Leseprobe - VDE

Mathematische Zeichen, Griechisches Alphabet, Vorsätze
M
Mathematische Zeichen
Zeichen
Nach DIN 1302
Bedeutung
Buchstabe
Name
Buchstabe
Name
5
gleich
A å
Alpha
N √
Ny „Nü”
Þ
nicht gleich, ungleich
B ∫
Beta
J ≈
Xi „Xsi”
<
nahezu gleich, etwa
Ì ©
Gamma
O o
Omikron
,
proportional, ähnlich
¤ ∂
Delta
∏ π,ø
Pi
$
entspricht
E ™
Epsilon
P œ,®
Rho
,
kleiner als
.
größer als
#
kleiner oder gleich, höchstens gleich
$
größer oder gleich, mindestens gleich
@
sehr viel größer als
!
sehr viel kleiner als
`
unendlich
…
bis, z. B. 3 … 7
4
Differenz, z. B. 4 Û = Û1 – Û2
Σ
Summe, z. B.
6
plus oder minus
!
oder, z. B. a ! b
(Schaltalgebra)
&
und, z. B. a & b
nicht, z. B. !
Z Ω
Zeta
∑ ‚,£
H é
Eta
T †
Tau
Ó ñ
Theta
Y y
Ypsilon
Jota
Ï fi
Phi
Û ı
K ∆,≠
Sigma
Kappa
X ç
Chi
fl ¬
Lambda
» «
Psi
M µ
My „Mü”
Ø ø
Omega
Links Großbuchstabe daneben Kleinbuchstabe, teils
mit alternativer Darstellung.
Σ Û = Û1 + Û2 + …
Vorsätze zu Einheiten, Vorsatzzeichen,
Bedeutung (Faktor)
Vorsatz
Vorsatzzeichen
Zehnerpotenz
Yotta
Y
1024
(Schaltalgebra)
Zet ta
Z
1021
(Schaltalgebra)
Exa
E
1018
Klammer rund, eckig, geschweift, spitz
Pe ta
P
1015
i
parallel
Tera
T
1012
⊥
rechtwinklig zu, senkrecht auf
Giga
G
10 9
>
kongruent
Mega
M
10 6
\
Winkel
Kilo
k
10 3
De zi
d
10 –1
Zenti
c
10 –2
Milli
m
10 –3
Mik ro
µ
10 –6
Nano
n
10 –9
Piko
p
10 –12
Femto
f
10 –15
() [] {} kl
}
AB
Strecke AB
_
i oder j
¥ –1 , imaginäre Einheit
π
Pi, Kreiszahl = 3,141 59...
e
natürliche (Euler‘sche) Zahl = 2,718 28...
f (x)
f von x, Funktion der Veränderlichen x
e
log
4
Griechisches Alphabet
Integral
Logarithmus, allgemein
At to
a
10 –18
lg
Zehnerlogarithmus
Zepto
z
10 –21
ln
natürlicher Logarithmus zur Basis e
Yok to
y
10 –24
lb
Zweierlogarithmus
R
daraus folgt
>
Zeichen für Vektoren, z. B. a#$
Zur Vermeidung von Verwechslungen von Vorsatz m
(Milli) mit Einheit m (Meter) wird die Einheit m (Meter)
stets an das Ende gesetzt. Die Abkürzung Am bedeutet
also Ampere mal Meter, mA bedeutet Milliampere.
Rechenoperationen
M
Mathematische und physikalische Grundlagen
Grundgesetze
Vorzeichenregeln:
+·+=+
+·–=–
–·–=+
+:+=+
+:–=–
–:–=+
1
2
Kommutativgesetze:
Assoziativgesetze:
Distributivgesetze:
a+b=b+a
(a + b)+ c = a + (b + c)
a·b=b·a
(a · b) · c = a · (b · c)
a · (b + c) = a · b + a · c
a+b a b
}=}+}
c
c c
3
4
Addition und Subtraktion:
Multiplikation:
Division:
Bei ungleichnamigen Brüchen:
Bruch mit Bruch:
Bruch durch Bruch:
Nenner gleichnamig machen
(Hauptnenner bilden),
danach Zähler addieren bzw.
subtrahieren
a
c
b
d
ad + bc
cd
Zähler mal Zähler,
Nenner mal Nenner
a c
b d
}+}=}
Zählerbruch mal Kehrwert
des Nennerbruches
a·c
b·d
a c
b d
}·}=}
6
5
a·d
b·c
}:}=}
7
8
Potenzen, Wurzeln
1 = 10 –n
}
n
b
10 a · 10 b = 10 a + b
(10 a ) = 10 ab
9
10 a = 10 a – b
10 a : 10 b = }
10 b
10
10
b }
Ï10 a =
a
}
10b
n }
11
1
}
Ïa = a n
12
13
14
Logarithmen
Gesetze:
Umformungen:
lg x
lb x = }
lg 2
loga (cm ) = m · logac
loga (c · d ) = logac + logad
15
16
lb x = 3,3219 · lg x
c = log c – log d
loga }
a
a
d
x
¢x = ¢10 · lg }
x
A
n }
loga Ïc = }n1 · logac
18
17
ln x
lb x = }
ln 2
19
lb x = 1,4427 · ln x
20
21
x
10 gleiche Teile
1
2
3 Teile
1 · xA
x
reelle Zahlen
natürliche Zahl (2,718…)
5
3 Teile
10 · xA
Logarithmische Teilung einer Dekade
a, b, c, d
e
4
8 10
2Teile
1Teil
Maßstab zum Zeichnen
lb Zweierlogarithmus
lg Zehnerlogarithmus
1Teil
lg x
x
lg x
1
0
10
1
2
0,3
20
1,3
3
0,48
30
1,48
4
0,6
40
1,6
5
0,7
50
1,7
6
0,78
100
2
7
0,85
200
2,3
8
0,9
500
2,7
9
0,95
1000
3
10
1
2000
3,3
Werte für den Zeichenmaßstab
ln
natürlicher Logarithmus
log a Logarithmus zur Basis a
Die Bedeutung weiterer Formelzeichen ist aus den Bildern erkennbar.
5
Längen, Flächen
M
Beim Quadrat:
_
ö
b
e
e = ¥2 · ¢
A = ¢2
1
2
Beim Rechteck:
_
ö
e = ¥¢2 + b 2
ö
A=¢·b
3
4
Beim Parallelogramm:
Quadrat
Dreieck
A=¢·b
ö2
5
Beim Dreieck:
e
b
b
Umfang = Summe der Seiten
öm
6
Rechteck
Umfang = Summe der Seiten
Trapez
8
¢1 + ¢2
¢m = }
2
9
A = ¢m · b
d
b
7
Beim Trapez:
ö1
ö
¢·b
A=}
2
10
Beim Kreis:
ö
Parallelogramm
u=π·d
Kreis
11
π · d2
A=}
4
A = 0,785 · d 2
12
13
Rundspule
+d
dm = D
}
2
¢ ≈ π · dm · N
14
15
h
z≈}
d1
d
D
dm
h
d1
N ≈ N1 · z
16
b
N1 = }
d1
D–d
h=}
2
b
17
Lehrsatz des Pythagoras
u=a+b+c
a2
b
18
Im rechtwinkligen Dreieck ist die Fläche
des Hypotenusenquadrates so groß wie
die Summe der Flächen der Kathetenquadrate.
2
b
c
c
a
Kathete a
2
dm
e
h
¢
Durchmesser des Spulenkörpers, Kreisdurchmesser
mittlerer Windungsdurchmesser
Eckenmaß, Diagonale
Höhe, Wicklungshöhe
Länge, Drahtlänge
Die Bedeutung weiterer Formelzeichen ist aus den Bildern erkennbar.
6
_
b = ¥c 2 – a2
20
d
19
Hypotenuse c
_
}
Fläche (Area)
Kathete
Kathete, Breite
Hypotenuse
Durchmesser der Spule
Drahtdurchmesser
c 2 = a2 + b2
Kathete b
a = Ïc2 – b2
A
a
b
c
D
d1
Hypotenusenquadrat
c = ¥a2 + b2
21
¢m
N
N1
u
z
mittlere Länge
Windungszahl
Windungszahl je Lage
Umfang
Lagenzahl
22
Massen, Übersetzungen
M
Mathematische und physikalische Grundlagen
Rauminhalte, Oberflächen, Masse
Gleich dicke Körper:
V=A·h
h
Beim Prisma:
1
b
A
AO = 2 · (¢ · b + ¢ · h + b · h)
Oberfläche = Summe aller Seitenflächen
ö
2
AO = 2 · A + AM
Prisma
Beim Zylinder:
π·d
A = }2
4
AM = π · d · h
h
A
π · d2 + π · d · h
AO = }
2
3
d
Spitze Körper:
Zylinder
V = }13 · A · h
Beim Kegel:
4
h
s
π · d2
A=}
4
π·d·s
AM = }
2
A
AO = A + AM
1
d2 + d · s
π· }
AO = }
2
2
Bei der Pyramide:
A=¢·b
d
2
5
_
¥
2
¢
hs = h2 + }
4
Kegel
_
¥
¥
2
s = hs2 + b
}
4
h
s
hs
_
¥
2
¢2 + ¢ · h2 + b
AO = b · h2 + }
}
4
4
_
6
Kugel:
π · d3
V=}
6
AO = π · d 2
A
b
7
Masse = Dichte × Volumen
Für alle Körper:
kg
m
[œ] = }3
œ=}
V
dm
ö
Pyramide
8
m=œ·V
9
Übersetzungen
treibend
d1
getrieben
treibend getrieben
F
v
d2
n1
z1
Teilkreis 1
Riementrieb
A
Fläche, Grundfläche,
Deckfläche
AM Mantelfläche
AO
Oberfläche
b
Breite
d1, d 2 Durchmesser der Räder
(Index 1 für treibend,
Index 2 für getrieben)
n2
z2
Teilkreis 2
10
n
d
i = }1 = }2
n 2 d1
11
12
n
z
i = }1 = }2
n 2 z1
13
d1 · n1 = d 2 · n2
z1 · n1 = z2 · n2
Zahnradtrieb
h
hs
i
¢
m
n1, n2
Höhe
Seitenhöhe
Übersetzungsverhältnis
Länge
Masse
Umdrehungsfrequenzen, (Drehzahlen)
(Index 1 für treibend,
Index 2 für getrieben)
s
Seitenlänge
V
Volumen
z1, z2 Zähnezahlen
(Index 1 für treibend,
Index 2 für getrieben)
œ
Dichte
Die Bedeutung weiterer Formelzeichen ist aus den Bildern erkennbar.
7
Geschwindigkeiten, Quadratische Gleichungen, Funktionen, Reihen
M
Geschwindigkeiten
Zeit t = 0
v
v
s
v=}
t
Zeit t = 1s
Geradlinige Bewegung
ø = 2π · n
2
r
m
[v] = }
s
s
[ø] = rad
}
s
1
d
1
v
P
q
m
[v] = }
s
v=ø·r
3
Kreisförmige Bewegung
Quadratische Gleichungen
x2
Allgemeine Form:
y
y=
–p
x–
x 2 + px + q = 0
4
0
Lösungsformel bei Normalform:
_
7 ¥b 2 – 4ac
x1,2 = –b
}
2a
x1
5
Lösungsformel bei allgemeiner Form:
S2
q
Normalform:
ax 2 + bx + c = 0
y=
S1
p
x1,2 = – } 7
2
6
_
¥1 }2 2
p
2
–q
7
Ist der Ausdruck unter der Wurzel kleiner als Null, so enthalten die Lösungen
imaginäre Zahlen.
x2
x
Zeichnerisches Lösen einer quadratischen Gleichung y = x 2 + px + q:
— Normalparabel für y = x 2 und Gerade für y = – px – q zeichnen.
— Deren Schnittpunkte ergeben die Lösungen der x-Werte.
Zeichnerisches Lösen einer
quadratischen Gleichung
Funktionen
Für lineare Funktionen (Gerade):
Allgemeine Funktionsgleichung:
Steigungsfaktor:
y = mx + b
y2
y1
8
x1
9
Für quadratische Funktionen (Parabel):
Allgemeine Funktionsgleichung:
x
0
y 2 – y1
4y
m=} = }
4x
x 2 – x1
y = mx + b
y b
x2
Bei negativem a ist die Parabel nach
unten geöffnet.
y = ax 2 + bx + c
10
Lineare Funktion (Gerade)
Reihen
Arithmetische Reihe
r = an – a (n – 1)
an = a1 + (n – 1) · r
11
12
n · (a + a )
sn = }
1
n
2
13
Geometrische Reihe
an
q=}
a (n – 1)
a, b, c
an
a (n – 1)
m
n
p, q
q
an = a1 · q (n – 1)
14
Konstanten der allgemeinen Form
n-ter Term
(n – 1)ter Term
Steigungsfaktor
Umdrehungsfrequenz, Drehzahl
Konstanten der Normalform
Quotient zweier aufeinanderfolgender Terme
15
r
r
v
x
x1,2
ø
Differenz zweier aufeinanderfolgender Terme
Scheibenradius
Geschwindigkeit, Umfangsgeschwindigkeit
unbekannte Größe
Kurzschreibweise für die unbekannten Größen
x1 und x2
Winkelgeschwindigkeit
Die Formelzeichen haben je nach Zusammenhang unterschiedliche Bedeutung.
8
qn – 1
s n = a1 · }
q–1
16
Trigonometrische und Exponentialfunktionen
M
Mathematische und physikalische Grundlagen
Trigonometrische Funktionen
Für rechtwinklige Dreiecke:
a
b
Gegenkathete
Sinus = }
Hypotenuse
a
a
c
1
Ankathete
Kosinus = }
Hypotenuse
b
a
a
sin å = }
c
2
b
cos å = }
c
3
4
Hypotenuse
Gegenkathete
Tangens = }
Ankathete
Rechtwinkliges Dreieck
_
1
6
_
sin å = ¥1 – cos2å
a
a
tan å = }
b
5
cos å = ¥1 – sin2å
7
y
0°
90°
180°
270°
360°
cos å = sin(90° – å)
9
a
–1
sin å = cos(90° – å)
8
10
a
sin å = cos ∫
Sinusfunktion und Kosinusfunktion
11
a = arctan }
a
å = arcsin }
c
b
a
sin å
tan å = }
cos å
12
a
b = arctan }
å = arccos }
c
b
y
0°
90°
π ·å
åRAD = }
180 DEG
180° 270° 360°
a
u = û · sin øt
13
t
å = øt = 2πft = 2π · }
T
Tangensfunktion
g
14
u = û · sin(øt + fi)
15
16
Für beliebige Dreiecke:
Sinussatz:
a
b
a
b
sin å
sin ∫
a
c
sin å
sin ©
b
c
sin ∫
sin ©
a2 = b 2 + c 2 – 2b · c · cos å
}=}
b
a
Kosinussatz:
17
18
g
c
a
b 2 = a2 + c 2 – 2a · c · cos ∫
}=}
b
a
b
c
19
c 2 = a2 + b 2 – 2a · b · cos ©
}=}
Schiefwinklige Dreiecke
20
21
22
Exponentialfunktionen
Zur Berechnung von x für y = ax :
ln y
x=}
ln a
lg y
x=}
lg a
23
a
von x unabhängige Konstante
a, b, c Seiten eines Dreiecks
f
Frequenz
t
Zeit
T
Periodendauer
u
Augenblickswert der Spannung
Zur Berechnung von x für y = ex :
û
x, y
åRAD
åDEG
x = ln y
24
Maximalwert, Amplitude der
Spannung
Variable
Winkel in rad
Winkel in °
25
å, ∫, © Winkel im Dreieck
fi
Phasenverschiebungswinkel
in rad
ø
Kreisfrequenz
øt
Winkel in rad
Die Bedeutung weiterer Formelzeichen ist aus den Bildern erkennbar.
9
Differenzieren und Integrieren
M
Differenzenquotient = Steigung
einer Geraden durch zwei Punkte
eines Graphen. Mittlere Steigung
(Änderungsrate) im Intervall ∆x
P
dy
Differenzialquotient =
Steigung der Tangente
in einem Punkt eines
Graphen.
y
dx
Q
dy
1. Ableitung y ’ = }
dx
x
dy
dx
4y
4x
y P – yQ
x P – xQ
}= }
1
f (x) –f (x–∆x)
∆x
} = lim }
∆xr0
2
dy ’
2. Ableitung y ’’ = }
dx
Ableitungen von Funktionen
Von einer Funktion y = f (x) wird
durch Differenzieren eine andere
Funktion (Ableitung) y ’ = f ’(x) gefunden. Man schreibt für y ’ auch
dy/dx. An lokalen Höchstwerten
und Tiefstwerten ist bei differenzierbaren Funktionen y ’ = 0. Die
zugehörigen x-Werte erhält man,
indem man y ’ = 0 setzt.
Funktion y = f (x)
Funktion y ’ = f ’(x)
y’ = 0
y’ = a
y ’ = an · x n – 1
y ’ = ex
y ’ = a x ln a
1
y’ = }
x
y ’ = cos x
y ’ = – sin x
y=a
y = ax
y = ax n
y = ex
y = ax
y = ln x
y = sin x
y = cos x
y’ = u’ + v’ + w’ + …
y=u+v+w+…
Summenregel
Produktregel
Quotientenregel
Kettenregel
y = uv
y ’ = u ’v + v ’u
u
y=}
v
– uv’
y ’ = u’v
}
v2
dy
dx
y ’ = g ’(x) · h ’(w)
dw dy
dx dw
}=}·}
y = sin ax
y ’ = a · cos ax
y = a · ebx
y ’ = a · b · ebx
3
4
5
6
Integrale
Unbestimmtes Integral
Bestimmtes Integral (Flächenintegral)
ef (x) dx = F (x) + C
A = # f (x) dx = [F (x)] = F (b) – F (a)
b
Funktion
f (x) = a
n
f (x) = a · x , n ≠ –1
f (x) = a · x
–1
f (x) = sin x
f (x) = cos x
A
a, b, n
10
Alle Stammfunktionen
e 0 dx = C
e a dx = ax + C
x n +1 + C
e (a · x n ) dx = a · }
n+1
e }xa dx = a · ln u x u + C
e sin x dx = – cos x + C
e cos x dx = sin x + C
Fläche
von x unabhängige
Konstanten
C
e
F (x)
a
a
7
f (x) = 0
b
Funktion
f (x) = a · sin(bx)
f (x) = a · sin2 (bx)
f (x) = ex
f (x) = a · ebx
f (x) = a x
f (x) = ln x
Integrationskonstante
natürliche Zahl: 2,718…
Stammfunktion
8
Alle Stammfunktionen
e (a · sin(bx)) dx = – }ba · cos(bx) + C
a · sin(2ax) + C
e (a · sin2(bx)) dx = }a2 · x – }
4b
x
x
e e dx = e + C
e (a · ebx )dx = }ba · ebx + C
1 · ax + C
e a x dx = }
ln a
e ln x dx = x · ln x – x + C
u, v, w
x, y
Funktionen von x
Veränderliche
Differenzieren und Integrieren in der Elektrotechnik
M
ic (t)
du C (t)
iC (t) = C · }
dt
uc (t)
Kapazität
C
iL (t)
1
1 · eu (t)dt
i L(t) = }
L
L
uL (t )
Induktivität
L
iC (t) = 0
An Gleichspannung u (t) = U:
1 · Û · 4t
4u C = }
C
Mit Konstantstrom i (t) = Û:
2
di L(t)
u L(t) = L · }
dt
3
u
ƒ · cos(øt)
iC (t) = }
XC
An Sinusspannung u (t) = Uƒ · sin(øt):
1 · ei (t)dt
u C (t) = }
C
C
4
5
uƒ · cos(øt)
i L(t) = –}
XL
6
7
1 · U · 4t
4i L = }
L
8
u L(t) = 0
9
10
Arithmetischer Mittelwert und Effektivwert
Arithmetischer Mittelwert:
u
u
M2
Um = 0
U=
U
0
t
U=u
U
0
u
-U
t
Um = 0
-U
Sinusspannung
U
u
0
t
u
0
ti
T
·u
U=
0
t
Um = i ·u
U
u
ti t
Ty
U
U= u
M3
0
Um = u
2
u
Pulsspannung
t
T
# u (t) dt
0
11
Um ist bei Wechselspannungen
immer Null.
Dreieckspannung
U
gleichgerichtete
Sinusspannung
t
1·
Um = }
T
-U
Rechteckspannung
U= u
M2
2 ·u
Um = p
u
M3
Um = 0
U=
U
Effektivwert:
¥
__
T
1·
U= }
T
# u2(t) dt
0
12
Sägezahnspannung
Flächenintegrale
allgemein:
Ladung Q:
i (t)
i (t)
i
t
Q ab = Q zu
–i
Elektrische Arbeit W:
Û0
T
0
i
C
i (t ) = Û0
0
t2
t
· e– †
Q = # i(t ) dt
t1
t
P (t) = uƒ · ƒ
i · sin2 (øt)
W=U·Û·T
je Periode T
u i
Kapazität
Strom
Effektivwert von i
Scheitelwert von i
Startwert von i
Induktivität, induktiv
Leistung
Ladung
abgegebene Ladung
13
Bei Sinusspannung:
Q = Û0 · †
14
allgemein:
u (t)
R
C
i
Û
ƒ
i
Û0
L
P
Q
Q ab
Q zu = i · T
π
i
P 0
t2
T
2
T
W = # P(t ) dt
t
t1
Q zu
R
t
t1
t2
ti
T
u
U
zugeführte Ladung
Wirkwiderstand
Zeit
Startzeit
Endzeit
Impulsdauer
Periodendauer
Spannung
Effektivwert von u
u
ƒ
Um
W
X
4
4t
π
†
ø
15
Scheitelwert von u
Mittelwert von u
elektrische Arbeit
Blindwiderstand
Unterschied
Zeitspanne
Zahl Pi 3,14159…
Zeitkonstante
Kreisfrequenz
11
Mathematische und physikalische Grundlagen
Spannung und Strom an der Kapazität und an der Induktivität
Komplexe Rechnung
M
Komplexe Rechnung
_
imaginäre Achse
z = ¥a2 + b2
z = a + jb
j3
1
z
on
gv
j2
z=
ra
Bet
a = z · cosfi
jb
a
f
0
1
0
2
4
z = z · ejfi
z = z (cosfi + j sinfi)
5
4
3
b = z · sinfi
3
j1
–1
2
z
5
6
reelle Achse
– j1
b
fi = arctan }
a
Komplexe Zahlenebene
z * = a – jb
7
8
Addition, Subtraktion
z = z1 + z 2
z
z = z1 ± z 2
z = (a1 ± a2) + j(b1 ± b 2)
9
10
z2
jb
Multiplikation
z1
11
Addition von komplexen Zahlen
_
z = z1 · z2 · ej(fi1 + fi2)
z = z1 · z 2
a
j = ¥–1
j · j = j2 = –1
j3 = –j
j4 = 1
Division
j
j·j
1
} = } = –j
j
12
z1
z=}
z
2
13
z1 j(fi1 – fi2)
z=}
z ·e
2
14
Widerstand und Leitwert in der komplexen Rechnung
R
1
Y=G=}
R
Z=R
15
jXL
1
1
} = – j BL = – j }
j XL = j ø L
17
-jXC
1
– j XC = – j }
øC
16
j XL
øL
18
1
} = j BC = j ø C
19
– j XC
20
Gemischte Schaltungen
-jXC
jXL
R
Z = R + j XL – j XC
21
Reihenschwingkreis
jXL
R
U
¡
-jXC
(R + j XL) · (– j XC )
Z= }
R + j(XL – XC )
¡1
¡2
a
b
B
G
j
Realteil von z
Betrag des Imaginärteils von z
Blindleitwert
Wirkleitwert
imaginäre Einheit
Imaginärteil von z
Wirkwiderstand
Blindwiderstand
Scheinleitwert
komplexe Zahl
Die Bedeutung weiterer Formelzeichen ist aus den Bildern erkennbar.
12
24
U = – j XC · Û2
25
b
R
X
Y
z
22
Û = Û1 · Û2
23
U=Z · Û
Kompensation
1
Y=}
R + j XL – j XC
z
z*
Z
fi
ø
26
Betrag von z
konjugierte Zahl zu z
Scheinwiderstand
Argument von z
Kreisfrequenz
Elektrotechnische Grundgrößen
Stromdichte
A1 = 0,2 mm2
J klein
Û
J=}
A
[Û]
A
[J] = } = }
[A] mm2
1
1
R=}
G
1
[R] = Ø = }
S
Glühlampe
2
Widerstand und Leitwert
1
G=}
R
1
[G] = S = }
Ø
3
S
2
3
G 1
0
0
0,5
1
1,5
œ·¢
R=}
A
Ø · mm2 · m = Ø
[R] = }
m · mm2
2 Q 2,5
4
R
Ø · mm2
[œ] = }
m
Leiterwiderstand
¢
R=}
©·A
Elektrische Leitfähigkeit ©20 von
Leiterwerkstoffen in m/(Ø·mm2) bei ñ = 20 °C
Kupfer
5
56
Silber
60
Aluminium
35
Kohle
bis 12
Gold
45
Eisen
10
1
©=}
œ
m
[©] = }
Ø · mm2
6
Bei industrieller Fertigung sind abweichende Werte möglich.
∆ñ = ñ2 – ñ1
[∆T ] = K
Widerstand und Temperatur
7
Temperaturkoeffizient å in 1/K
Kupfer
Aluminium
3,9·10 –3
3,8·10
Nickelin
–3
Manganin
0,15·10 –3
0,02·10
1
[å] = }
K
∆R = å · R1 · ∆ñ
–3
8
Die Werte gelten für eine Temperaturerhöhung ab 20 °C.
R2 = R20 (1 + å · ∆ñ )
R2 = R20 + ∆R
Ohm'sches Gesetz
9
Q
100
10
50
Q
0
U
Û=}
R
[U ] V
=A
[Û] = } = }
[R ] Ø
mA
10
U
V
20
An einem Ohm'schen Widerstand sind Strom und Spannung
proportional:
Û∼U
Û als Funktion von U beim linearen Widerstand
11
A
G
Û
J
¢
R
R1
Leiterquerschnitt
Leitwert
Stromstärke
Stromdichte
Leiterlänge
Widerstand (Resistance)
Widerstand bei Temperatur ñ1
R2
R20
∆R
U
Ɩ
∆T
Widerstand bei Temperatur ñ2
Kaltwiderstand bei 20 °C
Widerstandsänderung
Spannung
Temperaturunterschied in °C
Temperaturunterschied in K
å
©
©20
ñ1
ñ2
œ
Temperaturkoeffizient
elektrische Leitfähigkeit (Gamma)
elektr. Leitfähigkeit bei 20 °C
Anfangstemperatur
Endtemperatur
spezifischer Widerstand (Rho)
Die Bedeutung weiterer Formelzeichen ist aus den Bildern erkennbar.
13
E
Elektrotechnische und elektronische Grundlagen
J groß
A 2 = 0,0004 mm2
Leistung, Arbeit, Wirkungsgrad
Bei DC und bei AC mit Wirkwiderständen:
¡
A
[P ] = V · A = W
G
V
R
U2
P=}
R
P=U·Û
U
1
Messung der elektrischen
Leistung bei DC
E
P = Û2 · R
2
3
Drehstrom und Drehstromleistungen siehe Seite 57.
[W ] = V · As = Ws = J = Nm
Wh
W=P·t
L
W=U·Q
W=U·Û·t
4
6
5
N
K=k·W
Messung der elektrischen
Arbeit bei DC und AC
7
Bei der Spule:
Beim Kondensator:
W = }12 L · Û 2
W
TARIF
costs
W = }12 C · U 2
W = }12 U · Q
8
9
10
[W ] = N · m = Nm = J
STA/STP
ON TIME
MODE
Energiekostenmessgerät in Betriebsart
Leistung messen
W = Fs · s
[P ] = N · m/s = W
13
FZ
s
Weg
Pab
é=}
Pauf
f
Fs
F Z Zugkraft
Fs Kraft in Wegrichtung
F Z = F · coså
11
12
FZ · s
P=}
t
14
für å = 90°:
Kräfte bei einem Schlepplift
M=F·r
r
[M ] = N · m = Nm
1
[ø] = }
s
M = F · r · sinå
15
16
ø = 2π · n
1
[n] = }
s
17
F
AC
C
DC
F
Û
K
k
L
Wechselstrom (alternating c.)
Kapazität
Gleichstrom (direct current)
Kraft (Force)
Stromstärke
Arbeitskosten
Tarifkosten
Induktivität
M
n
P
Pab
Pauf
Q
Kraftmoment
(bisher Drehmoment)
Umdrehungsfrequenz
(Drehzahl)
Leistung, allgemein (Power)
Leistungsabgabe
Leistungsaufnahme
elektrische Ladung
Die Bedeutung weiterer Formelzeichen ist aus den Bildern erkennbar.
14
P=M·ø
1=W
[P ] = Nm · }
s
Kraftmomentmessung
18
R
r
s
t
U
W
é
ø
Wirkwiderstand
Hebelarm
Weg in Kraftrichtung
Zeit
Spannung
Arbeit, Energie (work)
Wirkungsgrad
Winkelgeschwindigkeit
Grundschaltungen mit Widerständen
U3
U1
Maschenregel für n Spannungen
2. Kirchhoff'sche Regel
Û1 + Û2 + Û3 + … + Ûn = 0
¡3
U1 + U2 + U3 … + Un = 0
1
U2
¡2
Knoten
mit 3 Strömen
Reihenschaltung
Masche
aus 3 Spannungen
R1
R2
U1
U2
¡
Gemeinsamer Strom
U
U2
R
R2
1
1
}=}
¡1
¡2
R1
R2
U1
U2
R2
R1
Û1
Û2
G1
G2
G = G1 + G2 + … + Gn
10
Bei n gleichen Widerständen:
R
R = }1
n
11
Ûq
q=}
ÛL
U
¡q
RL
UL
R2 · R L
R2L = }
R2 + R L
Belasteter Spannungsteiler
¡3
R3
UBr
R
q = }L
R2
13
R2L
UL = }
·U
R1 + R2L
15
R2
¡2
R4
¡4
U4
16
R
R2
R3
R4
1
}=}
17
¡Br
U2
14
Bei Abgleich (UBr = 0; ÛBr = 0):
Brückenschaltung
U3
UBr = U2 – U4
U
12
Belasteter Spannungsteiler
¡L
U1
8
9
Bei 2 Widerständen:
R1 · R2
R=}
R1 + R2
¡1
6
Û = Û1 + Û2 + … + Ûn
7
}=}
¡q + ¡L
R1
Û1
Û2
}=}
Parallelschaltung
R2
1
G=}
R
Parallelschaltung
Gemeinsame Spannung
¡
R1
4
5
Reihenschaltung
E
U = U1 + U2 + … + Un
3
R = R1 + R2 + … + Rn
U
U
2
18
Bei Abgleich (UBr = 0; ÛBr = 0):
Û1
Û3
R 3 + R4
R1 + R2
}=}
Brückenschaltung
G
G1, G2, …
Û
Û1, Û2, …
ÛBr
ÛL
Ûq
Leitwert, Gesamtleitwert
Leitwerte
Stromstärke
Teilstromstärken
Brückenstrom
Laststrom
Querstrom
n
q
R
R1, R2, …
R2L
ganze Zahl 1, 2, 3, …
Querstromverhältnis
Widerstand,
Gesamtwiderstand
Widerstände
Ersatzwiderstand aus R2
und R L
19
RL
U
U1, U2, …
UBr
UL
Lastwiderstand
Spannung
Teilspannungen
Brückenspannung
Lastspannung
Die Bedeutung weiterer Formelzeichen ist aus den Bildern erkennbar.
15
Elektrotechnische und elektronische Grundlagen
¡1
Knotenregel für n Ströme
1. Kirchhoff'sche Regel
Erzeuger-Ersatzschaltungen, Anpassung, Wärme
Erzeuger-Ersatzschaltungen, Anpassung
Spannungserzeuger
U0 – UL
Ri = }
ÛL
U0 = UL + ÛL · Ri
Ri
A
¡L
V
U0
E
1
2
A
Bei Leerlauf:
RL
UL
Bei Kurzschluss:
U
Ûk = }0
Ri
UL = U0
B
3
4
Spannungserzeuger mit Last
Bei Ersatzspannungsquelle:
U
U 0’
A
G
UL
R2
RL
R’
R ’i + R L
Û
Û’
2
L
} =}
R1
U
R
R ’i + R L
Bei Ersatzstromquelle:
L
i
}= }
5
6
U0’ ist die Lastspannung bei Leerlauf
R i’ ist der Widerstand des Netzwerkes zwischen den Anschlüssen
ohne Lastwiderstand bei kurzgeschlossenen Spannungen.
B
Û’ ist der Laststrom bei Kurzschluss (R L = 0).
R'i =
R1 R2
R1 + R2
Anpassungen
bei Spannungsanpassung:
A
RL b Ri
U'0 =
U R2
R1 + R2
P V B PL
7
RL
UL
bei Stromanpassung:
RL B Ri
8
P V b PL
9
10
Bei Leistungsanpassung:
B
RL = Ri
Spannungsteiler als Ersatzspannungsquelle
11
U
UL = }0
2
12
Û
ÛL = }k
2
13
U02
Pmax = }
4 · Ri
14
Solarzelle als Spannungserzeuger
Kurzschlussstrom
Kennlinie
ÛK ∼ S
ÜK
AP
P MPP = UMPP · ÛMPP
15
ÜMPP
16
MPP
ÜK
P MPP
FF = }
U0 · ÛK
PMPP
ÜZ
0
0 UZ
S
UZ
ÜZ
Solarzelle
U
nR Zellen
np Zellen
wirksame Solarfläche in m2
Füllfaktor
Ersatzstrom
Kurzschlussstrom
Laststrom
Zellenstrom
maximaler Leistungspunkt
eines Solarmoduls (maximum
power point)
nP
nR
P
PL
Pmax
Pst
Pv
Q
P MPP
é=}
Pst
19
U = n R · UZ
Anzahl parallel
Anzahl in Reihe
elektrische Leistung
Leistungsabgabe
größte Leistungsabgabe
Bestrahlungsleistung in W
Verlustleistung
Wärme
Die Bedeutung weiterer Formelzeichen ist aus den Bildern erkennbar.
16
18
UMPP U0
Solarmodul
A
FF
Û’
Ûk
ÛL
ÛZ
MPP
Pst = S · A
17
Û = n P · ÛZ
20
Ri
R ’i
S
U0
U 0’
UZ
ñU
é
Innenwiderstand
Ersatzinnenwiderstand
Bestrahlungsstärke in W/m 2
Urspannung
Ersatzspannung
Zellenspannung
Umgebungstemperatur
Wirkungsgrad
21
Wärme, Kühlung
Erwärmung eines Mediums der Masse m
Ölhärtebad
Q
Aluminium
c
Öl
m
Ü
U
0,32 J/gK
Stahl
0,46 J/gK
Wasser
4,19 J/gK
Öl
0,90 J/gK
P=U·Û
Erwärmung von Öl
1
2
1
0,92 J/gK
Kupfer
ñF
5 }
– 32 °C
ñ=}
9 °F
T °C
ñ = 1 273 – }
K2
c
Material
2
Q = m · c · 4ñ
C=m·c
3
mit
Wärmeverlusten:
Q=P·t
Q=Ω·P·t
4ñ = ñ2 – ñ1
5
4
ohne
Wärmeverluste:
6
7
8
Kühlung
K
[R th] = }
W
ªU
Rth = RthG + RthÜ + RthK
9
J
[C ] = }
K
kJ
[c] = }
kg · K
ªj RthG
ªG
ªK RthK ªU
RthÜ
[Q ] = Ws = J
ñG – ñU
RthÜ + RthK = }
Pv
11
ñj – ñU
Rth = }
Pv
ñj – ñG
RthG = }
Pv
10
12
Q
C=}
4ñ
4ñ = ñj – ñU
13
14
Wärmewiderstände
Q
4ñ = }
m·c
Aluminium,
blank,
senkrecht
stehend
20
10
7
5
4
3
2
4ñmin = Ptot · Rth
15
16
R thK des auszuwählenden Kühlkörpers:
0,5
1
2
5
0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20
Kantenlänge in cm
Blechdicke in mm
Rth des Kühlbleches
in K/W
40
30
4ñ – R
RthK,max = }
thÜ – R thG
Ptot
17
zulässige Temperatur ñj bei gewähltem R thK :
Ptot
ñj max = }
– ñU
RthG + RthÜ + RthK
18
Wärmewiderstand quadratischer Alubleche
abstrahlende Oberfläche
cu
k
Metall
Stahl
5,5 W/m2K
Alu/Zink
2,5 W/m2K
ci
Ps
A
C
c
Û
k
m
P
P EK
PS
Pv
P EK = P V – PS
PS = k · A · 4ñ
19
4ñ = ñi – ñU
geschlossener
Schaltschrank
abstrahlende Oberfläche
Wärmekapazität
spezifische Wärmekapazität
Strom
Wärmedurchgangsbeiwert
Masse
Leistung
erforderliche Kühlleistung
Strahlungsleistung
P tot
PV
Q
R th
R thG
R thK
R thÜ
t
T
21
maximale Verlustleistung
Verlustleistung
Wärme
Ersatzwärmewiderstand
innerer Wärmewiderstand
Wärmewiderstand Kühlkörper
Übergangswärmewiderstand
Zeit
absolute Temperatur
U
4ñ
ñ1
ñ2
ñF
ñi
ñj
ñU
Ω
20
PV
4ñmax = }
k·A
22
Spannung
Temperaturunterschied
Anfangstemperatur
Endtemperatur
Temperatur in Fahrenheit
Innentemperatur
Sperrschichttemperatur
Umgebungstemperatur
Wärmenutzungsgrad (Zeta)
17
E
Elektrotechnische und elektronische Grundlagen
spezifische Wärmekapazität
Heizelement
Wechselgrößen
U
u
1 = Hz
[f ] = }
s
m
}
s =m
[¬] = }
1
}
s
Für elektromagnetische Wellen und
Licht gilt
฀ im Vakuum, in Luft:
c ≈ 300 000 km/s
฀ im Leiter, z. B. in Cu, Al: c ≈ 240 000 km/s
0
t
T
E
Wechselspannung
1
f=}
T
1
c
¬=}
f
2
p =1
N
Bei Sinusform:
S
1
[ø] = }
s
u
u
ø=2·π·f
3
U
- V +
0
}
û = Ï2 · U
Beim Maschinengenerator:
1 = Hz
1 ; [f ] = }
[n] = }
s
s
t
Mischspannung
4
}
ˆ
ı = Ï2 · Û
f=p·n
5
6
Bei unsymm. und symm. Schwingungsformen:
ti
Signalform
T
¸
û
¸ = û – u
¸
¸ˆ
ı =ˆ
ı –ı
7
}
Crestfaktor1
Ï2
FC
≈ 1,41
}
Ï3
≈ 1,73
Ï
1
8
}
T
}
ti
ˆ
ı = Fc · Û
û = Fc · U
9
10
}
T
Ï
}
T
Ï
1 u2 (t) dt
U= }
#
T0
1 i 2 (t) dt
Û= }
#
T0
11
12
Bei symmetrischen Schwingungsformen:
π
fi
π
π
13
øt
π
ø
i=ˆ
ı · sin øt
u = û · sin øt
15
π
Sinusgrößen mit Phasenverschiebung
Ausbreitungsgeschwindigkeit
Crestfaktor, Scheitelfaktor
Frequenz
Drehzahl, Umdrehungsfrequenz
Polpaarzahl
Periodendauer
Zeit
16
i=ˆ
ı · sin(øt + fi)
u = û · sin(øt + fi)
U, Û
}
U
17
Effektivwerte
arithmetischer Mittelwert
(Gleichspannungsanteil)
u, i
Augenblickswerte
û
¸, ¸ˆ
ı Spitze-Tal-Werte
û , ˆ
ı Maximalwerte, Amplituden,
Scheitelwerte
Die Bedeutung weiterer Formelzeichen ist aus den Bildern erkennbar.
18
14
Bei Sinusform:
ø
c
Fc
f
n
p
T
t
¸ˆ
ı =2·ˆ
ı
û
¸ = 2 · û
π
18
¸ ¸
u , ı Minimalwerte
fi
Phasenverschiebungswinkel
in rad
¬
Wellenlänge
ø
Kreisfrequenz
øt
Winkel in der Einheit rad
(2π rad = 360°)
1
Integrale Seite 10
Impuls, Puls, elektrisches Feld, Ladung und Kapazität
Impuls, Puls
Für Spannungsimpuls:
Vorderflanke
∆U
S=}
∆t
Rückflanke
90 %
100%
i,
u
V
[S] = }
s
Für Rechteckpuls:
i, u
T
10 %
50%
Impulsdauer t i
Abfallzeit t f
E
t
T = t i + tp
Puls
Anstiegszeit t r
1
tp
ti
2
t
t
g = }i
T
Impuls
3
1
f=}
T
4
Elektrisches Feld
Metallplatte
E
+
+
+
+
+
+
+
+
F
–
–
–
–
–
–
–
Metallplatte
Im homogenen Feld:
U
E=}
¢
F=E·Q
5
V
[E] = }
m
6
Ws = N
V · As = }
[F ] = }
m
m
Kraftwirkung auf geladenen Körper
Ladung und Kapazität
Bei Û = konstant:
∆U
Û=C·}
∆t
7
Ü
V = As
V
[Û ] = F · }
}·} =A
s
V s
∆Q = Û · ∆t
[∆Q ] = A · s = As = C
8
C von Coulomb
∆Q = C · ∆U
U = U1 + ∆U
9
10
Laden des Kondensators mit einem
Konstantstrom
C Kapazität
E elektrische Feldstärke
F Kraft auf einen geladenen
Körper
f Pulsfrequenz
g Tastgrad
Û Stromstärke
¢ Abstand der geladenen Platten
Q
S
elektrische Ladung
Flankensteilheit,
Spannungsanstiegsgeschwindigkeit
T Pulsperiodendauer
U Spannung
∆Q Änderung der elektrischen
Ladung
∆t Zeit, in der die Spannungsänderung erfolgt
∆U Spannungsänderung
t i Impulsdauer
tp Pausendauer
tr Anstiegszeit
t f Abfallzeit
U1 Spannung bei Ladungsbeginn
Die Bedeutung weiterer Formelzeichen ist aus den Bildern erkennbar.
19
Elektrotechnische und elektronische Grundlagen
Dach
Kondensator, elektrische Flussdichte, Kapazität, Schaltungen, Blindwiderstand
leitende
Platte
+
»
D=}
A
»=Q
elektrischer Fluss »
Q
D=}
A
1
As = }
C
[D] = }
m2 m2
–
D=™·E
As = }
As · }
C
V =}
[D] = }
Vm m
m2 m2
E
leitende
Platte
2
™ = ™0 · ™r
pC
™0 = 8,85 }
Vm
Elektrischer Fluss
3
Permittivitätszahlen ™r
Isolierstoff (Dielektrikum) e
Glimmer
w = }12 · D · E
6 ... 8
Hartpapier
4
4
Keramische Masse
10 ... 50 000
Polystyrol
2,5
Tantalpentoxid
26
W = }12 · C · U 2
5
™0 · ™r · A
C=}
¢
Beim Wickelkondensator ist
A=2·¢·b
A
6
As · }
Ws = }
J
V =}
[w] = }
m2 m
m3 m3
Kondensator (Prinzip)
Q1 = C1 · U1
7
[W ] = F · V2 = As
} · V2 = Ws = J
V
Q 2 = C 2 · U2
C1
U
C2
C · m = As
[C ] = }
}=F
Vm · m
V
Q
C1
10
9
C2
Zwei Kondensatoren in
Reihe:
U1
U2
C1 · C2
C=}
C1 + C2
C1 U2
}=}
C2 U1
Reihenschaltung von Kondensatoren
Vs = Ø
1
=}
[XC ] = }
1 As As
} ·}
s V
gleichartig geladene
Plattenoberfläche
Breite
Kapazität, Ersatzkapazität
Einzelkapazitäten
elektrische Flussdichte
elektrische Feldstärke
Reihenschaltung für
Q1 = Q 2 = … = Q n :
1
1
1
1
} = } +}+…+}
C
C1
C2
Cn
12
11
C
C
U
U1
1
}=}
14
13
Kondensator an Wechselspannung:
Kapazitiver Blindwiderstand:
1
XC = }
ø·C
ø=2·π·f
15
¢
n
Q
U
U1, U2
w
Plattenabstand, Länge
Anzahl der Platten des
Drehkondensators
elektrische Ladung
Spannung
Teilspannungen
Energiedichte
Die Bedeutung weiterer Formelzeichen ist aus den Bildern erkennbar.
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C = C1 + C2 + … + Cn
Q
C2
C1
U
b
C
C1, C2, Cn
D
E
Parallelschaltung:
1
2
}=}
Parallelschaltung von Kondensatoren
A
8
2
W
XC
™
™0
™r
»
ø
elektrische Energie
Kapazitiver Blindwiderstand
Permittivität
elektrische Feldkonstante
Permittivitätszahl
elektrischer Fluss
Kreisfrequenz
16