Übungen zur Einführung in die Physik I

Übungen zur Einführung in die Physik I
WS 2006/07
Lösungen zu den "Zusatzaufgaben zum Wiederholen und Knobeln"
----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------1. Aufgabe : Stille Nacht
Lockerer Schnee absorbiert Schall – diffuse Oberfläche und „poröses Inneres“ führen zur
Schalldämpfung.
2. Aufgabe: Weihnachtsglöckchen
Für ein Glöckchen gilt:
!
I $
L1 = # 10 log 1 & db = 50 dB
I %
"
0
Für beide zusammen gilt:
"
"
2 ! I1 %
I %
L1+ 2 = $ 10 ! log
dB = 10 ! $ log2+log 1 ' dB
'
I0 &
I0 &
#
#
"
I %
L1+ 2 = $ 10 ! log2+10 ! log 1 ' dB= ( 3+50 ) db=53dB
I0 &
#
3. Aufgabe: Dichte des Glühweins
Auf dem Mond funktioniert das Aräometer, da Gewichtskraft des Aräometers und der verdrängten
Flüssigkeit proportional zum Ortsfaktor sind. Die Schwimmbedingung bleibt erfüllt.
In der (echten) Schwerelosigkeit funktioniert es nicht.
4. Aufgabe: Stein über Bord
Der Wasserspiegel sinkt, da der untergegangene Stein nur sein Volumen, der im Boot „mit
schwimmende“ aber das Volumen von Wasser seines Gewichts verdrängt.
5. Aufgabe: Gurtmuffel
Wir betrachten hier nur den "Überzeugungstäter".
Für den "Vergesslichen" gibt es keine physikalische sondern nur eine fiskalische Argumentation,
die für Abhilfe der Vergesslichkeit sorgen könnte.
Unter der vereinfachenden Annahme konstanter Beschleunigung beim Aufprall (Abbremsen) gilt
v2
für den Betrag der mittleren Beschleunigung: a = 2s . Dabei ist v der Betrag der Geschwindigkeit
vor dem Aufprall und s der Bremsweg (Knautschzone).
Nachdem sich das Auto um s = 0,20 m verkürzt hat, kommt es also zum Stehen. Die Änderung des
Geschwindigkeitsbetrags, auf den es hier ankommt, beträgt 30 km/h oder 8,33 m/s. Es ergibt sich
damit ein Beschleunigungsbetrag von 173,5 m/s2, etwa das 17fache der Erdbeschleunigung.
Könnte der Fahrer die entsprechende Kraft mit den Armen aufbringen, überträfe er alle bestehenden
Gewichtheberrekorde um ein Vielfaches.
Seine Chancen, den Aufprall unbeschadet zu Überstehen sind also praktisch gleich Null.
6. Aufgabe - Experiment: Reagenzglasflöte
Im Röhrchen der Länge l baut sich eine stehende Welle auf mit Knoten am Boden und Bauch an der
!
c
c
Öffnung. Für die Grundwelle gilt : l = 4 oder mit der Schallgeschwindigkeit c: f = =
.
! 4 "l
7. Aufgabe - Experiment: Zauberstock
Je nach Abstand der Handkanten (Zeigefinger) vom Schwerpunkt des Stabes (Besens) sind die
Auflagekräfte verschieden und damit auch die Reibungskräfte. Deshalb gleitet der Stab
abwechselnd über den einen dann wieder den anderen Auflagepunkt. Die Auflagepunkte nähern
sich an und wandern beide Richtung Schwerpunkt.
Wiederholt man den Versuch, wobei eine Auflagestelle z.B. angefeuchtet oder mit Tesa überklebt
ist, so unterscheiden sich die Reibungskoeffizienten an den beiden Auflagestellen wesentlich und
die Verschiebungen laufen "deutlich verschieden" ab. Trotzdem laufen beide Auflagepunkte wieder
auf den Schwerpunkt zu.
(Lit. zum Thema Reibung: http://www.nano-world.org/frictionmodule/content/)
8. Aufgabe: Das ist eine Wucht
Auswuchten ist unbedingt nötig, allerdings hilft nur das dynamische Auswuchten wirklich.
Bei statischer Unwucht liegt der Schwerpunkt des Rades außerhalb der Drehachse, das Rad befindet
sich gegenüber der Drehachse nicht im indifferenten Gleichgewicht.
Dynamische Unwucht kann auch dann noch auftreten, wenn statisch alles in Ordnung ist, etwa,
wenn Materialungleichheiten zwischen Vorder- und Rückseite des Reifens bestehen, die sich im
Mittel ausgleichen. Dies führt dann dazu, dass das Rad auf der Achse beim Fahren Ansätze zu
Kreiselbewegungen um seine Hauptträgheitsachse zeigt. Physikalisch gesprochen bedeutet
dynamische Unwicht also: Die Drehachse des Rades stimmt nicht mit einer Hauptträgheitsachse
überein.
Beim statischen Wuchten reicht also immer ein richtig angebrachtes Gewicht, beim dynamischen
Wuchten sind evtl. zwei nötig.
9. Aufgabe: Dopplereffekt
Dopplereffekt als Wellenphänomen bedeutet allgemein, dass bei bewegtem Sender und/oder
bewegtem Empfänger eine Frequenzverschiebung vom Empfänger registriert wird.
Beim akustischen Dopplereffekt besteht ein grundsätzlicher Unterschied, je nachdem, ob sich der
Sender oder der Empfänger bewegt.
Bewegt sich der Sender auf den Empfänger zu, so kann die ausgesandte Wellenlänge beliebig klein
werden und sogar gegen Null gehen (Sender bewegt sich mit Schallgeschwindigkeit). Die vom
Empfänger registrierte Frequenz wird (rein theoretisch) beliebig groß bis hin zum Überschallknall.
Bewegt sich dagegen der Empfänger auf den Sender zu, so steigt die registrierte Frequenz zwar
auch aber nur bis zum doppelten Wert, wenn er sich mit Schallgeschwindigkeit bewegt.
Quantitativ gilt für die empfangene Frequenz bei bewegtem Sender f E = fS !
v
"
bewegtem Empfänger f E = fS ! 1 ± E $ .
#
c%
1
v
1! S
c
und bei
Sind die Geschwindigkeiten v von Sender bzw. Empfänger klein gegenüber der Schallv
v
1
v%
#
geschwindigkeit c, also cS und cE klein gegen 1, so gilt die Näherung f E = fS !
v " fS ! $ 1 ± c &
1!
c
1
(siehe Taylorentwicklung 1 ! x ! 1± x für x << 1 )
Lit.: Tipler, Physik, Aufg. 24 zu 14.9 (in der ganz neuen Auflage leider nicht mehr enthalten,
deshalb hier der Text:
„24. In dieser Aufgabe wird eine Analogie zum Doppler-Effekt betrachtet. Ein Förderband bewege
sich mit der Geschwindigkeit v = 300 m/min. Ein überaus fleißiger Bäcker lege 20 Kekse pro
Minute auf das Band. Die Kekse werden am anderen Ende des Bandes von einem Krümelmonster
verspeist.
a) Welchen Abstand A haben die Kekse voneinander, und mit welcher Frequenz f kann sie das
Monster verspeisen, wenn Bäcker und Krümelmonster an ihrem Ort bleiben?
b) Der Bäcker bewege sich mit der Geschwindigkeit 30 m/min auf das unbewegliche Monster zu,
wobei er seine Produktionsgeschwindigkeit von 20 Keksen pro Minute beibehält. Bestimmen Sie
nun den Abstand zwischen den Keksen und die Frequenz, mit der sie verspeist werden können.
c) Wiederholen Sie Ihre Berechnungen für den unbeweglichen Bäcker und das sich mit 30 m/min
auf ihn zu bewegende Monster.“)
10. Aufgabe: Fouriertransformation
Beim Sinusdauerton enthält das Frequenzspektrum genau die Frequenz des Sinustons, sonst keine
weiteren Anteile.
Das Frequenzspektrum eines kurzen "Pulses" enthält sehr viele unterschiedliche Frequenzen mit
verschiedenen Intensitäten. Das Spektrum wird umso breiter je kürzer der Impuls ist.
11. Aufgabe: Noch schneller kippender Stab
Gegeben seien der Stab (Masse m, Länge h) und die am Stab befestigte, punktförmige Zusatzmasse
(Masse m, Position l gemessen vom Auflagepunkt aus). Das System hat dann bezüglich des
1
2
2
Auflagepunktes (Drehpunktes) das Trägheitsmoment J = 3 mh + ml .
h + 2l
Über den Energieansatz erhält man die Winkelgeschwindigkeit beim Aufschlag ! 2 = 3g " 2
.
h + 3l 2
3g
2
Ohne wirksame Zusatzmasse (l = 0) gilt ! = h (vgl. Aufgabe vom Übungsblatt). Dies gilt aber
2
auch für l = 3 h , wie man durch Gleichsetzen nachweisen kann.
# 7 1&
Die Auftreffgeschwindigkeit erreicht ein Maximum für l = h ! % 12 " 2 ( ) 0, 264h .
$
'
Verallgemeinerung:
Gegeben seien der Stab (Masse m, Länge h) und die am Stab befestigte, punktförmige Zusatzmasse
(Masse m´, Position l gemessen vom Auflagepunkt aus). Das System hat dann bezüglich des
1
2
2
Auflagepunktes (Drehpunktes) das Trägheitsmoment J = 3 mh + m!l .
h + 2kl
Über den Energieansatz erhält man die Winkelgeschwindigkeit beim Aufschlag ! 2 = 3g " 2
2
h + 3kl
m!
mit k = m . Für die graphische Darstellung wurde g = 10 und h = 1 gewählt.
3g
2
Ohne wirksame Zusatzmasse (l = 0 oder k = 0) gilt wieder ! = h . Dies gilt aber auch für
2
l = 3 h und damit unabhängig von k, wie man durch Gleichsetzen nachweisen kann (siehe
Graphen!).
h
Die Auftreffgeschwindigkeit erreicht ein Maximum für l = 6k 9 + 12k ! 3 .
(
)
!2
100
k = 20
90
80
k = 10
70
60
k=5
50
k=2
k=1
k = 0,5
40
k=0
30
20
l
10
0.0
0.2
0.4
0.6
0.8
1.0
12. Aufgabe: Kräfte und Energien beim vertikalen Federpendel im Schwerefeld
Kräfte und potentielle Energien beim vertikalen Federpendel
Dehnung s
Parameter des Systems: Masse m, Federkonstante D
Links:
Ungedehnte Feder
Rechts:
Feder-Massensystem
in Ruhelage
y
0 +
s0
0 Auslenkung y
-
s
Kraft F
FFeder
Fgesamt
(= -Dy)
!Espann
!Eges
0
Dehnung s
!Epot
FG
Ruhelage s0
0
+
1
1
2
"
2
1
1
2
Espa nn = 2 Ds = 2 D(s 0 " y) = 2 Ds 0 " Ds 0 y + 2 Dy
Ep ot = mg y + c1
Auslenkung y
2
(1)
(2)
Für die Ruhelage gilt (Kräftegleichgewicht) : mg = Ds 0
1
2
1
2
1
2
1
2
(3)
E spann + Ep ot = 2 Ds 0 " Ds 0 y + 2 Dy + mg y + c 1 =
= 2 Ds 0 " Ds 0 y + 2 Dy + Ds 0 y + c 1 =
1
2
= c 2 + 2 Dy + c1
(c = "c )
1
2 1
2
=
Dy
2
(3)
13. Aufgabe: Molekülschwingungen - Erweiterung
Unabhängig vom Massenverhältnis (m1 : m2) der beiden Atome des Moleküls gelten die
Überlegungen der Aufg. 3, Übungsblatt 8 für das Kraftgesetz: Der Gleichgewichtsabstand (F = 0)
b
beträgt r0 = a und die effektive Federkonstante bei kleinen Auslenkungen um den
Gleichgewichtsabstand berechnet sich als Betrag der Ableitung der F(r) - Funktion im
a4
Gleichgewichtsabstand r0 zu Deff = 3 .
b
Zur Bestimmung der Periodendauer (bzw. Schwingungsfrequenz) des Moleküls mit
ungleichen Massen bei kleinen Auslenkungen um die Gleichgewichtslage gibt es
unterschiedliche Lösungswege:
a) Aufstellung der Bewegungsgleichungen für die beiden Massen (unbedingt Skizzen zu
Auslenkungen und Kräften machen und die Aufstellung der Gleichungen selbst nachvollziehen!!) :
m1 x˙˙1 = ! Deff ( x1 ! x 2 )
m2 x˙˙2 = !Deff ( x 2 ! x1 )
D
! x˙˙1 $ ! ' meff1
oder in Matrixschreibweise # & = ## Deff
" ˙x˙2 % " m
2
Deff
m1
Deff
'
m2
$ !x$
& (# 1 &
& " x2 %
%
Zur Lösung kann man dann ganz formal mathematisch vorgehen und die Frequenz berechnen.
Mit dem Ansatz x1 = A1 ! e i"t ; x 2 = A2 ! e i"t erhält man das Gleichungssystem
D
Deff
' $x '
$ x1 ' $ ! meff1
m1
1
)
!" # & ) = && Deff
) bzw.
Deff ) # &
!
x
% x 2( % m
%
(
2
m
2
2 (
die Determinante der Matrix Null wird.
2
# ! 2 " Dmeff
det%% Deff 1
$ m2
!
Deff
m1
2 " Deff
m2
# ! 2 " Dmeff
% D 1
% eff
$ m2
!
Deff
m1
2 " Deff
m2
& #A &
( ) % 1 ( = 0 , das eine Lösung hat, wenn
( $ A2 '
'
2
&
Deff )
(
D
D
#
&
#
&
2
2
eff
eff
( = %! "
( %
(
( $
m1 ' ) $ ! " m2 ' " m1 m2
'
D '
$
D ''
$D
4
2 $D
Also ! " ! # & eff + eff ) = 0 bzw. ! 2 " & ! 2 # & meff + meff ) ) = 0 mit der nichttrivialen Lösung
m
m
% 1
% 1
%
2 ((
2 (
D " (m1 + m2 ) Deff
D %
"D
! 2 = $ meff + meff ' bzw. ! 2 = eff m m
= µ mit der reduzierten Masse µ.
# 1
2 &
1 2
b) Lösung durch Überlegung und Zerlegung des Vorgangs in zwei "einfache" Federpendel mit
fester Aufhängung. Da der Gesamtimpuls im Schwerpunktsystem Null sein muss, folgt zwingend,
dass die beiden Massen gegenphasig schwingen müssen. Die Lage des ruhenden Schwerpunkts
hängt vom Massenverhältnis ab. Die beiden Massen schwingen also scheinbar an Teilfedern, die im
Schwerpunkt befestigt sind.
Annahme, die beiden Massen seien m1 = M und m2 = m mit M > m.
Dann schwingt M an einer Teilfeder, deren Länge den Bruchteil m / (M + m) der Gesamtfeder
ausmacht. Entsprechend hat diese Teilfeder die Federkonstante DM = Deff . (M + m) / m. Somit
D
D " ( M + m) Deff
erhält man für die Kreisfrequenz dieses einfachen Federpendels ! 2 = M = eff
= µ
M
M"m
wie oben.
Analog schwingt m an einer Teilfeder, deren Länge den Bruchteil M / (M + m) der Gesamtfeder
ausmacht. Entsprechend hat diese Teilfeder die Federkonstante Dm = Deff . (M + m) / M. Somit
D
D " (M + m) Deff
erhält man für die Kreisfrequenz dieses Federpendels ebenfalls ! 2 = m = eff
= µ .
m
m"M
c) Aufstellung der Bewegungsgleichungen wie in a). Dann überlegt man sich (aktio - reaktio, bzw.
Impulserhaltung, bzw. Lage des Schwerpunkts) dass folgende Beziehungen gelten müssen:
m1 x˙˙1 = ! m2 x˙˙2
m1 x˙1 = ! m2 x˙2 .
m1 x1 = ! m2 x2
Mit der letzten Beziehung kann man die Bewegungsgleichungen entkoppeln und dann einfach
lösen.
14. Aufgabe: Molekülschwingungen – große Auslenkungen
Für große Auslenkungen muss man vom gegebenen Kraftgesetz ausgehen (keine Näherung!!):
F(r) = - a / r2 + b / r3.
Der Einfachheit halber setzen wir a = b = 1.
Weitere Annahme, die beiden Massen seien m1 = M und m2 = m mit M > m.
Außerdem ist es zweckmäßig, auf ein Einkörperproblem zu reduzieren (siehe Anhang).
F (r ) M + m # 1 1 &
=
!%" 2 + 3 (
Mit der reduzierten Masse µ = m ! M lautet die Bewegungsgleichung: !!r =
$
'
M +m
µ
m!M
r
r
15. Aufgabe: Kippender Stab – numerische Lösung
a) Über Energien oder Drehmomente erhält man mit dem Trägheitsmoment des Stabs
3g
J Ende = 13 mh 2 die Bewegungsgleichung: !!! = " cos (! )
2h
b) Num. Lösung
c) Vergleich mit der Fallzeit beim freien Fall liefert einen Winkel von 1 (im Bogenmaß !)
16. Aufgabe: Fallende Kette am Luftkissengleiter
a) Über den Kraftansatz (Newton 2) erhält man die Bewegungsgleichung.
Die resultierende Kraft ist jeweils die Gewichtskraft der noch in der Luft befindlichen Kette,
die beschleunigte Masse ist die Masse dieser Restkette und die Masse des Wagens.
L"x
Fres = mg !
L
L"x
mbeschleunigt = M + m !
L
mg ! L L" x
mg ! ( L " x )
Fres
a=
=
L"x =
mbeschleunigt M + m ! L
ML + m ! ( L " x )
Vorsicht: Normaler Energieansatz funktioniert hier nicht!! Warum.
b) Die Lösung wurde in diesem Beispiel zur Abwechslung mal mit Excel programmiert. Dabei
steht z.B. folgendes in Zelle „B5“.
=WENN((0,6-D5)>0;9,81*0,01*(0,6-D5)/(0,18*0,6+0,01*(0,6-D5));0)
Anhang zu Aufgabe 14: