Geschwindigkeits-Zeit

I. Mechanik
Die Lehre von den Bewegungen und den Kräften
I.1 Kinematik
Die Lehre von den Bewegungen
Physik für Mediziner
1
Mechanik I: Bewegung in einer Dimension
• Idealisierung: Massenpunkt (= Punktmasse)
punktförmiges Objekt mit Masse m
• Zunächst Betrachtung der Bewegung ohne Diskussion ihrer Ursache:
Kinematik
• Beschreibung der Bewegung des Massepunkts durch Weg-Zeit
– Funktion x(t) in einer Dimension: Beispiel
im Experiment: Luftkissenbahn:
Ausschaltung der Reibung
x(t)
x(t)
Δx
Luftkissenbahn:
gleichförmige Bewegung
Δt
t
t
in gleichgroßen Zeitintervallen werden gleichgroße Strecken zurückgelegt:
gleichförmige Bewegung; Weg-Zeit-Funktion ist eine Gerade
Physik für Mediziner
2
Definition der Durchschnittsgeschwindigkeit
Durchschnittsgeschwindigkeit =
Δx
v =
Δt
Gesamtstrecke
Gesamtzeit
• Wir verwenden das Symbol v ( = velocity) für die Geschwindigkeit
Die Einheit der Geschwindigkeit ergibt sich aus den Basiseinheiten
entsprechend:
[v] = [x] / [t] => Meter/Sekunde
Umrechnung von Einheiten
Michael Schumacher fährt kurz vor Erreichen des Ziels mit einer
Durchschnittsgeschwindigkeit von 360 km/h.
Wie groß ist seine Durchschnittsgeschwindigkeit in SI-Einheiten?
1000 m
1000 m
m
km
= 100
= 360 ⋅
= 360 ⋅
360
h
60 ⋅ 60 s
3600 s
s
Physik für Mediziner
3
Geschwindigkeits-Zeit-Gesetz für gleichförmige Bewegung
Geschwindigkeit (m/s)
v=
Physik für Mediziner
Δ x 10 m
m
=
= 10
Δt
1s
s
Zeit (s)
4
Beschreibung von Bewegungen
• Fußgänger geht mit konstanter Geschwindigkeit auf rote Ampel zu.
Nach der Rot-Phase setzt der Fußgänger seinen Weg mit der
gleichen Geschwindigkeit fort
Weg-Zeit-Diagramm
Geschwindigkeit-Zeit-Diagramm
180 m
m
180 m
180 m
=
=1
=
v=
180
s
s
3 min
3 ⋅ 60 s
Physik für Mediziner
5
Beispiele für Geschwindigkeiten
Physik für Mediziner
6
Momentangeschwindigkeit als Vektor
• Momentangeschwindigkeit:
gegeben durch den Differentialquotienten des Weges nach der Zeit:
Δx d x
=
Δt →0 Δt
dt
v = lim
Luftkissenbahn:
mittlere und
momentane Geschwindigkeit
Das Zeitintervall Δt und damit auch die zurückgelegte Strecke Δx
werden immer kleiner gemacht.
• Die Geschwindigkeit hat nicht nur einen Betrag sondern auch
eine Richtung; d.h. die Geschwindigkeit ist ein Vektor;
• ein Vektor ist charakterisiert durch seine Länge und seine Richtung
z-Achse
e
r
vx
x-Achse
Physik für Mediziner
v
im Raum
r
vz
Vektor:
r
v=
vx,vy,vz
r
2
2
2
v
=
v
=
v
+
v
+
v
Betrag:
x
y
z
y-Achse
r r
r
v = v e; e = 1
r
Einheitsvektor e gibt Richtung im Raum an
7
Bahnverlauf und Momentangeschwindigkeit
r
r (t )
Die Bewegung eines Körpers lässt sich
vollständig durch den Bahnverlauf als
Funktion der Zeit beschreiben.
r
Ortsvektor: r (t ) = {x (t ), y(t ), z(t )}
gibt den Ort des Massenpunkts
zu jedem Zeitpunkt an.
Physik für Mediziner
1
r
r2
Die Momentangeschwindigkeit zum
Zeitpunkt t1 am Ort A erhält man,
wenn man das Zeitintervall Δt immer
kleiner macht, in dem man t2r an tr1
heranrückt und damit auch
an
Die Momentangeschwindigkeit ist
ein Vektor tangential zur Trajektorie
(Bahnkurve) und zeigt in Bewegungsrichtung.
8
Beschleunigung
• Eine Bewegung, bei der sich die Geschwindigkeit ändert, heißt
beschleunigt
• Analog zur Definition der Durchschnittsgeschwindigkeit ist die
Durchschnittsbeschleunigung:
Änderung der Momentangeschwindigkeit
Durchschnittsbeschleunigung =
Zeitintervall
r
r
Δv
a =
Δt
• Wir verwenden das Symbol a ( = acceleration) für die Beschleunigung
Die Einheit der Beschleunigung ergibt sich aus den Basiseinheiten
entsprechend:
[a] = [v] / [t] => Meter/Sekunde / Sekunde = m/s2
• Analog zur Momentangeschwindigkeit können wir die
Momentanbeschleunigung für eine lineare Bewegung entlang
der x-Achse definieren:
d ⎛ d x ⎞ d2 x (t )
Δ v dv
= ⎜ ⎟=
=
a(t ) = lim
Δt →0 Δ t
dt ⎝ dt ⎠
d t2
dt
Physik für Mediziner
9
Gleichförmig beschleunigte Bewegung: freier Fall
• Einfachstes Beispiel für Bewegung mit konstanter Beschleunigung
Erdbeschleunigung g = 9,81 m/s2
• Alle Körper erfahren in der Nähe der ErdOberfläche die Erdbeschleunigung;
scheinbarer Widerspruch zur Beobachtung
manche Materialien fallen schneller als andere
freier Fall in
Luft und Vakuum
Galilei (1564- 1642)
• Einfluss des Luftwiderstandes
• Ergebnis: im Vakuum werden alle Körper
unabhängig von ihrer Masse oder
Zusammensetzung gleich beschleunigt
Physik für Mediziner
Pisa
10
Gleichförmig beschleunigte Bewegung
freier Fall
Direkte Vermessung der Flugbahn eines
Objekts mit Kamera und Rechner in Echtzeit
Beschleunigung-ZeitDiagramm
Luftschiene:
gleichförmig
beschleunigte Bewegung
Physik für Mediziner
Geschwindigkeit-ZeitDiagramm
Für x0 = 0 und v0 = 0: x (t ) =
Weg-ZeitDiagramm
1
⋅ a ⋅ t2
2
→ bei Ver-4-Fachung des Wegs doppelte Zeit
11
Gleichmäßig beschleunigte Bewegung
• konstante Beschleunigung a
• Geschwindigkeit wächst proportional mit der Zeit
• Weg wächst proportional zum Quadrat der Zeit
• Anfangsbedingungen
Zur Zeit t=0 hat der Körper eine Geschwindigkeit v0 und befindet
sich am Ort x0
a = const
Beschleunigungs-ZeitBeziehung.
Physik für Mediziner
v(t) = a·t + v0
Geschwindigkeits-ZeitBeziehung
x(t) = ½ a t2 + v0t +x0
Weg-Zeit-Beziehung
12
Mathematischer Exkurs
Kennen wir die Weg-Zeit-Beziehung, so ergibt sich daraus die
Geschwindigkeits – Zeit-Beziehung als erste Ableitung und die
Beschleunigungs – Zeit-Beziehung als zweite Ableitung
Differenzieren von f(t)
df
= 0;
dt
df
⇒
= 1;
dt
df
⇒
= 2t;
dt
f(t) = const ⇒
f(t) = t
f(t) = t2
n
allgemein:f(t) = t
df
⇒
= n ⋅ t(n −1)
dt
Weg-Zeit-Beziehung
d
d⎛
1
2 ⎞ = d (x ) + d (v ⋅ t ) + d ⎛ 1 a ⋅ t 2 ⎞
⎜
⎟
v (t ) = (x (t )) = ⎜ x 0 + v 0 ⋅ t + ⋅ a ⋅ t ⎟
0
0
d
t
d
t
d
t
2
⎠
⎝
dt
dt ⎝
2
⎠
1
= 0 + v 0 + a ⋅ 2 ⋅ t = v 0 + a ⋅ t Geschwindigkeits-Zeit-Beziehung
2
d
d
d
d
(
)
(a ⋅ t ) = 0 + a = a
=
v
+
(v (t )) = (v 0 + a ⋅ t )
0
dt
dt
dt
dt
Beschleunigungs-Zeit-Beziehung
Physik für Mediziner
13
Rechen-Beispiel zum freien Fall
• Eine Münze wird von einem Hochhaus aus 240.50 m Höhe geworfen
• Wie lange dauert es, bis die Münze auf dem Boden auftrifft?
• Anfangsbedingungen: x(t=0) =240.50 m; v(t=0) = 0;
1
x (t ) = g ⋅ t 2
2
t=
Auflösen nach
t2:
2x ⇒ t = 2x
⇒t =
;
g
g
2
2 ⋅ 240,50 m
= 49,0 s 2 = 7,0 s
m
9,81 2
s
• Wie schnell ist die Münze beim Auftreffen auf dem Boden ?
m
⋅ 7 s = 68,7
2
s
s
Resultat: Werfen Sie keine Münze aus einem Hochhaus;
das Ergebnis könnte unangenehm sein !!
v(t) = g ⋅ t;
Physik für Mediziner
t = 7 s; v(t = 7 s) = 9,81
m
14
Bewegungen in mehreren Dimensionen
„
„
Um Bewegungsvorgänge in 2 oder 3 Dimensionen zu beschreiben,
reicht die Angabe einer Zahl zur Charakterisierung von Ort,
Geschwindigkeit, Beschleunigung offensichtlich nicht aus
Im Gegensatz hierzu kann man die Masse eines Objekts auch in
drei Dimensionen durch eine einzige Zahl angeben
• Wir unterscheiden daher in der Physik
skalare Größen, die – wie z.B. die Masse – durch Angabe
einer Zahl (und Maßeinheit) definiert sind;
vektorielle Größen, die zusätzlich eine Richtungsinformation enthalten
„
„
Ein Vektor ist charakterisiert durch seine Länge und seine Richtung
im Raum z.B. Ort, Geschwindigkeit, Beschleunigung
Mathematisch kann dies z.B. durch Angabe von 3 Komponenten
in einem kartesischen
Koordinatensystem geschehen:
r
z.B. Ortsvektor: r = {x, y, z
r}
Geschwindigkeitsvektor: v = v x , v y , v z
{
Physik für Mediziner
}
15
Rechenregeln für Vektoren
• Ein Vektor ist nur durch Länge und Richtung bestimmt
Alle diese Vektoren sind identisch !
• Zwei Vektoren werden addiert, indem man die Komponenten der
beiden Vektoren addiert
Beispiel: vr 1 = ⎧⎨3 m , − 7 m , 21m ⎫⎬
s
s⎭
⎩ s
r r
⎧ m m m⎫
v1 + v 2 = ⎨− 1 ,1 , 2 ⎬
⎩ s s s⎭
r
m⎫
⎧ m m
v 2 = ⎨− 4 , 8 , − 19 ⎬
s s
s⎭
⎩
Physik für Mediziner
16
Geometrische Bedeutung der Vektoraddition
Addition:
r r
a+b
Verschieben
r
von b an die
r
Spitze von a
Subtraktion:
r r
a−b
r
r
b′ = −b
Richtungsumkehr
Physik für Mediziner
17
Addition von Geschwindigkeiten
• Geschwindigkeiten addieren sich wie Vektoren
r
vs
Fluss
r
r
v1
vB
r
vs
Boot
r
vs
r
• Boot möchte mit Geschwindigkeit v 1 den Fluss überqueren,
r
wird jedoch von Strömungsgeschwindigkeit v s abgetrieben
• Boot vollführt Bewegungrmit Richtung
r r und Betrag der
Gesamtgeschwindigkeit v B = v 1 + v s
r
r
• Ermittlung zeichnerisch: v s an Spitze von v 1 anlegen;
Vektoren dürfen verschoben werden, wenn man die Richtung beibehält !!
Physik für Mediziner
Überlagerung
gleichförmiger
Bewegungen
18
Wurfbewegungen
Wie weit schießt unser Geschütz ??
Physik für Mediziner
19
Wurfbewegungen (in 2 Dimensionen)
• Wird ein Körper auf der Erdoberfläche in eine bestimmte Richtung
geworfen, so überlagert sich diese Bewegung mit der Fallbewegung;
y r
Anfangsgeschwindigkeit des Pfeils
v0
v 0 y = v 0 ⋅ sin θ
(Abwurfwinkel θ) :
r
θ
v P = {v 0 x , v 0 y } = {v 0 ⋅ cos θ, v 0 ⋅ sin θ}
x
v 0 x = v 0 ⋅ cos θ
r
Fallbewegung: freier Fall in y-Richtung: v Fy = −g ⋅ t; v Fx = 0 ⇒ v F = {0,−gt}
Überlagerung der Bewegungen: die Bewegungen in beiden Dimensionen
(x-, y- Richtung) addieren sich unabhängig:
- horizontal (entlang x-Achse): gleichförmige Bewegung
mit konstanter Geschwindigkeit: v 0 x = v 0 ⋅ cos θ
- vertikal (entlang y-Achse): Überlagerung von
gleichförmiger Bewegung v 0 y = v 0 ⋅ sin θ mit
gleichmäßig beschleunigter Bewegung: v y = −g ⋅ t
mit g = 9,81 m/s2:
r r
r
v = v P + v F = {v 0 x , v 0 y − g ⋅ t} = { v 0 ⋅ cos θ, v 0 ⋅ sin θ − g ⋅ t}
Physik für Mediziner
r
v0
r
vF
r
v
20
Wurfparabel
Luftreibung und Erdrotation vernachlässigt !!
Ergebnis der Überlagerung: Wurfparabel
Wurfparabel:
Wasserstrahl
• Wurfbeginn bei t=t0
• maximale Höhe bei t = t1
• Wurf-Ende bei t = t2
gesuchte Größen:
- Flugzeit t2
- maximale Flughöhe h
- Flugweite d
- optimaler Abwurfwinkel
Physik für Mediziner
21
Berechnung der Wurfparabel
• Beschleunigung: ay= -g
ax=0
• Anfangsgeschwindigkeit: v0x=v0 cos θ;
v0y=v0 sin θ
• keine Beschleunigung in x-Richtung: vx(t) = v0x =v0 cos θ = konstant
• Die y-Komponente der Geschwindigkeit ist zeitabhängig:
vy (t)= v0y- gt
• der Ort des Objekts ändert sich entsprechend:
x(t) = v0xt; y(t) =v0yt – ½ gt2
• die Flugzeit t2 finden wir, indem wir y(t)=0 setzen und nach t auflösen:
t2 = 2v0y/g
• die Reichweite ist dann d = v0xt2 = 2v0xv0y/g
• der Zeitpunkt t1 der maximalen Höhe ergibt sich aus der Bedingung
vy(t)=0: ⇒ t1=v0y/g
• die maximale Höhe h ist dann h = y(t1) = ½ v0y2/g
Physik für Mediziner
22
Allgemeine Gleichung für die Wurfparabel
• Wir gehen aus von den zeitabhängigen Beziehungen
x(t) = v0xt
y(t) = v0yt – ½ gt2
• Wir eliminieren t und erhalten eine Beziehung zwischen y und x
⎛ v 0y ⎞
1⎛ g ⎞ 2
⎟⎟ ⋅ x − ⎜⎜ 2 ⎟⎟ ⋅ x
y = ⎜⎜
2 ⎝ v 0x ⎠
⎝ v 0x ⎠
Physik für Mediziner
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Optimaler Abwurfwinkel für maximale Reichweite
• d =xmax= 2v0xv0y/g
v0x=v0· cos θ
v0y=v0· sin θ
• d =2v02/g cos θ sin θ
Winkelfunktionstheorem:
2· cosθ · sinθ = sin 2θ
• d = v02 /g sin 2θ
Wurfparabel:
Wasserstrahl:
verschiedene θ
Physik für Mediziner
maximale Reichweite für
sin 2θ = 1; d.h. 2θ = 900
⇒ optimaler Abflugwinkel: θ = 450
24
Überlagerung unabhängiger Bewegungen: der Bärenschuss
• der Bär fällt gleichzeitig mit dem Pfeil
Unabhängige Überlagerung
• der horizontalen Pfeilbewegung
mit konstanter Geschwindigkeit
• der vertikalen Pfeilbewegung
(freier Fall)
Bärenschuss
Resultat:
• zielt der Pfeil vor dem Abschuss auf den Bär, so wird er in jedem Fall
getroffen
• die Pfeilspannung entscheidet nur darüber, in welcher Höhe der
Treffer erfolgt
Physik für Mediziner
25
Kreisbewegung
r
Der Punkt r0 im Ortsraum kann durch
die kartesischen Koordinaten (x0,y0)
oder durch die Polarkoordinaten (r0,ϕ0)
beschrieben werden.
r
r0: Länge (Betrag) des Ortvektors r0
ϕ0:Winkel zwischen Ortsvektor und
x-Achse
Umrechnung zwischen
kartesischen Koordinaten und Polarkoordinaten:
r
x 0 = r0 ⋅ cos φ0
r0 = r0 = x 02 + y 02
y 0 = r0 ⋅ sin φ0
Physik für Mediziner
⇔
⎛ y0 ⎞
y0
φ
arctan
=
⎜ ⎟
tan φ0 = ; 0
x0
⎝ x0 ⎠
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Zusammenhang: Kreisbewegung ⇔ trigonometrische Funktion
• Einheitskreis mit Radius r=1
und Umfang 2π
Winkel:
Bogenmaß: ϕ in Bruchteilen von 2π
Grad: 0 ≤ ϕ ≤ 3600
• Die Kreisbewegung ist äquivalent
einer zeitlichen harmonischen
Schwingung
Kreisbewegung:
Projektion
Physik für Mediziner
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Kreisbewegung
Kreisbewegung mit konstanter
Winkelgeschwindigkeit ω:
dφ
ω=
; φ = ω⋅t
dt
Erinnerung: lineare Bewegung:
s=v·t
Der Betrag der Geschwindigkeit
ist gegeben durch v = ω · r
Physik für Mediziner
Die Richtung der Geschwindigkeit ist
nicht konstant. Der GeschwindigkeitsVektor ist immer tangential zur KreisBahn. Es muss eine Beschleunigung
senkrecht zur GeschwindigkeitsRichtung geben, also radial:
Der Wert der Radialbeschleunigung ist:
v2
= −ω 2 ⋅ r
ar = −
r
28
Harmonische Bewegung
Harmonische Bewegung als periodische Bewegung in einer Dimension
t
x(t) = A ⋅ sin⎛⎜ 2π ⋅ ⎞⎟
T⎠
⎝
Amplitude A
Periodendauer: T
Federpendel
mit Videocom
Physik für Mediziner
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Zusammenfasung
Bewegungen lassen sich beschreiben durch Angabe von
r
Ortsvektor: r
r
r dr
Geschwindigkeitsvektor: v =
r
dt r
r dv d2 r
und Beschleunigungsvektor: a =
= 2
dt dt
Lineare Bewegung (eindimensional)
Kreisbewegung:
gleichförmig: x(t) = x0 + v0· t
φ = ω⋅t
beschleunigt: x(t) = x0 + v0· t + ½ a · t2
v(t) = v0 + a · t
v = ω ⋅r
v2
ar = −
= −ω 2 ⋅ r
r
• Komplizierte Bewegungsvorgänge lassen sich als Überlagerung
unabhängiger Bewegungen entlang der Koordinatenachsen darstellen
(Superpositionsprinzip)
Beispiele: Wurfparabel, Bärenschuss, Kreisbewegung
Physik für Mediziner
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