Formelsammlung - AndyDunkel.net

Formelsammlung
Mathematik
1 Inhaltsverzeichnis
1.
Inhaltsverzeichnis
1.
2.
2.1.
2.1.1.
2.1.2.
2.1.3.
2.1.4.
2.1.5.
2.1.6.
2.1.7.
2.1.8.
2.2.
2.2.1.
2.2.2.
2.2.3.
2.2.4.
2.2.5.
2.2.6.
2.2.7.
2.2.8.
2.3.
2.3.1.
2.3.2.
2.3.3.
2.3.4.
2.3.5.
2.3.6.
2.3.7.
2.3.8.
2.3.9.
2.3.10.
2.3.11.
2.3.12.
2.3.13.
2.3.14.
2.3.15.
2.4.
2.4.1.
2.4.2.
2.4.3.
2.4.4.
2.4.5.
2.4.6.
2.4.7.
2.4.8.
2.4.9.
Inhaltsverzeichnis ...................................................................................................2
Mathematik..............................................................................................................4
Allgemeines.............................................................................................................4
Wichtige Winkel.......................................................................................................4
Allgemeine Rechengesetze....................................................................................4
Rechenregeln e-Funktion u. Potenzen...................................................................4
Rechenregeln Logarithmus ....................................................................................5
2er Potenzen ...........................................................................................................5
„Mitternachtsformel“ zum Lösen von quadratischen Gleichungen........................5
Wurzelrechnung ......................................................................................................5
Trigonometrische Funktionen .................................................................................6
Vektorrechnung.......................................................................................................8
Normieren eines Vektors ........................................................................................8
Addition und Subtraktion von Vektoren..................................................................8
Skalarprodukt (inneres Produkt).............................................................................8
Kreuzprodukt (nur bei 3 dimensionalen Vektoren möglich) ..................................8
Spatprodukt (Volumen des Parallelepipeds) .........................................................8
Projektion eines Vektors auf einen anderen ..........................................................8
Lineare Abhängigkeit bei Vektoren ........................................................................9
Bildung Orthonormalsystem (Gram-Schmidt) ........................................................9
Matrizen.................................................................................................................10
Addition und Subtraktion von Matrizen ................................................................10
Multiplikation von Matrizen mit Skalaren..............................................................10
Matrizenmultiplikation: ..........................................................................................10
Symmetrie von Matrizen .......................................................................................10
Determinanten.......................................................................................................11
Direktes Bestimmen (bis maximal 3x3 Matrix).....................................................11
Ausrechnen mit Gauß ...........................................................................................11
Transponierte einer Matrix....................................................................................11
Einheitsmatrix........................................................................................................12
Orthogonale Matrix..........................................................................................12
Inverse Matrix bilden .......................................................................................12
Reguläre/Singuläre Matrix...............................................................................12
Rang einer Matrix ............................................................................................12
Umformungen die den Rang nicht ändern .....................................................12
Lineare Gleichungssysteme............................................................................13
Komplexe Zahlen ..................................................................................................18
Komplexe Zahl im Nenner ....................................................................................18
Multiplikation von komplexen Zahlen ...................................................................18
Konjugiert komplexe Zahl .....................................................................................18
Gaußsche Zahlenebene .......................................................................................19
Betrag einer komplexen Zahl................................................................................19
Darstellung von komplexen Zahlen ......................................................................19
Umrechnung der Darstellungen ...........................................................................19
Rechenregeln Exponentialform ............................................................................20
Potenzierung von komplexen Zahlen...................................................................20
2
1 Inhaltsverzeichnis
2.4.10.
Radizieren von komplexen Zahlen .................................................................20
2.4.11.
Logarithmus von komplexen Zahlen...............................................................20
2.5.
Analysis .................................................................................................................21
2.5.1.
Nullstellen..............................................................................................................21
2.5.2.
Symmetrie .............................................................................................................21
2.5.3.
Monotonie..............................................................................................................21
2.5.4.
Hochpunkte, Tiefpunkte, Wendepunkte...............................................................22
2.5.5.
Periodizität.............................................................................................................22
2.5.6.
Umkehrfunktion .....................................................................................................22
2.5.7.
Koordinatentransformation ...................................................................................22
2.6.
Gebrochenrationale Funktionen ...........................................................................23
2.6.1.
Nullstellen..............................................................................................................23
2.6.2.
Polstellen ...............................................................................................................23
2.6.3.
Asymptotisches Verhalten im Unendlichen..........................................................23
2.7.
Differentialrechnung..............................................................................................28
2.7.1.
Ableiten mit Differentialquotient............................................................................28
2.7.2.
Grundableitungen .................................................................................................28
2.7.3. ......................................................................................................................................28
2.7.4.
Ableitungsregeln ...................................................................................................28
2.7.5.
Logarithmische Ableitung .....................................................................................29
2.8.
Integralrechnung ...................................................................................................30
2.8.1.
Grundintegrale ......................................................................................................30
2.8.2.
Integration durch Substitution...............................................................................31
2.8.3.
Produktintegration .................................................................................................31
2.8.4.
Uneigentliche Integrale .........................................................................................32
2.8.5.
Volumen von Rotationskörpern ............................................................................32
2.8.6.
Bogenlänge ...........................................................................................................32
2.8.7.
Mittelwert ...............................................................................................................32
2.9.
Grenzwerte............................................................................................................33
2.9.1.
Rechenregeln für Grenzwerte ..............................................................................33
2.9.2.
Beispiele Grenzwerte............................................................................................33
2.9.3.
Regel von L´Hôpital ..............................................................................................33
2.10.
Reihen..............................................................................................................34
2.10.1.
Potenzreihen....................................................................................................34
2.10.2.
Konvergenzradius von Potenzreihen..............................................................34
2.10.3.
Potenzreihenentwicklung (Mac Laurinsche Reihe)........................................35
2.10.4.
Taylorreihe.......................................................................................................35
3
2 Mathematik
2.
Mathematik
2.1.
Allgemeines
2.1.1.
Wichtige Winkel
α
x
0
0
30°

6
45°

4
60°

3
sin
x
0
1
2
2
2
cos
x
1
3
2
tan
x
0
1
2
2
1
3
2
1
2
2.1.2.
90°

2
1
0

3
120°
2
3
135°
3
4
150°
5
6
180°
3
2
1

2
2
2
1
2
0

 3
2
2
-1


3
2
-1

1
0
3
3
Allgemeine Rechengesetze
Bruchrechnen
a c a*d  b*c
 
b d
b*d
a c a*d  b*c
 
b d
b*d
a c a*c
* 
b d b*d
a c a*d
: 
b d b*c
Addition:
Subtraktion:
Multiplikation:
Division:
Binomische Formeln
 Hauptnenner bilden
 zusammenfassen
 mit dem Kehrwert multiplizieren
 a  b 2  a 2  2ab  b 2
 a  b 2  a 2  2ab  b 2
 a  b a  b  a 2  b2
Erste binomische Formel:
Zweite binomische Formel:
Dritte binomische Formel:
2.1.3.
 Hauptnenner bilden
Rechenregeln e-Funktion u. Potenzen
e a * e b  e ab
ea
eb
 e a b
1
ea
 e a
e 
a b
 e a*b
a * b n  a n * bn
4
2 Mathematik
2.1.4.
Rechenregeln Logarithmus
a
ln    ln(a )  ln(b)
b
ln( a * b)  ln( a )  ln(b)
2.1.5.
2er Potenzen
2^0=1
2^4=16
2^8=256
2^12=4096
2^16=65536
2.1.6.
ln(a b )  b * ln( a)
2^1=2
2^5=32
2^9=512
2^13=8192
2^17=131072
2^2=4
2^6=64
2^10=1024
2^14=16384
„Mitternachtsformel“ zum Lösen von quadratischen Gleichungen
x1 / 2  
2
pq-Formel (Gleichung in Form: x + px + q = 0):
abc-Formel (Gleichung in Form: ax + bx + c = 0): x1 / 2 
2
2.1.7.
2^3=8
2^7=128
2^11=2048
2^15=32768
p

2
p2
q
4
 b  b 2  4ac
2a
Wurzelrechnung
allgemein: wenn a n  b , dann heißt a  n b  bei a  0  b  0
1
Umwandlung in Potenz:
n
b  b n zu schreiben
n m
a * n a  a n* m 
Wurzeln multiplizieren:
n
Wurzeln aus Wurzeln ziehen:
n m
Wurzeln aus Produkten ziehen:
n
a*b  n a *n b
Wurzeln aus Brüchen ziehen:
n
a

b
Rationalmachen des Nenners:
b
a

nm
an m
a  n*m a
b* a
a* a
n
a
n
b

b* a
a
 b0
Bsp :
10
5

10 * 5
 2* 5
5
5
2 Mathematik
2.1.8.
Trigonometrische Funktionen
allgemein:
a: Gegenkathete
b: Ankathete
c: Hypothenuse
c
a
b
Sinus:
Kosinus:
Sinus:
a
sin  
c
b
cos  
c
tan  
Tangens:
a sin 

b cos 
Kotangens:
cot  
b cos 
1


a sin 
tan 
sin  x  y   sin x  sin y
sin x  y   cos y * sin x  cos x * sin y
sin 2 x   2 * sin x * cos x
Kosinus:
cos x  y   cos x * cos y  sin x * sin y
cos x  y   cos x * cos y  sin x * sin y
cos 2 x  cos2 x  sin 2 x
cos 2 x  sin 2 x  1  cos 2 x  1  sin 2 x
 cos x  1  sin 2 x
6
2 Mathematik
2.1.9.
Horner Schema
Beispiel Berechnung des Funktionswertes der Funktion f ( x)  5 x3  10 x 2  20 x  100 an
der Stelle x=4 berechen.
Werte der Koeffizienten
in Tabelle schreiben
2
Hinweis: Bei „leeren“ Koeffizienten, z.B. 0x muss eine 0
eingetragen werden.
1. Schritt
2. Schritt
3. Schritt
–
der Funktions
kann nun direkt
abgelesen werden
 500
Horner Schema für Polynomdivision
Beispiel: Nullstellenberechung für Funktion y  x 3  2 x 2  5 x  6
Erste Nullstelle raten
Horner Schema
erstellen
x1 =1
1
1
1
-2
-1
-5
-6
6
0
2
 neue Funktion: y=x -x-6
Bleibt im letzten Feld ein anderer Wert als eine 0 stehen, so
handelt es sich um den Rest der Division.
7
2 Mathematik
2.2.
Vektorrechnung
2.2.1.
Normieren eines Vektors
2
  
r  3 
1 
 
2.2.2.
 2
1  
  3
r  
1 

r  2 2  3 2  12 (Betrag des Vektors)
Addition und Subtraktion von Vektoren
1   2   3 
       
1   2   3 
 2  1  1 
       
 2  1  1 
(Komponentenweise)
2.2.3.
Skalarprodukt (inneres Produkt)
 2
  
a  3
1 
 
 2
  
b  3
1 
 
2.2.4.
Kreuzprodukt (nur bei 3 dimensionalen Vektoren möglich)
a  b  a x b x  a y b y  a z bz  2 * 1  3 * 3  1 * 5  16
   
oder: a  b  a * b * cos( )
1   2  2 * 1  3 * 3  2  9   7 
   

  
 2    3   3 * 2  1*1   6  2    4 
 3  1  1 * 3  2 * 2  3  4    1 
   

  
1   2 
    
 2  3 
2.2.5.

a
- entstehender Vektor steht senkrecht
auf den Vektoren
- Betrag = Fläche des aufgespannten
Parallelogramms
Spatprodukt (Volumen des Parallelepipeds)
 ax

 det  a y
a
 z
( a  b)  c
2.2.6.
 
a b
cos( )  
a *b
bx
by
bz
cx 

cy 
c z 
Projektion eines Vektors auf einen anderen


a projiziert auf b

b
  
 ab  

ab    2  * b


 b 


8
2 Mathematik
2.2.7.

b
Lineare Abhängigkeit bei Vektoren

b


a
a
linear unabhängig

b

a
parallel (linear abhängig)
 Vektoren sind linear unabhängig, wenn der Rang der Matrix (S. 12) Rg A = n (Anzahl
der Vektoren)
Beispiel
1  3 
 2  5 
  
1  3 
  
 0  0 
2.2.8.
1
 2

1

0
3
 det  1 * 5  3 * 2  1  linear unabhänig
5 
3
 det  1* 0  3 * 0  0  linear abhänig
0 
Bildung Orthonormalsystem (Gram-Schmidt)
Alle Vektoren in einem Orthonormalsystem stehen senkrecht aufeinander und sind
normiert.
v u
v u
v u
u1  v1
u 2  v 2  2 1 *u1
u 3  v 3  3 1 * u1  3 2 * u 2
u1  u1
u1  u1
u2  u2
Beispiel:
 2
1 
 1
    
   
v1   0  v 2  1 v 3   2 
 0
1 
0 
 
 
 
 2

  
u1  v1   0 
 0
 
1 
1
 2
2 0 
 0  0 
  2    
  2   2    


u 2  1   *  0   1 
*  0   * 1   1 
u3   2  
1  4  0    1 
 0  4  0  2 1    1
 
 
 
   
   
Die Vektoren müssen abschließend noch normiert werden (S. 8)!
9
2 Mathematik
2.3.
Matrizen
2.3.1.
Addition und Subtraktion von Matrizen


 1 1   3 2   4 3

  
  

 2 2   2 3   4 5
2.3.2.
wie Vektoren komponentenweise
müssen gleich groß sein
Multiplikation von Matrizen mit Skalaren

1 2   3 6 

  
3 * 
 3 4   9 12 
2.3.3.
bei Skalar wie Vektor
Matrizenmultiplikation:
 1 2   2 1  8 9 


 * 
  
 4 7   3 5   29 31
Berechnung mit Tabelle:
2
-1
+
1
2
3
5
8
9
 1* 2  2 * 3  8
Schnittstelle der Matrizen muss passen:
A( m,n ) * B( n, p )  C (m, p )
Schnittstelle n muss passen (Zeilen, Spalten)
4
7
29
31
Hinweis: nicht kommutativ A * B  B * A
2.3.4.
Symmetrie von Matrizen
A A  Matrix ist symmetrisch
t
 1 4 2 


Bsp.: A   4 1 3 
 2 3 1 


- symmetrisch zur Hauptdiagonalen
A  t A  Matrix ist schiefsymmetrisch
4 2 
 0


Bsp.: A    4 0
3
 2 3 0 




bei Spiegelung an der Diagonalen ändern
sich die Vorzeichen der Elemente
Hauptdiagonalelemente müssen
verschwinden
10
2 Mathematik
2.3.5.
Determinanten




Matrix muss quadratisch sein
bei Zeilentausch ändert sich das Vorzeichen
Multiplikation oder Division einer Zeile  Det. mult. bzw. div. mit Faktor
keine Änderung, wenn Zeile/Spalte (mit Vielfachem) zu einer anderen addiert
wird
Ausrechnen mit Laplace
Entwicklung nach einer Zeile/Spalte, Vorzeichen entsprechend dem „Schachbrettmuster“
Beispiel Entwicklung nach Zeile 1:
 1

 6

 7




2
8
5
2.3.6.
5 
8 9
6 9
6 8
9   1*
 2*
 5*
 det( 61)
5
3
7
3
7 5

 
3

Unterdeterminanten bestimmen


Direktes Bestimmen (bis maximal 3x3 Matrix)
Hauptdiagonalen jeweils multiplizieren und addieren, Nebendiagonalen multiplizieren und
addieren und von den Hauptdiagonalen subtrahieren.
2-reihig:
1 2

  1 * 4  2 * 3  2
3 4
3-reihig:
2.3.7.

 a11

 a 21
a
 31
a12
a 22
a 32
a13 

a 23 
a 33 
D  (a11 * a 22 * a 33

a12 * a 23 * a 31

a13 * a 21 * a 32 )
 (a13 * a 22 * a 31

a12 * a 21 * a 33

a11 * a 23 * a 32 )
Ausrechnen mit Gauß
obere oder untere Dreiecksmatrix auf 0 bringen (durch Zeilenumformungen, siehe
2.3.5), dann Hauptdiagonale multiplizieren.
Beispiel:
1 2 


3 4 
2.3.8.
1 2 

  1 * (2)  2
 0  2
erste Zeile (-3) * zu zweiter Zeile
addieren, Hauptdiagonale multiplizieren
Transponierte einer Matrix
 1 3

1 7 8 
   7 4 
Zeilen und Spalten werden vertauscht, Beispiel: 
3 4 2  8 2


t
11
2 Mathematik
2.3.9.
Einheitsmatrix
Die Einheitsmatrix besitzt auf ihrer
Hauptdiagonalen jeweils den Wert 1,
restliche Elemtente 0.
Es gilt: A * E  A
2.3.10.
1 0 0


E   0 1 0
0 0 1


Orthogonale Matrix
Matrix ist orthogonal, wenn A 1  A t bzw. A * A t  E (transponierte ist gleichzeitig die
inverse Matrix).
2.3.11.
A* A
1
Inverse Matrix bilden
 E (Einheitsmatrix)
bis 2x2 Matrix:
a b 

A  
c d 
A 1 
 d b 
1

*
a * d  b * c   c a 
Ansonsten Gauß-Jordan-Verfahren:

Einheitsmatrix an Matrix anhängen
3 4 5 1 0 0 

Zeilenumformungen bis vorne die Einheitsmatrix


1
2
3
0
1
0


steht, dann steht hinten die inverse Matrix und kann
5 0 2 0 0 1
abgelesen werden

Nur Zeilenumformungen möglich

Vorgehen: zuerst untere Dreiecksmatrix erzeugen,
dann obere

inverse nur bei regulären Matrizen möglich
2.3.12.
Reguläre/Singuläre Matrix
reguläre Matrix:
singuläre Matrix
2.3.13.
det  0
det = 0
Rang einer Matrix
- Zeilenanzahl der größten Unterdeterminante von A  0
2.3.14.



Umformungen die den Rang nicht ändern
2 Zeilen / Spalten vertauschen
Zeile / Spalte mit 0 multiplizieren
Vielfaches einer Zeile / Spalte zu einer anderen addieren
Beispiel:
1 2 5 


A   7 4 3  7 * I
0 8 0


2
5 
5
2 
1
1




  0  10  32    0  32  14   Rang  3
0 8
0
0 
0
8 


12
2 Mathematik
2.3.15.
Spur einer Matrix
Summe der Diagonalelemente einer Matrix
a 
a
Beispiel: A   11 12 
Sp( A)  a11  a22
 a21 a22 
2.3.16. Lineare Gleichungssysteme
 
A* x  c
a11 x1  a 12 x 2  a13 x 3  c1
a 21 x 2  a 22 x 2  a 23 x 3
 c2
a 31 x 3  a 32 x 2  a 33 x 3
 c3
In Form bringen (untere Dreiecksmatrix herstellen):
a11 a12 a13 c1
0
a 22
a 23
c2
0
0
a 33
c3
Lösungen:
1
2
5
3
0
1
7
5
1.Variante:
0
0
0
0
Variable frei wählbar (0=0)
2.Variante:
0
0
1
7
eindeutige Lösung (x3=7)
3.Variante:
0
0
0
8
keine Lösung für LGS
Ermittelte Variable in nächste Ebene einsetzen und nächste Variable berechnen.
Hinweis: Nur Zeilenumformungen sind erlaubt, Tausch und Addition einer Zeile mit
Faktor!
13
2 Mathematik
2.3.17.
Eigenwerte und Eigenvektoren
 2 5 
Beispiel Berechnung Eigenwerte und Eigenvektoren: A  

4
1
1. Aufstellen der charakteristischen Gleichung
Auf Hauptdiagonale 
subtrahieren.
2  
5
0
1
4 
 (2   ) * (4   )  (5*1)  0
  2  2  3  0
( 2  Sp ( A) *   det( A)  0)
2. Lösen der charakteristischen Gleichung
b  b 2  4ac 2  4  12 2  4
1,2 


2a
2
2
1  3
Die charakteristische Gleichung
muss gelöst werden, die
Nullstellen des Polynoms sind
die Eigenwerte der Matrix.
 2  1
3. 1 einsetzen in das LGS
 2  3 5   v11   0 

*    
4  3   v12   0 
 1
 5 5   v11   0   5* 2.Zeile

 *    
 1 1   v12   0 
 0 0   v11   0 

*    
 1 1   v12   0 
Eigenwerte jeweils in A
einsetzen und das LGS lösen.
Matrix ist immer det(0), das
LGS daher unterbestimmt, eine
Variable frei wählbar (S. 13)
v11  v12  0
v12 wird als Parameter 
gesetzt.
v11  v12
v12   setzen
v11  
4. Eigenvektor normieren
1  1
v1 
 
2 1 
Bei der Normierung
verschwindet der Parameter.
5. Probe
Sp ( A)  1   2
Anschließend den zweiten
Eigenvektor mit 2 analog
bestimmen.
det( A)   1 * 2
14
2 Mathematik
2.3.18.
–
–
Diagonalmatrix
alle Elemente außerhalb der Diagonale sind 0
Berechnung der Inversen: Diagonalmatrix ist genau dann invertierbar, wenn kein
Eintrag der Hauptdiagonale 0 ist. Inverse Matrix berechnet sich dann wie folgt:
1  1
1

2
0   2 0 
 2 0


 
 0 41   0 1 
0 4

 
4
Eigenwerte von Diagonalmatrizen: die Eigenwerte von Diagonalmatrizen sind die
Elemente der Hauptdiagonalen:
1 0
A
  1    3

0 3
–
1 
Eigenvektoren : v1   
0
2.3.19.
 0
v2   
1 
Matrizen potenzieren mit Eigenwerten
Es gelten folgende Zusammenhänge:
A15  V * 15 * V 1 (inverse)
bzw. wenn A symmetrisch und die Eigenvektoren
normiert sind:
15
A
 V *  * V ' (transponierte)
15
Beispiel:
15
A15
 5 2 


 6 2 
Eigenwerte: 1  1 ;  2  2
1 
 2
Eigenvektoren: v1   v2   
 2
3
 1 2   115
A15  
 *
 2 3   0
A15 
0   3 2 
*

215   2 1
131.069 65.534
196.602 98.300
V = Matrix der Eigenvektoren
 = Matrix der Eigenwerte in
Form:
115
0
0
 215
 15
1. Schritt
Berechnung der Eigenwerte
und Eigenvektoren (S. 14).
Diese müssen nicht normiert
werden, da sich die Normierung
durch Multiplikation mit der
inversen wieder herauskürzt.
Eigenvektoren in Matrix
15
schreiben, multipliziert mit  ,
multipliziert mit der inversen
Matrix der Eigenvektoren
(S. 12).
Matrixmultiplikation durchführen
(S. 10).
15
2 Mathematik
2.3.20.
Hauptachsentransformation
Ziel: Durch Überführung einer Funktion in die Normalform, soll eine Klassifizierung
erfolgen um welchen Typ von Fläche es sich handelt.
Beispiel:
a11 x 2  a22 y 2  a12,21xy  b1x  b2 y  d  0
6 x 2  9 y 2  4 xy  40 x  30 y  55  0

 a11
( x, y )  
 a12,21

 2
a12,21 

2  x 
 
  y
a12 

 6 2  x 
( x, y )  
  
 2 9  y 
  10 v1 
V
1 1 
 
5  2
1  1 2 


5 2 1 
 2  5 v2 
1. Matrix aufstellen
1  2 
 
5 1 
 10 0 


 0 5
 
 
( , )       (b1 , b2 )  V     d  0

 
 
 10 0   
1  1 2   
( , )  
     ( 40, 30) 

     55  0
5  2 1   
 0 5   
2. Eigenwerte und
Eigenvektoren der Matrix
bestimmen (S. 14) mit
anschließender Normierung
3. Matrizen V und  aufstellen
Hinweis: det(V) = 1, bei
det(V)=-1 muss die
Reihenfolge der Eigenvektoren
vertauscht werden.
Reihenfolge in  beliebig
4. Einsetzen in Gleichung
 10 0   


1.) ( , )  
     10  5
 0 5   
1  1 2   
100 50

2.) (40, 30) 

   
5  2 1   
5
5
ergibt:
100 50

 55  0 / : 5
5
5
20 10

 11  0
2 2   
5
5
10   5  
16
2 Mathematik
2 2    
20
5

10
5
5. Verschiebung durch quad. Ergänzung
beseitigen
 11  0
2 2     4 5  2 5  11  0


2   2 5



 2 5

Formel für quad. Ergänzung:
 11  0
2(  5)2  10  (   ) 2  5  11  0
2
b 
b2

a  x2  b  x  a   x 
 
2
a
4a


2(  5)2  (   ) 2  4
v   
Einsetzen :
w   5
2v 2  w 2  4
/:4
v 2 w2

1 
2
4
v2
2
2

6. Einführung neuer Koordinaten und
Ablesen der neuen Funktion  hier
Ellipse.
w2
22
1
17
2 Mathematik
2.4.
Komplexe Zahlen
1  i
 1 
2
  1
 Alle Rechnungen wie gewohnt aber i 2  1 .
Komplexe Zahl: 5  3i (Realteil, Imaginärteil)
2.4.1.
Komplexe Zahl im Nenner
2
2 * (1  i)
2  2i
2  2i



 1 i
1  i (1  i )(1  i) 12  i 2
2
2.4.2.
Erweiterung mit dem konjugiert
komplexen Term.
Multiplikation von komplexen Zahlen
( a  bi) * (c  di)  ( ac  bd )  ( ad  bc )i
Bsp : (3  4i ) * (2  3i)  (6  12)  (9  8)i   6  17i
2.4.3.
z  a  bi
Konjugiert komplexe Zahl
z  a  bi
(Vorzeichen des Imaginärteils ändert sich)
18
2 Mathematik
2.4.4.
Gaußsche Zahlenebene
Darstellung der komplexen Zahl im
zweidimensionalen Raum.
 Dadurch keine Vergleichbarkeit von
komplexen Zahlen, da sich diese nicht
anordnen lassen, wie auf einen
Zahlenstrahl.
2.4.5.
Betrag einer komplexen Zahl
a  bi
z  a 2  b 2  Re( z ) 2  Im( z ) 2
2.4.6.
Darstellung von komplexen Zahlen
kartesische Darstellung:
z  a  bi
 im Betrag taucht die komplexe
Zahl i nicht auf
z.B. 5  3i
trigonometrische Darstellung: z  r * (sin   i * cos  ) (in Praxis nicht verwendbar)
Exponentialform:
2.4.7.
z  5  e i (geeignet für Multiplikation, Division und
Potenzierung von komplexen Zahlen)
Umrechnung der Darstellungen
Polar nach Kartesisch
a  r * cos
b  r * sin 
Kartesisch nach Polar
r  a2  b2
b
  arctan
a
(Winkel ist mehrdeutig!)
tan ist  periodisch z.B.:
1 
z  1  i   arctan   45
1 4
1 

z  1  i   arctan
1 4
 überlegen wo der Winkel liegt!
19
2 Mathematik
2.4.8.
Rechenregeln Exponentialform
z1
r
 1 * e i (1 2)
z 2 r2
z1 * z 2  r1 * r2 * e i ( 1 2)
2.4.9.
9
Potenzierung von komplexen Zahlen
(0  1i) 9  (1* e i 90 ) 9  (1* e
i9
z b  (r * e i )  r b * e i *b
i

2 )9
 19 * e

i *9
2
 1* e

9 i
2

= mehrmaliges Umrunden des Zeigers (2 = eine Umdrehung)
2
Ergebnis: 1 * e
2.4.10.
i

2
 i (Zeiger hat 4-mal umrundet)
Radizieren von komplexen Zahlen
 Jede n-te Wurzel hat n-Lösungen!
z  (r * e i (  2 k ) )1 / b  r 1 / b * e
Beispiel 1:
b
4  (4 * e i*0 )1 / 2  4 * e
i*0*
4  (4 * e i*2 )1 / 2  4 * e
1
2
i
 *2 k
b
 b r *e
 2 k
i( 
)
b b
 2 * e i*0  2
i *2 *
1
2
 2 * e i*   2
Beispiel3:
Beispiel 2:
3
1  (1 * e i*0 ) 1 / 3  3 1 * e
 (1* e i*2 )1 / 3  3 1 * e
 (1* e i*4 )1 / 3  3 1 * e
2.4.11.
 1* e i *0  1
i  (1* e

i*
2 )1 / 2
i*2 *
1
3
 1* e120 
i  (1* e

i*  2
2
)1 / 2
i*4 *
1
3
 1* e 240
i*0*
1
3
 1 *e

i*
4
 1 *e
 2
i* 
4 2
 1* e
Logarithmus von komplexen Zahlen
 Rechenregeln für Logarithmen siehe S. 5.
ln(1)  ln(1 * e i*0 )  ln(1)  ln(e i*0 )  0  i * 0
 ln(1* e i*2 k )  ln(1)  ln(e i*0 2 k )  0  i * 2 k
kZ
 unendlich viele Lsg.
0 = Hauptwerk, Imaginärteil [0,2[
Beispiel:
ln( e)  ln(e)  ln(e i*(  2 k ) )  1  i (  2 k )
20
i 5
4
2 Mathematik
2.5.
Analysis
2.5.1.
Nullstellen
y  x 2
y  0 setzen 0  x 2  2
y  x2  2
y  0 setzen 0  x 2  2 x 2  2
2
Mitternachtsformel:
2.5.2.
x 2  2 x   2  keine reelle Nullstelle
 b  b 2  4ac
2a
x1  1,41 x 2  1,41
x1,2 
x1,2 
 0  0  4 *1* (2)
2

 8
2,83

2
2
Symmetrie
f(-x)=f(x)  Achsensymmetrisch
2
2
2
Bsp.: f(x)=x
-2 =4 2 =4
-f(x)=f(-x)  punktsymmetrisch im Ursprung
3
3
3
Bsp.: f(x)=x
-2 =-8 2 =8
2.5.3.
Monotonie
Streng monoton wachsend:
Streng monoton fallend:
Monoton wachsend:
f x   0
f x   0
f x   0
Streng monoton, wenn Funktion immer ansteigt, d.h. keine Sattelpunkte
21
2 Mathematik
2.5.4.
Hochpunkte, Tiefpunkte, Wendepunkte
Vorgehen: Ableiten, Gleichung lösen und mit Bedingung überprüfen.
Hochpunkt:
f x   0 und f  x0   0
f x   0 und f  x0   0
Tiefpunkt:
f  x  0 und f x0   0  Hinweis: einfache Nullstelle
Wendepunkt:
2.5.5.
Periodizität
f(x  p) = f(x)
2.5.6.
Beispiel: sin(x + 2) = sin(x)
Umkehrfunktion
Vorgehen:
- x und y vertauschen und nach y auflösen
- Definitionsbereich und Wertebereich vertauschen sich
Beispiel:
y = 2x + 1 (f(x))
Umkehrung: x = 2y + 1 / -1
x-1 = 2y / :2
0.5x-0.5 = y (g(x))


Periode: p = 2
f(x)
f(x)=x
g(x)
Umkehrfunktion wird an f(x) = x gespiegelt
jede streng monoton wachsende oder fallende Funktion ist umkehrbar
2.5.7.
Koordinatentransformation
Bei Umwandlung Kartesisch nach Polar: x  r * cos
y  r * sin 
r2  x2  y2
22
2 Mathematik
2.6.
Gebrochenrationale Funktionen
Beispiel:
2.6.1.

x2  4
Nullstelle wo das Zählerpolynom den Wert 0 annimmt, aber Nennerpolynom von 0
verschieden ist
Polstellen
Nullstellen des Nennerpolynoms
kann die Nullstelle über Linearfaktoren mit Zähler gekürzt werden, so kann
Definitionslücke behoben werden, ansonsten Polstelle
2.6.3.



x 3  6 x 2  12 x  8
Nullstellen
2.6.2.


f ( x) 
Asymptotisches Verhalten im Unendlichen
zuerst Definitionslücken beheben
anschließend Polynomdivision Zähler/Nenner
es entstehen Lineare Funktion + Rest  lineare Funktion  Asymptote
Beispiel 1 (Behebung der Definitionslücken):
f ( x) 
x 3  6 x 2  12 x  8
x2  4
1. Nullstellen ermitteln Zähler
x1 =2 (raten, weitere durch Polynomdivision)
( x 3  6 x 2  12 x  8) : ( x  2)  x 2  4 x  4
 (x 3  2x 2 )
4  16  16 4  0

2
2
2
 doppelte Nullstelle
x 2,3 
 4 x 2  12 x
 (4 x 2  8 x )
4x  8
 (4 x  8)
0
2. Nullstellen ermitteln Nenner
x2  4  0
x1  2 , x 2  2
3. Zerlegung in Linearfaktoren
( x  2)( x  2)( x  2)
( x  2)( x  2)
behebbar bei x=2
4. Behebung
- einsetzen von x=2 in die gekürzte Formel:
(2  2)(2  2) 0
 0
f (2)  0
(2  2)
4
23
2 Mathematik
Beispiel 2 (Asymptote im Unendlichen)
Restfunktion aus Beispiel 1  Polynomdivision
( x  2)( x  2)
 ( x 2  4 x  4) : ( x  2) 
( x  2)
x6 
 Asymptote im unendlichen
16
x2
 ( x 2  2x)
 6x  4
 (6 x  12)
16
2.7.
Mehrdimensionale Extremwertberechnung
2.7.1.
Berechnung von Extremalstellen mehrdimensionaler Funktionen
Beispiel:
f ( x, y)  3xy  x3  y 3
Partiell Ableiten
(siehe S. 29)
f x  3 y  3x2
f y  3x  3 y 2
f xx  6 x
f xy  3
f yy  6 y
Erste Ableitungen
gleich 0 setzen
f yx  3
0  3 y  3x 2
/ :3
0  3x  3 y 2
/ :3
0  y  x2
0  x  y2
Es entsteht ein Gleichungssystem welches zu lösen ist durch
entsprechende Umformungen:
0  x  y2  x  y2
Einsetzen in erste Gleichung :
 
0  y  y2
2
 0  y  y4

 0  y 1  y3

Lösungen :
y1  0 x1  0
y2  1 x2  1
Ermittelte Punkte
untersuchen ob
Extremstelle
Notwendiges Kriterium:
D  f xx ( x0 , y0 )  f yy ( x0 , y0 )  [ f xy ( x0 , y0 )]2  0
(einsetzen x und y Wert in zweite Ableitungen)
Ist dieses erfüllt, dann bedeutet:
24
2 Mathematik
f xx ( x0 , y0 )  0  relatives Maximum
f xx ( x0 , y0 )  0  relatives Minimum
Im Falle D > 0 liegt ein Sattelpunkt vor, bei D = 0 ist keine
Entscheidung möglich.
Beispiel:
x1  0 , y1  0
D  0  0  9  9  kein Extrempunkt
x2  1 , y2  0
D  (6)  (6)  9  27
 Extrempunkt
f xx (1,1)  6  Hochpunkt
Extrempunkt:
f (1,1)  z  3 1 1  13  13  1
P1=(1,1,1)
25
2 Mathematik
2.8.
Extremwertberechnung mit Nebenbedingungen
2.8.1.
–
Direktes Auflösen der Nebenbedingung
Hinweis: direktes Auflösen ist nur bei einfachen Problemen möglich und beinhaltet in
der Regel eine Menge Rechenarbeit
Maximum der Funktion f ( x, y )  xy unter der
Beispiel:
Nebenbedingung x  y  1
Auflösen der NB nach x
x  1 y
Einsetzen in Funktion
f ( y )  (1  y ) y  y  y 2
Funktion ist nur noch von einer Variable abhängig.
f '( y )  1  2 y
f ''( y )  2
Ableiten der Funktion und
erste Ableitung gleich 0
setzen
0  1 2 y
2 y  1 / 2
1
y
2
Einsetzen von y in NB
1
1
 1 /
2
2
1
x
2
x
Die zweite Ableitung ist negativ für alle Y  Maximum.
2.8.2.
Lagrange-Multiplikatoren
Methode der Lagrange-Multiplikatoren ist eleganter las das direkte Einsetzen, es basiert
auf den Ansatz:
L ( x, y )  f ( x, y )    g ( x , y )
Man bildet die partiellen Ableitungen fx,fy,gx,gy und löst das folgende homogene
Gleichungssystem:
fx   gx  0
fy   g y  0
26
2 Mathematik
Beispiel:
Funktion : T ( x, y )  1  xy
Nebenbedingung : g ( x, y )  x2  y 2  1
Partiell ableiten
Tx  y
gx  2x
Ty  x
g y  2y
Txx  0
Txy  1
Tyy  0
Tyx  1
Lagrange-Gleichungen
0  y  2 x
0  x  2 y
Gleichungssystem
lösen
–
erste Gleichung nach  auflösen:
0  y  2 y /  y
 y  2 y
–
/ x
y
  2 /  2
x
y


2x
in zweite Gleichung einsetzen:
0 x
y2
x
y2
 x / x
x
yx
In Nebenbedingung
einsetzen
y2  x2
x2 
1
2
/
x 2  x2  1  0
2 x2  1 /  2
x
Nun Maxima
bestimmen

1
2

y
1
2
Punkte in T(x,y) einsetzen, Maximum ist T max=1,5 für die
Punkte:
 1
 1
1 
1 
,
,

 und 

2
2
2
2



Bsp.:
 1
1 
T ( x, y )  1   

  1, 5
2
2


T ( x, y )  1  


T ( x, y )  1  

1 
  1, 5
2
2
1
1 

  0,5
2
2
1

27
2 Mathematik
2.9.
Differentialrechnung
2.9.1.
Ableiten mit Differentialquotient
Bsp.: y  x 2
f ' ( x)  lim
x 0
 lim
 x 0
2.9.2.
y'  2 x
f ( x   x)  f ( x)
( x   x) 2  x 2
x 2  2xx  x 2  x 2
 lim
 lim
0
0

x


x

x
x
x
2xx  x 2
 2x
x
Grundableitungen
f’(x)
n-1
n*x
f(x)
n
x
1 x2
x
e
x
e
1
x
sin(x)
cos(x)
x2
cos(x)
-sin(x)
tan(x)
1

f’(x)
1
f(x)
-1
tan (x)
1
x
x
a
ln(x)
(ln a)*a
1
x
loga(x)
1
(ln a ) * x
2
cos x
-1
sin (x)
Ableitung Sinus-Kosinus:
sin(x)
cos(x
)
1
1 x 2
-1
cos (x)

1
-sin(x)
1 x 2
2.9.3.
-cos(x)
Ableitungsregeln
Produktregel:
 f ( x) * g ( x) ' 
f ( x) * g ' ( x)  f ' ( x) * g ( x)
Bsp : ( x * sin( x))'  x * cos( x )  sin( x)
Für das Produkt dreier Funktionen:
f x * g x * h( x)   f  x * g x * h( x)  f x * g  x * h( x)  f x * g x * h' ( x)
Quotientenregel:
'
 f ( x) 
g ( x ) * f ' ( x )  f ( x) * g ' ( x)

 
 g ( x) 
 g ( x) 2
'
 x 2  3 x  (5 x 2  2 x ) * (2 x  3)  ( x 2  3 x ) * (10 x  2)
 
Bsp : 
 5x 2  2x 
(5 x 2  2 x ) 2


28
2 Mathematik
Kettenregel:
äußere Ableitung mal innerer Ableitung
 f g x   f  g x * g  x 
Bsp : e sin(


e sin(
ln x )
ln x ) 
'
sin(
  e
ln x )
* cos( ln x ) *
1
2 ln x
*
1
x
* cos( ln x )
2 x ln x
Trick: Ableitung von e hoch roter Kasten, mal Ableitung von
roter Kasten, mal Ableitung von grüner Kasten …
2.9.4.
Logarithmische Ableitung
Bsp.:
f ( x)  x x
/* ln
ln( f ( x))  ln( x x )
 Differenzierung beider Seiten mit Ketten-/Produktregel
1
1
* f '( x)  x *  ln( x ) /* f ( x )
f ( x)
x
f '( x )  f ( x ) *(1  ln( x ))  x x *(1  ln( x ))
2.9.5.
Differentiation mit mehreren Variablen
Partielle Ableitung: Jeweils nach einer Variablen ableiten, die anderen als Konstante
ansehen.
Beispiel:
Höhere Ableitungen:
f ( x, y )  2 xy  5 x 2 y  7 xy
f x  2 y  10 xy  7 y
f y  2 x  5x 2  7 x
Gradient:

 Nabla Operator

 fx 
 f ( x, y )   
 fy 
Gradientenvektor liefert immer die größte Steigung:
P1 (1,1)
 2 y  10 xy  7 y  
x,y einsetzen

 f ( P1)
2
 2 x  5x  7 x 
höchste Steigung in P1
 2*1  10 *1  7 *1  19 

 
2
 2*1  5*1  7 *1  14 
Totales Differential: Komplette Ableitung der Funktion nach allen Variablen.
29
2 Mathematik
Steigung in Richtung bestimmen
Bsp.: P1(1,1) in Richtung P2(5,3)
1. Vektor von P1 nach P2 bestimmen
 5  1  4 
P2  P1  
 
 3  1  2 
2. Betrag des Vektors
1
1
1


r
16  4
20 4
3. Einheitsvektor in Richtung
1  4  1 
*   

4  2   0, 5 
  1   2  10  7   19 
f 

 
 0,5  1  2, 5  3,5   7 
(Steigung in Richtung P2)
2.10. Integralrechnung
2.10.1.
f(x)
n-1
n*x
n
x
cos(x)
sin(x)
x
e
1
x
1
Grundintegrale
F(x)
n
x +C
x n 1
C
n 1
sin(x) + C
-cos(x) + C
x
e +C
ln(x) + C
b
 f ( x) dx
a
 F (b)  F (a )
Hinweis:
nicht über Polstellen und
Definitionslücken
integrieren!
tan(x) + C
cos 2 x
30
2 Mathematik
2.10.2.
Integration durch Substitution
Beispiel 1:  x * cos( x 2 )dx
Einsetzen:
  x * cos( u )
1
du 1
cos( u )du  sin( u )  C

2 x 2 
2
Beispiel 2:  3 1  t dt
1. Substitution durchführen:
du
u  1 t
 dt
1
 anschließend Rücksubstitution
durchführen:
3
3
  (1  t ) 4 / 3  C   3 (1  t ) 4  C
4
4
Einsetzen:
   u 1 / 2 du  
2.10.3.
1. Substitution durchführen:
du
u  x2
 2 x /* dx / : 2 x
dx
du
 dx
2x
 anschließend Rücksubstitution
durchführen:
1
 sin( x 2 )  C
2
3 4/3
u
C
4
Produktintegration
 u( x) * v' ( x)dx  u( x) * v( x)   u' ( x) * v( x)dx
Bsp. 1:
 x *e
x
dx
u=x
u’=1
x
v’=e
x
v=e
Einsetzen:
 x * e x   1 * e x dx  x * e x  e x  C  e x ( x  1)  C
Bsp. 2:
 x * ln( x)dx
u  ln( x ) v '  x
1
1
u' 
v  x2
2
x
Einsetzen:

1
1 
1 1
1 x2
1
1 1
1
1 2
dx  x 2 * ln( x )  * x 2  x 2  ln( x )  
x * ln( x )   * x 2 dx  x 2 * ln( x )  
2
2 
2 2
2 x
2
2
2
x 2
31
2 Mathematik
2.10.4.
Uneigentliche Integrale
Bsp.:


1
 x3
dx
1
 1 
F ( x)  
2 
 2x 
1

1
 lim  
x   2 x 2
 
1
   
2
*
12
 


1
1
1 1
  lim  
   0  
2
x


2
2 2
x
2
*



Bsp.:
 
2
e
x
dx
2
x
F ( x)  e
x  



2.10.5.

 lim e 2  e x  e 2  0  e 2
Volumen von Rotationskörpern
b
V    * f ( x) 2 dx
a
2.10.6.
Bogenlänge
Länge des „Weges“ auf der
Funktion.
b
l   1  ( f ' ( x)) 2 dx
a
2.10.7.
Mittelwert
b
 f ( x)dx
a
ba
2.10.8.
Mantelfäche berechnen
b
Amantel  2   f ( x )  1  f '( x )2 dx
a
32
2 Mathematik
2.11. Grenzwerte
Begriffe: - konvergent, wenn Folge einen Grenzwert besitzt
- divergent, wenn Folge keinen Grenzwert besitzt
1
1
0


0
    unbestimmt
Beispiel:
21n  2
an 
3n  3
2.11.1.
1.)


  21  7
 3


Rechenregeln für Grenzwerte
lim ( f ( x )  g ( x))  lim f ( x)  lim g ( x)
x x0
2.)
 
2
2

 n  21   
 21 
n
 21n  2 
 
n


lim 
lim
  lim 
 n  
3
n 3n  3  n
 n  3  3  
 3

n

n  
 
x x0
x x0
lim (C * f ( x))  C *  lim f ( x) 
 x x0

x x 0
3.)
lim ( f ( x ) * g ( x ))  lim f ( x ) * lim g ( x )
x x0
4.)
x x0
2.11.2.
x x0
x x 0
lim ( n f ( x ) )  n lim f ( x)
x x0
Beispiele Grenzwerte
1 1

lim   2     2
x x

1

lim   2    2   
x 0 
x
lim  2 x  x   
x 0
x 
2.11.3.
sin( x)
1
x
sin( x)
0
x
sin( x)

x2
Regel von L´Hôpital
Grenzwert weist folgende Eigenschaft auf:
lim f  x 
x 0
dann gilt: lim
x x0
f ( x)
f ' ( x)
 lim
g ( x ) x x 0 g ' ( x )
0

oder lim f x  
x 0
0

Beispiel: lim
x 0
sin( x )
cos( x )
 lim
1
x 0
x
1
33
2 Mathematik
2.12. Reihen
2.12.1.
Potenzreihen
P( x)  a 0  a1 x  a 2 x 2  a 3 x 3  a n x n 
2.12.2.

 an x n
n0
Konvergenzradius von Potenzreihen
 a 
r  lim  n 
n   a n  1 
1 2 1 3 1 4 1 5
x  x  x  x 
2
3
4
5
 1
1
n * 1  
 n 1
1
 n

r  lim n 
 1  1 0
n  1
n
n
n
n 1
(bei  ist Konvergenzradius = R)
Bsp.: P( x)   x 
 Konvergenzradius = 1
Anschließend Überprüfung ob 1 und -1 im Konvergenzradius enthalten sind.
1 1 1 1
P(1)  1       Konvergiert
2 3 4 5
 1  r  1
1 1 1 1
P(1)  1       divergiert
2 3 4 5
34
2 Mathematik
2.12.3.
Potenzreihenentwicklung (Mac Laurinsche Reihe)
Zweck: Annäherung einer Funktion f(x) mit Polynomen in einem Punkt
f ( x) 


n0
f
(0) n
*x
n!
Beispiel: f(x)=sin(x)
f(0)
f (x)=sin(x)
0
f '(x)=cos(x)
1
f ''(x)=-sin(x)
0
f '''(x)=-cos(x)
-1
f (4)(x)=sin(x)
0
f (5)(x)=cos(x)
1
f (6)(x)=-sin(x)
0
f (7)(x)=-cos(x) -1
f (8)(x)=sin(x)
0
f (9)(x)=cos(x)
1
2.12.4.
 Näherung um x = 0
( n)
!
0!
1!
2!
3!
4!
5!
6!
7!
8!
9!
x
x^0
x^1
x^2
x^3
x^4
x^5
x^6
x^7
x^8
x^9

1 3 1 5 1 7 1 9
x  x  x  x 
3!
5!
7!
9!
Die Reihe ist unendlich lang,
allerdings ist die Reihe nach einigen
Termen bereits hinreichend genau.
f ( x)  x 
Taylorreihe
Wie MacLaurinsche Reihe, aber Entwicklung um einen beliebigen Punkt.
 Näherung um x = 0
 f (n ) ( x )
0
f ( x)  
* ( x  x0 ) n
n!
n 0
Beispiel: f ( x)  x
x0  0
f ( x)  x  x 1 / 2
1 1 / 2
x
2
1
f ' ' ( x)   x 3 / 2
4
3 5 / 2
f ' ' ' ( x)  x
8
15  7 / 2
f ' ' ' ' ( x)  
x
16
f ' ( x) 
f ( x)  1 
f(x)
1
1
2
!
0!
1!
x
1
x
1
4
2!
x
3!
x
4!
x

3
8

15
16
2
3
4
1
1
3
15
( x  1) 
( x  1) 2 
( x  1) 3 
( x  1) 4
2
4 * 2!
8 * 3!
16 * 4!
 Berechnung Konvergenzradius ganz normal möglich
 Konvergenzradius um Punkt x0
35
2 Mathematik
2.13. Differentialrechnung
2.13.1.
Trennung der Variablen
y '  f ( x) * g ( y)
1
 g ( y ) dy   f ( x)dx
Beispiel 1:
x
y'
sin( y )
sin( y ) * y '  x
/* sin( y )
y' 
dy
dx
dy
 x /* dx
dx
sin( y )dy  x dx / 
Vorgehensweise:

beide Variablen auf je eine Seite
bringen
dy
für y’ einsetzen

dx

integrieren
sin( y )
1 2
x C
2
1
 cos( y )  x 2  C
2
 cos( y)   1 x2  C / cos1
2

1  1 2
y  cos   x  C 
 2

sin( y )dy 
Beispiel 2:
y' y
Anfangswertproblem:
y (0)  1
dy
 y / : y /* dx
dx
1
dy  dx / 
y
1
 y dy   dx
ln( y )  x  K / e ^
1  C * e0  C *1
C 1
y  exk
y  C * ex
„allgemeine Lösung“
36
2 Mathematik
2.13.2.
Lineares DGL 1. Ordnung (Variation der Konstanten)
Allgemeine Form:
1. Schritt:
y ' f ( x) * y  g ( x ) (y’ u. y müssen linear sein)
Bsp.: x  3 x  t * et
Lösen des homogenen Gleichungssystems:
x  3 x  0
Lösungsformel: y  C * e
Trennung der Variablen:

 f ( x ) dx
x  e3t * K
2. Schritt
Variation der Konstanten
x  K (t ) * e3t
(für K wird K(x) gesetzt)
x (t )  K (t ) * e3t *3  K (t ) * e3t (ableiten mit Produktregel)
 einsetzen in Ursprungsformel:
K (t ) * e3t *3  K (t ) * e3t  3* K (t ) * e3t  t * et
 2 Terme müsse sich herauskürzen
K (t ) * e3t  t * et / : e3t
K (t )  t * e2t
K (t )   t * e
/
2t
1
(2t  1)e 2t  C
4
 einsetzen in homogene Lösung
K (t )  
x  e3t * K
 1

x (t )  e3t   (2t  1)e 2t  C 
 4

37
2 Mathematik
2.14. System linearer Differentialgleichungen
2.14.1.
Eulerscher Lösungsansatz
Beispiel: Lösung DGL 3. Ordnung
y ''' 5 y '' 17 y ' 13 y  0
Charakterisches
Polynom bilden
(Ableitung wird zu
Potenz) und
Nullstellen des
Polynoms finden
 3  5 2  17  13  0
Nullstellen:
1  1 ,  2  2  3i
Lösungsschema für Fundamentalsystem:
1-fache reelle Nullstelle:
  e t
m-fache reelle Nullstelle
(Nullstelle mehrfach
vorhanden):
1-fache komplexe Nullstelle:
  e t , t  e t , t 2  e t ,...
m-fache komplexe Nullstelle
(Nullstelle mehrfach
vorhanden):
  e t  cos( t ), e t  sin( t )
e t  cos( t )
e (  i )t  
t
e  sin( t )
Fundamentalsystem:
et , e 2t  cos(3t ) , e 2t  cos(3t )
Allgemeine Lösung:
e t  t  cos( t ), e t  t  sin( t )
....
Fundamentalsystem
aus Nullstellen bilden
y  c1  et  c2  e 2t  cos(3t )  c3  e 2t  cos(3t )
38
2 Mathematik
2.14.2.
Überführung DGL n-ter Ordnung in n Differentialgleichungen 1. Ordnung
Durch Substitution lässt sich das obige DGL in ein Differentialgleichungssystem 1.
Ordnung überführen.
y '' 5 y ' 6 y  0
Substitution und
einsetzen in ursprüngliche
Gleichung
Gleichung u.
Matrixschreibweise
allgemein
y  z1 , y '  z1 '  z 2 , y ''  z 2 '  z3 , y '''  z3 '
 z2 ' 5 z 2  6 z1  0
z n ' a1 zn  a2 zn 1  ...  an 1 z2  an z1  0
 z1 ' 

  0
 z2 '   0
 ...   

  ...
 zn 1 '  

   an
 zn ' 
1
0
0
1
...
...
an 1  an  2
 z1 
... 0  

  z2 
... 0  
 ... 

... 1  
  zn 1 
... a1  

 zn 
Gleichungssystem für
Beispiel
 z1 '   0 1   z1 
 
 
 z2 '   6 5   z2 
Eigenwerte der
Koeffizientenmatrix
bestimmen
Eigenvektoren der Matrix
bestimmen
1  2
2  3
Aufstellen des
Fundamentalsystems
1 
1 
e 2t    , e3t   
2
 3
Allgemeine Lösung DGL
 z1   y 
2t 1 
3t  1 
      C1  e     C2  e   
'
2
z
y
 
 3
 2  
Ergebnis von y wie beim Eulerschen Lösungsansatz, jedoch
liefert diese Methode auch die Lösung von y’. Durch ableiten
von y lässt sich eine Rechenprobe durchführen
1 
1 
v1    , v2   
2
 
 3
39
2 Mathematik
2.14.3.
Allgemeine Systeme linearer DGLn (ohne Störterm)
1. Fall, es existieren n verschiedene reelle Eigenwerte
Beispiel:
x '  13 x  30 y
y '  9 x  20 y
Vektordifferentialgleichung
aufstellen
 x '   13 30   x 
 
  
 y '   9 20   y 
Eigenwerte und
Eigenvektoren bestimmen
  5   2
Aufstellen des
Fundamentalsystems
5
2
e5t    , e 2t   
3
1 
Allgemeine Lösung des
DGL-Systems
x
5t  5 
2t  2 
   C1  e     C2  e   
y
3
 
 
1 
 5
2
v1    v2   
 3
1 
40
2 Mathematik
2. Fall, es existieren weniger als n verschiedene reelle Eigenwerte 
Beispiel:
x '  2x  4 y
y '  x  2y
Vektordifferentialgleichung
aufstellen
 x'  2 4   x 
 
 
 y '   1 2   y 
Eigenwert und Eigenvektoren
bestimmen
 2 
v1   
1 
–
doppelter Eigenwert  Hauptvektor bilden
4   u1   2 
2 

    

1
2

   u2   1 

Hauptvektor bilden
–
lineares Gleichungssystem
aufstellen mit Matrix abzgl.
Eigenwert
–
Ergebnisvektor =
Eigenvektor
  0
 2 4   u1   2 

    
 1 2   u2  1 
Lin. Gleichungssystem ist linear abhängig 
Parameter frei wählbar.
u2   
2u1  4u2  2
u1  4  2
/ 4
2u1  6
/:2
u1  3
 3 
 Hauptvektor u   
1 
Aufstellen Fundamentalsystem
 2 
 3  2t 
e 0t    , e 0t 

1
 
1  t 
Der zweite Termin berechnet sich wie folgt:
e  u  t  v 
Allgemeine Lösung des DGLSystems
x
0t  2 
0t  3  2t 
   C1  e     C2  e  

y
1
 
 
1  t 
x
 2 
 3  2t 
   C1     C2  

 y
1 
1  t 
 e0t  1
Allgemeine Lösung in der Regel nicht eindeutig, da
Eigenvektoren und Hauptvektoren nicht eindeutig
sind. Eindeutige Lösung erst nach Einsetzen von
Anfangswerten, bzw. Lösung des
Anfangswertproblems (AWP).
41
2 Mathematik
2.15. Numerik
2.15.1.
Nullstellenberechnung durch Bisektion
In Intervall [a,b] ist eine
Nullstelle  y(a) < 0 und
y(b) > 0
Mitte bestimmen
(a+b) / 2 = c
Funktionswert von y(c)
ermitteln. Ist y(c) < 0 neue
Grenze [c,b], ist y(c) > 0
neue Grenze
Funktionswert bei c ist kleiner 0  neue Grenze für
Bisektion ist von c bis b
Berechnung Interval [a,b]
dies wird solange wiederholt
bis die gewünschte
Genauigkeit erreicht ist 
y(c) < Genauigkeit
Funktionswert bei c > 0  neue Grenze für Bisektion ist
von a bis c
Beispiel:
gesucht ist eine
Nullstelle im Intervall
[0,2] mit Genauigkeit
0,1
y  3x3  4 x2  2x  3
f (0)  3
f (2)  9
Schritt
1
2
3
4
a
0
1
1
1,25
b
2
2
1,5
1,5
c
1
1,5
1,25
1,375
y
-2
1,125
-0,89
-0,013
 Grenze [c,b]
 Grenze [a,c]
 Grenze [c,b]
 Genauigkeit
erreicht y < 0,1
 Nullstelle bei ca. 1,375
42
2 Mathematik
2.15.2.
Nullstellenberechnung mit dem Newton-Verfahren
Nullstelle wird über Steigungstangente von einem Startpunkt (x0) aus immer weiter
angenähert. Schnittpunkt der Tangente mit X-Achse wird neuer Punkt (x1), von diesem
wird erneut Steigungstangente erstellt. Dies wird solange durchgeführt bis gewünschte
Näherung erreicht ist.
Iterationsvorschrift:
xk 1  xK 
f ( x)
f '( x)
Für die Konvergenz sind folgende
Bedingungen notwendig für alle
Punkte xk und die Lösung:
f '( x )  0
f ( x)  f ''( x )
 f '( x ) 
Beispiel:
2
1
Schnittpunkt der Funktionen:
f ( x)  x 2  2
g ( x)  e x
Gleichsetzen der beiden
Gleichungen und umformen,
Nullstelle der neuen Funktion =
x-Wert des Schnittpunktes.
Anschließend wird noch die
Ableitung der neuen Funktion
aufgestellt.
h ( x)  x 2  2  e x
h '( x )  2 x  e x
Startwert x0=1.5
Überprüfen ob Punkt geeignet ist:
h '(1, 5)  2  1, 5  e1.5  1, 48
h (1, 5)  h ''(1,5)
 h '(1, 5)
Iteratives Annähern
2

(0, 23)  ( 2, 48)
 1, 48
2
 0, 26  erfüllt
x1  x0 
f ( x0 )
, 23
 1,5 
 1,3436
f '( x0 )
1, 48
x2  x1 
f ( x1 )
 1,3195
f '( x1 )
x3  1,3190
43
2 Mathematik
2.15.3.
Regula Falsi
Interationsvorschrift:
bk 1  ak 1
 f (ak 1 )
x*  ak 1 
f (bk 1 )  f (bk 1 )
1. Schritt:
a und b Startpunkte mit unterschiedlichen
Vorzeichen, x* ist der Schnittpunkt der
Sekante mit der x-Achse.
Zum x* Wert wird der dazugehörte y* Wert
berechnet.
Haben a und x* das gleiche Vorzeichen wird
x* zum neue a.
Haben b und x* das gleiche Vorzeichen wird
x* zum neuen b.
2. Schritt:
Verfahren wird wiederholt bis gewünschte
Genauigkeit erreicht ist.
Beispiel:
Bereich festlegen
1. Schritt:
2
 f ( x)  x 2  2
a = 0 ; b= 2
a  0 f (a )  2
b2
2. Schritt:
 Wiederholung bis
gewünschte
Genauigkeit erreicht
ist
f (b)  2
20
2
x*  0 
 (2)    ( 2)  1
2  (2)
4
f ( x*)  1
 f(x*) hat gleiches Vorzeichen wie f(a), daher wird x* zum
neuen a
a  1 f (a )  1
b  2 f (b)  2
x*  1 
2 1
1
1 3
 (1)  1   ( 1)  1  
2  (1)
3
3 4
f ( x*)  0, 22
 f(x*) hat gleiches Vorzeichen wie f(a), daher wird x* zum
neuen a
44
2 Mathematik
2.15.4.
Numerische Differentiation
Verfahren ersten Grades
1)
y  yk 1
dy
y
(k )  r  k
dx
xk  xk 1
xr
y
y y
dy
2)
(k )  v  k 1 k
dx
xv xk 1  xk
Rückwärtsdreieck
Beispiel f(x)=x2 ; Steigung bei x=2
Vorwärtssteigung:
Vorwärtsdreieck
dy
y
22  1, 92
(k )  r 
 3,9
dx
xr
2  1, 9
Rückwärtssteigung:
dy
y
2,12  22
(k )  v 
 4,1
dx
xv
2,1  2
Verfahren zweiten Grades
Es wird der Mittelwert zwischen der
Vorwärtssteigung und der Rückwärtssteigung
gebildet
dy
1  y
y 
1)
(k )    r  v 
dx
2  xr xv 
Bei gleichem Abstand der vorwärts und
Rückwärtswerte nimmt die Formel eine
einfache Form an:
1
dy
(k ) 
  yk 1  yk 1 
2  x
dx
Beispiel:
dy
1
(k )   3, 9  4,1   4
dx
2
Beispiel:


dy
1
0,8
(k ) 
 2,12  1,9 2 
4
2  0,1
0, 2
dx
45
2 Mathematik
2.15.5.
Numerische Integration
Trapez-Formel
Intervall wird in n Teilbereiche
aufgeteilt, die Stützstellen
werden jeweils verbunden, es
bilden sich Trapeze.
Die Flächen der Trapeze
entsprechend je nach
Auflösung näherungsweise der
Fläche unter der Funktion.
Trapezformel
b
1

 f ( x)dx   2  ( y0  yn )  ( y1  y2    yn1   h
a
1

    1  2   h
2


yk: Stürzwerte der Funktion y=f(x), xk  a  k  h
h: Streifenbreite, bzw. Schrittweite h 
ba
n
n: Anzahl der Schritte
1 : Summe der beiden äußeren Stützwerte
2
Beispiel
2
: Summe der inneren Stützwerte
1
 x dx ; n=4
1
2 1 1
  0, 25
4
4
x0  1
h
x1  1  1  h  1  1  0, 25  1, 25
x2  1  2  0, 25  1,5
x3  1, 75
xn  2
2
1
 1 1
1
1
1
1 
 x dx   2   1  2   1, 25  1,5  1, 75   0, 25
1
 0, 69702
46
2 Mathematik
Simpson Formel
–
Aufteilung der Flächen in gerade Anzahl von Gebieten, ähnlich Trapezformel
–
jedoch Annäherung durch Parabeln
Simpsonsche Formel
b
 f ( x)dx 
a
  ( y0  y2n  4( y1  y3    y2 n 1 )  2( y2  y4    y2n  2 ) 

 1
 4  2  2  3
  h3
h
3
ba
2n
yk: Stürzwerte der Funktion y=f(x), xk  a  k  h
h
h: Streifenbreite, bzw. Schrittweite h 
ba
2n
n: Anzahl der Schritte
1 : Summe der beiden äußeren Stützwerte
2
3
Beispiel
2
: Summe der inneren Stützwerte mit ungeradem Index
: Summe der inneren Stützwerte mit geradem Index
1
 x dx ; 2n=4
1
2 1 1
  0, 25
2n
4
x0  1
h
x1  1  1  h  1  1  0, 25  1, 25
x2  1  2  0, 25  1,5
x3  1, 75
xn  2
2
1

1
 1
1 
 1   0, 25
 3
 x dx   1  2   4  1, 25  1, 75   2  1, 5   

1
 0,693253
47
2 Mathematik
2.15.6.
Numerische Integrationsverfahren für Differentialgleichungen
Streckenzugverfahren von Euler
Aufgabe: Lösung des Anfangswertproblems von y '  f ( x, y ) ;
Intervall a bis b.
Aufteilung Intervall in gleiche Teile
der Länge h:
ba
h
n
Anfangswert : y (0)  y0 im
x0  a ; x1  a  1  h ; x2  a  2  h  xn  b
 xk  a  k  h
y0  y0 ; y1  y0  h  f ( x0 ; y0 ) ; y2  y1  h  f ( x1; y1 ) 
 yk  yk 1  h  f ( xk 1; yk 1 )
Rechenschema:
k
x
y
h  f ( x; y )
0
x0
y0 ( Anfangswert )
h  f ( x0 ; y0 )
1
x1  x0  1  h
y1  y0  h  f ( x0 ; y0 )
h  f ( x1; y1 )
2
x2  x1  2  h
y2  y1  h  f ( x1; y1 )
h  f ( x2 ; y2 )
3
x3  x2  3  h
.
.
.
.
Beispiel 1: y '  y  e x
y3  y2  h  f ( x2 ; y2 )
.
.
;
h  f ( x3 ; y3 )
.
.
y0  1 ; h  0, 05
y
h  f ( x; y )
k
x
0
x0  0
y0  1
h  ( y  e x )  0, 05  (1  e0 )  0,1
1
x1  0  1  0, 05  0, 05
y1  1  0,1  1,1
0,05  (1,1  e0,05 )  0,1076
2
x2  0  2  0, 05  0,1
y2  1,1  0,1076  1, 2076
0, 05  (1, 2076  e0,1 )  0,1156
3
x3  0,15
y3  1,3232
0,1243
.
.
.
.
.
.
.
.
48
2 Mathematik
Beispiel 2: y '  2 x ;
k
x
0
x0  0
1
x1  0  1 
2
x2  2 
3
x3 
y (0)  0 ; y(x) numerisch bestimmen in 4 Schritten; h 
y0  0
h  (2 x ) 
y1  0  0  0
x x

4 2
y2  0 
3x
4
x3  x
3
h  f ( x; y )
y
x x

4 4
xa x

4
4
x
 (2  0)  0
4
x
x
2 x2 x 2
 (2  ) 

4
4
16
8
x  x  2 x2 x 2
2  

4  2
8
4
x2
8
x  3x  6x 2 3x2
2  

4  4  16
8
y3 
x 2 x 2 3x 2


8
4
8
y3 
3x2 3x2 6 x2 3x2



8
8
8
4
Verbessertes Eulerverfahren (Mittelpunktsregel)
–
es wird ein Zwischen Integrationsschritt eingefügt
Aufteilung Intervall in gleiche Teile
der Länge h:
ba
h
n
Beispiel 1: y '  y  e x
k
x
y
0
0
1
1
0,05
1,10377
2
3
0,1
0,15
1,12155
1,3358
;
yk  1  yk 1 
2
h
 yk 1; xk 1
2
h
yk  yk 1  h  f ( xk  1 ; yk 1  )
2
2
y0  1 ; h  0, 05
y1 2  yk 
h
 f ( yk ; xk )
2
h
h  f ( yk1 2 ; xk  )
2


 1,10377  0, 025  1,10377  e

y1 2  1  0, 025  1  e 0  1, 05
y1 2
 1,1576
1,127356
0,05


0,05   1,1576  e   0,11177
0, 05  1, 05  e(0  0,25)  0,10377
0,75
0,12355
49
2 Mathematik
Runge-Kutta-Verfahren 4. Ordnung
Rechenschema:
k
x
0
x0
y
y0
f(x;y)
f ( x 0 ; y0 )
x0 
h
2
y0 
k1
2
h
k 

f  x0  ; y0  1 
2
2

k2
x0 
h
2
y0 
k2
2
h
k 

f  x0  ; y0  2 
2
2 

k3
f  x0  h; y0  k3 
k4
x0  h
y0  k3
K
x1  x0  h
1
k=hf(x;y)
k1
Beispiel 1: y '  y  e x
y1  y0  K
;
x
y
0
0
1
0, 05
 0, 025
2
0, 025
0, 05
…
y0  1 ; h  0, 05
k
0
1
 (k1  2k 2  2 k3  k 4 )
6
0,1
 1, 05
2
0,1037
1
 1, 05188
2
1  0,1038  1,104
1
f ( x; y )  y  e x
0, 05  ( y  e x )
1  e0  2
0, 05  2  0,1
2, 075
0,1037
k2 
2, 077
0,1038
k3 
2,155
0,1077
k4
k1 
1
K   (k1  2k2  2k3  k4 )  0,10383
6
1
x1  0  0, 05  0, 05
y1  1  K  1,104
…
50