Stoffsammlung Mathematik zur Vorlesung Physik für Mediziner

Stoffsammlung Mathematik
zur Vorlesung Physik für Mediziner
D. Gotta WS10/11
1
Rechnen mit Zahlen und Einheiten
• Geeignete Darstellung und Umformung
4
4
= = 0.44̄
3
9
a
a·d
b
c =
b·c
d
1
%≡
100
−6
ppm = 10 , ppb = 10−9
0.33̄ ·
(1)
(2)
(3)
(4)
• Exponentdarstellung großer und kleiner Zahlen
1 Mol enthält NA = 6 · 1023 Teilchen (Avogadro-Konstante)
1ppb Mol entspricht 10−9 · 6 · 1023 Teilchen
• Spezielle Bezeichnungen und Kürzel für Zahlen aus dem täglichen und
technischen Gebrauch
101 : Deca (da), 102 : Hecto (h), 103 : Kilo (k), 106 : Mega (M),
109 : Giga (G), 1012 : Tera (T), ...
10−1 : Deci (d), 10−2 : Centi (c), 10−3 : Milli (m), 10−6 : Mikro (µ),
10−9 : Nano (n), 10−12 : Pico (p), 10−15 : Femto (f), ...
• Physikalische Größe = Maßzahl·Einheit
Grundgrößen (z. B. m=[Länge]) und abgeleitete Größen (z. B. m2 =[Fläche])
Rechnen mit Einheiten wie mit Faktoren, z. B. 5 m·5 m = 5·5·m·m = 52 m2
1
2
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2
Proportionen
• Proportional: y ∝ x oder y = const · x
• Umgekehrt proportional: y ∝ 1/x oder y =
const
x
• Proportionen: a : b = c : d (z. B. Strahlensatz)
3
Funktionen und ihre Darstellung
Wichtige Eigenschaften:
• Wertebereich: (x, y = f (x))
• asymptotisches Verhalten: f (x) für x → ± ∞
• f (x) = f (−x) (gerade Fkt.)
f (x) = −f (−x) (ungerade Fkt.)
• Nullstellen: f (x) = 0
• Extrema: f ′ (x) = 0, Maxima: f ′′ (x) < 0, Minima: f ′′ (x) > 0
• Pole (Singularitäten): f (x) → ±∞
• Physik:
y ± ∆y
∆y
∆y/y
+ ∆y+
y−
∆y−
y = f (x) i. a. Messwerte mit Fehler ∆y (i. a. auch x ± ∆x):
Messwert mit symmetrischem Fehler
absoluter Fehler
relativer Fehler
Messwert mit asymmetrischem Fehler
• Bei der Darstellung auf angemessene Informationsdichte achten
4
Wichtige Funktionen
• Polynom: f (x) =
Pn
i=0
ai · xi (ai : Koeffizienten, n: Grad des P.)
• Hyperbel: f (x) = a/xn (a: Konstante)
• Exponentialfunktion: f (x) = a · ebx (a, b: Konstanten)
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3
• natürlicher Logarithmus: f (x) = loge (x) = ln(x)
• Zehnerlogarithmus: f (x) = log10 (x) = lg(x)
• Winkelfunktionen: sin(x), cos(x), tan(x) = sin(x)/cos(x)
• Fakultät: n! = 1 · 2 · ... · n, 0! = 1
5
Quadratische Gleichung
Das Lösen einer quadratischen Gleichung ist äquivalent zur Nullstellenbestimmung
eines Polnoms 2. Grades y = ax2 + bx + c (Parabel). Nach Umformen in die
Normalform 0 = x2 + px + q ergibt sich für die beiden Nullstellen x1 und x2
x1/2
p
=− ±
2
s
p2
−q
4
(5)
2
mit 2 reellen Lösungen für Radikand R = p4 − q > 0,
1 reellen Lösung für R = 0 (beide Nullstellen fallen zusammen)
q und
√
2 komplexen Lösungen für Radikand R < 0 (± R = ± (−1) | R | =
q
q
±i | R |, wobei i = (−1) zu einer neuen Dimension äquivalent ist).
Den Scheitelpunkt erhält man aus der Nullstelle der ersten Ableitung y ′ =
2x + p = 0 (Lineare Funktion = ”Gerade”).
Ergänzung: Ein Polynom nten Grades: y = an xn + an−1 xn−1 + ... + a0
(n ε N) besitzt minimal 0 und maximal n reelle Nullstellen. Unter Hinzunahme komplexer Lösungen ergeben sich immer genau n Nullstellen (Fundamentalsatz der Algebra).
6
Potenz und Logarithmus
Es gilt an = a · a · a · ... · a (n ε N).
Erweiterung auf alle reellen Zahlen: Potenzfunktion y(x) = ax .
Eine in der Physik wichtige Funktion dieser Art ist die ”e-Funktion”
y = ex . Dabei ist e = limn→∞ (1 + n1 )n = 2.718... (Euler’sche Zahl).
Der Logarithmus ist die Umkehrung der Potenz logb x = c ⇔ x = bc ,
wobei stets (x > 0) oder logb | x | (b: Basis, c: Exponent).
4
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Häufig verwendetete Bezeichnungen:
logb x
Logarithmus zur Basis b
log10 x = lg x Logarithmus zur Basis 10
loge x = ln x Logarithmus zur Basis e (natürlicher Logarithmus).
Wichtiger Basiswechsel (b ↔ e): bx = ex·ln b
a0
(ab)x
ax ay
ax /ay
(ax )y
ax/y
7
=
=
=
=
=
=
1 (a 6= 0)
ax bx
ax+y
ax−y
a√xy
y
ax
√
log y ax =
x
y
log a
Geometrie
Erinnerung: π ≡
Kreisumf ang
Kreisdurchmesser
Rechteck
rechtwinkliges Dreieck
Kreis mit Radius r
Kugel mit Radius r
Zylinder mit Höhe h
8
logb b = 1, logb 1 = 0
log ax = x · log a
log(a · b) = log a + log b
log(a/b) = log a − log b
= 3.141 ...
(Ober-)Fläche
a·b
1
·a·b
2
π · r2
4π · r 2
2π · r · (r + h)
Umfang
2a
√+ 2b
2 a2 + b2
2π · r
Winkel und Winkelfunktionen
Einheiten für Winkel α:
• α im Gradmaß (◦ ) – Vollkreis = 360◦
• α im Bogenmaß (radian): α = Strecke auf rKreisumf ang
Vollkreis: α = 2πr
= 2π = 6, 282 ... radian
r
Volumen
4
π
3
· r3
π · r2 · h
5
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Umrechnung: α = 1 rad = 180◦ /π = 57, 3◦
Näherung für kleine Winkel (∼
= rechtwinkliges Dreieck): α =
a
b
(a ≪ b)
Kreisgleichung: x2 + y 2 = r 2
Winkelfunktionen:
sin α = y/r, cos α = x/r, Wertebereich [-1,+1], Periode 2π
tan α = y/x, cot α = tan−1 α, Wertebereich (−∞, +∞), Periode π
2
2
Einheitskreis: xr + yr = sin2 α + cos2 α = 1
Winkelgeschwindigkeit: ω =
9
ueberstrichener W inkel
Zeit
=
α(t)
t
= α̇(t)
Periodische Vorgänge
Parameterdarstellung harmonischer Schwingungen (zeitlich periodische Vorgänge)
als Kreisbewegung in der x-y Ebene mit Winkelgeschwindigkeit ω = 2π/T
und Umlaufzeit T.
~ y(t) = r · sin(ωt + α0 ), x(t) = r · cos(ωt + α0) = r · sin(ωt + π + α0 )
Ort r(t):
2
~
Geschwindigkeit v(t): vx (t) = ẋ(t), vy (t) = ẏ(t)
~ vx (t) = ẍ(t), vy (t) = ÿ(t)
Beschleunigung a(t):
Phase α(t = 0) = α0 (physikalisch: Anfangsbedingung – legt Auslenkung
(Ort) zur Zeit t=0 fest).
Räumliche Ausbreitung von Wellen (t: Zeit, x: Ort)
Entlang x-Achse (eindimensional): y(x, t) = r · sin(ωt ± kx + α0 )
Wellenzahl k = 2π/λ mit Wellenlänge λ
−kx bzw. +kx: Welle läuft nach ”rechts”(x ր) bzw. ”links” (x ց)
Ausbreitungsgeschwindigkeit der Welle v = Tλ = ωk
(entspricht ωt ± kx + α0 = constant)
10
Vektoren


x


Oft verwendete Darstellungen: ~r = x · eˆx + y · eˆy + z · eˆz =  y  = (x, y, z)
z
6
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• Länge (Betrag) in kartesischen Koordinaten: | ~r |=
√
x2 + y 2 + z 2
• Addition: r~1 + r~2 = (x1 + x2 , y1 + y2 , z1 + z2 )
Ergebnis Vektor
• Multiplikation mit Skalar a (Zahl oder Einheit):
a · ~r = (a · x, a · y, a · z)
Ergebnis Vektor
• Skalarprodukt:
r~1 · r~2 = | r~1 | · | r~2 | · cos(r~1 , r~2 )
6= | r~1 · r~2 | ≥ 0
Ergebnis Skalar
• Vektorprodukt:
r~1 × r~2 = r~3 mit r~3 ⊥ r~1 und r~3 ⊥ r~2
| r~3 | = | r~1 | · | r~2 | · sin(r~1 , r~2 ) ≥ 0
Ergebnis Vektor
11
Differenzieren und Integrieren
Funktion einer Variablen: y = f (x)
Anschaulich: f ′ (x) ist Steigung der Tangente an f im Punkt x.
dy df
Gängige Schreibweisen für 1. Ableitung: y ′, f ′ (x), dx
, dx
d2 y d2 f
′′
′′
für 2. Ableitung: y , f (x), dx2 , dx2
Schreibweise bei Ableitungen nach der Zeit t: ẏ =
dy
,
dt
ÿ =
d2 y
,
dt2
...
Funktion mehrerer Variablen: y = f (x1 , x2 , ..., xn )
∂f
Partielle Ableitung nach einer der Variablen: ∂x
i
∂f
2
(Z. B. f (x, y) = ax2 + by 3 + c), ∂f
=
2ax,
=
3ax
)
∂x
∂y
b
Bestimmtes Integral:
a f (x)dx = F (a) − F (b)
Anschaulich: Fläche unter der Kurve f (x) zwischen a und b. Achtung: Diese
Fläche hat ein Vorzeichen.
R
Unbestimmtes Integral:
R
f (x) = F (x) + C
F (x) Stammfunktion
C
Integrationskonstante
Die physikalische Lösung wird i. a. durch den Ansatz einer Differentialgleichung und deren Integration gefunden. Die Konstante C kann dann nur
durch Einsetzen der ”Anfangsbedingungen” ermittelt werden, was oft der
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7
Kenntnis von ab f (x)dx an einer der Integrationsgrenzen entspricht. Da Konstanten beim Differenzieren wegfallen, ist die in C enthaltene Information in
der Differentialgleichung nicht mehr vorhanden.
R
f (x)
xn
af (x)
ex
eax
ln x
F (x)
1
xn+1
n+1
aF (x)
Linearität
ex
1 ax
e
a
1
x · (ln x − 1), (x > 0)
x
1
1
−
ln x (x > 0)
x
x2
sin x
cos x
−cos x
cos x
−sin x
sin x
df
· g ′ (x)
Kettenregel
f (g(x))
dg
′
′
f (x) · g(x) f (x)g(x) + f (x)g (x)
Produktregel
f (x)
f ′ (x)g(x)−f (x)g ′ (x)
Quotientenregel
g(x)
g 2 (x)
12
f ′ (x)
nxn−1
af ′ (x)
ex
aeax
Statistik
Ziel: Mit Hilfe einer Stichprobe Aussagen über einen Parameter und dessen
Unsicherheit erhalten (z. B. Überprüfung der Länge jedes 1000. Werkstücks
einer Produktion, Mikroskopie der Bakteriengröße, Sterblichkeit, etc.).
Zufällige Messungen: Das Ergebnis der Messung xi hat keinen Einfluss
auf das Ergebnis xj einer späteren Messung j > i (Zufallsvariable).
Korrelierte Messungen: Ergebnis der Messung xi hat Einfluss auf xj .
Die wichtigsten Parameter solcher Stichproben sind Mittelwert x̄, Streuung oder Standardabweichung σ, der Unsicherheit des Mittelwerts ∆x̄ und
der Unsicherheit der Streuung ∆σ. Schätzungen dieser Parameter erhält man
aus der Stichprobe mit N Messungen selbst mit
x̂ =
σˆ2 =
N
1 X
xi ,
N 1
N
1 X
(xi − x̂)2 ,
N −1 1
(6)
(7)
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σ̂
∆x̂ = √
N
σ̂
∆σ̂ = √
2N
8
(8)
(bei Gauss − Statistik).
(9)
(10)
Offensichtlich hängt die Unsicherheit der Parameter Mittelwert und Streuung vom Umfang der Stichprobe ab. Der Parameter σ 2 = heisst Varianz.
Schätzung und wahrer Wert für Mittelwert und Varianz sind nicht identisch,
was durch das ”Dach”-Symbol kenntlich gemacht wird. Die Streuung wird
nicht durch mehr Messungen verringert, sondern ist genau wie der Mittelwert eine Eigenschaft des untersuchten Systems!
Statistisch verteilte Messwerte folgen so genannten Verteilungs- oder Wahrscheinlichkeits-Funktionen, die von den Gegebenheiten abhängen. Zwei oft
gebrauchte Statistiken folgen der Poisson- und der Normal-Verteilung.
12.1
Poissonverteilung*
Die Poissonverteilung P (n) gibt die Wahrscheinlichkeit an, mit der bei einer
Messung genau n Ereignisse auftreten, wenn im Mittel ν Ereignisse auftreten,
wobei jedoch die Wahrscheinlichkeit, dass bei einer Messung überhaupt kein
Ereignis auftritt so groß ist, dass das Gesamtergebnis bei Vernachlässigung
von (P (n = 0) 6= 0) verfälscht wird:
P (n) =
ν n e−ν
.
n!
(11)
P (n) ist eine diskontinuierliche Verteilung, die um ihr Maximum nicht symP∞
metrisch ist. Sie ist auf 1 (=100%) normiert, d. h.
n=0 P (n) = 1. Eine
Schätzung für die mittlere Ereignisrate ν und die Varianz σ 2 erhält man aus
der Stichprobe (= Experiment mit N Messungen mit Ergebnis ni ) zu
ν = σ2 =
N
1 X
ni .
N i=1
(12)
√
Die Standardabweichung σ = σ 2 ist ein Maß für die Streuung der Messwerte. Die Identität ν = σ 2 gilt nur für die Poissonverteilung. Die Poissonverteilung ist somit für kleine Ereignisraten anzuwenden. Für größer werdendes ν nähert sie sich immer mehr der Normalverteilung. Es wird ein
Parameter, die mittlere Ereignisrate ν, bestimmt.
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9
Beispiel: Liegt die mittlere Ereignisrate bei ν = 1, ist die Wahrscheinlichkeit bei nur einer Messung kein Ereignis zu messen 37% (P (0) = 10 ·
e−1 /0! = 1/e). Für die Wahrscheinlichkeit, drei Ereignisse zu messen, erhält
man P(3) = 6%.
12.2
Normalverteilung
Zentraler Grenzwertsatz der Statistik:
Die Häufigkeitsverteilung der n unabhängigen Messungen xi einer Größe
nähert sich für n → ∞ der Gauß’schen Glockenkurve (Normalverteilung)
(x−x̄)2
1
G(x) = √ · e− 2σ2 .
σ 2π
(13)
G(x) ist eine kontinuierliche und zum Mittelwert
√ x̄ symmetrische Verteilung
2
mit Varianz σ . Die Standardabweichung σ = σ 2 ist wiederum ein Maß für
die Streuung der Messwerte.
Voraussetzung für die Anwendung dieser Formel: Es müssen Messwerte
in einem ausreichend großen Bereich um den Mittelwert x̄ (mindestens 3-5
Standardabweichungen) zu beiden Seiten zufallsverteilt möglich sein.
Eigenschaften:
Z
+∞
G(x)dx = 1 Normierung (1 = 100%),
(14)
−∞
1
1
√ · e− 2 (e−1/2 = 0, 61),
σ 2π
n2
1
√ · e− 2 ,
G(±nσ) =
σ 2π
G(±σ) =
Z
+σ/+2σ/+3σ
G(x)dx = 0, 681/0, 954/0, 997
(15)
(16)
(17)
−σ/−2σ/−3σ
= conf idence level 1/2/3 σ
Abschätzungen für x̄ und σ 2 sind aus der Messung (Stichprobe) zu ermitteln: Schätzung x̂ des Mittelwerts x̄, σ̂ 2 der Varianz σ 2 und der Varianz
des Mittelwerts ∆x̂ aus der Stichprobe (= Experiment mit N Messungen mit
jeweils Ergebnis xi ) sind wieder
x̂ =
N
1 X
xi ,
N 1
(18)
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N
1 X
(xi − x̂)2 ,
N −1 1
σ̂
∆x̂ = √ .
N
σˆ2 =
10
(19)
(20)
Das Histogramm der Messergebnisse (diskontinuierlich) wird dann durch die
(kontinuierliche) Parametrisierung G(x, x̂, σˆ2 ) beschrieben, d. h. es werden
zwei Parameter bestimmt.
Bei einem wirklich statistischen ”sample” müssen 32%/5%/0,3% der Messergebnisse ausserhalb von ±1σ/ ± 2σ/ ± 3σ liegen!
Beispiel: Bei der Produktion eines Werkstücks schwankt die Länge x
statistisch um einen Mittelwert, d. h., die Verteilung aller xi ergibt eine
Glockenkurve G(xi ). Dadurch ist auch der Anteil ni der Werkstücke, die
in ein vorgebenes Intervall ∆x fallen mit einer statistischen Unsicherheit be√
haftet. Die Varianz dieser Anzahl Werkstücke ist ni .
√
Absoluter F ehler ∆ni =
ni .
(21)
∆ni
1
Relativer F ehler
= √
(22)
ni
ni
Ist ni = 100(10000), so ist der absolute Fehler ∆ni = 10(100) und der
i
relative Fehler ∆n
= 0.01 oder 10%(1%). Ist ni groß genug, gengen diese
ni
einer Gaussverteilung, bei kleinen der Poissonverteilung. (Achtung : Die
Varianz von ni der in ein Intervall ∆x fallenden Werkstücke hat nichts mit
der Schwankung der xi , also der Breite der Verteilung G(xi ) zu tun.)
13
Fehlerfortpflanzung
Der Parameter x wird mit der Unsicherheit (Messfehler) ±∆x gemessen.
Dann ist die Unsicherheit (der Fehler) des abgleiteten Parameters y = f (x)
∆y =| f ′ (x) | ∆x.
(23)
Ist x eine Zufallsvariable, dann ist y = f (x) ebenfalls eine Zufallsvariable.
D. h., ist z. B. ∆x2 die Varianz von x, so ist ∆y 2 =| f ′ (x) |2 ·∆x2 die Varianz
von y.
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11
Existieren mehrere
r unabhängige Zufallsvariablen x, y, ... mit y = f (x, y, ...),
dann ist ∆y =
14
∂f 2
∂x
∆x2 +
∂f 2
∂y
∆y 2 + ... .
Anpassung an Messdaten*
Vergleich von Daten mit einer Hypothese.
Beispiel:
Zeitliche Entwicklung einer Messgröße y.
Stichprobe: Messwerte yi(ti ) mit zugehörigem Fehler ∆yi (ti ).
Hypothese: y(t) ändert sich linear mit der Zeit t, d. h. y(t) = at + b.
Ziel:
Bestimmung von a und b sowie deren ”Fehler” ∆a und ∆b.
Verfahren: Z. B. Methode der kleinsten Quadrate (Least square method).
Zu jedem der N Messewerte yi wird die Differenz zum erwartetem Wert
y(ti) gebildet, mit dem Fehler ∆yi gewichtet und quadriert und aufsummiert.
Man erhält die Funktion χ2 (”CHI Quadrat”):
χ2 =
N
X
1
N
(yi − (ati + b))2
(yi − y(ti))2 X
=
.
∆yi2
∆yi2
1
(24)
Durch Bestimmung der Nullstellen der beiden durch partielle Ableitung er2
2
mittelten Funktionen ∂χ
und ∂χ
, was der Suche nach dem Minimum der
∂a
∂b
Funktion χ2 entspricht, ergeben sich die wahrscheinlichsten Werte für a und
b (2 Gleichungen - 2 Unbekannte). Im Allgemeinen muss nach jedem Parameter differenziert werden, was zu entsprechend mehr Gleichungen führt.
In komplizierteren Fällen werden numerische Methoden zur Nullstellensuche
angewendet.
Ein Maß für die Gültigkeit der Hypothese ist der Wert von χ2 selbst.
Liegen N Klassen von Messwerten vor (z. B. die Stützstellen ti eines Histogramms), dann ist ein mit der Hypothese vereinbarer Satz der n freien
Parameter der Hypothesenfunktion y(t) dann gefunden, wenn sich für das
Minimum χ2 ≈ N − n ergibt. Die zu χ2min + 1 gehörenden Werte der freien
Parameter sind dann gerade die um eine Standardabweichung vom optimalen Ergebnis abweichenden Resultate. Man erhält damit die Standardabweichung (den ”Fehler”) der aus der Anpassung gewonnenen Parameter.
Die Größe χ2red = chi2min /(N − n) heisst reduziertes χ2 ist demzufolge ≈ 1.
Weicht χ2min bzw. χ2red wesentlich von N − n bzw. 1 ab und zwar nach oben
oder nach unten, so ist die Hypothese falsch!
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12
Hinweise : (i) Für Messungen mit sehr kleinen Häufigkeiten pro Messwertklasse (ca. ≤ 4) muss χ2 anders als oben angegeben berechnet werden. (ii)
Falls Parameter korreliert sind (Ergebnis von b hängt selbst an der Stelle
χ2min vom Ergebnis von a ab), werden die Formeln komplizierter. (iii) Es
gibt mehrere mathematische Verfahren zum Test von Hypothesen.
——————————* kein Klausurstoff