9 Elektrische Ladungen und Ströme

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9
Elektrische Ladungen und Ströme
9.1
9.1.1
Einleitung
Eine grundlegende Wechselwirkung
Wie wir schon in der Mechanik bei der Diskussion der verschiedenen Kräften gesehen haben
gehen fast alle uns aus dem Alltag bekannten Kräfte auf elektrische oder magnetische Wechselwirkungen zurück. Das hängt damit zusammen, dass die Atome aus elektrisch geladenen Teilchen bestehen die getrennt in der Atomhülle (Elektronen) und in einem sehr kleinen, dichten
Atomkern (Protonen) vorkommen. Wie diese geladenen Bauteile miteinander wechselwirken bestimmt die Reibung, die Normalkraft, aber auch die Kohäsions- oder Adhäsionskräfte. Deshalb
wollen wir uns jetzt auch ein vertiefteres Verständnis dieser Wechselwirkung an grundlegenden,
vereinfachten Beispielen erarbeiten. Den Atombau werden wir uns am Schluss in Kapitel 13
nocheinmal anschauen, wo wir auch noch betrachten werden, dass diese Teilchen sich auch als
Wellen verhalten können.
9.1.2
Biologische und chemische Prozesse
Da die elektrischen Wechselwirkungen solch grundlegende Prozesse darstellen, gibt es auch eine
Vielzahl an chemischen und biologischen Prozessen, bei denen eine eingehende Beschreibung der
elektrischen Phänomene nötig ist. Zum Beispiel ist die Nervenleitung durch den Transport von
elektrischen Ionen bestimmt, die sich entlang der Nerven bewegen und die einen elektrischen
Spannungspuls ermöglichen mit dem die Kommunikation zwischen verschiedenen Nervenzellen
aufrecht erhalten werden kann. Andererseits finden sehr viele chemische Prozesse in Elektrolyten
statt, also ionischen Lösungen in denen elektrisch geladene Teilchen frei beweglich sind. Was
diese für Transporteigenschaften für elektrische Ladungen haben ist dazu ebenfalls von grosser
Wichtigkeit. Solche Prozesse spielen natürlich auch in der oben besprochenen Nervenleitung eine
wichtige Rolle, aber auch im Verständnis der Elektrophorese, wie wir sie in Kap. 6 besprochen
haben.
Bewegte elektrische Ladungen rufen ebenfalls Magnetfelder hervor welche wir in Kapitel 10 besprechen werden. Dort werden wir ebenfalls verschiedene experimentelle Methoden aus Chemie
und Biologie, wie der Massenspektrometrie und der Kernspinresonanz besprechen. Beide Gebiete, die Untersuchung von elektrischen Ladungen und die von Magnetfeldern hängen sehr stark
zusammen und lassen sich durch die gleichen physikalischen Prinzipien beschreiben. Man spricht
in diesem Zusammenhang auch von der Elektrodynamik.
9.1.3
Eine gute physikalische Theorie
Weniger relevant für die Biologie und Chemie, aber trotzdem sehr wichtig: Die Elektrodynamik
stellt eine äusserst erfolgreiche physikalische Theorie dar, die in vielerlei Hinsicht als Vorbild
für alle modernen physikalischen und naturwissenschaftlichen Theorien im allgemeinen gilt. Sie
erfüllt alle Anforderungen an eine gute physikalische Theorie:
239
1. Sie vereinheitlicht die Beobachtungen in den beiden vorerst völlig verschiedenen Bereichen
der elektrischen und magnetischen Phänomene unter eine gemeinsame Theorie.
2. Diese Vereinheitlichung führt zur Erklärung von weiteren Phänomenen, zum Beispiel die
elektromagnetischen Wellen (also die gesamte Optik), die zwar schon bekanntwaren, aber
damit in ein neues Licht gerückt werden.
3. Aus der Elektrodynamik folgen Voraussagen für vorher vollständig unbekannte Effekte,
die Einstein in der speziellen Relativitätstheorie zusammengefasst hat. Sie sind in der
Zwischenzeit unzählige Male alle mit hervorragender Genauigkeit bestätigt worden.
Die Theorie ist also gut, weil sie einen besonders grossen Bereich von Phänomenen zusammenfasst, und weil sie nachprüfbare quantitative Vorraussagen über vorher unbekannte Phänomene
macht. Sie ist schliesslich schön, weil sie eine einfache formale Struktur hat und auf wenigen
Grundaussagen beruht.
Die wichtigsten historischen Eckdaten sind: Elektrostatik: Cavendish und Coulomb 1784, die
Vereinheitlichung der elektrischen und magnetischen Felder in den Maxwellgleichungen: Faraday
und Maxwell 1862, die spezielle Relativitätstheorie: Einstein 1905.
9.2
9.2.1
Elektrostatik
Die elektrische Ladung und das Gesetz von Coulomb
Die Elektrostatik handelt von zeitlich konstanten, oder nur langsam variierenden elektrischen
Feldern. Sie basiert auf dem Kraftgesetz von Coulomb, das wir nun unter verschiedenen Blickwinkeln betrachten wollen. Die Coulomb Kraft ist die Kraft zwischen zwei geladenen Körpern,
formal geschrieben als:
F~21
j
-j
F~12 = F~C
-
~r12
q1
q2
F~12 =
1 q1 q2 ~r
4π0 r2 r
Dies ist die Kraft, die ein mit elektrischer Ladung q1 geladener Körper 1 auf den mit q2 geladenen
Körper 2 ausübt. ~r ist der Abstandsvektor, der von Körper 1 auf Körper 2 zeigt. Falls die q1 und
q2 das gleiche Vorzeichen haben, wirkt die Kraft abstossend, wie gezeichnet. Bei verschiedenen
Vorzeichen wirkt die Kraft anziehend. Die in der Gleichung auftretende Natur-Konstante hat
den Wert 0 = 8.85 · 10−12 (As)
Vm .
Mit dem Coulomb’schen Gesetz beschreiben wir die Auswirkung eines Phänomens, das an der
Wurzel der Elektrodynamik steht: Es gibt elektrische Ladung. Wir wissen nicht, warum sie
existiert. Wir können nur ihre Eigenschaften und Auswirkungen beschreiben:
240
1. Die elektrische Ladung ist die Ursache der elektrischen Kräfte (und Felder), die zu vielfältigen
Wechselwirkungen im Alltag führen.
2. Es gibt positive und negative elektrische Ladungen. Mikroskopisch gesehen entsprechen
die negativen Ladungen überschüssigen Elektronen, die positiven überschüssigen Protonen. Dies lässt sich anhand der Reibungselektrizität demonstrieren: Durch Katzenfell und
Plexiglasstab erzeugte Ladung zieht durch Leder und Glasstab erzeugte Ladung an. Dagegen stossen sich gleichartige Ladungen ab.
3. Elektrische Ladungen kommen nur in ganzzahligen Vielfachen der Elementarladung e =
1.6021892(46) × 10−19 C vor. Wieso die Ladung nur in Paketen der Elementarladung
vorkommt (also quantisiert ist) wissen wir nicht.
4. Einheiten: [q] = 1 C =1 Coulomb = 1 Ampere × Sekunde.
5. Die totale elektrische Ladung (Summe aller Ladungen im System) ist erhalten. Elektrische
Ladung kann nicht erzeugt oder vernichtet werden. (Reibungselektrizität entsteht durch
Ladungstrennung von Elektronen und Atomkernen.)
9.2.2
Das elektrische Feld
Da es sich bei der Coulomb-Kraft um eine Fernwirkung handelt (die beiden Körper müssen
sich nicht berühren), führen wir den Begriff des elektrischen Feldes ein. Damit können wir die
Coulomb-Kraft als eine Kontakt-Kraft zwischen einer Ladung und einem solchen Feld beschreiben. Die elektrischen Eigenschaften des Raumes in der Umgebung einer elektrischen Ladung Q
~ gegeben. Es ist definiert durch die Kraft, die auf eine
sind also durch ein elektrisches Feld E
ruhende Probeladung q wirkt.
~
~ =F
E
q
~ Q ist das von der Ladung Q erzeugte elektrische Feld: Q erzeugt E
~ Q, E
~ Q wirkt auf q (AbE
bildung 9.111). Das Feld spielt hier sozusagen den Übermittler der Kraft von Q auf q. Dabei
~ q erzeugt, welches auf Q wirkt.
können wir genau so gut behaupten, dass die Ladung q ein Feld E
Hingegen übt das von einer Punktladung Q erzeugte Feld auf Q selber keine Kraft aus (denken
Sie daran wie wir in Kap. 4 die Kräfte als Wechselwirkung zwischen zwei Körpern eingeführt
haben). Im Folgenden werden wir immer die felderzeugende Ladung mit Q und die Probeladung
mit q bezeichnen.
So wie wir es bisher behandelt haben, ist das elektrische Feld nur eine mathematische Umformulierung der Coulombkraft. In der Elektrodynamik zeigt sich allerdings, dass das elektrische Feld
eine echte physikalische Grösse darstellt. Es gibt auch elektrische Felder ohne dass Ladungen
vorhanden wären. Elektrische Felder werden auch durch zeitlich variable Magnetfelder erzeugt.
Elektrische Felder spielen auch in der Biologie eine wichtige Rolle. Im Abschnitt 4.2.3 werden
Anwendungen aus dem Bereich der Zellmembranen diskutiert. Hier verweisen wir noch einmal
auf die Hochspannungsfische (Zitteraal, Zitterrochen und Zitterwels). Bei diesen Fischen dienen
die elektrischen Organe dem Beuteerwerb und der Verteidigung, die Felder und Spannungen sind
241
~ r)
r EQ (~
A
~ r )
A
FC (~
H
A
HH A −q
H
z
AH
H
A H
A HH
+Q
H
A
A
A
~
r
−q FC (~r)
A
A
~ Q (~r)
E
H
A
HH A H
H
Az
H
A H
A HH
−Q
H
A
A
A
Abbildung 9.111: Das elektrische Feld
einer sphärisch symmetrischen Ladungsverteilung ist ein Zentralfeld. Die
Kraftwirkung ist auf das Ladungszentrum hin gerichtet, wenn die Probeladung q das entgegengesetzte Vorzeichen hat wie die felderzeugende Ladung
Q bzw. vom Zentrum weg radial nach
aussen gerichtet bei zwei Ladungen gleichen Vorzeichens.
hoch (siehe auch R. Wehner, W. Gehring, Zoologie, Kap. 8.4). Niederspannungsfische wie die
Nilhechte und oder die Messerfische leben in sinkstoffreichen, tropischen Süsswassergewässern,
sind nachtaktiv, orientieren sich mit Hilfe der selbsterzeugten Felder und kommunizieren auch
untereinander durch diese, weil sie auch über Elektrorezeptoren verfügen.
9.2.3
Der elektrische Dipol
Bringt man zwei elektrische Ladungen mit umgekehrt gleichem Betrag q1 = −q2 in einen kleinen
(aber nicht verschwindenden) Abstand d~ spricht man von einem Dipol.
Abbildung 9.112: Das elektrische Feld eines Dipols wird erzeugt von zwei entgegengesetzt gleichen Ladungen im Abstand d.
Das Feld ist symmetrisch bezüglich einer
horzontalen Ebene in der Mitte zwischen
den beiden Ladungen. Die Ebene ist auch
eine Äquipotentialfläche mit dem Potential null. Ganz dicht bei den einzelnen Ladungen sind die Felder nahezu gleich wie
die einer einzelnen Punktladung (siehe Abbildung 9.111). Weit weg von der Ladung
nimmt das Feld ab mit der dritten Potenz
des Abstands ab, weil der Einfluss der beiden Ladungen sich nahezu aufhebt. Von
grosser Distanz aus gesehen sieht man die
Gesamtladung null (siehe Abschnitt 9.2.6).
+
E
_
Elektrische Dipole spielen in Chemie und Biologie auch eine wesentliche Rolle. So haben die
meisten asymmetrischen Moleküle wie zum Beispiel Wasser unterschiedliche Schwerpunkte für
positive und negative Ladungen, und stellen somit elektrische Dipole dar, die entsprechend
aufeinander Kräfte ausüben und die von externen elektrischen Feldern beeinflusst werden.
Elektrische Dipole werden von einem äusseren, inhomogenen elektrischen Feld immer angezogen.
242
Dies ist sogar der Fall bei zeitlich fluktuierenden Dipolen, wo die Wechselwirkung zwischen dem
Feld des einen Dipols mit dem anderen zu einer universellen Anziehung führt. Diese werden wir
in Kap. 9.2.9. noch ausführlicher behandeln.
9.2.4
Das elektrostatische Potential
~ ist die Arbeit der Coulomb-Kraft, die bei der Verschiebung
In einem elektrischen Zentralfeld E
einer Ladung q geleistet werden muss unabhängig vom Weg den man zwischen den Anfangsund Endpunkten (1 bzw. 2) einschlägt. Andere elektrische Felder müssen das nicht erfüllen und
wir werden im Induktionsgesetz eine Ausnahme finden.
Das elektrostatische Feld ist aber konservativ. Demnach macht es Sinn von der potentiellen Energie zu reden, welche der Arbeit der Verschiebung der Ladung im Feld entspricht. Wir definieren
die potentielle Energie U wie in der Mechanik und das Potential V analog zum elektrischen Feld:
Z
1
2
F~C (~r)d~r = q
Z
2
~ r)d~r = −(U (2) − U (1)) ≡ −q(V (2) − V (1))
E(~
1
Die Arbeit ist gerade gleich der Differenz der potentiellen Energien U bzw. gleich der Differenz
des elektrostatischen Potentials V am Anfangs- und Endpunkt multipliziert mit der Ladung q.
Der umgekehrte Prozess der Gradientenbildung (vgl. Kap. 4.5.4) erlaubt aus der potentiellen
Energie U oder aus dem Potential V das elektrische Feld zu berechnen:
~ = −grad V
E
F~C = −grad U
grad U = (
∂U ∂U ∂U
,
,
)
∂x ∂y ∂z
Die Potentialdifferenz V (2)−V (1) wird auch als Spannung bezeichnet. Die Einheit der Spannung
ist das Volt (1 V = 1 Nm/As). Für die Spannung werden meist entweder der Buchstabe V oder
der Buchstabe U verwendet. Wir werden hier konsequent den Buchstaben V verwenden (vom
englischen V oltage).
Z
2
~ d~r = −(V (2) − V (1)) = Potentialdifferenz ≡ Spannung ≡ V
E
1
Genau wie sich nur Unterschiede in der potentiellen Energie messen lassen, nicht aber der Absolutwert, lassen sich auch nur Differenzen des elektrostatischen Potentials messen, also Spannungen. Man setzt aber gewöhnlich das elektrostatische Potential weit weg von den felderzeugenden
Ladungen Null, d. h. mit V (1) = V (∞) ≡ 0 und V (2) = V (r) erhält man die Definition
Z r
~ d~r
V (r) = −
E
∞
243
Für eine Punktladung können wir das Coulob-Gesetz einsetzen und erhalten das Potential:
V (r) =
Q 1
4π0 r
Beschreibt die Kurve C, die von 1 nach 2 verläuft, einen geschlossenen Weg, dann fallen die
Punkte 1 und 2 zusammen, und wir erhalten keine Potentialdifferenz:
I
~ r=0
Ed~
C
Dies gilt für jedes zentrale Kraftfeld und auch für jede Superposition von solchen zentralen Kraftfeldern. Solche Felder, bei denen die Potentialdifferenz eines geschlossenen Weges verschwindet,
heissen konservativ, man spricht von Quellenfeldern.
Im Gegensatz dazu heissen Felder mit geschlossenen Feldlinien Wirbelfelder, bei solchen ist
dann das geschlossene Linienintegral nicht mehr null, ein Potential kann deshalb nicht definiert
werden. Beispiel eines Wirbelfeldes ist das Magnetfeld eines elektrischen Stromes.
9.2.5
Der Gauss’sche Satz der Elektrostatik
~ durch eine Fläche A (mit dA
~ ≡ n̂dA)
Den Fluss eines Vektorfeldes S
haben wir schon in der Strömungslehre (kapitel 7) kennengelernt:
Z
Z
Z
Z
~
~
~
Φ=
S · dA ≡ (S · n̂)dA =
Sn dA =
S cos αdA
A
A
A
A
Der Einheitsvektor n̂ steht senkrecht auf dem Flächenelement dA. Sn ist
~ in dieser Richtung. Für A k S
~ (α = π/2)
die Komponente des Felds S
~
ist der Fluss minimal, für A ⊥ S (α = 0) ist der Fluss maximal. Das
Flussintegral ist ein sogenanntes Flächenintegral.
α
dA
^
n
S
S cos α =
S . dA
dA
Wählen wir als Fläche, für die wir den Fluss bestimmen, eine geschlossene Oberfläche im Raum
AV , dann ist der einkommende Fluss gleich dem ausgehenden Fluss, der Gesamtfluss also gleich
null, jedenfalls solange sich im Innern des Volumens V , das von der Oberfläche AV begrenzt
wird, keine Quelle befindet:
I
I
~
~
S · dA =
Sn dA = 0
Quellenfreies Vektorfeld : Φ =
AV
244
AV
Betrachten wir nun, dass wir eine Quelle haben, die der
Ladung Q entspricht die ein elektrisches Feld hervorruft.
Dann wählen
wir als Integrationsfläche AV die Oberfläche
H
(AK = K dA = 4πr2 ) einer zur Ladung Q konzentrischen
Kugel. Das macht die Rechnungen einfacher, denn auf der
Kugeloberfläche gilt immer
y
E
E
dA
r
E
z
~ k dA
~
E
~ · dA
~ = E dA
E
⇒
E
dA
Da nichts hineinfliesst, sondern nur etwas herauskommt,
wird das Flussintegral sicher nicht verschwinden. Für den
einfachen Fall der Punkladung können wir das Integral berechnen:
E
AK
~ r) = Q ~r , E(r) = |E(~
~ r)| = Q 1
E(~
3
4π0 r
4π0 r2
I
I
I
Q
Q 1
~
~
dA =
Φ=
E · dA =
E dA =
2
4π
r
0
0
K
K
K
Für das elektrische Feld einer Punktladung finden wir also
I
~ · dA
~= Q
Φ=
E
0
K
Dies ist der Gauss’sche Satz. Eine verallgemeinerte Betrachtung zeigt, dass es nicht darauf
ankommt, wo die Ladung Q sitzt, solange sie von der Fläche umschlossen ist. Ebenso spielt die
Form der Fläche keine Rolle, solange sie die Ladung Q umschliesst.
Es gilt also allgemein der Gauss’sche Satz:
I
I
~
~
E · dA =
AV
En dA =
AV
Qinnen
0
Qinnen ist die von der Fläche AV ganz umschlossene Ladung.
Der totale Fluss des elektrischen Feldes durch eine geschlossene Oberfläche ist gleich der eingeschlossenen Ladung (× 1/0 ),
oder anschaulicher formuliert
Ladungen sind die Quellen des elektrostatischen Feldes.
Während die Feldlinien bei positiven Ladungen anfangen (entspringen), so enden sie bei negativen Ladungen. Negative Ladungen sind somit negative Quellen, d.h. Senken des Feldes.
I
~ · dA
~ 6= 0 ,
S
~ gilt also
Für ein beliebiges Quellenfeld S
AV
I
wenn Quellen im Innern vorhanden sind, und
AV
wenn das Innere frei von Quellen ist.
245
~ · dA
~=0,
S
Diese Aussagen des Gauss’schen Satzes der Elektrostatik sind äquivalent zum Kraftgesetz von
Coulomb. Der Gauss’sche Satz der Elektrostatik bildet eine der vier Maxwellgleichungen.
Da der Satz von Gauss ganz allgemein gilt (also nicht nur für Punktladungen), können wir
~
damit auch für kompliziertere Ladungsverteilungen die Abhängigkeit des E-Feldes
bestimmen.
Das werden wir im nächsten Unterkapitel an einigen Beispielen durchspielen.
Wie wir schon in der Fluiddynamik gesehen haben, können wir den Sachverhalt des Gauss’schen
Satzes auch als Differentialgleichung beschreiben. Der Fluss in der Strömungsmechanik hing
mit der Stromdichte zusammen, und die Erhaltung des Flusses ergab uns damals die Kontinuitätsgleichung für die Stromdichte. Wenn wir den elektrischen Fluss betrachten, sehen wir,
dass das elektrische Feld hier die Rolle der Stromdichte annimmt, was uns direkt die ”Kontinuitätsgleichungfür das elektrische Feld führt:
~ =∇
~ ·E
~ = ρ
div E
0
wobei hier ρ die elektrische Ladungsdichte ist.
~ = −gradV =
Mit der Beziehung zwischen dem elektrischen Feld und dem elektrischen Potential, E
~
−∇V , erhalten wir so auch eine direkte Beziehung zwischen dem elektrischen Potential und der
Ladungsträger dichte:
ρ
divgradV = ∇2 V = −
0
Diese Beziehung (auch Poisson-Gleichung genannt) kann bei der Bestimmung von elektrostatischen Potentialen sehr hilfreich sein, wie wir unten als Beispiel bei der Behandlung einer ionischen
Lösung sehen werden.
9.2.6
Elektrische Felder und Potentiale spezieller Ladungsverteilungen
Lineare Anordnung von Ladungen:
Sehr häufig haben wir es mit einer linearen Molekülkette zu tun, bei der die einzelnen Unterteile
elektrisch geladen sind. Das ist bei vielen Proteinen so, DAS Musterbeispiel ist aber sicherlich
das DNA Molekül, bei dem negativ geladene Phosphatgruppen linear aufgereiht sind und somit
eine homogen geladene lineare Kette ergeben. Wir wollen uns jetzt überlegen, was denn das
elektrische Feld einer solchen Ladungsverteilung ist. Wie oben angetönt wollen wir uns das mit
dem Satz von Gauss überlegen:
Wenn wir uns einen solchen Draht vorstellen, dann muss ja das elektrische Feld direkt vom
Draht wegzeigen (wenn der Draht positiv geladen ist). Eine einfache goemetrische Anordnung
vom Feld zur Oberfläche durch die das Feld fliesst erhalten wir also, wenn wir die Mantelfläche
eines Zylinders (AZ ) um den Draht herum betrachten. Dann ist wie oben bei der Punktladung
das Feld immer senkrecht zur Oberfläche, was soviel heisst wie dass das Skalarprodukt der
~ · dA
~ = EdA. Da entlang der
Vektoren durch das Produkt der Beträge ersetzt werden kann: E
246
~
Mantelfläche des Zylinders das E-Feld
immer konstant ist, erhalten wir für den totalen Fluss
der in der Oberfläche enthalten ist:
I
~
~
Φ=
|E|dA
= |E|2πrL
= Q/0 .
AZ
Hier ist r der Abstand der Mantelfläche vom geladenen Draht und L die Höhe der Mantelfläche.
Q ist die totale Ladung die in der Fläche enthalten ist. Bei einem homogen geladenen Draht, ist
die Ladung pro Länge, also Q/L = λ, konstant. Das heisst für den Betrag des Feldes erhalten
wir:
~ = λ
|E|
2πr
Das heisst, das Feld nimmt umgekehrt proportional zum Abstand ab. Die Richtung hatten
wir uns schon überlegt, zeigt senkrecht vom Draht weg (bzw. auf den Draht hin für negative
Ladungen).
Das Potential dieser Ladungsverteilung erhält man wiederum durch Integration des Feldes entlang des Abstandes. Da das Feld direkt vom Draht wegzeigt, ist auch hier das Skalarprodukt
viel einfacher und wir können direkt mit den Beträgen rechnen:
Z
Z
λ
dr
λ
V (r) = Edr =
=
ln(r)
2π
r
2π
Das heisst der Potentialunterschied nimmt für grosse Abstände (sehr langsam) zu.
Homogen geladene Ebene:
Auch in Membranen treten häufig elektrische Ladungen auf, da Membranproteine geladen sein
können, was dann z.B. den Ionenaustausch erleichtert. Die elektrischen Eigenschaften von Membranen werden uns bei der Behandlung der Nervenleitung intensiv beschäftigen, wir wollen uns
also ein Karikatur-Modell überlegen mit der wir die geladene Membran beschreiben können.
Dazu betrachten wir eine als beliebig gross angenommene Ebene, auf der sich pro Fächeneinheit
gleich viele Ladungen befinden. Dann muss das resultierende Feld überall gleich sein. Die Feldlinien stehen wie oben aus Symmetriegründen senkrecht zur Ebene. Den Betrag der Feldstärke
wollen wir uns jetzt überlegen.
Das Feld lässt sich aus der Oberflächenladungsdichte σ berechnen,
die definiert ist als
6
~
E
Ladung
dQ
σ=
=
.
Fläche
dA
Hier gilt σ =const. Anwendung des Gauss’schen Satzes auf eine ++++++++++ Pillenschachtel AP mit der Deckelfläche AD , die die Ladung QP = ~
E
σAD enthält, ergibt
?
I
Φ=
Z
En dA = 2
AP
En dA = 2EAD =
AD
247
σ
QP
σ
= AD , ⇒ E =
.
0
0
20
~ ⊥ dA,
~ und daher E
~ · dA
~=
Nur die Deckelflächen geben einen Beitrag, auf den Randflächen ist E
0. Das gilt jedenfalls wenn die Platte genügend gross ist. Ganz am Rand der Platte ist die
Situation komplizierter, damit wollen wir uns aber nicht beschäftigen. Darum nehmen wir an
die Platte sei unendlich gross.
Plattenkondensator:
Bei einer Membran kommen aber typischerweise zwei geladene Ebenen zum Einsatz, die den
beiden Lipidschichten der Membran entsprechen. Das heisst, wir müssen unsere Karikatur noch
etwas erweitern, indem wir die Membran beschreiben als eine Kombination von zwei entgegengesetzt geladenen homogenen Platten. Dabei ist der Abstand zwischen den Platten, d fix gegeben.
In der Physik spricht man dann von einem Plattenkondensator. Das resultierende Feld ist jetzt
auf den Zwischenraum beschränkt, denn ausserhalb kompensieren sich die Felder der beiden
Ebenen. Das Feld ist homogen.
Mit den Ergebnissen für die homogen geladene Ebene erhalten wir aussen bzw. innen
~a = E
~1 + E
~2 = 0 , E
~i = E
~1 + E
~ 2 = 2E
~ 1 = 2E
~2 ,
E
~ =
⇒ |E|
σ ~
, E ⊥ Platte .
0
~1
6
E
~2
E
1
?
In guter Näherung lässt sich diese Situation realisieren, wenn
zwei ebene Metallplatten mit je der Ladung ±Q aufgeladen werden, wobei der Plattenabstand d klein gegen den
Plattendurchmesser gewählt wird. Für die dünne Zellmembran (d = 5nm) ist dies auch eine sehr gute Beschreibung.
Von Randeffekten abgesehen (siehe Abbildung 9.114) ist
das Feld innerhalb dieses Kondensators homogen. Die Oberflächenladungsdichte ist dann σ = Q/A, wobei A die Plattenfläche ist.
++++++++++++++
6
d
~
E
~
E
?1
~2
E
~
E
?
−−−−−−−−−−−−−−
?
?
?
6
~1
E
2
~2
E
?
Für die Spannung bzw. die Potentialdifferenz erhalten wir, wenn wir einen geradlinigen Integra~ wählen,
tionsweg von der oberen Platte (1) zur unteren Platte (2) parallel zu E
2
Z
−(V (2) − V (1)) =
1
~ · d~r = E
E
Z
2
dr = Ed , ⇒ E =
1
V (1) − V (2)
V
≡
d
d
Das elektrische Feld zwischen den Platten eines Plattenkondensators ist konstant, senkrecht
zu den Platten und gleich den Quotienten aus Spannung und Abstand. Mit Kapazität C eines
Kondensators bezeichnet man die Grösse
C≡
Q
As
A2 s 4
(Einheit : Farad (F) =
= 2 )
V
V
m kg
Die Kapazität ist eine nur von der Geometrie abhängige Grösse. Für den ebenen Plattenkondensator gilt
Q
σA
0 EA
0 A
C=
=
=
=
V
Ed
Ed
d
248
+q
A
Abbildung 9.113: Das elektrische Feld
eines Plattenkondensators endlicher
Ausdehnung.
-q
Dipol:
Viele makroskopisch ungeladene Systeme bestehen mikroskopisch betrachtet aus räumlich getrennten positiven und negativen Ladungen. Das gilt zum Beispiel für die meisten Atome oder
Moleküle, wenn der Schwerpunkt der Elektronenbahnen nicht ganz mit dem Atomkern zusammenfallen. Diese Eigenschaften der Atome und Moleküle bestimmen wesentlich die elektrischen
Eigenschaften der Materie, wie wir im nächsten Unterkapitel sehen werden. Darum wollen wir
uns das Karikatur-Modell einer solchen Ladungsverteilung, den elektrischen Dipol genauer anschauen. Der idealisierte Dipol besteht aus zwei gleich grossen Punktladungen mit umgekehrtem
Vorzeichen die in einem festen Abstand d zueinander stehen.
Die Feldverteilung hat nun aber keine einfache geometrische Form mehr, weshalb der Satz von
Gauss nicht mehr gleich einfach angewendet werden kann. Da der Dipol aber nur aus zwei
Punktladungen besteht, können wir die Beiträge von diesen einfach zusammenzählen.
P
z
+Q
7
~
~r+
r ~r−
θ -z
d~
Im Punkt P ergibt sich für das Feld
~ =E
~+ + E
~ − = Q ( ~r+ − ~r− ) ,
E
3
3
4π0 r+
r−
und für das Potential
V = V+ + V− =
Q 1
1
(
−
).
4π0 r+ r−
−Q
Weit weg vom Dipol (r+ , r− , r >> d) lässt sich mit den Beziehungen
r
1~
d
d2
d
~r± = ~r ± d ,
r± = r 1 ± cos θ + 2 ≈ r(1 ±
cos θ)
2
r
4r
2r
zeigen, dass gilt
V (r) =
Q d cos θ
.
4π0 r2
249
Das resultierende Feld wird aus dem Gradienten des Potentials bestimmt und ist symmetrisch
bezüglich der Dipolachse (siehe Abbildung 9.112), und proportional zum sogenannten Dipolmoment p ≡ Qd. Auf der Spiegelebene (in der Mitte zwischen den beiden Ladungen) gilt
θ = 90◦ , cos θ = 0 und damit
V (~r) = 0,
~
~ r) = − Q d ≡ − 1 p~
E(~
4π0 r3
2π0 r3
Das weit weg vom Dipol erzeugte Feld steht dem Dipolmoment also entgegen. Obwohl ein
~ Dessen Betrag nimmt
Dipol die Gesamtladung Null trägt, erzeugt er offenkundig ein Feld E.
allerdings, wie die Berechnungen zeigen, mit der dritten Potenz des Abstandes, also rascher als
für eine Punktladung, ab. Eine Ladung und ein Dipol oder auch zwei Dipole üben infolgedessen
aufeinander Kräfte aus. Dies führt u. a. zu interatomaren oder intermolekularen Kräften, wie
wir unten noch im Detail besprechen werden.
Abbildung 9.114: Das elektrische Feld
eines Dipols. In der Spiegelebene zeigt
das Feld ausserhalb des Dipols in Richtung von der negativen zur positiven
Ladung. Zwischen den beiden Ladungen zeigt das Feld von der positiven
zur negativen Ladung. Das Dipolmoment p~ ist definiert in Richtung von
der positiven zur negativen Ladung.
+
E
_
In einem von aussen angelegten, konstanten elektrischen Feld wird sich ein Dipol ausrichten, da
die positive Ladung ja vom Feld abgestossen wird und die negative Ladung vom Feld angezogen
wird. Das heisst, das Dipolmoment richtet sich so aus, dass das Dipolmoment dem angelegten
Feld entgegen steht. Wenn man einen Dipol in eine andere Konfiguration zum angelegten Feld
bringen will, muss man also Arbeit leisten. Die potentielle Energie eines solchen Dipols ist dann
also gegeben durch:
~
Epot = p~ · E
(9.110)
Wenn das Dipolmoment und das Feld antiparallel sind, ist diese potentielle Energie minimal,
wie es ja auch sein soll. Diese potentielle Energie wird uns bei magnetischen Phänomenen und
der Kernresonanzspektroskopie noch ausführlich beschäftigen. Entsprechend ergibt sich im inhomogenen elektrischen Feld eine Kraft auf einen Dipol nach:
~
F~ = ∇~
p·E
250
Systeme von Punktladungen: Nach dem Superpositionsprinzip ergeben sich die elektrischen
Felder und damit auch die elektrostatischen Potentiale von Punktladungsverteilungen aus der
Summe der Beiträge der einzelnen Ladungen.
~P =
E
X
~i =
E
i
X Qi ~ri
, ~ri = Vektor Qi → P
4π0 ri3
i
VP =
X
Vi =
i
X Qi 1
4π0 ri
i
Für kontinuierlich verteilte Ladungen können die Punktladungen durch geladene, differentielle
Volumenelemente dV mit der Ladung dQ = ρdV ersetzt werden. ρ bezeichnet die Ladungsdichte.
Die Summation wird durch eine entsprechende Integration ersetzt.
~P =
E
Z
~P =
dE
1
4π0
Z
~r
dV , ~r = Vektor dQ → P
r3
Z
1
1
VP =
ρ(~r) dV
4π0
r
ρ(~r)
Ionische Lösungen:
In ionischen Lösungen befinden sich elektrische Ladungen (Ionen) in einer ungeladenen Umgebung, in der sie frei beweglich sind. Ausserdem kann die thermische Bewegung der Lösungsmoleküle
die Ionen zu einer gewissen Bewegung anregen, das heisst eine Verteilung der Ionen ergeben, die
nicht derjenigen von statischen elektrischen Ladungen entspricht. Wenn wir also durch thermische Bewegung eine ungleiche Verteilung der positiven und negativen Ladungen erhalten, ergibt
sich eine Spannungsdifferenz, die durch die Temperatur und die Ladungsdichte beschrieben sein
muss. Quantitativ ist die Ladungsträgerdichte als Funktion des Orts ρ(x) gegeben durch die
Differenz der Ladungsträgerdichten dr positiven und negativen Ladungen. Wenn die positiven
und negativen Ionen die entgegengesetzt gleiche Ladung haben (typischerweise eine oder zwei
Elementarladungen), dann gilt: ρ(x) = q+ n+ (x) + q− n− (x) = e(n+ (x) − n− (x)). Abweichungen
von der Gleichverteilung durch thermische Fluktuationen treten nach der Boltzmann-Verteilung
(x)
auf. Das heisst, die Wahrscheinlichkeit ein Ion zu finden ist n± (x) = n0 exp(− qV
kB T ) mit q der
Ladung des Ions und n0 der totalen Ladungsträgerdichte in der Lösung (gleichverteilt). Das
heisst wenn wir eine gewisse Ionenkonzentration in Lösung haben, entspricht das einer elektrischen Potentialdifferenz V (x), die sich errechnen lässt aus der Boltzmann-Beziehung, da die
Ionendichte gerade der Wahrscheinlichkeit entspricht ein Ion in diesem Volumen zu finden. Wir
erhalten also eine Potentialdiffernz
∆V = −kB T /q ln(n2 /n1 )
zwischen zwei Bereichen 1 und 2 die jeweils die Ionendichte n1 und n2 haben. Dieses Potential nennt man auch das Nernst-Potential. Diese Art der Potentialdifferenz liegt typischerweise
zwischen Membranen an bei denen Ladungen getrennt werden. Das wichtigste Beispiel hierfür
ist die Zelle in der Ca, Na und K Ionen durch Ionenkanäle umverteilt werden, was zu einer
typischen Potentialdifferenz der Zelle zwischen Innen und Aussen führt. Damit werden wir uns
bei der Nervenleitung noch ausführlicher befassen.
251
Wenn wir weiterhin betrachten, dass eine solche Umverteilung der Ladungen in einer ionischen
Lösung auch eine Umverteilung der Quellen des elektrischen Feldes hervorruft, können wir uns
auch die Gleichgewichtsverteilung, bzw. das Gleichgewichtspotential einer Ladung in einer ionischen Lösung überlegen. Betrachten wir also ein elnzelnes Ion in einer Lösung (zum Beispiel
ein positives). Die negativen Ionen werden durch dieses positive Ion angezogen und die positiven abgestossen. Allerdings kann das nicht beliebig weit gehen, denn wenn viele negative
Ladungen sich beim positiven Ion befinden heben sich auf einem weiteren Abstand die Ladungen wieder auf, so dass keine Anziehung oder Abstossung mehr stattfindet. Ausserdem werden
die negativen Ionen von der thermischen Bewegung der Lösung vom positiven Ion wegbewegt
(und umgekehrt die positiven Ionen dazuhin), was die Grösse der negativen Ionenwolke um das
positive Ion herum beschreibt. Das wollen wir nun noch etwas quantitativer machen. Wie wir
oben gesehen haben ist die Änderung des Potentials durch die Ladungsträgerdichte bestimmt,
∇2 V = −ρ/0 . Die Ladungsträgerdichte haben wir oben bestimmt: ρ(x) = e(n+ (x) − n− (x))
für einfach geladene Ionen. Die jeweiligen Dichten für positive und negative Ladungen hängen
jetzt vom vorherrschenden Potential des einzelnen Ions V (x) ab über die Boltzmann-Verteilung:
(x)
n± (x) = n0 exp(− ±eV
kB T , wo n0 die totale Dichte der einzelnen Ionen ist (positiv oder negativ).
Wenn wir das in der Gleichung für die Ladungsträgerdichte einsetzen, erhalten wir:
eV (x)
eV (x)
eV (x)
ρ(x) = en0 exp(−
− exp(+
' −2en0
kB T
kB T
kB T
(x)
wobei wir hier die Näherung gemacht haben, dass eV
kB T 1 ist und wir somit die Eponentialfunktion in erster Ordnung der Taylor-Entwicklung beschreiben können. Diese Ladungsträgerdichte können wir jetzt in die Poisson-Gleichung einsetzen, woraus wir direkt eine Gleichung zur Bestimmung des elektrischen Potentials eines Ions in einer Lösung erhalten: In einer
Richtung gilt also:
d2 V
ρ
2e2 n0
=− =
V (x)
2
dx
0
0 kB T
Das ist eine lineare Differentialgleichung, wie wir sie schon häufiger kennengelernt haben mit
einer exponentiellen Lösung V (x) = V0 exp(−x/λ), wobei λ eine Länge ist die beschreibt auf
welchem Abstand das Potential auf einen Faktor 1/e abgefallen ist. Aus der obigen Gleichung
erhalten wir durch einsetzen der Lösung auch gleich eine Beziehung für diese Längenskala λ:
r
0 kB T
λ=
2e2 n0
Also je höher die Temperatur ist, desto grösser wird die Reichweite des elektrischen Potentials
eines Ions, bzw. je höher die Ionendichte, desto kürzer wird die Reichweite. Das macht intuitiv
auch Sinn, denn je höher die Ionendichte, desto mehr Ladungen sind da um die Ladung eines
einzelnen Iones abzuschirmen, das heisst desto weniger weit wird die Reichweite. Andererseits,
je höher die Temperatur, desto mehr mittlere kinetische Energie haben die Ionen, das heisst
desto näher können die gleichen Ladungen einander kommen, das heisst desto mehr umgekehrte
Ladungen sind nötig um die Ladung auszugleichen (oder abzuschirmen). Die oben bestimmte
Reichweite des elektrischen Potentials in einer ioneischen Lösung nennt man auch die Deby’sche
Abschirmlänge.
252
9.2.7
Leiter in elektrischen Feldern
Das Verhalten von Materialien in elektrischen Feldern erlaubt es uns, sie grob in zwei Klassen
einzuteilen, nämlich Leiter und Isolatoren (Nichtleiter). In einem Leiter sind die Ladungen frei
beweglich, wie z. B. die Elektronen in Metallen oder die Ionen in Elektrolyten). In Isolatoren
können die Ladungen nur wenig aus ihrer Ruhelage, an die sie elastisch durch inneratomare oder
innermolekulare Kr̈afte gebunden sind, verschoben werden.
Leiter: Gute Leiter sind z. B. Metalle. In einem elektrischen Feld bewegen sich die freien Ladungen, es fliesst ein Strom (siehe Abschnitt 9.3.). Eine statische Situation mit ruhenden Ladungen
erhalten wir nur, wenn sich die gegenseitigen Kräfte der einzelnen Ladungen untereinander kompensieren. Diese Bedingungen führen dazu, dass die überschüssigen Ladungen sich gleichmässig
auf die Oberfläche verteilen, dass das elektrische Feld im Inneren des Leiters verschwindet, und
aussen senkrecht auf der Leiteroberfläche steht (siehe Abbildung 9.115).
Leiteroberflächen sind Äquipotentialflächen des elektrostatischen Feldes.
++ ++
++
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+ + + + + +
+
Anfangszustand
+
+ + + + +
Endzustand
Ea
+ + +++ + + ++
+
+
+
++
++++
Q i =0
+++
++
++ ++++
AV
+
+
+
+
+
+
Ea
+
+
+
Überschüssige, frei bewegliche Ladungen
verteilen sich unter dem Einfluss der gegenseitigen abstossenden Kräfte so auf der Leiteroberfläche bis sie in Ruhe sind.
Das elektrische Feld steht senkrecht zur Oberfläche
aussen am Leiter, denn Komponenten des elektrischen Feldes parallel zur Oberfläche würden zu Ladungsverschiebungen und Strömen führen, also nicht
zu einer statischen Situation. Da sich im Innern keine Ladungen befinden, verschwindet auch das elektrische Feld im Innern, wie es der Gauss’sche Satz
lehrt.
Abbildung 9.115: Ladungsverteilung und und resultierendes elektrisches Feld für einen geladenen
Leiter.
253
Mit dem Gauss’schen Satz lässt sich das äussere Feld wie im Fall der
geladenen Ebene berechnen:
I
~ a · dA
~ = Ea dA = Qinnen = σdA , ⇒ Ea = σ
E
0
0
0
AG
Da die Oberfläche des Leiters eine Äquipotentialfläche ist, ist die Ladungsdichte dort am grössten, wo der Krümmungsradius der Oberfläche
am kleinsten ist, also an Spitzen und Ecken. Das lässt sich wie folgt
begründen: Denken wir uns zwei näherungsweise kugelförmige Oberflächensegmente mit verschiedenen Radien. Das elektrostatische Potential auf einer Kugeloberfläche lautet:
Vr =
4πr2 σ
Q
σr
=
=
4π0 r
4π0 r
0
V = konst.
⇒
σ∝
Ea
dA
+ + + + + ++
+
E i =0
Q
+
+ + ++
+
+
r
+
+
+
σ +
+
Q'
+ +
++
+
+
R
1
r
Auch bei einer teilweise offenen Oberfläche wie bei einem
Topf wandern die überschüssigen Ladungen an die Aussenseite. Will man einen metallischen Hohlraum zunehmend aufladen, so muss die Ladung an der ladungsfreien
Innenseite abgestreift werden. Dies geschieht z. B. bei dem
im Hörsaal gezeigten van de Graaff Generator.
++
+
+
+
+ ++
+
+
+
+
+
+
+
+
+
~ a,
Bringen wir einen Leiter in ein äusseres elektrisches Feld E
so bewegen sich vorerst die freien Ladungen im Leiter. Der
~ i = 0 ist dann
stationäre Zustand mit einem inneren Feld E
erreicht, wenn die Ladungen sich so auf der Oberfläche verteilt
~ σ im Innern das Feld
haben, dass das von ihnen erzeugte Feld E
~
Ea gerade aufhebt,
~a + E
~σ = E
~i = 0 .
E
__ _
__
_
__
__
_
_
_
_
_
+
+
E=0
+
+
+
+++
++
+
++
+
+
+
Auch im Innern eines metallischen Hohlraums (Faraday-Käfig)
ist das Feld Ei = 0 (Abbildung 9.116).
9.2.8
Isolatoren in elektrischen Feldern, Polarisation
Obwohl die Ladungsträger in einem Isolator nicht frei sind, zeigen sich doch markante Einflüsse
äusserer elektrischer Felder auf isolierende Materialien.
Neben permanenten Dipolen von unsymmetrischen Moelkülen können alle Moleküle auch polarisiert werden. In einem äusseren Feld wirken auf die negativen und die positiven Ladungen
254
Abbildung 9.116: Ein metallischer Hohlraum schirmt
äussere elektrische Felder ab. Der einen Blitzeinschlag
simulierende Funke springt zum Auto und dann über
den isolierenden Reifen weg von der Radnabe zum Boden. Der Fahrer bleibt unverletzt.
entgegengesetzt gerichtete Kräfte. In einzelnen Atomen kann sich die Elektronenhülle gegenüber
dem positiven Atomkern verschieben, wie in der Abbildung 9.117 gezeigt wird. In einem Ionenkristallgitter tritt ein ähnlicher Effekt für die negativen und positiven Ionen auf. Enthält der
Isolator polare Moleküle wie z. B. Wasser (Abbildung 9.118), d. h. solche, die ein permanentes
Dipolmoment besitzen , so richten sich diese, falls sie beweglich sind wie in Flüssigkeiten oder
Gasen ebenfalls im Feld aus. In allen Fällen erzeugt das Feld Dipole im Innern des Isolators.
~ pol . Dieses
Alle diese (ausgerichteten) Dipole ergeben zusammengezählt ein resultierendes Feld E
~ a ist (siehe Abbidlung 9.119).
steht entgegengesetzt zum äusseren Feld E
-Q
+ _
+Q
m
5n
9
0.0
+H
_ _
105
∆
O
Abbildung 9.117: Verschiebungspolarisation: Ohne äusseres Feld fallen die
Schwerpunkte der positiven und negativen Anteile der Ladungsverteilung
des neutralen Atoms zusammen, mit
äusserem Feld werden sie auseinandergezogen. Das Atom bekommt ein Dipolmoment p = Q∆.
Wasser
+H
Abbildung 9.118: Statisches Dipolmoment: Wasser ist ein polares Molekül,
das auch ohne äusseres Feld ein Dipolmoment hat.
~ 0 im Isolator besteht also aus zwei Anteilen, dem von aussen angeDas totale elektrische Feld E
~
~ pol mit umgekehrter
legten Feld Ea und dem durch die Polarisation zusätzlich erzeugten Feld E
Richtung. Es gilt also
~0 = E
~a + E
~ pol
E
~ 0 im Isolator mit Eisolator bezeichnet.
In Abbildung 9.119 ist das resultierende Feld E
~ pol die umgekehrte Richtung des äusseren Feldes hat, ist E
~ 0 dem
Da das Polarisationsfeld E
255
E isolator
+ -
+ -
+ -
+ -
+ -
+ -
+ -
+ -
+ -
+ -
+ -
+ -
+ -
+ -
+ -
+ -
+ -
+ -
+ -
+ -
+ -
+|σp|
Abbildung 9.119: Polarisationsladung an der Oberfläche eines Isolators in einem äusseren Feld. Die Ausrichtung der elementaren
Dipole erzeugt an der Oberfläche einen Überschuss an Ladungen,
Polarisationsladung σp .
−|σp |
~ a . Den Faktor, um den das Feld so reduziert wird, nennt man
Betrag nach immer kleiner als E
die Dielektrizitätskonstante , sodass
~0 = 1 E
~a
E
ist eine Materialkonstante, die von den molekularen Dipolmomenten, also den atomaren Eigenschaften des Materials abhängt. Einige typische Werte sind in Tabelle 9.16 angegeben.
In der Beschreibung des Phänomens wird manchmal auch die elektrische Polarisation P~ verwendet. Die Polarisation ist gerade gleich dem Diplmoment pro Volumeneinheit. Das heisst sie ist
gegeben durch den von den Polarisationsladungen erzeugten negativen Feldanteil, geteilt durch
0 :
~ pol
E
P~ := −
0
Die elektrische Polarisation hat die gleiche Richtung wie das totale elektrische Feld im Isolator,
aber wegen dem konstanten Faktor 0 eine andere Einheit.
Es gilt immer ≥ 1. Man definiert daher auch die elektrische Suszeptibilität χ := − 1. Durch
Einsetzen in die obigen Definitionen erhält man für die Polarisation
~0
P~ = χ 0 E
Die Polarisation ist also proportional zum tatsächlichen elektrischen Feld, wie wir das erwarten.
Sie wird ja entweder durch Ladungsverschiebung oder durch (teilweises) Ausrichten existierender
Dipolmomente (z.B. von Wasser) erzeugt.
Material
Luft
Bakelit
Glas
Porzellan
Wasser
Seignettesalz
Bariumtitanat
Dielektrizitätskonstante
1.0006
4
4 bis 10
6
81
9000
10000
256
Tabelle 9.16: Dielektrizitätskonstanten
für verschiedene Isolatoren.
Wir können die Beziehung zwischen Ladungen und Feld auch wieder durch Anwendung des
Gauss’schen Satzes finden. Nehmen wir an, dass sich unser Dielektrikum in einem Plattenkon~ a erzeuge. Dann gilt:
densator mit Oberflächenladungsdichte σ befindet, die das äussere Feld E
I
~ 0 dA
~ = |E
~ 0 |A = Qinnen = A(σ + σp )
E
0
0
AG
~
~ 0 | = σ + σp ≡ |Ea | = σ
⇒ |E
0
0
In einen Kondensator, der mit einem Dielektrikum gefüllt ist, muss man also eine um einen
~ 0 und damit die
Faktor höhere Ladung einfüllen, um das gleiche totale elektrische Feld E
gleiche Spannung V zu erzeugen, wie ohne Dielektrikum. Die Kapazität des Kondensators Q/V
hat sich also um den Faktor erhöht.
Man kann die obige Gleichung auch nach σp auflösen und erhält
σp = −
−1
σ → −σ f ür >> 1
Für Wasser heben die Polarisationsladungen den Effekt der Ladungen auf den Kondensatorplatten nahezu auf, denn es gilt σ ≈ −σp . Das elektrische Feld mit Isolator verschwindet fast
vollständig.
Die Tatsache, dass die Polarisation eines Mediums das innere Feld verkleinert, ist ausserordentlich wichtig für die Chemie von Lösungen und daher auch für die Biologie. Betrachten wir zwei
entgegengesetzt gleiche Ladungen Q+ und Q− , z. B. Ionen, so ist ihre Anziehungskraft in Lösung
(und damit die Wahrscheinlichkeit ihrer Rekombination)
~+
~ 0+ | = Q− |E |
|F~ | = Q− |E
um den Faktor kleiner als im Vakuum. Wasser ist aus diesem Grund ein sehr gutes Lösungsmittel.
9.2.9
Die van der Waals Wechselwirkung
Wir haben oben betrachtet, was passiert wenn wir Moleküle mit einem festen Dipolmoment
haben, die sich in einem externen Feld ausrichten können und die auch selber ein elektrisches
Feld machen. Wie wir oben gesehen haben, fällt das Feld eines elektrischen Dipols bei grossen
Abständen mit ED ∝ 1/r3 ab. Es gibt allerdings viele Moleküle, die kein festes Dipolmoment haben. d.h. bei disen Molekülen ist die Bewegung der Elektronen um die Kerne herum symmetrisch,
so dass sich im Mittel nicht nur die Ladungen aufheben, sondern auch die Dipolmomente. Wenn
allerdings so ein Atom oder Molekül in ein elektrisches Feld gebracht wird, so entsteht dort wie
oben besprochen ein Dipolmoment durch die relative Verschiebung der Ladungen zueinander.
Dies wird in der Polarisierbarkeit α zusammengefasst, die mit der dielektrischen Suszeptibilität
zusammenhängt. Für die Polarisierbarkeit gilt, dass das induzierte Dipolmoment p~ gegeben ist
durch die Polarisierbarkeit und das äussere elektrische Feld E~a .
p~ = αE~a
257
Diese Eigenschaft der Materie führt zu einer der wichtigsten Wechselwirkungen der Biologie
und Chemie, nämlich der van der Waals Wechselwirkung, die wir im letzten Semester schon
qualitativ kennengelernt haben und die die Anziehung vieler Moleküle beschreibt. Wir wollen
uns jetzt quantitativ überlegen, woher die örtliche Abhängigkeit der van der Waals Wechselwirkung kommt und wie sie mit den Eigenschaften eines induzierten Dipols zusammenhängt. Dazu
betrachten wir zwei isolierte Atome, welche beide ein fluktuierendes Dipolmoment haben, das
aber im Mittel null ist. Zu einem bestimmten Zeitpunkt macht also das Dipolmoment von Atom
~ D1 (r) am Ort von Atom 2 (im Abstand r). Dieses elektrische Feld
1, p~1 ein elektrisches Feld E
induziert nun in Atom 2 ein Dipolmoment in Richtung des elektrischen Feldes:
~ D1 (r) = α2
p~2 = α2 E
p~1
2π0 r3
Dieses Dipolmoment in Atom 2 führt nun seinerseits zu einem elektrischen Feld an der Stelle
von Atom 1,
p~1
~ D2 = p~2 = α2
E
3
2π0 r
(2π0 )2 r6
Dieses Feld ist nun zu jeder Zeit parallel zum Dipolmoment das Atoms 1, da es ja durch dieses erst
induziert wird. Das heisst auch wenn das Dipolmoment ständig fluktuiert ergibt sich trotzdem
eine Anziehung zwischen den beiden Atomen über das induzierte Dipolmoment im Atom 2. Es
ergibt sich also eine potentielle Energie zwischen den beiden Atomen, die durch das Dipolmoment
1 und das (induzierte) elektrische Feld 2 gegeben ist.
~ D2 = α2
W21 = p~1 · E
p~21
(2π0 )2 r6
Hier ist es sehr wesentlich, dass das Dipolmoment von Atom 1 quadratisch vorkommt, denn so
erreichen wir, dass auch ein fluktuierendes Dipolmoment mit h~
pi = 0 eine potentielle Energie
2
ergibt die von null verschieden ist, da h~
p i=
6 0 sein muss. Das ist wie bei der thermischen Bewegung der Moleküle, wo wir auch einen Beitrag zur Energie hatten obwohl sich die Bewegungen
im Mittel alle aufgehoben haben. Somit tritt diese van der Waals Anziehung für alle Atome auf
egal wie sie beschaffen sind und damit stellt sie auch die wichtigste Wechselwirkung dar die bei
Ansammlungen von vielen Molekülen wirkt. Allerdings ist die Anziehung relativ schwach und
verschwindet für grössere Abstände sehr schnell (W ∝ 1/r6 !). Aufgrund der Grösse der Atome
kann man sich auch deren Polarisierbarkeit ausrechnen, da ja die Grösse das maximalmögliche
Dipolmoment bestimmt. Bei typischen interatomaren Abständen von etwa 1 nm erhält man dann
eine potentielle Energie der van der Waals Wechselwirkung von etwa 10−21 J, also etwas weniger
als die thermische Energie kB T bei Raumtemperatur. Das heisst, dass van der Waals Bindungen
zwar immer da sind, aber nicht sehr stark und deshalb auch durch thermische Flukuationen einfach aufbrechen. Allerdings kann dem entgegengewirkt werden indem der Abstand der Moleküle
stark verringert wird. Wenn also grössere Moleküle, wie etwa Proteine gut aneinander binden
sollen, dann muss über das gesamte Molekül gesehen der Abstand der Ladungen sehr klein sein.
Das lässt sich nur erreichen, wenn die geometrische Form der beiden Moleküle räumlich gut
aufeinander abgestimmt ist. Mit anderen Worten, gute Enzyme verhalten sich tatsächlich stereometrisch ähnlich zum Zielmolekül wie ein Schlüssel zum Schloss passt. Diese Eigenschaft der
van der Waals Wechselwirkung ist also der fundamentale Grund für die molekulare Beziehung
zwischen der Form und der Funktion eines Stoffes. Dies lässt sich auch immer wieder beobachten
258
in der Strukturbestimmung von wichtigen Biomolekülen, wie z.B. den Ionenkanälen oder auch
von Transkriptionsfaktoren. Auch deshalb ist die Strukturbestimmung von solchen Molekülen
sehr wichtig. Die physikalischen Hintergründe der experimentellen Methoden dieser Strukturbestimmung über Röntgenstreuung oder Kernspinresonazspektroskopie werden wir später noch
besprechen.
9.3
Stationäre elektrische Ströme
9.3.1
Bewegte Ladungen – Ströme
In elektrischen Feldern wirken auf freie Ladungen Kräfte, die zu einer Bewegung dieser Ladungen
führen. Bewegte Ladungen nennt man elektrische Ströme. Findet der Ladungstransport in einem
Körper statt, spricht man von Leitung.
Es gibt verschiedene Arten von Leitungsmechanismen, ein Teil davon wird in der Vorlesung
demonstriert. Zwei Beispiele:
• metallische Leitung: In Metallen ist ein Teil der Elektronen relativ frei beweglich. Ihre
thermischen Geschwindigkeiten bei Raumtemperatur betragen in der Grössenordnung 105
m/s. Da diese Bewegung in alle Richtungen ungeordnet ist, stellt diese Bewegung kein makroskopischer Strom dar. Legt man jedoch ein elektrisches Feld an, so bekommt man eine
mittlere Driftbewegung in die Richtung des Feldes. Dies entspricht einem Strom. Typische
Driftgeschwindigkeiten liegen allerdings nur im Bereich 10−3 m/s. Die Driftgeschwindigkeit wird begrenzt durch Energieübertragung der Elektronen auf die Gitteratome durch
regelmässige Stösse.
• Ionenleitung in Flüssigkeiten: Falls in einer Flüssigkeit oder in einem Gas Ionen vorhanden sind, wie zum Beispiel in einer Salzlösung, leitet die Flüssigkeit, indem positive und
negative Ionen sich je in umgekehrter Richtung bewegen. (Ionen entstehen z.B. auch in
einer Flamme, oder durch Stösse mit schnellen, geladenen Teilchen).
9.3.2
Stromstärke und Stromdichte
Um ein quantitatives Verständnis für Ströme
zu gewinnen, betrachten wir ein Leiterstück,
an das zwischen den Punkten 1 und 2 eine
Spannung V angelegt ist. Durch die Spannung erzeugen wir im Innern ein elektrisches
~ für das gilt
Feld E,
Z 2
~ · d~r = V .
E
E
1
F c+
_
F c_
q
+
2
Fläche A
+
_
V
1
~ Daher setzen sich diejenigen
Auf die Ladungen q± wirkt die Coulomb-Kraft F~C± = ±q± E.
Ladungsträger, welche im Leiterinnern beweglich sind, in Bewegung. Es fliesst ein Strom. Die
259
Stromstärke I wird definiert als die Anzahl Ladungen, welche pro Zeiteinheit durch den Leiterquerschnitt A fliesst:
dQ
I=
.
dt
Die Einheit des elektrischen Stroms, Ampère (A), ist eine Basiseinheit unseres Masssystems.
Tabelle 9.17 listet einige typische Grössenordnungen für Ströme.
Photozelle
Transistor
Spürbar
Tödlich
Fernseher, Handbohrmaschine
Lokomotive
Aluminium-Elektrolyse
10−6
10−3
10−2
> 10−1
1
103
105
A
A
A
A
A
A
A
1 µA
1 mA
10 mA
100 mA
Tabelle 9.17: Typische Grössenordnungen für elektrische Ströme.
1 kA
100 kA
Der Strom, der durch die Fläche A fliesst, hängt ab von der Anzahl der pro Volumenelement
vorhandenen freien Ladungsträger n [m−3 ] und deren Ladung q [As], d. h. von der Ladungsdichte
ρ (= nq) [As m−3 ].
dr+
v+
dA
E
Damit eine Ladung (q+ positiv für den Moment), die sich unter dem
Einfluss
der Coulomb-Kraft mit der Geschwindigkeit v+ bewegt, im
q+
Zeitintervall dt durch die Fläche dA hindurchtreten kann, darf ihr
Abstand von der Fläche dA nicht grösser sein als dr+ = v+ dt.
Ist sie weiter weg, so erreicht sie die Fläche dA im Zeitintervall dt nicht mehr, oder anders
ausgedrückt, alle Ladungen q+ im Volumen dV+vol (= dA dr+ ) treten in dt durch dA hindurch:
dQ+ = ρ+ dV+vol = ρ+ v+ dtdA
⇒
I+ =
dQ+
= ρ+ v+ dA .
dt
Die Grösse ρ+ v+ bezeichnet man auch als Stromdichte j+ [A/m2 ]. Berücksichtigen wir noch die
negativen Ladungsträger, so gilt
dQ
dQ+ dQ−
=
+
= (ρ+ v+ + ρ− v− )dA = (j+ + j− )dA
dt
dt
dt
Da sich für die negativen Ladungsträger sowohl das Vorzeichen der Ladungsdichte als auch das
Vorzeichen der Geschwindigkeit im Vergleich zu den positiven Ladungsträgern ändert, ergeben
beide Ladungsträger einen gleichgerichteten Beitrag zum Strom und zur Stromdichte:
ρ− = −n− Z− e ,
ρ+ = n+ Z+ e , ~v+ k −~v−
Zusammengefasst gilt also für alle Ladungsträger:
j =n·Z ·e·v
260
wenn wir sowohl in e also auch in v das entsprechende Vorzeichen richtig einsetzen.
Wir haben hier nur eine eindimensionale Stromverteilung betrachtet. Die Geschwindigkeiten,
die Vektorgrössen sind, konnten daher durch ihre Beträge ersetzt werden. Wenn man diese
Einschränkung fallen lässt, kann man die gefundenen Formeln beibehalten, wenn man die zur
Oberfläche senkrechte Komponente der Geschwindigkeit verwendet:
dQ
~ = ~j · dA
~,
= ρvn dA = jn dA = ρ~v · dA
dt
~ ≡ n̂dA , n̂ ⊥ dA , |~n| = 1 .
dA
Den gesamten Strom erhalten wir dann durch die Integration über die gesamte Querschnittsfläche A:
Z
Z
Z
Z
~
~
~
I=
vn dA = ρ ~v · dA
jn dA = ρ
j · dA =
A
9.3.3
A
A
A
Leitfähigkeit, Widerstand, Joule’sche Wärme
~
Es wäre zu erwarten, dass bewegliche Ladungen im E-Feld
eine beschleunigte Bewegung ausführen,
~ Tatsächlich zeigt aber das
da nach dem zweiten Newton’schen Prinzip gilt: m~a = F~ = ZeE.
Experiment, dass in Leitern, jedoch nicht im Vakuum, die Stromdichte ~j = ρ~v , d. h. die Geschwindigkeit ~v konstant ist und vom angelegten Feld abhängt. Das heisst es gibt Reibungskräfte,
welche auf die bewegten Ladungen wirken, die schlussendlich bestimmen wie die angelegte Kraft
(also das Feld) mit der Geschwindigkeit (also der Stromdichte) zusammenhängt. Wenn wir eine Reibungskraft einsetzen wie bei der viskosen Reibung, wo die Reibung der Geschwindigkeit
entgegengesetzt ist, dan erhalten wir eine Endgeschwindigkeit die proportional zum angelegten
Feld ist. Das haben wir in Kap. 4 beim Fall einer Kugel in Luft schon gesehen. Angewandt auf
den elektrischen Strom bedeutet das:
~
~j = σL E
Ohm0 sches Gesetz in differentieller Form
Die materialabhängige Grösse σL heisst elektrische Leitfähigkeit, sie hängt von der Ladungsträgerdichte und dem Reibungskoeffizienten ab. Der Grund für diese Proportionalität liegt darin, dass die Ladungen zwar im Feld beschleunigt werden, aber durch Zusammenstösse mit den
Gitteratomen immer wieder Energie und Impuls verlieren. Die Geschwindigkeit der einzelnen
Ladungen ist stark veränderlich. Nur über die Zeit und über alle Ladungen gemittelt hat die
sogenannte Driftgeschwindigkeit einen konstanten Wert. Aus diesem Ohm’schen Gesetz und der
Driftgeschwindigkeit im vorhergehenden Kapitel ~j = ρ~v ergibt sich:
~v =
~
σE
ρ
Etwas bekannter dürfte das Ohm’sche Gesetz in seiner Formulierung über den totalen Strom und
die angelegte Spannung sein. Dazu denken wir uns wieder einen rechteckigen Leiter der Länge l
und Querschnitt A, an dem eine Potentialdifferenz V anliegt. Mit dem Ohm’schen Gesetz (bzw.
der Definition der Stromdichte) wird der Gesamtstrom durch den Leiter
I = jA = σL EA = σL
261
V
A
l
Wir definieren daher als Widerstand R eines Leiters
R :=
V
l
=
I
σL A
[R] = Ohm = Ω =
V
.
A
Der Widerstand eines Leiters hängt von der Geometrie und vom Material des Leiters ab. Nur
die Leitfähigkeit ist eine eigentliche Materialkonstante. Meistens ist selbst die Leitfähigkeit noch
von anderen Grössen abhängig, so z.B. vom Strom I. Das wird uns bei der Behandlung des
Aktionspotentials noch begegnen.
Die Arbeit, die das Feld leistet, geht wegen der Stösse in ungeordnete kinetische Energie der
Atome des Leiters, d. h. in Wärme über. Ein mit Strom durflossenes Kabel wird denn auch
warm. Wie diese von Strom und Spannung abhängt wollen wir uns jetzt noch überlegen. Fliesst
eine Ladung dQ von 1 nach 2, so ist die vom Feld, bzw. der Spannungsquelle geleistete Arbeit
gegeben durch
Z
2
dW1→2 = dQ
~ · d~r = dQ V .
E
1
Für die Leistung (Joule’sche Wärme pro Zeiteinheit) ergibt sich dann
P =
dW
dQ
=
V = IV .
dt
dt
Um einen Strom I aufrecht zu erhalten ist somit eine Spannung V erforderlich und die Spannungsquelle muss Energie liefern.
Die im Widerstand R pro Zeiteinheit erzeugte Joule’sche Wärme kann auch geschrieben werden
als
V2
P = IV = I 2 R =
.
R
Für Metalle bei konstanter Temperatur gilt R =konst., d. h. der Widerstand ist unabhängig von
der Stromstärke. Für diesen Spezialfall gilt dann dann das Ohm’sche Gesetz
V = RI
9.3.4
mit
R = konst.
Die Kirchhoff ’schen Regeln
Spannungsquellen und Widerstände können zu einfachen Stromkreisen oder Netzwerken zusammengeschaltet werden. Die Ströme und Spannungen für die einzelnen Widerstände, lassen sich
mit Hilfe der Kirchhoff ’schen Regeln berechnen, die wir in Kapitel 7 bei Flüssigkeitsströmungen
schon kennengelernt haben.
Die sogenannte Knotenregel, die auf der Ladunsgerhaltung beruht,
besagt, dass an einer Verzweigungsstelle eines Netzwerks, wo n Leiter zusammentreffen, die Summe der zufliessenden Ströme gleich
der Summe der wegfliessenden ist:
n
X
I1
I2
I3
I
Ik = 0 .
k=1
262
4
_
R i,1
E m,1
R a,n-1 R a,n
_
+
R a,j+2
E m,l
+
R i,e
V1
R a,1
R i,2
R a,j+1
+
I
R i,i
E m,i
_
+
_
R a,j
R a,4 R a,3 R a,2
V a,j
V a,3
Abbildung 9.120: Eine einfache Masche zur Illustration der Maschenregel.
E m,2 V 2
Die zufliessenden Ströme sind positiv, die wegfliessenden negativ zu zählen.
Für einen einfachen Stromkreis (Masche) ist die Summe aller Spannungsquellen Em , versehen
mit dem richtigen Vorzeichen, gleich der Summe aller Spannungsabfälle über die angeschlossenen
Verbraucher. Angewendet auf die in Abbildung 9.120 gezeichnete Masche mit ` Spannungsquellen
und n Belastungswiderständen ergibt dies
`
X
Vj =
j=1
`
X
(Em,j − IRi,j ) =
j=1
n
X
k=1
Va,k = I
n
X
Ra,k .
k=1
Dabei ist Vj die Klemmen-Spannung der j−ten Quelle, Va,k der Spannungssabfall am k−ten
äusseren Widerstand. Man kann die Unterscheidung zwischen äusseren und inneren Widerständen
auch fallen lassen und für die Maschenregel schreiben


`
`
n
`+n
X
X
X
X


Em,j = I
Ri,j +
Ra,k = I
Rm
j=1
j=1
k=1
m=1
Wenn die Widerstände gegeben und konstant sind, liefern die Kirchhoffschen Regeln für ein
Netzwerk soviele lineare Gleichungen, wie Unbekannte zu bestimmen sind. Ein Beispiel ist in
Abbildung 9.121 gegeben.
Im Folgenden werden wir neben Widerständen noch andere Schaltelemente kennen lernen, z.
B. Kondensatoren und Spulen. Für Stromkreise, die solche enthalten, gelten die Kirchhoffschen
Regeln ebenfalls. Dabei wird zu beachten sein, dass an Kondensatoren C Spannungsabfälle VC
auftreten, an Spulen jedoch induzierte elektromotorische Kräfte Em,L . Zwei häufige Anwendungen der Kirchhoff’schen Regeln betreffen die Serie- und die Parallelschaltung von Widerständen,
die in Abbildung 9.122 illustriert sind.
n parallel geschaltete Widerstände Rk können durch einen effektiven Einzelwiderstand Rk ersetzt
263
Ri
V0
Abbildung 9.121: Ein einfaches Netzwerk als Beispiel
für die Anwendung der Kirchhoff’schen Regeln. Der
innere Widerstand der Spannungsquelle wird als vernachlässigt. Es ergibt sich:
R1
1
Masche 1 : V0 = I1 R1 + I2 R2
I1
+
_
E m,o
I2
R2
Masche 2 : 0 = I3 R3 − I2 R2
I3
2
Knoten : I1 − I2 − I3 = 0
−1
R3 R2
⇒ I1 = V0 R1 +
R2 + R3
R3
⇒ I2 =
R3
I1 ,
R2 + R3
I3 =
R2
I1
R2 + R3
werden, für den gilt
I=
n
X
k=1
n
n
X
X
V
1
V
Ik =
=V
=
⇒ Rk =
Rk
Rk
Rk
k=1
k=1
n
X
1
Rk
!−1
.
k=1
Der Kehrwert des effektiven Widerstands Rk ist gleich der Summe der Kehrwerte der Einzelwiderstände Rk .
n in Serie geschaltete Widerstände Rk können durch einen effektiven Einzelwiderstand RS ersetzt
werden, für den gilt
n
n
X
X
V = IRS = I
Rk ⇒ RS =
Rk .
k=1
k=1
In Serie geschaltete Widerstände können addiert werden.
Wenn in einem Stromkreis nicht nur Spannungsquellen und Widerstände vorkommen, sondern
auch Kondensatoren und Spulen müssen die davon erzeugten, bzw. dissipierten Spannungen
in der Maschenregel mitgenommen werden. Das werden wir in Kapitel 9.3.7. und 11.2. noch
quantitativ behandeln.
9.3.5
9.3.5.1
Leitungsmechanismen
Metallische Leiter
In metallischen Leitern sind die Ladungsträger Elektronen, welche sich im Gitter der Metallionen
~
entgegengesetzt zur Richtung des E-Feldes
bewegen. Die Anzahl der bewegten, freien Elektronen
pro Atom und ihre Beweglichkeit hängen vom Material ab und bestimmen dessen Leitfähigkeit
σL . Der Leiter ist ist insgesamt ungeladen, d. h. er enthält ebensoviele positive Ionenladungen
wie Leitungselektronen. Diese sind jedoch an die Gitterionen gebunden und tragen nicht zum
Strom bei.
264
R1
V
I
R
I
I
R2
Spannungsquelle
Kreis A
Kreis B
R1 R2
I1
I2
Kreis C
V = IR , I = V
R
V ⇒ R =R +R
Kreis B :
V = IR1 + IR2 = IRS , I = R
1
2
S
S
V =V 1 + 1
Kreis C : V = I1 R1 = I2 R2 , I = I1 + I2 , I = R
⇒ R1 = R1 + R1
R1 R2
1
2
k
k
Kreis A :
Abbildung 9.122: Parallel (Kreis C) und in Serie (Kreis B) geschaltete Widerstände können
durch einen effektiven Gesamtwiderstand ersetzt werden (Kreis A).
Der Widerstand, welcher durch die Wechselwirkung der Elektronen mit den Gitterionen zustande
kommt, hängt von der Temperatur ab, und zwar ist er über grosse Bereiche proportional zur
absoluten Temperatur, R ∝ T (positiver Temperaturkoeffizient, PTC). Wie im Hörsaal gezeigt,
nimmt demnach der Strom bei Abkühlung zu, und bei Erwärmung ab. Bei Raumtemperatur
liegt die Leitfähigkeit in der Grössenordnung 108 (Ωm)−1 .
9.3.5.2
Halbleiter
Germanium und Silizium haben typisch spezifische Widerstände (=1/Leitfähigkeit)in der Grössenordnung 10−4 bis 107 Ωm. Diese Werte liegen zwischen denjenigen für typische Metalle
(≈ 10−8 Ωm) und Isolatoren (1012 − 1020 Ωm). In einem Halbleiter sind nur wenige, aber gut bewegliche Ladungsträger vorhanden. Ihre Zahl steigt mit zunehmender Temperatur stark an. Das
hängt damit zusammen, dass die Ladungsträgerdichte mit der Temperatur zunimmt, da die Bindungsenergie der Elektronen in diesen Materialien im Bereich von kB T liegen. Nach Boltzmann
ist die Wahrscheinlichkeit ein Elektron von seinem Atom zu lösen also durch p = exp(− kEBBT )
gegeben, wo EB die Bindungsenergie der Elektronen ist. Die Ladungsträgerdichte ist direkt proportional zu dieser Wahrscheinlichkeit. Damit ist auch die Leitfähigkeit direkt zu exp(− kEBBT )
proportional, was die Temperaturabhängigkeit der Leitfähigkeit eines Halbleiters beschreibt.
Der spezifische Widerstand (= 1/σL ) sinkt also mit steigender Temperatur. Im Grenzfall T → 0
werden die Halbleiter zu Isolatoren. Sie haben einen negativen Temperaturkoeffizienten (NTC
= negative temperature coefficient). Man verwendet NTC-Widerstände auch direkt zur Temperaturmessung.
9.3.5.3
Gase
265
Gase sind normalerweise sehr gute Isolatoren. Werden aber Ladungsträger produziert, was durch
Photoionisation oder durch radioaktive Strahlung erreicht werden kann, so wird Strom geleitet.
Bei genügend hohen Feldstärken kommt es zur Ionisation durch Stösse und damit zur Ladungsvervielfachung. Der Strom wird “gezündet”. (z.B. Glimmlampe).
9.3.5.4
Ionenleitung in Flüssigkeiten: Elektrolyte
Unter Elektrolyten versteht man wässerige Lösungen von Salzen. Die Ladungsträger sind positive
und/oder negative Ionen. Das Verständnis ihres Verhaltens ist wichtig für biologische Systeme.
Betrachten wir zunächst ein einzelnes Ion in einem Elektrolyt unter dem Einfluss des elektrischen
~ und die viskose ReibungsFeldes. Auf das Ion der Ladung Ze wirkt die Coulombkraft F~C = ZeE,
~
kraft R = −f~v = −6πηr~v . η ist die für die Flüssigkeit charakteristische Viskositätskonstante.
Wir haben hier die gleiche Situation, wie wir sie beim Anfahren eines Schiffes oder beim sinken
einer Kugel in einem viskosen Medium angetroffen haben, eine konstante Antriebskraft (hier die
Coulomb-Kraft, für das Schiff geliefert durch die Schraube, für die Kugel durch die Schwerkraft)
und eine zur Geschwindigkeit proportionale Reibungskraft. Für den Geschwindigkeitsverlauf erhielten wir in unseren früheren Beispielen und auch jetzt nach einem exponentiellen Anstieg eine
konstante Grenzgeschwindigkeit v∞ = F/f . Angewendet auf unseren Fall ergibt dies
v∞ =
ZeE
6πηr
Die Leitfähigkeit eines Elektrolyten lässt sich, wenn die Geschwindigkeit bekannt ist, berechnen:
E
2 n+
2 n−
Stromdichte : j = σL E = q+ n+ v+ + q− n− v− =
(Z+ e)
+ (Z− e)
6πη
r+
r−
Hier stehen n± für die Ionenkonzentration, Z± für die Ionenladung, und r± für den Ionenradius.
Die Gesamtladung ist Null (0 = Z+ e+ n+ − Z− e− n− ), z. B. Kochsalz (NaCl, Z− = Z+ =
1, n− = n+ ) und CaCl2 (Z+ = 2, Z− = 1, n− = 2n+ ). Für einwertige Salze, Säuren und Basen
mit Z± = 1 und n± = C (Konzentration), gilt dann
1
e2
1
σL = C
+
6πη r+ r−
Die Leitfähigkeit eines Elektrolyten hängt also ab vom Ionenradius, von der Ionenladung und
der Viskosität. Wenn die Temperatur konstant ist, ist auch die Viskosität konstant, d. h. auch
die Leitfähigkeit. Die Temperaturabhängigkeit lässt sich aus der Einstein-Beziehung ermitteln:
f = kB T /D, wobei D die Diffusionskonstante ist. Die Diffusionskonstante charakterisiert die
Diffusionsgeschwindigkeit der Salzionen in der Lösung ohne äusseres Feld. Mit f = 6πηr folgt
η = (kB T )/(6πrD). Da die Viskosität wie in Kap. 5 besprochen stark mit der Temperatur
abnimmt, nimmt die Leitfähigkeit nimmt also mit steigender Temperatur zu, die Ionen werden
beweglicher. Das häng damit zusammen dass σL ∝ 1/η.
Die Tatsache, dass die Driftgeschwindigkeit in wässerigen Lösungen vom Ionenradius und der
Ionenladung abhängt, wird in der biomedizinischen Technik für die Elektrophorese genützt,
wobei wir ja in Kap. 6 gesehen haben, dass die Auftrennung langkettiger Moleküle in einer
266
Konzentration
Serum
Albumin
β Globuline
Fibrinogen
Abbildung 9.123: Verteilung
der Moleküle von menschlichem
Blutplasma in einer Elektrophorese-Zelle. Immunoglobuline
bieten z. B. Schutz gegen viruelle
und bakterielle Infektionen.
α Globuline
γ Globuline
Immunoglobuline
Distanz entlang der Elektrophorese-Zelle
Gel-Elektrophorese auch einiges mit den Eigenschaften der Moleküle und des Gels zu tun hat.
Als Beispiel zeigt Abbildung 9.123 die Konzentrationsverteilung in einer Elektrophoresezelle
für Plasmaproteine im Blutplasma. Die unterschiedliche Wanderungsgeschwindigkeit wird zur
Trennung der Anteile benutzt.
9.3.6
Nervenleitung
Wir wollen nun die verschiedenen Bausteine die wir uns überlegt haben zu den Eigenschaften
von Ladungen und Strömen zusammennehmen und die Leitung eines Ladungsimpulses in einer Nervenzelle beschreiben. Dazu sehen wir uns zuerst einmal an, wie wir die Membran einer
Nervenzelle als Kondensator beschreiben können und wie dies zu einem zeitlich veränderlichen
Signal führen kann, wenn die Ladungsquellen sich zeitlich ändern (wie zum Beispiel durch Ionenkanäle).
9.3.6.1 Aufladen einer Membran Die Membran einer Nervenzelle trennt das Innere des
Axons von der intrazellulären Flüssigkeit. Wir können uns die Membran als Doppelschicht aus
Lipidmolekülen vorstellen, die für Ionen undurchdringlich ist und somit eine Ladungstrennung
zwischen Aussen und Innen erlaubt. Da so eine Membran im Wesentlichen flach ist, können
wir sie Membran als das Innere eines Plattenkondensators beschreiben, der eine bestimmte
Dicke hat (nämlich die der Doppellipidschicht etwa 5 nm). Für das Potential eines solchen
Plattenkondensators haben wir uns oben überlegt, dass gilt: V = Q0 A d, wo d die Dicke ist, A
die Fläche des Kondensators und Q die totale Ladung. Wir hatten damals auch die Kapazität des
Kondensator C = d0 A definiert, denn damit können wir die Ladung auf dem Kondensator mit
der Potentialdifferenz in Verbindung bringen: Q = C · V . Bei einer Membran erhalten wir eine
Potentialdifferenz durch die Verschiebung verschiedener Ladung mittels Ionenkanälen, womit wir
schlussendlich eine Spannungsdifferenz V0 bekommen, die dem Nernst-Potential der jeweiligen
Ionenart entspricht, also V0 = kB T /e ln(n− /n+ ). Ausserdem hat die Membran einen Widerstand,
der gegeben ist durch R = ρm A/d, wobei ρm der spezifische Widerstand der Membran ist.
Wenn wir uns also die zeitliche Entwicklung der Ladungen in der Membran anschauen wollen,
267
können wir ein Stück Membran beschreiben als einen Stromkreis wie unten gezeigt, mit einem
Widerstand R, der einem Kondesator mit Kapazität C parallel geschaltet ist.
Die Differentialgleichung für die Ladung Q bzw. für den Strom I lässt sich unter benützung der
Kirchhoff’schen Regeln wie folgt schreiben (S geschlossen):
Q
dQ Q
dI
I
= V0 , ⇒ R
+
= V0 , ⇒ R +
=0.
C
dt
C
dt
C
Die zweite und die dritte Form benutzen I = dQ/dt. Um die dritte
Form zu erhalten muss man die erste Form nach der Zeit differenzieren. Auch diesen Gleichungen sind wir schon begegnet, nämlich bei
der viskosen Reibung.
RI +
R
S
V0
S'
C
dI
1
= −αI , mit α =
,
dt
RC
Geschrieben in der Form
erkennt man, dass die Ableitung des Stroms proportional zum Strom ist, also das für eine
exponentielle Zeitabhängigkeit typische Verhalten:
t
Em
exp(−
).
R
RC
I = I0 e−αt , ⇒ I =
Der Wert für I0 ergibt sich aus den Anfangsbedingungen: t = 0, Q = 0, I = I0 , RI0 = V0 .
Analog ergibt sich für die Ladung
t
Q(t) = Q∞ 1 − exp(−
) , Q∞ = CV0
RC
Die Ladung Q des Kondensators nimmt nach dem Einschalten zu bis zum Endwert Q∞ , der erreicht ist, wenn die Spannung VC = Q∞ /C ihren Maximalwert V0 erreicht hat. Der Strom nimmt
von seinem maximalen Anfangswert I0 = V0 /R exponentiell ab. Bei aufgeladenem Kondensator
fliesst kein Strom mehr. Die charakteristische Zeitkonstante τ ≡ RC ist die Zeit, nach welcher
die Spannung noch um 1/e des Endwerts von diesem abweicht. Die goemetrischen Eigenschaften
der Membran kommen in dieser Zeitskala nicht mehr vor, denn wenn wir die Beziehungen für die
d 0 A
Kapazität und den Widerstand einsetzen erhalten wir: τ = R · C = ρm
A · d = 0 ρm . Typische
Werte für eine Membran sind ρm = 107 Ωm und = 7, womit wir eine Zeitskala von τ = 0.6ms
erhalten. Dies ergibt uns auch gleich eine Grenze für die Geschwindigkeit von neuronalen Prozessen, die nicht schneller ablaufen können als diese Lade- bzw. Entladezeit. Tatsächlich finden
wir, dass neuronale Prozesse (feuern, etc.) auf der Zeitskala von etwa 1 ms passieren.
Entladen wir den Kondensator über einen gleichgrossen Widerstand R, so sind vom Zeitpunkt
des Umschaltens (S auf, S 0 zu) aus gerechnet, die Ladung und der Strom gegeben durch
Q(t0 ) = CV0 exp(−
t0
),
RC
I=
dQ
V0
t0
=
−
exp(−
).
dt0
R
RC
Wird nur S geöffnet und S 0 nicht geschlossen, so bleibt die Ladung Q auf C konstant. Die Zeitabhängigkeit des Stromes im Kreis und der Spannung über dem Kondensator zeigt Abbildung
9.124.
268
Ausschaltvorgänge: Widerstand, Kondensator, Spule
Abbildung 9.124: Zeitabhängigkeit des Stroms und der Spannung beim Ein- bzw. Ausschalten
eines Stromkreises mit Widerstand und Kondensator.
9.3.6.2 Die Telegraphengleichung Bei der Nervenleitung ist allerdings nicht nur das Aufladen der Membran wichtig, der Impuls soll ja auch entlang des Nervs transportiert werden und
eine andere Nervenzelle je nachdem zum feuern anregen. Das heisst um die Nervenleitung zu
verstehen müssen wir uns anschauen wie ein Spannungspuls entlang eines Axons transportiert
wird. Dazu stellen wir uns das Axon als Draht vor der innen einen bestimmten Widerstand
hat und der mit einer Membran umgeben ist, die als parallel geschalteter Kondensator und
Widerstand aufgefasst werden kann. Das machen wir dann entlang des Axons jeweils in kleinen
Stücken und sehen uns an wie der Spannungspuls transportiert wird. Das Ersatzschaltbild ist in
Fig. 9.126 gezeigt.
Wir betrachen also nun einen Abschnitt der Länge dx des Axons und interessieren uns dafür
wie sich der Strom durch das Axon, bzw. die angelegte Spannungsdifferenz als Funktion des
Abstandes x verhalten. Nach der Knotenregel teilt sich der Strom I(x) auf in denjenigen der
entlang des Axons fliesst und den der die Membran auflädt, also I(x) = I(x + dx) + Im . durch
ein Stück Membran fliesst ein Strom den wir oben schon beschrieben haben, wobei die Fläche
der betrachteten Membran A = 2πadx ist. Das heisst der Widerstand des betrachteten Stücks
ρm d
0
Membran ist Rm = 2πadx
und die Kapazität ist C = 2πadx
. Und die Gleichung für den Strom
d
269
Axon
a
Membran Dicke d
Ri
V(x)
Rm
V0
Ri
Rm
V0
C
Im
I(x)
C
Ri
Rm
V0
innen
C
aussen
dx
I(x+dx)
Abbildung 9.125: Ersatz-Schaltbild eines Axons.
Im wird:
Im =
V (x) − V0
(V (x) − V0 )2πadx 2πadx0 dV (x)
V (x) − V0 dQ
dV (x)
=
=
+
+
+C
Rm
dt
Rm
dt
ρm d
d
dt
2πadx (V (x) − V0 )
dV (x)
=
+ 0
d
ρm
dt
Die obige Bedingung aus der Knotenregel können wir auch umschreiben für eine andere Beziehung die den Strom durch die Membran beschreibt:
Im = I(x) − I(x + dx) = −
dI
dx
dx
wenn wir diese beiden Beziehungen gleichsetzen, erhalten wir eine Beziehung zwischen dem
Strom I(x) entlang des Axons und der Spannung über der Membran V (x):
dI
2πa (V (x) − V0 )
dV (x)
−
=
+ 0
dx
d
ρm
dt
wobei wir durch die Länge dx auf beiden Seiten gekürzt haben. Der Strom I(x) hängt aber
auch noch auf andere Weise mit der Spannng V (x) zusammen. Der Widerstand im Inneren des
Axons und der Strom I(x) beschreiben ja auch den Abfall der Spannung entlang des Axons,
270
i dx
also: ∆V (x) = V (x) − V (x + dx) = Ri I(x), wobei Ri = ρπa
2 ist mit dem spezifischen Widerstand
im Axon von ρi . Wenn wir diese Abhängigkeit des Widerstandes hier einsetzen, erhalten wir:
dV (x)
V (x + dx) − V (x)
−ρi I(x)dx
ρi
=
=
= − 2 I(x)
2
dx
dx
dxπa
πa
Die beiden Beziehungen zwischen dem Strom und der Spannung entlang der Membran können
wir zu einer einzigen Gleichung zusammenfassen indem wir die obige Gleichung nocheinmal nach
dem Ort ableiten und dann einsetzen:
dV (x)
dI(x)
πa2 d2 V (x)
2πa (V (x) − V0 )
+ 0
−
=
=
dx
ρi dx2
d
ρm
dt
oder
2
a d2 V (x)
=
2
ρi dx
d
dV (x)
(V (x) − V0 )
+ 0
ρm
dt
Diese Gleichung stellen wir nocheinmal etwas um, damit sie nur Spannungen beschreibt und
erhalten:
d2 V (x)
dV (x)
λ2
= (V (x) − V0 ) + τ
2
dx
dt
q
m
wobei τ = ρm 0 und λ = a·dρ
2ρi . Diese Gleichung (die Telegraphen-Gleichung) erinnert uns
an die Diffusionsgleichung, wobei hier der Transport eines Spannungspulses entlang des Axons
beschrieben wird. Für ein intuitives Verständnis dieser Gleichung wollen wir einmal den Grenzwert betrachten, dass sich die Spannung zeitlich nicht mehr ändert. Dann nimmt die Gleichung
die Form an:
d2 V (x)
λ2
= (V (x) − V0 )
dx2
was wie so oft eine Exponentialfunktion als Lösung hat V (x) = V0 exp(−x/λ) die auf einer
Längenskala
λ abfällt. Das heisst ein Spannungspuls in einem Axon kann in etwa eine Strecke
q
m
λ = a·dρ
2ρi transportiert werden. Mit typischen Werten wie ρi = 1Ωm und a = 1µm erhalten
wir: λ = 150µm und eine Pulsgeschwindigkeit von etwa v = λ/τ = 0.3m/s.
Das heisst ein Nervenimpuls würde sich nicht sehr weit und auch nur sehr langsam fortpflanzen,
was nicht der Beobachtung entspricht, schliesslich können wir in weniger als einer Sekunde auf
einen äusseren Reiz an einer Extremität reagieren, die grob einen Meter entfernt ist. Die Natur
hat dieses Problem also irgendwie gelöst. Dazu gibt es zwei Betrachtungen. Die erste betrifft die
Dicke der Membran, bzw. der isolierenden Schicht um das Axon herum. Wie wir oben gesehen
haben geht die Dicke der Membran in die Läge des Transports ein. Nun sind die Axone von vielen Nervenzellen (etwa 30%) myelinisiert, also duch Zellen umgeben (Schwann-Zellen), die als
Isolationsschicht arbeiten. Die entsprechende Dicke wird dann d ' 2µm und damit erhalten wir
eine Länge λ = 7mm. Zwischen den Schwann-Zellen haben die Axone Spannungsempfindliche
Stellen (Konten von Ranvier), welche stark polarisierend auf eine externe Spannung reagieren.
Diese sind etwa 1.5 mm auseinander, was heisst dass der Stromtransport in diesen Nerven von
einem Knoten zum nächsten ”hüpft”(saltatorischer Transport), was die nötigen Geschwindigkeiten erreicht, da wir es nun nicht mehr mit einem diffusiven Prozess zu tun haben der den
Transport auf langen Längenskalen vollbringt. Die entsprechende Pulsgeschwindigkeit ist dann
auch im Bereich von 3 m/s (1.5 mm / 0.5 ms), was typische Reaktionszeiten möglich macht.
271
9.3.6.3 Aktionspotential Nun haben wir immernoch das Problem der 70 % unmyelinierten Nervenzellen. Dies haben Hodgkin und Huxley and den Axonen von Riesentintenfischen
im Detail untersucht. Das Grundprinzip ist das folgende: In unserer Diskussion sind wir davon
ausgegangen, dass der Widerstand der Membran stets der gleiche ist, egal welche Spannungsdifferenz daran anliegt. Das muss nicht so sein, wie Hodgkin und Huxley gefunden haben hängt
der spezifische Widerstand eines Axons auf den Ionentransport von Na, K oder Ca von der angelegten Spannung ab. Dies deshalb weil die Ionenkanäle welche die jeweiligen Ionen durch die
Membran transportieren verschiedene Zustände haben, die entweder einem offenen oder geschlossenen Kanal entsprechen. Das heisst der Widerstand der Membran ρm ändert sich um mehrere
Grössenordnungen wenn der Kanal offen oder geschlossen ist. Um uns dies klar zu machen halten wir uns nochmals den spezifischen Widerstand einer ionischen Lösung vor Augen, den wir
oben hergeleitet hatten: ρ ∝ 1/n, also je grösser die Ladungsträgerdichte, desto kleiner der Widerstand. Da die Ionenkanäle für die verschiedenen Kanäle verschieden auf externe Spannungen
reagieren ergibt sich eine Schwell-Spannung bei der ein starker Spannungs-Puls angeregt werden kann. Aus der zeitlichen Form der Strompulse haben Hodgkin und Huxley sogar schliessen
können wieviele Öffnungen die verschiedenen Kanäle haben. Dies hängt nämlich damit zusammen welche funktionelle Form die Spannungsabhängigkeit des Widerstands hat, genauer gesagt
von der Anzahl der möglichen leitenden und nicht-leitenden Zustände. 40 Jahre später konnten
diese vorhergesagten Strukturen mit Hilfe von röntgenkristallographischer Strukturbestimmung
bestätigt werden.
Abbildung 9.126: Struktur eines Na-Ionenkanals aus Röntgenbeugungs Strukturanalyse.
272
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