Druck

I. Mechanik
I.3 Mechanik deformierbarer Körper und Medien
Physik für Mediziner
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Aggregatzustände vonMaterie
• Materie kann in 3 Aggregatzuständen vorkommen:
Kristall-,
FlüssigkeitsGasmodelle
• fest:
form- und volumenstabil, homogen
Atome und Moleküle sind dicht gepackt
und starr miteinander verbunden
• flüssig:
volumenstabil, nicht formstabil, homogen
Atome und Moleküle sind dicht gepackt aber verschiebbar
• gasförmig: weder form- noch volumenstabil, homogen,
verdünnte Anordnung; Atome bzw. Moleküle frei beweglich
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Elastische Deformationen fester Körper
• die Verformung eines festen Körprs unter der
Wirkung einer Kraft heißt elastisch, wenn nach
der Beanspruchung der Körper seine ursprüngliche
Form wieder annimmt.
• Beispiel: Dehnung eines Drahtes:
Hooke‘sches Gesetz (wie bei Feder)
Längenänderung proportional Kraft Δ L ∼ F
A Querschnittsfläche
ΔL F
∼
L
A
1
ΔL 1 F
= ⋅
Proportionalitätsfaktor: ; ⇒
E
L
E A
relative Längenänderung:
E Elastizitätsmodul; Materialparameter: [E] = N/m2
ΔL
L
F
Zugspannung (Druck) σ =
A
relative Längenänderung ε =
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ε=
1
⋅σ
E
Dehnung
eines Drahts
Einheit: [σ]= N/m2 = Pa (Pascal)
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Klassifizierung elastischer Verformungen
• wie bei der Dehnung gibt es Materialparameter,
die das elastische Verhalten beschreiben
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Kompressibilität von Festkörpern
• Wie stark ändert sich das Volumen eines Festkörpers unter
allseitigem Druck ?
Auf alle Würfelflächen wirkt
der gleiche Druck
p=
F
A
analog um Hookeschen Gesetz gilt:
ΔV
1
= − ⋅p
V
κ
κ ist der Kompressionsmodul (Materialparameter)
Volumina von Festkörpern sind unter allseitigem Druck nur schwer
veränderbar: ΔV
≈ 10− 6 für p = 105 Pa ≈ 1 atm (Atmosphäre)
V
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Hydrostatischer Druck in Flüssigkeiten
• Eigenschaften idealer Flüssigkeiten:
Nahezu inkompressibel wie Festkörper ⇒ Dichte ρ =Masse/Volumen=const;
keine Scherspannungen; Moleküle verschiebbar; Anpassung an Volumen
Der Druck senkrecht zur Fläche des
Druckmessers ist unabhängig von seiner
Orientierung; d.h. in Flüssigkeiten herrscht
allseitig der gleiche hydrostatischer Druck
Druckmesser:
Gleichgewichtsstellung:
Federkraft = Druck x Fläche
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Hydrostatischer
Druck
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Hydraulische Presse
Anwendung: hydraulische Hebebühne
Prinzip: Man drückt mit Kraft F1 den linken Kolben mit Querschnitt A1
um s1 nach unten. Der hydrostatische Druck p ist überall in der
Flüssigkeit gleich groß. Der rechte Kolben mit Querschnitt A2 wird
mit der Kraft F2 nach oben gedrückt und hebt sich um s2
Inkompressibilität: V1= A1·s1 = A2·s2= V2
F1 F2
p
=
=
= const
Hydrostatischer Druck:
A1 A 2
Energieerhaltung: F1 ⋅ s1 =
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Die Kraft, um etwas zu
heben, wird kleiner aber
der Verschiebungsweg
verlängert sich !!
F1
⋅ A1 ⋅ s1 = p ⋅ V1 = p ⋅ V2 = F2 ⋅ S2
A1
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Schweredruck in Flüssigkeiten
• Gewichtskraft der Flüssigkeitssäule: G= m·g= ρ·V·g= ρ·A·h·g
p=
G
= ρ ⋅ g⋅h
A
G
= ρ ⋅ g⋅h
A
Der Schweredruck ist abhängig von der Höhe der Flüssigkeitssäule
p=
Kommunizierende
Röhren
Wegen der Inkompressibilität der Flüssigkeit wird die Dichte durch
den Schweredruck nicht geändert (Näherung)
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Wasserwaage
FM
h
ΔR
2R
Wie hoch muß Wassersäule stehen,
damit der Schweredruck des Wassers
dem Druck der Person auf Brett das
Gleichgewicht hält?
Gleichgewicht: pMetag = pWasser
M ⋅g
pM = M = ρW ⋅ g ⋅ h
A
M M = ρW ⋅ A ⋅ h
ρW=103kg·m-3
R = 0.19 m
ΔR = 0.12 m
A= 2π·R·ΔR = 0.143 m2
Wasserwaage
Experiment: h = 0.56 m
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⇒ MMetag=103kg m-3· 0.143 m2· 0.56 m = 80 kg
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Quecksilber-Barometer
Vakuum
• Messung des Luftdrucks:
Wie hoch steht die Quecksilbersäule, wenn
der Luftdruck 1 atm = 101,325 kPa beträgt ?
Luft
Gleichgewicht:
Gewichtskraft der Quecksilbersäule =
Kraft durch Luftdruck
mQ ⋅ g = pLuft ⋅ A
= ρQ ⋅ V ⋅ g = ρQ ⋅ A ⋅ h ⋅ g = pLuft ⋅ A
h=
pLuft
ρQ ⋅ g
Quecksilber (Hg) hat bei O0C eine Dichte
von 13,595 g/cm3
h=
1,01325 ⋅ 105 N / m2
13,595 kg / m3 ⋅ 9,81m / s2
= 0,7597
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kg ⋅ m ⋅ s −2 ⋅ m2
kg ⋅ m
−3
⋅m⋅s
−2
H2O- und HgSäulen
≈ 0,760 m (Hg) = 760 Torr
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Auftrieb und Archimedisches Proinzip
• Kraftwirkung auf Körper in Flüssigkeit:
• seitliche Kräfte heben sich auf:
Fl − Fr = 0
• Kräfte oben und unten bewirken eine
Auftriebskraft:
Fa = F2 − F1 = g ⋅ ρ fl ⋅ A ⋅ h2 − g ⋅ ρ fl ⋅ A ⋅ h1
= g ⋅ ρ ⋅ A ⋅ (h2 − h1) = g ⋅ ρ fl ⋅ V = g ⋅ mfl
Archimedisches Prinzip: Die Auftriebskraft ist gleich der Gewichtskraft
der verdrängten Flüssigkeitsmenge
Die Gewichtskraft des eingetauchten Körpers wird um die Auftriebskraft
verringert:
Fges = FG − Fa = (ρK − ρ fl ) ⋅ g ⋅ V
Auftrieb:
Eintauchen eines AlZylinders in Wasser
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Kartesischer Taucher
Auftrieb:
Kartesischer
Taucher
Luft
p
• unten offener luftgefüllter
Glaskörper schwimmt in Flüssigkeit
• Wird der Druck auf Stopfen erhöht, so erhöht sich allseitig der
Druck in der Flüssigkeit
⇒ Luft in Glaskörper komprimiert ⇒ weniger Wasser verdrängt
⇒ Auftriebskraft kleiner ⇒ Taucher sinkt
• Durch geeignete Druckwahl kann Taucher steigen, sinken oder schweben
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Oberflächenspannung
Moleküle in Flüssigkeiten ziehen
sich an: Kohäsion
• an der Oberfläche gibt es
nur eine geringere Zahl von
Bindungspartnern.
⇒ Kraft senkrecht zur Oberfläche
ins Innere der Flüssigkeit gerichtet
⇒ Oberflächenspannung
• Flüssigkeitsmoleküle an Oberfläche weniger stark gebunden
⇒ Flüssigkeitsmoleküle an Grenzflächen (flüssig-fest) können von
Atomen des Festkörpers angezogen werden
⇒ Adhäsion
• Konsequenzen: Benetzungseigenschaften; Kapillarität
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Oberflächenspannung
• Um weitere Moleküle an die
Oberfläche der Flüssigkeit
zu bringen, muss Arbeit gegen
die Kohäsionskraft geleistet
werden.
Oberflächenspannung:
σ=
aufzuwendende Arbeit
vergrößert e Oberfläche
Einheit [σ]= N·m/m2=N/m
• Da Arbeit aufgewendet werden muss,
um eine Oberfläche zu vergrößern,
stellt sich ohne äußere Einflüsse für
das gegebene Volumen immer die
minimale Oberfläche ein
⇒ Kugel, Tropfen
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Tropfenbildung:
Oberflächen minimieren sich
Oberflächenspannung:
Nadeln auf Wasser
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Innendruck einer Seifenblase
Energiebilanz bei Vergrößerung der Oberfläche;
Änderung des Radius von r → r+Δr
Δ W aufzuwendende Arbeit
=
σ=
Δ A vergrößerte Oberfläche
• Änderung der Oberflächenenergie:
[
ΔW = σ ⋅ ΔA = σ 4π(r + Δr )2 − 4πr 2
[
]
]
= 4πσ ⋅ r 2 + 2r ⋅ Δr + Δr 2 − r 2 ≈ 8 π ⋅ σ ⋅ r ⋅ Δr
• mechanische Arbeit:
ΔW = F ⋅ Δr = p ⋅ ( 4 π r 2 ) ⋅ Δ r
Gleichsetzen ⇒
p=
Druck in kleinerer Blase größer
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2σ
r
Innendruck in Seifenblase
Oberflächenspannung:
2 Seifenblasen
Die Großen fressen die Kleinen !!
HgKügelchen
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Kapillarität
• Hineinziehen/ Herausdrängen von Flüssigkeiten in engen Kanälen
(Kapillaren)
Höhe h bestimmt
durch Gleichgewicht:
Gewichtskraft =
Kraft durch Oberflächenspannung
m⋅g = p⋅ A
Adhäsion > Kohäsion
Oberfläche konkav
gekrümmt
z.B. Wasser (H2O)
Kohäsion > Adhäsion
Oberfläche konvex
gekrümmt
z.B. Quecksilber (Hg)
Anwendung:
Wassertransport in Bäumen
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Kapillarität
2σ
ρ ⋅h⋅ A ⋅ g =
⋅A
r
h=
2σ
ρ ⋅r ⋅ g
abhängig von
OberflächenSpannung σ und
Radius r der
Kapillare
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Zusammenfassung
• Druck und Spannung (skalare Größen) gegeben durch Verhältnis von
wirkender Kraft und Angriffsfläche
• Festkörper: form- und volumenstabil; elastisches Verhalten
• Flüssigkeiten: volumenstabil, nicht formstabil;
inkompressibel ⇒ konstante Dichte,
Allseitigkeit des Drucks; keine Scherspannungen
• Archimedisches Prinzip: Auftriebskraft = Gewichtskraft der
verdrängten Flüssigkeitsmenge
• Oberflächenspannung: Moleküle an Flüssigkeitsoberflächen schwächer
gebunden; Wechselspiel von Kohäsion, Adhäsion
und Gewichstkraft bestimmen Benetzungseigenschaften
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