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Physikalisches Praktikum für Naturwissenschaftler
Teil
BGLC
WS 2009/2010
Inhaltsverzeichnis
E Einleitung
E.1 Vorbemerkungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
E.2 Versuchsprotokoll . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
E.3 Ablauf und Bewertung des Praktikums . . . . . . . . . . . .
E.3.1 Voraussetzung für die Teilnahme am Praktikum . . .
E.3.2 Biologie Lehramt . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
E.3.3 Anmeldung und Gruppeneinteilung . . . . . . . . .
E.3.4 Versuche . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
E.3.5 Ablauf . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
E.3.6 Vorbereitung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
E.3.7 Vortestat . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
E.3.8 Durchführung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
E.3.9 Auswertung und Haupttestat . . . . . . . . . . . . .
E.3.10 Voraussetzung für den Erhalt des Praktikumsscheines
E.4 Erstellung eines Graphen aus einer Tabelle . . . . . . . . . .
E.4.1 Aufnahme der Wertetabelle . . . . . . . . . . . . .
E.4.2 Achsenbereiche und –beschriftungen . . . . . . . .
E.4.3 Eintragung der Messwerte . . . . . . . . . . . . . .
E.4.4 Einzeichnen einer Ausgleichskurve . . . . . . . . .
E.4.5 Versuchsergebnisse . . . . . . . . . . . . . . . . . .
E.4.6 Hinweise zu mathematischen Bezeichnungen . . . .
E.5 Literaturhinweise . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
E.6 Basisgrößen und Einheiten . . . . . . . . . . . . . . . . . .
E.7 Dezimale Vielfache und Teile von Einheiten, SI-Präfixe . . .
E.8 Abkürzungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1
Die Kunst des Messens
1.1 Fehlerrechnung . . . . . . . . . . . . .
1.1.1 Vorbemerkung . . . . . . . . .
1.1.2 Systematische Fehler . . . . . .
1.1.3 Zufällige oder statistische Fehler
1.1.4 Fehlerkennzeichnung . . . . . .
1.1.5 Fehlerfortpflanzung . . . . . . .
1.1.6 Normalverteilung . . . . . . . .
1.1.7 Histogramm . . . . . . . . . .
1.1.8 Aufgabe zur Vorbereitung . . .
1.2 Versuchsdurchführung . . . . . . . . .
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ii
INHALTSVERZEICHNIS
1.2.1
1.2.2
1.2.3
Messung von Reaktionszeiten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Frequenzmessung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Erdbeschleunigung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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23
2
Klassische Mechanik
2.1 Physikalische Grundlagen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.1.1 Kinematik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.1.2 Dynamik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.1.3 Rotation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.1.4 Energieerhaltungssatz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.1.5 Schiefe Ebene . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.1.6 Vergleich Rotation – Translation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.1.7 Rollende Kugel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.1.8 Aufgabe zur Vorbereitung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2 Versuchsdurchführung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2.1 Kugel in der Schiene . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2.2 Bestimmung der Neigung der Winkelschiene und der Erdbeschleunigung
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3
Gleichstrom und Gleichspannung
3.1 Physikalische Grundlagen . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.1.1 Elektrostatik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.1.2 Gleichströme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.1.3 Ohmsches Gesetz . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.1.4 Kirchhoffsche Regeln . . . . . . . . . . . . . . .
3.1.5 Reihen- und Parallelschaltung von Widerständen .
3.1.6 Potentiometer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.1.7 Kondensator . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.1.8 Entladevorgang am Kondensator . . . . . . . . . .
3.1.9 Aufgabe zur Vorbereitung . . . . . . . . . . . . .
3.2 Versuchsdurchführung . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.2.1 Ohmsches Gesetz . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.2.2 Parallelschaltung von Widerständen . . . . . . . .
3.2.3 Serienschaltung von Widerständen . . . . . . . . .
3.2.4 Bestimmung der Entladekurve eines Kondensators
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Wechselströme und -spannungen
4.1 Physikalische Grundlagen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.1.1 Wechselspannung und Wechselstrom . . . . . . . . . . . .
4.1.2 Ohmscher Widerstand im Wechselstromkreis . . . . . . . .
4.1.3 Kapazität im Wechselstromkreis . . . . . . . . . . . . . . .
4.1.4 Induktivität im Wechselstromkreis . . . . . . . . . . . . . .
4.1.5 Zeigerdiagramme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.1.6 Serienschwingkreis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.1.7 Funktionsweise eines Oszilloskops . . . . . . . . . . . . . .
4.1.8 Frequenz- und Amplitudenbestimmung mit dem Oszilloskop
4.1.9 Bedienelemente des Oszilloskops . . . . . . . . . . . . . .
4.1.10 Aufgabe zur Vorbereitung . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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INHALTSVERZEICHNIS
4.2
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7
Versuchsdurchführung . . . . . . . . . . . . . . .
4.2.1 Spannungsmessung mit dem Oszilloskop .
4.2.2 Frequenzbestimmung mit dem Oszilloskop
4.2.3 Strommessung mit dem Oszilloskop . . . .
4.2.4 Aufbau eines Serienschwingkreises . . . .
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Oberflächenspannung und Viskosität
5.1 Physikalische Grundlagen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.1.1 Spezifische Oberflächenenergie und Oberflächenspannung . . . . .
5.1.2 Kapillarität . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.1.3 Viskosität . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.1.4 Das Gesetz von Hagen-Poiseuille . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.1.5 Aufgabe zur Vorbereitung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.2 Versuchsdurchführung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.2.1 Bestimmung der Oberflächenspannung aus der kapillaren Steighöhe
5.2.2 Messung der dynamischen Viskosität . . . . . . . . . . . . . . . .
Kalorimetrie
6.1 Physikalische Grundlagen der Thermodynamik . . . . . . . . . . .
6.1.1 Spezifische Wärme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.1.2 Atomistische Betrachtung der Wärme und ideales Gasgesetz
6.1.3 Latente Wärme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.1.4 Bestimmung der spezifischen Wärme: Wärmepulsmethode .
6.1.5 Bestimmung der spezifischen Wärme: Mischungsmethode .
6.1.6 Bestimmung der Schmelzwärme von Eis . . . . . . . . . .
6.1.7 Aufgabe zur Vorbereitung . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.2 Versuchsdurchführung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.2.1 Die spezifische Wärme von Wasser . . . . . . . . . . . . .
6.2.2 Spezifische Wärme von Metallen . . . . . . . . . . . . . .
6.2.3 Verdampfungswärme von Wasser . . . . . . . . . . . . . .
6.2.4 Schmelzwärme von Eis (optional) . . . . . . . . . . . . . .
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Schallwellen
7.1 Physikalische Grundlagen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7.1.1 Wellen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7.1.2 Schallwellen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7.1.3 Schallfeldgrößen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7.1.4 Interferenz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7.1.5 Stehende Wellen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7.1.6 Oszilloskop . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7.1.7 Aufgabe zur Vorbereitung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7.2 Versuchsdurchführung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7.2.1 Untersuchung von Interferenzerscheinungen zweier Schallwellen
7.2.2 Bestimmung der Eigenfrequenzen eines akustischen Resonators .
7.2.3 Messung einer Resonanzkurve . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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iv
8
9
INHALTSVERZEICHNIS
Optische Bauelemente und geometrische Optik
8.1 Physikalische Grundlagen . . . . . . . . . . .
8.1.1 Grundbegriffe der Wellenoptik . . . . .
8.1.2 Linsensysteme . . . . . . . . . . . . .
8.1.3 Das Auge . . . . . . . . . . . . . . . .
8.1.4 Abbildungsmaßstab und Vergrößerung .
8.1.5 Die Lupe . . . . . . . . . . . . . . . .
8.1.6 Das Mikroskop . . . . . . . . . . . . .
8.1.7 Aufgaben zur Vorbereitung . . . . . . .
8.2 Versuchsdurchführung . . . . . . . . . . . . .
8.2.1 Brennweite von Sammellinsen . . . . .
8.2.2 Brennweite einer Zerstreuungslinse . .
8.2.3 Korrektur von Sehfehlern . . . . . . . .
8.2.4 Kombination von zwei Sammellinsen .
8.2.5 Mikroskop . . . . . . . . . . . . . . .
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Interferenz und Beugung von Licht
9.1 Physikalische Grundlagen . . . . . . . . . . . . . .
9.1.1 Interferenz . . . . . . . . . . . . . . . . . .
9.1.2 Interferenz an einer planparallelen Glasplatte
9.1.3 Beugung am Gitter . . . . . . . . . . . . . .
9.1.4 Auflösungsvermögen eines Instrumentes . .
9.1.5 Aufgabe zur Vorbereitung . . . . . . . . . .
9.2 Versuchsdurchführung . . . . . . . . . . . . . . . .
9.2.1 Interferenz von Lichtstrahlen . . . . . . . . .
9.2.2 Bestimmung der Dicke eines Haares . . . . .
9.2.3 Beugung am Gitter . . . . . . . . . . . . . .
10 Wechselwirkung von Licht mit Materie
10.1 Physikalische Grundlagen . . . . . . . . .
10.1.1 Polarisiertes Licht . . . . . . . . .
10.1.2 Polarisation durch Reflexion . . . .
10.1.3 Polarisation durch Doppelbrechung
10.1.4 Polarisation durch Dichroismus . .
10.1.5 Optische Aktivität . . . . . . . . .
10.1.6 Absorption von Strahlung . . . . .
10.2 Aufgabe zur Vorbereitung . . . . . . . . . .
10.3 Versuchsdurchführung . . . . . . . . . . .
10.3.1 Aufbau der Strahlführung . . . . .
10.3.2 Polarisation durch Reflexion . . . .
10.3.3 Optische Aktivität . . . . . . . . .
10.3.4 Absorption von Strahlung . . . . .
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122
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125
125
125
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128
128
129
130
131
Abbildungsverzeichnis
E.1
1.1
1.2
2.1
2.2
2.3
2.4
2.5
3.1
3.2
3.3
3.4
3.5
3.6
3.7
3.8
3.9
3.10
4.1
4.2
4.3
4.4
4.5
4.6
4.7
4.8
4.9
4.10
4.11
4.12
4.13
4.14
4.15
4.16
4.17
4.18
Diagramm der Fieberkurve . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Beispielhistogramm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Aufbau schiefe Ebene . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Rotierende Körper . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Kraftzerlegung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Aufbau schiefe Ebene . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Bewegung konstanter Beschleunigung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Winkelbestimmung an der schiefen Ebene . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Kirchhoffsche Regeln . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Parallel- und Reihenschaltung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Potentiometer als Spannungsteiler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Schema eines Plattenkondensators . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Schema einer Kondensatorentladung. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Stromkreise mit Widerständen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Aufbau zum Spannungsteiler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Schaltbild zur Kennlinienmessung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Serienschaltung von Widerständen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Aufbau zur Bestimmung der Entladekurve eines Kondensators . . . . . . . .
Darstellung der Wechselspannung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Ohmscher Widerstand im Wechselstromkreis . . . . . . . . . . . . . . . . .
Kapazität im Wechselstromkreis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Induktivität im Wechselstromkreis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Widerstände im Zeigerdiagramm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Serienschaltung von Ohmschen Widerstand, Kapazität und Spule . . . . . . .
Aufbau einer Kathodenstrahlröhre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Zeitliche Ablenkung des Elektronenstrahls durch Anlegen einer Sägezahnspannung. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Frequenz- und Amplitudenbestimmung mit dem Oszilloskop . . . . . . . . .
Bedienelemente des Oszilloskops . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Bedienelemente für Netzspannung und Display . . . . . . . . . . . . . . . .
Bedienelemente für die Zeitablenkung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Bedienelemente für den Eingangsverstärker . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Eingänge des Oszilloskops . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Bedienelemente vertikaler Modus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Bedienelemente für den internen Trigger . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Bedienelemente für Triggereinstellungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Tasten zum Triggern . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7
20
21
28
29
32
33
34
38
39
40
40
41
42
43
44
45
46
48
49
50
51
52
53
54
55
55
56
56
57
58
58
59
59
60
60
vi
ABBILDUNGSVERZEICHNIS
4.19
4.20
5.1
5.2
5.3
5.4
5.5
5.6
5.7
6.1
6.2
6.3
6.4
6.5
7.1
7.2
7.3
7.4
7.5
7.6
7.7
8.1
8.2
8.3
8.4
8.5
8.6
8.7
8.8
8.9
8.10
8.11
9.1
9.2
9.3
9.4
9.5
10.1
10.2
10.3
10.4
10.5
10.6
10.7
10.8
Strommessung mit dem Oszilloskop . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Schaltung eines Serienschwingkreises . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Erklärung der Oberflächenenergie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Versuchsaufbau zur Bestimmung der Oberflächenspannung . . . . . . .
Steighöhe einer benetzenden Flüssigkeit in einer Kapillaren . . . . . . .
Definition der Viskosität . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Strömung in einer Kapillare . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Zur Messung der kapillaren Steighöhe. . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Messung der dynamischen Viskosität . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Freiheitsgrade von Teilchen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Zustandsänderungen eines idealen Gases . . . . . . . . . . . . . . . . .
Wärmepuls: Aufgabe zur Vorbereitung . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Temperaturverlauf bei Wärmepulsen . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Schematischer Temperaturverlauf . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Zeit- und Ortsabhängigkeit einer Welle . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Interferenz von Schallwellen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Unterscheidung von Interferenzerscheinungen . . . . . . . . . . . . . .
Stehende Welle im offenen Rohr . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Sinusschwingung auf dem Oszilloskop . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Untersuchung von Interferenzerscheinungen . . . . . . . . . . . . . . .
Aufbau zum Versuchsteil 7.2.2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Brechung von Wellen an einer Grenzfläche . . . . . . . . . . . . . . .
Konstruktion eines reellen Bildes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Sphärische Refraktionsfehler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Definition des Sehwinkels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Lupenprinzip 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Lupenprinzip 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Strahlengang im Mikroskop . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Bestimmung der Brennweite einer Sammellinse . . . . . . . . . . . . .
Bestimmung der Brennweite einer Zerstreuungslinse . . . . . . . . . .
Kombination zweier Sammellinsen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Zum Aufbau: Strahlengang im Mikroskop (wiederholt) . . . . . . . . .
Interferenz an einer planparallelen Platte . . . . . . . . . . . . . . . . .
Einfallender und am Gitter gebeugter Strahl . . . . . . . . . . . . . . .
Aufbau zur Untersuchung von Interferenzmuster an einer Glasplatte . .
Versuchsaufbau zur Bestimmung der Haardicke . . . . . . . . . . . . .
Aufbau zum Versuchsteil 9.2.3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Linear polarisiertes Licht (oben) und zirkular polarisiertes Licht (unten).
Zur Ableitung des Malusschen Gesetzes. . . . . . . . . . . . . . . . . .
Zum Brewsterwinkel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Lichtabsorption an einer dünnen Schicht . . . . . . . . . . . . . . . . .
Zur Erzeugung von zirkular polarisiertem Licht . . . . . . . . . . . . .
Aufbau zur Polarisation durch Reflexion . . . . . . . . . . . . . . . . .
Bestimmung der optischen Aktivität . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Aufbau zur Messung der Extinktion . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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63
64
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103
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118
119
122
123
124
126
128
129
130
131
Einleitung
E.1
Vorbemerkungen
Das Physikalische Praktikum für Biologen, Geowissenschaftler und Biomedizinische Chemiker und Chemiker im Lehramt ist eine der aufwändigsten und betreuungsintensivsten Veranstaltungen des Fachbereichs Physik. Ziel der Veranstaltung ist die Auseinandersetzung jedes
einzelnen Teilnehmers mit den Fragestellungen und den Gesetzen der Physik über den praktischen Umgang im physikalischen Experiment. Dazu bietet das Praktikum eine Einführung in
Messprinzipien und -techniken sowie den Umgang mit den gewonnenen Messdaten zur Versuchsauswertung. Dieses Wissen wird nur sehr eingeschränkt in Vorlesungen, Übungen und
Seminaren vermittelt. Es ist aber bedeutsam für die Anfertigung wissenschaftlicher Arbeiten,
wie etwa Ihre Diplom- oder Staatsexamensarbeit sowie ggf. in Ihrem späteren Beruf.
Die erfolgreiche Durchführung des Praktikums erfordert von Ihnen die Anwendung und Einhaltung einiger Prinzipien und Spielregeln, die Ihnen in diesem Skriptum dargelegt werden.
Zusätzlich erleichtert Ihnen das Skriptum durch gezielte Angaben die Einarbeitung in den
Wissensstoff sowie den Zugang zur Sekundärliteratur. Das Studium derselben wird dringend
angeraten, da das Skriptum ein Lehrbuch nicht ersetzen kann.
Hinweis in eigener Sache: Die Praktikumsleitung ist bemüht, das Skriptum zu verbessern. Ein
Exemplar liegt im Praktikum aus, in das Korrekturen und Anregungen eingetragen werden
können.
Mainz, 7. Januar 2010
Die Praktikumsleitung
2
E INLEITUNG
E.2
Versuchsprotokoll
Versuche werden in allen wissenschaftlichen Disziplinen durchgeführt mit dem Ziel, neue Erkenntnisse zu gewinnen, bzw. bekannte Ergebnisse zu überprüfen. Entscheidend für den Wert
eines Versuches ist die Nachvollziehbarkeit des Versuchsergebnisses. Zu diesem Zweck ist
von jedem Praktikanten ein Protokoll über den jeweiligen Versuch anzufertigen. Es dient der
Dokumentation der Messdaten, der individuellen Versuchsdurchführung und der Versuchsauswertung. Im Protokollbuch soll der Ablauf des Versuches und die dazu benötigten Schritte
sowie die Aufnahme der Messwerte und die Berechung der gesuchten physikalischen Größe
klar zu erkennen sein. Die folgende Liste soll ein Grundgerüst für eine Praktikumsauswertung darstellen, erhebt aber keinen Anspruch auf Vollständigkeit. Je nach Versuch muss die
Auswertung den Anforderungen in der Versuchsbeschreibung entsprechend ergänzt werden.
∙ Bezeichnung des Versuchs (z.B. Versuch 1: Die Kunst des Messens)
∙ Schriftliche Vorbereitung
∙ Bezeichnung des Versuchsteils (z.B. Aufgabe 1: Messung von Reaktionszeiten)
∙ Bei komplexen Versuchen evtl. stichpunktartig Aufbau und Durchführung des Versuchs
und/oder Skizze
∙ Messwerte mit Einheiten z.B. in Tabellenform (Die aufgenommenen Messwerte müssen
sich in jedem Protokollbuch wiederfinden lassen, nicht nur in einem aus der Gruppe)
∙ Physikalische Formeln, die zur Berechnung der im Versuch geforderten Größen verwendet werden, bei komplizierten Formeln auch nach der entsprechenden Größe umgeformt
∙ Ergebnisse mit Einheiten und Antwortsatz i.a. mit Fehler.
∙ Bei unerwartetem oder unrealistischem Wert Überlegungen zur Ursache sowie mögliche
Fehlerquellen schriftlich niederlegen
∙ Vergleich mit dem Literaturwert, evtl. relativen Fehler angeben
∙ Fehlerbetrachtung
∙ Ergebnisse einer geforderten Diskussion schriftlich festhalten
Die Versuchsprotokolle sind in ein gebundenes kariertes DIN A4 Protokollbuch einzutragen
und müssen zu Versuchsende abgeschlossen sein! Zur Zeitersparnis während des Versuches
können Tabellen, Graphen und Ableitungen von physikalischen Zusammenhängen bereits als
Vorbereitung auf den Versuch vorher angefertigt werden.
E.3
Ablauf und Bewertung des Praktikums
Das Physikalische Praktikum ist eine der seltenen Gelegenheiten im Laufe Ihres Studiums,
das in Vorlesungen erworbene Wissen praktisch einzusetzen. Sie führen in diesem Praktikum
selbstständig Messungen durch, werten diese aus und lernen so, mit den Fehlern und Ungenauigkeiten umzugehen, die jede physikalische Messung begleiten. Dazu ist es einerseits nötig,
E.3 Ablauf und Bewertung des Praktikums
3
den physikalischen Hintergrund eines Experimentes zu verstehen, andererseits ist die Anwendung mathematischer Werkzeuge — insbesondere der Fehlerrechnung und der Statistik —
erforderlich.
E.3.1
Voraussetzung für die Teilnahme am Praktikum
Die Erfahrung lehrt, dass solide Kenntnisse über den Stoff der Vorlesungen „Physik für Biologen und Geowissenschaftler“ und „Mathematik für Biologen“ die Vorbereitung und Auswertung der einzelnen Versuche deutlich erleichtern. Die Aneignung dieses Stoffes parallel
zum Praktikum im gleichen Semester bedeutet einen erheblichen Mehraufwand und kann aus
prinzipiellen Gründen (zyklische Versuchsorganisation, siehe unten) nicht im Rahmen einer
gleichzeitig ablaufenden Vorlesung erfolgen. Daher ist der vorherige Besuch der Physikvorlesung Voraussetzung für die Teilnahme am Praktikum. Als Nachweis dient der in der Vorlesung
erworbene Schein.
Es wird ferner davon ausgegangen, dass Sie sich vor dem ersten Versuchstag den Inhalt des
entsprechenden Kapitels dieses Skriptum angeeignet haben und insbesondere mit den Grundzügen der „Fehlerrechnung“ vertraut sind.
E.3.2
Biologie Lehramt
Eine Sonderregelung gibt es für Studenten „Lehramt Biologie“ (jedoch nicht Lehramt Chemie). Diese Studenten benötigen nach ihrer Studienordnung keine Zugangsvorraussetzung,
wobei der Besuch der Vorlesung „Physik für Biologen und Geowissenschaftler“ dringend empfohlen wird. Außer dem Versuch „Die Kunst des Messens(1)“ führen diese Studenten nur 5
weitere Versuche durch, erhalten dann einen, speziell auf den Studiengang Biologie Lehramt
zugeschnittenen, Schein mit reduzierter ECTS Punktzahl.
Die betreffenden Studenten melden sich bitte während des ersten Termins (Die Kunst des
Messens) bei der Praktikumsleitung. Dort erhalten sie dann einen individuellen Laufzettel der
für etwa alle 2 Wochen den durchzuführenden Versuch benennt. Ansonsten gelten für alle
Studenten dieselben Regelungen.
E.3.3
Anmeldung und Gruppeneinteilung
Zu dem Zeitpunkt, zu dem Sie dieses Skriptum erhalten, haben Sie die Anmeldung bereits hinter sich. Die Praktikumsleitung teilt vor dem ersten Versuch alle teilnehmenden Praktikanten in
Gruppen zu max. 10 Personen ein. Die Gruppennamen bestehen aus der Gruppennummer, der
Praktikumskennung (BGLC) und gegebenenfalls der Einteilung in Montag (Mo) oder Freitag
(Fr).
Beispiel: [5-BGLC-Mo] Gruppe 5 am Montag
Die Gruppeneinteilung hängt im Foyer des Physikpraktikums aus.
E.3.4
Versuche
Der Versuch „Die Kunst des Messens (Statistik)“ wird am ersten Versuchstag von allen Gruppen parallel durchgeführt! Das bedeutet, dass Sie für den Tag der Statistikübung diese vorher
mündlich und schriftlich vorzubereiten haben.
4
E INLEITUNG
Die folgenden neun Versuche werden von den Gruppen zyklisch durchlaufen. Jeder der Versuche wird von einem anderen Assistenten betreut. Auch hier bereiten Sie sich zu Hause mündlich und schriftlich auf den nächsten für Sie anstehenden Hauptversuch vor.
Es arbeiten jeweils zwei bis drei Teilnehmer einer Gruppe zusammen, und führen die Messungen gemeinsam durch. Jeder Praktikant führt sein eigenes Protokollbuch!
E.3.5
Ablauf
Am ersten Versuchstag durchlaufen Sie den kompletten Praktikumsablauf mit mündlichen Vortestat sowie Auswertung und Haupttestat.
Zum Praktikum benötigen Sie ein gebundenes Protokollbuch und einen Block Millimeterpapier, Aufzeichnungen auf Blöcken oder losen Blättern werden von den Assistenten nicht
akzeptiert. Zur Vorbereitung auf den Versuchstag sind in der Anleitung entsprechende Literaturhinweise gegeben. Die wesentlichen physikalischen Gesichtspunkte des jeweiligen Versuches fassen Sie stichpunktartig im Protokollbuch zusammen. Hierbei bearbeiten Sie auch die
Aufgaben zur Vorbereitung.
E.3.6
Vorbereitung
Für eine sinnvolle Teilnahme am Praktikum ist es Voraussetzung, dass sich jeder Praktikumsteilnehmer vor Antritt des Versuches auf den Stoff vorbereitet. Bei mangelnder Vorbereitung ist
eine Teilnahme am Versuch nicht möglich. Zu Beginn jeder Versuchsanleitung werden Ihnen
Stichpunkte zur Vorbereitung auf den Versuch gegeben und das für den jeweiligen Versuch
notwendige Stoffgebiet auf wenigen Seiten kurz umrissen. Als optische Hilfestellung sind
grundlegend wichtige Formeln
abgesetzt in einem grau unterlegten Kasten aufgeführt! Das bedeutet, dass Sie diese Formeln (und deren Bedeutung!) im Vortestat rauf- und runterbeten können, aber nicht, dass
Sie ausschließlich diese Formeln kennen sollen!
Der kurze Abriss gibt Ihnen ein Gerüst zur Vorbereitung an die Hand, kann aber nicht alle
Aspekte und Fragen beantworten. Dazu sei auf die angegebene Literatur in Abschnitt E.5 auf
Seite 9 verwiesen.
Das Minimalprogramm für eine schriftliche Vorbereitung (im Protokollbuch!) umfasst eine
stichwortartige Ausarbeitung der wichtigsten theoretischen Grundlagen für den Versuchsstoff
und für die im Versuch benötigten Formeln (Länge: 2–3 Seiten). Außerdem ist die Aufgabe zur
Vorbereitung zu lösen und muss im Protokollbuch für den Assistenten einzusehen sein. Die im
Skript erwähnten Stichpunkte sollten, i. d. R. unter Hinzuziehung von Sekundärliteratur, kurz
erläutert werden. Es ist jedoch niemandem damit gedient, wenn Skripttext oder Sekundärliteratur nur unreflektiert abgeschrieben werden. Daraus resultierende Wissenslücken werden
vermutlich beim mündlichen Vortestat schmerzlich offensichtlich!
E.3.7
Vortestat
Der Assistent prüft die Kenntnisse der Teilnehmer in einem Gruppengespräch. Dieses Gespräch soll auch dazu dienen, eventuelle Unklarheiten zu beseitigen. (Bei der Vorbereitung
aufkommende Fragen, die Sie nicht selbst klären konnten, sind erwünscht.) Studierende, denen die erforderlichen Kenntnisse fehlen, können an der Durchführung des Versuches nicht
E.3 Ablauf und Bewertung des Praktikums
5
teilnehmen. Lässt das Ergebnis des schriftlichen und mündlichen Vortestates eine Teilnahme
am Versuch zu, wird das Vortestat mit 1, 2, 3, 4 oder 5 Punkten bewertet. Bei ungenügender
Leistung im Vortestat muss der Praktikant vom Versuch ausgeschlossen werden. (Dies ist beispielsweise der Fall, wenn keine schriftliche Vorbereitung vorliegt.) Er kann diesen dann am
Nachholtermin wiederholen. Ist die Vorbereitungsaufgabe nicht bearbeitet, kann das Vortestat
maximal mit einem Punkt bewertet werden. Generell hat die Notenskala folgende Bedeutung:
0 Punkte Unzureichende Leistungen, entsprechen einer Nichtzulassung beim Versuch durch
Nachhauseschicken.
1 Punkt Leistungen, die starke Mängel aufweisen, aber gerade noch die Versuchsdurchführung zulassen bzw. gerade noch eine ausreichende Versuchsdurchführung darstellen.
2 Punkte Leistungen, die gegenüber den Anforderungen deutliche Mängel aufweisen, aber
Beschäftigung mit Interesse am Stoff erkennen lassen.
3 Punkte Leistungen, die etwa den Anforderungen entsprechen, aber geringe Lücken oder
Mängel aufweisen.
4 Punkte Gute Leistungen, die über den Anforderungen liegen, ggf. minimale Einschränkung
im Wissensstand.
5 Punkte Sehr gute Leistung, die explizit über den Anforderungen liegt.
E.3.8
Durchführung
Die Praktikanten führen nun den Versuch in 2er- bzw. 3er-Gruppen durch und protokollieren
ihn. Insbesondere muss aus dem Protokoll auch stichwortartig hervorgehen, wie der Versuch
durchgeführt wurde. Jeder Praktikant führt ein eigenes gebundenes Protokollbuch und beteiligt
sich aktiv am Versuch. Um bei der Durchführung Zeit zu sparen, kann man Tabellen(-köpfe),
Skizzen und dergleichen schon zu Hause eintragen. Messwerte, Auswertung und Schlüsse
daraus werden dann am Versuchstag eingetragen. An Messdaten darf nicht herumkorrigiert
werden, d.h. kein Bleistift, Tintenkiller o.ä. verwenden!
E.3.9
Auswertung und Haupttestat
Die Auswertung des Versuches wird von den Praktikanten direkt im Anschluss an die praktische Durchführung in den Praktikumsräumen angefertigt. Für Rückfragen stehen die Assistenten zur Verfügung. Je nach Versuch hat es sich auch als sinnvoll erwiesen, Teile der Messungen
und Auswertungen im zeitlichen Wechsel durchzuführen. Über die Einteilung der Mess- und
Auswertungsphasen entscheidet der Versuchsbetreuer. Vergessen Sie nicht, Millimeterpapier
mitzubringen!
Die Auswertung wird vom Assistenten bis spätestens 18 Uhr (Ferienpraktikum: 14 Uhr) durchgesehen und als Haupttestat mit 1, 2, 3, 4 oder 5 Punkten oder einer Ablehnung der Auswertung bewertet. Im letzteren Fall kann der Assistent einer Überarbeitung der Auswertung (bis
maximal zwei Werktage später) zustimmen, falls er das für sinnvoll erachtet. Eine solche überarbeitete Auswertung kann maximal mit zwei Punkten bewertet werden. Am Ende eines jeden
Versuchstages muss das Protokollbuch mit den Eintragungen der Messprotokolle vom Assistenten abgezeichnet werden.
6
E INLEITUNG
E.3.10
Voraussetzung für den Erhalt des Praktikumsscheines
Sie erhalten den Praktikumsschein, wenn die Bewertungen der Vortestate und der Haupttestate
jeweils in der Summe mindestens 30 Punkte erreichen. Es müssen alle Versuche erfolgreich,
d.h. mit Haupttestat abgeschlossen sein. Eine Anrechnung vor- oder haupttestierter Versuchsprotokolle auf das folgende Semester ist nicht vorgesehen, ebenso wenig das Nachholen fehlender Versuche im nächsten Semester.
E.4
Erstellung eines Graphen aus einer Tabelle
In vielen Versuchsteilen des Physikpraktikums und möglicherweise auch in Ihrer späteren Berufstätigkeit ist es erforderlich, eine X-Y-Wertetabelle aufzunehmen und zur Verdeutlichung
des Sachverhalts als Graph Y(X) darzustellen. Dabei werden die Messwerte Y als Funktion
des Parameters X graphisch in ein X-Y-Diagramm eingetragen. Hierbei treten anfangs häufig
Probleme auf, daher ist die Vorgehensweise im folgenden an einem praktischen Beispiel, der
Darstellung der Fieberkurve einer Testperson
erläutert:
E.4.1
Aufnahme der Wertetabelle
Der Parameter X ist dabei die Zeit, es wurde alle 8 Stunden gemessen. Y ist der jeweils gemessene Temperaturwert.
0
Zeit (in h)
∘
Temperatur (in C) 37,2
8
16
37,0 37,1
24
36,7
32
40
37,0 36,9
48
36,8
56
64
38,5 38,8
Zeit (in h) 72
Temperatur (in ∘ C) 37,4
80
88
36,6 36,4
96
37,0
104 112
39,8 39,2
120
36,5
128 136
36,4 38,9
Zeit (in h) 144
Temperatur (in ∘ C) 39,4
152 160
36,5 36,7
168
36,6
176 184
36,4 36,5
192
36,4
200 208
36,6 36,8
Zeit (in h) 216
Temperatur (in ∘ C) 36,5
224 232
36,6 36,5
240
36,4
Tabelle E.1: Wertetabelle der aufgenommenen Fieberkurve über 10 Tage
E.4 Erstellung eines Graphen aus einer Tabelle
E.4.2
7
Festlegung der Achsenbereiche des Diagrammes,
Beschriftung der Achsen
Der Parameter X (die Zeit) in Tabelle E.1 läuft von 0-240 Stunden. Bei der y-Achse, d.h. der
Temperatur, ist es wenig sinnvoll, die Werte ab 0 ∘ C aufzutragen, da dann die Variation zu
schwach sichtbar wäre. Deshalb wird die Darstellung mit einem sogenannten „unterdrückten
Nullpunkt“ gewählt. Dabei ist der minimale Skalenwert unterhalb des niedrigsten Messwertes
und der oberste Skalenwert oberhalb des höchsten gemessen Wertes anzusetzen. Treffen Sie
eine praktische Wahl des Verhältnisses Zahl der Zentimeter pro Grad Celsius (Y-Skala) bzw.
pro 8 Stunden (X-Skala). Für den vorliegenden Fall bietet es sich an, 1 cm pro Grad Celsius und
0,5 cm pro 8 Stunden anzusetzen. Die Auftragung erfolgt üblicherweise auf Millimeterpapier
(mitzubringen!).
In den Versuchsbeschreibungen tritt oft ein Arbeitsauftrag auf wie „Die Temperatur 𝑇 ist gegen
die Zeit 𝑡 aufzutragen“. Dies bedeutet, dass die Zeit 𝑡 auf der x-Achse und die Temperatur 𝑇
auf der y-Achse aufgetragen werden soll.
E.4.3
Eintragung der Wertepaare aus der Wertetabelle
in das Diagramm
Tragen Sie nun der Reihe nach alle Wertepaare in das Diagramm ein, um den gemessenen
Verlauf der Funktion Y(X) graphisch sichtbar zu machen. Gehen Sie dabei sehr sorgfältig vor
und beachten Sie Ihre Skalenwahl, d.h. Zahl der Kästchen des Millimeterpapiers pro Einheit
für die beiden Skalen. Vergessen Sie die Achsenbeschriftung (Größe, Einheit) nicht.
Abbildung E.1: Diagramm der Fieberkurve
E.4.4
Einzeichnen einer Ausgleichskurve
Um den graphischen Verlauf deutlicher sichtbar zu machen, kann man durch die eingezeichneten Punkte eine Ausgleichskurve legen. In manchen Fällen muss sich ein bekannter Verlauf
ergeben, z.B. eine Gerade. In vielen Fällen besteht aber ein Zusammenhang, der nicht analytisch bekannt ist, wie z.B. in der hier betrachteten Fieberkurve. Nur in diesem Fall können Sie
die Messwerte direkt miteinander verbinden, um z.B. die zeitliche Abfolge der Messungen deutlicher sichtbar zu machen! Sobald Ihrer Messung jedoch ein physikalischer Prozess zugrunde
8
E INLEITUNG
liegt, ist das direkte Verbinden von Messwerten schlicht falsch! (Was weder beim Aufnehmen
einer Fieberkurve noch beim Zählen von Pulsschlägen der Fall ist, deshalb wurden die Punkte
in Abbildung E.1 verbunden.)
Die Abbildung E.1 zeigt das X-Y-Diagramm der in der Tabelle E.1 aufgenommenen Fieberkurve. Sie sehen, dass der recht markante Verlauf der Fieberkurve in der graphischen Auftragung
wesentlich augenfälliger zum Ausdruck kommt als in der Wertetabelle!
Es ist sinnvoll, sich vor dem Zeichnen eines Diagramms zu überlegen, welche Größe man eigentlich veranschaulichen möchte, und, daraus folgend, welche Größen auf 𝑥- bzw. 𝑦-Achse
aufzutragen sind. Beispielsweise misst man in Versuch 3.2.1 den Strom in Abhängigkeit von
der angelegten Spannung; aus der Steigung der Geraden (Leitwert!) ermittelt man dann den
Ohmschen Widerstand. Es ist dabei vollkommen unerheblich, ob als Name „Strom-SpannungDiagramm“ oder „Spannung-Strom-Diagramm“ gewählt wurde. Wichtig ist nur der physikalische Hintergrund, nicht die jeweilige Bezeichnung!
E.4.5
Versuchsergebnisse
Am Ende jeder Auswertung und bei wichtigen Zwischenergebnissen wird das Fazit ins Protokollheft aufgenommen. Insbesondere sollten errechnete Ergebnisse kommentiert werden (etwa: (Nicht-)übereinstimmung mit dem Literaturwert oder mit den Angaben im Skript, Verbesserungsvorschläge).
E.4.6
Hinweise zu mathematischen Bezeichnungen
, ∂𝑟 ,
In diesem Skript werden verschiedene d‘s in Kombination mit Bezeichnern auftauchen: 𝑑𝑟
𝑑𝑡 ∂𝑡
Δ𝑟.
𝑑𝑟
Hierbei bezeichnet 𝑑𝑥
die totale Ableitung und ∂𝑟
die partielle Ableitung. Unter totaler bzw.
∂𝑡
partieller Ableitung wird die mathematische Ableitung der Größe 𝑟 bzw. der Funktion 𝑟(𝑡)
nach 𝑡 verstanden. Bei der partiellen Ableitung werden alle anderen Variablen konstant gehalten, während bei der totalen Ableitung auch die Abhängigkeit der anderen Variablen berücksichtigt wird. Der Unterschied zwischen totaler und partieller Ableitung ist für dieses
Praktikum nicht von Bedeutung.
Δ𝑟 bezeichnet den Fehler von 𝑟. Dies kann bei Messwerten z.B. der Ablesefehler bzw. die
Ableseungenauigkeit von Messgeräten sein; bei berechneten physikalischen Größen der mit
Hilfe von Fehlerfortpflanzung berechnete Fehler.
E.5 Literaturhinweise
E.5
9
Literaturhinweise
In diesem Skript werden zu Beginn eines jeden Versuches Stichworte zur gezielten Vorbereitung genannt. Hier soll nun auf die wichtigsten Lehrbücher zur vertiefenden Beschäftigung
der Versuchsthematik verwiesen werden. Es handelt sich um folgende Bücher:
∙ Tipler, Physik, Spektrum-Lehrbuch (gut lesbar, aber oft zu oberflächlich)
∙ Giancoli, Physik, Pearson Studium (gut lesbar, aber oft zu oberflächlich)
∙ Demtröder, Experimentalphysik, Springer (ausführliche Zusammenstellung in vier Bänden)
∙ Otten, Repetitorium der Experimentalphysik, Springer (kurze, klare Darstellung)
∙ Grehn, Joachim, Metzler Physik Gesamtband, Schroedel (Physikbuch für die Oberstufe
mit gutem Niveau)
∙ Alonso Finn, Physik, Inter-European Edition (ähnlich Otten)
∙ Stuart, Klages, Kurzes Lehrbuch der Physik, Springer (ähnlich Otten, aber noch etwas
kürzer)
∙ Orear, Physik, Hanser (ähnlich Otten)
∙ Walcher, Praktikum der Physik, Teubner (direkte Praktikumsvorbereitung, behandelt
Fehlerrechnung)
∙ Gerthsen, Kneser, Vogel, Meschede, Physik, Springer (das Nachschlagewerk, äußerst
knapp, von eher bescheidenem Wert für die Praktikumsvorbereitung)
Folgendes Lehrbuch behandelt insbesondere den Zusammenhang zwischen Physik und Physiologie:
∙ Deetjen, Speckmann, Physiologie, Urban & Fischer
10
E.6
E INLEITUNG
Basisgrößen und Einheiten
Hier sind die Basisgrößen und Einheiten des internationalen Einheitensystems (SI: Système
International d’Unités) der Physik zusammengestellt.
Tabelle E.2: Basisgrößen und Einheiten
E.7
Basisgröße
Basiseinheit Abkürzung der Einheit
Länge
Masse
Zeit
Stromstärke
Temperatur
Stoffmenge
Lichtstärke
Meter
Kilogramm
Sekunde
Ampere
Kelvin
Mol
Candela
m
kg
s
A
K
mol
cd
Dezimale Vielfache und Teile von Einheiten, SI-Präfixe
Tabelle E.3: Dezimale Vielfache und Teile von Einheiten
Zehnerpotenz
Name
Vorsatzzeichen
Beispiele
10−18
10−15
10−12
10−9
10−6
10−3
10−2
10−1
100
102
103
106
109
1012
1015
1018
Atto
Femto
Pico
Nano
Mikro
Milli
Zenti
Dezi
Hekto
Kilo
Mega
Giga
Tera
Peta
Exa
a
f
p
n
𝜇
m
c
d
h
k
M
G
T
P
E
am, as
fm, fs
pm, ps, pF
nm, ns, nF
𝜇m, 𝜇s, 𝜇F, 𝜇A
mm, ms, mH, mA
cm
dm
m, s, g
hPa, hl
km, kg, kV, kHz
MW, MHz
GW, GHz
TΩ, THz
—
—
E.8 Abkürzungen
E.8
11
Abkürzungen
In diesem Abschnitt werden die im Skript auftretenden Abkürzungen und Symbole in alphabetischer Reihenfolge aufgelistet. Griechische Symbole werden mit ihrer Benennung im Anschluss aufgelistet. Es kommt zu gleichen Abkürzungen für verschiedene physikalische Größen, was leider unvermeidlich ist.
Tabelle E.4: Allgemeine Abkürzungen
A BKÜRZUNGEN
Symbole
Bedeutungen
⃗𝑎, 𝑎
𝐴
Beschleunigung, Thermokraft
Fläche
𝑏
⃗ 𝐵
𝐵,
Bildweite, Länge
magnetische Flussdichte (Magnetfeld), Bildgröße
𝑐
𝑐𝑝
𝑐𝑣
𝐶
Lichtgeschwindigkeit im Vakuum und in verschiedenen Medien,
spezifische Wärmekapazität, Konzentration von Stoffen
spezifische Wärmekapazität bei konstantem Druck
spezifische Wärmekapazität bei konstantem Volumen
Wärmekapazität, Kapazität eines Kondensators
𝑑
𝐷
(Schicht)dicke
Brechkraft
𝑒
⃗
𝐸, 𝐸
𝐸𝐴
Elementarladung
elektrische Feldstärke, Energie
Aktivierungsenergie
𝑓
𝐹⃗
Brennweite, Frequenz
Kraft
𝑔
𝐺
Gegenstandsweite, Gitterkonstante, Erdbeschleunigung
Gegenstandsgröße, Leitwert
ℎ
Höhe
𝐼
Stromstärke
𝐽
Volumenstromstärke, Drehimpuls, Schallintensität
12
E INLEITUNG
A BKÜRZUNGEN (Fortsetzung)
Symbole
⃗𝑘, 𝑘
𝑘𝐵
Bedeutung(en)
Wellenzahlvektor, natürliche Extinktionskonstante
Boltzmannkonstante
𝑙
𝐿
Länge
Induktivität, Lautstärke
𝑚
𝑀
Masse
Molekulargewicht
𝑛
𝑝
𝑃
Brechungsindex
Impuls, Druck, Schalldruck
Leistung
𝑄
Ladung, Wärmemenge
𝑟
𝑅
Radius
Widerstand, molekulare Gaskonstante, Radius
⃗𝑠
𝑠0
𝑆𝐽
𝑆𝑃
Weg, Strecke
deutliche Sehweite
Schallintensitätspegel
Schalldruckpegel
𝑡
𝑇
Zeit, Tubuslänge
Temperatur, Periodendauer
𝑈
Spannung
⃗𝑣
𝑉
Geschwindigkeit
Vergrößerung
𝑊
Energie
𝑥
Weg, Strecke
𝑍
Impedanz
E.8 Abkürzungen
13
Tabelle E.5: Griechische Symbole
Symbol
Name
𝛼
𝛼0
𝛽
Γ𝐾
𝜀, 𝜀0
𝜂
Θ
𝜗
𝜅
𝜆
Λ𝑆
Λ𝑉
𝜈
𝜌
𝜎
alpha
𝜏
𝜑
𝜙
𝜔
beta
gamma
epsilon
eta
theta
theta
kappa
lambda
Lambda
ny
rho
sigma
tau
phi
phi
omega
Bedeutungen
Winkel
spezifisches Drehvermögen
Winkel, Abbildungsmaßstab
Wärmekapazität des Kalorimeters
Sehwinkel
dynamische Viskosität
Trägheitsmoment
Temperatur in Grad Celsius
Kompressibilität von Gasen
Wellenlänge
spezifische Schmelzwärme
spezifische Verdampfungswärme
Frequenz
Dichte, spezifischer Widerstand
Standardabweichung, elektrische Leitfähigkeit.
spezifische Oberflächenenergie, Oberflächenspannung
Schubspannung
Winkel, Drehwinkel
Winkel, Lichtstrom
Winkelgeschwindigkeit, Kreisfrequenz
14
E INLEITUNG
Versuch 1: Die Kunst des Messens
— Versuchsziel —
Grundlage der Bewertung eines physikalischen Experimentes ist das Ergebnis zusammen
mit einer Abschätzung seiner Gültigkeit. Ziel dieses Versuches ist es, die Genauigkeit einer
Messung mittels der Fehlerrechnung abzuschätzen.
Der Versuch gliedert sich in drei Teile:
∙ Bestimmung der Reaktionszeit eines Studenten und die Auswertung des Versuches mit
statistischen Methoden.
∙ Bestimmung von systematischen und statistischen Fehlern anhand einer Frequenzmessung.
∙ Bestimmung der Erdbeschleunigung.
Grundbegriffe: Darstellung von Messgrößen, systematische Fehler, statistische Fehler,
Mittelwert, Varianz, Standardabweichung, Fehlerrechnung, Fehlerfortpflanzung, Normalverteilung, Histogramm.
16
1.1
1.1.1
V. 1
D IE K UNST DES M ESSENS
Fehlerrechnung
Vorbemerkung
Zu jeder Messung einer physikalischen Größe gehört eine Angabe über den Messfehler oder
zumindest über dessen Größenordnung. Bei Messfehlern unterscheidet man zwischen systematischen und zufälligen Fehlern.
1.1.2
Systematische Fehler
Systematische Fehler liegen z.B. vor, wenn die bei der Messung verwendeten Messgeräte
falsch geeicht sind, wenn also beispielsweise ein Metermaß nur 997 mm lang ist. Absolute
Kalibrationsfehler sind nur schwer zu erkennen; sie erfordern eine besondere Kontrolle der
Messgeräte.
Systematische Fehler können aber auch durch das angewandte Messverfahren oder die Nichtbeachtung von Nebenumständen hervorgerufen werden. So wird z.B. bei der Messung des
Durchmessers eines Gummischlauchs mittels einer Schieblehre der Schlauch beim Anlegen
der Backen deformiert; die Messergebnisse werden deshalb kleiner ausfallen als die wahren
Werte.
Die Beurteilung systematischer Fehler — die bei oberflächlichen Untersuchungen unbemerkt
bleiben — erfordert eine kritische Analyse und sorgfältiges Durchdenken des Messverfahrens.
Die (positive) Kritik einer Messung zielt darauf ab, alle auf das Ergebnis der Messung wirkenden Einflüsse klein zu halten oder aber zu korrigieren.
1.1.3
Zufällige oder statistische Fehler
Auch bei völliger Ausschaltung systematischer Fehler wird die mehrmalige Messung einer
Größe niemals exakt übereinstimmende Messergebnisse liefern; rein zufällig fallen die Ergebnisse einmal größer, ein anderes Mal kleiner aus.
Man spricht dann von zufälligen oder statistischen Fehlern und kann mit den Ergebnissen der
einzelnen Messungen Statistik treiben.
1.1.4
Fehlerkennzeichnung
Aus der prinzipiell sehr großen möglichen Anzahl von gleichen Messungen einer Messgröße
(Grundgesamtheit) bilden die tatsächlich ausgeführten eine Stichprobe. Führt man 𝑁 Einzelmessungen durch, so nennt man in der Statistik alle 𝑁 Messungen eine Stichprobe vom Umfang 𝑁 und alle Messergebnisse 𝑥𝑖 die Stichprobenwerte. Gesucht ist nun ein bester Schätzwert für den wahren Wert 𝜇 der Messgröße 𝑥 und ein Maß für die Unsicherheit dieser Schätzung.
Bester Schätzwert für den wahren Wert 𝜇 einer Messgröße 𝑥 ist das
arithmetische Mittel
𝒙
¯=
𝑵
1 ∑
𝑵
𝒊=1
𝒙𝒊 .
(1.1)
1.1 Fehlerrechnung
17
Ein Maß für die Streuung der Messwerte um den Mittelwert ist die
Varianz
1
2
𝒔 =
𝑵 −1
𝑵
∑
(𝒙𝒊 − 𝒙
¯ )2 .
(1.2)
𝒊=1
Die Wurzel aus der Varianz nennt man
Standardabweichung (der Einzelmessung)
v
u
𝑵
u 1
∑
⎷
𝒔=
(𝒙𝒊 − 𝒙
¯ )2 .
𝑵 − 1 𝒊=1
(1.3)
Alle bisher genannten Abweichungen (Fehler) beziehen sich auf die Einzelmessungen, d.h.
sie geben die Standardabweichung des Ergebnisses einer Einzelmessung vom Mittelwert aus
allen Einzelmessungen an. Eine Vergrößerung der Anzahl der Messungen 𝑁 führt zwar zu
einer Verbesserung des Mittelwertes 𝑥¯ (er nähert sich dem wahren Wert 𝜇), nicht aber zu einer
wesentlichen Verkleinerung der Standardabweichung 𝑠, weil mit der Anzahl der Messungen
die Genauigkeit der Einzelmessung nicht steigen kann. Eine Größe, die angibt, wie „sicher“
der Mittelwert 𝑥¯ ist, ist die Varianz 𝑚2 des Mittelwerts bzw. die
Standardabweichung des Mittelwerts (auch Standardfehler genannt)
𝒔
𝒎= √ .
𝑵
(1.4)
Mit großer Wahrscheinlichkeit liegt der wahre Wert 𝜇 einer Messgröße im Intervall 𝑥¯ ± 𝑚:
𝜇 = 𝑥¯ ± 𝑚.
(1.5)
Neben dem Standardfehler 𝑚 ist zur Angabe des absoluten Messfehlers Δ𝑥 evtl. noch der abgeschätzte Betrag für nicht erfassbare oder nicht erfasste systematische Fehler ∣𝑤∣ zu addieren:
Δ𝑥 = 𝑚 + ∣𝑤∣
(1.6)
Im Praktikum kann ∣𝑤∣ häufig weggelassen werden, doch sollte dies gut durchdacht werden.
Als relativen Messfehler bezeichnet man die Größe
Δ𝑥𝑟 =
Δ𝑥
.
𝑥¯
(1.7)
Sie wird in Prozent angegeben. Dazu wird Glg. (1.7) einfach mit 100 % multipliziert.
1.1.5
Fehlerfortpflanzung
Bisher wurde nur der Fehler einer direkt gemessenen Größe behandelt. In der Praxis wird sich
das Ergebnis häufig aus mehreren solchen Größen zusammensetzen:
𝑅 = 𝑅(𝑥, 𝑦, 𝑧, . . .).
(1.8)
18
V. 1
D IE K UNST DES M ESSENS
Zunächst wollen wir den Größtfehler bestimmen, der die in der Praxis durchaus mögliche
Kompensation der Einzelfehler nicht berücksichtigt. Dieser absolute Größtfehler kann folgendermaßen berechnet werden:
)
(
∂𝑅 ∂𝑅 ∂𝑅 ⋅ Δ𝑥 + (1.9)
Δ𝑅 = Δ𝑅(𝑥, 𝑦, 𝑧, . . .) = ∂𝑦 ⋅ Δ𝑦 + ∂𝑧 ⋅ Δ𝑧 + . . . .
∂𝑥 Man sieht, dass sich bei Summen oder Differenzen (z.B. 𝑅 = 𝑥 + 2𝑦 − 3𝑧) die absoluten
Fehler addieren: Δ𝑅 = Δ𝑥 + 2Δ𝑦 + 3Δ𝑧.
Merke: Der absolute Größtfehler einer Summe bzw. einer Differenz von Messwerten ist
die Summe der absoluten Fehler der Messwerte. Steht vor einer Messgröße eine Konstante,
so wird der Absolutfehler mit dieser Konstanten multipliziert.
Bei Multiplikationen und Divisionen hingegen (z.B. 𝑅 = 2𝑥/𝑦) addieren sich die relativen
= Δ𝑥
+ Δ𝑦
.
Größtfehler: Δ𝑅
𝑅
𝑥
𝑦
Merke: Der relative Fehler eines Produktes bzw. eines Quotienten von Messwerten ist die
Summe der relativen Fehler der Messwerte. Tritt eine Messgröße mit einem Exponenten ∕= 1
auf (z.B. −1/2 oder 2), so wird deren relativer Fehler mit dem Betrag dieses Exponenten
multipliziert.
Sind die Fehlerursachen unabhängig voneinander, so führt deren Überlagerung zu einem teilweisen Ausgleich der Fehlerbeiträge. Das Gaußsche Fehlerfortpflanzungsgesetz liefert dann
den
mittleren absoluten Fehler
v(
u 2 2 2 )
u 𝝏𝑹
𝝏𝑹
𝝏𝑹
⋅ Δ𝒙 + ⋅ Δ𝒚 + ⋅ Δ𝒛 .
Δ𝑹(𝒙, 𝒚, 𝒛) = ⎷ 𝝏𝒙
𝝏𝒚
𝝏𝒛
Hinweis: Im Praktikum können die partiellen Ableitungen (z.B.
𝑑
) ersetzt werden.
talen Ableitungen (z.B. 𝑑𝑥
1.1.6
∂
)
∂𝑥
(1.10)
durch die gewohnten to-
Normalverteilung
Eine Häufigkeitsverteilung für Messwerte einer Messgröße erarbeitet man, indem man in einer
Stichprobe ermittelt, wie oft verschiedene Messwerte vorkommen. Diese Anzahl heißt absolute Häufigkeit der betreffenden Werte. Nach Division durch den Stichprobenumfang 𝑁 erhält
man die relative Häufigkeit der Stichprobenwerte.
Für sehr großen Stichprobenumfang (𝑁 → ∞) geht die Häufigkeitsverteilung der Messwerte
für viele Fälle (nicht immer!) in eine Normalverteilung oder Gaußverteilung über:
(
)
1
(𝑥 − 𝜇)2
𝑓 (𝑥) = √
⋅ exp −
.
(1.11)
2 ⋅ 𝜎2
2𝜋 ⋅ 𝜎
Dabei gibt 𝑓 (𝑥) ⋅ 𝑑𝑥 die Wahrscheinlichkeit dafür an, dass der Wert 𝑥 im Intervall zwischen
𝑥 und 𝑑𝑥 liegt. 𝜇 ist der wahre Wert der Messgröße, 𝜎 die Standardabweichung der Grund-
1.1 Fehlerrechnung
19
gesamtheit, d.h. einer unendlich großen Stichprobe. Im Unterschied dazu sind 𝑥¯ und 𝑠 die
zugehörigen besten Schätzwerte.
Die graphische Darstellung der Fkt.(1.11) ist eine Glockenkurve, siehe Abbildung 1.1. Das
Maximum liegt an der Stelle 𝑥 = 𝜇; zwischen (𝜇 − 𝜎) und (𝜇 + 𝜎) liegen 68% aller 𝑥-Werte.
Die Halbwertsbreite 𝑏 (volle Breite der Kurve in halber Höhe des Maximums) ist:
𝑏 = 2,355 ⋅ 𝜎.
1.1.7
(1.12)
Histogramm
Zur Veranschaulichung der Häufigkeitsverteilung von Messwerten verwendet man ein Histogramm. In ihm wird die Häufigkeit der in einzelne Intervalle (Klassen) fallenden Messwerte
über den Intervallen graphisch aufgetragen. Die Erstellung eines Histogramms soll im folgenden anhand eines Beispiels erläutert werden. Die Messung der Reaktionszeit eines Studenten
ergab folgende Werte:
K
1
2
3
4
5
𝑡/s
0,21
0,22
0,23
0,24
0,25
0,26
0,27
0,28
0,29
0,30
0,31
0,32
0,33
0,34
0,35
Strichliste Häufigkeit Häufigkeit für die Klassen
0
I
1
1
0
I
1
III
3
6
II
2
IIIII
5
IIII
4
11
II
2
II
2
II
2
5
I
1
0
I
1
2
I
1
Tabelle 1.1: Reaktionszeit eines Studenten: Häufigkeitstabelle.
√
Zur Erstellung des Histogramms teilt man den Messbereich (0,21 s – 0,35 s) in etwa 𝑁 Klassen ein, wenn man 𝑁 Messungen durchgeführt hat. In diesem Beispiel werden die 25 Messwerte in 5 Klassen (Intervalle) gleicher Breite eingeteilt. Dann wird die Häufigkeit für die
einzelnen Klassen bestimmt. Im Histogramm Abb. 1.1 wird über die Klassenbreite ein Rechteck gezeichnet, dessen Höhe der Häufigkeit entspricht. Wird die Anzahl der Klassen durch
eine immer größere Anzahl 𝑁 erhöht, kann man im Histogramm die oberen Rechteckseiten
durch eine stetige Kurve ersetzen. Mit den Werten aus Tab. 1.1.7 wurden Mittelwert 𝑡¯ und
Standardabweichung 𝑠 berechnet und die zugehörige Normalverteilung aus Glg. (1.11) in die
Abb. 1.1 (S. 20) eingezeichnet.
20
V. 1
D IE K UNST DES M ESSENS
12
Häufigkeit
10
8
6
b
4
2
0
0,15
t-s
0,2
0,25
t+s
t
0,3
0,35
Reaktionszeit t [s]
Abbildung 1.1: Reaktionszeit eines Studenten: Histogramm.
1.1.8
Aufgabe zur Vorbereitung
Aufgabe: Rechnen Sie zur Vorbereitung 𝑡¯ und 𝑠 nach!
0,4
1.2 Versuchsdurchführung
1.2
21
Versuchsdurchführung
1.2.1
Messung von Reaktionszeiten
Es sollen die Reaktionszeiten der Versuchsausführenden gemessen werden.
Material: Für diesen Versuchsteil benötigen Sie: eine Stoppuhr, einen Elektromagneten,
einen Endschalter.
Zur Messung der Reaktionszeit startet eine Person die Stoppuhr, siehe Abbildung 1.2. Dabei
erlischt die rote Leuchtdiode beim Elektromagneten für einen kurzen Moment. Eine andere
Person hält dann die Stoppuhr durch Betätigen des Endschalters sofort wieder an. Der zwischen Ein- und Ausschalten verstrichene Zeitraum ist die Reaktionszeit.
E n d ta s te r
N e tz te il
B N C
H a lte m a g n e t
S to p p u h r
Abbildung 1.2: Aufbau und Verschaltung für die Messung der Reaktionszeiten.
Aufgaben:
∙ Bauen Sie die Schaltung aus Abbildung 1.2 auf!
∙ Fertigen Sie eine Tabelle an, in der Sie die Ergebnisse Ihrer Messungen notieren!
∙ Um eine statistische Auswertung des Versuches vornehmen zu können, benötigen
Sie eine hinreichende Anzahl von Versuchen (eine Stichprobe). Führen Sie also 25
Messungen wie oben beschrieben durch!
∙ Bestimmen Sie aus dieser Versuchsreihe die Schätzwerte für den Mittelwert
√
𝑡=
1
𝑛
𝑛
∑
𝑛
∑
𝑡𝑖 und die Standardabweichung der Einzelmessung 𝜎𝑡 =
𝑖=1
(𝑡𝑖 −𝑡)2
𝑖=1
𝑛−1
!
∙ Um die Daten auszuwerten, tragen Sie sie in ein Histogramm
(siehe 1.1.7) ein, wobei
√
Sie als Faustregel bei 𝑛 Versuchen die Ergebnisse in 𝑛 Klassen einsortieren! Diese
Klassen sollten alle ungefähr die Breite 𝜎𝑡 besitzen.
∙ Tragen Sie Mittelwert und Standardabweichung in das Histogramm ein. Was für eine
Häufigkeitsverteilung hätten Sie erwartet?
22
V. 1
1.2.2
D IE K UNST DES M ESSENS
Frequenzmessung
Messen Sie Pulsfrequenzen.
Material: Zeitmessanordnung aus Versuchsteil 1.2.1.
Aufgaben:
∙ Messen Sie an einem Praktikumsteilnehmer je dreimal die Zeit, die für 20 (100)
Schläge des Herzens benötigt wird! Geben Sie beide Ergebnisse mit statistischen Fehlern an!
∙ Vergleichen Sie beide statistischen Fehler! Welcher ist geringer und warum?
∙ Wieviele Messungen à 20 bzw. 100 Schläge müssten Sie durchführen, um den relativen statistischen Fehler unter 0,5% zu senken?
∙ Sie haben nun die Pulsfrequenz eines Teilnehmers bestimmt. Messen Sie jetzt an
einem zweiten Teilnehmer dreimal die Zeit, die für 100 Schläge benötigt wird und
bestimmen Sie wiederum die Pulsfrequenz!
∙ Vergleichen Sie Messwerte und Fehler! Diskutieren Sie die Gründe für die beobachteten Unterschiede!
∙ Am Praktikum nehmen 300 Studenten teil, von denen Sie bereits zwei Teilnehmer
vermessen haben. Erwarten Sie bei einer Messung der durchschnittlichen Pulsfrequenz aller Praktikumsteilnehmer neben den oben diskutierten messungsbedingten
noch weitere statistische Fehler?
∙ Diskutieren Sie auch die bei einer Erweiterung der Messung zu erwartenden systematischen Fehler und ihre Minimierung (z.B. Einfluss von Wetteränderungen oder
Tagesrhythmus im Zusammenhang mit der Zahl von Messgeräten und dem Zeitaufwand pro Messung)!
1.2 Versuchsdurchführung
1.2.3
23
Erdbeschleunigung
Material: Stativ, Kugelpendel
Im vorigen Versuchsteil wurde ein natürliches System untersucht und festgestellt, dass dabei neben den durch den Versuchsaufbau bedingten statistischen Fehlern auch die Messplanung auf die Gültigkeit von Stichproben-Messungen einen großen Einfluss hat. Abschließend
soll ein System untersucht werden, für welches allgemeine Gesetze gelten, d.h. für welches
theoretische Vorhersagen und deren Bestätigung bereits vorliegen: das Fadenpendel. Die zugrundeliegende Physik soll hier nicht interessieren! Wichtig ist aber, dass die Messung der
Pendelfrequenz und der Fadenlänge Ihnen Auskunft über die Schwerkraft liefert.
Aus unzähligen Versuchen von Praktikumsteilnehmern einerseits und bereits sehr alten theoretischen Überlegungen andererseits weiß man, dass die Kreisfrequenz 𝜔 einer Pendelschwingung sowohl von der Erdbeschleunigung 𝑔 als auch von der Fadenlänge ℓ abhängt:
√
𝑔
.
(1.13)
𝜔=
ℓ
Sie ist unabhängig von der Masse des Pendels. Also kann man aus der Messung von 𝜔 und ℓ
die Erdbeschleunigung bestimmen.
Aufgaben:
∙ Hängen Sie das Kugelpendel an das Stativ und stoppen Sie die für 50 Perioden benötigte Zeit!
∙ Die Kreisfrequenz berechnet sich daraus zu 𝜔 = 2𝜋
, wobei 𝑇 die Periodendauer
𝑇
darstellt. Die Länge ℓ wird mit dem Metermaß gemessen. Bestimmen Sie 𝑔!
∙ Führen Sie eine Fehlerfortpflanzung nach Gauß durch:
√
( )2
2
2ℓ
4𝜋
2
Δ𝑔 = 2 (Δℓ) +
(Δ𝑇 )2 .
𝑇
𝑇
Als Fehler für ℓ und 𝑇 (Δℓ und Δ𝑇 ) ist der Ablesefehler zu nehmen.
∙ Leiten Sie die Beziehung (1.14) mit Hilfe von (1.10) ab!
(1.14)
24
V. 1
D IE K UNST DES M ESSENS
Versuch 2: Klassische Mechanik
— Versuchsziel —
Ziel des Versuches ist es, in die Methodik physikalischen Messens einzuführen und mit der
Auswertung von Experimenten vertraut zu machen.
Der Versuch gliedert sich in zwei Teile:
∙ Messung des Weg-Zeit-Gesetzes für das Abrollen einer Kugel in einer schiefen Winkelschiene.
∙ Bestimmung der Erdbeschleunigung 𝑔.
Grundbegriffe: Kinematik, Translations- und Rotationsbewegungen, Trägheit, freier Fall,
Masse, Kraft, Newtonsche Axiome, potentielle und kinetische Energie, Energieerhaltungssatz, Arbeit, Leistung, schiefe Ebene
26
2.1
2.1.1
V. 2
K LASSISCHE M ECHANIK
Physikalische Grundlagen
Kinematik
Man betrachte die Bewegung eines Massenpunktes und beschreibe seinen Ort zur Zeit 𝑡 durch
die Funktion ⃗𝑟(𝑡). Ist dieser Körper nicht in Ruhe, so legt er in dem Zeitintervall Δ𝑡 = 𝑡2 − 𝑡1
den Weg Δ⃗𝑟 = ⃗𝑟(𝑡2 )−⃗𝑟(𝑡1 ) zurück. Nun kann man seine mittlere Geschwindigkeit in diesem
Zeitintervall berechnen:
Δ⃗𝑟
.
(2.1)
⃗𝑣 =
Δ𝑡
Bildet man den Grenzwert 𝑡2 → 𝑡1 so erhält man die Momentangeschwindigkeit zum Zeitpunkt 𝑡1 :
𝑑⃗𝑟
⃗𝑣 (𝑡1 ) =
= ⃗𝑟˙ (𝑡1 ).
(2.2)
𝑑𝑡
Somit kann man die Geschwindigkeit ⃗𝑣 (𝑡) berechnen, indem man ⃗𝑟(𝑡) nach der Zeit ableitet.
Ebenso wird auch die Beschleunigung ⃗𝑎(𝑡) definiert. Sie ist die Änderung der Geschwindigkeit
Δ⃗𝑣 , dividiert durch die dazu benötigte Zeit:
⃗𝑎(𝑡) =
𝑑⃗𝑣
= ⃗𝑣˙ (𝑡) = ⃗𝑟¨(𝑡).
𝑑𝑡
(2.3)
(Anm.: Die Punkte symbolisieren jeweils eine Zeitableitung.) Ist die Funktion ⃗𝑣 (𝑡) bekannt,
so erhält man die Beschleunigung ⃗𝑎(𝑡) durch Ableiten von ⃗𝑣 (𝑡). Umgekehrt kann man bei bekannter Funktion 𝑎(𝑡) durch Integration wieder auf die Geschwindigkeit 𝑣(𝑡) zurückschließen:
∫ 𝑡1
𝑎(𝑡)𝑑𝑡 = 𝑣(𝑡1 ) − 𝑣0 ,
(2.4)
0
wobei 𝑣(𝑡 = 0) = 𝑣0 die Anfangsgeschwindigkeit ist. Somit ist:
∫ 𝑡1
𝑣(𝑡1 ) =
𝑎(𝑡)𝑑𝑡 + 𝑣0 .
(2.5)
0
Für eine gleichmäßig beschleunigte Bewegung (𝑎(𝑡) = konst.) erhält man hieraus:
𝑣(𝑡) = 𝑎 ⋅ 𝑡 + 𝑣0 .
(2.6)
Durch nochmalige Integration ergibt sich das
Weg-Zeit-Gesetz
𝒔(𝒕) =
1
2
⋅ 𝒂 ⋅ 𝒕2 + 𝒗0 ⋅ 𝒕 + 𝒔0 ,
(2.7)
wobei 𝑠0 den Ort des Massenpunktes zum Zeitpunkt 𝑡0 angibt.
2.1.2
Dynamik
1. Newtonsches Axiom (Trägheitsprinzip)
Wenn keine Kraft auf ihn einwirkt, befindet sich ein Körper im Zustand der Ruhe oder der
gleichförmig geradlinigen Bewegung.
2.1 Physikalische Grundlagen
27
2. Newtonsches Axiom (Aktionsprinzip)
⃗
Um einen Körper zu veranlassen, seinen Bewegungszustand zu ändern, muss eine Kraft 𝑭
wirken.
Wenn man sich auf Gegenstände beschränkt, die ihre Masse nicht zeitlich ändern, so wird
diese Erfahrungstatsache mit der Bewegungsgleichung
𝐹⃗ = 𝑚 ⋅ ⃗𝑎 = 𝑚 ⋅ ⃗𝑟¨.
(2.8)
erfasst. Hierbei ist 𝐹⃗ die Kraft, 𝑚 die Masse und ⃗𝑎 die Beschleunigung. Die Einheit der Kraft
ist ein Newton: 1 N = 1 kg ⋅ m/s2 . Auf der Erdoberfläche (genauer: in Mainz) bewirkt die
Gravitationskraft eine Beschleunigung 𝑔 von 𝑔 = 9,81 m/s2 .
3. Newtonsches Axiom (Reaktionsprinzip)
Jede Kraft bewirkt eine Gegenkraft (actio = reactio.)
2.1.3
Rotation
Die Drehbewegung eines starren Körpers um eine Achse ist vollständig beschrieben, falls man
die Funktion 𝜑(𝑡) (𝜑 ist der Drehwinkel) zu jedem Zeitpunkt kennt. Somit kann man die
Winkelgeschwindigkeit 𝜔 analog zur Geschwindigkeit ⃗𝑣 definieren, indem man den Ort ⃗𝑟
durch den Drehwinkel 𝜑(𝑡) ersetzt:
𝜔(𝑡) =
𝑑𝜑
= 𝜑(𝑡).
˙
𝑑𝑡
(2.9)
Konsequenterweise wird die Winkelbeschleunigung 𝛼 definiert als die zeitliche Ableitung
der Winkelgeschwindigkeit:
𝑑𝜔
𝛼(𝑡) =
= 𝜔˙ = 𝜑(𝑡).
¨
(2.10)
𝑑𝑡
Man betrachte nun einen Körper der Masse 𝑚, der mit konstanter Geschwindigkeit 𝑣 um eine
Achse mit dem Radius 𝑟 rotiert (vgl. Abb. 2.1). Seine kinetische Energie ist gegeben durch:
𝑊kin =
1
⋅ 𝑚 ⋅ 𝑣2.
2
(2.11)
Die (Translations)Geschwindigkeit 𝑣 ist mit der Winkelgeschwindigkeit 𝜔 wie folgt verknüpft
𝑣 = 𝜔 ⋅ 𝑟.
(2.12)
Diese Beziehung in Glg. (2.11) eingesetzt, ergibt
𝑊kin =
1
1
⋅ 𝑚 ⋅ 𝑟2 ⋅ 𝜔 2 = ⋅ Θ ⋅ 𝜔 2 .
2
2
(2.13)
Dabei wird Θ = 𝑚 ⋅ 𝑟2 das Trägheitsmoment genannt. Dies gilt jedoch nur für den Spezialfall
einer punktförmigen Masse. Das Trägheitsmoment eines beliebigen Körpers ist das Integral
über alle infinitesimal kleinen Massenelemente 𝑑𝑚 im Abstand 𝑟 von einer Achse:
∫
∫
2
Θ = 𝑟 ⋅ 𝑑𝑚 =
𝑟2 ⋅ 𝜌 𝑑𝑉.
(2.14)
Volumen
28
V. 2
r
m
d m
r
K LASSISCHE M ECHANIK
R
Abbildung 2.1: Links: Körper der Masse 𝑚, der im Abstand 𝑟 um eine Achse rotiert. Rechts:
Kugel mit Radius 𝑅 und Gesamtmasse 𝑚, die um eine Achse durch den Kugelmittelpunkt
rotiert. Eingezeichnet ist ein infinitesimales Massenelement 𝑑𝑚 mit Abstand 𝑟 von der Drehachse.
Zur Berechnung setzt man 𝑑𝑚 = 𝜌 𝑑𝑉 , wobei 𝜌 die Dichte ist. Für eine Kugel mit der Masse 𝑚 und Radius 𝑅 erhält man auf diese Weise bei Rotation um eine Achse, die durch den
Kugelmittelpunkt geht (siehe Abb. 2.1) :
2
ΘKugel = 𝑚 ⋅ 𝑅2 .
5
2.1.4
(2.15)
Energieerhaltungssatz
Einer der wichtigsten Sätze der Physik ist der Energieerhaltungssatz. Energie kann weder erzeugt noch vernichtet werden, jedoch können verschiedene Energieformen ineinander umgewandelt werden. Daher lautet der
Energieerhaltungssatz:
In einem abgeschlossenen System ist die Summe aller Energieformen konstant.
Für diesen Versuch sind folgende Energieformen relevant:
1. Die kinetische Energie 𝑊kin . Sie wird unterteilt in:
(a) Translationsenergie
𝑊trans =
1
⋅ 𝑚 ⋅ 𝑣2,
2
(2.16)
(b) Rotationsenergie
𝑊rot =
1
⋅ Θ ⋅ 𝜔2.
2
(2.17)
2. Die potentielle Energie 𝑊pot im homogenen Schwerefeld der Erde:
Potentielle Energie
𝑊pot = 𝑚 ⋅ 𝑔 ⋅ ℎ.
(2.18)
2.1 Physikalische Grundlagen
29
Dabei ist ℎ die Höhendifferenz zwischen End- und Anfangspunkt der Bewegung. Der Energieerhaltungssatz lautet somit
𝑊ges = 𝑊pot + 𝑊trans + 𝑊rot = const.
2.1.5
(2.19)
Schiefe Ebene
In Abb. 2.2 ist ein sich auf einer schiefen Ebene befindlicher Körper gezeigt. Auf ihn wirkt
die Schwerkraft 𝐹⃗G , die sich in die Hangabtriebskraft 𝐹⃗H und die Normalkraft 𝐹⃗N zerlegen
lässt. Die Normalkraft 𝐹⃗N steht senkrecht zur Oberfläche und trägt dementsprechend nicht zur
Bewegung bei. Hierfür ist nur die Hangabtriebskraft 𝐹⃗H verantwortlich:
∣𝐹⃗H ∣ = ∣𝐹⃗G ∣ ⋅ sin 𝛼 = 𝑚 ⋅ 𝑔 ⋅ sin 𝛼.
(2.20)
Nun kann man nach Glg. (2.8) die Beschleunigung ausrechnen:
∣𝐹⃗H ∣
𝑚 ⋅ 𝑔 ⋅ sin 𝛼
=
= 𝑔 ⋅ sin 𝛼.
𝑚
𝑚
𝑎 = ∣⃗𝑎∣ =
(2.21)
Die zurückgelegte Strecke 𝑠 hängt mit der durchlaufenen Höhendifferenz ℎ folgendermaßen
zusammen:
ℎ
sin 𝛼 = .
(2.22)
𝑠
F
h
F
s
H
N
a
a
F
G
a
Abbildung 2.2: Kräfteparallelogramm für die schiefe Ebene: Auf den Körper wirkt die Schwerkraft 𝐹⃗G , die sich in die Hangabtriebskraft 𝐹⃗H und die Normalkraft 𝐹⃗N zerlegen lässt.
2.1.6
Vergleich Rotation – Translation
Die Struktur der Formeln, die eine Rotations- bzw. Translationsbewegung beschreiben, sind
äquivalent. Die Größen, die sich entsprechen, sind in Tab. 2.1 aufgelistet. Beachten Sie aber,
dass beim Vergleich von Translations- und Rotationsgrößen die physikalischen Einheiten unterschiedlich sind, mit Ausnahme der Energie.
30
V. 2
K LASSISCHE M ECHANIK
Translation
Rotation
Weg:
⃗𝑟(𝑡)
Geschwindigkeit: ⃗𝑣 (𝑡) = ⃗𝑟˙ (𝑡) = 𝑑⃗𝑟/𝑑𝑡
Winkel:
𝜑(𝑡)
Winkelgeschwindigkeit: 𝜔(𝑡) = 𝜑(𝑡)
˙
= 𝑑𝜑/𝑑𝑡
Winkelbeschleunigung: 𝛼(𝑡) = 𝜔(𝑡)
˙
= 𝑑𝜔/𝑑𝑡
Trägheitsmoment:
Θ
Drehimpuls:
𝐽⃗ = Θ 𝜔
⃗
⃗
Drehmoment:
𝑀 = Θ𝛼
⃗
Beschleunigung:
⃗𝑎(𝑡) = ⃗𝑣˙ (𝑡) = 𝑑⃗𝑣 /𝑑𝑡
Masse:
Impuls:
Kraft:
𝑚
𝑝⃗ = 𝑚⃗𝑣
𝐹⃗ = 𝑚⃗𝑎
𝑟(𝑡) = 12 𝑎 ⋅ 𝑡2 + 𝑣0 ⋅ 𝑡 + 𝑟0
𝜑(𝑡) = 21 𝛼 ⋅ 𝑡2 + 𝜔0 ⋅ 𝑡 + 𝜑0
𝑣(𝑡) = 𝑎 ⋅ 𝑡 + 𝑣0
𝜔(𝑡) = 𝛼 ⋅ 𝑡 + 𝜔0
𝑊trans = 21 𝑚 ⋅ 𝑣 2
𝑊rot = 12 Θ ⋅ 𝜔 2
Tabelle 2.1: Analogie von Größen und Beziehungen, die die Translations- und Rotationsbewegung beschreiben.
2.1.7
Rollende Kugel
Eine auf einer schiefen Ebene herunterrollende Kugel vollzieht sowohl eine Rotationsbewegung (die Kugel rollt, gleitet nicht) als auch eine Translationsbewegung. Durch den Abrollvorgang wird die potentielle Energie in Translations- und Rotationsenergie umgesetzt:
𝑚⋅𝑔⋅ℎ=
1
1
⋅ 𝑚 ⋅ 𝑣 2 + ⋅ ΘKugel ⋅ 𝜔 2 .
2
2
(2.23)
Daraus erkennt man, dass eine rollende Kugel langsamer ist als eine reibungsfrei gleitende
Kugel, weil ein Teil der Energie in die Rotationsenergie geht, und dann bei der Translation
fehlt. Das heißt auch, dass die lineare Beschleunigung beim Rollen kleiner ist als beim Gleiten.
Nun ist es sinnvoll, eine Beziehung zwischen 𝜔 und 𝑣 abzuleiten. Für eine auf einer schiefen Ebene rollenden Kugel ist der Abrollradius 𝑟 gleich dem Kugelradius 𝑅. Verwendet man
Glg. (2.12), so ist
𝑣 = 𝜔 ⋅ 𝑟 = 𝜔 ⋅ 𝑅.
(2.24)
Durch Einsetzen von Glg. (2.15) und Glg. (2.24) in den Energieerhaltungssatz Glg. (2.23)
ergibt sich
(
) ( )
1
2
𝑣 2
1
2
2
.
(2.25)
𝑚⋅𝑔⋅ℎ= 𝑚⋅𝑣 + ⋅
𝑚⋅𝑅 ⋅
2
2
5
𝑅
(
)
1
7
𝑚⋅𝑔⋅ℎ= ⋅
𝑚 𝑣2.
(2.26)
2
5
Bei einer Rollbewegung auf einer Ebene ist also die sog. „effektive Masse“ 𝑀 = 75 𝑚 um einen
Faktor 75 größer als bei einer Gleitbewegung. Für die Beschleunigung bei einer gleichmäßig
beschleunigten Bewegung erhält man aus Glg. (2.6) und (2.7) für 𝑣0 = 0 und 𝑠0 = 0
𝑎=
𝑣2
.
2⋅𝑠
(2.27)
2.1 Physikalische Grundlagen
31
Setzt man 𝑣 2 aus Glg. (2.26) ein, findet man, wenn man noch Glg. (2.22) berücksichtigt
𝑎=
5 𝑔⋅ℎ
5 𝑔 ⋅ 𝑠 ⋅ sin 𝛼
5
⋅
= ⋅
= ⋅ 𝑔 ⋅ sin 𝛼.
7
𝑠
7
𝑠
7
(2.28)
Die Beschleunigung einer rollenden Kugel ist also um den Faktor 57 kleiner als die einer gleitenden Kugel (siehe Glg. (2.21)). Da es sich um eine gleichmäßig beschleunigte Bewegung
handelt, gilt für die zurückgelegte Strecke in Abhängigkeit von der Zeit (nach Glg. (2.7))
𝑠=
2.1.8
5
1
⋅ 𝑎 ⋅ 𝑡2 =
⋅ 𝑔 ⋅ sin 𝛼 ⋅ 𝑡2 .
2
14
(2.29)
Aufgabe zur Vorbereitung
Aufgabe: Leiten Sie die Formel für den absoluten Größtfehler von 𝑔 her, der im Versuch
zur Bestimmung der Erdbeschleunigung benötigt wird!
Dabei sind die Größen 𝑠, ℎ, 𝑡, ℓ als fehlerbehaftet anzunehmen. Betrachten Sie für die
Winkelbestimmung die Abb. 2.5 auf Seite 34!
32
V. 2
2.2
K LASSISCHE M ECHANIK
Versuchsdurchführung
2.2.1
Kugel in der Schiene
Material: Für diesen Versuch benötigen Sie eine Stoppuhr, einen Elektromagneten, einen
Endschalter, eine Winkelschiene, eine Einlegeschiene, ein Stativ und eine Stahlkugel.
E n d ta s te r
N e tz te il
B N C
H a lte m a g n e t
S to p p u h r
E le k tro m a g n e t
K u g e l
S to p p -S c h a lte r
Abbildung 2.3: Aufbau und Verschaltung für die Messung mit der schiefen Ebene.
Durch Druck auf die Starttaste wird der Stromkreis des Haltemagneten unterbrochen und
gleichzeitig die Stoppuhr gestartet. Beim Auftreffen der Kugel auf den Stoppschalter wird
die Stoppuhr angehalten.
Aufgaben:
∙ Bauen Sie den Versuch wie in Abb. 2.3 gezeigt auf!
∙ Variieren Sie den Weg, den die Kugel zu rollen hat, und messen Sie für drei unterschiedliche Strecken die Laufzeit jeweils fünfmal! Wie müssen Sie bei der Bestimmung der Laufstrecke den Kugeldurchmesser berücksichtigen?
∙ Bilden Sie aus den jeweils fünf Zeiten die Mittelwerte 𝑡i und tragen Sie die durchlau2
fenen Strecken 𝑠 gegen die Quadrate der gemittelten Laufzeiten 𝑡i auf!
∙ Bei Bewegungen mit konstanter Beschleunigung nimmt der Weg quadratisch mit der
Zeit zu (Glg. (2.29)), so dass sich in einer s-t-Darstellung eine Parabel ergibt. Trägt
man dagegen 𝑠 gegen 𝑡2 auf, ergibt sich eine Gerade (vgl. Abb. 2.4). Bestimmen Sie
Δ𝑠
graphisch die Steigung Δ(𝑡
2 ) der Geraden durch die Messpunkte!
∙ Berechnen Sie aus der Steigung die Beschleunigung 𝑎.
2.2 Versuchsdurchführung
33
s
s
5
5
4
4
3
3
2
2
1
1
1
2
3
t
D s
1
D ( t²)
2
3
4
5
t²
Abbildung 2.4: Bei Bewegungen mit konstanter Beschleunigung 𝑎 gilt 𝑠 = 12 𝑎𝑡2 , was eine
Parabel in einer s-t-Darstellung ergibt (links). Trägt man dagegen 𝑠 gegen 𝑡2 auf, ergibt sich
Δ𝑠
1
eine Gerade mit Steigung Δ(𝑡
2 ) = 2 𝑎 (rechts).
34
V. 2
2.2.2
K LASSISCHE M ECHANIK
Bestimmung der Neigung der Winkelschiene und der Erdbeschleunigung
Aufgaben:
∙ Führen Sie die Messung wie im vorhergehenden Versuchsteil für drei verschiedene
Neigungen, aber nur für eine Strecke der schiefen Ebene durch! Messen Sie jeweils
fünfmal die Laufzeit! Damit die Kugel rollt und nicht gleitet, sollten Sie keine Winkel
größer als 25∘ verwenden.
∙ Bestimmen Sie sin 𝛼 aus der Länge der Winkelschiene und deren Höhe über dem
Tisch (vgl. Abb. 2.5):
ℎ
(2.30)
sin 𝛼 =
ℓ
∙ Berechnen Sie für die drei verschiedenen Werte von 𝛼 und die zugehörigen Mittelwerte der Laufzeit die Beschleunigungen 𝑎 = 2𝑠
und tragen Sie sie gegen sin 𝛼 in
𝑡2
einem Diagramm auf!
h
∙ Berechnen Sie mit Glg. (2.28) aus der Geradensteigung die Erdbeschleunigung 𝑔
und vergleichen Sie den Wert mit dem Literaturwert von 9,81 m/s2 ! Geben Sie den
absoluten Größtfehler nach Glg. (1.9) für 𝑔 an! Diskutieren Sie das Ergebnis!
h
a
Abbildung 2.5: Winkelbestimmung an der schiefen Ebene.
Versuch 3: Gleichstrom und
Gleichspannung
— Versuchsziel —
Ziel dieses Versuches ist es, die dem Transport mengenartiger Größen (Masse, Ladung,
Energie) zugrundeliegenden Zusammenhänge und die elektrische Größen (Spannung,
Strom) kennenzulernen.
Grundbegriffe: Ladung, Feldstärke, Strom, Spannung, Ohmsches Gesetz, spezifischer Widerstand, Kirchhoffsche Gesetze, Serien- und Parallelschaltung, Spannungsteiler, elektrische Leistung, Kondensator, RC-Kreise.
36
3.1
3.1.1
V. 3
G LEICHSTROM UND G LEICHSPANNUNG
Physikalische Grundlagen
Elektrostatik
Materie ist zum größten Teil aus Protonen, Elektronen bzw. Neutronen aufgebaut. Ihre elektrischen Ladungen sind positiv, negativ bzw. neutral. Die Ladung 𝑸 ist gequantelt, d.h. sie
kommt nur als ganzzahliges Vielfaches der Elementarladung ∣𝑒∣ = 1,602 ⋅ 10−19 C (Coulomb)
vor. Trägt ein Körper die Ladung 𝑄 und wirkt auf diese eine elektrische Kraft 𝐹 , dann definiert
man die
elektrische Feldstärke
𝑬=
𝑭
𝑸
.
(3.1)
Verschiebt man eine Ladung 𝑄 in einem solchen Feld um ein Wegstück Δ𝑠, wird die potentielle Energie der Ladung geändert:
Δ𝑊Pot = 𝐹 ⋅ Δ𝑠 = 𝐸 ⋅ 𝑄 ⋅ Δ𝑠.
(3.2)
Die potentielle Energie pro Ladung ist definiert als
elektrische Spannung
𝑼 =
3.1.2
Δ𝑾Pot
𝑸
.
(3.3)
Gleichströme
Die Elektrostatik beschäftigt sich mit ruhenden Ladungen. Wir betrachten nun bewegte Ladungen. Fließt während der Zeit 𝑑𝑡 durch einen Leiter die Ladungsmenge 𝑑𝑄, so sagt man, es
fließt ein
elektrischer Strom
𝑰=
𝒅𝑸
𝒅𝒕
.
(3.4)
Die Einheit des elektrischen Stroms ist 1 C/s = 1 A (Ampère). Bei bekannter Stromstärke
ergibt sich die Ladung, die durch eine Leiterfläche in einer bestimmten Zeit 𝑑𝑡 fließt, aus
𝑑𝑄 = 𝐼 ⋅ 𝑑𝑡.
(3.5)
Falls ein Strom zwischen zwei Punkten fließt, deren Spannungsdifferenz 𝑈 beträgt, wird in der
Zeit 𝑑𝑡 die Energie 𝑑𝑊 = 𝑑𝑄 ⋅ 𝑈 frei. Hieraus folgt für die
elektrische Leistung
𝑷 =
𝒅𝑾
𝒅𝒕
=
𝒅𝑸 ⋅ 𝑼
𝒅𝒕
= 𝑰 ⋅ 𝑼.
(3.6)
3.1 Physikalische Grundlagen
3.1.3
37
Ohmsches Gesetz
Bei fast allen Leitern beobachtet man eine Proportionalität zwischen dem Strom 𝐼, der durch
den Leiter fließt, und der angelegten Spannung 𝑈 . Der Proportionalitätsfaktor heißt Leitwert
𝑮 des Leiters, sein Kehrwert heißt Widerstand 𝑹. Es gilt das
𝑰 = 𝑮 ⋅ 𝑼,
𝑼 = 𝑹 ⋅ 𝑰 (Ohmsches Gesetz).
(3.7)
(3.8)
∧
Die Einheit des Widerstands ist [𝑅] = V/A = Ohm = Ω, die des Leitwerts [𝐺] = A/V =
Siemens. Wenn diese Proportionalität gilt, handelt es sich um einen ohmschen Leiter. Die an
einem ohmschen Leiter in Wärme umgesetzte Leistung ergibt sich aus Glg. (3.6) und Glg. (3.8)
zu
𝑈2
𝑃 =𝑈 ⋅𝐼 =
= 𝑅 ⋅ 𝐼 2.
(3.9)
𝑅
Bei einem homogenen ohmschen Material ist der Widerstand 𝑅 proportional zur Länge ℓ und
umgekehrt proportional zum Querschnitt 𝐴 des Leiters
𝑅=
𝜌⋅ℓ
.
𝐴
(3.10)
Die hier auftretende Proportionalitätskonstante ist der spezifische Widerstand 𝝆 des Materials, sein Kehrwert 𝜎 = 𝜌1 ist die elektrische Leitfähigkeit (Einheiten Ω ⋅ m bzw. Ω−1 m−1 ).
Es gibt Materialien mit temperaturabhängigem spezifischen Widerstand. Ein Beispiel ist die
Glühlampenwendel.
3.1.4
Kirchhoffsche Regeln
Bedenkt man, dass die Ladung eine Erhaltungsgröße ist und dass man jedem Punkt einer Schaltung eine Spannung 𝑈 zuordnen kann, dann ergeben sich die Grundregeln zur Analyse von
Schaltungen.
An jedem Verzweigungspunkt (Knoten) in einer Schaltung muss ebensoviel Ladung zu- wie
abfließen. Die zufließenden Ströme werden positiv, die abfließenden Ströme negativ gerechnet,
so dass die Summe aller Ströme Null ist. Für das Beispiel in der Abb. 3.1 erhält man:
𝐼1 + 𝐼2 − 𝐼3 + 𝐼4 − 𝐼5 = 0.
(3.11)
Allgemein gilt die
Kirchhoffsche Knotenregel
∑
𝑰𝒊 = 0
(3.12)
𝒊
Weiter gilt, dass die Gesamtspannung längs eines geschlossenen Weges (einer Masche) Null
sein muss, sonst läge ein Punkt gleichzeitig auf zwei verschiedenen Potentialen. Dabei müssen die Vorzeichen der Spannungen beachtet werden. Die Summe aller Spannungen der enthaltenen Spannungsquellen ist gleich der Summe aller Spannungsabfälle an elektronischen
38
V. 3
G LEICHSTROM UND G LEICHSPANNUNG
Bauelementen. Für das Beispiel in Abb. 3.1 bedeutet das
𝑈5 = 𝑈1 + 𝑈2 + 𝑈3 + 𝑈4 .
(3.13)
Allgemein gilt die
Kirchhoffsche Maschenregel
∑
𝑼𝒊 = 0
(3.14)
𝒊
I
U
I
1
5
I
I
2
I
U
4
U
1
R
R
1
5
R
2
R
3
U
3
4
U
3
2
4
Abbildung 3.1: Skizze zur Kirchhoffschen Knotenregel (links) und zur Kirchhoffschen Maschenregel (rechts).
3.1.5
Reihen- und Parallelschaltung von Widerständen
Im Falle von in Reihe geschalteten Widerständen (vgl. Abb. 3.2) fließt durch jeden der Widerstände der gleiche Strom 𝐼 (eine Konsequenz der ersten Kirchhoffschen Regel). Aufgrund
des Ohmschen Gesetzes ergeben sich an den Einzelwiderständen 𝑅𝑖 die Spannungsabfälle
𝑈𝑖 = 𝐼 ⋅ 𝑅𝑖 . Aufgrund der zweiten Kirchhoffschen Regel addieren sich die Spannungen 𝑈𝑖 zur
Gesamtspannung 𝑈
∑
∑
∑
𝑈=
𝑈𝑖 =
𝐼 ⋅ 𝑅𝑖 = 𝐼
𝑅i .
(3.15)
𝑖
𝑖
𝑖
Damit folgt als
Gesamtwiderstand der Reihenschaltung
𝑹Ges =
𝑼
𝑰
=
∑
𝑹𝒊 .
(3.16)
𝒊
Die Reihenschaltung von Widerständen wirkt als Spannungsteiler: die Spannung 𝑈 wird in
𝑈1 und 𝑈2 aufgeteilt.
3.1 Physikalische Grundlagen
U 1= I . R
R
I
I
U 2= I . R
1
1
39
I
R
R
1
2
2
2
U
I
1
R
2
U
Abbildung 3.2: Kombination von Widerständen: Serienschaltung (links) und Parallelschaltung
(rechts).
An parallelgeschalteten Widerständen fällt die gleiche Spannung 𝑈 ab (Abb. 3.2). Der Strom
durch den 𝑖-ten Widerstand ist 𝐼𝑖 = 𝑅𝑈𝑖 . Im Ganzen fließt also der Strom
𝐼=
∑
𝐼𝑖 =
𝑖
∑𝑈
∑ 1
=𝑈⋅
.
𝑅
𝑅
𝑖
𝑖
𝑖
𝑖
(3.17)
Damit folgt für den
Kehrwert des Gesamtwiderstandes der Parallelschaltung
1
𝑹Ges
=
∑ 1
𝒊
𝑹𝒊
.
(3.18)
Entsprechend gilt, dass bei einer Parallelschaltung der Gesamtleitwert gleich der Summe der
Einzelleitwerte ist:
∑
𝐺Ges =
𝐺𝑖 .
(3.19)
𝑖
3.1.6
Potentiometer
Bei einem Potentiometer (Abb. 3.3) lässt sich ein Gleitkontakt entlang einer Widerstandsfläche
verschieben. Somit verändert sich die Aufteilung des Gesamtwiderstandes 𝑅 in zwei Teilwiderstände 𝑅1 und 𝑅2 . Für die Teilspannungen 𝑈1 und 𝑈2 in dieser Spannungsteilerschaltung
gilt (vgl. Glg. (3.15) und (3.16)):
𝑈1 =
3.1.7
𝑅1
⋅ 𝑈,
𝑅
𝑈2 =
𝑅2
⋅ 𝑈.
𝑅
(3.20)
Kondensator
Ein Kondensator ist ein elektrisches Bauteil, das in der Lage ist, elektrische Ladung zu speichern. Im einfachsten Fall besteht er aus zwei Metallplatten (Abb. 3.4), die einander gegenüber stehen. Schließt man die beiden Platten an eine Spannungsquelle mit der Spannung 𝑈 an,
40
U
V. 3
R
U
R
R
G LEICHSTROM UND G LEICHSPANNUNG
U
1
U
1
U
2
1
U
2
2
Abbildung 3.3: Funktionsweise des Potentiometers als Spannungsteiler (links), Schaltsymbol
des Potentiometers (rechts).
dann fließt die negative Ladung 𝑄− (die Elektronen) auf die mit dem Minuspol verbundene
Platte. Von der anderen Platte fließt dagegen eine gleich große Ladung ab in den Pluspol der
Spannungsquelle. Damit bleibt auf der mit dem Pluspol verbundenen Platte die Ladung 𝑄+
zurück. Man sagt auch, der Kondensator ist mit der Ladung 𝑄 geladen. Zwischen den Kondensatorplatten bildet sich ein elektrisches Feld 𝐸 der Feldstärke 𝐸 = 𝑈/𝑑 aus. Die auf einem
Kondensator gespeicherte Ladung ist proportional zur Plattenfläche 𝐴 und zur Spannung 𝑈
und umgekehrt proportional zum Plattenabstand 𝑑
𝑄 = 𝜀0 ⋅
𝐴
⋅𝑈
𝑑
(3.21)
As
mit einer Proportionalitätskonstanten 𝜀0 = 8,855 ⋅ 10−12 Vm
, die als Dielektrizitätskonstante
des Vakuums bezeichnet wird. Zur Abkürzung schreibt man auch
𝑄=𝐶 ⋅𝑈
(3.22)
und nennt die Konstante 𝐶 die Kapazität des Kondensators mit der Einheit [𝐶] = 1 F. Das F
steht für Farad, 1 F = 1 As/V = 1 C/V. Die Kapazität von Kondensatoren in technischen Anwendungen oder gar Zellmembranen ist sehr klein gemessen in dieser Einheit und die Angaben
der Kapazität in 𝜇F, nF, pF sind üblich.
d
Q+
_
_
_
_
_
_
_
_
+
+
+
+
+
+
+
+
A
Q-
+
_
U
Abbildung 3.4: Schema eines Plattenkondensators.
3.1 Physikalische Grundlagen
3.1.8
41
Entladevorgang am Kondensator
Lade- und Entladevorgänge von Kondensatoren finden nie instantan statt, da die Ladeströme (Entladeströme) stets über (Leitungs)Widerstände fließen. Der Entladevorgang soll anhand
von Abb. 3.5 beschrieben werden. Der Kondensator der Kapazität 𝐶, der auf eine Spannung
𝑈0 aufgeladen ist, sei zunächst (𝑡 < 0) durch den offenen Schalter 𝑆 abgetrennt. Die auf ihm
gespeicherte Ladung 𝑄0 kann daher nicht abfließen. Zum Zeitpunkt 𝑡 = 0 werde der Schalter
𝑆 geschlossen. Es kann nun ein Entladestrom 𝐼 fließen, der von der Zeit abhängt. Die Kirchhoffschen Regeln gelten zu jedem Zeitpunkt. Nach der Maschenregel (3.14) ist die Summe der
Spannungen gleich null,
𝑈𝐶 (𝑡) + 𝑈𝑅 (𝑡) = 0
(3.23)
mit der Bestimmungsgleichung der Kapazität 𝑄 = 𝐶 ⋅ 𝑈𝐶 und dem Ohmschen Gesetz 𝑈𝑅 =
𝑅 ⋅ 𝐼 erhält man
𝑄(𝑡)
+ 𝑅 ⋅ 𝐼(𝑡) = 0 .
(3.24)
𝐶
Der Strom durch den Widerstand entlädt den Kondensator. Nach Gleichung 3.4 kann er ersetzt
und man erhält die Differentialgleichung:
werden durch 𝑑𝑄
𝑑𝑡
𝑑𝑄
𝑄(𝑡)
+𝑅⋅
=0
𝐶
𝑑𝑡
(3.25)
bzw.
−1
−1
𝑑𝑄
=
⋅ 𝑄 (𝑡)
oder
𝑄˙ (𝑡) =
⋅ 𝑄 (𝑡) .
(3.26)
𝑑𝑡
𝑅𝐶
𝑅𝐶
Die Ladungsänderung (der Entladestrom) ist demnach proportional zur Ladung, die auf dem
Kondensator gespeichert ist. Die Proportionalitätskonstante ist 𝑘 = −1/(𝑅𝐶). Die Exponentialfunktion 𝑓 (𝑥) = 𝑒𝑘⋅𝑥 ist die einzige Funktion, die proportional zu ihrer eigenen Ableitung
𝑓 ′ (𝑥) = 𝑘 ⋅ 𝑒𝑘⋅𝑥 ist. Daher folgt die Ladung 𝑄(𝑡) einem exponentiellen Zeitgesetz. Die Lösung
der Differentialgleichung (3.26) ist daher
𝑡
𝑄(𝑡) = 𝑄0 ⋅ e 𝑅𝐶
−
(3.27)
mit der Anfangsladung 𝑄(𝑡) = 𝑄0 . Da die Spannung 𝑈 (𝑡) = 𝑄(𝑡)/𝐶 ist, klingt auch die
𝑡
−
Spannung exponentiell mit der Zeit ab 𝑈 (𝑡) = 𝑈0 ⋅ e 𝑅𝐶 . Das Produkt 𝑅𝐶 nennt man
S
C
S
R
t<0
C
R
t≥0
Abbildung 3.5: Schema einer Kondensatorentladung.
42
V. 3
G LEICHSTROM UND G LEICHSPANNUNG
Zeitkonstante 𝜏 = 𝑅𝐶 des Abklingvorganges. Innerhalb von einer Zeitkonstante fällt die
Anfangsspannung auf einen Wert von 1/𝑒 ≈ 37% des Anfangswertes.
3.1.9
Aufgabe zur Vorbereitung
Aufgaben:
∙ Beschreiben Sie kurz Aufbau und Eigenschaften einer Spule, wie sie in elektrischen
Schaltkreisen benutzt wird!
∙ Berechnen Sie jeweils den Gesamtwiderstand der in Abbildung 3.6 dargestellten
Schaltungen!
(𝑅1 = 100 Ω, 𝑅2 = 200 Ω, 𝑅3 = 300 Ω und 𝑅4 = 400 Ω)
R1
R2
R3
R4
R3
R2
R4
R1
Abbildung 3.6: 2 Stromkreise mit unterschiedlichen Widerständen.
3.2 Versuchsdurchführung
3.2
43
Versuchsdurchführung
Wichtige Vorbemerkungen
Beachten Sie bei allen Versuchen, dass die Digitalmultimeter zunächst stets im unempfindlichsten Bereich zu betreiben sind!
Material: Sie benötigen für die Durchführung des Versuchs Netzteil, Schaltbrett mit verschiedenen Widerständen, Potentiometer, Multimeter, Entladeschaltung, Glühbirne, Kabel.
3.2.1
Ohmsches Gesetz
Spannungsteiler
Aufgabe: Bauen Sie die in Abb. 3.7 dargestellte Schaltung auf und bestimmen Sie die
Ausgangsspannung des Spannungsteilers. Was ändert sich beim Drehen des Knopfes am
Spannungsteiler?
Spannungsteiler
Netzgerät
220V
13,8V
=
U
Abbildung 3.7: Aufbau zum Spannungsteiler. Der linke Teil der Schaltung wird in den folgenden Abbildungen mit dem Symbol für eine Spannungsquelle variabler Spannung dargestellt.
44
V. 3
G LEICHSTROM UND G LEICHSPANNUNG
Bestimmung von Widerständen
Aufgaben:
1. Ergänzen Sie die Schaltung aus Abb. 3.7 durch einen Widerstand (1000 Ω) und ein
Ampèremeter wie in Abb. 3.8 gezeigt. Variieren Sie mit dem Spannungsteiler die
Spannung und messen Sie für fünf Spannungen 𝑈 den Strom 𝐼 durch den Widerstand
𝑅.
2. Tragen Sie die Messwerte in ein Strom-Spannungs-Diagramm ein. Welchen Zusammenhang gibt es zwischen 𝐼 und 𝑈 ? Bestimmen Sie den Widerstand R!
3. Benutzen Sie eine feste Spannung von ca. 5 V und bestimmen Sie nun die ohmschen
Widerstände der Bauelemente Widerstand (alle ohmschen Widerstände des Schaltbretts messen), Kondensator, und Spule auf dem Schaltbrett! (Bei der Spule zu zwei
unterschiedlichen Zeitpunkten messen!) Legen Sie eine Tabelle mit Ihren Messwerten
an!
4. Diskutieren Sie die folgenden Punkte:
∙ Was bedeuten die farbigen Ringe an den Bauelementen?
∙ Welchen ohmschen Widerstand ‚haben‘ Kondensator bzw. Spule und weshalb?
R
U
I
Abbildung 3.8: Aufbau zur Kennlinie eines Ohmschen Widerstands
Bestimmung der Strom-Spannungs-Kennlinie einer Glühlampe
Aufgaben:
∙ Wiederholen Sie die Messung aus dem vorigen Versuchsteil 1. und ersetzen Sie dabei
den Widerstand durch die Glühlampe.
∙ Tragen Sie die Messwerte für 𝐼Lampe und 𝑈Lampe in ein Spannungs-Stromdiagramm
ein. Beschreiben und erklären Sie den Unterschied zum Ergebnis der vorigen Aufgabe.
3.2 Versuchsdurchführung
3.2.2
45
Parallelschaltung von Widerständen
Aufgaben:
∙ Bauen Sie in die Schaltung aus Abb. 3.8 statt des Widerstandes 𝑅 folgende Parallelschaltung ein:
𝑅1 ∥𝑅2 ∥ 𝑅3
∙ Messen Sie den Strom durch die Parallelschaltung bei fester Spannung (ca. 𝑈 = 5 V)
und ermitteln Sie daraus deren Widerstand 𝑅Ges !
∙ Errechnen Sie mit Hilfe der auf dem Brett angegebenen Einzelwerte der Widerstände
den erwarteten 𝑅Ges !
3.2.3
Serienschaltung von Widerständen
Aufgaben:
∙ Bauen Sie nun die Schaltung aus Abb. 3.9 auf.
∙ Messen Sie den Strom vor und hinter den Widerständen (𝐼1 , 𝐼4 ). Was stellen Sie fest?
∙ Bestimmen Sie die Spannungen, die an den einzelnen Widerständen abfallen (𝑈12 ,
𝑈23 , 𝑈34 )!
∙ Bestimmen Sie danach noch die Spannungen, die über alle drei Widerstände abfallen
(𝑈14 ). In welchem Zusammenhang stehen die Ergebnisse?
∙ Vergleichen Sie den gemessenen Gesamtwiderstand der Reihenschaltung mit dem
Widerstand, den Sie aus den Angaben auf dem Brett erwarten würden!
1
2
3
4
Abbildung 3.9: Serienschaltung von Widerständen.
46
V. 3
3.2.4
G LEICHSTROM UND G LEICHSPANNUNG
Bestimmung der Entladekurve eines Kondensators
In diesem Versuchsteil soll die 𝑅𝐶-Zeitkonstante einer Kondensatorentladung über einen Widerstand ermittelt werden. Der verwendete Kondensator ist ein Elektrolytkondensator.
Aufgaben:
∙ Schließen Sie die Kondensatorentladeschaltung ensprechend Abb. 3.10 an.
∙ Laden Sie den Kondensator mit dem Schalter in der Stellung „Laden“ auf. Eine
Schutzdiode am Kondensator begrenzt die Ladespannung auf etwa 9,7 V. Sie lässt
beim Entladevorgang jedoch keinen Strom durch sich fließen und muss daher nicht
weiter berücksichtigt werden. Starten Sie die Messung durch Umschalten auf die
Schalterstellung „Entladen“ und nehmen Sie alle 15 Sekunden einen Spannungswert
auf (3 Minuten lang; Messbereich evtl. umstellen).
∙ Damit(man nun
) aus einer Geradensteigung die Zeitkonstante bestimmen kann tragen
𝑈 (𝑡)
Sie ln 𝑈 (𝑡=0) gegen 𝑡 auf und bestimmen Sie mit Glg. (3.27) die 𝑅𝐶-Zeitkonstante
der Entladeschaltung.
∙ Der Widerstandswert in der Entladeschaltung ist 𝑅 = 47 kΩ. Wie groß ist demnach
die Kapazität des Kondensators?
Entladeschaltung
R
U
R
C
S
+ 15V
=
_
220V
≈
Abbildung 3.10: Aufbau zur Bestimmung der Entladekurve eines Kondensators.
Versuch 4: Wechselströme und
-spannungen
— Versuchsziel —
Ziel des Versuches ist es, das Oszilloskop als Messgerät für (Wechsel-) Spannungen kennenzulernen. Weiterhin werden Sie elektronische Bauelemente kennenlernen und deren Eigenschaften bestimmen.
Grundbegriffe: Braunsche Röhre, Kathodenstrahlröhre, Oszilloskop, Kapazität, Induktivität, Effektivwert, Zeigerdiagramm, Wechselstromwiderstand von Spule und Kondensator,
Schwingkreis, Resonanz.
48
4.1
4.1.1
V. 4
W ECHSELSTRÖME UND - SPANNUNGEN
Physikalische Grundlagen
Wechselspannung und Wechselstrom
Wechselspannung ist eine elektrische Spannung, deren Betrag und/oder deren Vorzeichen sich
zeitlich und periodisch ändert. Im folgenden werden nur sinusförmige Wechselspannungen
betrachtet
𝑈 (𝑡) = 𝑈0 ⋅ sin(𝜔 ⋅ 𝑡).
(4.1)
Dabei ist 𝜔 = 2𝜋𝑓 die Kreisfrequenz und 𝜔 ⋅ 𝑡 der Phasenwinkel zum Zeitpunkt 𝑡. Die
sinusförmige (harmonische) Wechselspannung ist in Abb. 4.1 graphisch dargestellt.
U (t)
U
0
t
T
Abbildung 4.1: Schematische Darstellung der Wechselspannung U(t).
Zu jedem Zeitpunkt 𝑡 hat die Wechselspannung einen bestimmten Wert, den man als Momentanwert bezeichnet. Der größte Momentanwert heißt Scheitelwert bzw. Amplitude und wird
mit 𝑈0 bezeichnet. Völlig analog gilt für Wechselströme
𝐼(𝑡) = 𝐼0 ⋅ sin(𝜔𝑡).
4.1.2
(4.2)
Ohmscher Widerstand im Wechselstromkreis
Schließt man einen ohmschen Widerstand 𝑅Ω an eine Wechselspannung an (Abb. 4.2), so gilt
zu jedem Zeitpunkt das
Ohmsche Gesetz (Glg. 3.8)
𝑈 (𝑡) = 𝑅Ω ⋅ 𝐼(𝑡) .
(4.3)
Mit Glg. (4.1) gilt demnach
𝑈 (𝑡) = 𝑈0 ⋅ sin(𝜔𝑡)
−→
𝑈0 = 𝑅Ω ⋅ 𝐼0 .
𝐼(𝑡) = 𝐼0 ⋅ sin(𝜔𝑡)
(4.4)
(4.5)
4.1 Physikalische Grundlagen
49
U (t)
I (t)
R
t
Abbildung 4.2: Ohmscher Widerstand 𝑅 (entspricht 𝑅Ω im Text) im Wechselstromkreis
(links). Zeitlicher Verlauf von Strom und Spannung (rechts).
Beim ohmschen Widerstand im Wechselstromkreis sind also Strom und Spannung immer
gleichphasig zueinander und der Widerstand ist frequenzunabhängig. Für die vom Widerstand
aufgenommene Leistung gilt zu jedem Zeitpunkt (siehe Glg. (3.6))
𝑃 (𝑡) = 𝑈 (𝑡) ⋅ 𝐼(𝑡).
(4.6)
Die im Mittel pro Periodendauer 𝑇 aufgenommene Leistung 𝑃 Ω errechnet sich dann aus einem
Integral
1
𝑃Ω = ⋅
𝑇
∫𝑇
1
𝑃 (𝑡)𝑑𝑡 = ⋅ 𝑈0 ⋅ 𝐼0 ⋅
𝑇
0
∫𝑇
sin(𝜔𝑡) sin(𝜔𝑡)𝑑𝑡 =
𝑈0 ⋅ 𝐼0
𝑈02
,
=
2
2 ⋅ 𝑅Ω
(4.7)
0
wobei verwendet wurde, dass
∫𝑇
sin2 (𝜔𝑡)𝑑𝑡 =
𝑇
.
2
0
Als Effektivspannung 𝑼eff ist diejenige Spannung definiert, die als Gleichspannung an
einem ohmschen Widerstand die gleiche Leistungsaufnahme bewirkt wie im Mittel eine
Wechselspannung mit Scheitelwert 𝑈0
𝑃Ω =
2
𝑈eff
.
𝑅Ω
(4.8)
Durch Gleichsetzen von Glg. (4.7) und (4.8) erhält man für eine sinusförmige Wechselspannung
𝑈0
𝑈eff = √ ,
(4.9)
2
𝐼0
𝐼eff = √ .
(4.10)
2
Für die Netzspannung ergeben sich Werte von 𝑈eff = 230 V und 𝑈0 = 325 V. Da ein ohmscher
Widerstand im Wechselstromkreis Leistung aufnimmt, wird er auch als Wirkwiderstand bezeichnet.
50
4.1.3
V. 4
W ECHSELSTRÖME UND - SPANNUNGEN
Kapazität im Wechselstromkreis
Beim Aufladen eines Kondensators ist die Spannung am Kondensator proportional zur
zugeführten Ladung
𝑄 = 𝐶 ⋅ 𝑈.
(4.11)
∧
Den Proportionalitätsfaktor nennt man Kapazität 𝑪. Die SI-Einheit ist [𝐶] = As/V =
Farad (F).
Schaltet man einen Kondensator in einen Wechselspannungskreis (Abb. 4.3), so gilt Glg. (4.11)
zu jedem Zeitpunkt
𝑄(𝑡) = 𝐶 ⋅ 𝑈 (𝑡).
(4.12)
Durch Ableiten nach der Zeit ergibt sich unter Verwendung von 𝐼(𝑡) = 𝑑𝑄/𝑑𝑡 (siehe Versuch 3)
𝑑𝑈
𝑑𝑄
=𝐶⋅
.
(4.13)
𝐼(𝑡) =
𝑑𝑡
𝑑𝑡
Andererseits folgt direkt aus Glg. (4.1)
𝑑𝑈
= 𝑈0 ⋅ 𝜔 ⋅ cos 𝜔𝑡.
𝑑𝑡
Einsetzen in Glg. (4.13) liefert für den zeitlichen Verlauf des Stroms
𝐼(𝑡) = 𝑈0 ⋅ 𝐶 ⋅ 𝜔 cos 𝜔𝑡.
| {z }
(4.14)
(4.15)
=𝐼0
U (t)
t
C
I(t)
Abbildung 4.3: Kapazität im Wechselstromkreis (links). Zeitlicher Verlauf von Strom und
Spannung (rechts).
Bei einer Kapazität im Wechselstromkreis laufen also Strom und Spannung nicht mehr gleichphasig zueinander: Der Strom eilt der Spannung um 90∘ bzw. 𝜋/2 voraus. Dies gilt allerdings
nur dann exakt, falls kein ohmscher Widerstand vorhanden ist. Das Verhältnis von Scheitelspannung zu Scheitelstrom wird als
Wechselstromwiderstand 𝑹𝑪
𝑹𝑪 =
𝑼0
𝑰0
=
1
𝝎⋅𝑪
(4.16)
4.1 Physikalische Grundlagen
51
definiert. 𝑅𝐶 ist frequenzabhängig und nimmt mit steigender Frequenz ab. Analog zum ohmschen Widerstand kann auch hier die mittlere aufgenommene Leistung 𝑃 𝐶 berechnet werden
∫
∫
𝑈0 ⋅ 𝐼0 𝑇
1 𝑇
𝑈 (𝑡)𝐼(𝑡)𝑑𝑡 =
sin(𝜔𝑡) cos(𝜔𝑡)𝑑𝑡 = 0.
(4.17)
𝑃𝐶 =
𝑇 0
𝑇
0
Im Mittel wird also keine Leistung aufgenommen! Die zum Aufladen des Kondensator nötige Arbeit (= Energie) wird beim Entladen wieder frei. Man bezeichnet eine Kapazität im
Wechselstromkreis deshalb auch als Blindwiderstand.
4.1.4
Induktivität im Wechselstromkreis
Wenn sich der durch eine Spule fließende Strom zeitlich verändert, wird durch Selbstinduktion eine Spannung
𝑑𝐼
𝑈Ind (𝑡) = −𝐿 ⋅
(4.18)
𝑑𝑡
induziert. Der Proportionalitätsfaktor heißt Induktivität 𝑳 der Spule. Die SI-Einheit ist
[𝐿] = Vs/A = H (Henry).
U (t)
I (t)
L
t
Abbildung 4.4: Induktivität im Wechselstromkreis (links). Zeitlicher Verlauf von Strom und
Spannung (rechts).
Nach den Kirchhoffschen Regeln gilt zu jedem Zeitpunkt für die von außen angelegte Spannung 𝑈 (𝑡) und die induzierte Spannung 𝑈Ind (𝑡)
𝑈 (𝑡) + 𝑈Ind (𝑡) = 0.
(4.19)
Durch Ableiten der Glg. (4.2) und Einsetzen in Glg. (4.18) erhält man
𝑈 (𝑡) = 𝐿 ⋅
𝑑𝐼
= 𝐿 ⋅ 𝐼0 ⋅ 𝜔 ⋅ cos 𝜔𝑡.
𝑑𝑡 | {z }
(4.20)
=𝑈0
Auch für eine Spule ist das Verhältnis von Scheitelspannung zu Scheitelstrom der
Wechselstromwiderstand 𝑹𝑳
𝑹𝑳 =
𝑼0
𝑰0
= 𝝎 ⋅ 𝑳.
(4.21)
52
V. 4
W ECHSELSTRÖME UND - SPANNUNGEN
𝑅𝐿 ist frequenzabhängig und nimmt mit steigender Frequenz zu (anders beim Kondensator,
wo 𝑅𝐶 mit steigender Frequenz abnimmt).
Der Strom läuft um 90∘ bzw. 𝜋/2 der Spannung hinterher (Abb. 4.4). Wie im Fall einer Kapazität gilt auch diese Beziehung nur für den Fall exakt, wo kein ohmscher Widerstand enthalten
ist. Analog zu Glg. (4.17) lässt sich berechnen, dass auch bei einer Induktivität im Wechselstromkreis (ohne ohmsche Verluste) keine Leistung aufgenommen wird,
𝑃 𝐿 = 0,
(4.22)
es handelt sich um einen reinen Blindwiderstand.
4.1.5
Zeigerdiagramme
Schaltet man mehrere Bauelemente wie in Abb. 4.6 in Reihe, so muss man zur Ermittlung des
Gesamtwiderstandes sowohl die Werte 𝑅Ω , 𝑅𝐿 , 𝑅𝐶 , als auch die Phasenlagen von Strom und
Spannung zueinander berücksichtigen. Dies führt zu folgendem Vorgehen:
Man trägt die Einzelwiderstände als Vektoren in ein Zeigerdiagramm (Abb. 4.5) ein. Dabei werden ohmsche Widerstände auf der positiven x-Achse, Induktivitäten auf der positiven
y-Achse und Kapazitäten auf der negativen y-Achse eingezeichnet. Dann addiert man die ein⃗ (imaginärer Gesamtzelnen Vektoren und erhält einen Gesamtvektor, der als Impedanz 𝒁
widerstand) bezeichnet wird. Das Verhältnis der Scheitelwerte von Strom und Spannung ist
der
Betrag der Impedanz
⃗ =
∣𝒁∣
𝑼0
𝑰0
.
(4.23)
⃗ und der positiven x-Achse eingeschlossene Winkel 𝜙 gibt die Phasendifferenz
Der zwischen 𝑍
zwischen Strom- und Spannung an
𝑈 (𝑡) = 𝑈0 ⋅ sin(𝜔 ⋅ 𝑡),
𝐼(𝑡) = 𝐼0 ⋅ sin(𝜔 ⋅ 𝑡 − 𝜙).
y
R
R
L
Z
C
R
C
f
R
W
x
Abbildung 4.5: Addition der Widerstände aus Abb. 4.6 im Zeigerdiagramm.
(4.24)
4.1 Physikalische Grundlagen
53
⃗
Rechnerisch erhält man den Winkel 𝜙 aus den x- und y-Komponenten des Vektors 𝑍
( )
𝑍𝑦
𝜙 = arctan
.
𝑍𝑥
(4.25)
Allgemein gilt für die mittlere an einem Wechselstromwiderstand verbrauchte elektrische
Leistung (effektive Leistung, Wirkleistung)
𝑃 = 𝐼eff ⋅ 𝑈eff ⋅ cos 𝜙 =
1
⋅ 𝐼0 ⋅ 𝑈0 ⋅ cos 𝜙.
2
(4.26)
Daraus kann man leicht die an ohmschen (Glg. 4.7), kapazitiven (Glg. 4.17) und induktiven
(Glg. 4.22) Widerständen entzogenen Leistungen als Spezialfälle entnehmen.
4.1.6
Serienschwingkreis
Bei der in Abb. 4.6 gezeigten Schaltung handelt es sich um einen Serienschwingkreis, der
durch eine Wechselspannung angeregt wird. (Anmerkung: Das System aus Kondensator und
Spule kann auch ohne äußere Anregung schwingen! Was schwingt hier?)
R
C
L
Abbildung 4.6: Serienschaltung von Ohmschem Widerstand 𝑅, Kapazität 𝐶 und Induktivität
𝐿 im Wechselstromkreis.
Mit Hilfe des oben geschilderten Verfahrens berechnet man für die Impedanz
√
(
)2
1
⃗ = 𝑅2 + 𝜔 ⋅ 𝐿 −
∣𝑍∣
.
Ω
𝜔⋅𝐶
(4.27)
Der Widerstand wird für sehr kleine und für sehr große Frequenzen unendlich groß. Er erreicht
einen Minimalwert für die
Resonanzfrequenz 𝝎0
𝝎0 = √
1
𝑳⋅𝑪
.
(4.28)
Für den Phasenwinkel 𝜙 gilt
(
𝜙 = arctan
𝜔⋅𝐿−
𝑅Ω
1
𝜔⋅𝐶
)
.
(4.29)
Für sehr kleine Frequenzen ist die Phasenverschiebung −𝜋/2, für sehr große Frequenzen 𝜋/2,
bei der Resonanzfrequenz hat sie einen Nulldurchgang.
54
4.1.7
V. 4
W ECHSELSTRÖME UND - SPANNUNGEN
Funktionsweise eines Oszilloskops
Das Oszilloskop ist ein vielseitiges Instrument zur Darstellung und Vermessung zeitlich variabler Messgrößen. Es besteht aus einer sog. Kathodenstrahlröhre, siehe Abb. 4.7. Der Begriff rührt daher, dass in einer evakuierten Glasröhre ein sogenannter Kathodenstrahl (=historische Bezeichnung für Elektronenstrahl) auf einen mit nachleuchtendem Material beschichteten
Schirm gerichtet wird, der beim Auftreffen auf den Schirm einen leuchtenden Punkt erzeugt.
Die an der erwärmten Kathode emittierten Elektronen werden durch eine zwischen Kathode
und Anode angelegte Spannung beschleunigt und können durch ein kleines Loch im Zentrum
der Anode hindurchlaufen. Zwei horizontal bzw. vertikal angeordnete Plattenpaare lenken den
Elektronenstrahl ab, wenn eine Spannung an sie angelegt wird. Der Elektronenstrahl wird immer in Richtung der positiven der beiden Platten gezogen. Durch Variieren der angelegten
Spannungen kann der Elektronenstrahl auf jeden beliebigen Punkt des Schirms gelenkt werden. Eine Ablenkung in der Horizontalen wird den Strahl nach links bzw. rechts ablenken
(X-Achse), eine Ablenkung in der Vertikalen wird den Strahl nach oben bzw. unten ablenken
(Y-Richtung).
Ein zu messendes Signal wird an den Y-Eingang des Oszilloskops angelegt und bewirkt daher eine Ablenkung des Elektronenstrahls in der Vertikalen. Da der Betrag der Ablenkung des
Strahls proportional zur Größe des zu messenden Signals ist, lässt sich das angelegte Signal
direkt am Schirm des Oszilloskops ablesen. Will man aber auch den zeitlichen Verlauf des zu
messenden Signals sichtbar machen, muss der Elektronenstrahl zusätzlich zeitlich (horizontal)
abgelenkt werden. Dies geschieht mit einer sogenannten Sägezahnspannung 𝑼𝑿 , die an die
horizontalen Ablenkplatten angelegt wird, siehe Abbildung 4.8. Der negative Startwert zwingt
den Strahl auf eine Position am linken Bildrand und der lineare Anstieg der Sägezahnspannung
bewirkt eine fortlaufende Ablenkung des Elektronenstrahls nach rechts. Gleichzeitig wird der
Strahl vertikal durch die angelegte Mess-Spannung bewegt. Ist die Mess-Spannung z.B. eine
Sinuskurve, erscheint diese nun auch auf dem Oszilloskop. Erreicht der Strahl den rechten
Bildrand, muss er möglichst schnell wieder nach links zum Ursprung bewegt werden. Dies
geschieht durch den schnellen Abfall der Sägezahnkurve auf den negativen Startwert. Durch
das Nachleuchten des Schirms und durch die schnelle Bewegung erscheint das Signal nicht
als sich bewegender Punkt, sondern als vollständiges Bild. Um ein stehendes Bild von periodischen Signalverläufen zu erhalten, kann dabei der Start der X-Ablenkung über den sog.
Trigger immer bei gleicher Signalamplitude festgelegt werden.
Die Bildschirme der Oszilloskope sind in Skalenteile (SKT, englisch DIV) unterteilt. Man
kann über Drehschalter verschiedene Empfindlichkeiten einstellen.
Abbildung 4.7: Aufbau einer Kathodenstrahlröhre.
4.1 Physikalische Grundlagen
55
Abbildung 4.8: Zeitliche Ablenkung des Elektronenstrahls durch Anlegen einer Sägezahnspannung.
4.1.8
Frequenz- und Amplitudenbestimmung mit dem Oszilloskop
Abbildung 4.9: Frequenz- und Amplitudenbestimmung mit dem Oszilloskop.
In Abb. 4.9 ist schematisch dargestellt, wie man mit einem Oszilloskop die Frequenz und Amplitude einer sinusförmigen Wechselspannung ermittelt. Die Zeitablenkung sei auf 100 s/DIV
eingestellt, die Y-Ablenkung auf 2 V/DIV. Die Periodendauer 𝑇 wird zunächst in Skalenteilen
DIV abgelesen: 4 DIV. Multipliziert man mit der Zeitablenkung, so erhält man die Periodendauer:
𝑇 = (4 DIV) ⋅ (100 𝜇s/DIV) = 400 𝜇s.
(4.30)
Daraus errechnet sich die Frequenz zu:
𝑓=
1
1
=
= 2500 Hz = 2.5 kHz.
𝑇
400 𝜇s
(4.31)
Als Amplitude liest man 3 DIV ab:
𝑈0 = (3 DIV) ⋅ (2 V/DIV) = 6 V.
(4.32)
56
4.1.9
V. 4
W ECHSELSTRÖME UND - SPANNUNGEN
Bedienelemente des Oszilloskops
In Abb. (4.10) sehen Sie die Frontplatte des im Praktikum hauptsächlich verwendeten Oszilloskops, dessen Bedienelemente im folgenden besprochen werden.
Abbildung 4.10: Bedienelemente des verwendeten Oszilloskops.
Abbildung 4.11: Die Bedienelemente für Netzspannung und Display.
POWER
INTEN
FOCUS
TRACE ROTATION
ILLUM
Netzschalter.
Intensitätsregelung für den Elektronenstrahl.
Bildschärfe.
Kompensation einer Bildverkippung.
Helligkeit der Hintergrundbeleuchtung.
4.1 Physikalische Grundlagen
Abbildung 4.12: Die Bedienelemente für die Zeitablenkung.
TIME/DIV Bestimmt die Ablenkzeit in horizontaler Richtung. Wahl des XY-Modus.
VARIABLE Die Ablenkzeit kann stufenlos verändert werden. Lassen Sie diesen Knopf immer in der (eingerasteten) CAL’D-Position!
POSITION Mit diesem Regler kann das dargestellte Bild in horizontaler Richtung verschoben werden.
57
58
V. 4
W ECHSELSTRÖME UND - SPANNUNGEN
Abbildung 4.13: Die Bedienelemente für den Eingangsverstärker.
VOLTS/DIV Einstellung der vertikalen Verstärkung in Volt pro Skalenteil.
VAR Variable Einstellung der Vertikalverstärkung. Herausziehen
des Knopfes erhöht die Empfindlichkeit um das 5-fache. Lassen Sie diesen Knopf immer in der (eingerasteten) CAL’DPosition!
POSITION Verschiebt das Signal in vertikaler Richtung. Bei Kanal 2 kann
durch Ziehen des Knopfes das Signal invertiert dargestellt werden.
GND Verstärkereingang liegt auf Masse. Die Nullinie kann mit POSITION positioniert werden.
DC Sowohl Gleich- als auch Wechselspannungsanteil des Signals
werden dargestellt.
AC Nur der Wechselspannungsanteil des Signals wird dargestellt.
Abbildung 4.14: Die Eingänge des Oszilloskops.
Das Oszilloskop besitzt zwei Eingänge CH1 (X) und CH2 (Y), die an BNC-Buchsen herausgeführt sind. Die beiden Eingänge besitzen eine gemeinsame Masse!
4.1 Physikalische Grundlagen
Abbildung 4.15: Die Bedienelemente für den vertikalen Modus.
CH1
ALT
CHOP
ADD
CH2
Nur Kanal 1 wird dargestellt.
Alternierende Darstellung von Kanal 1 und Kanal 2.
Überlagerte Darstellung von Kanal 1 und Kanal 2.
Darstellung von Summen und Differenzen (wird im Versuch nicht
benötigt).
Nur Kanal 2 wird dargestellt. Muss im X-Y-Modus gedrückt sein.
Abbildung 4.16: Die Bedienelemente für den internen Trigger.
CH1 Kanal 1 wird als Triggersignal verwendet. Muss im X-Y-Modus
eingestellt sein.
CH2 Kanal 2 wird als Triggersignal verwendet.
VERT MODE Der Trigger wird im alternierenden Betrieb aus beiden Kanälen
genommen. Wird in diesem Versuch nicht verwendet.
59
60
V. 4
W ECHSELSTRÖME UND - SPANNUNGEN
Abbildung 4.17: Die Bedienelemente für Triggereinstellungen.
SLOPE Wahlschalter zwischen positiver und negativer Triggerflanke.
LEVEL/HOLDOFF Einstellung des Triggerniveaus. Der obere der beiden Regler
sollte im Normalfall im Linksanschlag eingerastet sein.
COUPLING Einkopplungsart des Triggersignals. Sollte in Stellung AC
sein.
SOURCE Bestimmt die Quelle des Triggersignals. Sollte in Stellung
INT/X-Y stehen.
Abbildung 4.18: Der Triggermodus lässt sich mit den Tastern SWEEP MODE einstellen. Hier
sollte während des Versuches immer der Taster AUTO gedrückt sein.
Sie können sich schon während der Vorbereitung auf www.virtuelles-oszilloskop.de mit der
Bedienung eines (ähnlichen) Oszilloskops vertraut machen.
4.1 Physikalische Grundlagen
4.1.10
61
Aufgabe zur Vorbereitung
Aufgaben:
∙ Was schwingt im Schwingkreis?
∙ Betrachten Sie sich nochmals das Ablesen der Periodendauer 𝑇 in Abschnitt 4.1.8.
Nehmen Sie nun einen Ablesefehler der Zeitmessung vom Oszilloskop mit 0,2 DIV
an und berechnen Sie daraus den Fehler der Periodendauer Δ𝑇 in dem dort gegebenen
Beispiel!
∙ Berechnen Sie die Frequenz 𝑓 =
den Fehler der Frequenz Δ𝑓 !
1
𝑇
und mittels Fehlerfortpflanzung (Größtfehler)
62
V. 4
4.2
W ECHSELSTRÖME UND - SPANNUNGEN
Versuchsdurchführung
4.2.1
Spannungsmessung mit dem Oszilloskop
Material: Für diesen Versuch benötigen Sie das Oszilloskop und den Frequenzgenerator.
Aufgaben:
∙ Schalten Sie das Oszilloskop auf Kanal 1 (CH1). Dies erfolgt an insgesamt vier Bedienelementen (vgl. Abb. 4.12, 4.17, 4.15, 4.16).
∙ Schließen Sie den Ausgang des Frequenzgenerators an den X-Eingang (CH 1). Stellen
Sie die Amplitude des Frequenzgenerators auf Maximum. Messen Sie diese Amplitude bei zwei verschiedenen Stellungen der X-Ablenkung am Oszilloskop.
∙ Messen Sie die Wechselspannung mit dem Digitalmultimeter bei niedriger Frequenz,
und vergleichen Sie das Ergebnis mit Glg. (4.9).
∙ Stecken Sie nun auf den Y-Eingang (CH 2) um und messen erneut die maximale Amplitude des Frequenzgenerators. Verändern Sie die Amplitude des Frequenzgenerators
und beobachten Sie den Effekt auf dem Bildschirm.
∙ Bestimmen Sie aus dem Ablesefehler (wie groß muss dieser sein?) den relativen Fehler für eine Amplitude.
4.2.2
Frequenzbestimmung mit dem Oszilloskop
Aufgaben:
∙ Schalten Sie jetzt auf den Modus mit einstellbarer Zeitablenkung der X-Achse und
bestimmen die minimale Frequenz des Frequenzgenerators. Wählen Sie hierzu folgende Einstellungen:
Stellen Sie den Bereichswähler des Frequenzgenerators auf 100 Hz . . . 1 kHz, die
Frequenz-Feineinstellung auf linken Anschlag und die Zeitablenkung des Oszilloskops auf 2 ms/DIV.
Messen Sie den Abstand zweier Maxima und ermitteln Sie daraus die Frequenz. Wie
können Sie die Genauigkeit der Frequenzbestimmung steigern?
∙ Messen Sie auf ähnliche Weise die maximale Frequenz des Generators (Bereichswähler nicht vergessen! Auf 10 kHz . . . 100 kHz). Stimmen die Bereichsangaben mit den
gemessenen Frequenzen überein?
∙ Bestimmen Sie für eine Frequenz den relativen Fehler (Achten Sie auf die Fehlerfortpflanzung).
4.2 Versuchsdurchführung
4.2.3
63
Strommessung mit dem Oszilloskop
Achtung: Bei dieser und der nächsten Teilaufgabe empfiehlt es sich, die Leitungslängen
möglichst kurz zu halten!
Aufgaben:
∙ Bauen Sie den in Abb. 4.19 dargestellten Schaltkreis auf. Die äußeren Kontakte der
Koaxial-Oszilloskopeingänge liegen beide auf Masse und sind darum miteinander
kurzgeschlossen. Daher ist es wichtig, dass Sie die in Abb. 4.19 mit dem Erdungssymbol versehenen Kabel an die äußeren Koaxial-Kontakte anschließen. Damit die
relative Phase von Strom und Spannung richtig dargestellt wird, muss zusätzlich der
Eingang 2 invertiert werden.
∙ Messen Sie bei zwei Frequenzen (ca. 1 kHz und ca. 10 kHz, Amplitude des Generators maximal) die Spannungsamplituden an Kanal 1 und Kanal 2. Mit Kanal 1 messen
Sie die Spannung 𝑈∼ am Kondensator. Der Strom 𝐼∼ durch den Kondensator wird
indirekt aus der Amplitude an Kanal 2 bestimmt: Aus dem gemessenen Spannungsabfall an 𝑅(= 1 kΩ) wird über das Ohmsche Gesetz 𝐼∼ ausgerechnet.
∙ Ermitteln Sie den Wechselstromwiderstand 𝑅𝐶 des Kondensators 𝐶 sowie die Phasenverschiebung zwischen 𝑈∼ und 𝐼∼ bei den beiden Frequenzen.
C
K a n a l 1
R
1 k W
K a n a l 2
Abbildung 4.19: Schaltung zur Strommessung mit dem Oszilloskop.
64
V. 4
4.2.4
W ECHSELSTRÖME UND - SPANNUNGEN
Aufbau eines Serienschwingkreises
Aufgaben:
∙ Bauen Sie die in Abb. 4.20 dargestellte Schaltung eines Serienschwingkreises auf.
∙ Stellen Sie die Amplitude des Generators auf Maximum. Variieren Sie die Frequenz
am Generator und beobachten dabei die Amplitude des Signals am Oszilloskop. Haben Sie die Resonanz gefunden, so messen Sie die Frequenz und die Amplitude.
∙ Nehmen Sie die komplette Resonanzkurve mit ca. 10 Punkten auf. Tragen Sie die
Messwerte in ein Diagramm ’Amplitude gegen Frequenz’ ein.
∙ Wie ändert sich die Resonanzkurve, wenn Sie einen zweiten Widerstand (4,7 Ω) in
Serie schalten?
L
C
R
2 ,2 W
K a n a l 1
Abbildung 4.20: Schaltung eines Serienschwingkreises.
Versuch 5: Oberflächenspannung und
Viskosität
— Versuchsziel —
In diesem Versuch sollen Sie zwei Eigenschaften von Flüssigkeiten kennenlernen, die Oberflächenspannung und die Viskosität (innere Reibung).
Der Versuch gliedert sich in zwei Teile:
∙ Bestimmung der Oberflächenspannung aus der kapillaren Steighöhe.
∙ Messung der dynamischen Viskosität nach Hagen-Poiseuille für verschiedene Temperaturen.
Grundbegriffe: Oberflächenspannung, Oberflächenenergie, innere Reibung, Kohäsionskräfte, Adhäsionskräfte, Kapillarwirkung, laminare und turbulente Strömungen, Viskosität,
Hagen-Poiseuille-Gesetz, Arrhenius-Gesetz.
66
5.1
5.1.1
V. 5
O BERFLÄCHENSPANNUNG UND V ISKOSITÄT
Physikalische Grundlagen
Spezifische Oberflächenenergie und Oberflächenspannung
Im Innern einer Flüssigkeit erfährt ein Molekül allseitig Anziehungskräfte durch seine Nachbarn, die sich gegenseitig aufheben. (Man nennt Kräfte zwischen gleichartigen Molekülen
oder Atomen einer Flüssigkeit Kohäsionskräfte). Befindet sich ein Teilchen aber in der Nähe der Oberfläche, ist die resultierende Kraft 𝐹⃗ von Null verschieden (vgl. Abb. 5.1). Man
muss also Arbeit aufwenden, um ein Teilchen aus dem Inneren einer Flüssigkeit an die Oberfläche zu transportieren. Um eine Flüssigkeitsoberfläche zu vergrößern, müssen Moleküle an
die Oberfläche gebracht werden. Die dadurch bedingte Energiezunahme sei Δ𝑊 . Auf die Flächeneinheit bezogen heißt sie
spezifische Oberflächenenergie 𝝈
𝝈=
Energiezunahme
Oberflächenzunahme
=
Δ𝑾
Δ𝑨
.
(5.1)
F
Abbildung 5.1: Modell zur Erklärung der Oberflächenenergie.
Betrachten wir nun einen U-förmig gebogenen Draht, an dem ein Querbügel der Länge 𝑏 gleitet
(Abb. 5.2). An dem durch Gabel und Bügel gebildeten Rahmen wird eine Flüssigkeitslamelle
gespannt, deren Oberfläche 𝐴 = 2 ⋅ 𝑠 ⋅ 𝑏 ist. Der Faktor 2 tritt auf, weil die Lamelle zwei
Oberflächen besitzt (Vorder- und Rückseite). Wenn sich der Bügel um Δ𝑠 verschiebt, wird die
Oberfläche um Δ𝐴 = 2 ⋅ 𝑏 ⋅ Δ𝑠 vergrößert. Dementsprechend wird die Oberflächenenergie
um Δ𝑊 = Δ𝐴 ⋅ 𝜎 = 2 ⋅ 𝜎 ⋅ 𝑏 ⋅ Δ𝑠 größer. Da Δ𝑊 = 𝐹 ⋅ Δ𝑠, ist die Kraft, die der Oberflächenzunahme entgegenwirkt, 𝐹 = 2 ⋅ 𝜎 ⋅ 𝑏. Auf die Längeneinheit bezogen heißt diese Kraft
Oberflächenspannung =
am Rande angreifende Kraft
2⋅𝜎⋅𝑏
=
= 𝜎.
Länge des Randes
2⋅𝑏
(5.2)
Die Länge 𝑏 wird hier zweifach gezählt, da sie für beide Oberflächen der Lamelle (Vorder- und
Rückseite) den Rand darstellt. Oberflächenspannung und spezifische Oberflächenenergie
5.1 Physikalische Grundlagen
67
sind also identisch. Die Dimension der Oberflächenspannung ist [Kraft/Länge] =
ˆ N/m oder
2
[Energie/Fläche] =
ˆ J/m .
F
Abbildung 5.2: Versuchsaufbau zur Bestimmung der Oberflächenspannung.
Die Oberflächenspannung ist temperaturabhängig. Gase haben keine Oberflächenspannung,
deshalb bilden sie auch keine scharf begrenzten Oberflächen. Die Oberflächenspannung einer
Flüssigkeit nimmt ab mit steigender Temperatur bis zu ihrem kritischen Punkt, der oberhalb
des Siedepunktes liegt. Sie ist außerdem sehr empfindlich gegen geringfügige Verunreinigungen. Da die Natur stets den Zustand geringster Energie anstrebt, sind Oberflächen immer Minimalflächen. Unter verschiedenen Gestalten von Oberflächen hat diejenige die minimale potentielle Energie, deren Fläche am kleinsten ist. Deshalb nehmen Tropfen und Seifenblasen
Kugelgestalt an, wenn keine äußeren Kräfte wirken, da von allen geometrischen Figuren mit
dem gleichen Volumen die Kugel die kleinste Oberfläche besitzt.
5.1.2
Kapillarität
An einer Grenzfläche Flüssigkeit/Festkörper sind Kräfte zwischen den Flüssigkeits- und den
Festkörpermolekülen wirksam (Adhäsionskräfte). Sind diese größer als die Kräfte zwischen
den Flüssigkeitsmolekülen, so benetzt die Flüssigkeit die Wand. Sie breitet sich dann über die
ganze Festkörperoberfläche aus. Taucht man eine Kapillare in eine ihre Oberfläche benetzende
Flüssigkeit (z. B. Wasser), so steigt die Flüssigkeit in der Kapillare hoch (vgl. Abb. 5.3). Zur
Berechnung der Oberflächenspannung 𝜎 zwischen Wasser und Luft kann man folgendermaßen
vorgehen:
Wenn man die Steighöhe von ℎ auf ℎ + Δℎ erhöhen will, muss man eine Flüssigkeitssäule der
Länge ℎ gegen die Erdanziehungskraft um die Strecke Δℎ anheben. Dazu ist Arbeit zu leisten
(𝑉 = Volumen, 𝜌 = Dichte):
Δ𝑊pot = 𝑚 ⋅ 𝑔 ⋅ Δℎ = 𝑉 ⋅ 𝜌 ⋅ 𝑔 ⋅ Δℎ = 𝜋 ⋅ 𝑟2 ⋅ ℎ ⋅ 𝜌 ⋅ 𝑔 ⋅ Δℎ.
(5.3)
Da die Kapillare zunächst vollständig von der Flüssigkeit benetzt sein soll, nimmt bei einer
Anhebung der Säule die Größe der Grenzfläche zwischen Wasser und Luft ab. Dementsprechend verringert sich ihre Oberflächenenergie um
Δ𝑊Oberfläche = 𝜎 ⋅ Δ𝐴 = 𝜎 ⋅ 2 ⋅ 𝜋 ⋅ 𝑟 ⋅ Δℎ.
(5.4)
68
V. 5
O BERFLÄCHENSPANNUNG UND V ISKOSITÄT
B e n e tz u n g
2 r
D h
h
Abbildung 5.3: Steighöhe einer benetzenden Flüssigkeit in einer Kapillaren.
Im Gleichgewicht sind Oberflächenenergie und potentielle Energie (Glg. (5.4), (5.3)) gleich
𝜎 ⋅ 2 ⋅ 𝜋 ⋅ 𝑟 ⋅ Δℎ = 𝜋 ⋅ 𝑟2 ⋅ ℎ ⋅ 𝜌 ⋅ 𝑔 ⋅ Δℎ.
(5.5)
Daraus folgt nach 𝜎 aufgelöst
𝜎=
5.1.3
1
⋅ 𝑟 ⋅ 𝜌 ⋅ 𝑔 ⋅ ℎ.
2
(5.6)
Viskosität
Der Koeffizient der inneren Reibung, die dynamische Viskosität, ist eine physikalische Größe,
die bei strömenden Flüssigkeiten relevant ist. In einer strömenden Flüssigkeit bewegen sich die
Flüssigkeitsteilchen in nebeneinander laufenden Stromfäden. Die Strömungsgeschwindigkeit
ist aber im allgemeinen unterschiedlich, so dass zwischen zwei im Abstand Δ𝑥 nebeneinander
strömenden Lamellen ein Geschwindigkeitsunterschied Δ𝑣 besteht (vgl. Abb. 5.4).
D v
D x
Abbildung 5.4: Zur Definition der Viskosität.
Durch innere Reibung erzeugen die betrachteten Schichten eine Schubspannung 𝝉 = 𝐹/𝐴
(𝐹 = Kraft, 𝐴 = Fläche), so dass die schnellere gebremst wird. 𝜏 ist bei normalen Flüssigkei-
5.1 Physikalische Grundlagen
69
ten dem Geschwindigkeitsgefälle Δ𝑣/Δ𝑥 proportional
Δ𝑣
.
Δ𝑥
Der Proportionalitätsfaktor heißt dynamische Viskosität 𝜼 und hat die Einheit
𝜏 =𝜂⋅
(5.7)
N⋅s
kg
= Pa ⋅ s,
(5.8)
=
2
m
m⋅s
wobei Pascal = Pa = N/m2 die SI-Einheit für den Druck darstellt. Eine ältere Einheit ist
1 Poise = 0.1 Ns/m2 .
Strömungen, die im wesentlichen durch die Viskosität bestimmt werden, nennt man laminar.
Die Viskosität von Flüssigkeiten nimmt mit steigender Temperatur stark ab. Für viele Flüssigkeiten gilt in guter Näherung das
[𝜂] =
Arrhenius-Gesetz
(
𝜼 = 𝑨 ⋅ exp
)
𝑬A
𝒌B 𝑻
.
(5.9)
Hierbei ist 𝐴 eine Konstante, 𝐸A eine Aktivierungsenergie, 𝑘B = 1,381 ⋅ 10−23 J/K die
Boltzmann-Konstante und 𝑇 die absolute Temperatur (in Kelvin).
Die Scherung einer Flüssigkeit ist nur möglich, falls Molekülschichten übereinander hinweggleiten. Flüssigkeitsmoleküle sind zwar nicht wie im Festkörper an Ruhelagen fixiert, aber die
Verzahnung benachbarter Schichten bedingt Potentialwälle, die um so leichter zu überspringen
sind, je höher die Temperatur ist. Demzufolge bedeutet 𝐸A im wesentlichen die Aktivierungsenergie des Platzwechsels.
5.1.4
Das Gesetz von Hagen-Poiseuille
Eine Kapillare vom Radius 𝑟 und der Länge ℓ werde von einer laminaren Flüssigkeit der Dichte
𝜌 und der dynamischen Viskosität 𝜂 durchflossen. Zwischen den Enden der Kapillare herrsche
die Druckdifferenz Δ𝑝 = 𝑝2 − 𝑝1 .
Bei laminaren Strömungen ist die Reibungskraft durch die Schubspannung 𝐹𝑅 = 𝜏 ⋅ 𝐴 =
Δ𝑣
⋅ 𝐴 gegeben. Auf die Flüssigkeit wirkt die Druckkraft 𝐹𝑝 = 𝜋 ⋅ 𝑟2 ⋅ Δ𝑝 , so dass
𝜂 ⋅ Δ𝑥
sich ein parabolisches Strömungsprofil der Flüssigkeit in der Kapillare ausbildet. (d.h. die
Geschwindigkeit nimmt zur Kapillarenmitte quadratisch zu (siehe Abb. 5.5) 𝑣 ∝ 𝑅2 − 𝑟2 ,
wobei an der Außenwand der Kapillare die Geschwindigkeit 𝑣 der Flüssigkeit wegen Reibung
verschwinden muss).
In der Zeit Δ𝑡 fließe durch die Kapillare das Flüssigkeitsvolumen Δ𝑉 . Als Volumenstromstärke 𝑱 bezeichnet man das Flüssigkeitsvolumen pro Zeit 𝐽 = Δ𝑉 /Δ𝑡. Das
Hagen-Poiseuille-Gesetz
𝑱 =
Δ𝑽
Δ𝒕
=
𝝅 ⋅ 𝒓 4 ⋅ (𝒑2 − 𝒑1 )
8⋅𝜼⋅ℓ
=
𝝅 ⋅ 𝒓4
8⋅𝜼⋅ℓ
⋅ Δ𝒑.
(5.10)
gibt die Volumenstromstärke in Abhängigkeit von der Druckdifferenz, der Viskosität und der
8𝜂ℓ
Geometrie des Kapillarrohres an. Dabei hat der Faktor 𝜋𝑟
4 die Bedeutung eines (Strömungs)widerstandes, analog zum Ohmschen Gesetz.
70
V. 5
O BERFLÄCHENSPANNUNG UND V ISKOSITÄT
Abbildung 5.5: Geschwindigkeit der Flüssigkeit in einer Kapillare mit dem Radius 𝑅.
Die hier auftauchende 𝑟4 -Abhängigkeit kann man sich nun leicht qualitativ überlegen. Mit
größerem Radius der Kapillare und damit größerer Kapillarfläche (= 𝜋 ⋅ 𝑟2 ∝ 𝑟2 ) vergrößert
sich zum einen der Volumenstrom. Die Geschwindigkeit, mit der sich die Flüssigkeit durch
die Kapillare bewegt, ändert sich mit dem Quadrat des Radius (𝑣 ∝ 𝑟2 ), so dass insgesamt für
den Volumenstrom gelten muss
𝑉
= 𝜋 ⋅ 𝑟2 ⋅ 𝑣 ∝ 𝑟2 ⋅ 𝑟2 = 𝑟4 .
𝑡
5.1.5
(5.11)
Aufgabe zur Vorbereitung
Aufgaben:
∙ Bilden Sie den Logarithmus der Arrheniusgleichung und bestimmen Sie dann aus
der entstandenen Geradengleichung ln(𝜂) = 𝑚 ⋅ 𝑇1 + 𝑏 die Steigung 𝑚 und den
Achsenabschnitt 𝑏!
∙ Rechnen Sie die Einheit der Viskosität 𝜂 von
g
cm⋅s
in die SI-Einheit Pa ⋅ s =
kg
m⋅s
um!
5.2 Versuchsdurchführung
5.2
71
Versuchsdurchführung
Material: Für diesen Versuch benötigen Sie folgende Geräte bzw. Teile: Kapillare, Becherglas, Digital-Thermometer, Netzgerät, Wasserkocher, Kapillarschläuche, kalibriertes Messgefäß, Stoppuhr, Stativ mit Klammer, Eiswürfel, Maßband.
5.2.1
Bestimmung der Oberflächenspannung aus der kapillaren Steighöhe
Aufgaben:
∙ Ein sauberes Kapillarröhrchen wird in die Messflüssigkeit getaucht und durch Ansaugen vollständig und blasenfrei gefüllt. Dann stellt man die innen vollständig benetzte
Kapillare senkrecht in die Flüssigkeit und wartet, bis sich der Gleichgewichtszustand
eingestellt hat. Mit einem mm-Meßstab liest man die Stellung des Meniskus in der
Kapillaren und die der Flüssigkeitsoberfläche im Becherglas ab. Die Differenz beider
Höhen ergibt ℎ (vgl. Abb. 5.6).
∙ Führen Sie die Messung von ℎ fünfmal (5×) durch und bilden Sie den Mittelwert ℎ̄!
Setzen Sie 𝜌𝐻2 𝑂 = 1 g/cm3 , 𝑔 = 9,81 m/s2 , 𝑟 = 0,0325 cm und berechnen Sie 𝜎
nach Glg. (5.6)!
(Literaturwert für reines Wasser: 𝜎 = 0, 072 N/m)
Abbildung 5.6: Zur Messung der kapillaren Steighöhe.
72
V. 5
5.2.2
O BERFLÄCHENSPANNUNG UND V ISKOSITÄT
Messung der dynamischen Viskosität nach Hagen-Poiseuille für
verschiedene Temperaturen
Zur Messung der dynamischen Viskosität 𝜂 dient die in Abb. 5.7 dargestellte Anordnung. Sie
ermöglicht sowohl die Messung der Volumenstromstärke 𝐽 als auch der Druckdifferenz Δ𝑝.
Steht das Kapillarrohr senkrecht, so wird die Druckdifferenz durch den Schweredruck der
Flüssigkeit
Δ𝑝 = 𝜌 ⋅ 𝑔 ⋅ ℎ
(5.12)
erzeugt. Aus dem Einsetzen von Glg. (5.12) in das Hagen-Poiseuillesche Gesetz (Glg. (5.10))
folgt für die Viskosität
𝜂=
𝜋 ⋅ 𝑟4 ⋅ 𝜌 ⋅ 𝑔 ⋅ ℎ ⋅ Δ𝑡
𝜋 ⋅ 𝑟4 ⋅ 𝜌 ⋅ 𝑔 ⋅ ℎ
.=
.
8⋅ℓ⋅𝐽
8 ⋅ ℓ ⋅ Δ𝑉
(5.13)
Aufgaben:
∙ Bauen Sie die Versuchsanordnung aus Abb. 5.7 auf!
∙ Legen Sie eine der vorhandenen Markierungen am Vorratsgefäß als Anfangsmarke
𝑀1 und eine als Endmarke 𝑀2 fest, die einem Differenzvolumen von Δ𝑉 = 100 cm3
entsprechen! Füllen Sie das Vorratsgefäß bis etwas über die Marke 𝑀1 hinaus mit
Wasser und bestimmen Sie die Anfangstemperatur 𝑇1 des Wassers mit dem DigitalThermometer!
∙ Die Kapillare 𝐾 verbindet das Vorratsgefäß mit dem Auffanggefäß. Sie taucht im
Vorratsgefäß bis unter die Marke 𝑀2 und im Auffanggefäß bis unter den Wasserspiegel ein. Beachten Sie, dass beide Enden der Kapillare stets in der Flüssigkeit
münden, da sich sonst Tropfen bilden, deren Oberflächenspannung eine Verminderung der Druckdifferenz bewirken und dies das Messergebnis erheblich verfälschen
würde! Bestimmen Sie die Anfangshöhe ℎ1 !
K
M
h
1
h
M
1
2
2
Abbildung 5.7: Anordnung zur Messung der dynamischen Viskosität 𝜂.
5.2 Versuchsdurchführung
73
∙ Lassen Sie nun das Wasser durch die Kapillare fließen (dazu kurz etwas Wasser mit
der Spritze ansaugen) und messen Sie die Zeit Δ𝑡, die zwischen den Durchgängen
durch die Marken 𝑀1 und 𝑀2 vergeht! Vergessen Sie nach dem Stoppen der Zeit
nicht, die Kapillare im Vorratsgefäß aus dem Wasser zu nehmen!
∙ Bestimmen Sie dann die Endhöhe ℎ2 und daraus die mittlere Höhe ℎ = (ℎ1 + ℎ2 )/2!
Messen Sie außerdem die Endtemperatur 𝑇2 des Wassers im Auffanggefäß!
Die mittlere Wassertemperatur ergibt sich ebenfalls als 𝑇 = (𝑇1 + 𝑇2 )/2. Die Viskosität berechnet sich dann aus Glg. (5.13) mit den Größen ℓ = 100 cm, 𝑔 = 9,81 m/s2 ,
𝜌 = 1 g/cm3 .
(Literaturwert: 𝜂𝐻2 𝑂 (20∘ 𝐶) = 1,0 ⋅ 10−3 Pa ⋅ s.)
∙ Führen Sie diesen Versuchsablauf zunächst für Raumtemperatur für die beiden zur
Verfügung stehenden Kapillaren 𝐾1 (𝑟1 = 0,07 cm) und 𝐾2 (𝑟2 = 0,1 cm) durch!
∙ Überprüfen Sie die Gültigkeit des Hagen-Poisseuille Gesetzes (5.10) anhand der gemessenen Durchlaufzeiten Δ𝑡1 und Δ𝑡2 durch die Kapillaren 𝐾1 und 𝐾2 von jeweils
Δ𝑉 = Δ𝑉1 = Δ𝑉2 = 100 cm3 Wasser.
(Anleitung: Es sollte gelten
erfüllt?).
Δ𝑉1
Δ𝑉2
1 ⋅ℎ1
= 1 = ( 𝑟𝑟12 )4 Δ𝑡
oder
Δ𝑡2 ⋅ℎ2
Δ𝑡2 ⋅ℎ2
Δ𝑡1 ⋅ℎ1
= ( 𝑟𝑟12 )4 . Ist dies
∙ Anschließend soll die Messung der Viskosität mit der Kapillare 𝐾1 noch bei vier
weiteren, deutlich unterschiedlichen Temperaturen durchgeführt werden. Da diese
Messungen sehr zeitraubend sind, gehen Sie wie folgt vor:
Führen Sie die Messung bei zwei weiteren Temperaturen durch und tauschen Sie
Ihre Messwerte anschließend mit einem anderen Team aus! (Z.B. misst Gruppe 1 bei
𝑇1 ≈ 0 ∘ C und 𝑇2 ≈ 40 ∘ C; Gruppe 2 bei 𝑇3 ≈ 60 ∘ C und 𝑇4 ≈ 80 ∘ C). So hat jede
Gruppe Messungen bei weiteren 4 Temperaturen vorliegen.)
∙ Überprüfen Sie anhand der Viskositäten bei den fünf verschiedenen Temperaturen,
ob das Arrhenius-Gesetz Glg. (5.9) erfüllt ist! Tragen Sie hierzu ln 𝜂 gegen 1/𝑇 auf.
Warum?
∙ Ermitteln Sie aus der Steigung der zu erwartenden Geraden die Aktivierungsenergie
𝐸A (Boltzmann-Konstante 𝑘B = 1.381 ⋅ 10−23 J/K). Beachten Sie, dass hier für 𝑇 die
absolute Temperatur in Kelvin einzusetzen ist!
∙ Diskutieren Sie die Analogie zwischen dem Hagen-Poiseuilleschen-Gesetz und dem
Ohmschen Gesetz. Was entspricht der Spannung, der Stromstärke, der Ladung, dem
spezifischen Widerstand und dem Widerstand selbst?
74
V. 5
O BERFLÄCHENSPANNUNG UND V ISKOSITÄT
Versuch 6: Kalorimetrie
— Versuchsziel —
Der Versuch soll Sie mit einigen grundlegenden Begriffen aus der Wärmelehre vertraut
machen.
Der Versuch gliedert sich in zwei Teile:
∙ Bestimmung der spezifischen Wärme einiger Stoffe.
∙ Bestimmung der latenten Wärme (Schmelzwärme, Verdampfungswärme) von Wasser.
Grundbegriffe: Spezifische Wärme, Wärmekapazität, ideales Gasgesetz, Isotherme, Isobare, Isochore, latente Wärme, Schmelz- und Verdampfungswärme, Kelvin-Skala.
76
6.1
6.1.1
V. 6
K ALORIMETRIE
Physikalische Grundlagen der Thermodynamik
Spezifische Wärme
Merke: Wärme ist Energie der ungeordneten Bewegung sich frei bewegender Teilchen in
einem Gas oder der Schwingungen und Rotationen von Molekülen und Atomen in einem
Festkörper.
Je größer diese Energie ist, desto höher ist die Temperatur. Deshalb ist Energie aufzuwenden, um die Temperatur eines Körpers zu erhöhen: Sie ist gleich der Zunahme der kinetischen
bzw. Schwingungsenergie aller Teilchen in der betrachteten Stoffprobe. Die zugeführte Wärmemenge Δ𝑄 ist daher der Temperatursteigerung Δ𝑇 proportional, die sie verursacht. Man
kann schreiben
Δ𝑄 = 𝐶 ⋅ Δ𝑇.
(6.1)
Die Proportionalitätskonstante nennt man die Wärmekapazität 𝑪 eines Stoffes. Bezieht man
die Wärmekapazität auf die Masse 𝑚 eines Stoffes, so erhält man die spezifische Wärmekapazität 𝒄 (auch spezifische Wärme eines Stoffes)
𝑐=
1 Δ𝑄
𝐶
=
⋅
.
𝑚
𝑚 Δ𝑇
(6.2)
Sie hängt von dem molekularen Aufbau eines Stoffes ab. Als Einheit der Wärmemenge wurde früher die Kalorie (cal) verwendet. Sie ist diejenige Wärmemenge, welche 1 g Wasser von
14,5 ∘ C auf 15,5 ∘ C erwärmt (unter Normaldruck bei 1013,25 mbar). Heute wird die Energieeinheit Joule (SI-Einheit) oder Wattsekunde benutzt. Zwischen den Einheiten gilt das sogenannte mechanische Wärmeäquivalent
1 cal = 4,1868 J = 4,1868 Ws.
(6.3)
Die spezifische Wärmekapazität hat die SI-Einheit [J/(kg ⋅ K)]. Die spezifische Wärme von
Wasser ist weitgehend temperaturunabhängig. Sie hat z.B. bei einer Temperatur von 40 ∘ C den
Wert 𝑐𝑊 = 0,9977 cal/(g ⋅ K) = 4,1722 J/(g ⋅ K). Daher soll im folgenden zur Vereinfachung
im gesamten Temperaturintervall 0 . . . 100 ∘ C der Wert 𝑐𝑊 = 1 cal/(g ⋅ K) = 4,1868 J/(g ⋅ K)
verwendet werden (abgesehen von Versuch 6.2.1).
Eine andere häufig verwendete Größe ist die molare Wärmekapazität, die sich auf die Stoffmenge 𝑛 einer Substanz bezieht. Die Stoffmenge 𝑛 ist ein Maß für die Anzahl der Teilchen
in einer Probe. Sie hat die SI-Einheit Mol. Ein Mol eines Stoffes enthält 𝑁A = 6,022 ⋅ 1023
Teilchen (Avogadro-Konstante, früher Loschmidsche Zahl genannt). Die molare Masse (oder
Molmasse) eines Stoffes ist definiert als
𝑀molar =
𝑚
,
𝑛
(6.4)
wobei 𝑚 die Masse des Stoffes ist. Die SI-Einheit der molaren Masse ist [kg/mol]. Unter
Normalbedingungen [Druck: 101325 Pa = 1013,25 hPa, 𝑇 = 273,15 K =
ˆ 0 ∘ C)] beträgt das
molare Volumen, d.h. das Volumen, das ein Mol eines idealen Gases einnimmt, 22,414 ℓ/mol.
Die auf die Stoffmenge bezogene Wärmekapazität nennt man die molare Wärmekapazität
𝐶𝑚𝑜𝑙𝑎𝑟 =
𝐶
𝑛
(6.5)
6.1 Physikalische Grundlagen der Thermodynamik
77
oder mit Glg. (6.2) und (6.4)
𝐶𝑚𝑜𝑙𝑎𝑟 =
𝑐⋅𝑚
= 𝑐 ⋅ 𝑀molar .
𝑛
(6.6)
Die Einheit der molaren Wärmekapazität ist [J/(mol ⋅ K)].
6.1.2
Atomistische Betrachtung der Wärme und ideales Gasgesetz
Da jeder Stoff aus einer sehr großen Zahl (6, 022 ⋅ 1023 Teilchen/Mol) von Atomen oder Molekülen besteht, kann man seinen Wärmeinhalt atomistisch nur im Rahmen der statistischen
Physik beschreiben. Dies führt auf makroskopische Mittelwerte. Nach L. Boltzmann (1844–
1906) gilt im Zeitmittel für die kinetische Energie eines Atoms eines idealen Gases mit 𝑓 = 3
(entsprechend seinem Wärmeinhalt)
1
3
𝑊 𝑘𝑖𝑛 = 𝑚𝑣 2 = 𝑘B 𝑇,
2
2
(6.7)
wobei 𝑘B die Boltzmann-Konstante ist (𝑘B = 1, 38 ⋅ 10−23 J/K). Sie hängt mit der oben angegebenen allgemeinen (molaren) Gaskonstanten 𝑅 zusammen
𝑅 = 𝑘B ⋅ 𝑁A .
(6.8)
𝑇 ist die absolute Temperatur, die in Kelvin [K] gemessen wird. 𝑇 = 0K ist die tiefste erreichbare Temperatur, da bei ihr nach Glg. (6.7) alle Teilchen in vollkommener Ruhe sind
und ihre mittlere kinetische Energie gleich Null ist (in klassischer Betrachtungsweise). Die
thermodynamische Temperaturskala (oder Kelvin-Skala) ist gegenüber der Celsius-Skala um
einen konstanten Wert verschoben. Für die Umrechnung gilt
𝑇 [K] = 273, 15 + 𝜗[∘ C].
(6.9)
Dem absoluten Nullpunkt 𝑇 = 0 K entspricht 𝜗 = −273,15 ∘ C.
Die durchgeführten Betrachtungen zur atomistischen Deutung der Wärme gelten für ideale
Gase. Der ideale Gaszustand wird durch zwei Eigenschaften charakterisiert:
(a) Die Gasteilchen können als punktförmig betrachtet werden.
(b) Sie üben — außer bei Zusammenstößen — keine Wechselwirkungen aufeinander aus
(keine potentielle Energie).
Als ideal können Gase betrachtet werden, sofern ihre Temperatur weit oberhalb des Siedepunktes (bzw. kritischen Punktes) der flüssigen Phase liegt. Bei Normalbedingungen (0 ∘ C;
1013,25 hPa) verhalten sich z.B. Luft, Wasserstoff, Helium, Neon und Argon wie ideale Gase.
In der kinetischen Wärmetheorie geht man davon aus, dass für ideale Gasteilchen im zeitlichen
Mittel die Bewegung in die drei Raumrichtungen gleichwahrscheinlich (Äquipartitionsprinzip)
ist. Man sagt, dass jedes Teilchen drei Freiheitsgrade 𝑓 der Translation (𝑓 = 3) besitzt. Zweiatomige Gase, wie z.B. N2 oder O2 , haben in der Modellvorstellung die Form von Hanteln. Sie
besitzen drei Freiheitsgrade der Translation und zwei Freiheitsgrade der Rotation, also insgesamt 𝑓 = 5. Der dritte Rotationsfreiheitsgrad um die Verbindungsachse der Atome wird nicht
angeregt, da das Trägheitsmoment der Moleküle um diese Achse sehr klein ist. Nichtlineare dreiatomige Moleküle können drei Freiheitsgrade der Rotation besitzen. Außerdem gibt es
78
V. 6
K ALORIMETRIE
noch Schwingungsfreiheitsgrade, die allerdings meistens erst bei höheren Temperaturen angeregt werden. Insgesamt kann man für die mittlere kinetische Energie eines Teilchens mit 𝑓
Freiheitsgraden schreiben
1
1
𝑓
𝑊 kin = 𝑊 trans + 𝑊 rot = 𝑚𝑣 2 + Θ𝜔 2 = 𝑘B 𝑇.
2
2
2
(6.10)
Da 𝑊 pot = 0, beträgt die mittlere Gesamtenergie eines Mols eines idealen Gases demnach
𝑁A ⋅ 𝑊 = 𝑁A ⋅ 𝑊 pot + 𝑁A ⋅ 𝑊 kin =
Da die Wärmekapazität nach Glg. (6.1) als 𝐶 =
𝑑𝑄
𝑑𝑇
𝑓
𝑓
⋅ 𝑘B ⋅ 𝑇 ⋅ 𝑁A = ⋅ 𝑅 ⋅ 𝑇.
2
2
(6.11)
definiert ist, ergibt sich für ein Mol
Abbildung 6.1: Betrachtung der Freiheiten eines einatomigen Moleküls (oben) und eines zweiatomigen Moleküls mit zusätzlichen Rotationsfreiheitsgraden (unten).
𝐶𝑚𝑜𝑙𝑎𝑟 =
𝑑𝑄
𝑑𝑊
𝑓
=
= ⋅ 𝑅,
𝑑𝑇
𝑑𝑇
2
(6.12)
also eine Konstante, die für ein einatomiges Gas (𝑓 = 3) die Hälfte des Wertes eines einatomigen Festkörpers ausmacht (vergleiche Glg. (6.13)).
Bei Festkörpern (insbesondere bei hohen Temperaturen und bei Metallen) ist in guter Näherung das
Dulong-Petit-Gesetz
𝑪molar ≈ 3 ⋅ 𝑹
(6.13)
erfüllt, wobei 𝑅 = 8,314 J/(mol ⋅ K)) = 1,98 cal/(mol ⋅ K) die molare Gaskonstante ist.
Die molare Wärmekapazität eines Festkörpers ist also unabhängig von der Stoffart eine Konstante (von speziellen Ausnahmen abgesehen). Sie ist doppelt so groß wie die molare Wärmekapazität eines idealen Gases, da man in einem Festkörper neben der mittleren kinetischen
Energie der ihn aufbauenden Atome oder Moleküle auch noch ihre mittlere potentielle Energie
berücksichtigen muss (dabei erhöht sich die Anzahl der Freiheitsgrade in Gl. 6.12 um drei, die
sich aus der potentiellen Energie ergeben).
6.1 Physikalische Grundlagen der Thermodynamik
79
Wir haben jetzt schon eine Zustandsgröße kennengelernt, die ein ideales Gas charakterisiert:
die Temperatur. Außerdem wird ein Gas noch durch zwei weitere Zustandsgrößen bestimmt,
nämlich durch den Druck 𝑝 und das Volumen 𝑉 . Für ein ideales Gas gilt
𝑝 ⋅ 𝑉 = 𝑛 ⋅ 𝑅 ⋅ 𝑇,
(6.14)
wobei 𝑛 die Molzahl ist.
Aus Glg. (6.14) kann man leicht errechnen, dass ein Mol eines Stoffes unter Normalbedingungen (0 ∘ C; 1013,25 hPa) das Molvolumen von 𝑉0 = 22,414 ℓ einnimmt.
Man kann vier unterschiedliche Zustandsänderungen durchführen, je nachdem welche Zustandsgröße man konstant hält:
1. Isotherme Zustandsänderung (𝑻 = const.): Aus Glg. (6.14) ergibt sich das
Boyle-Mariottesche Gesetz
𝒑 ⋅ 𝑽 = 𝒏 ⋅ 𝑹 ⋅ 𝑻 = const. oder
𝒑∝
1
𝑽
(6.15)
Die Kurven konstanter Temperatur (Isothermen) stellen im 𝑝-𝑉 -Diagramm Hyperbeln dar (Abb. 6.2a).
2. Isochore Zustandsänderung (𝑽 = const.): Man erhält aus Glg. (6.14) das
2. Gay-Lussacsche Gesetz
𝒑 = const. ⋅ 𝑻,
oder 𝒑 ∝ 𝑻
(6.16)
Die Isochoren (Kurven konstanten Volumens) sind Geraden im 𝑝-𝑇 -Diagramm, die
durch Null gehen (siehe Abb. 6.2b). Anwendung: Gasthermometrie zur absoluten
Temperaturbestimmung.
3. Isobare Zustandsänderung (𝒑 = const.): Hierfür findet man aus Glg. (6.14) das
1. Gay-Lussacsche Gesetz
𝑽 = const. ⋅ 𝑻,
oder 𝑽 ∝ 𝑻
(6.17)
Es beschreibt die Wärmeausdehnung eines idealen Gases. Isobaren (Kurven konstanten Druckes) sind Geraden im 𝑉 −𝑇 Diagramm, die durch den Ursprung gehen (siehe
Abb. 6.2c).
4. Adiabatische Zustandsänderungen, bei denen kein Wärmeaustausch mit der Umgebung (Δ𝑸 = 0) erfolgt. Schall ist z.B. solch ein adiabatischer Prozess, der im Versuch 7 behandelt wird.
6.1.3
Latente Wärme
Stoffe liegen bei verschiedenen Temperaturen in unterschiedlichen Phasen (z.B. fest, flüssig,
gasförmig) vor. Bei bestimmten Temperaturen gehen diese Stoffe von einer Phase in die an-
80
V. 6
p
p
K ALORIMETRIE
V
V1
T3
p1
V2
p2
T2
V3
T1
(a)
V
T
(b)
p3
(c)
T
Abbildung 6.2: Zustandsänderungen eines idealen Gases bei (a) 𝑇 = const. (Isothermen, 𝑇1 <
𝑇2 < 𝑇3 ), (b) 𝑉 = const. (Isochoren, 𝑉1 < 𝑉2 < 𝑉3 ) und (c) 𝑝 = const. (Isobaren, 𝑝1 < 𝑝2 <
𝑝3 ).
dere über. Erfährt ein Stoff durch Zu-oder Abfuhr von Wärmeenergie eine Phasenumwandlung, dann bleibt in vielen Fällen während des gesamten Umwandlungsprozesses die Temperatur konstant. Beispiele dafür sind das Schmelzen fester Körper und das Verdampfen von
Flüssigkeiten. Die Wärmemengen, welche dabei von dem Stoff aufgenommen werden, heißen
latent, da sie keine Temperaturänderungen bewirken. Erst wenn soviel Energie zugeführt worden ist, dass die gesamte Substanz umgewandelt wurde, kann die Temperatur weiter steigen.
Aus diesem Grund werden Schmelz- und Siedepunkt als Fixpunkte zur Thermometereichung
verwendet. Wird ein Festkörper der Masse 𝑚 durch Zufuhr der Wärmemenge Δ𝑄𝑠 bei der
Schmelztemperatur 𝑇𝑆 vollständig geschmolzen (dabei erhöht sich die Temperatur nicht), so
nennt man das Verhältnis
Δ𝑄𝑠
(6.18)
Λ𝑠 =
𝑚
die spezifische Schmelzwärme des Festkörpers. Ihre SI-Einheit ist [J/kg]. Analog definiert
man die spezifische Verdampfungswärme eines Stoffes
Λ𝑣 =
Δ𝑄𝑣
.
𝑚
(6.19)
Sie gibt die Wärmemenge Δ𝑄𝑣 an, die man pro Masseneinheit 𝑚 zuführen muss, um den Stoff
vom flüssigen in den gasförmigen Zustand am Siedepunkt 𝑇𝑣 zu überführen. Ihre Einheit ist
natürlich die gleiche wie die der Schmelzwärme [J/kg].
Die Verdampfungswärme besteht aus einem inneren und einem äußeren Anteil. Der äußere
Anteil wird dazu verbraucht, das ursprüngliche Flüssigkeitsvolumen auf das Gasvolumen auszudehnen. Der innere Anteil dient zur Überwindung der Molekularkräfte der Flüssigkeit und
stellt meistens den größten Teil der Verdampfungswärme dar.
6.1.4
Bestimmung der spezifische Wärme von Wasser mit der Wärmepulsmethode
Die spezifische Wärme von Wasser kann auf elektrischem Wege mit der sog. Wärmepulsmethode bestimmt werden. Dazu schaltet man für eine Zeit Δ𝑡 die Heizung eines mit Wasser
gefüllten Kalorimeters an und misst die Temperaturerhöhung Δ𝑇 . Die aufgewendete Arbeit
bei einer Heizleistung 𝑃 beträgt
𝑊 = 𝑃 ⋅ Δ𝑡.
(6.20)
6.1 Physikalische Grundlagen der Thermodynamik
81
Sie ist gleich der dem Kalorimeter, in dem sich die Wassermenge 𝑚𝑤 befindet, zugeführten
Wärmeenergie
Δ𝑄 = (Γ𝐾 + 𝑚𝑤 ⋅ 𝑐𝑤 ) ⋅ Δ𝑇.
(6.21)
Dabei ist Γ𝐾 die Wärmekapazität des Kalorimeters, die auch als Wasserwert bezeichnet wird.
Γ𝐾 muss berücksichtigt werden, da man sowohl das Kalorimeter als auch das Wasser erwärmt.
Es ergibt sich für die spezifische Wärme 𝑐𝑤 des Wassers
𝑐𝑤 =
6.1.5
𝑃 ⋅ Δ𝑡 − Γ𝐾 ⋅ Δ𝑇
.
𝑚𝑤 ⋅ Δ𝑇
(6.22)
Bestimmung der spezifischen Wärme von Festkörpern mit der Mischungsmethode
Die spezifische Wärme von Festkörpern (z.B. Metallen) kann man mit der Mischungsmethode
bestimmen. Dazu gibt man einen Metallblock der Masse 𝑚FK und der Temperatur 𝑇2 in ein
Gefäß mit Wasser der Masse 𝑚w und der Temperatur 𝑇1 . Nach erfolgtem Wärmeaustausch hat
das Wasser (und der Festkörper) die Mischungstemperatur 𝑇𝑀 . Falls 𝑇2 < 𝑇𝑀 < 𝑇1 , ist die
vom Metallblock aufgenommene Energie
Δ𝑄FK = 𝑚FK ⋅ 𝑐FK ⋅ (𝑇M − 𝑇2 ).
(6.23)
Andererseits ist die vom Wasser (und vom Kalorimeter) abgegebene Energie
Δ𝑄w = (𝑚w ⋅ 𝑐𝑤 + ΓK ) ⋅ (𝑇1 − 𝑇M ).
(6.24)
(𝑚𝑤 ⋅ 𝑐𝑤 + Γ𝐾 ) ⋅ (𝑇1 − 𝑇M )
.
𝑚FK ⋅ (𝑇𝑀 − 𝑇2 )
(6.25)
Gleichsetzen liefert
𝑐FK =
6.1.6
Bestimmung der Schmelzwärme von Eis
Wenn man in einem mit Wasser der Temperatur 𝑇1 gefüllten Kalorimeter Eisstücke zum
Schmelzen bringt, wird ihm solange Wärme entzogen, bis das gesamte Eis geschmolzen ist,
und bis das Schmelzwasser die Temperatur des Kalorimeters angenommen hat. Die vom Eis
der Masse 𝑚𝐸 aufgenommene Wärme ist
Δ𝑄1 = 𝑚𝐸 Λ𝑆 + 𝑚𝐸 𝑐𝑤 (𝑇𝑀 − 𝑇2 ),
(6.26)
wobei 𝑇𝑀 die Endtemperatur des Kalorimeters und 𝑇2 die Schmelztemperatur (0∘ 𝐶) ist. Die
dem Kalorimeter entzogene Wärme ist
Δ𝑄2 = (Γ𝐾 + 𝑚𝑤 𝑐𝑤 )(𝑇1 − 𝑇𝑀 ).
(6.27)
82
6.1.7
V. 6
K ALORIMETRIE
Aufgabe zur Vorbereitung
Aufgabe: Leiten Sie als Vorbereitung durch Gleichsetzen von Glg. (6.26) und (6.27) eine
Beziehung für Λ𝑆 her und bestimmen aus dem angegeben Bild Δ𝑇 . Fertigen Sie eine Skizze
an, die das Verfahren zur Bestimmung von Δ𝑇 erklärt!
Abbildung 6.3: Wärmepuls zur Vorbereitung.
6.2 Versuchsdurchführung
6.2
83
Versuchsdurchführung
Material: Für diesen Versuch benötigen Sie einen Wasserkocher, das Digital-Thermometer,
eine Stoppuhr, Blöcke aus Al und Cu, Eiswürfel, Stativ, Messbecher (500 mℓ), Spritzflasche,
Rührstab, Digitalvoltmeter.
Literaturwerte: 𝐶H2 O = 4,182 J/(g ⋅ K), 𝐶Cu = 0,383 (J/g ⋅ K), 𝐶Al = 0,893 J/(g ⋅ K),
Λ𝑆 = 334 J/g, Λ𝑉 = 2256 J/g, Γ𝐾 = 160 J/K, 𝑚Al = 𝑚Cu = 400 g, 𝑀Al =
26,981 g/mol, 𝑀Cu = 63,541 g/mol.
6.2.1
Die spezifische Wärme von Wasser
Bestimmen Sie die spezifische Wärme von Wasser mit der oben geschilderten Wärmepulsmethode!
Aufgaben:
∙ Der Hersteller gibt als Heizleistung des verwendeten Kochers etwa 𝑃 = 500 W an.
Überprüfen Sie diesen Wert durch Messung des Widerstandes der Heizung mit dem
Digitalvoltmeter. Bei gegebener Netzspannung können Sie die Leistung aus 𝑃 =
𝑈 ⋅ 𝐼 = 𝑈 2 /𝑅 berechnen.
∙ Füllen Sie 𝑚𝑤 = 400 mℓ ≡ 400 g kaltes Leitungswasser in den Kocher.
∙ Messen Sie 3 min alle 30 s die Vorlaufkurve (Temperatur 𝑇 gegen die Zeit 𝑡) und
führen Sie dann dreimal, unmittelbar nacheinander, folgenden Messzyklus durch:
– 1 Minute Heizen mit eingeschaltetem Kocher,
– 3 Minuten Warten bei ausgeschaltetem Kocher.
Messen Sie die ganze Zeit über alle 15 s die Temperatur!
∙ Tragen Sie den Verlauf der Temperatur über der Zeit auf. Es ergibt sich eine Treppenkurve wie in Abb. 6.4.
∙ Ermitteln Sie die Höhen der Stufen Δ𝑇 . Berechnen Sie den Mittelwert Δ𝑇 . Bestimmen Sie mit Hilfe von Glg. (6.22) die spezifische Wärme 𝑐𝑤 . Der Wasserwert des
verwendeten Kochers beträgt Γ𝐾 = 160 J/K.
Hinweis zur Auswertung: Um die Höhe Δ𝑇 = 𝑇𝐵 − 𝑇𝐴 der einzelnen Stufen möglichst
gut zu bestimmen, extrapoliert man wie in Abb. 6.5 gezeigt die Vorlauf- und Nachlaufkurve.
Dabei sollte die senkrechte Gerade AB so gewählt werden, dass die schraffierten Flächenstücke rechts und links von ihr gleich groß sind. Auch in den folgenden Versuchen ist bei
der Auswertung immer auf diese Weise zu verfahren.
84
V. 6
K ALORIMETRIE
AUS
AN
AUS
AN
AUS
AUS
AN
T
∆T
t
Abbildung 6.4: Zeitlicher Temperaturverlauf bei wiederholten Wärmepulsen in Versuch 6.2.1
T
T
B
D T
T
A
t
Abbildung 6.5: Zur Extrapolation der Temperaturstufen (schematischer Temperaturverlauf).
6.2 Versuchsdurchführung
6.2.2
85
Spezifische Wärme von Metallen
Die spezifische Wärme verschiedener Metalle (Al, Cu) soll mit der Mischungsmethode bestimmt werden.
Aufgaben:
∙ Füllen Sie 400 mℓ Wasser in den Kocher und erwärmen Sie es auf ca. 70 ∘ C.
∙ Messen Sie ca. 4 min lang die Temperatur (etwa alle 30 s ein Wert) und fügen Sie
dann einen Metallblock dazu, den sie vorher in Eis auf 𝑇2 = 0 ∘ C abgekühlt und anschließend abgetrocknet haben. Es empfiehlt sich nun alle 15 s einen Wert zu messen,
um die Genauigkeit zu steigern. Messen Sie für 4 min den Verlauf der Temperatur
(bei gleichzeitigem Rühren mit dem Stäbchen).
∙ Ermitteln Sie nach der im vorigen Abschnitt erläuterten Methode aus einem Temperatur-Zeit-Diagramm die Temperatur 𝑇𝑀 und die Temperaturdifferenz Δ𝑇 = 𝑇1 − 𝑇𝑀
und berechnen Sie 𝑐FK anhand Glg. (6.25).
∙ Überprüfen Sie, wie gut das Dulong-Petit-Gesetz (Glg. (6.13)) erfüllt wird. (𝑚Al =
𝑚Cu = 400 g. Molare Massen: 𝑀Al = 26,981 g/mol, 𝑀Cu = 63,541 g/mol.)
Hinweis: Aus Zeitgründen empfiehlt es sich, wechselseitig zu messen: Eine Gruppe bestimmt die spezifische Wärme des ersten Metallblocks, eine zweite Gruppe die des zweiten
Metallblocks etc. Die Gruppen sollen die Ergebnisse danach austauschen, die Gültigkeit
des Dulong-Petit-Gesetzes überprüfen und diskutieren.
6.2.3
Verdampfungswärme von Wasser
Eine einfache, wenn auch nicht sehr genaue Methode zur Bestimmung der Verdampfungswärme von Wasser ist die folgende:
Aufgaben:
∙ Füllen Sie eine Masse von 𝑚𝑤 = 400 g Wasser in den Kocher ein und erhitzen Sie es
auf den Siedepunkt.
∙ Sobald Sie ihn erreicht haben, beginnen Sie mit der Zeitmessung.
∙ Nach 10 min schalten Sie die Heizung aus und bestimmen die Masse des verdampften
Wassers durch Ausmessung der verbliebenen Menge mit einem Messzylinder. Die
Verdampfungswärme erhält man aus
Λ𝑉 =
𝑃 ⋅ Δ𝑡
,
𝑚𝑑
(6.28)
wobei 𝑚𝑑 die Masse des verdampften Wassers ist. Dabei ist zu beachten, dass sich
der Deckel nicht auf dem Kocher befindet. Warum?
86
V. 6
6.2.4
K ALORIMETRIE
Schmelzwärme von Eis (optional)
Wenn noch genügend Zeit zur Verfügung steht, kann auch die folgende Aufgabe bearbeitet
werden:
Aufgaben:
∙ Füllen Sie eine Menge Wasser 𝑚𝑤 = 300 g in den Kocher und erhitzen Sie das Wasser
auf 𝑇 = 60 ∘ C.
∙ Messen Sie ca. 3 Minuten lang die Temperatur (etwa alle 30 s einen Wert) und fügen
Sie dann eine Menge 𝑚𝐸 gut abgetrockneter Eiswürfel hinzu (etwa 3/4 des 500 mℓMessbechers). Es empfiehlt sich wieder alle 10–15 s einen Wert zu messen.
∙ Während des ganzen Versuchsablaufes nehmen Sie ein Temperatur-Zeit-Diagramm
auf und ermitteln daraus wie vorher 𝑇M , 𝑇1 und Δ𝑇 = 𝑇1 − 𝑇𝑀 .
∙ Die Masse des geschmolzenen Eises können Sie aus 𝑚𝐸 = 𝑚gesamt −𝑚𝑤 bestimmen,
nachdem Sie mit einem Messzylinder 𝑚gesamt bestimmt haben.
∙ Berechnen Sie dann Λ𝑆 aus Glg. (6.26), (6.27).
Versuch 7: Schallwellen
— Versuchsziel —
Dieser Versuches soll Wellenerscheinungen in der Akustik aufzeigen und die Analogien
aller Wellenerscheinungen in der Elektrizitätslehre, der Akustik und der Optik deutlich machen. Außerdem lernt man ein wichtiges Messinstrument für zeitlich veränderliche Vorgänge kennen.
Der Versuch gliedert sich in zwei Teile:
∙ Interferenz von Schallwellen
∙ Eigenschwingungen eines akustischen Resonators
Grundbegriffe: Wellen (longitudinal, transversal), Interferenz, stehende Welle, Eigenschwingungen, Resonanz, Phasenverschiebung, Schallgeschwindigkeit, Schallintensität,
Oszilloskop.
88
V. 7
7.1
S CHALLWELLEN
Physikalische Grundlagen
7.1.1
Wellen
Erzeugt man eine periodische Anregung in einem elastischen Medium, so bewirken Rückstellkräfte, die proportional zu dieser Deformation sind (Hookesches Gesetz), dass sich die
Anregung als Welle mit einer charakteristischen Ausbreitungsgeschwindigkeit in dem Medium fortpflanzt. Eine sinusartige ebene Welle kann wie folgt beschrieben werden
𝑨(⃗
𝒙, 𝒕) = 𝑨0 ⋅ sin(𝝎𝒕 − ⃗
𝒌⋅⃗
𝒙).
(7.1)
Hierbei ist 𝑨0 die Amplitude der Welle, 𝝎 = 2𝝅 ⋅ 𝒇 die Kreisfrequenz, 𝝀 die Wellenlänge
), der in Ausbreitungsrichtung der Welle zeigt. Im
und ⃗
𝒌 der Wellenzahlvektor (∣⃗𝑘∣ = 2𝜋
𝜆
folgenden wird nur der eindimensionale Fall mit ⃗𝑘 ⋅ ⃗𝑥 = 𝑘𝑥 betrachtet.
A
A
T
l
t
x
Abbildung 7.1: Zeit-(links) und Ortsabhängigkeit (rechts) einer Welle.
Abb. 7.1 zeigt links die Zeitabhängigkeit einer Welle an einem festen Ort 𝑥1 und rechts die
Ortsabhängigkeit der Welle zu einem festen Zeitpunkt 𝑡1 . In beiden Fällen erhält man einen
sinusförmigen Verlauf.
Um die Ausbreitungsgeschwindigkeit 𝒄 einer solchen Welle berechnen zu können, verfolgt
man am besten den Ort des Nulldurchgangs (𝐴 = 0) in Abhängigkeit von der Zeit. Damit
𝐴 = 0 gilt, muss das Argument (𝜔𝑡 − 𝑘𝑥) Null oder ein Vielfaches von 𝜋 sein. Der Einfachheit
halber setzen wir es Null
0 = 𝜔𝑡 − 𝑘𝑥.
(7.2)
Daraus folgt
𝒄=
𝑥
𝜔
2𝜋 ⋅ 𝑓
= = 2𝜋 = 𝝀 ⋅ 𝒇.
𝑡
𝑘
𝜆
(7.3)
Man unterscheidet generell zwei Arten von Wellen. Bei transversalen steht die Auslenkung
senkrecht auf der Ausbreitungsrichtung (z.B. Wasserwellen an der Wasseroberfläche). Ist die
Auslenkung parallel zur Ausbreitungsgeschwindigkeit, spricht man von longitudinalen Wellen.
7.1 Physikalische Grundlagen
7.1.2
89
Schallwellen
Bei Schallwellen handelt es sich um Druck-, Dichte-, bzw. Teilchengeschwindigkeitswellen in
einem kompressiblen Medium. Da im Gegensatz zu Festkörpern in Gasen keine Scherspannungen auftreten, sind Schallwellen dort stets Longitudinalwellen. DieSchallgeschwindigkeit
𝑐 in einem Gas kann wie folgt berechnet werden
√
𝑐=
𝜅⋅𝑝
.
𝜌
(7.4)
Hierbei ist 𝜅, die adiabatische (kein Wärmeaustausch) Kompressibilität des Gases, definiert
als
1 𝑑𝑉
𝜅=−
,
(7.5)
𝑉 𝑑𝑝
𝑝 der Druck und 𝜌 die Dichte. Die Kompressibilität beschreibt die Volumenänderung oder
Dichteänderung eines Gases bei einer Druckänderung.
Die Schallgeschwindigkeit hängt für ein ideales Gas nur von der Temperatur ab, was man
aus Glg. (7.4) herleiten kann. In Luft erhält man näherungsweise im Bereich zwischen 𝑇 ≥
−20 ∘ C und 𝑇 ≤ 40 ∘ C
m
m
⋅ 𝑇.
(7.6)
𝑐 ≈ 331,6 + 0,6 ∘
s
C⋅s
Hierbei ist 𝑇 in ∘ C einzusetzen. Regt z.B. eine schwingende Membran eines Lautsprechers in
der angrenzenden Luft Druckwellen an, so gilt für den
Schalldruck
𝒑(𝒙, 𝒕) = 𝒑0 ⋅ sin(𝝎𝒕 − 𝒌𝒙),
(7.7)
wobei 𝑝0 die Druckamplitude ist. Der statische äußere Luftdruck wurde bei der Beschreibung
der Welle vernachlässigt; 𝑝(𝑥, 𝑡) in Glg. (7.7) beschreibt also nur den Über- bzw. Unterdruck
bzgl. des (konstant angenommenen) äußeren Luftdrucks. 𝑝(𝑥, 𝑡) wird deshalb auch als Schallwechseldruck bezeichnet.
7.1.3
Schallfeldgrößen
Als Schallintensität 𝑱 bezeichnet man das Verhältnis der auf eine Fläche treffenden Schallleistung zur Größe dieser Fläche. Für den zeitlichen Mittelwert errechnet man
𝑝20
.
(7.8)
2⋅𝜌⋅𝑐
Der Vergleich zweier Schallintensitäten erfolgt durch Angabe des Schallpegels (oder Schallstärke): Als Schallintensitätspegel 𝑺𝑱 bezeichnet man den 10fachen dekadischen Logarithmus des Verhältnisses zweier Schallintensitäten. Grundsätzlich ist der Pegel 𝑆 als Logarithmus
einer Verhältnisgröße dimensionslos und besitzt demzufolge keine Einheit. Jedoch fügt man
zur Kennzeichnung der Logarithmierung dem Zahlenwert des Logarithmus die Bezeichnung
Dezibel (dB) (’Zehntel-Bel’ nach dem Erfinder des Telefons A.G. Bell) bei. Man verwendet
sie wie eine Einheit.
Zur Angabe des absoluten Schallpegels führt man die Hörschwelle des menschlichen Ohres
für 𝑓 = 1 kHz als Bezugsschallintensität 𝑱Bzg = 10−12 W/m2 ein. Somit gilt
(
)
𝐽
𝑆𝐽 = 10 log
dB.
(7.9)
𝐽Bzg
𝐽=
90
V. 7
S CHALLWELLEN
Setzt man in Glg. (7.9) die Beziehung zwischen Schallintensität und Schalldruck Glg. (7.8)
ein, so erhält man die Definition des
Schalldruckpegels
(
𝑺𝒑 = 10 log
𝒑20
𝒑2Bzg
)
(
= 20 log
𝒑0
𝒑Bzg
)
.
(7.10)
Mit Glg. (7.8) berechnet sich der Bezugsschalldruck zu 𝑝Bzg = 2,8 ⋅ 10−5 Pa.
Will man zwei Schallintensitätspegel, z.B. 𝑆𝐽,1 = 40 dB und 𝑆𝐽,2 = 30 dB addieren, so gilt
𝑆J,Ges = 10 ⋅ log(104 + 103 ) = 10 ⋅ log(11000) = 10 ⋅ 4,04 dB = 40,4 dB.
(7.11)
Analog lässt sich errechnen, dass bei der Addition zweier gleicher Schallintensitäten sich der
Schallintensitätspegel um 3 dB erhöht.
Der Schallintensitätspegel oder die Schallstärke ist eine physikalische Größe. Eine andere oft
verwendete Größe ist die Lautstärke eines Schallereignisses. Hierbei handelt es sich um ein
subjektives Maß, das von der Physiologie und Funktion des Ohres abhängt. Die Lautstärke
wird beschrieben durch das Weber-Fechnersche Gesetz
)
(
𝐽
Phon.
(7.12)
𝐿 = 10 log
𝐿
𝐽Bzg
Die ‚Einheit‘ der Lautstärke ist Phon. Die Lautstärkeskala ist so festgelegt, dass die Schallund Lautstärkenskalen bei einer Frequenz von 1000 Hz (dem Normalton) übereinstimmen.
Die Lautstärke berücksichtigt aber im Gegensatz zur Schallstärke die Frequenzabhängigkeit
𝐿
in Glg. (7.12) hängt von der Frequenz ab. Außer
der Empfindlichkeit des Ohres: die Größe 𝐽Bzg
bei 1000 Hz führt dies zu erheblichen Unterschieden zwischen Schallstärke und Lautstärke.
7.1.4
Interferenz
Überlagern sich zwei Schallwellen, so können Interferenzerscheinungen auftreten. Ein Beispiel ist in Abb. 7.2 gezeigt: Am Mikrophon M treffen die von Lautsprecher 1 und Lautsprecher 2 ausgestrahlten Schallwellen gleicher Frequenz auf. Für die einzelnen Wellen gilt entlang
ihrer Ausbreitungsrichtung, falls beide Lautsprecher gleichphasig und mit gleicher Amplitude
angesteuert werden
𝑝1 (𝑥1 , 𝑡) = 𝑝0 ⋅ sin(𝜔𝑡 − 𝑘𝑥1 ),
(7.13)
𝑝2 (𝑥2 , 𝑡) = 𝑝0 ⋅ sin(𝜔𝑡 − 𝑘𝑥2 ).
(7.14)
Am Mikrophon überlagern sich die beiden Wellen nach dem Superpositionsprinzip
𝑝𝑀 (𝑡) = 𝑝0 ⋅ (sin (𝜔𝑡 − 𝑘𝑥1 ) + sin (𝜔𝑡 − 𝑘𝑥2 ))
(7.15)
Das Resultat der Überlagerung hängt vom Abstandsunterschied der beiden Lautsprecher zum
Mikrophon ab. Der Wegunterschied (Gangunterschied) Δ𝑥 = 𝑥1 − 𝑥2 führt zu einer Phasendifferenz
2𝜋
Δ𝑥 .
(7.16)
Δ𝜑 = 𝑘 ⋅ Δ𝑥 =
𝜆
7.1 Physikalische Grundlagen
L
91
L
1
2
x
M
1
Abbildung 7.2: Überlagerung (Interferenz) der Schallwellen aus zwei Lautsprechern 𝐿1 und
𝐿2 am Ort des Mikrophons 𝑀 .
Ist der Wegunterschied ein ganzzahliges Vielfaches (𝑛 = 0, 1, 2, . . .) der Wellenlänge, so wird
die Phasendifferenz ein Vielfaches von 2𝜋
Δ𝑥 = 0; ±𝜆; ±2𝜆; . . . ; ±𝑛𝜆,
(7.17)
Δ𝜑 = 0; ±2𝜋; ±4𝜋; . . . ; ±2𝑛𝜋.
(7.18)
In diesem Fall treffen die beiden Druckwellen mit der gleichen Phasenlage aufeinander und
addieren sich daher zu Druckschwankungen der doppelten Amplitude:
konstruktive Interferenz
[
]
𝒑𝑴 (𝒕) = 𝒑0 ⋅ sin(𝝎𝒕 − 𝒌𝒙1 ) + sin(𝝎𝒕 − 𝒌𝒙1 ± 2𝒏𝝅)
= 2 ⋅ 𝒑0 ⋅ sin (𝝎𝒕 − 𝒌𝒙1 )
(7.19)
Ist andererseits der Gangunterschied ein ungeradzahliges Vielfaches von 𝜆/2, also der Phasenunterschied ein ungeradzahliges Vielfaches von 𝜋, so treffen die Druckschwankungen genau
gegenphasig beim Empfänger ein
Δ𝑥 = ± 21 𝜆; ± 32 𝜆; ± 25 𝜆; . . . ; ± 2𝑛+1
𝜆,
2
(7.20)
Δ𝜑 = ±1𝜋; ±3𝜋; ±5𝜋; . . . ; ±(2𝑛 + 1)𝜋.
(7.21)
Da sich positive und negative Druckbeiträge stets genau auslöschen, ist der Gesamtdruck zu
jeder Zeit Null:
destruktive Interferenz
[
]
𝒑𝑴 (𝒕) = 𝒑0 ⋅ sin(𝝎𝒕 − 𝒌𝒙1 ) + sin(𝝎𝒕 − 𝒌𝒙1 ± (2𝒏 + 1)𝝅) = 0 .
(7.22)
Für beliebige Gangunterschiede ergibt sich aus Glg. (7.15)
𝑝𝑀 (𝑡) = 2 ⋅ 𝑝0 ⋅ cos(− 21 Δ𝜑) ⋅ sin(𝜔𝑡 − 𝑘𝑥1 + 12 Δ𝜑),
(7.23)
also eine zeitliche Schwingung mit der Frequenz 𝜔, deren Amplitude von der Phasendifferenz
Δ𝜑 abhängt.
92
V. 7
S CHALLWELLEN
+
+
Abbildung 7.3: Zwei graphische Beispiele von Überlagerungen von Sinusschwingungen. Im
ersten Fall haben wir konstruktive Interferenz, d.h. die Amplituden addieren sich maximal auf.
Im unteren Beispiel haben wir destruktive Interferenz, hier addieren sich die beiden Wellen
fast weg.
7.1.5
Stehende Wellen
Überlagern sich zwei Wellen gleicher Amplitude und Frequenz, aber mit entgegengesetzter
Ausbreitungsrichtung, so bildet sich eine stehende Welle. Dies kann durch Mehrfachreflexionen von Schallwellen an den Enden eines mit Luft gefüllten Rohres erreicht werden. Dabei
stellen sich die Phasen der beiden Teilwellen so ein, dass am losen Ende (Mikrophonmembran) sog. Wellenbäuche der Gasteilchengeschwindigkeiten entstehen. Für den Druck gilt umgekehrt, dass dort Druckknoten entstehen. Das Erscheinungsbild einer stehenden Welle ist
durch Knoten bzw. Bäuche im Abstand von 𝜆2 charakterisiert. Die Eigenschwingungen einer
Luftsäule in einem Rohr lassen sich als stehende Wellen verstehen. Nur falls ein ganzzahliges Vielfaches der halben Wellenlänge gleich der Länge ℓ des Schallausbreitungsrohres mit
gleichartigen Enden ist, entsteht konstruktive Interferenz
𝑛⋅
𝜆
=ℓ
2
(𝑛 = 1, 2, 3, . . .)
(7.24)
Dies ist nach Glg. (7.3) für folgende Frequenzen erfüllt
𝑓 =𝑛⋅
𝑐
2ℓ
(𝑛 = 1, 2, 3, . . .) .
(7.25)
Regt man eine Luftsäule mit einer dieser Eigenfrequenzen zu erzwungenen Schwingungen
an, so bildet sich eine stehende Welle mit maximaler Amplitude aus (Resonanz). Man nennt
eine stehende Welle mit 𝑛 = 1 Grundschwingung, jene mit 𝑛 = 2 erste Oberschwingung
usw. In Abb. 7.4 ist der Verlauf der Druckamplitude für die Grundschwingung in einem Rohr
der Länge ℓ = 𝜆/2 mit zwei offenen Enden dargestellt. (Das Modell des offenen Rohres ist
deswegen zutreffend, da am Ende des Rohres ein Lautsprecher plaziert ist, dessen Membran
stetig vibriert und somit einen Wellenbauch beschreibt, dasselbe gilt am anderen Ende für das
Mikrofon, welches nur dann Signale liefert, wenn es sich in einem Wellenbauch befindet.)
7.1 Physikalische Grundlagen
93
λ/2
Abbildung 7.4: Stehende (Druck-)Welle in einem offenen Rohr der Länge ℓ = 𝜆/2.
7.1.6
Oszilloskop
Sofern Sie noch nicht den Versuch 4 (Wechselströme und -spannungen) durchgeführt haben,
lesen Sie sich die Kapitel 4.1.9 und 4.1.8 durch, und machen Sie sich mit der Bedienung des
Oszilloskops vertraut.
7.1.7
Aufgabe zur Vorbereitung
Aufgabe: Bestimmen Sie aus dem folgenden Bild die Periodendauer 𝑇 , die Kreisfrequenz
𝜔 = 2𝜋
und die Amplitude 𝑈 der Schwingung. Achten Sie auf Ablesefehler und bestimmen
𝑇
Sie Δ𝜔!
Abbildung 7.5: Darstellung einer Sinusschwingung am Oszilloskop.
94
V. 7
7.2
S CHALLWELLEN
Versuchsdurchführung
Material: Für die folgenden Versuchsteile benötigen Sie Oszilloskop, Frequenzgenerator,
3 Schallwandler (2 Lautsprecher, 1 Mikrophon), Schallausbreitungsrohr variabler Länge,
Stativ, optische Bank.
7.2.1
Untersuchung von Interferenzerscheinungen zweier Schallwellen
Aufgaben:
∙ Bauen Sie die Versuchsanordnung aus Abb. 7.6 auf. Ein Sinusgenerator speist zwei
Kleinlautsprecher (𝐿1 , 𝐿2 ), die sich in der Entfernung 𝑥1 und 𝑥2 vom Mikrophon 𝑀
befinden. Der Mindestabstand der beiden Lautsprecher ist 40 cm. Das Mikrophon und
der Lautsprecher L1 sind jeweils in einen Reiter auf der optischen Bank zu schrauben,
der Lautsprecher 𝐿2 ist an dem Stativ neben der optischen Bank in Höhe des Mikrophons direkt neben 𝐿1 zu befestigen. Die Entfernung 𝑥1 ist variabel, indem der Reiter
mit 𝐿1 auf der Bank verschoben wird. Das Mikrophon liefert eine vom Schalldruck
bzw. von der Teilchenschnelle abhängige elektrische Wechselspannung, die mit Hilfe des Oszillographen beobachtbar gemacht wird. Triggern Sie das Oszilloskop auf
Kanal 1.
∙ Stellen Sie am Sinusgenerator eine Frequenz von etwa 4000 Hz fest ein.
∙ Bestimmen Sie die Frequenz mit dem Oszilloskop. Um die Genauigkeit zu erhöhen,
messen Sie den Zeitabstand mehrerer Sinusschwingungen, etwa 10 Perioden. Die
Frequenz ergibt sich dann als 𝑓 = 1/𝑇 (𝑇 = Schwingungsdauer einer Periode).
∙ Jedesmal wenn bei Verschiebung des Lautsprechers 𝐿1 die Mikrophonspannung
einen Minimalwert zeigt (destruktive Interferenz), wird die zugehörige Position des
Lautsprechers 𝐿1 notiert (Messreihe (a)). Jedes Minimum wird dabei durch beidseitiges Eingrenzen möglichst genau festgelegt.
∙ Führen Sie das Gleiche in einer Messreihe (b) für die Maxima durch.
∙ Die Schallwellenlänge 𝜆 ergibt sich als die mittlere Entfernung zwischen benachbarten Minima bzw. Maxima. Berechnen Sie hieraus nach Glg. (7.3) die Schallgeschwindigkeit 𝑐 der Luft. Vergleichen Sie das experimentell ermittelte Ergebnis mit
dem Wert bei Zimmertemperatur nach Glg. (7.6).
7.2 Versuchsdurchführung
95
Abbildung 7.6: Versuchsanordnung zur Untersuchung von Interferenzerscheinungen.
7.2.2
Bestimmung der Eigenfrequenzen eines akustischen Resonators
K a n a l 1
M
L
K a n a l 2
l
Abbildung 7.7: Aufbau zum Versuchsteil 7.2.2
Aufgaben:
∙ Der aufzubauende Versuchsaufbau zu diesem Experiment ist in Abb. 7.7 dargestellt.
Das Resonator-Rohr variabler Länge wird an einem Ende durch ein Mikrophon abgeschlossen.Der Lautsprecher am anderen Ende erregt die Luftsäule zu stehenden
Wellen. Zunächst soll bei fester Rohrlänge ℓ gemessen werden.
∙ Die Frequenz am Sinusgenerator wird, beginnend bei 300 Hz, stetig langsam erhöht
und dabei die Mikrophonspannung auf dem 2. Kanal des Oszilloskops beobachtet.
Bei bestimmten Frequenzen findet man Resonanzen. Ermitteln Sie alle Resonanzfrequenzen und bestimmen Sie jeweils die Differenz Δ𝑓 benachbarter Resonanzfrequenzen.
96
V. 7
S CHALLWELLEN
∙ Bestimmen Sie aus dem Mittelwert Δ𝑓 und der gemessenen Rohrlänge 𝑙 die Schallgeschwindigkeit nach
(7.26)
𝑐 = 2 ⋅ 𝑙 ⋅ Δ𝑓 .
7.2.3
Messung einer Resonanzkurve
Aufgaben:
∙ Mit dem gleichen Versuchsaufbau wie im vorherigen Abschnitt wird nun durch Frequenzvariation am Sinusgenerator zunächst die 1. Oberschwingung aufgesucht. Stellen Sie die Amplitude des Frequenzgenerators auf maximal und verändern Sie sie im
folgenden nicht mehr.
∙ Dann wird die Frequenz erniedrigt, bis ein Minimum vorliegt. Von hier aus wird die
Frequenz bis zum nächsten Minimum in etwa zehn sinnvollen(!) Stufen erhöht und
jeweils die Werte der Mikrophonspannung und der Frequenz in einer Tabelle notiert.
∙ Tragen Sie die Amplitude 𝐴 als Funktion der Frequenz in einer graphischen Darstellung auf Millimeterpapier auf. Es ergibt sich eine Resonanzkurve. Bestimmen Sie die
Mitte der Resonanz und berechnen Sie mit Glg. (7.25) (𝑛 = 2) wieder die Schallgeschwindigkeit 𝑐.
∙ Verfolgen Sie qualitativ auf dem Oszilloskop die Variation der Phase zwischen der
erregenden und der empfangenen Welle beim Durchgang durch die Resonanz. Wie
groß ist die Phasenverschiebung?
∙ Beobachten Sie qualitativ, wie sich das System bei Änderung der Rohrlänge verhält.
Versuch 8: Optische Bauelemente und
geometrische Optik
— Versuchsziel —
In diesem Versuch machen Sie sich mit der Funktionsweise von optischen Instrumenten,
wie z.B. dem Mikroskop, und deren Bauteilen vertraut.
Der Versuch setzt sich aus drei Teilen zusammen:
∙ Bestimmung der Brennweite von Linsen und Linsensystemen.
∙ Aufbau eines einfachen Mikroskops.
∙ Korrektur von Sehfehlern.
Grundbegriffe: Wellenoptik, Brechungsgesetz, Brennweite, Brechkraft, Linsengesetze,
Linsensysteme, sphärische Refraktionsfehler des Auges, Lupe, optisch dichtes/dünnes Medium, Hauptebene, Mikroskop.
98
V. 8
O PTISCHE BAUELEMENTE UND GEOMETRISCHE O PTIK
8.1
Physikalische Grundlagen
8.1.1
Grundbegriffe der Wellenoptik
Sichtbares Licht besteht aus elektromagnetischen Wellen, deren Wellenlängen im Bereich zwischen 400 nm und 800 nm liegen. Ganz allgemein gilt für Wellen
𝑐M = 𝜆 ⋅ 𝜈.
(8.1)
Hierbei ist 𝒄M die Ausbreitungsgeschwindigkeit im Medium 𝑴 (die Lichtgeschwindigkeit im Vakuum beträgt 𝑐 ≈ 300000 km/s), 𝝀 die Wellenlänge und 𝝂 die Frequenz. (Die
Frequenz wird in diesem Kapitel nicht wie sonst 𝑓 genannt, um Verwechslungen mit der
Brennweite 𝑓 zu vermeiden.) In verschiedenen Medien ist die Ausbreitungsgeschwindigkeit
der Wellen verschieden.
Treten nun Wellen von einem Medium in ein anderes Medium mit unterschiedlichem 𝑐M über,
so werden die Strahlen (Ausbreitungsrichtung der Wellenfronten) gebrochen (Abb. 8.1). Es
gilt das
Snelliussche Brechungsgesetz
sin 𝜶1
sin 𝜶2
=
𝒄1
𝒄2
𝒏2
=
𝒏1
.
(8.2)
Hierbei sind 𝛼1 und 𝛼2 die jeweiligen Winkel zwischen dem Lichtstrahl und der Normalen der
Trennfläche der beiden Medien und 𝑛1 und 𝑛2 die jeweiligen Brechungsindizes der Medien.
Man definiert den
Brechungsindex
𝒏=
𝒄Vakuum
(8.3)
𝒄Medium
als Verhältnis der Lichtgeschwindigkeiten in Vakuum und im Medium.
Die wichtigste Anwendung des Brechungsgesetzes in der Optik besteht in der Abbildung
von Gegenständen durch Linsen. Man unterscheidet Sammellinsen und Zerstreuungslinsen.
n
a
1
a
1
2
n
2
Abbildung 8.1: Brechung von Wellen an einer Grenzfläche.
8.1 Physikalische Grundlagen
99
Die Sammellinse vereinigt parallel zur optischen Achse einfallende Strahlen in einem Brennpunkt, der im Abstand der Brennweite 𝑓 von der Hauptebene 𝑯 der Linse liegt. Die Zerstreuungslinse weitet ein Parallellichtbündel zu einem divergenten Strahlenbündel auf, so als
ob dieses von einem virtuellen Brennpunkt vor der Linse käme. Die Brennweite 𝑓 wird hierbei
als negativ angegeben.
Der Kehrwert der Brennweite ist die Brechkraft 𝐷 = 𝑓1 (𝑓 in Metern!).Die Einheit der Brechkraft ist Dioptrie (dpt). Es gilt
1
1 dpt = .
(8.4)
m
Zur Vereinfachung werden im folgenden nur dünne Linsen betrachtet. Für die Bildkonstruktion
sind drei Strahlen von besonderer Bedeutung. Für eine Sammellinse gilt (vgl. Abb. 8.2):
1. Der Mittelpunktstrahl läuft ungebrochen durch die Linse.
2. Der Brennstrahl geht durch den vorderen Brennpunkt und verlässt die Linse parallel
zur optischen Achse.
3. Der Achsenparallelstrahl wird in der Linse in Richtung des hinteren Brennpunktes
gebrochen.
Zur Bildkonstruktion benötigt man zwei dieser Strahlen, der dritte kann als Kontrolle dienen.
Ein reelles Bild entsteht, falls alle Strahlen, die von einem Punkt ausgehen, sich nach der
optischen Abbildung wieder in einem Punkt vereinigen.
H
g
G
3
1
g '
F
2 F
2
F
2 F
b
f
f
B
b '
Abbildung 8.2: Konstruktion des von einer Sammellinse entworfenen reellen Bildes.
100
V. 8
O PTISCHE BAUELEMENTE UND GEOMETRISCHE O PTIK
Aus Abb. 8.2 erhält man mit Hilfe des Strahlensatzes eine Beziehung zwischen der Gegenstandsgröße 𝐺, der Bildgröße 𝐵, der Gegenstandsweite 𝑔 und der Bildweite 𝑏
𝐵
𝑏
= .
𝐺
𝑔
(8.5)
𝐵
𝐺
𝐵
= ′ =
.
𝑓
𝑏
𝑏−𝑓
(8.6)
Genauso ergibt sich aus dem Strahlensatz
Setzt man Glg. (8.6) in Glg. (8.5) ein, so erhält man das
Linsengesetz
1
𝒇
8.1.2
=
1
𝒈
1
+
𝒃
.
(8.7)
Linsensysteme
Setzt man zwei dünne Linsen direkt hintereinander, so addieren sich ihre Brechkräfte. Dementsprechend gilt für die
Gesamtbrennweite des Systems
1
𝒇Ges
=
1
𝒇1
+
1
𝒇2
−
𝒂
𝒇1 ⋅ 𝒇2
.
(8.8)
Dabei ist der letzte Summand ein Korrekturterm, der den Abstand 𝑎 zwischen den Hauptebenen der beiden dünnen Linsen berücksichtigt.
8.1.3
Das Auge
Als gewachsene Linse ist das menschliche Auge oft nicht perfekt. Es kann vor allem eine
falsche mittlere Krümmung der Linsenoberfläche (sphärischer Refraktionsfehler) und Asymmetrien in der Linsenkrümmung (Astigmatismus) aufweisen. Die Korrektur erfolgt jeweils
mit komplementären Linsen. Für die Berechnung korrigierender Linsen wird das komplizierte
mehrlinsige Auge auf eine einzelne Linse reduziert (siehe 8.3).
8.1.4
Abbildungsmaßstab und Vergrößerung
Das Verhältnis zwischen der Größe 𝐵 des reellen Bildes, welches von einer Linse oder einem
Linsensystem entworfen wird, und der Größe 𝐺 des Gegenstandes bezeichnet man als
Abbildungsmaßstab 𝜷
𝜷=
𝑩
𝑮
.
(8.9)
Etwas anderes ist die Größe, unter der der Gegenstand einem Betrachter erscheint. Sie hängt
vom Abstand zwischen Auge und Gegenstand ab (Abb. 8.4), der den Sehwinkel 𝜀 definiert.
8.1 Physikalische Grundlagen
101
Man definiert einen Gegenstand unvergrößert (Vergrößerung 1) zu sehen, wenn er sich in der
Bezugssehweite oder deutlichen Sehweite 𝑠0 = 25 cm vor dem Auge des Betrachters befindet.
Der zugehörige Sehwinkel ist 𝜀0 . Die Vergrößerung 𝑽 ist das Verhältnis des Sehwinkels 𝜀 zu
dem Sehwinkel 𝜀0 in 25 cm Abstand
𝜀
(8.10)
𝑉 = .
𝜀0
Um den Sehwinkel zu vergrößern, braucht man optische Instrumente. Für Lupen und Mikroskope gilt dementsprechend
Vergrößerung =
8.1.5
Sehwinkel mit Instrument
.
Sehwinkel in 25 cm Abstand ohne Instrument
(8.11)
Die Lupe
Als Lupe verwendet man eine Sammellinse kurzer Brennweite. Liegt der Gegenstand (Größe
G) in der Brennebene der Linse, so befindet sich das virtuelle Bild im Unendlichen. Ein virtuelles (scheinbares) Bild eines Gegenstandes ist ein Bild, das nicht direkt auf einem Projektionsschirm abgebildet werden kann, sondern nur mit dem Auge oder einem anderen geeigneten
optischen Instrument beobachtet werden kann, wobei durch die zusätzliche Abbildung ein reelles Bild (z.B. auf der Netzhaut des Auges) entsteht. Virtuelle Bilder werden durch gestrichelte
Pfeile dargestellt. Für das nichtakkommodierte (völlig entspannte, d.h. auf unendliche Entfernung eingestellte) Auge erscheint dieses Bild unter dem Sehwinkel 𝜀 = 𝐺/𝑓 , wenn man kleine
𝐺
= tan(𝜀/2) ≈ 𝜀/2 und somit 𝜀 ≈ 𝐺/𝑓 für kleine ÖffnungsWinkel voraussetzt. Denn 2𝑓
winkel (siehe Abb. 8.5 oberer Teil). In deutlicher Sehweite 𝑠0 = 25 cm würde der Gegenstand
ohne Lupe unter dem Winkel 𝜀0 = 𝑠𝐺0 erscheinen, da wiederum 2𝑠𝐺0 = tan(𝜀0 /2) ≈ 𝜀0 /2 und
folglich 𝜀0 ≈ 𝑠𝐺0 , wie man aus dem unteren Teil von Abb. 8.5 entnimmt. Dementsprechend ist
die Winkelvergrößerung 𝑉
𝑠0
𝜀
𝐺 𝑠0
𝑉 =
= ⋅
= .
(8.12)
𝜀0
𝑓 𝐺
𝑓
Häufig verwendet man Lupen so, dass der Gegenstand innerhalb der einfachen Brennweite
liegt. Das Bild erscheint dann virtuell und vergrößert. Der Strahlengang ist in Abb. 8.6 dargestellt.
102
V. 8
O PTISCHE BAUELEMENTE UND GEOMETRISCHE O PTIK
c
Abbildung 8.3: Sphärische Refraktionsfehler aus Deetjen /Speckmann ⃝1999
Urban & Fischer
8.1 Physikalische Grundlagen
103
e
G
0
e
25 cm
Abbildung 8.4: Zur Definition des Sehwinkels.
e
e
/2
G /2
B ild im
f
f
e 0/2
s
G /2
0
Abbildung 8.5: Prinzip der Lupe, wenn der Gegenstand genau in der Brennebene liegt.
Oben: Der Gegenstand G wird durch eine Sammellinse betrachtet.
Unten: Der Gegenstand wird in der deutlichen Sehweite betrachtet.
104
V. 8
O PTISCHE BAUELEMENTE UND GEOMETRISCHE O PTIK
B
G
F
F
H
Abbildung 8.6: Prinzip der Lupe: Strahlengang durch eine Sammellinse, wenn der Gegenstand
innerhalb der einfachen Brennweite liegt. Das Bild B des Gegenstandes G bei der Lupe ist
virtuell und wird gestrichelt dargestellt.
8.1 Physikalische Grundlagen
8.1.6
105
Das Mikroskop
Stärkere Vergrößerungen erzielt man mit einem Mikroskop (siehe Abb. 8.7). Mit dem Objektiv,
von dem der Gegenstand nur wenig mehr als die Brennweite 𝑓Obj entfernt ist, wird ein reelles
Zwischenbild 𝐵1 entworfen, das innerhalb der Brennweite des Okulars liegt. Der Abstand der
beiden Linsen (mechanische Tubuslänge) verringert um die Summe der beiden Brennweiten
wird optische Tubuslänge 𝑡 genannt. Der Abbildungsmaßstab hängt von der Brennweite 𝑓Obj
des Objektives ab
𝑡
𝐵1
≈
.
(8.13)
𝛽=
𝐺
𝑓Obj
Man betrachtet das reelle Zwischenbild mit dem Okular des Mikroskops als Lupe und erzielt
0
dadurch eine nochmalige Vergrößerung 𝑉Ok = 𝑓𝑠Ok
(siehe Glg. (8.12)). Die Gesamtvergrößerung des Mikroskops 𝑉Mikr ist gleich dem Produkt aus Abbildungsmaßstab 𝛽 des Objektives
und der Lupenvergrößerung 𝑉Ok des Okulars
𝑉Mikr =
𝑡
𝑓Obj
⋅
𝑠0
.
𝑓Ok
(8.14)
O k u la r
O b je k t iv
fO
g
t
b j
f
F
G
F
F
O b j
H
O b j
F
O k
B
B
O k
1
H
2
Abbildung 8.7: Strahlengang im Mikroskop.
O k
106
V. 8
8.1.7
O PTISCHE BAUELEMENTE UND GEOMETRISCHE O PTIK
Aufgaben zur Vorbereitung
Aufgaben:
1. Konstruieren Sie das Bild einer Zerstreuungslinse!
Betrachten Sie dazu die drei Strahlen, die schon zur Konstruktion bei der Sammellinse
verwendet wurden, und überlegen Sie auf welcher Seite der Linse sich das Bild einer
konkaven Linse befindet.
2. Die Gesamtbrennweite eines Linsensystems beträgt 𝑓𝑔𝑒𝑠 = 25 cm. Linse 1 habe die
Brennweite 𝑓1 = 10 cm und der Abstand der Hauptebenen der Linsen beträgt 13 cm.
Berechnen Sie die Brennweite 𝑓2 der Linse 2.
8.2 Versuchsdurchführung
8.2
107
Versuchsdurchführung
Material: Für diesen Versuch benötigen Sie die optische Bank, die Halogenlampe, einige
Reiter, Sammellinsen, Zerstreuungslinse, Strichgitter, ein Bandmaß und etwas Tesafilm.
Vorbemerkung: Konkav-konvexe Linsen, wie sie im Praktikum verwendet werden, können sowohl Sammel- als auch Zerstreuungslinsen sein! Wie unterscheiden Sie die beiden
Linsensorten? Diskutieren Sie darüber mit Ihrem Assistenten!
8.2.1
Brennweite von Sammellinsen
Aufgabe: Setzen Sie die auf einen optischen Reiter gesteckte Halogenlampe und eine der
Sammellinsen so auf die Schiene, dass Sie in einer gut messbaren Entfernung ein Bild der
Glühwendel bekommen (Abb. 8.8). Messen Sie 𝑔 und 𝑏 für vier verschiedene Stellungen
und bestimmen Sie hieraus die Brennweiten sowie deren Mittelwert. Führen Sie den Versuch auch für die beiden anderen Sammellinsen durch.
g
b
L a m p e
S c h ir m
H
Abbildung 8.8: Bestimmung der Brennweite einer Sammellinse.
8.2.2
Brennweite einer Zerstreuungslinse
Aufgabe: Nehmen Sie eine Sammellinse bekannter Brennweite (mit 𝑓 ≤ 20 cm) und bilden Sie die Wendel zusammen mit der Zerstreuungslinse unbekannter Brennweite ab (siehe
auch Abb. 8.9). Messen Sie 𝑔 und 𝑏 für vier verschiedene Stellungen des Linsensystems.
Bestimmen Sie hieraus die Brennweite des Linsensystems und die Brennweite der Zerstreuungslinse gemäß Glg. (8.8). Für dünne Linsen ist der Abstand der Hauptebenen 𝑎 gerade
der Abstand der beiden Linsenmittelpunkte.
Hinweis: Gleichung (8.8) gilt umso besser, je näher die beiden Linsen zusammenstehen.
Stellen Sie deshalb die Linsen nicht mehr als einige cm voneneinander entfernt auf.
108
V. 8
O PTISCHE BAUELEMENTE UND GEOMETRISCHE O PTIK
g
b
L a m p e
S c h ir m
Abbildung 8.9: Bestimmung der Brennweite einer Zerstreuungslinse.
8.2.3
Korrektur von Sehfehlern
Aufgabe: Im folgenden sei das menschliche Auge folgendermaßen nachgestellt:
Augenlinse = Linse 3; Netzhaut = Schirm. Bilden Sie zunächst die Glühwendel mit Linse 3
scharf auf die Netzhaut ab. Verschieben Sie dann den Schirm so, dass das Bild unscharf
wird. Eine Verschiebung von der Linse weg entspricht dabei einer Verlängerung der Augenkammer und führt zur Kurzsichtigkeit; eine Verschiebung zur Linse hin entspricht dagegen
einer Verkürzung der Augenkammer und führt zur Weitsichtigkeit. Korrigieren Sie diese
Sehfehler mittels entsprechender Brillen aus dem Vorrat der Linsen 1, 2 und 4. Zeigen Sie
dies Ihrem Assistenten zur Abnahme!
8.2.4
Kombination von zwei Sammellinsen
Aufgaben:
∙ Bauen Sie mit zwei Sammellinsen auf der optischen Bank die Anordnung aus
Abb. 8.10 auf. Achten Sie darauf, dass die Lampe nicht ganz am Ende der optischen Bank steht, da sie später nach hinten verschoben werden muss. Als Objekt
dient zunächst die Glühwendel der Halogenlampe. Benutzen Sie ab diesem Versuch
zur Abschwächung der Helligkeit der Halogenlampe für den Betrieb eine Potentiometerschaltung („blauer Kasten“). Siehe dazu auch 3.1.6 und 3.2.1.
∙ Erzeugen Sie mit der einen Linse ein reelles Zwischenbild, das Sie mit der zweiten
Linse auf einem Schirm abbilden. (Diese Anordnung entspricht fast der eines Mikroskops — worin liegt der Unterschied?) Achten Sie darauf, dass 𝐵1 > 𝐺 und 𝐵2 > 𝐵1
ist. Dazu muss der Gegenstand G zwischen der einfachen und der zweifachen Brennweite der Linse 1 liegen; das Zwischenbild 𝐵1 muss sich entsprechend zwischen der
einfachen und der zweifachen Brennweite der Linse 2 befinden.
∙ Bestimmen Sie die Größe des Zwischenbildes 𝐵1 und des Bildes nach der zweiten
Linse 𝐵2 , sowie die jeweiligen Abstände 𝑥1 , 𝑥2 , 𝑥3 und 𝑥4 .
8.2 Versuchsdurchführung
H
F
F
1
H
L in s e 1
G
2 F
109
2 F
1
B
1
x
F
2
x
1
2
L in s e 2
F
2
B
2
2
1
x
3
x
4
Abbildung 8.10: Kombination zweier Sammellinsen.
∙ Ermitteln Sie die Länge 𝐺 = (𝑥1 /𝑥2 )⋅𝐵1 der Glühwendel. Wie groß ist bei den beiden
Einstellungen der Abbildungsmaßstab 𝛽1 = 𝐵1 /𝐺 von Linse 1, der Abbildungsmaßstab 𝛽2 = 𝐵2 /𝐵1 von Linse 2 sowie der Gesamtabbildungsmaßstab 𝛽 = 𝛽1 ⋅ 𝛽2 ? Man
kann die Abbildungsmaßstäbe auch aus 𝛽1 = 𝑥2 /𝑥1 und 𝛽2 = 𝑥4 /𝑥3 bestimmen.
Vergleichen Sie die Ergebnisse.
∙ Lassen Sie den letzten Aufbau unverändert, da Sie hierfür jetzt den Gesamtabbildungsmaßstab des Linsensystems kennen. Befestigen Sie mit etwas Tesafilm das
Strichgitter vor der Halogenlampe (auf der anderen Seite des optischen Reiters; sonst
wird es zu heiß!).
Verschieben Sie jetzt den Reiter um den Abstand Lampe-Gitter, um auf dem Schirm
ein scharfes Bild des Gitters zu erhalten. Messen Sie den Abstand der Gitterstriche
im Bild.
∙ Bestimmen Sie daraus mit Hilfe des Gesamtabbildungsmaßstabes den Strichabstand
auf dem Gitter (Gitterkonstante), sowie die Anzahl der Gitterstriche pro mm. Tun sie
dasselbe für das andere Gitter.
8.2.5
Mikroskop
Aufgaben:
∙ Bauen Sie nach Abb. 8.11 das Mikroskop auf. Benutzen Sie dabei Linse 1 für das
Objektiv und Linse 2 für das Okular. Achten Sie darauf, dass das Okular in einem
Mindestabstand von 40 cm von dem Millimeterpapier entfernt steht. Sind Gegenstand
110
V. 8
O PTISCHE BAUELEMENTE UND GEOMETRISCHE O PTIK
und beide Linsen sehr nah beieinander gestellt, läuft man Gefahr den Effekt einer
Lupe zu erhalten, wobei die beiden Linsen als Linsensystem fungieren. Verwenden
Sie außerdem anstelle des Strichgitters normales Millimeterpapier als Gegenstand.
∙ Betrachten Sie nun durch den Aufbau das Millimeterpapier. Falls das Bild noch zu
hell sein sollte, können Sie das Licht mit dem Potentiometer dimmen. Sie sehen jetzt
ein virtuelles Bild. Versuchen Sie, das Millimetergitter zunächst mit der Linse 𝐿2 ,
dann mit der Linse 𝐿1 scharf zu stellen. Halten Sie nun ein Lineal im Abstand von
25 cm von Ihrem Auge entfernt. Betrachten Sie gleichzeitig mit einem Auge durch
das Mikroskop das Millimetergitter und mit dem anderen das Lineal. Gehen Sie dabei
möglichst nah mit dem Auge an die Linse heran. Schätzen Sie nun mit dem Lineal ab,
welchen Abstand die Striche des virtuellen Millimeterpapierbildes besitzen. Vergleichen Sie die Vergrößerung dieses Mikroskops mit dem nach Glg. (8.14) erwarteten
Wert.
O k u la r
O b je k t iv
fO
g
t
b j
f
F
G
F
F
O b j
H
O b j
F
O k
B
B
O k
1
H
2
Abbildung 8.11: Strahlengang im Mikroskop.
O k
Versuch 9: Interferenz und Beugung von
Licht(Wellenoptik)
— Versuchsziel —
Anhand dieses Versuchs wird der Wellencharakter des Lichtes an einigen Beispielen zu
untersucht. Dabei soll der Zusammenhang mit anderen Wellen (z.B. Schall) erarbeitet und
das Verständnis für praktische Auswirkungen geweckt werden (z.B. Auflösungsvermögen
eines Mikroskops).
Der Versuch gliedert sich in zwei Teile:
∙ Interferenz zweier Lichtstrahlen.
∙ Beugung am Gitter.
Grundbegriffe: Interferenz, Reflexion, kohärentes Licht, Beugung am Gitter, Spektrum,
Laser.
112
V. 9
9.1
I NTERFERENZ UND B EUGUNG VON L ICHT
Physikalische Grundlagen
9.1.1
Interferenz
Bei der Überlagerung zweier Wellen gleicher Frequenz entsteht eine resultierende Welle, deren
Amplitude von der Phasendifferenz Δ𝜑 der beiden Wellen abhängt:
∙ Für Δ𝜑 = 0, 2𝜋, 4𝜋, . . . (gleichphasig) ist die resultierende Amplitude die Summe
der ursprünglichen Amplituden (konstruktive Interferenz, Verstärkung).
∙ Für Δ𝜑 = 𝜋, 3𝜋, . . . (gegenphasig) ist die resultierende Amplitude die Differenz
der ursprünglichen Amplituden (insbesondere also Null, wenn diese gleich waren,
destruktive Interferenz, Auslöschung).
Bei Interferenzversuchen muss die Phasendifferenz beider Wellen zeitlich konstant sein, da
sich sonst das Interferenzmuster so schnell ändern würde, dass es nicht zu beobachten wäre.
Daher benötigt man kohärente Wellen. Diese lassen sich bei Schallwellen leicht mit Hilfe von
Lautsprechern am gleichen Verstärker erzeugen. Bei Licht ist der Sachverhalt komplizierter:
Das Licht natürlicher Strahlung entsteht durch sehr viele atomare Prozesse von kurzer Dauer,
die völlig unabhängig voneinander verlaufen und deren Wellen sich überlagern. Deshalb ändert sich im natürlichen Licht die Phase der gesamten Welle regellos nach einer Zeitspanne
von etwa 10−8 s, was der Strahlungsdauer eines Atoms entspricht. Zwei natürliche Lichtwellen, die von zwei getrennten Quellen ausgehen (z.B. von zwei baugleichen Lampen), haben
daher ständig wechselnde Phasendifferenzen, sind also inkohärent. Trotzdem lassen sich auch
mit natürlichem Licht Interferenzerscheinungen beobachten, wenn ein Wellenzug geteilt wird
und die beiden Teilwellen nach Zurücklegen unterschiedlicher Wegstrecken wieder zusammengeführt werden. Der Gangunterschied Δ𝑥 verursacht eine feste Phasendifferenz zwischen
den beiden Teilwellen
Δ𝑥
.
(9.1)
Δ𝜑 = 2𝜋 ⋅
𝜆
Ob man konstruktive oder destruktive Interferenz erhält, hängt nach dieser Gleichung außer
von Δ𝑥 auch von der Wellenlänge des verwendeten Lichtes ab. In ‚weißem‘ Licht (z.B. Licht
einer Glühwendel) sind sehr viele verschiedene Wellenlängen enthalten. Für jede der Wellenlängen ist die Interferenzbedingung anders erfüllt, man erhält eine Überlagerung vieler Interferenzmuster und kann i.A. keine Interferenzerscheinungen mehr beobachten. Nur für sehr
kleine Gangunterschiede Δ𝑥 (nicht wesentlich größer als die beteiligten Lichtwellenlängen)
treten auch bei weißem Licht Interferenzen auf. Dies ist z.B. für einen dünnen Ölfilm auf
Wasser der Fall: man beobachtet farbige Interferenzerscheinungen.
Optische Interferenzerscheinungen lassen sich wesentlich deutlicher mit Hilfe eines Lasers
als mit einer ‚weißen‘ Glühlampe als Lichtquelle studieren, da Laserlicht monochromatisch
ist. Ein weiterer Vorteil ist, dass im Laser die angeregten Atome nicht mehr unabhängig voneinander, sondern in Phase Licht emittieren. Daher ist das Laserlicht nicht nur monochromatisch sondern auch kohärent. Das in diesem Versuch verwendete rote Licht des HeliumNeon-Lasers hat eine Wellenlänge von 632,8 nm.
9.1 Physikalische Grundlagen
9.1.2
113
Interferenz an einer planparallelen Glasplatte
Trifft ein Lichtstrahl unter dem Winkel 𝛼 auf eine planparallele Glasplatte der Dicke 𝑑 und mit
dem Brechungsindex 𝑛 (Abb. 9.1), so wird er teilweise an der Vorderseite und teilweise an der
Rückseite reflektiert. Die beiden reflektierten Anteile haben einen Gangunterschied von
√
Δ𝑥 = 2𝑑 𝑛2 − sin2 𝛼 + 𝜆/2.
(9.2)
Der erste Term ergibt sich aus hier nicht näher ausgeführten geometrischen Überlegungen
(Brechung berücksichtigt). Der zusätzliche Gangunterschied von 𝜆/2 kommt daher, dass der
eine Strahl am ‚festen‘ Ende (Vorderseite, Grenzfläche zum Glas) und der andere am ‚losen‘
Ende (Rückseite, Grenzfläche zur Luft) reflektiert wird. Beobachtet man den auslaufenden
Lichtstrahl auf einem Schirm, so erkennt man für konstruktive Interferenz einen hellen, für
destruktive Interferenz einen dunklen Strahlfleck.
Trifft nun ein nicht genau paralleles Lichtbündel, sondern ein divergenter Strahl auf die Platte,
so verändert sich das Interferenzmuster: man erhält Streifen unterschiedlicher Helligkeit. Dies
liegt daran, dass die einzelnen Teilstrahlen schon mit unterschiedlichen Winkeln auf die Platte
fallen.
II
I
a
d
b
Abbildung 9.1: Interferenz an einer planparallelen Glasplatte zwischen dem an der Vorderund dem an der Rückseite reflektierten Strahl.
9.1.3
Beugung am Gitter
Nach den Gesetzen der geometrischen Optik (Versuch 1) erwartet man, dass ein scharf begrenzter Gegenstand in einem parallelen Lichtbündel einen scharf begrenzten Schatten wirft.
Bei genauerer Betrachtung stellt man aber fest, dass die Schattenkanten diffus sind, die Ausbreitung des Lichtes also vom geradlinigen Verlauf abzuweichen scheint. Dieses Phänomen
bezeichnet man als Beugung. Es kann in zwei Schritten deutlich gemacht werden:
1) Das Huygens’sche Prinzip: Jeder Punkt, der von einer Welle getroffen wird, ist Ausgangspunkt einer neuen Elementarwelle, die sich kugelförmig ausbreitet.
114
V. 9
I NTERFERENZ UND B EUGUNG VON L ICHT
2) Das Wellenmuster des gebeugten Lichts ergibt sich aus der Überlagerung all dieser Elementarwellen.
Besonders übersichtlich und in der Messtechnik wichtig ist die Beugung an einem Gitter, also
an einer periodischen Folge durchlässiger und undurchlässiger Streifen (Abb. 9.2). Der Abstand der durchlässigen Stellen heißt Gitterkonstante 𝒈.
Aus der Überlagerung der einzelnen Elementarwellen ergeben sich Helligkeitsmaxima (d.h.
konstruktive Überlagerung der Teilstrahlen) für diejenigen Richtungen, für die gilt
Δ𝑥 = 𝑚 ⋅ 𝜆
(𝑚 = 0, 1, 2, ⋅ ⋅ ⋅ ).
(9.3)
Dabei gibt die Zahl 𝑚 die Beugungsordnung an. Mit der geometrischen Beziehung für den
Gangunterschied
Δ𝑥 = 𝑔 ⋅ sin 𝛼
(9.4)
folgt daraus für die Richtung 𝛼𝑚 , unter der das Maximum m-ter Ordnung ensteht
𝜆
sin 𝛼𝑚 = 𝑚 ⋅ .
𝑔
(9.5)
G itte r
a
g
D x
Abbildung 9.2: Einfallender und am Gitter gebeugter Strahl.
9.1.4
Auflösungsvermögen eines Instrumentes
Eine wichtige Größe, die durch Beugungserscheinungen begrenzt wird, ist das Auflösungsvermögen eines Instrumentes. Dabei kann es sich um ein optisches Instrument (z.B. ein Mikroskop) oder ein Ultraschallgerät handeln, das für diagnostische Zwecke eingesetzt wird. Das
Auflösungsvermögen 𝐴 ergibt sich aus dem kleinsten Abstand 𝑑 zweier Punkte, die noch getrennt wahrgenommen werden können
1
𝐴= .
𝑑
(9.6)
Das Auflösungsvermögen eines Mikroskops ist nur durch das Auflösungsvermögen des Objektivs bestimmt und unabhängig von der Vergrößerung. Wegen der Beugung am Rande der
9.1 Physikalische Grundlagen
115
Linsenfassung, wird ein leuchtender Punkt nicht als Punkt, sondern als Beugungsscheibchen
abgebildet, das von konzentrischen Ringen umgeben ist. Das Auflösungsvermögen ist der
Mindestabstand, den zwei Punkte aufweisen müssen, um trotz der Beugungserscheinungen
noch getrennt erkennbar zu sein. Nach der Abbeschen Abbildungstheorie ergibt sich für das
Auflösungsvermögen eines Mikroskops
𝑛 sin 𝛼
1
.
(9.7)
𝐴= =
𝑑
𝜆
Dabei ist 𝑛 der Brechungsindex des Mediums zwischen Objekt und Objektiv, 𝛼 der Öffnungswinkel der Objektivlinse und 𝜆 die Wellenlänge. Man bezeichnet die Größe 𝑛 sin 𝛼 als numerische Apertur.
Wenn sich Luft (𝑛 ≈ 1) zwischen Objekt und Objektiv befindet und der Öffnungswinkel 𝛼
des Objektivs relativ groß ist, gilt für die numerische Apertur näherungsweise: 𝑛 sin 𝛼 ≈ 1.
Damit ist das Auflösungsvermögen des Mikroskops in etwa bestimmt durch die Wellenlänge
des Lichts. Eine Erhöhung des Auflösungsvermögens lässt sich durch die Verwendung einer
Immersionsflüssigkeit (z.B. Zedernholzöl 𝑛 = 1,5) zwischen Objekt und Objektiv, oder durch
Verwendung kurzwelligen Lichts (ultravioletten Lichts) erreichen. Im Elektronenmikrosop benutzt man schnelle Elektronen, die sich wie Licht mit einer sehr kleinen Wellenlänge verhalten.
Damit kann man heute Strukturen bis herab in den Bereich von Moleküldurchmessern auflösen.
Merkregel: Das Auflösungsvermögen eines Instrumentes ist durch Beugungserscheinungen begrenzt und von der Größenordnung der Wellenlänge der verwendeten Strahlung
(Licht in der Optik oder Ultraschall in der Akustik).
Begründung von Formel (9.7):
Eine einfache Herleitung von (9.7) gelingt mit Hilfe von Beziehung (9.5). Dazu nimmt man
an, dass das abzubildende Objekt ein mit parallelem Licht senkrecht beleuchtetes Gitter (Gitterkonstante 𝑔 = 𝑑) ist, das sich in einem Medium mit dem Brechungsindex 𝑛 befindet. Für
die Wellenlänge des Lichts gilt dann
𝜆vac
𝜆=
,
(9.8)
𝑛
wobei 𝜆vac die Wellenlänge im Vakuum ist. Nach Abbe erfolgt eine Abbildung des Objektes
nur dann, wenn durch den Öffnungswinkel des Objektives 𝛼 außer dem Strahl 0-ter Ordnung
zumindest noch ein weiteres der durch Beugung am Objekt entstehenden Interferenzmaxima
erfasst wird. Für die erste Beugungsordnung (𝑚 = 1) folgert man somit aus (9.5) mit (9.8)
𝜆vac
𝑛𝑑
(9.9)
1
𝑛 sin 𝛼
=
.
𝑑
𝜆vac
(9.10)
sin 𝛼 =
oder
𝐴=
9.1.5
Aufgabe zur Vorbereitung
Aufgabe: Schauen Sie sich in einem Lehrbuch die grobe Funktionsweise eines Lasers an
und erläutern Sie schematisch den Aufbau eines solchen.
116
V. 9
9.2
I NTERFERENZ UND B EUGUNG VON L ICHT
Versuchsdurchführung
Wichtiger Sicherheitshinweis / Regeln zum Umgang mit Lasern:
∙ Niemals direkt in den Laserstrahl schauen!
∙ Auch an metallischen Oberflächen reflektierte Laserstrahlung kann gefährlich sein!
∙ Legen Sie Hand- und Armschmuck ab, wenn Sie in der Nähe des Laserstrahls hantieren müssen! (Auch hochglänzende Halsketten können in den Strahl baumeln und den
Laserstrahl unkontrolliert reflektieren und sind abzulegen!)
Bei diesem Versuch verwenden Sie einen kontinuierlichen HeNe-Laser der Wellenlänge
632,8 nm mit einer Leistung von 0,5 mW. Laser werden in die Klassen 1 (ungefährlich)
bis 4 (große Gefahr für Auge und Haut) eingeteilt. Der hier verwendete Laser gehört zu
der Klasse 2: „Laser dieser Klasse sind zwar nicht wirklich sicher, der Augenschutz ist
jedoch durch den Lidreflex und andere Abwehrreaktionen sichergestellt. Schaut man bewusst länger in den Strahl oder wird der Reflex z.B. medikamentös unterdrückt, kann eine
Schädigung eintreten.“ [Jürgen Eichler: Laser und Strahlenschutz, Vieweg 1992, S. 158]
9.2.1
Interferenz von Lichtstrahlen
Material: Für diesen Versuch benötigen Sie einen He-Ne-Laser, die optische Bank, Umlenkspiegel, Drehtisch und Glasplatten.
Aufgaben:
∙ Der Laserstrahl wird entlang der optischen Achse eingestellt.
Glasplatte
Laser
α
α
Sc
hi
rm
Abbildung 9.3: Schematischer Aufbau zur Untersuchung der Interferenzmuster einer Glasplatte.
9.2 Versuchsdurchführung
117
∙ Setzen Sie den Drehtisch mit der dickeren Glasplatte auf die Schiene und untersuchen
Sie zunächst qualitativ die Interferenzmuster, die durch die Reflexion des Laserstrahls
an den beiden Oberflächen der Glasplatte entstehen (Abb. 9.3).
Welches Muster beobachten Sie bei einer planparallelen Platte bei einem Einfallswinkel von ca. 45∘ ? Skizzieren Sie es im Protokollbuch.
∙ Verdrehen Sie die Platte zu kleineren Winkeln 𝛼 hin. Wie verändert sich das Muster?
∙ Ersetzen Sie die dicke Platte durch die dünnere Glasplatte. Das Muster wird unregelmäßiger. Warum?
∙ Überprüfen Sie die Bedingungen der Kohärenz und der Monochromasie, indem Sie
als Lichtquelle die Halogenlampe verwenden. Können Sie ein Interferenzmuster beobachten?
9.2.2
Bestimmung der Dicke eines Haares
Aufgaben:
∙ Klemmen Sie zwischen die beiden Glasplatten ein Haar (Dicke 𝑥) und spannen
Sie die Platten vorsichtig in die Drehhalterung (Plastikschrauben nur leicht anziehen!). Die reflektierenden Oberflächen stehen nun unter einem Winkel 𝛽 zueinander
(Abb. 9.4). Beobachten Sie wieder das reflektierte Licht unter einem Winkel 𝛼 von
etwa 45∘ (vgl. Abb. 9.3).
∙ Außer den schon bekannten Mustern tritt nun ein weiteres Interferenzmuster dicht
nebeneinander liegender Streifen auf (Abb. 9.4). Skizzieren Sie es.
∙ Das Muster wird durch die reflektierten Wellenfronten hervorgerufen, die unter dem
Winkel 2𝛽 zueinander laufen.
Warum ist der Winkel zwischen den beiden reflektierten Strahlen 2𝛽, wenn der Winkel zwischen den Glasplatten den Wert 𝛽 hat? Es gilt (𝛽 im Bogenmaß)
2𝛽 ≈ sin(2𝛽) =
𝜆
,
𝑏
(9.11)
wobei 𝜆 die Wellenlänge und 𝑏 der Streifenabstand ist.
Andererseits gilt nach Abb. 9.4 (für kleine 𝛽)
𝛽≈
𝑥
𝑎
und damit 𝑥 ≈
𝑎⋅𝜆
.
2 ⋅𝑏
Bestimmen Sie nach dieser Beziehung die Dicke des Haares.
∙ Vergleichen Sie das Ergebnis mit dem der anderen Gruppen!
(9.12)
118
V. 9
x
I NTERFERENZ UND B EUGUNG VON L ICHT
2 b
S c h ir m
a
b
h e ll
b
l
d u n k e l
h e ll
b
d u n k e l
h e ll
2 b
S c h ir m
Abbildung 9.4: Zwischen zwei Glasplatten eingespanntes Haar (oben). Darstellung des zusätzlich auftretenden Interferenzmusters (unten).
9.2.3
Beugung am Gitter
Material: Für diesen Versuch benötigen Sie die vorherigen Bauteile und zusätzlich noch
die beiden Gitter (in Diarähmchen) und 2 Sammellinsen.
Aufgaben:
∙ Bauen Sie den Versuch gemäß Abb. 9.5 auf!
Als Lichtquelle dient wieder der He-Ne-Laser. Um eine bessere Auflösung zu erzielen, wird der Laserstrahl vor dem Gitter mit Hilfe von zwei Sammellinsen (Abb. 9.5)
aufgeweitet und fokussiert:
Verwenden Sie dazu die Sammellinsen 𝐿1 (mit Brennweite ≈ 7 cm) und 𝐿2
9.2 Versuchsdurchführung
119
Abbildung 9.5: Aufbau zum Versuchsteil 9.2.3; Aufweitung des Laserstrahls zur besseren Ausleuchtung des Gitters.
(Brennweite ≈ 14 cm) und stellen Sie diese anfänglich im Abstand von 𝑑 ∼ 𝑓1 + 𝑓2
hintereinander auf. Verschieben sie beide Linsen derart, dass der Laserfleck am weit
entfernten Schirm scharf abgebildet wird. Dann befinden sich die Brennpunkte 𝑓1 +𝑓2
an den gewünschten Stellen.
∙ Nun bringen Sie eines der Gitter auf dem Drehtisch in den Strahlengang. Beschreiben
Sie das Interferenzmuster.
∙ Drehen Sie das Gitter im Strahlengang. Wie ändert sich das Beugungsbild, wenn die
Gitterstriche waagerecht bzw. senkrecht stehen?
∙ Vermessen Sie die Lage der Beugungsmaxima für die Gitter G1 und G2 bei senkrechtem Einfall des Laserstrahls auf das Gitter.
∙ Berechnen Sie daraus mit Hilfe von Glg. (9.5) und der bekannten Laserwellenlänge die Gitterkonstanten 𝑔1 und 𝑔2 . Vergleichen Sie das Ergebnis für 𝑔1 mit dem im
Versuch 8.2.4 bestimmten Wert.
∙ Führen Sie das gleiche Verfahren mit einem schräggestellten Gitter (45∘ ) durch!
(Gitter jeweils senkrecht und waagrecht einsetzen.) Wie ändert sich Glg. (9.5) in diesem Fall?
∙ Abschließende Überlegung: Schätzen Sie unter Zuhilfenahme der Ergebnisse dieses Versuchsteils ab, wo in etwa die prinzipielle untere Grenze für die Größe von
in einem Lichtmikroskop beobachtbaren Strukturen liegt. Welcher Effekt ist für die
Auflösungsbegrenzung verantwortlich? Wie kann man kleinere Strukturen mikroskopieren?
120
V. 9
I NTERFERENZ UND B EUGUNG VON L ICHT
Versuch 10: Wechselwirkung von Licht
mit Materie
— Versuchsziel —
In diesem Versuch sollen Sie sich mit der Wechselwirkung von Licht mit Materie vertraut
machen.
Der Versuch gliedert sich in drei Teile:
∙ Polarisation durch Reflexion.
∙ Optische Aktivität.
∙ Absorption von Licht.
Grundbegriffe: Polarisation, Doppelbrechung, Brewster-Winkel, Absorption, Reflexion,
optische Aktivität, Extinktion.
122
V. 10
W ECHSELWIRKUNG VON L ICHT MIT M ATERIE
10.1
Physikalische Grundlagen
10.1.1
Polarisiertes Licht
⃗ und magLichtwellen sind elektromagnetische Wellen, d.h. sie bestehen aus elektrischen (𝐸)
⃗
netischen (𝐻) Feldern. Es handelt sich um transversale Wellen. Die elektrischen und magnetischen Feldvektoren schwingen senkrecht zur Ausbreitungsrichtung des Lichts und senkrecht
zueinander. In Abb. 10.1 sind zwei verschiedene Polarisationsmöglichkeiten von Lichtwellen
dargestellt. Steht das elektrische Feld immer nur in einer Richtung (oder in Gegenrichtung
dazu), so heißt das Licht linear polarisiert. Die Richtung des elektrischen Feldstärkevektors
heißt Polarisationsrichtung oder Schwingungsebene. Schwingt der elektrische Feldvektor so,
dass die Spitze des Vektors eine Ellipse um die Ausbreitungsrichtung des Lichts beschreibt,
so heißt das Licht elliptisch polarisiert. Im Spezialfall eines Kreises um die Ausbreitungsrichtung heißt das Licht zirkular polarisiert. Das Licht, welches von einem einzigen Atom
y
E
H
x
z
y
E
x
z
Abbildung 10.1: Linear polarisiertes Licht (oben) und zirkular polarisiertes Licht (unten).
emittiert wird, ist i.a. polarisiert. Durch die Überlagerung vieler solcher einzelner Prozesse in
einer völlig ungeordneten Weise ergibt sich natürliches oder unpolarisiertes Licht: alle Polarisationsarten sind gleichmäßig und ungeordnet vertreten. Dies ist z.B. bei der Wendel einer
Glühbirne der Fall.
Geräte, mit denen man Licht linear polarisieren kann, werden als Polarisatoren bezeichnet.
Benutzt man einen Polarisator, um mit ihm die Polarisationsrichtung und den Polarisationsgrad
von Licht zu ermitteln, wird er auch Analysator genannt.
10.1 Physikalische Grundlagen
123
Fällt linear polarisiertes Licht mit einer Schwingungsebene auf einen Analysator, die gegenüber der Durchlassrichtung um einen beliebigen Winkel 𝛼 gedreht ist, so kann man den
Schwingungsvektor gemäß Abb. 10.2 in zwei Schwingungsvektoren in Durchlassrichtung und
senkrecht dazu zerlegen. Der vom Analysator durchgelassene Anteil ist 𝐸𝑝 = 𝐸0 cos 𝛼, der
S p e r r ic h tu n g
d e s A n a ly s a to r s
E
S
= E
0
S c h w in g u n g s r ic h tu n g d e s
lin e a r p o la r is ie r te n L ic h te s
. s in a
E
0
a
E
P
= E
0
D u r c h la ß r ic h tu n g
d e s A n a ly s a to r s
. c o s a
Abbildung 10.2: Zur Ableitung des Malusschen Gesetzes.
vom Analysator ausgelöschte Anteil 𝐸𝑠 = 𝐸0 sin 𝛼. Da die Intensität des Lichts 𝐼 dem Quadrat der Amplitude proportional ist (𝐼 ∝ 𝐸 2 , dies bedeutet allerdings nicht 𝐼 = 𝐸 2 !), gilt
das
Gesetz von Malus
𝑰
𝑰0
=
𝑬𝒑2
𝑬02
= cos2 𝜶
oder 𝑰 = 𝑰0 cos2 𝜶.
(10.1)
Daraus ist ersichtlich, dass das durchgehende Licht bei gekreuzter Stellung von Polarisator
und Analysator (𝛼 = 900 ) ausgelöscht wird.
10.1.2
Polarisation durch Reflexion
Fällt Licht auf eine Glasplatte, so wird ein Teil des Lichts reflektiert, ein Teil gebrochen
(Abb. 10.3). Diesen Vorgang kann man sich so vorstellen, dass die einfallende Lichtwelle
elektrische Dipole an der Grenzfläche zum Schwingen anregt. Die von den Dipolen abgestrahlten Wellen ergeben dann den reflektierten und den gebrochenen Strahl. Allerdings strahlt
ein elektrischer Dipol immer nur senkrecht zu seiner Schwingungsrichtung ab. Wenn reflektierter und gebrochener Strahl senkrecht zueinander stehen, treten Polarisationseffekte auf.
Angenommen, der einfallende Strahl sei in der Einfallsebene polarisiert (Abb. 10.3, rechts).
(Die Einfallsebene ist die Ebene, die aus dem einlaufenden Strahl und dem Lot auf die Platte
aufgespannt wird.) Dann kann der zum Schwingen angeregte Dipol nur in Richtung des gebrochenen Strahls abstrahlen. Es gibt in diesem Fall keinen reflektierten Strahl. Ist der einlaufende
Strahl hingegen senkrecht zur Einfallsebene polarisiert, so treten immer sowohl reflektierter
124
V. 10
W ECHSELWIRKUNG VON L ICHT MIT M ATERIE
als auch gebrochener Strahl auf (Abb. 10.3, links). Stehen reflektierter und gebrochener Strahl
aufeinander senkrecht, gilt nach dem Brechungsgesetz Glg. (8.2) für diesen speziellen Einfallswinkel, den sogenannten
Brewsterwinkel 𝜶𝑩 :
𝑛=
sin 𝛼𝐵
sin 𝛼𝐵
sin 𝛼𝐵
=
=
= tan 𝛼𝐵 .
sin 𝛽
sin(90∘ − 𝛼𝐵 )
cos 𝛼𝐵
(10.2)
Für Glas (𝑛 = 1,53) ergibt sich 𝛼𝐵 ≈ 57∘ . Verwendet man nun einen unpolarisierten (aus
allen Polarisationsrichtungen zusammengesetzten) Strahl, so ist unter dem Brewsterwinkel
das reflektierte Licht senkrecht zur Einfallsebene polarisiert.
E
e
a
E
b
r
E
e
9 0 °
E
b
a
g
9 0 °
E
g
Abbildung 10.3: Reflexion und Brechung eines Lichtstrahls im Brewsterwinkel an einer Glasplatte für lineare Polarisation in der Einfallsebene (rechts) und lineare Polarisation senkrecht
zur Einfallsebene (links).
10.1.3
Polarisation durch Doppelbrechung
Polarisation durch Doppelbrechung geschieht mit Hilfe spezieller Kristalle, wie z.B. Kalkspat. Diese Kristalle besitzen eine Vorzugsrichtung, die optische Achse. Trifft Licht, das senkrecht zur optischen Achse linear polarisiert ist, auf den Kristall, so wird es ganz normal gebrochen, man spricht vom ordentlichen Strahl. Ist das Licht hingegen parallel zur optischen
Achse polarisiert, so wird es unter einem anderen Winkel gebrochen, da dieser sogenannte
außerordentliche Strahl im Medium eine größere Ausbreitungsgeschwindigkeit hat. Diesen
Effekt kann man zur Erzeugung von polarisiertem Licht ausnutzen, z.B. im Nicolschen Prisma.
Eine andere Anwendung der Doppelbrechung ist das 𝝀/4-Plättchen. Es handelt sich dabei um
einen doppelbrechenden Kristall, der gerade so dick ist, dass der ordentliche und der außerordentliche Strahl nach dem Durchgang einen Gangunterschied von 𝜆/4 haben. Dies bewirkt,
dass aus linear polarisiertem Licht zirkular (bzw. elliptisch) polarisiertes Licht wird.
10.1 Physikalische Grundlagen
10.1.4
125
Polarisation durch Dichroismus
Außer den doppelbrechenden Kristallen existieren auch dichroitische Kristalle. Diese schwächen den ordentlichen und den außerordentlichen Strahl unterschiedlich stark ab. Folien, in die
kleine, dichroitische Kristalle parallel zueinander eingelagert sind, lassen sich als Polarisatoren
bzw. Analysatoren verwenden.
10.1.5
Optische Aktivität
Optisch aktive Substanzen sind dadurch gekennzeichnet, dass sie die Polarisationsrichtung
des Lichts drehen. Diese Eigenschaft ist meist auf den asymmetrischen Aufbau der Moleküle,
aus denen die Substanzen aufgebaut sind, zurückzuführen (in manchen Fällen auch auf den
Kristallaufbau einer festen Substanz).
Im Versuch soll die Konzentration einer Zuckerlösung aus der Messung des Drehwinkels 𝛼
bestimmt werden. Es gilt
𝛼 = 𝛼0 ⋅ ℓ ⋅ 𝑐.
(10.3)
Dabei bedeutet 𝛼0 das spezifische Drehvermögen, 𝑐 die Konzentration des Zuckers (in g/cm3 )
und ℓ die Länge der Küvette (in cm).
𝛼0 hängt außer von der Substanz auch (schwach) von der Temperatur und der Wellenlänge des
Lichts ab. Bei 𝑇 = 20 ∘ C und 𝜆 = 632,8 nm (HeNe-Laser) hat der im Praktikum verwendete
Zucker ein spezifisches Drehvermögen von 𝛼0 = 5,8 ∘ ⋅ cm2 /g.
10.1.6
Absorption von Strahlung
Bringt man eine Schicht eines mehr oder weniger lichtdurchlässigen Stoffes in einen Lichtstrahl (Abb. 10.4), so ist der durchtretende Lichtstrom (Lichtintensität) 𝜙(𝑥 + Δ𝑥) kleiner als
der einfallende 𝜙(𝑥). Dies hat mehrere Gründe:
1. An den Grenzflächen zwischen verschiedenen Medien wird das auftreffende Licht teilweise reflektiert.
2. Ein Teil des das Medium durchsetzenden Lichtstroms 𝜙 wird durch die Atome und Moleküle des Stoffes absorbiert und die Energie in ungeordnete kinetische Energie (Wärme) umgewandelt.
3. Ein Teil von 𝜙 wird an den Atomen und Molekülen gestreut, ändert seine Richtung und
gelangt so nicht mehr zum Empfänger (Streuabsorption).
Um die Absorption in einer dicken Schicht zu verstehen, betrachtet man zunächst eine sehr
dünne Schicht 𝑑𝑥, die nur wenig absorbiert. Dann ist der absorbierte Lichtstrom proportional
zur Schichtdicke:
𝜙(𝑥 + 𝑑𝑥) − 𝜙(𝑥) = 𝑑𝜙 = −𝑘 ⋅ 𝜙(𝑥) ⋅ 𝑑𝑥,
𝑑𝜙
⇒
= −𝑘 ⋅ 𝜙(𝑥).
𝑑𝑥
(10.4)
(10.5)
Die Proportionalitätskonstante heißt natürliche Extinktionskonstante 𝒌. Für Licht, das eine
Schichtdicke 𝑑 durchsetzt, erhält man durch Integration von Glg. (10.5) das
126
V. 10
W ECHSELWIRKUNG VON L ICHT MIT M ATERIE
f (x )
f (x + D x )
D x
Abbildung 10.4: Absorption von Licht an einer dünnen Schicht.
Lambertsche Schwächungsgesetz
𝝓(𝒅) = 𝝓(0) ⋅ 𝒆−𝒌⋅𝒅 .
(10.6)
Dabei ist 𝜙(0) der einfallende und 𝜙(𝑑) der durch die Schicht hindurchgetretene Lichtstrom.
Enthält das durchstrahlte Medium mehrere Stoffanteile, z.B. Lösungsmittel (LM) und gelösten
Stoff (LS), so addieren sich die Extinktionskonstanten der Anteile zu 𝑘 = 𝑘LM + 𝑘LS . Im Fall
einer verdünnten Lösung mit kleiner Extinktion ist 𝑘LS proportional zur Konzentration 𝑐LS .
Dies ist das sogenannte
Beersche Gesetz
𝒌LS = 𝒄LS ⋅ 𝒌spez,LS .
(10.7)
Dabei wird 𝑘𝑠𝑝𝑒𝑧 spezifische Extinktionskonstante genannt. Für zwei Lösungen (1, 2) des
gleichen Stoffes gilt bei verschiedenen Konzentrationen 𝑐1 , 𝑐2 demnach
𝑐1
𝑘1
= .
𝑘2
𝑐2
(10.8)
Beachten Sie außerdem: 𝑘 ist abhängig von der Wellenlänge des benutzten Lichts. Wir führen
deshalb den Versuch mit dem monofrequenten Licht des HeNe-Lasers durch.
10.2 Aufgabe zur Vorbereitung
10.2
127
Aufgabe zur Vorbereitung
Aufgaben: In den Strahlengang eines linear polarisierten Laserstrahls wird ein Polarisationsfilter gestellt. Für verschiedene Winkel des Polarisationsfilters wird die durchgelassene
Intensität mit einer Photodiode gemessen. Man erhält folgende Ergebnisse (siehe Tabelle 10.1).
𝛼 [∘ ] I [V]
15
7,00
30
5,63
45
3,75
60
1,88
75
0,50
90
0,00
Tabelle 10.1: Ergebnistabelle für die Intensitätsmessung.
∙ Tragen Sie die Intensität 𝐼 gegen cos2 (𝛼) auf.
∙ Entspricht der Graph Ihren Erwartungen und welche Gesetzmäßigkeit haben Sie überprüft?
∙ Berechnen Sie außerdem die Anfangsintensität 𝐼0 .
128
V. 10
10.3
W ECHSELWIRKUNG VON L ICHT MIT M ATERIE
Versuchsdurchführung
Wichtiger Sicherheitshinweis / Regeln zum Umgang mit Lasern:
∙ Niemals direkt in den Laserstrahl schauen!
∙ Auch an metallischen Oberflächen reflektierte Laserstrahlung kann gefährlich sein!
∙ Legen Sie Hand- und Armschmuck ab, wenn Sie in der Nähe des Laserstrahls hantieren müssen! (Auch hochglänzende Halsketten können in den Strahl baumeln und den
Laserstrahl unkontrolliert reflektieren und sind abzulegen!)
Bei diesem Versuch verwenden Sie einen kontinuierlichen HeNe-Laser der Wellenlänge
632,8 nm mit einer Leistung von 0,5 mW. Laser werden in die Klassen 1 (ungefährlich)
bis 4 (große Gefahr für Auge und Haut) eingeteilt. Der hier verwendete Laser gehört zu
der Klasse 2: „Laser dieser Klasse sind zwar nicht wirklich sicher, der Augenschutz ist
jedoch durch den Lidreflex und andere Abwehrreaktionen sichergestellt. Schaut man bewusst länger in den Strahl oder wird der Reflex z.B. medikamentös unterdrückt, kann eine
Schädigung eintreten.“ [Jürgen Eichler: Laser und Strahlenschutz, Vieweg 1992, S. 158]
10.3.1
Aufbau der Strahlführung
Material: Zum Aufbau benötigen Sie den He-Ne-Laser, ein 𝜆4 -Plättchen und die optische
Bank.
Aufgabe: Der Laserstrahl wird entlang der optischen Schiene eingestellt. Da das Laserlicht
linear polarisiert ist, sollte es zunächst ein 𝜆/4-Plättchen durchlaufen (siehe Abb. 10.5).
Dies bewirkt, dass dann ein zirkular polarisierter Strahl vorliegt. (Im allgemeinen Fall erhalten Sie elliptisch polarisiertes Licht. Optimieren Sie bei den folgenden Versuchen die
Einstellung des 𝜆/4-Plättchens, falls die Intensität des Laserstrahls zu gering wird.) Diesen
Aufbau verwenden Sie nur für die Versuchsteile (10.3.2) und (10.3.3), beim Absorptionsversuch (10.3.4) kann das 𝜆/4-Plättchen weggelassen werden.
HeNe-Laser
λ/4-Plättchen
Abbildung 10.5: Strahlführung für die Erzeugung von zirkular polarisiertem Licht.
10.3 Versuchsdurchführung
10.3.2
129
Polarisation durch Reflexion
Material: Zusätzlich benötigen Sie einen Polarisator, den Drehtisch, eine Glasplatte, und
den Schirm.
Aufgaben:
∙ Bauen Sie den Aufbau aus Abb. 10.6 auf und stellen Sie die Glasplatte ungefähr im
Brewsterwinkel ein. Wie verändert sich die Strahlintensität auf dem Schirm, wenn
Sie die Achse des Polarisators verdrehen?
j
G la s p la tte
P o la r is a to r
S c h ir m
Abbildung 10.6: Versuchsaufbau zur Polarisation durch Reflexion.
∙ Im folgenden sollen Sie möglichst genau den Brewsterwinkel bestimmen. Da die
Winkelangaben auf dem Polarisator nicht mit der Polarisationsrichtung übereinstimmen, können Sie nicht direkt ablesen, in welcher Richtung das durchgelassene Licht
polarisiert ist. Daher müssen Sie immer abwechselnd die Polarisationsrichtung und
den Winkel der Glasplatte verstellen, bis die Intensität auf dem Schirm minimal wird.
Lesen Sie an dem Drehtisch den so eingestellten Winkel 𝜙1 ab. Da die Skala des
Drehtisches verdreht sein kann, ist dies noch nicht der Brewsterwinkel. Drehen Sie
nun die Glasplatte solange, bis der einfallende Strahl genau in sich zurückreflektiert
wird und lesen Sie den so bestimmten Winkel 𝜙2 ab.
Berechnen Sie den Brewsterwinkel 𝜙Brewster = ∣𝜙1 − 𝜙2 ∣ und daraus mit Glg. (10.2)
den Brechungsindex 𝑛 der Glasplatte.
∙ Stellen Sie nun wieder den Brewsterwinkel ein. Untersuchen Sie den Polarisationszustand des reflektierten Lichts für verschiedene Stellungen des Polarisators, indem Sie
eine zweite Polarisationsfolie als Analysator zwischen Glasplatte und Schirm halten.
130
V. 10
10.3.3
W ECHSELWIRKUNG VON L ICHT MIT M ATERIE
Optische Aktivität
Material: Sie benötigen zwei Polarisationsfolien (einmal als Polarisator, einmal als Analysator verwendet), eine mit Wasser gefüllte Küvette und die Photodiode.
Aufgaben:
∙ Bauen Sie den Versuchsaufbau aus Abb. 10.7 auf.
∙ Stellen Sie die Polarisationsfolien so ein, dass Auslöschung eintritt.
∙ Geben Sie dann Zuckerlösung in die mittlere Küvettenkammer (nicht befüllte Küvettenkammern mit Wasser füllen!) und lesen Sie den Winkel 𝛼 ab, um den der Analysator verdreht werden muss, um wieder Auslöschung zu erhalten. Dabei darf der
Drehwinkel nur wenige Grad betragen; bei Winkeln > 90∘ wurde in die falsche Richtung gedreht!
∙ Wiederholen Sie dies für drei verschiedene Küvettenlängen ℓ, z.B. 2,5 cm, 10 cm und
15 cm, so dass Ihnen insgesamt 4 Messungen vorliegen!
∙ Tragen Sie 𝛼 gegen ℓ graphisch auf und ermitteln Sie aus der Steigung der Ausgleichsgeraden mit Gl. (10.3) (𝛼0 = 5,8 ∘ ⋅ cm2 /g) die Zuckerkonzentration in
g/cm3 .
U
P
K ü v e tte
A
D e te k to r
Abbildung 10.7: Bestimmung der optischen Aktivität der Flüssigkeit in der Küvette (P = Polarisator, A = Analysator).
10.3 Versuchsdurchführung
10.3.4
131
Absorption von Strahlung
Material: Für diesen Versuchsteil das 𝜆/4-Plättchen aus dem Strahlengang entfernen!
Aufgaben:
∙ Erstellen Sie den Aufbau Abb. 10.8 und justieren Sie das Laserlicht auf der optischen Bank so, dass die Detektoröffnung gut ausgeleuchtet wird. Gegebenenfalls ist
es sinnvoll, den Laserstrahl mit einer Sammellinse (𝑓 = 7 cm) hinter der Küvette zu
fokussieren.
L a se r str a h l
U
K ü v e tte
D e te k to r
Abbildung 10.8: Versuchsaufbau zur Messung der Extinktion einer Lösung.
∙ Füllen Sie alle Küvettenkammern mit Wasser, überprüfen Sie noch einmal die Detektorausleuchtung und messen Sie die Photospannung 𝑈0 .
∙ Wechseln Sie nun nacheinander das Wasser in den Küvettenkammern gegen die bereitgestellte milchige Lösung (evtl. vorher verdünnen!) aus und messen Sie die Photospannung 𝑈 (𝑑) in Abhängigkeit von der durchstrahlten Schichtdicke 𝑑. Mit den drei
vorhanden Küvettenkammern sind 8 verschiedene Schichtdicken 𝑑 zwischen 0 cm
und 17,5 cm möglich. Da die anderen Kammern jeweils mit Wasser gefüllt bleiben,
wird nur der Anteil der Absorption bzw. Streuung gemessen, der durch die Milchpartikel im Wasser verursacht wird.
𝑑
) gegen 𝑑 auf und bestimmen Sie mit Glg. (10.6) die natürliche
∙ Tragen Sie ln( 𝑈𝑈(0)
Extinktion 𝑘 der Lösung.