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Mechanik
2. Dynamik:
die Lehre von den Kräften
Physik für Mediziner
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Ursache von Bewegungen: Kraft
• Bislang haben wir uns auf die Beschreibung von Bewegungsvorgängen
beschränkt, ohne nach der Ursache von Bewegung zu fragen.
• Hierzu neue physikalische Größe notwendig: Kraft (Vektorgröße)
• Alle Phänomene der klassischen Mechanik können durch drei einfache
Gesetze, die Newtonschen Axiome beschrieben und quantitativ
vorhergesagt werden.
• Newtonsche Axiome stellen Zusammenhang zwischen der Bewegung
eines Körpers, seiner Masse und der auf ihn wirkenden Kraft her
Physik für Mediziner
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Newtonsche Axiome
I. Erstes Newtonsches Axiom: Trägheitsprinzip
Ein Körper bleibt in Ruhe oder bewegt sich mit konstanter
Geschwindigkeit, wenn keine resultierende Kraft auf ihn einwirkt.
Die resultierende Kraft ist die Summe aller wirkenden Kraftvektoren
II. Zweites Newtonsches Axiom: Aktionsprinzip
Die Beschleuinigung eines Körpers ist proportional zur resultierenden
Kraft und umgekehrt proportional zur Masse des Körpers
r
r F
a=
m
oder
r
r
F = m⋅a
III. Drittes Newtonsches Axiom: Reaktionsprinzip
Übt Körper A eine Kraft auf Körper B aus, so wirkt eine gleich
große aber entgegengesetzte Kraft von Körper B auf Körper A
Physik für Mediziner
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Sir Isaac Newton (1642-1727)
Einer der größten Denker,
den die Menschheit bislang hervorgebracht hat
1689
Physik für Mediziner
1702
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Trägheit und Masse
• Die Eigenschaft eines Körpers, seinen Bewegungszustand beizubehalten,
nennt man Trägheit
Trägheit
• Die Masse eines Körpers ist ein Maß für den Widerstand, den ein
Körper der Änderung seiner Geschwindigkeit, d.h. einer Beschleunigung
entgegensetzt
• Das Verhältnis zweier Massen kann man dadurch messen, dass man
eine gleich große Kraft auf beide Körper einwirken lässt und die
resultierenden Beschleunigungen misst
r
r
r
F = m1 ⋅ a1 = m2 ⋅ a 2;
Physik für Mediziner
r
m1 a 2
= r
m 2 a1
Wagen auf
Luftkissenbahn
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Einheit der Kraft
Die Einheit der Kraft ist das Newton (N)
1 Newton ist die Kraft, die notwendig ist, um einen Körper der
Masse 1kg auf 1 m/s2 zu beschleunigen: 1 N = 1 kg m/s2.
Als Symbol für die Kraft wird üblicherweise F (force) verwendet
Beispiel:
Eine gegebene Kraft beschleunigt einen Körper der Masse 1 kg
mit 5 m/s2. Dieselbe Kraft beschleunigt einen zweiten Körper
mit 20 m/s2. Welche Masse hat der zweite Körper?
Die beschleunigende Kraft ist F= 1kg · 5m/s2 = 5 N
r
F F
m2 = r = ;
a a
m2 =
5N
20 m / s
2
=
5 kg m / s2
20 m / s
2
= 0,25 kg
• Die Beschleunigung des zweiten Körpers ist 4-mal größer,
d.h. seine Masse ist 4-mal kleiner, also 0,25 kg
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Das zweite Newtonsche Axiom
• Das zweite Newtonsche Axiom verbindet
die dynamischen Größen Masse und Kraft
mit den kinematischen Größen Beschleunigung, Geschwindigkeit
und Ortsverschiebung
r
2r
r
r
dv
d r
F = m⋅a = m⋅
= m⋅ 2
dt
dt
• Wenn die auf einen Körper wirkende Kraft bekannt ist,
kann bei bekannten Anfangsbedingungen seine Bewegung hieraus
vollständig berechnet werden:
⇒ Bewegungsgleichung der klassischen Mechanik
• Umgekehrt gilt: kennen wir die Beschleunigung eines Teilchens,
so können wir die darauf einwirkende Kraft berechnen
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Die Gewichtskraft
• Die Ursache der Erdbeschleunigung ist die Gewichtskraft G=mg
• Die Gewichtskraft G für alle Körper proportional zu ihrer Masse
• Die eigentliche Ursache für die Gewichtskraft ist die Massenanziehung,
beschrieben durch das Gravitationsgesetz:
r
M ⋅M
F = γ⋅ 1 2
r2
r
γ = 6.67· 10-11 m3 kg-1 s-2 ist die universelle Gravitationskonstante
• Die Beträge der Kräfte auf M1 (durch M2) und auf M2 (durch M1) sind
gleich. Die Wirkungsrichtungen sind entgegengesetzt, aber beide entlang
der Verbindungslinie der beiden Massen: actio = reactio
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Die Gewichtskraft
Der Betrag der Erdanziehungskraft auf m durch ME in der Nähe der
Erdoberfläche ist näherungsweise konstant:
r
γ ⋅ ME
m ⋅ ME
≈ m⋅
= m⋅g
F = γ⋅
2
RE
(RE + h)2
γ ⋅ ME
m
= 9,81 2
d.h. g =
2
RE
s
r
Gewichtskraft = Masse x Erdbeschleunigung: F = G = m·g
Die Gewichtskraft zeigt immer zum Mittelpunkt der Erde
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Körper im mechanischen Gleichgewicht
• Beim gleichzeitigen Auftreten von mehreren Kräften muss die
resultierende Kraft durch Vektoraddition ermittelt werden
Umlenkung von Kräften und vektorielle Addition:
Kräftezerlegung
r
wenn
• Masse M3 ist im Gleichgewicht,
r
r ihre Gewichtskraft F3 und die
beiden umgelenkten Kräfte F1 und F2 (aufgrund von M1 und M2)
zusammen vektoriell addiert Null ergeben.
r
r
allgemein: Fges = ∑ Fi = 0 ⇒ Gleichgewicht
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i
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Medizin: Knochenbelastung (1)
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Drehmoment und Hebel
Drehmoment M =
Hebelarm l x Kraft F
M=l·F
l
Einheit des Drehmoments:
1 m x 1 N = 1 Nm
F
Für gleiches Drehmoment M entweder:
kleiner Hebelarm;
große Kraft
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Hebelarm
Großer Hebelarm
Kleine Kraft
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Medizin: Knochenbelastung (2)
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Zweiarmiger geknickter Hebel
F′
sin ϕ = 2 ; ⇒ F2′ = F2 ⋅ sin ϕ
F2
Drehmoment:
Nur diese Komponente
wirksam für Drehung
M2 = F2′ ⋅ l2 = F2 ⋅ l2 ⋅ sin ϕ
ϕ=Winkel zwischen l2 und F
Allgemein: Drehmoment M = r ⋅ F ⋅ sin ϕ
r r r
Vektorschreibweise: M = r x F
Vektorprodukt: Ergebnis ist Vektor
1. Vektor in Richtung des 2. Vektors drehen
Drehsinn bestimmt Richtung von M; Rechte-Hand-Regel:
r
Finger in Drehrichtung, Daumen in Richtung von M
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Kräfte und Drehmomente an Waage
r
r r
FG = − (Fl + Fr );
r
r r
→ FG + Fl + Fr = 0
• Summe der auf den Balken wirkenden Kräfte ist Null; ⇒ Gleichgewicht !
• Drehmomente Ml= Ll·Fl = Mr=Lr·Fr kompensieren sich;
⇒ Summe der Drehmomente ist Null ⇒ Gleichgewicht !
Fl Lr
=
Fr Ll
Waagebalken
aufgrund des Drehmoments dreht sich
die Waage in eine neue Gleichgewichtslage:
gleich lange Hebelarme, aber Fr> Fl
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Körper im mechanischen Gleichgewicht
•
Damit ein Körper im mechanischen Gleichgewicht ist, muss:
(i) Die Summe aller auf ihn wirkenden Kräfte Null sein:
r
r
Fges = ∑ Fi = 0
i
und
(ii) Die Summe aller auf ihn wirkenden Drehmomente Null sein:
r
Mges =
r
∑ Mi = 0
i
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Federkraft
FFeder= - D·Δx
Feder mit unterschiedlichen Massen
F = m· g
• Hängt man eine Masse an eine Feder, so dehnt sich die Feder um Δx,
bevor sich eine neue Gleichgewichtslage einstellt
• Gleichgewicht: Summe der Kräfte auf Masse m ist Null:
Feder muss Kraft auf m ausüben: Federkraft: FFeder= - D·Δx
D = Federkonstante
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Das Dritte Newtonsche Axiom (Reaktionsprinzip)
III. Drittes Newtonsches Axiom: Reaktionsprinzip
Übt Körper A eine Kraft auf Körper B aus, so wirkt eine gleich
große aber entgegengesetzte Kraft von Körper B auf Körper A
Zwei
Wagen
Ergebnis: beide Wagen bewegen sich aufeinander zu,
unabhängig davon wer zieht
Weiteres Beispiel:
• Ich übe eine Kraft auf den Fußboden aus:
Gewichtskraft meines Körpers.
- Warum versinke ich nicht im Boden ?
- Weil der Boden eine gleichgroße aber
entgegengesetzte Kraft auf meine Füße ausübt.
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Kreisbewegung: Zentripetalkraft und Zentrifugalkraft
Die Zentripetalkraft bewirkt
eine Radialbeschleunigung
v2
ar = −
r
in Richtung des Zentrums
Kreisbahn ergibt sich aus dem
Gleichgewicht zwischen
Zentripetal- und Zentrifugalkraft
m ⋅ v2
Zentripetalkraft: Fzentripeta l = m ⋅ ar = −
r
m ⋅ v2
Zentifugalkraft: Fzentrifuga l = − m ⋅ ar =
r
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Rotierende
Kette
Schleifstein
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Zentrifuge
Zentripetalkraft
Zentrifugalkraft
v2
F = m⋅a = m
r
v = ω⋅r
Beispiel: Zentrifuge mit 3000
Umdrehungen pro Minute (U.p.M.)
und r = 1 cm:
Wie groß ist die Beschleunigung ?
⎛ 3000 ⎞
a = 4π2r ⋅ f 2 = 4π2 ⋅ 10− 2 m ⎜
⎟
60
s
⎠
⎝
= 986
m
s
2
ω2 r 2
F=m
= m ω2 r
r
a = ω2 r = (2π f )2 r
2
≈ 100 g
Zentrifuge
d.h. 100 fache Erdbeschleunigung
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Kreisbewegung: Zentrifugalkraft
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Zusammenfassung
Statik:
• Ein Körper befindet sich in Ruhe (oder bewegt sich mit konstanter
Geschwindigkeit), wenn die Summe aller auf ihn wirkenden Kräfte
und Drehmomente Null ist (I.Newtonsches Axiom)
• Jede Kraft ruft eine gleich große Gegnkraft hervor:
actio = reactio (III.Newtonsches Axiom)
Dynamik:
• Ein Körper wird nur dann beschleunigt, wenn eine resultierende
Kraft auf ihn wirkt: F = m·a (II.Newtonsches Axiom)
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Griechische Buchstaben in der Physik
Δ: Delta; charakterisiert ein kleines Intervall, z.B. Δt Zeitintervall
θ: Theta: Winkel
ϕ: phi: Winkel
ω= dϕ/dt: omega: Winkelgeschwindigkeit, Kreisfrequenz
ρ: rho: Dichte
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