Merkhilfe

STAATSINSTITUT FÜR SCHULQUALITÄT
UND BILDUNGSFORSCHUNG
MÜNCHEN
Merkhilfe
Mathematik am Gymnasium
1 Inhalte der Mittelstufe
Lösungsformel für quadratische Gleichungen
2
ax  bx  c  0  x1/2
b  b2  4ac

2a
Potenzen
m
a r 
a n  n am
r
s
r s
a a  a
ar
as
a 
1
r
r
a
s
 ars
a  b   ab 
r s
r
a
r
r
ar
r
a
 
r
b
b
Logarithmen
loga  bc   loga b  loga c
loga
b
 loga b  loga c
c
loga br  r  loga b
Strahlensätze
Ist AB || A B , so gilt:

ZA
ZB ZA
ZB


,
ZA  ZB AA BB

ZA
AB

ZA  A B
2. Auflage
Merkhilfe
Mathematik am Gymnasium
Rechtwinkliges Dreieck
 Satz des Pythagoras: a2  b2  c 2
 Höhensatz: h2  pq
 Kathetensatz: a2  cp , b2  cq
 sin α 
a
b
sin α a
, cos α  , tan α 

c
c
cos α b
Allgemeines Dreieck
 Sinussatz: a : b : c  sin α : sinβ : sin γ
 Kosinussatz:
a2  b2  c 2  2bc cos α , b2  a2  c 2  2ac cosβ , c 2  a2  b2  2ab cos γ
Sinus und Kosinus
sin  φ    sin φ
cos  φ   cos φ
sin  90  φ   cos φ
cos  90  φ   sin φ
Figurengeometrie
 Trapez: A 
ac
h
2
 Kreis: U  2r π , A  r 2 π
Raumgeometrie
 Prisma: V  Gh
 Pyramide: V  31 Gh
 gerader Kreiszylinder: V  r 2 πh , M  2r πh
 gerader Kreiskegel: V  31 r 2 πh , M  r πm
 Kugel: V  34 r 3 π , O  4r 2π
2
 sin φ 2   cos φ 2  1
Merkhilfe
Mathematik am Gymnasium
2 Analysis
Grenzwerte
lim
x 
xr
e
x
0
lim
ln x
x 
x
r


lim xr  ln x  0
0
x 0
(jeweils r  0 )
Ableitung
 Differenzenquotient (mittlere Änderungsrate):
 f   x 0   lim
f  x   f  x0 
x  x0
x  x0
 Schreibweisen: f   x  
f  x   f  x0 
x  x0
(falls der Grenzwert existiert und endlich ist)
d f x
dx

d
dy
 y
f x 
dx
dx
Ableitungen der Grundfunktionen
 x   r  x
r
 e   e
x
r 1
x
 sin x   cos x
ln x  
1
x
 cos x    sin x
a   a
x
x
 ln a
loga x  
1
x  lna
Ableitungsregeln
 Summenregel:
f x  ux  v x

f   x   u  x   v  x 
 Faktorregel:
f x  a  ux

f   x   a  u  x 
 Produktregel:
f x  ux  v x

f   x   u  x   v  x   u  x   v  x 

f  x 

f   x   u  v  x    v  x 
 Quotientenregel: f  x  
 Kettenregel:
ux
v x
f  x   u  v  x 
u  x   v  x   u  x   v  x 
 v  x  
2
3
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Mathematik am Gymnasium
Anwendungen der Differentialrechnung
 Tangentensteigung: mT  f   x 0 
 Normalensteigung: mN  
1
f   x0 
 Monotonie
f   x   0 im Intervall I  Gf fällt streng monoton in I
f   x   0 im Intervall I  Gf steigt streng monoton in I
 Extrempunkte
Ist f   x 0   0 und wechselt f  an der Stelle x 0 das Vorzeichen, so hat Gf an der
Stelle x 0 einen Extrempunkt.
 Krümmung
f   x   0 im Intervall I  Gf ist in I rechtsgekrümmt
f   x   0 im Intervall I  Gf ist in I linksgekrümmt
 Wendepunkte
Ist f   x0   0 und wechselt f  an der Stelle x 0 das Vorzeichen, so hat Gf an der
Stelle x 0 einen Wendepunkt.
 Newton‘sche Iterationsformel: xn 1  xn 
f  xn 
f   xn 
Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung
Jede Integralfunktion einer stetigen Funktion f ist eine Stammfunktion von f.
x
I  x    f  t  dt  I  x   f  x 
a
Bestimmtes Integral
b
b
 f  x  dx  F b   F  a   F  x a
a
4
(F ist eine Stammfunktion von f)
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Mathematik am Gymnasium
Unbestimmte Integrale
xr 1
 x dx  r  1  C ( r  1)
 x dx  ln x  C
 sin x dx   cos x  C
 cos x dx  sin x  C
e
 ln x dx   x  x  ln x  C
1
r
x
dx  e x  C
f  x
 f  x  dx  ln f  x   C
 f  ax  b  dx  a1  F  ax  b   C
 f  x  e
f  x
f x
dx  e    C
(F ist eine Stammfunktion von f)
3 Stochastik
Binomialkoeffizient
n   n  1  ...   n  k  1
n
n!

 
k!
 k  k!   n  k  !
Der Binomialkoeffizient gibt an, wie viele Möglichkeiten es gibt, aus einer Menge
mit n Elementen eine Teilmenge mit k Elementen zu bilden.
Urnenmodell
 Ziehen ohne Zurücklegen
Aus einer Urne mit N Kugeln, von denen K schwarz sind, werden n Kugeln ohne
Zurücklegen gezogen.
K  N  K 
 

k   nk 

P(„genau k schwarze Kugeln“) 
N
 
n
 Ziehen mit Zurücklegen
Aus einer Urne, in der der Anteil schwarzer Kugeln p ist, werden n Kugeln mit
Zurücklegen gezogen.
n
n k
P(„genau k schwarze Kugeln“)     pk  1  p 
k 
5
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Mathematik am Gymnasium
Bedingte Wahrscheinlichkeit
PA B  
P  A  B
PA
Unabhängigkeit zweier Ereignisse
P  A  B   P  A   P B 
Zufallsgrößen – Binomialverteilung
Eine Zufallsgröße X nehme die Werte x1, x 2 , …, xn mit den Wahrscheinlichkeiten
p1 , p2 , …, pn an. Dann gilt:
n
 Erwartungswert: μ  E  X    xi  pi  x1  p1  x 2  p2  ...  xn  pn
n
i 1
2
 Varianz: Var  X     xi  μ  pi   x1  μ  p1   x 2  μ  p2  ...   xn  μ  pn
2
2
2
i 1
 Standardabweichung: σ  Var  X 
Ist eine Zufallsgröße X binomialverteilt nach B  n;p  , so gilt:
n
n k
 P  X  k   B  n;p;k      pk  1  p 
k 
 Erwartungswert: E  X   n  p
 Varianz: Var  X   n  p  1  p 
Signifikanztest
 Fehler 1. Art: H0 wird irrtümlich abgelehnt
 Fehler 2. Art: H0 wird irrtümlich nicht abgelehnt
Als Signifikanzniveau bezeichnet man den Wert, den die Wahrscheinlichkeit für
einen Fehler 1. Art nicht überschreiten darf.
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Mathematik am Gymnasium
4 Geometrie
Skalarprodukt im IR3
a  b 
   1  1
 Definition: a  b   a2    b2   a1b1  a2b2  a3b3
a  b 
 3  3
 
 
 zueinander senkrechte Vektoren: a  b  a  b  0

 
 Betrag eines Vektors: a  a  a

0 a
 Einheitsvektor: a  
a
 
ab
 Winkel zwischen zwei Vektoren: cos φ    ( 0  φ  π )
ab
Vektorprodukt im IR3
 a b  a3b2 
   2 3

 Definition: a  b   a3b1  a1b3 
 a b a b 
2 1
 1 2
 


 Richtung: a  b steht senkrecht auf a und b
 
 
 Betrag: a  b  a  b  sin φ ( 0  φ  π )
 
 Flächeninhalt eines Dreiecks ABC: F  21  AB  AC
 Volumen einer dreiseitigen Pyramide ABCD: V 
1
6
  
AB  AC  AD


Mittelpunkt einer Strecke [AB]

 
M  21  A  B


Schwerpunkt eines Dreiecks ABC

  
S  31  A  B  C


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Mathematik am Gymnasium
Ebene im IR3
 


 Parameterform: X  A  λ u  μ v
  
 Normalenform in Vektordarstellung: n  X  A  0


 Normalenform in Koordinatendarstellung: n1x1  n2 x 2  n3 x 3  n0  0
Kugelgleichung
 x1  m1 2   x2  m2 2   x3  m3 2  r 2
Die Merkhilfe stellt keine Formelsammlung im klassischen Sinn dar. Bezeichnungen
werden nicht erklärt und Voraussetzungen für die Gültigkeit der Formeln in der Regel nicht dargestellt.
Die Merkhilfe steht unter www.isb.bayern.de  Gymnasium  Fächer  Mathematik zum Download bereit.
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