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Mechanik I.3 Erhaltungssätze Impuls, Drehimpuls, Energie Physik für Mediziner 1 Der Impuls • Eine Masse m, die r sich mit der Geschwindigkeit v bewegt, hat den Impuls p r r p=mv r • Der Impuls p ist eine Vektorgröße; die Einheit des Impulses ist [p] = 1kg · m · s-1 • Die zeitliche Änderung des Impulses ist eine Kraft r r r r dv d d r (p) = (mv ) = m = ma = F dt dt dt m = const II. Newtonsches Axiom ⇒ wenn keine Kraft auf einen Körper wirkt, so ändert sich sein Impuls nicht und bleibt konstant r F • Kraftstoß: während der Wirkungsdauer Δt bewirkt die Kraft r r r eine Impulsänderung Δ p des Körpers: Δp = F ⋅ Δt Physik für Mediziner 2 Impulserhaltung • In einem abgeschlossenen System (keine Kraftwirkung von außen) r r ist der Gesamtimpuls Pges , d.h. die Summe der Einzelimpulse pi aller Massen mi konstant N r r r r r r Pges = p1 + p2 + p3 + ⋅ ⋅ ⋅ + pN = ∑ pi = const i=1 • durch Wechselwirkung der Massen untereinander können sich die Einzelimpulse der Massen ändern, aber so, dass der Gesamtimpuls des Systems konstant bleibt Physik für Mediziner 3 1. Beispiel für Impulserhaltung • Gesamtimpuls vor Lösen der Feder: r r Beide Wagen in Ruhe: v1 = v 2 = 0 r r ⇒ p1 = p2 = 0; r r r ⇒ Pges = p1 + p2 = 0 • Die beiden ruhenden Massen auf der Luftkissenbahn stellen ein abgeschlossenes System dar (Reibungskräfte durch Luftpolster kompensiert). Nach Lösen der Feder bewegen sich die Wagen in entgegengesetzten Richtungen • Gesamtimpuls nach Lösen der Feder: r r r r p1 = m1 v1 p2 = m2v 2 r r r r r ! Pges = p1 + p2 = m1v1 + m2v 2 = 0 r r v = − v • bei gleichen Massen m1= m2 ⇒ 1 2 r m2 r ⇒ v1 = − v2 m1 die Wagen fahren mit gleichem Geschwindigkeitsbetrag in entgegengesetzte Richtungen Physik für Mediziner Wagen auf Luftschiene 4 2. Beispiel für Impulserhaltung Hochsprung: Springer und Erde bilden angeschlossenes System. Beim Hochspringen stößt sich der Springer mit der r Masse m mit der Geschwindigkeit v von der Erde ab. Was bedeutet das für die Erde? • Gesamtimpuls vor dem Absprung: r r r Pges = p + pE = 0 • Gesamtimpuls nach Absprung: r r r ! Pges = m v + mEvE = 0 r m r v ≈0 vE = − mE m ≈ 70 kg; mE= 6·1024 kg; Physik für Mediziner m ≈ 10 − 23 mE 5 3. Beispiel für Impulserhaltung • Ein Ball prallt gegen eine Wand und wird reflektiert a.) senkrechtes Auftreffen auf Wand b.) Auftreffen unter einem Winkel Kugel K ⎛ px ⎞ Impulsvektor: ⎜ ⎟ ⎜ py ⎟ ⎝ ⎠ Wand W ⎛ pK,x ⎞ ⎛ − pK,x ⎞ ⎛ pW ,x ⎞ ⎟ ⎜⎜ ⎟⎟ = ⎜⎜ ⎟⎟ + ⎜⎜ ⎟ p ⎝ 0 ⎠ ⎝ 0 ⎠ ⎝ W ,y ⎠ ⎛ pW ,x ⎞ ⎛ 2pK,x ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ pW ,y ⎟ = ⎜⎜ 0 ⎟⎟ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ Reflektion auf Luftschiene ⎛ pK,x ⎞ ⎛ − pK,x ⎞ ⎛ p W ,x ⎞ ⎜⎜ ⎟⎟ ⎟⎟ = ⎜⎜ ⎟⎟ + ⎜⎜ ⎝ pK,y ⎠ ⎝ pK,y ⎠ ⎝ p W ,y ⎠ ⎛ pW ,x ⎞ ⎛ 2pK,x ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ pW ,y ⎟ = ⎜⎜ 0 ⎟⎟ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ pW ,x = 2pK,x ; pW ,y = 0 pW ,x = 2pK,x ; pW ,y = 0 Superposition von Impulserhaltung entlang der Kordinatenachsen Physik für Mediziner 6 Beispiel für Impulserhaltung: Rakentantrieb Raketenprinzip: beim Raketenantrieb wird ein Flugobjekt dadurch beschleunigt, dass ein Teil seiner Masse mit großer Geschwindigkeit entgegengesetzt zur Flugrichtung ausgestoßen wird Zeitpunkt: t Zeitpunkt: t+Δt r r Pges = m ⋅ v - T r r r r r Pges = m ⋅ v = ΔmT ⋅ v T + (m − ΔmT ) ⋅ ( v + Δv ) Physik für Mediziner r r ⇒ Lösung: v = v( t ) 7 Bauformen von Raketen Physik für Mediziner 8 Drehimpuls Eine Masse m, die sich mit konstanter Winkelgeschwindigkeit ω auf einer Kreisbahn bewegt, besitzt einen r Drehimpuls L r r r L=rxp r Für den Betrag von L gilt: r r r r r ⊥ p , d.h. von r und p eingeschlossener Winkel ϕ = 900; d.h. sin ϕ = 1 r L = L = r ⋅ p ⋅ sin (900 ) = r ⋅ p = r ⋅ m ⋅ v = r ⋅ m ⋅ ω ⋅ r = m ⋅ r 2 ⋅ ω; J Der Drehimpuls ist eine vektorielle Größe und steht senkrecht auf der Bahnebene. L = mr 2 ⋅ ω Einheit: [L] = kg· m2· s-1 Die Größe J = m·r2 ist das Trägheitsmoment des Massenpunktes bzgl. der Achse durch den Mittelpunkt der Kreisbahn mit Radius r. Das Trägheitsmoment ist eine skalare Größe: Einheit: [J] = kg m2 Physik für Mediziner 9 Trägheitsmoment eines starren Körpers • Man kann sich den gesamten starren Körper aus den Massenelementen mi zusammengesetzt denken, die sich im Abstand ri von der Drehachse befinden. • Starrer Körper heißt, dass alle Massenelemente starr miteinander verbunden sind, d.h. sich alle Massenelemente mit der gleichen Winkelgeschwindigkeit ω um die Drehachse drehen. • Das Trägheitsmoment des starren Körpers bzgl. der Drehachse ist die Summe der Trägheitsmomente Ji= mi · ri2 aller Massenelemente bzgl. dieser Drehachse N N i=1 i=1 Jges = ∑ Ji = ∑ mi ⋅ ri2 Physik für Mediziner 10 Trägheitsmomente starrer Körper (für verschiedene Geometrien und bzgl. unterschiedlicher Drehachsen) Physik für Mediziner 11 Zeitliche Änderung des Drehimpulses • Eine zeitliche Änderung des Drehimpulses wird durch ein Drehmoment bewirkt. Bei einer Kreisbewegung gilt für den Betrag: d d (L) = (r ⋅ p) = r ⋅ d (p) = r ⋅ F = M dt dt dt Def: L=r·p r=const Newton II ⇒ d (L) = M dt analog zu d (p) = F dt r • Wenn kein Drehmoment M auf einen Körper wirkt, ändert sich der Drehimpuls nicht sondern bleibt erhalten • Andererseits: d (L) = d (J ⋅ ω) = J ⋅ d (ω) = J ⋅ α dt dt dt Def: L=J·ω Physik für Mediziner J=const M = J⋅α Def: Winkelbeschleunigung α = dω dt Das Drehmoment bewirkt eine Winkelbeschleunigung (analog F = m·a) 12 Drehimpulserhaltung r • In einem abgeschlossenen System r ist der Gesamtdrehimpuls Lges (Summe der Einzeldrehimpulse Li der zum System gehörenden Massen mi) zeitlich konstant: n r r r r r r Lges = L1 + L2 + L3 + ⋅ ⋅ ⋅ + Ln = ∑ Li = const i=1 r • In der Regel bleibt wirklich nur der Gesamtdrehimpuls Lges des Systems erhalten. Durch Wechselwirkungenr der Körper untereinander können sich aber deren Einzeldrehimpulse Li ändern. Physik für Mediziner 13 1. Beispiel: Drehimpulserhaltung Drehimpuls: r r r L = r xm⋅ v Für abgeschlossene Systeme (keine äußeren Kräfte) bleibt der Drehimpuls erhalten. für Kreisbewegung mit Kreisfrequenz ω: r L = r ⋅ m ⋅ v = r ⋅ m ⋅ ω ⋅ r = m ⋅ ω ⋅ r 2 = const v = ω ⋅r const 1 ∼ 2 ⇒ω= 2 m⋅r r Drehstuhl mit Hanteln r groß ⇒ ω klein Physik für Mediziner r klein ⇒ ω groß 14 2. Beispiel für Drehimpulserhaltung ⇒ω= const m ⋅ r2 ∼ 1 r2 r klein ⇒ Trägheitsmoment J klein ⇒ ω groß Pirouette Physik für Mediziner Salto vorwärts 15 3. Beispiel für Drehimpulserhaltung • Gesamtdrehimpuls vorher: r r r L1 = 0; L2 = 0; ⇒ Lges = 0 • Gesamtdrehimpuls nachher: r r r r L1 = J1 ⋅ ω1 L2 = J2 ⋅ ω2 r r r ⇒ Lges = L1 + L2 = 0 wegen Gesamtdrehimpulserhaltung r r J1 ⋅ ω1 + J2 ⋅ ω2 = 0 Drehstuhl mit Fahrradfelge r J r ⇒ ω1 = − 2 ω2 J1 r m r Analog zur Impulserhaltung (Luftkissenbahn): v1 = − 2 v 2 m1 Physik für Mediziner 16 Energie und Arbeit • In der Mechanik erreicht man durch Anwendung einer Kraft eine Verschiebung eines Körpers (z.B. Anheben eines Gewichts) oder eine Beschleunigung oder auch eine elastische Verformung (Feder); letztlich in jedem Fall eine Verschiebung: Arbeit ist das Produkt aus Kraft und Weg • Die an dem Körper geleistete Arbeit ist dann als Energie im Körper gespeichert z.B. als potenzielle Energie, kinetische Energie (Bewegungsenergie) oder Verformungsgenergie • Energie und Arbeit sind äquivalent und ineinander umwandelbar • Neben der mechanischen Energie gibt es noch andere Energieformen: z.B. elektrische Energie, Wärmeenergie, Kernenergie etc. (später) Physik für Mediziner 17 Arbeit, Energie, Leistung • Die an einem Körper geleistete physikalische Arbeit (work) ist das Produkt aus Kraft (entlang des Weges) mal Verschiebungsweg: Arbeit = Kraft x Weg s r ΔW = F ⋅ Δs Skalarprodukt • Arbeit ist eine skalare Größe: Einheit [W] = kg m s-2 m = kg m2 s-2 = N m = J (Joule) • Die an einem Körper geleistete Arbeit ist dann als Energie im Körper gespeichert • Physikalische Leistung (power) ist das Verhältnis aus verrichteter Arbeit und der dafür benötigten Zeit Leistung = Arbeit pro Zeit P= ΔW Δt • Leistung ist eine skalare Größe. Einheit:[P] =kg m2 s-3 = J s-1 = Watt Physik für Mediziner 18 Skalarprodukt Rechenvorschrift: r r C = A ⋅B ⎛ A x ⎞ ⎛ Bx ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ = ⎜ A y ⎟ ⋅ ⎜ By ⎟ ⎜ A ⎟ ⎜B ⎟ ⎝ z⎠ ⎝ z⎠ = A x ⋅ Bx + A y ⋅ By + A z ⋅ Bz r r = A ⋅ B ⋅ cos θ = A ⋅ B ⋅ cos θ r r • Das Skalarprodukt zweier Vektoren A und B ist eine skalare Größe C r • Das rSkalarprodukt ist das rProdukt vom Betrag der Projektion von A auf B mit dem Betrag von B (bzw. umgekehrt) r r r r • Das Skalarprodukt ist komutativ: d.h. A ⋅ B = B ⋅ A Physik für Mediziner 19 Multiplikation von Vektoren 1.) Vektor mit Skalar ⇒ Vektor (die Länge des Vektors ändert sich, r r Richtung bleibt gleich) z.B. F = m ⋅ a 2.) Vektorprodukt (Kreuzprodukt): Vektor X Vektor ⇒ Vektor r r r z.B. M = r × F Richtung des resultierenden Vektors bestimmt durch r Drehsinn: 1. Vektor in r Richtung des 2. Vektors drehen; M M steht senkrecht auf der durch rechte-Hand-Regel; r r r und F aufgespannten Ebene r r r r r Betrag des Vektors M : M = r ⋅ F ⋅ sin θ r θ r F 3.) Skalarprodukt: Vektor · Vektor = Skalar r r r r z.B. W = F ⋅ s Betrag der skalaren Größe: W = F ⋅ s ⋅ cos θ Physik für Mediziner 20 Hubarbeit = potenzielle Energie W = F ⋅h = m⋅ g⋅h • Die verrichtete Hubarbeit kann man aus einem Arbeitsdiagramm (Kraft über Weg) ablesen. • um einen Körper der Masse m senkrecht um die Höhe h zu heben, muss Arbeit gegen die Gewichtskraft geleistet werden. • Nachdem der Körper auf die Höhe h gehoben worden ist, ist die aufgewandte Arbeit in ihm als potenzielle Energie gespeichert Epot= m·g·h Physik für Mediziner Lageenergie im Gravitationsfeld der Erde 21 Beschleunigungsarbeit = kinetische Energie • die verrichtete Beschleunigungsarbeit W ist im Arbeitsdiagramm (Kraft über Weg) ablesbar: r r r r r r W = F ⋅ s = F ⋅ s ⋅ cos θ = F ⋅ s ,da θ=0; cos 00= 1 Ein Körper wird mit konstanter Beschleunigung (konstanter Kraft) von Geschwindigkeit Null auf Geschwindigkeit v gebracht. Physik für Mediziner 1 1 ⎛1 ⎞ 2 W = F ⋅ s = (m ⋅ g) ⋅ ⎜ ⋅ g ⋅ t 2 ⎟ = ⋅ m ⋅ (g ⋅ t )2 = ⋅ m ⋅ v 2 2 ⎝2 ⎠ • Nach Beschleunigung auf die Geschwindigkeit v ist die aufgewandte Arbeit im Körper als kinetische Energie gespeichert: Ekin = 1 ⋅ m ⋅ v2 2 22 Verformungsarbeit = potenzielle Energe Kraft wächst linear mit Auslenkung (Weg) • Die verrichtete Verformungsarbeit W ist im Arbeitsdagramm (Kraft über Weg) ablesbar: 1 W = ⋅ D ⋅ x2 2 • Nach Dehnung der Feder ist die dazu aufgewandte Arbeit in ihr als potenzielle Energie gespeichert: Epot = Physik für Mediziner 1 ⋅ D ⋅ x2 2 23 Umwandlung: Kinetische Energie ⇒ Verformungsarbeit Ekin = 1 ⋅ m ⋅ v2 2 Wer 150 km/h fährt, hat 9 mal mehr Bewegungsenergie als ein Fahrer mit 50 km/h. Alle Crash-Tests der Automobilhersteller werden bei 60 km/h durchgeführt Physik für Mediziner 24 Rotationsenergie • Die Rotationsenergie ist die kinetische Energie der Rotationsbewegung eines starren Körpers um eine feste Achse • Alle Massenelemente mi rotieren mit der gleichen Winkelgeschwindigkeit ω. Die Beträge ihrer Geschwindigkeiten sind vi= ω·ri und ihre kinetischen Energien Ekin,i=1/2·mi·vi2 • Gesamte in der Rotation gespeicherte kinetische Energie ges Ekin = 1 1 2 2 2 = m r ⋅ ⋅ ⋅ ω E = ⋅ m ⋅ v ∑ i i ∑ kin,i ∑ 2 i i 2 i i=1 i=1 1 1 2 2 = ⋅ ω ⋅ ∑ m i ⋅ri = ⋅ J ⋅ ω2 2 2 i Erot = Physik für Mediziner 1 ⋅ J ⋅ ω2 2 J ist das Trägheitsmoment bzgl. der Drehachse 25 Energieerhaltung Energieerhaltungssatz: In einem abgeschlossenen System ist die Gesamtenergie Eges (Summe der Energien Ei der zum System gehörenden Massen mi) zeitlich konstant. Dabei kann Energie zwischen den Massen mi ausgetauscht und zwischen verschiedenen Energieformen umgewandelt werden. N Eges = E1 + E2 + E3 + ⋅ ⋅ ⋅ + EN = ∑ Ei = const i=1 Physik für Mediziner 26 1. Beispiel für Energieerhaltung • Energieerhaltung bei freiem Fall der Katze 1.) Katze in Ruhe in Höhe h Ekin=0; Epot= m·g·h; ⇒ Eges= m·g·h 2.) halbe Höhe Epot= 1/2·m·g·h Ekin= 1/2·m·g·h 3.) Katze auf Erdboden Epot=0; Ekin=1/2·m·v2= m·g·h Beim Fallen wird die potenzielle Energie kontinuierlich in kinetische Energie umgewandel. (Luftreibung vernachlässigt) periodische Umwandlung: Epot⇔ Ekin Physik für Mediziner v =√2·g·h springender Ball 27 2. Beispiel für Energieerhaltung • Die Masse m an der (masselosen) Feder vollführt eine harmonische Schwingung. Es wird periodisch potenzielle in kinetische Energie umgewandelt; die Gesamtenergie bleibt dabei erhalten. (Reibung und Gravitation vernachlässigt) 1. 1.) maximale Stauchung der Feder: Ekin=0; Epot=1/2·D·(-xmax)2 2. 2.) Null-Durchgang (x=0) Epot= 0; Ekin= 1/2·m·v2 3. Masse an Feder 3.) maximale Dehnung der Feder Ekin=0; Epot=1/2·D·(xmax)2 Energieerhaltung: Eges = Ekin + Epot = Physik für Mediziner 1 2 ⋅ D ⋅ xmax = const 2 28 3. Beispiel für Energieerhaltung • Ein Vollzylinder und ein Hohlzylinder rollen die schiefe Ebene hinunter: Wer ist schneller ?? • Gesamtenergie = potenzielle + kinetische Energie; die kinetische Energie hat 2 Anteile: a.) Translationsbewegung b.) Rotationsbewegung Start: Epot (Höhe h) = m ⋅ g ⋅ h; Ekin = Erot = 0 Hohl- und Vollzylinder auf schiefer Ebene Energieerhaltung: Eges = Epot + Ekin,trans + Ekin,rot = m ⋅ g ⋅ h = const 1 2 1 2 E = m ⋅ g ⋅ h = E + E = ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ ω m v J E = 0 ; Ebene: pot ges kin, trans kin,rot 2 2 v ω = mit R 1 1 ⎛v⎞ ⇒ m ⋅ g ⋅ h = ⋅ m ⋅ v2 + ⋅ J ⋅ ⎜ ⎟ 2 2 ⎝R⎠ Jvoll = Physik für Mediziner 1 ⋅ m ⋅ R 2 < Jhohl = m ⋅ R 2 2 2 Vollzylinder: Erot kleiner, da Jvoll kleiner ⇒ Etrans größer vvoll > vhohl 29 Einfache mechanische Maschinen • Durch den Einsatz von mechanischen Maschinen wird die aufzubringende Arbeit nicht verringert. • Maschinen erlauben es, eine bestimmte Arbeit bei verringertem Kraftaufwand durchzuführen, allerdings verbunden mit einem längeren Arbeitsweg • Goldene Regel der Mechanik: Was man an Kraft spart, muss man an Weg zulegen. Physik für Mediziner 30 Elastischer und unelastischer Stoß • Viele Stoßprozesse lassen sich mit Hilfe von Energieerhaltungssatz und Impulserhaltungssatz analysieren. Beide Sätze gelten auch für Stöße im atomaren Bereich. • Elastischer Stoß: Beide Stoßpartner werden nicht deformiert; für die Bewegung vor und nach dem Stoß sind Energie und Impuls erhalten • Unelastischer Stoß: beim unelastischen Stoß werden die Stoßpartner irreversibel verformt; d.h. mit einem Teil der Bewegungsenergie wird Verformungsarbeit geleistet. Total unelastischer Stoß: beide Stoßpartner bewegen sich nach dem Stoß mit gleicher Geschwindigkeit Physik für Mediziner 31 Beispiel elastischer Stoß Anwendung von Energie- und Impulserhaltungssatz: Energieerhaltung: A⋅ 1 1 2 ⋅ m ⋅ v 2vor = B ⋅ ⋅ m ⋅ vnach 2 2 Impulserhaltung: Bifilar aufgehängte Reihe von Kugelpendeln Wenn A Kugeln ausgelenkt und losgelassen werden, wie groß ist dann die Zahl B der Kugeln, die auf der anderen Seite wegfliegt ?? Physik für Mediziner A ⋅ m ⋅ v vor = B ⋅ m ⋅ vnach Erhaltung von Impuls und Energie sind nur gemeinsam erfüllbar, wenn A=B und vvor= vnach Bifilar aufgehängte Kugelpendel 32 Beispiel: unelastischer Stoß Impulserhaltung bei unelastischem frontalen Stoß Beide Stoßpartner bewegen sich gemeinsam nach Stoß r r r m1 ⋅ v1 + m2 ⋅ v 2 = (m1 + m2 ) ⋅ v r r r m ⋅ v + m2 ⋅ v 2 v= 1 1 m1 + m2 r r r r z.B. vor Stoß: v1 = − v 2; v1 = v 2 ; 9M r v1 r r v 2 = − v1 M m1 9 = m2 1 Lastwagen und PkW prallen frontal zusammen r r r 9 ⋅ v1 − 1⋅ v1 8 r 4r = v1 = v1 nach Stoß: v = 5 10 10 Inelastischer Stoß auf Luftkissenbahn km ⎞ ⎛r ⎜ v1 = 100 ⎟ h ⎠ ⎝ d.h. Lastwagen setzt gemeinsam mit PkW seine Fahrt mit 80 km/h in ursprünglicher Fahrtrichtung fort. PkW kehrt Fahrtrichtung um und wird von LkW mitgeschleift. Physik für Mediziner ⇒ der massivere Stoßpartner ist im Vorteil !!! 33 Vergleich: Translation ⇔ Rotation Physik für Mediziner 34 Zusammenfassung • Impuls, Drehimpuls und Energie sind physikalische Erhaltungsgrößen. • Energie kann in verschiedenen Formen vorkommen, die ineinander überführt werden können. • Erhaltungssätze: in abgeschlossenen Systemen ist die Gesamtenergie, der Gesamtimpuls und der Gesamtdrehimpuls erhalten; dabei können Teile des Systems (Massen, Teilchen) Energie, Impuls und Drehimpuls in Wechselwirkungen untereinander austauschen. • Energie-, Impuls- und Drehimpulserhaltung sind fundamentale Prinzipien, deren Anwendbarkeit über die klassische Mechanik hinausgeht und die auch in der mikroskopischen Physik ihre Gültigkeit behalten. Physik für Mediziner 35
