − F (1) = 64 − (−2) = 66
R4
bzw.: 1 3x2 + 2x − 4 dx
= [x3 + x2 − 4x]ba
= 64 − (−2) = 66
Bsp.1: f (x) = 3x2 − 4x − 5
148
5.5 Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung (HDI):
a) Berechne
R2
1
f (x) dx
b) Ist das Integral aus a) identisch mit dem Flächeninhalt zwischen Graph und x-Achse
im Intervall [1;2]?
zu a)
Z
2
3x2 + 4x − 5 dx
1
= [x3 + 2x2 − 5x]21
= (23 + 2 · 22 − 5 · 2) − (13 + 2 · 12 − 5 · 1)
= 6 − (−2) = 8
zu b)
3x2 + 4x − 5 = 0
weiter mit p-q-Formel rechnen; Ergebnis:
x = 0, 786
∨
x = −2, 12
Das Integral ist identisch mit dem Flächeninhalt, weil f(x) im Intervall [1;2] keine Nullstellen hat.
Bsp.2: Berechne den Flächeninhalt, den die Funktion f (x) = x2 − 7x + 12 im Intervall [-5;5]
mit der x-Achse einschließt.
1. Nullstellen:
x2 − 7x + 12 = 0
x=4∨x=3
2. Schrittweise integrieren:
Z
3
A=|
x2 − 7x + 12 dx| + |
Z
−5
Z
3
=|
−5
1 3
x −3, 5x2 +12x dx|+|
3
4
x2 − 7x + 12 dx| + |
3
Z
3
4
5
Z
1 3
x −3, 5x2 +12x dx|+|
3
x2 − 7x + 12 dx|
4
Z
4
5
1 3
x −3, 5x2 +12x) dx|
3
1
1
1
1
= |[13, 5 − (−189 )]| + |[13 − 13, 5]| + |[14 − 13 ]|
6
3
6
3
2
= 203 F. E.
3
149
5 Analysis II — Integralrechnung
5.5.1 Integrieren durch Hinsehen“
”
Z π
sin(x) dx = 0
−π
Z
1
sin(x) dx = 0
−1
Für eine punktsymmetrische Funktion (bzgl. des Ursprungs) gilt:
Z a
f (x) dx = 0
−a
Also z.B. auch:
Z 10,1
5x5 − 3x3 dx = 0
−10,1
Wie ist das bei Achsensymmetrie bzgl. der y-Achse?
Z
π
2
Z
cos(x) dx = 2 ·
− π2
π
2
cos(x) dx
0
Also auch:
Z 10
4
Z
2
4x + 2x − 3 dx = 2 ·
−10
10
4x4 + 2x2 − 3 dx
0
Wie sieht es beim Tangens aus?
tan(x) =
sin(x)
PS
→
= PS
cos(x)
AS
Beispiel: Flächeninhalt von f (x) = 4x2 + 12x − 27 im Intervall [-2;3] berechnen.
1. Nullstellen:
4x2 + 12x − 27 = 0
∨
x = 1, 5
x = −4, 5
2. Schrittweise integrieren:
Z
1,5
A=|
2
Z
3
4x + 12x − 27 dx| + |
−2
4x2 + 12x − 27 dx|
1,5
4
4 3
2
3
= |[ x3 + 6x2 − 27x]1,5
−2 | + |[ x + 6x − 27x]1,5 |
3
3
1
= 121 F. E.
3
150
5.6 Flächeninhalt zwischen zwei Graphen
5.6 Flächeninhalt zwischen zwei Graphen
Grundidee: Man integriert die Differenz der beiden Funktionen f und g und nimmt
zur Flächeninhaltsberechnung den Betrag. Zuvor muss man im betrachteten Intervall
die Schnittstellen f und g bestimmen und ggf. abschnittsweise integrieren.
Beispiel: Bestimme den Flächeninhalt zwischen f (x) = x2 und g(x) = 6x − 8
a) im Intervall der beiden Schnittstellen von f und g.
b) im Intervall [-5;6].
zu a)
Schnittstellen von f und g berechnen:
f (x) = g(x)
x2 = 6x − 8
∨
x=4
x=2
Flächeninhalt bestimmen mit:
Z 4
A=
(f (x) − g(x)) dx
2
f(x) und g(x) einsetzen:
Z
A=|
4
2
Z
[x − (6x − 8)] dx| = |
2
2
4
1
x2 − 6x + 8 dx| = |[ x3 − 3x2 + 8x]42 |
3
1
A = 1 F. E.
3
151
5 Analysis II — Integralrechnung
zu b)
Schnittstellen bei x = 4 ∨ x = 2, im Intervall [-5;6]; schrittweise integrieren:
Z 4
Z 6
Z 2
2
2
x − 6x + 8 dx| + |
x2 − 6x + 8 dx|
A=|
x − 6x + 8 dx| + |
−5
2
4
1
1
1
= | x3 − 3x2 + 8x]2−5 | + | x3 − 3x2 + 8x]42 | + | x3 − 3x2 + 8x]64 |
3
3
3
1
1
2
1
= 163 + 1 + 6 = 171 F. E.
3
3
3
3
Methode 1: f und g getrennt behandeln
Z x1
Z x2
Z b
g(x) dx
g(x) dx
g(x) dx
a
Z
x1
x2
x1
f (x) dx
...
a
Diese stellt sich allerdings als zu umständlich heraus, da erst noch bestimmte Funktionseigenschaften untersucht werden müssen, z. B. in welchen Intervallen f oberhalb
von g liegt und umgekehrt.
Methode 2: Bilde eine Hilfsfunktion h(x) = f (x) − g(x), bestimme ihre Nullstellen
(also die Stellen, wo sich f und g schneiden) und integriere unter anschließender Berechnung der Beträge von Schnittstelle zu Schnittstelle.
Für Integrale gilt generell:
Z
Z
Z
f (x) dx − g(x) dx = f (x) − g(x) dx
Beispiel 1: Berechne A zwischen f (x) = 3x3 und g(x) = 6x im Intervall [-3;4].
152
5.7 Einige Anwendungen der Integralrechnung
h(x) = f (x) − g(x) = 3x3 − 6x
Nullstellen bestimmen:
3x3 − 6x = 0
∨
x=0
x=
√
√
x=− 2
∨
2
Schrittweise integrieren:
Z
√
− 2
A=|
Z
h(x) dx| + |
−3
√
0
√
− 2
Z
h(x) dx| + |
2
Z
h(x) dx| + |
0
4
√
h(x) dx|
2
√
√
3
3 4
3 4
3 4
2
2 0√
2 2
2 4
√
A = |[ x4 − 3x2 ]−
−3 | + |[ x − 3x ]− 2 | + |[ x − 3x ]0 | + |[ x − 3x ] 2 |
4
4
4
4
3
A = 189 F. E.
4
5.7 Einige Anwendungen der Integralrechnung
5.7.1 Berechnung von Mittelwerten
Wiederholung: arithmetisches Mittel
Tag
i
1
2
3
4
5
n
P
Formel: x =
i=n
n
Höchsttemperatur
xi
17, 2o C
26, 4o C
19, 5o C
24, 7o C
31, 5o C
xi
= 23, 84o C
Problem: Was macht man, wenn keine diskreten Werte vorliegen, sondern eine kontinuierliche Kurve?
Beispiel: Temperaturkurve
153
5 Analysis II — Integralrechnung
• integrieren ohne Berücksichtigung der Nullstellen
• T ist Mittelwert, wenn A2 = A1 + A3 ist.
Aus den obigen Überlegungen ergibt sich für kontinuierliche Werte y, die sich durch
die Funktion f (x) beschreiben lassen, der folgende Zusammenhang für den Mittelwert y:
Z
(b − a) · y [a,b] =
b
f (x) dx
a
Rb
y [a;b] =
Z
a
f (x) dx
b−a
b
f (x) dx = F (b) − F (a)
a
Z
b
f (x) dx = F (a) − F (b)
a
Beispiel 1: f (x) = 4x2 + 5x + 4 Berechne y [2,4]
R4
y [2;4] =
2
4x2 + 5x + 4 dx
[ 4 x3 + 52 x2 + 4x]42
= 3
4−2
4−2
112 23
1
= 56
2
3
Beispiel 2: Welchen Mittelwert nimmt der Sinus im Intervall [0;π] an?
y [2;4] =
Rπ
y [0;π] =
154
0
sin(x) dx
[−cos(x)]π0
2
=
= = 0, 64
π−0
π−0
π
5.7 Einige Anwendungen der Integralrechnung
Beispiel 3:
mit A(1|4), B(2, 5|6) und C(4|5, 5)
Annahme: A, B und C liegen auf einer Parabel
f (x) = ax2 + bx + c
1. Schritt: Bestimmung von f(x) mit Hilfe eines
LGS:
4 = a+b+c
6 = 6, 25a + 2, 5b + c
5, 5 = 16a + 4b + c
5
5
dies liefert für a = − 59 , b = 3 18
und c = 1 18
.
Daraus ergibt sich die Funktionsgleichung:
5
59
23
f (x) = − x2 + x +
9
18
18
Mittelwertberechnung am Beispiel des Intervalls [1;4]:
R4
y [1;4] =
y [1;4] = 5
1
59
x+
− 59 x2 + 18
4−1
23
18
dx
=
5 3
[− 27
x +
59 2
36 x
+
23 4
18 x]1
3
7
12
155
5 Analysis II — Integralrechnung
5.7.2 Volumenberechnung von Rotationskörpern
5.7.2.1 Volumen bei Rotation um die x-Achse
Mit welcher Formel kann man V berechnen?
Grundidee: Zerlegung des Rotationskörpers in ganz dünne Scheiben / Zylinder. Es
gilt:
b
Z
A=
f (x) dx
a
und:
Z
b
2
Z
π · [f (x)] dx = π
V =
a
b
[f (x)]2 dx
a
Beispiel: Die Kepler’sche Fassregel
a) Zeige, dass für ein solches Fass die Formel V =
b) Diskutiere den Spezialfall R=r.
156
h
15 π
· (8R2 + 4R + 3r2 ) gilt.
5.7 Einige Anwendungen der Integralrechnung
zu a)
Intervall [− h2 ; h2 ], P1 (0|R) und P2 ( 12 h|r)
Ansatz für f(x) (die Achsensymmetrie ausnutzend): f (x) = ax2 + c
R = a · 02 + c ⇔ R = c
2
1
(r − c) · 4
r = a·
h +c⇔a=
2
h2
wobei c = R
in f (x) = ax2 + c einsetzen:
4 · (r − R) 2
x +R
h2
2
4 · (r − R) 2
2
f (x) =
x +R
h2
16(r2 − 2rR + R2 ) 4 8(r − R) 2
=
x +
x R + R2
h4
h2
16 r2 − 2rR + R2 5 8 r − R 3
F (x) =
·
x + ·
x R + R2 x
5
h4
3
h2
f (x) =
In Formel für das Volumen bei der Rotation um die x-Achse einsetzen:
Z h
h
2
1
V = π·
F (x) dx = π · [F (x)]02
2
"0
#
5
3
16 r2 − 2rR + R2
h
8r−R
h
h
= π·
·
·
+
·
· R + R2 ·
−0
5
h4
2
3 h2
2
2
16(r2 − 2rR + R2 ) · h5 8 · (r − R) · h3
2 h
= π·
+
·R+R ·
160h4
24h2
2
2
2
2
h(r − 2rR + R ) Rh · (r − R) R h
V = 2π ·
+
+
10
3
2
auf gleichen Nenner bringen und h ausklammern:
3 · (r2 − 2rR + R2 ) 10R · (r − R) 15R2
= 2π · h ·
+
+
30
30
30
1
=
π · h · 3 · (r2 − 2rR + R2 ) + 10 · R(r − R) + 15R2
15
1
=
π · h · [3r2 − 6rR + 3R2 + 10Rr − 10R2 + 15R2
15
1
V =
π · h · [3r2 + 4Rr + 8R2 ]
15
zu b)
V =
πh
· (8R2 + 4R2 + 3R2 ) = πhR2
15
157
5 Analysis II — Integralrechnung
5.7.2.2 Volumen bei Rotation um die y-Achse
Z
V = 2π ·
x
x · f (x) dx
0
5.8 Verfahren zur Bestimmung komplexerer
Aufleitungen
5.8.1 Verfahren zur Umkehrung der Produktregel: Partielle
Integration
Wiederholung: Produktregel der Differentialrechnung:
(u · v)0 = u0 v + uv 0
Beispiel: f (x) = x2 · sin(x)
f 0 (x) = 2x · sin(x) + x2 · cos(x)
Bei der partiellen Integration sucht man die Aufleitung einer Funktion, die sich ebenfalls als Produkt schreiben lässt, z.B.
Z
x · sin(x) dx
Fragestellung: Welche Funktion ergibt abgeleitet x · sin(x)?
158
5.8 Verfahren zur Bestimmung komplexerer Aufleitungen
Erste Idee: Kann man die Faktoren einzeln aufleiten? Nach dieser Idee vorgehend
erhielte man:
1
F (x) = − · cos(x)
2
(+c)
Kontrolle:
1
F 0 (x) = −x · cos(x) + x2 sin(x)
2
Damit ist gezeigt, dass einzelnes Aufleiten bei einem Produkt nicht zum Ziel führt.
5.8.2 Herleitung einer Formel zur partiellen Integration
Vorausgesetzt, es soll eine Funktion integriert werden, die sich multiplikativ aus zwei
integrierbaren Teilfunktionen zusammensetzt.
Z
(u · v)0 = u0 v + uv 0 | integrieren
Z
0
(u · v) =
(u0 v + uv 0 ) dx
es gilt:
Z
Z
f + g dx =
Z
f dx +
g dx
also auch:
Z
u·v =
0
u v dx +
Z
uv 0 dx
Es ergibt sich folgende Formel für das Verfahren der partiellen Integration
Z
Z
0
u v dx = uv −
uv 0 dx
Das Verfahren funktioniert im Allgemeinen, wenn einer der beiden Faktoren beim
Aufleiten nicht komplizierter wird und der andere sich beim Ableiten vereinfacht.
Dementsprechend muss man sich auch vor Anwendung der obigen Regel genau überlegen, welchen der beiden Faktoren man als u0 bezeichnet und welchen als v.
Beispiel:
R
x · |{z}
ex dx
|{z}
u0
v
= ex · x −
Z
ex dx
= ex · x − ex = ex · (x − 1)
159
5 Analysis II — Integralrechnung
Was kann bei partieller Integration alles passieren?
Typ 1: Abräumen “
”
Bei diesem Typ besteht die zu integrierende Funktion aus einem Faktor, der sich beim
Aufleiten nicht wesentlich verändert, und einem Polynom, das beim Ableiten seinen
Grad um eins reduziert. Man führt die partielle Integration so oft durch, bis der Polynomfaktor nur noch den Grad Null hat, d. h. bis er eine Konstante ist.
Beispiel:
Z
x2 · sin(x) dx
|{z}
| {z }
v
u0
2
Z
= −x cos(x) −
−cos(x) · |{z}
2x dx
| {z }
u0
v
Z
= −x cos(x) − [sin(x) · 2x − ( −sin(x) · 2)]
2
= −x2 cos(x) + sin(x) · 2x + 2cos(x)
Typ 2: Phönix “
”
Dieser Typ hat als Integranden einen Faktor, der sich beim Auf- bzw. Ableiten nicht
verändert, und einen Faktor, der bei mehrmaligem Ab- bzw. Aufleiten wieder in sich
selbst übergeht. Dies führt bei mehrfacher Anwendung der Formel zur partiellen Ableitung dazu, dass das zu lösende Integral wieder selber entsteht. Durch Äquivalenzumformung kann man dann nach dem gesuchten Integral auflösen:
Beispiel:
Z
e−x sin(2x) dx
Zunächst Ableitungen bestimmen (mit Hilfe der Kettenregel):
(e−x )0 = −e−x ,
[sin(2x)]0 = 2 · cos(2x)
Aufleitungen:
Z
e−x dx = −e−x ,
Z
1
sin(2x) dx = − cos(2x)
2
anwenden:
Z
Z
−x
−x
e sin(2x) dx = −e · sin(2x) − −e−x · 2 · cos(2x) dx
= −e−x · sin(2x) +
Z
e−x · 2 · cos(2x) dx
Z
−x
= −e · sin(2x) + 2 · cos(2x) + 2 |{z}
e−x · cos(2x) dx
| {z }
0
u
160
v
5.8 Verfahren zur Bestimmung komplexerer Aufleitungen
−x
= −e
Z
−x
e
−x
· sin(2x) + 2 · [−e
−x
sin(2x) dx = −e
Z
· cos(2x) −
−x
· sin(2x) − 2e
−e−x · (−2sin(2x)) dx]
Z
· cos(2x) − 4
e−x sin(2x) dx
R
4 e−x sin(2x) dx addieren:
Z
5 · e−x sin(2x) dx = −e−x · sin(2x) − 2e−x · cos(2x)
Z
2
1
e−x sin(2x) dx = − e−x · sin(2x) − e−x · cos(2x)
5
5
Typ 3: Faktor 1 “
”
Voraussetzung: Man möchte eine Funktion aufleiten, aber nur die Ableitung ist bekannt (und nicht zu kompliziert).
Z
Z
1 · ln(x) dx
|{z}
| {z }
ln(x) dx =
u0
Z
= x · ln(x) −
x·
v
1
dx
x
Z
= x · ln(x) −
1 dx = x · ln(x) − x
Typ 4: Holzweg “
”
Z
Z
2
sin (x) dx = sin(x) · sin(x) dx
Z
= sin(x) · (− cos(x)) −
Z
− cos(x) · cos(x) dx
Z
2
sin (x) dx = − sin(x) · cos(x) +
Z
= − sin(x) · cos(x) +
Z
2
| cos2 (x) = 1 − sin2 (x)
1 − sin2 (x) dx
Z
= − sin(x) · cos(x) +
cos2 (x) dx
Z
1 dx +
cos2 (x) dx
sin2 (x) dx = − sin(x) · cos(x) + x
Z
⇒
0
π
sin2 (x) dx =
π
1
· [− sin(x) · cos(x) + x]π0 =
2
2
161
5 Analysis II — Integralrechnung
Alternative:
Z
sin2 (x) dx
Additionstheoreme:
sin2 (x) + cos2 (x) = 1 ⇔ cos2 (x) = 1 − sin2 (x)
2
2
sin (x) = cos (x) − cos(2x)
(2.1) in (2.2) einsetzen:
sin2 (x) = 1 − sin2 (x) − cos(2x) | + sin2 (x)
2 sin2 (x) = 1 − cos(2x) | : 2
1 1
− cos(2x)
2 2
in Integral einsetzen:
Z
Z
1 1
2
sin (x) dx =
− cos(2x) dx
2 2
Z
1
1
= x−
cos(2x) dx
2
2
R
es gilt: cos(2x) dx = 12 sin(2x)
sin2 (x) =
1
1 1
1
1
= x − · [ sin(2x)] = x − sin(2x)
2
2 2
2
4
Additionstheorem: sin(2x) = 2 sin(x) · cos(x)
1
1
= x − · [2 sin(x) · cos(x)]
2
4
1
1
1
= x − sin(x) · cos(x) = · [x − sin(x) · cos(x)]
2
2
2
5.8.2.1 Übungsaufgaben
Aufgabe 1:
Z
(x3 − 1) |{z}
e−x dx
| {z } 0
v
u
R
Ableitung und Stammfunktion: (e−x )0 = −e−x und e−x dx =
−e−x
Z
Z
(x3 − 1)e−x dx = −e−x · (x3 − 1) − −e−x · 3x2 dx
162
(5.1)
(5.2)
5.8 Verfahren zur Bestimmung komplexerer Aufleitungen
3 −x
= −x e
−x
+e
Z
+
e−x · |{z}
3x2 dx
|{z}
u0
3 −x
= −x e
−x
+e
2 −x
− 3x e
v
Z
+
e−x · |{z}
6x dx
|{z}
u0
v
= −x3 e−x + e−x − 3x2 e−x − 6xe−x −
3 −x
= −x e
−x
+e
2 −x
− 3x e
−x
− 6xe
Z
−e−x · 6 dx
Z
−6·
−e−x dx
= −x3 e−x + e−x − 3x2 e−x − 6xe−x − 6e−x · 6
= e−x · (−x3 − 3x2 − 6x − 5)
R2
mit Grenzen: 1 (x3 − 1)e−x dx
= [e−x · (−x3 − 3x2 − 6x − 5]21
= −5, 01 − (−5, 518) = 0, 511
Aufgabe 2:
Z
e2x sin(x) dx
|{z}
| {z }
0
u
v
Ableitungen: (e2x )0 = 2 · e2x und [sin(2x)]0 = cos(2x)
Z
1
1
= e2x sin(x) −
e2x cos(x) dx
| {z }
2
2 |{z}
0
u
v
Z
1
1 1
1 2x
= e2x sin(x) − · [ e2x cos(x) −
e · (− sin(x)) dx
2
2 2
2
Z
Z
1
1
1
e2x sin(x) dx = e2x sin(x) − e2x cos(x) −
e2x sin(x) dx
2
4
4
Z
5
1
1
⇔
e2x sin(x) dx = e2x sin(x) − e2x cos(x)
4
2
4
Z
2
1
⇔ e2x sin(x) dx = e2x sin(x) − e2x cos(x)
5
5
Z ln 2
⇒
e2x sin(x) dx = 0, 607
0
Aufgabe 3:
Z
x ln(x) dx
|{z}
| {z }
0
u
v
163
5 Analysis II — Integralrechnung
Ableitung: [ln(x)]0 =
1
x
1
= x2 · ln(x) −
2
Z
1
= x2 · ln(x) −
2
1
= x2 · ln(x) −
2
1 1 2
· x
2 2
1 2
1
1
x = x2 · ( ln(x) −
4
2
4
1 1
· dx
2 x
Z
1
1
x dx
= x2 · ln(x) −
2
2
für
Re
1
x · ln(x) dx
1
1
1
= [x2 · ( ln(x) − ]e1 = 1, 847 − (− ) = 2, 097
2
4
4
5.8.3 Zur Herleitung der Ableitungsregel für
Umkehrfunktionen
Es gilt:
f −1 (f (x)) = x
g(x) := f −1 (f (x))
(= x)
g 0 (x) = 1
Kettenregel und [f −1 (f (x))]0 = g 0 (x) = 1 ausnutzen:
[f −1 (f (x))]0 = (f −1 )0 (f (x)) · f 0 (x) = 1
⇔ (f −1 )0 (f (x)) =
1
f 0 (x)
Substitution: z := f (x) und x := f −1 (z)
⇒ [f −1 (z)]0 =
1
f 0 (f −1 (z))
Beispiel:
f (x) = ex und f 0 (x) = ex
f −1 (x) = ln(x)
f 0 (f −1 (x)) = eln(x) = x
[f −1 (x)]0 =
164
1
1
=
f 0 (f −1 (x))
x
| : f 0 (x)
5.8 Verfahren zur Bestimmung komplexerer Aufleitungen
5.8.4 Integration durch Substitution
Die Substitution ist ein weiteres Mittel um Integrale und Stammfunktionen zu ermitteln und ist die Umkehrung der Kettenregel.
b
Z
f (g(x)) · g 0 (x) dx = [F (g(x))]ba = F (g(b)) − F (g(a))
a
g(b)
Z
g(a)
g(b)
f (t) dt = [F (t)]g(a) = F (g(b)) − F (g(a))
Daraus folgt, dass
Z
b
f (g(x)) · g 0 (x) dx =
a
Z
g(b)
f (t) dt
g(a)
Rπ
Beispiel: 0 cos3 (x) · (− sin(x)) dx
Substituiere
t = cos(x) = g(x)
g 0 (x) = − sin(x)
mit den Grenzen:
a = 0 ⇒ g(a) = cos(0) = 1
b=
π
π
⇒ g(b) = cos( ) = 0
2
2
einsetzen:
Z π
Z
3
cos (x) · (− sin(x)) dx =
0
0
1
1
1
t3 dt = [ t4 ]01 = −
4
4
5.8.4.1 Übungsaufgaben
Aufgabe 1:
Z 1
2
x · e−x dx | Subst. t = −x2
0
dt = −2x dx, Grenzen: g(0) = 0 und g(1) = −1
Z −1
1
=
− et dt
2
0
Z
1 −1 t
=−
e dt
2 0
1
1
= [− et ]−1
0 ≈ −0, 184 − (− ) ≈ 0, 316
2
2
165
5 Analysis II — Integralrechnung
Aufgabe 2:
Z π
esin(x) · cos(x) dx
| Subst. t = sin(x)
0
dt =
dt
cos(x) ,
Z
Grenzen: g(0) = 0 und g(π) = 0
0
et · cos(x) ·
=
0
Z
dt
cos(x)
0
et dt
=
0
= [et ]00 = 0
Aufgabe 3:
Z 1
x
√
dx | Subst. t = x2
4
1−x
0
dx =
dt
2x ,
Grenzen: g(0) = 0 und g(1) = 1
Z
=
0
Es gilt:
R
1
1
dt
1
√
·
=
2
2
1 − t 2x
√ 1
1−x2
Z
0
1
√
1
dt
1 − t2
dx = arcsin(x)
1
π
= [ · arcsin(t)]10 =
2
4
5.8.4.2 Ein paar schwierige Integrale zum Abschied
Aufgabe 1:
Z 3
1
ln(x2 ) dx | Subst. x(t) = et
x
1
es gilt:
dx
= et ⇔ dx = et · dt
dt
und für die Grenzen:
et1 = 1 ⇔ t1 = ln(1) t2 = ln(3)
einsetzen:
Z
=
0
166
ln(3)
1
ln(e2t ) · et dx
et
5.8 Verfahren zur Bestimmung komplexerer Aufleitungen
ln(3)
Z
ln(e2t ) dt
=
0
ln(3)
Z
=
2t dt
0
ln(3)
= [t2 ]0
= [ln(3)]2 ≈ 1, 207
Aufgabe 2:
Z 3
1
1
√ dx | x(t) = t2
x+ x
dx = 2t dt und berechnete Grenzen einsetzen:
Z √3
1
√ · 2t dt
=
2
t + t2
1
Z √3
Z √3
1
2
=
· 2t dt =
dt
t
·
(t
+
1
t
+
1
1
1
Z √3
1
=2
dt
t+1
1
√
= [2 ln(t + 1)]1 3 ≈ 2, 01 − 1, 386 ≈ 0, 624
5.8.5 Ein kleiner Trick zum Bilden der Stammfunktion
Zur Wiederholung:
Z
1
1
[ln(x)] =
bzw.
= ln |x|
x
x
Z
Z
ln(x) dx = 1 · ln(x) dx = x · ln(x) − x
0
Beim Ableiten des ln(x) ergibt sich also der Kehrwert des Arguments x.
Beispiel:
[ln(6x4 + 3x3 − 2x + 4)]0 =
24x3 + 9x2 − 2
6x4 + 3x3 − 2x + 4
[sin(3x2 + 4x)]0 = (6x + 4) · (3x2 + 4x)
oder allgemein:
Z 0
u (x)
dx = ln|u(x)|
u(x)
Bei komplexerem Argument muss man die innere Ableitung multiplizieren (Kettenregel). Daraus ergibt sich der folgende Trick (logarithmisches Aufleiten): Steht in einem Funktionsterm im Zähler die Ableitung vom Nenner, so ist die Aufleitung der
ln(|Nenner|).
167

Zugehörige Unterlagen

UE 7

2 - (sin(α)) · 0 1 - Mathematisches Institut der Universität Bonn

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