Technische Mechanik III WiSe 2014 26.02.2014

Technische Mechanik III WiSe 2014
26.02.2014
Name :
Vorname :
Matrikelnummer :
Klausurnummer :
Aufgabe
Punkte
1
11
2
19
3
20
P
50
Allgemeine Hinweise:
alle Blätter mit Namen und Matrikelnummer beschriften!
keine grüne oder rote Farbe benutzen!
alle Rechnungen müssen nachvollziehbar sein!
Skizzen (Freikörperbilder) groÿ und sauber zeichnen!
neue Aufgabe = neues Blatt!
Lösungen müssen eindeutig sein, falsche Lösungswege durchstreichen!
Die Klausurnummer bitte merken oder notieren!
Zulässige Hilfsmittel:
Formelblatt, 2-seitig, ohne Lösungswege.
Taschenrechner, nicht programmierbar.
Technische Mechanik III
F14-1
Aufgabe 1
11 Punkte
a) Gegeben ist die Dierentialgleichung eines Einmassenschwingers:
mẍ + dẋ + c1 x + c2 x = mg + F0 cos(ωt)
Skizzieren Sie ein mögliches zugehöriges mechanisches System.
b) Die Eigenfrequenz ω0 der skizzierten Systeme ist bekannt. Die Federkonstante c1 ebenso. Ermitteln Sie die Federkonstante ca , cb für die
gegebenen Syteme.
m
C1
C1
Ca
Cb
(a)
m
(b)
c) Kann es bei einem Einmasseschwinger ohne äuÿere Anregung zur Resonanzkatastrophe kommen? Begründen Sie Ihre Anwort.
Technische Mechanik III
F14-2
Aufgabe 2
19 Punkte
Auf einer Minigolfbahn soll der Golfball (Punktmasse m1 ) in das Loch im
Punkt D befördert werden. Der Ball soll auf dem Kreisbogen C -D (α = 30o )
nicht abheben. Auf der Strecke A-B hersht Reibung mit Reibungskoezient
µAB , der Rest der Bahn ist reibungsfrei.
g
D
C
α
m2
R
µ
m1
AB
B
A
2R
Gegeben:
g , R, m1 = m, m2 = 2m, e = 0, 5, µAB = 0, 5, α = 30o .
a) Wie groÿ muÿ die Geschwindigkeit der Masse m1 im Punkt A mindestens
sein, damit der Ball den Punkt D erreicht?
b) Wie groÿ darf die Geschwindigkeit der Masse m1 im Punkt A höchstens
sein, damit sie im Punkt C nicht abhebt?
Die Masse m1 erhält ihre Geschwindigkeit durch einen Stoÿvorgang mit einem Schläger der Masse m2 . Der Stoÿ erfolgt teilelastisch mit Stoÿzahl e.
Betrachten Sie den Schläger als Punktmasse.
c) Welche Geschwindigkeit muss der Schläger m2 direkt vor dem Stoÿ haben, damit der Golfball die in Aufgabenteil a) ermittelte Geschwindigkeit va erreicht?
Technische Mechanik III
F14-3
Aufgabe 3
20 Punkte
Auf einer schiefen Ebene (Neigungswinkel α, Reibungskoezient µ) gleitet
eine Masse m1 in x1 -Richtung. Das dargestellte System besteht zusätzlich
aus einer Masse m4 und einer Rolle (m3 , Θ3 ), um die ein Seil ohne Schlupf
geschlungen ist. Das Seil wird über eine masselose Umlenkrolle geführt und
ist an der Masse m1 befestigt. Das Seil ist als masselos und nicht dehnbar
anzusehen.
masselos (m2 = 0)
g
x1
m1
r3
µ
x3
α
m3 , Θ3
m4
x4
a) Zeichnen Sie die Freikörperbilder der vier einzelnen Elemente.
b) Berechnen Sie die Seilkräfte in Abhängigkeit der gegebenen Gröÿen und
der Beschleunigung ẍ4 .
Gegeben:
m1 = m4 = m; m2 = 0; m3 = 2m; µ; r3 ; α; Θ3 ; g
Technische Mechanik III Musterlösung
F14-1
Aufgabe 1
Musterlösung
• Gegeben ist die Dierentialgleichung eines Einmasseschwingers:
mẍ + dẋ + c1 x + c2 x = mg + F0 cos(Ωt)
Skizzieren Sie ein mögliches zugehöriges mechanisches System.
Fo cos( Ωt)
g
C2
C1
d
• Die Eigenfrequenz ω der skizzierten Systeme ist bekannt. Die Federkonstante c1
ebenso. Ermitteln Sie die Federkonstante c2 für beide Syteme.
m
C1
+C2
ω 2 = C1 m
C2 = ω 2 m − C1
Ca
(a)
ω2 =
C1
1
Cers
Cb
Cers
m
=
1
C1
+
−→ Cers =
m
2
ω m=
C1 C2
C1 +C2
(b)
1
C2
C1 C2
C1 +C2
1
ω2 m
C1 +C2
C1 C2
=
1
C2
=
1
ω2 m
1
C2
=
C1 −ω 2 m
ω 2 m C1
−
=
1
C1
1
C1
=
+
1
C2
1
ω 2 m C1
−→
−
ω2 m
ω 2 m C1
C2 =
ω 2 m C1
C1 −ω 2 m
• Kann es bei einem Einmasseschwinger ohne auÿere Anregung zur Resonanzkatastro-
phe kommen? Begründen Sie Ihre Anwort.
Nein, da es nur zu einer Resonanzkatastrophe kommen kann, wenn die Erregerfrequenz Ω gleich der Eigenfrequenz ω ist. In diesem Fall wäre Ω jedoch gleich 0.
Technische Mechanik III Musterlösung
F14-2
Aufgabe 2
Musterlösung
Auf einer Minigolfbahn soll der Golfball (Punktmasse m1 ) in das Loch im Punkt D befördert werden. Der Ball soll auf den Kreisbogen C -D (α = 30o ) nicht abheben.
g
D
C
m2
m1
µ
AB
µ
,0
=0
BD
α
R
=0,5
B
A
2R
Gegeben:
g , R, m1 = m, m2 = 2m, e = 0, 5, µAB = 0, 5, µBD = 0, 0, α = 30o .
a) Wie groÿ muÿ die Geschwindigkeit der Masse m1 in Punkt A mindestens sein, damit
der Ball den Punkt D erreicht?
Arbeitssatz:
EKD = 0
EKD − EKA = WAD
EKA =
1
2
m vA2
WAD = WH + WR
− 12 m vA2 = −mg R − µAB mg 2R
vA2 = 2 (g R + g R)
√
vA = 2 g R
(mindestens)
b) Wie groÿ darf die Geschwindigkeit der Masse m1 in Punkt A höchstens sein, damit
sie in Punkt C nicht abhebt?
Newton:
mg
P
F =m
ṡ2
R
= m g cos(α) − N
mgcos(α)
N = m g cos(α) − m
−→ vc2 = g R cos(α) = g R
Arbeitssatz:
m vC2 −
≥0
N
α
1
2
vc2
R
1
2
√
3
2
EKc − EKA = WAc
m vA2 = −m g R cos(α) − µ m g 2R
vA2 = vC2 + 2 (cos(α)g R + g R)
= g R cos(α) + 2 g R cos(α) + 2 g R
vA2 = g R (3 cos(α) + 2)
√
vA = 2, 144 g R
Die Masse m1 erhält ihre Geschwindigkeit durch einen Stoÿvorgang mit dem Schäger der
Masse m2 . Der Stoÿ erfolgt teilelastisch. Betrachten Sie den Schläger als Punktmasse.
c) Welche Geschwindigkeit muÿ des Schläger m2 direkt vor dem Stoÿ haben, damit der
Golfball m1 die Geschwindigkeit va erreicht?
Punktmasse/Punktmasse
v¯1 =
v1 m1 +v2 m2 −em2 (v1 −v2 )
m1 +m2
gesucht v2 :
geg: v1 = 0, v¯1 = vA
vA =
v2 m2 +v2 m2 e
m1 +m2
−→ v2 =
=
vA (m1 +m2 )
m2 +m2 e
v2 (m2 +m2 e)
m1 +m2
=
vA (m+2m)
2m+m
= vA
Aufgabe 3:
a) Freikörperbild:
2
S1
S1
R
m1g
S3
S2
S2
3
N
F
F+m3g
m4g
b) Bewegungsgleichungen:
Körper(1) : m1 x1  S1  R  m1 g sin 
(1)
N  m1 g cos   0
(2)
R  N
Körper(2) : masselos  S1  S2
Körper(3) : ( S3  S2 )r3   33
(3)
(4)
(5)
m3 x3  F  m3 g  S2  S3
Körper(4) : m4 x4  m4 g  F
(6)
(7 )
Kinematik:
x4
r3
(8)
 x1  2 x4
(9)
r33  x3  x4  3 
2r33  x1
Gleichung (2) in (3):
R  m1 g cos 
(10)
(10) in (1):
m1 x1  S1  m1 g cos   m1 g sin 
 S1  m1 x1  m1 g cos   m1 g sin 
 m1[2 x4  g cos   g sin  ]
(11)
Aus (5):
S3   3
3
 S2
r3
x
S3   3 24  m1[2 x4  g cos   g sin  ]
r3
Aus (7):
F  m4 g  m4 x4
(13)
(12)