05 - Hall-Effekt

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Versuch Nr.: 5
HALL -EFFEKT
Teil A: Vorbereitung
Einleitung
Stoffgebiet
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Elektrische und magnetische Felder
Halbleiter
Lorentz-Kraft
Leitfähigkeit
Literatur
• Skript zur Vorlesung Experimentalphysik
• Zusammengestelltes PDF-Dokument aus Stöcker: „Taschenbuch der Physik“
(Dieses finden Sie im Servicebereich)
Theoretische Grundlagen
G.1 Hall-Effekt
Variierende magnetische Felder und/oder elektrische Ladungen erzeugen elektrische Felder.
Andersherum bewirken bewegte elektrische Ladungen ein Magnetfeld. Die bewegte
elektrische Ladung ist folglich durch ein elektromagnetisches Feld umgeben. Diese Felder
sind Vektorfelder. Gemessen wird die elektrische Feldstärke; die Kraft, welche auf die
Ladung wirkt, in Volt pro Meter.
Bei einem Plattenkondensator sind Betrag und Richtung der elektrischen Feldstärke in jedem
Raumpunkt gleich. Schießt man nun Elektronen parallel zu den Platten in den Kondensator
hinein, wirkt zu der konstanten Geschwindigkeit des Elektrons folgende Kraft auf dieses:
𝐹𝐹𝑒𝑒 =
𝑞𝑞𝑞𝑞
𝑑𝑑
(1)
Das Elektron wird also in Richtung der positiven Kondensatorplatte beschleunigt. Die
Flugbahn ist parabelförmig. Beim Laden oder Entladen eines Plattenkondensators fließt dort
ein Strom. Würde man nun einen länglichen dünnen Leiter zwischen die Platten halten, so
würde sich dort ein Magnetfeld einstellen, da innerhalb des Leiters ein Induktionsstrom fließt.
Magnetfelder entstehen nicht nur bei bewegten Ladungen, man kann auch kohlenstoffreichen
Stahl durch Anlegen eines Magnetfeldes dauermagnetisch machen. Legt man ein Magnetfeld
senkrecht zum stromdurchflossenen Leiter an diesem an, so werden die bewegten Ladungen
senkrecht zum Magnetfeld und senkrecht zur Stromrichtung abgelenkt. Man spricht in diesem
Fall von dem Hall-Effekt.
Der Hall-Effekt ist nach seinem Entdecker Edwin Hall benannt. Im Rahmen seiner
Doktorarbeit entdeckte dieser 1879 eine Spannung senkrecht zum Magnetfeld und zum
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Strom. Die Hall-Spannung entsteht durch das Anlegen eines Magnetfelds im rechten Winkel
zur Stromflussrichtung in einem Leiter. Mit diesem Effekt kann die Wirkung des
Magnetfeldes auf die Ladungsträger in einem stromdurchflossenen Leiter untersucht werden.
Im Magnetfeld wirkt die Lorentz-Kraft auf die Ladungsträger, die sich in einem
stromdurchflossenen Leiter bewegen. Die Ladungsträger werden senkrecht zum Feld und
senkrecht zu ihrer Flugrichtung abgelenkt. Das hat zur Folge, dass sich auf der einen Seite des
Leiters positive und auf der anderen Seite negative Ladungen ansammeln. Es entsteht eine
messbare Potentialdifferenz.
Abbildung 1: Schema Hall-Effekt
Die Lorentz-Kraft FL ist die Kraft, die durch ein magnetisches Feld B bewirkt wird, welche
auf eine mit der Geschwindigkeit v bewegte Ladung q wirkt. Liegt das Magnetfeld senkrecht
zur Bewegungsrichtung der Elektronen, gilt:
���⃗
�⃗)
𝐹𝐹𝐿𝐿 = 𝑞𝑞(𝑣𝑣⃗ × 𝐵𝐵
(2)
Das Prinzip des Hall-Effektes wird heutzutage für berührungslose Sensoren verwendet. So
kann man mit Hilfe eines Hall-Sensors beispielsweise eine Strommessung über das
Magnetfeld durchführen. Auch kann mit Hilfe eines Hall-Sensors das Magnetfeld erfasst
werden. Diese Art von Sensor wird beispielsweise als Positionsendschalter im Bereich des
Kfz-Motors eingesetzt.
Hall-Sensoren werden auch besonders dort eingesetzt, wo Bewegungen berührungslos erfasst
werden, beziehungsweise um die Lage von bewegten Teilen zu bestimmen. Diese Sensoren
sind in der Lage konstante und veränderliche Magnetfelder zu registrieren. Sie werden für die
Messung der Stellung eines Pedals, Steuerung des Zündzeitpunktes oder Messung von
Motordrehzahlen eingesetzt. Die am Sensorausgang gemessene Spannung ist proportional zur
Stärke des Magnetfeldes und erleichtert somit die Messsignalauswertung. Heutzutage bedient
man sich dieser Sensoren auch in einer integrierten Schaltung, um magnetische Felder in drei
Dimensionen messen zu können,
Die Formel zur Berechnung der Hall-Spannung lautet:
𝑈𝑈𝐻𝐻 = 𝑅𝑅𝐻𝐻
𝐼𝐼𝐼𝐼
𝑑𝑑
(3)
3
Dabei ist RH der Hall-Koeffizient, I die Stärke des Erregerstroms, B das Magnetfeld und d die
Dicke des Materials.
Für den Hall-Koeffizienten bei Halbleitern gilt folgender Zusammenhang:
1 𝑛𝑛𝑝𝑝 𝜇𝜇𝑝𝑝 2 − 𝑛𝑛𝑛𝑛 𝜇𝜇𝑛𝑛 2
𝑅𝑅𝐻𝐻 =
𝑒𝑒 (𝑛𝑛𝑝𝑝 𝜇𝜇𝑝𝑝 + 𝑛𝑛𝑛𝑛 𝜇𝜇𝑛𝑛 )2
(4)
mit der Elementarladung e, den Konzentrationen von Defektelektronen und Elektronen np
bzw. nn und der Beweglichkeit von Defektelektronen und Elektronen µp bzw. µn.
In Materialien mit nur einer Ladungsträgersorte vereinfacht sich der Ausdruck zu:
𝑅𝑅𝐻𝐻 =
1
𝑞𝑞𝑞𝑞
(5)
mit der Ladung q = ±e für Elektronen bzw. Defektelektronen und den zugehörigen
Konzentrationen n. Die Formeln (3) und (5) zeigen, dass die Hall-Spannung bzw. der HallKoeffizient in Materialien wie Halbleitern mit geringer Ladungsträgerkonzentration größer ist
als bei Materialien mit hoher Konzentration wie z.B. Metallen.
Halbleiter sind Festkörper, die je nach Temperatur Leiter oder Isolatoren sind. Ihre elektrische
Leitfähigkeit steigt mit Zunahme der Temperatur. Sie sind Heißleiter, welche einen negativen
Temperaturkoeffizienten haben. Als Vergleich sei hier erwähnt, dass Metalle einen positiven
Temperaturkoeffizienten aufweisen.
Um die elektrische Leitfähigkeit von Halbleitern nach Bedarf zu verändern, werden dem
Halbleiter fremde Atome hinzugefügt; dotiert. So entsteht bei der Zugabe von fünfwertigen
Donatoren ein Elektronenüberschuss und bei der Zugabe von dreiwertigen Akzeptoren ein
Überschuss von Löchern, den sogenannten Defektelektronen.
Abbildung 2: p-Dotierung
Abbildung 3: n-Dotierung
Nach der Dotierung verbessert sich die Leitfähigkeit erheblich. „Tauscht man nun in einem
Siliciumkristall bei ca. 106 Siliciumatomen ein Siliciumatom gegen ein Boratom aus, so
beobachtet man eine Erhöhung der Leitfähigkeit um den Faktor 2 ∙ 105.“ (Vinke, Marbach,
Vinke: Chemie für Ingenieure, 2.Auflage, Oldenbourg 2008)
Halbleiter mit kleinen Energiebandlücken (1 eV) können Lichtquanten in sich aufnehmen
(absorbieren). Mit dieser Energie kann ein Elektron die Energielücke überwinden.
Für kleinere Photoenergien ist der Halbleiter transparent.
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G.2 Leitfähigkeit
Die elektrische Leitfähigkeit von Halbleitern hängt von der Temperatur und der Dotierung ab.
Die Eigenleitfähigkeit von Halbleitermaterialien wird durch den Energiezufuhr von Wärme
oder Licht erhöht. Elektronen werden aus ihren Elektronenpaarbindungen herausgerissen und
der Stromfluss folglich erhöht. Das gezielte Einbringen von Fremdatomen beeinflusst die
Leitfähigkeit stark. Die temperaturabhängige, spezifische Leitfähigkeit wird beschrieben
durch:
𝜎𝜎(𝑇𝑇) = 𝑞𝑞 𝜇𝜇(𝑇𝑇) 𝑛𝑛(𝑇𝑇)
(6)
mit der Ladung q, der Ladungsträgerkonzentration n, die ebenso von der Temperatur abhängt
wie die zugehörige Beweglichkeit µ.
Künstlich hergestellte Halbleiter, Verbindungshalbleiter, sind Stoffe dessen elektrische
Eigenschaften den Eigenschaften intrinsischer Halbleiter entsprechen. Beispielsweise kann
Galliumarsenid (GaAs) aus einer Schmelze über das Tiegelziehverfahren gewonnen werden.
GaAs besteht aus dreiwertigem Gallium und fünfwertigem Arsen. Für die
temperaturabhängige, spezifische Leitfähigkeit von GaAs gilt in guter Näherung:
1 −𝐸𝐸𝐺𝐺
∙
𝑘𝑘𝐵𝐵 𝑇𝑇
𝜎𝜎(𝑇𝑇) = 𝑞𝑞 𝜇𝜇𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒 𝑁𝑁𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒 𝑒𝑒 2
(7)
mit der Elementarladung q, einer effektiven Beweglichkeit von µeff = 3770 cm²/Vs, einer
effektiven Ladungsträger-konzentration von Neff = 1,87 ∙ 1018 cm−3, der Bandlücke EG, der
Boltzmann-Konstanten kB und der Temperatur T.
Versuchsaufbau
A.1 Hall-Effekt
Der Aufbau der Firma Leybold ist für die Veranschaulichung des Hall-Effektes gedacht. Für
die Messung der Hall-Spannung an der untersuchten Probe, wird die Leiterplatte zwischen die
Polschuhe des zerlegbaren Transformators gesetzt. Das Magnetfeld wird mit der Hallsonde;
einer tangentialen B-Sonde (516 60), gemessen.
Die Spulen werden über eine externe Spannungsquelle von der Firma Peak Tech gesteuert.
Mit einem Maximalstrom von 5 A an den vorderen Anschlüssen eignet sich diese
Spannungsquelle für die Spulen, welche mit maximal 5 A betrieben werden dürfen. Mit den
leichtgängigen Potentiometern des Netzteils ist es möglich das Magnetfeld genau einzustellen.
Die Messanzeige auf dem Teslameter soll möglichst genau notiert werden.
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Abbildung 4: Leiterplatte inmitten eines Transformators mit tangentialer B-Sonde
Die Spulen des Transformators werden über ein Labornetzteil (PeakTech 6155) betrieben. An
die Buchsen A und A wird die Gleichspannungsquelle in Reihe angeschlossen. Die
Anschlüsse E und E werden über ein Kabel miteinander verbunden.
Zum Einstellen des Magnetfeldes dienen die Regler an der Frontseite des Netzteils.
Zwischen den Polschuhen befindet sich die Substratkarte. Hier ist entweder n-oder p-dotiertes
Germanium eingespannt.
Hinweise:
Die empfindliche Elektronik des Hall-Effekt-Grundgerätes kann durch eine Entladung
statischer Elektrizität beeinträchtigt oder beschädigt werden. Durch die Wirkung von starken
elektromagnetischen Feldern ist eine Funktionsstörung möglich und es kann beispielsweise
eine falsche Hall-Spannung gemessen werden. Die Kabelverbindungen sind möglichst kurz zu
halten. Bei diesem Versuch ist das Handy auszustellen! Achten Sie bitte außerdem darauf ihre
Armbanduhr (max. 6 mT) außer Reichweite abzulegen.
A.2 Leitfähigkeit
Um die Leitfähigkeit von Galliumarsenid (GaAs) zu messen, ist das Substrat innerhalb einer
Box (siehe Abbildung 5) auf einer beheizbaren Platte aufgebracht. Oberhalb der Box befindet
sich eine Plexiglasscheibe, sodass man hinein gucken kann und sich das GaAs-Substrat noch
einmal genauer betrachten kann.
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Abbildung 5: Temperierte Box
Diese Box hat einen Ausgang A und einen Eingang B. An die Anschlüsse für B wird der LDC
400 für das eingebaute Peltier-Element angeschlossen. Der Ausgang A dient zur
Spannungsspeisung und Strommessung des sich in der Box befindlichen Halbleiters. Der
Ausgang A ist mit dem in Reihe dazu geschaltetem Keithley 2000 Multimeter an der
Spannungsquelle angeschlossen.
Abbildung 6: Laserdioden-Steuergerät LDC 400
Das Modul TED 420 ist in dem Laserdioden-Steuergerät integriert und dient als
Temperaturregelungseinheit. Über den 9-poligen Anschluss sind Thermistor und PeltierElement verbunden.
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Abbildung 6: Temperaturregelungseinheit TED 420
Schriftliche Vorbereitung
(Umfang: 1 – 1½ Seiten)
Lesen Sie sich zur Vorbereitung auf diesen Versuch diese Anleitung gründlich durch. Sie
müssen in der Lage sein, Fragen betreffend Formeln und Zusammenhänge, welche in dieser
Versuchsbeschreibung thematisiert wurden, zu beantworten.
Lesen Sie das zusammengestellte PDF-Dokument und beantworten Sie folgende Aufgaben
schriftlich in Ihrem Heft:
V.1
V.2
Zeichnen Sie das Energiebändermodell für Isolatoren, Leiter und Halbleiter.
Berechnen Sie die Hallkonstante für ein Halbleitersubstrat mit einer Länge von x mm,
wobei x Ihre Gruppennummer ist, einer Breite von 10 mm und einer Dicke von
650 µm. Aus dem Datenblatt des Substrats ergeben sich folgende Werte:
𝑛𝑛 = 3,4 ∙ 1017
V.3
1
m3
µ𝑛𝑛 = 8,26 ∙ 10−3
, 𝑝𝑝 = 2,1 ∙ 1018
m2
Vs
1
m3
,
, µ𝑝𝑝 = −10,86 ∙ 10−3
m2
Vs
.
Der Halbleiter wird von einem 50 mT großen Magnetfeld umgeben und mit einer
200 mA Konstantstromquelle gespeist. Welche Hall-Spannung wird sich einstellen?
Hinweis: Geben Sie in Ihren Rechnungen alle Einheiten an und kürzen Sie diese
gegeneinander, sodass Sie auf die Einheit des Ergebnisses kommen.
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Teil B: Durchführung
1 Hall-Effekt
Die Substratkarte befindet sich bereits in der Steckkarte. Vergewissern Sie sich, dass die
Messgeräte eingeschaltet sind. Stellen Sie den Messbereich des Multimeters Keithley 2000
und des Teslameters von Phywe ein.
1.1 Messung bei Magnetfelderhöhung
Schalten Sie die Spannungsquelle für die beiden Spulen des Transformators ein. Sie sollten
nun eine sich verändernde Spannung auf dem Keithley 2000 sehen. Stellen Sie die Spannung
des Labornetzteils so ein, dass Sie ein Magnetfeld von ungefähr 5 mT messen. Nehmen Sie in
5 mT-Schritten Messwerte auf, bis Sie ein Magnetfeld von 100 mT messen. Notieren Sie sich
den Strom und die Hall-Spannung. Achten Sie darauf, den Messbereich des Teslameters
rechtzeitig zu verstellen. Versuchen Sie das Magnetfeld möglichst genau einzustellen.
Notieren Sie die Hall-Spannung auf 2 Nachkommastellen genau.
Hinweis:
Drehen Sie bitte mit Gefühl an den Reglern des Labornetzteils und stellen Sie KEINEN Wert
oberhalb von 5,5 V ein, da ansonsten ein Strom größer 5 A fließen würde.
1.2 Messung bei Magnetfeldverringerung
Nehmen Sie analog zur vorherigen Aufgabe alle Messwerte auf. Reduzieren Sie das
Magnetfeld von 100 mT auf 5 mT.
Stellen Sie nun alle Geräte bis auf das Keithley 2000 aus.
2 Leitfähigkeit
Stellen Sie das Keithley 2000 auf DCI für die Strommessung ein, sodass Sie einen
erkennbaren Strom messen. Schalten Sie den LDC 400 über den Schlüssel und das
Labornetzteil mit einer Spannung von 48 V ein.
Strommessung
Zur Temperatureinstellung müssen Sie den auf LDC 400 angezeigten Widerstandswert mit
der vorgegebenen Tabelle vergleichen. Nehmen Sie den Strom durch das Galliumarsenid nach
der Vorgabe durch die Tabelle auf. Verändern Sie den Widerstandswert der Soll-Temperatur
(T13) und kontrollieren Sie diesen über die Anzeige der Ist-Temperatur. Schalten Sie die
Anzeige über den Drehschalter unterhalb der Anzeige um. Die Regelung für das PeltierElement wird über die LED-Taste (T9) eingeschaltet.
Hinweis:
Drehen Sie bitte mit Gefühl an T13 und stellen Sie KEINEN Wert unterhalb 2,5 kΩ ein. Bei
einer einzustellenden Temperatur ab 50 °C kann es sein, dass das LDC 400 ein Warnsignal
ausgibt und T5 aufleuchtet,da der Strom, der durch das Peltier-Element fließt, auf 2 A
begrenzt ist und das Steuergerät gerne mehr Strom liefern würde, dies aber das PeltierElement zerstören würde.
Um die Stromwerte zu notieren, sollten Sie im Bereich von 12 kΩ bis 5 kΩ mindestens 20 s
und im Bereich von 4,5 kΩ bis 2,5 kΩ mindestens 60 s warten, damit sich die Messapparatur
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einstellen kann. Wenn Sie mit der Messung fertig sind, stellen Sie bitte den Sollwert langsam
wieder auf 12 kΩ und schalten alle Geräte aus.
Teil C: Auswertung
Schreiben Sie eine kurze Einleitung (ca. eine halbe Seite) zu diesem Versuch. Starten Sie Ihre
Versuchsbeschreibung mit der Zielsetzung. Thematisieren Sie in Ihrer Einleitung den HallEffekt bei Halbleitern.
1 Hall-Effekt
(Umfang: 1½ – 2 Seiten)
1.1 Berechnen Sie die Mittelwerte aus den Hall-Spannungen zu den jeweiligen
Magnetfeldern.
1.2 Berechnen Sie die prozentuale Abweichung jeder Hall-Spannung zum jeweiligen
Mittelwert der Hall-Spannung.
1.3 Berechnen Sie den jeweiligen Hallkoeffizienten aus den Mittelwerten der
Hallspannungen mit 𝑑𝑑 = 1 mm .
1.4 Berechnen Sie den arithmetischen Mittelwert des Hallkoeffizienten.
1.5 Was sagt der Hallkoeffizient über den Halbleiter aus? Ist Ihr Substrat positiv oder
negativ dotiert?
1.6 Was bewirkt die Dotierung im Halbleiter?
2 Leitfähigkeit
(Umfang: 2 – 3 Seiten)
Bei der Messung der temperaturabhängigen Leitfähigkeit haben Sie den Strom gemessen.
Gehen Sie davon aus, dass der gemessene Strom proportional zur Leitfähigkeit ist
(siehe Gleichung 7).
2.1 Berechnen Sie vorab den natürlichen Logarithmus des Stroms für jeden gemessenen Wert
und stellen Sie die Ergebnisse in einer Tabelle dar. Beachten Sie die Logarithmusregeln!
2.2 Zeichnen Sie ln (I) als Funktion von 1/T auf.
2.3 Berechnen Sie die Ausgleichsgerade und nennen Sie die Regressionsparameter a und b.
2.4 Recherchieren Sie die Bandlücke für GaAs und geben Sie diese mit der von Ihnen
gefundenen Quelle an.
2.5 Die Steigung der Geradengleichung dient zur Berechnung der Bandlücke EG. Berechnen
Sie mit Hilfe der Steigung Ihrer Regressionsgeraden und mit Hilfe der Formel für σ(T)
die Bandlücke.
2.6 Stimmt die errechnete Bandlücke mit der in der Literatur angegebenen überein? Wie groß
streuen die Messwerte um die Ausgleichsgerade? Welche Faktoren spielen dabei eine
große Rolle?
Beachten Sie:
Kürzen Sie bei der Berechnung der Regressionsgerade nicht.
Zeichnen Sie das Diagramm auf A4-Millimeterpapier mit sinnvoller (!) Skalierung.
Benutzen Sie zur Kurvendarstellung ggf. ein Kurvenlineal sowie einen dünnen gut
sichtbaren Stift (verwenden Sie bitte keinen Bleistift!). Vergessen Sie nicht die Achsen- und
Bildunterschriften inklusive der Einheiten! Alle Originalmesswerte müssen dem
Protokollheft beiliegen! Lassen Sie sich Ihre Originalmesswerte am Ende der
Versuchsdurchführung gegenzeichnen.