Stoffsammlung Mathematik zur Vorlesung Physik - ikp.uni

Stoffsammlung Mathematik
zur Vorlesung Physik für Mediziner
D. Gotta WS12/13
1
Rechnen mit Zahlen und Einheiten
• Geeignete Darstellung und Umformung
4
4
= = 0.44̄
3
9
a
a·d
b
c =
b·c
d
1
%≡
100
−6
ppm = 10 , ppb = 10−9
0.33̄ ·
(1)
(2)
(3)
(4)
• Exponentdarstellung großer und kleiner Zahlen
1 Mol enthält NA = 6 · 1023 Teilchen (Avogadro-Konstante)
1ppb Mol entspricht 10−9 · 6 · 1023 Teilchen
• Spezielle Bezeichnungen und Kürzel für Zahlen aus dem täglichen und
technischen Gebrauch
101 : Deca (da), 102 : Hecto (h), 103 : Kilo (k), 106 : Mega (M),
109 : Giga (G), 1012 : Tera (T), ...
10−1 : Deci (d), 10−2 : Centi (c), 10−3 : Milli (m), 10−6 : Mikro (µ),
10−9 : Nano (n), 10−12 : Pico (p), 10−15 : Femto (f), ...
• Physikalische Größe = Maßzahl·Einheit
Grundgrößen (z. B. m=[Länge]) und abgeleitete Größen (z. B. m2 =[Fläche])
Rechnen mit Einheiten wie mit Faktoren, z. B. 5 m·5 m = 5·5·m·m = 52 m2
1
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2
2
Proportionen
• Proportional: y ∝ x oder y = const · x
• Umgekehrt proportional: y ∝ 1/x oder y =
const
x
• Proportionen: a : b = c : d (z. B. Strahlensatz)
3
Funktionen und ihre Darstellung
Wichtige Eigenschaften:
• Wertebereich: (x, y = f (x))
• asymptotisches Verhalten: f (x) für x → ± ∞
• f (x) = f (−x) (gerade Fkt.)
f (x) = −f (−x) (ungerade Fkt.)
• Nullstellen: f (x) = 0
• Extrema: f 0 (x) = 0, Maxima: f 00 (x) < 0, Minima: f 00 (x) > 0
• Pole (Singularitäten): f (x) → ±∞
• Physik:
y ± ∆y
∆y
∆y/y
+ ∆y+
y−
∆y−
y = f (x) i. a. Messwerte mit Fehler ∆y (i. a. auch x ± ∆x):
Messwert mit symmetrischem Fehler
absoluter Fehler
relativer Fehler
Messwert mit asymmetrischem Fehler
• Bei der Darstellung auf angemessene Informationsdichte achten
4
Wichtige Funktionen
• Polynom: f (x) =
Pn
i=0
ai · xi (ai : Koeffizienten, n: Grad des P.)
• Hyperbel: f (x) = a/xn (a: Konstante)
• Exponentialfunktion: f (x) = a · ebx (a, b: Konstanten)
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3
• natürlicher Logarithmus: f (x) = loge (x) = ln(x)
• Zehnerlogarithmus: f (x) = log10 (x) = lg(x)
• Winkelfunktionen: sin(x), cos(x), tan(x) = sin(x)/cos(x)
• Fakultät: n! = 1 · 2 · ... · n, 0! = 1
5
Quadratische Gleichung
Das Lösen einer quadratischen Gleichung ist äquivalent zur Nullstellenbestimmung
eines Polnoms 2. Grades y = ax2 + bx + c (Parabel). Nach Umformen in die
Normalform 0 = x2 + px + q ergibt sich für die beiden Nullstellen x1 und x2
x1/2
p
=− ±
2
s
p2
−q
4
(5)
2
mit 2 reellen Lösungen für Radikand R = p4 − q > 0,
1 reellen Lösung für R = 0 (beide Nullstellen fallen zusammen)
q und
√
2 komplexen Lösungen für Radikand R < 0 (± R = ± (−1) | R | =
q
q
±i | R |, wobei i = (−1) zu einer neuen Dimension äquivalent ist).
Den Scheitelpunkt erhält man aus der Nullstelle der ersten Ableitung y 0 =
2x + p = 0 (Lineare Funktion = ”Gerade”).
Ergänzung: Ein Polynom nten Grades: y = an xn + an−1 xn−1 + ... + a0
(n ε N ) besitzt minimal 0 und maximal n reelle Nullstellen. Unter Hinzunahme komplexer Lösungen ergeben sich immer genau n Nullstellen (Fundamentalsatz der Algebra).
6
Potenz und Logarithmus
Es gilt an = a · a · a · ... · a (n ε N ).
Erweiterung auf alle reellen Zahlen: Potenzfunktion y(x) = ax .
Eine in der Physik wichtige Funktion dieser Art ist die ”e-Funktion”
y = ex . Dabei ist e = limn→∞ (1 + n1 )n = 2.718... (Euler’sche Zahl).
Der Logarithmus ist die Umkehrung der Potenz logb x = c ⇔ x = bc ,
wobei stets (x > 0) oder logb | x | (b: Basis, c: Exponent).
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4
Häufig verwendetete Bezeichnungen:
logb x
Logarithmus zur Basis b
log10 x = lg x Logarithmus zur Basis 10
loge x = ln x Logarithmus zur Basis e (natürlicher Logarithmus).
Wichtiger Basiswechsel (b ↔ e): bx = ex·ln b
a0
(ab)x
ax ay
ax /ay
(ax )y
ax/y
7
=
=
=
=
=
=
1 (a 6= 0)
ax b x
ax+y
ax−y
a√xy
y
ax
√
log y ax =
x
y
log a
Geometrie
Erinnerung: π ≡
Kreisumf ang
Kreisdurchmesser
Rechteck
rechtwinkliges Dreieck
Kreis mit Radius r
Kugel mit Radius r
Zylinder mit Höhe h
8
logb b = 1, logb 1 = 0
log ax = x · log a
log(a · b) = log a + log b
log(a/b) = log a − log b
= 3.141 ...
(Ober-)Fläche
Umfang
a·b
1
·a·b
2
π · r2
4π · r2
2π · r · (r + h)
2a
√+ 2b
2 a2 + b 2
2π · r
Winkel und Winkelfunktionen
Einheiten für Winkel α:
• α im Gradmaß (◦ ) – Vollkreis = 360◦
• α im Bogenmaß (radian): α = Strecke auf rKreisumf ang
Vollkreis: α = 2πr
= 2π = 6, 282 ... radian
r
Volumen
4
π
3
· r3
π · r2 · h
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5
Umrechnung: α = 1 rad = 180◦ /π = 57, 3◦
Näherung für kleine Winkel (∼
= rechtwinkliges Dreieck): α =
a
b
(a b)
Kreisgleichung: x2 + y 2 = r2
Winkelfunktionen:
sin α = y/r, cos α = x/r, Wertebereich [-1,+1], Periode 2π
tan α = y/x, cot α = tan−1 α, Wertebereich (−∞, +∞), Periode π
2 2
Einheitskreis: xr + yr = sin2 α + cos2 α = 1
Winkelgeschwindigkeit: ω =
9
ueberstrichener W inkel
Zeit
=
α(t)
t
= α̇(t)
Periodische Vorgänge
Zeitlich periodische Vorgänge:
Parameterdarstellung harmonischer Schwingungen als Kreisbewegung in der
x-y Ebene mit Winkelgeschwindigkeit ω = 2π/T und Umlaufzeit T.
~ y(t) = r · sin(ωt + α0 ), x(t) = r · cos(ωt + α0 ) = r · sin(ωt + π + α0 )
Ort r(t):
2
~ vx (t) = ẋ(t), vy (t) = ẏ(t)
Geschwindigkeit v(t):
~ vx (t) = ẍ(t), vy (t) = ÿ(t)
Beschleunigung a(t):
Phys. Beispiel: Amplitude y(t), Geschwindigkeit vy (t) und Beschleunigung
ay (t) einer Masse am Federpendel (eindimensionale Bewegung).
Phase α(t = 0) = α0 (physikalisch: Anfangsbedingung – legt Auslenkung
(Ort) zur Zeit t=0 fest).
Zeitlich und räumlich periodische Vorgänge:
Ausbreitung von Wellen (t: Zeit, x: Ort)
Entlang x-Achse (eindimensional): y(x, t) = r · sin(ωt ± kx + α0 )
Wellenzahl k = 2π/λ mit Wellenlänge λ
−kx bzw. +kx: Welle läuft nach ”rechts”(x %) bzw. ”links” (x &)
Ausbreitungsgeschwindigkeit der Welle v = Tλ = ωk
(entspricht ωt ± kx + α0 = constant)
Phys. Beispiel: Druckwellen (z. B. Schall), elektromagnetische Wellen (z. B.
Licht).
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10
6
Vektoren


x


Oft verwendete Darstellungen: ~r = x · eˆx + y · eˆy + z · eˆz =  y  = (x, y, z)
z
~
Phys. Beispiel: Ort ~r, Geschwindigkeit ~v , Kraft F , ...
√
• Länge (Betrag) in kartesischen Koordinaten: | ~r |= x2 + y 2 + z 2
• Addition: r~1 + r~2 = (x1 + x2 , y1 + y2 , z1 + z2 )
Phys. Beispiel:
Kräfte addieren sich vektoriell F~ = F~1 + F~2 + ...
Ergebnis Vektor
• Multiplikation mit Skalar a (Zahl oder Einheit):
a · ~r = (a · x, a · y, a · z)
Ergebnis Vektor
Phys. Beispiel:
Reibungskraft=Reibungskoeffizient·Normalkraft F~R = µ · F~⊥
• Skalarprodukt:
r~1 · r~2 = | r~1 | · | r~2 | · cos(~
r1 , r~2 )
6= | r~1 · r~2 | ≥ 0
Phys. Beispiel:
Arbeit=Kraft·Weg W = F~ · ~s
• Vektorprodukt:
r~1 × r~2 = r~3 mit r~3 ⊥ r~1 und r~3 ⊥ r~2
| r~3 | = | r~1 | · | r~2 | · sin(~
r1 , r~2 ) ≥ 0
Phys. Beispiel:
~ = ~r × F~
Drehmoment=Hebelarm×Kraft M
11
Ergebnis Skalar
Ergebnis Vektor
Differenzieren und Integrieren
Funktion einer Variablen: y = f (x)
Anschaulich ist die Ableitung f 0 (x) die Steigung der Tangente an f im Punkt
zum Differenx erhalten durch Übergang vom Differenzenquotienten ∆f
∆x
f (x2 )−f (x1 )
df (x)
df (x)
∆f
∆f
tialquotienten dx : ∆x = x2 −x1 → dx = lim∆x→0 ∆x
dy df
Gängige Schreibweisen für 1. Ableitung: y 0 , f 0 (x), dx
, dx
d2 y d2 f
00
00
für 2. Ableitung: y , f (x), dx2 , dx2
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7
2
, ÿ = ddt2y , ...
Schreibweise bei Ableitungen nach der Zeit t: ẏ = dy
dt
Das Differenzieren von Vektoren erfolgt komponentenweise:
d
~r = dtd (x, y, z) = ( dx
, dy , dz )
dt
dt dt dt
Phys. Beispiel: Geschwindigkeit ~v = ~r˙ , Beschleunigung ~a = ~¨r
Funktion mehrerer Variablen: y = f (x1 , x2 , ..., xn )
∂f
Partielle Ableitung nach einer der Variablen: ∂x
i
∂f
2
=
2ax,
=
3by
)
(Z. B. f (x, y) = ax2 + by 3 + c), ∂f
∂x
∂y
b
Bestimmtes Integral:
a f (x)dx = F (a) − F (b)
Anschaulich: Fläche unter der Kurve f (x)
zwischen a und b.
R
Übergang der Summe ”kleiner” Flächen ab f (x)dx = lim∆x→0 Σi fi ∆x
Achtung: Diese Fläche hat ein Vorzeichen.
Phys. R Beispiel: Arbeit W bei auf dem Weg s nicht konstanter Kraft F~ :
W = ab F~ (s) · d~s
R
Unbestimmtes Integral:
R
f (x) = F (x) + C
F (x) Stammfunktion
C
Integrationskonstante
Die physikalische Lösung wird i. a. durch den Ansatz einer Differentialgleichung (DGL) und deren Integration gefunden. Die Konstanten Ci kann
dann nur durch Einsetzen
der ”Anfangsbedingungen” ermittelt werden, was
Rb
oft der Kenntnis von a f (x)dx an einer der Integrationsgrenzen entspricht.
Da Konstanten beim Differenzieren wegfallen, ist die in Ci enthaltene Information in der Differentialgleichung nicht mehr vorhanden. Die Anzahl i der
Konstanten entspricht der Anzahl der Ableitungen, also i = 2 im Fall von y”.
Beispiele von DGL: y = y(x), a = const.
y 0 = a Änderung konstant
Lösung: Einmaliges Integrieren → y = ax + C1
Phys. Beispiel: Weg-Zeit Zusammenhang bei konstanter Geschwindigkeit
y 00 = a Krümmung konstant
Lösung: Zweimaliges Integrieren → y = a2 x2 + C1 x + C2
Phys. Beispiel: Weg-Zeit Zusammenhang bei konstanter Beschleunigung
y 0 = ay Änderung proportional Größe selbst
Lösung: Trennnung der Variablen und Integrieren dy
= adx → lny =
y
ax
ax + C → y = C1 · e
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8
Phys. Beispiel: Exponentielles Wachstum (a > 0) oder Abnahme (a > 0)
y” = ay Krümmung proportional Größe selbst
√
Lösung: Ansatz C1 sin(Bx + C2 ) oder C1 cos(Bx + C2 ) führt auf B = a
Phys. Beispiel: Periodische Vorgänge (Schwingungen) mit Schwingungsdauer (Periode) T = √2πa
f (x)
f 0 (x)
F (x)
xn
af (x)
ex
eax
ln x
nxn−1
af 0 (x)
ex
aeax
1
n+1
xn+1
aF (x)
Linearität
x
e
1 ax
e
a
1
x
· (ln x − 1), (x > 0)
x
1
1
− x2
ln x (x > 0)
x
sin x
cos x
−cos x
cos x
−sin x
sin x
df
0
f (g(x))
· g (x)
Kettenregel
dg
0
0
f (x) · g(x) f (x)g(x) + f (x)g (x)
Produktregel
f 0 (x)g(x)−f (x)g 0 (x)
f (x)
Quotientenregel
g(x)
g 2 (x)
12
Statistik
Ziel: Mit Hilfe einer Stichprobe Aussagen über einen Parameter x und dessen
Schwankungsbreite erhalten.
Beispiel: Überprüfung der Länge jedes 1000. Werkstücks einer Massenproduktion, Mikroskopie der Bakteriengröße, Gewicht von Personen einer
Gruppe mit definierten Merkmalen, etc.
Zufällige Messungen: Das Ergebnis der Messung xi hat keinen Einfluss
auf das Ergebnis xj einer späteren Messung j > i der gleichen Größe (Zufallsvariable).
Die wichtigsten Parameter solcher Stichproben sind Mittelwert x̄ und
Streuung oder Standardabweichung σ. Zusätzlich kann man die Unsicherheit
des Mittelwerts ∆x̄ sowie der Streuung ∆σ angeben. Schätzungen für die
Werte dieser Parameter erhält man aus einer Stichprobe mit N Messungen
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9
zu
x̂ =
N
1 X
xi ,
N 1
(6)
N
1 X
(xi − x̂)2 ,
N −1 1
σ̂
∆x̂ = √
N
σ̂
∆σ̂ = √
(bei Gauss − Statistik).
2N
σˆ2 =
(7)
(8)
(9)
(10)
Offensichtlich hängt die Unsicherheit der Parameter Mittelwert und Streuung vom Umfang der Stichprobe ab. Der Parameter σ 2 = heisst Varianz.
Schätzung und wahrer Wert für Mittelwert und Varianz sind nicht identisch,
was durch das ”Dach”-Symbol kenntlich gemacht wird. Die Streuung wird
nicht durch mehr Messungen verringert, sondern ist genau wie der Mittelwert eine Eigenschaft des untersuchten Systems (z. B. die Genauigkeit der
Messmethode und die Schwankungen der Messgröße selbst)!
13
Fehlerfortpflanzung
Der Parameter x wird mit der Unsicherheit (Messfehler) ±∆x gemessen.
Dann ist die Unsicherheit (der Fehler) des abgleiteten Parameters y = f (x)
∆y =| f 0 (x) | ∆x.
(11)
Ist x eine Zufallsvariable, dann ist y = f (x) ebenfalls eine Zufallsvariable.
D. h., ist z. B. ∆x2 die Varianz von x, so ist ∆y 2 =| f 0 (x) |2 ·∆x2 die Varianz
von y.
Existieren mehrere
r unabhängige Zufallsvariablen x, y, ... mit y = f (x, y, ...),
dann ist ∆y =
14
∂f 2
∂x
∆x2 +
∂f 2
∂y
∆y 2 + ... .
Wahrscheinlichkeitsverteilungen*
Statistisch verteilte Messwerte folgen so genannten Verteilungs- oder Wahrscheinlichkeits-Funktionen, die von den Gegebenheiten abhängen. Zwei oft
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10
gebrauchte Statistiken folgen der Normal- oder Gauss- oder der PoissonVerteilung (wichtig z.B. bei geringen Wahrscheinlichkeiten, dass ein Ereignis
eintritt). Die Poisson-Verteilung geht für hohe Wahrscheinlichkeiten in die
Gaussverteilung über.
14.1
Normalverteilung
Zentraler Grenzwertsatz der Statistik:
Die Häufigkeitsverteilung der n unabhängigen Messungen xi einer Größe
nähert sich für n → ∞ der Gauß’schen Glockenkurve (Normalverteilung)
(x−x̄)2
1
G(x) = √ · e− 2σ2 .
σ 2π
(12)
G(x) ist eine kontinuierliche und zum Mittelwert
√ x̄ symmetrische Verteilung
2
mit Varianz σ . Die Standardabweichung σ = σ 2 ist wiederum ein Maß für
die Streuung der Messwerte.
Voraussetzung für die Anwendung dieser Formel: Es müssen Messwerte
in einem ausreichend großen Bereich um den Mittelwert x̄ (mindestens 3-5
Standardabweichungen) zu beiden Seiten zufallsverteilt möglich sein.
Eigenschaften:
Z +∞
G(x)dx = 1 N ormierung (1 = 100%),
(13)
−∞
1
1
√ · e− 2 (e−1/2 = 0, 61),
σ 2π
n2
1
√ · e− 2 ,
G(±nσ) =
σ 2π
G(±σ) =
Z +σ/+2σ/+3σ
G(x)dx = 0, 681/0, 954/0, 997
(14)
(15)
(16)
−σ/−2σ/−3σ
= conf idence level 1/2/3 σ
Abschätzungen für x̄ und σ 2 sind aus der Messung (Stichprobe) zu ermitteln: Schätzung x̂ des Mittelwerts x̄, σ̂ 2 der Varianz σ 2 und der Varianz
des Mittelwerts ∆x̂ aus der Stichprobe (= Experiment mit N Messungen mit
jeweils Ergebnis xi ) sind wieder
x̂ =
N
1 X
xi ,
N 1
(17)
Mathematik zur Vorlesung Physik für Mediziner
N
1 X
(xi − x̂)2 ,
N −1 1
σ̂
∆x̂ = √ .
N
σˆ2 =
11
(18)
(19)
Das Histogramm der Messergebnisse (diskontinuierlich) wird dann durch die
(kontinuierliche) Parametrisierung G(x, x̂, σˆ2 ) beschrieben, d. h. es werden
zwei Parameter bestimmt.
Bei einem wirklich statistischen ”sample” müssen 32%/5%/0,3% der Messergebnisse ausserhalb von ±1σ/ ± 2σ/ ± 3σ liegen!
Beispiel: Bei der Produktion eines Werkstücks schwankt die Länge xi
statistisch um einen Mittelwert. Dadurch ist auch der Anteil ni der Werkstücke,
die jeweils in Längenintervalle ∆x fallen, mit einer statistischen Unsicherheit
behaftet. Die Häufigkeitsverteilung aller ni folgt im Grenzfall unendlich vieler
Werkstücke der Glockenkurve G(xi ).
14.2
Poissonverteilung
Die Poissonverteilung P (n) gibt die Wahrscheinlichkeit an, mit der bei einer
Messung genau n Ereignisse auftreten, wenn im Mittel ν Ereignisse auftreten,
wobei jedoch die Wahrscheinlichkeit, dass bei einer Messung überhaupt kein
Ereignis auftritt so groß ist, dass das Gesamtergebnis bei Vernachlässigung
von (P (n = 0) 6= 0) verfälscht wird:
ν n e−ν
.
P (n) =
n!
(20)
P (n) ist eine diskontinuierliche Verteilung, die um ihr Maximum nicht symP∞
metrisch ist. Sie ist auf 1 (=100%) normiert, d. h.
n=0 P (n) = 1. Eine
Schätzung für die mittlere Ereignisrate ν und die Varianz σ 2 erhält man aus
der Stichprobe (= Experiment mit N Messungen mit Ergebnis ni ) zu
ν = σ2 =
N
1 X
ni .
N i=1
(21)
√
Die Standardabweichung σ = σ 2 ist ein Maß für die Streuung der Messwerte. Die Identität ν = σ 2 gilt nur für die Poissonverteilung. Die Poisson-
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12
verteilung ist somit für kleine Ereignisraten anzuwenden. Für größer werdendes ν nähert sie sich immer mehr der Normalverteilung. Es wird ein
Parameter, die mittlere Ereignisrate ν, bestimmt.
Beispiel: Bei einer Gesamtpopulation P=1.000.000 tritt ein Merkmal im
Mittel 100 Mal auf (ν = 100). Umgerechnet auf Unterpopulationen UP von
10.000 ergibt dies imM ittel dort jeweils einmaliges Auftreten (ν = 1).
In wie vielen der UP erwartet man bei statistischer Verteilung 3 oder mehr
Fälle?
Mit ν = 1 ist die Wahrscheinlichkeit bei nur einer UP 3 Ereignisse zu messen
6% (P (3) = 13 · e−1 /3! = 1/6e). Addiert man Wahrscheinlichkeiten für 4
Fälle und mehr hinzu, ergibt sich 8%, d. h., in 8 der UP.
In wie vielen der UP erwartet man keinen, genau einen Fall oder 10 Fälle
und mehr?
Keinen Fall zu messen ist mit 37% (P (0) = 10 · e−1 /0! = 1/e) genau
wahrscheinlich wie ein Ereignis (P (1) = 11 · e−1 /1! = 1/e). Also treten in 37
UP keine Fälle bzw. ein Fall auf. Dagegen ist die Summe aller Wahrscheinlichkeiten mit P (≥ 10) = 10−7 shin verschinden klein, d. h. für alle UP
zusammen ergibzt sich nur 10−5 .
Skaliert man unbesehen ein solches UP Zufallsergebnis (3 Fälle) auf die
Gesamtheit P, wrde man 300 Ereignisse erwarten. Da aber in Wahrheit
für P ν = 100 ist, ergibt sich P (300) = 100300 · e−100 /300! ≈ 10−48 . Anders
ausgedrückt: Das Ergebnis nur einer UP kann wenig aussagekräftig sein.
——————————* Die Formeln G(x) und P (n) sind kein Klausurstoff