Brüche

Allgemeines zu Brüchen
Brüche sind Teile eines Ganzen. Teilt man ein Ganzes in 2, 3, 4, 5, … gleiche Teile, so erhält
man:
2 Halbe
2
2
3 Halbe
3
3
4 Halbe
4
4
5 Halbe
5
5
Bezeichnungen bei der Bruchschreibweise:
Zähler
1
4
Bruchstrich
Nenner
Beispiel:
Ein Ganzes wurde in 8 gleiche Teile zerlegt. Jedes
Teilstück hat also die Größe 18 . Von den 8 Teilstücken
sind 5 blaue gefärbt, 3 weiß. Der blaue Anteil beträgt
also 5 , der weiße 3 , insgesamt somit wieder 8 .
8
8
8
Brüche sind in mehrere Spaten einteilbar: zum einen in gemeine Brüche, in gemischte
Zahlen und nicht zuletzt in Dezimalbrüche bzw. -zahlen.
Gemeine Brüche
Kommen wir zu allererst zu den gemeinen Brüchen. Diese wiederum unterteilt man in zwei
weitere Kategorien; nämlich den echten- und den unechten Brüchen.
Die echten Brüche sind bspw.:
2 1 2 5
; ; ; …etc.
3 4 5 7
Diese Brüche lassen sich auch, als Dezimalzahlen darstellen, nämlich:
2
1
2
5
= 0, 66 ;
= 0, 25 ;
= 0, 4 ;
= 0, 714...
3
4
5
7
Merke: Alle echten Brüche sind immer kleiner, als 1 (< 1) (
Zähler < Nenner)!
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3 4 5 5 8
Die unechten Brüche sind bspw.: 2 ; 3 ; 2 ; 7 ; 8 …etc.
Auch hier lassen sich diese Brüche, als Dezimalzahlen darstellen:
3
4
5
7
8
= 1, 5 ;
= 1,33 ;
= 2, 5 ;
= 1, 4 ; = 1
2
3
2
5
8
Merke: Alle unechten Brüche sind immer größer/gleich (≥ 1) (Zähler ≥ Nenner)!
Lern- und Merkbrüche
Nun möchte ich die wesentlichen Brüche, die auch als Lern- bzw. Merkbrüche bezeichnet,
werden, euch auf einem Blick deutlich machen.
Die echte Bruchserie der drittel, viertel und fünftel Brüche:
1
2
3
= 0, 33 ;
= 0, 66 ;
=1
3
3
3
1
2 1
3
4
= 0, 25 ;
= = 0,5 ;
= 0, 75 ;
=1
4
4 2
4
4
1
2
3
4
5
= 0, 2 ;
= 0, 4 ;
= 0, 6 ;
= 0,8 ;
=1
5
5
5
5
5
Die unechte Bruchserie der halbe, drittel und fünftel Brüche:
3
5
7
9
11
= 1, 5 ;
= 2, 5 ;
= 3,5 ;
= 4,5 ;
= 5, 5 usw.
2
2
2
2
2
4
5
7
8
10
11
= 1, 33 ;
= 1, 66 ;
= 2,33 ; = 2, 66 ;
= 3,33 ;
= 3, 66 usw.
3
3
3
3
3
3
6
7
8
9
10
= 1, 2 ;
= 1, 4 ;
= 1, 6 ;
= 1,8 ;
=2
5
5
5
5
5
Die gemischten Zahlen
Unter einer gemischten Zahl versteht man die Zusammensetzung einer natürlichen Zahl und
eines echten Bruches, wobei sich ausschließlich unechte Brüche in gemischter Form
darstellen lassen können.
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Bezeichnung bei der Bruchschreibweise:
Natürliche Zahl
z. B.: 3
2
3
5
echter Bruch
2
4
1
; 4 ; 7 …etc.
5
3
4
Wie kann ich eine gemischte Zahl, sprich einen gemischten Bruch darstellen und beschreiben?
Beispiel:
11
3
=2
4
4
11
4
11
3
=2
4
4
2
+
3
4
Und wie kann ich eine gemischte Zahl umrechnen?
3 2 ⋅ 4 + 3 8 + 3 11
=
=
Beispiel: 2 =
4
4
4
4
Man berechne also die gemischte Zahl wie folgt: die natürliche Zahl mal den Nenner, plus den
Zähler, wonach der Nenner selbst unverändert bleibt.
Merke: Der Wert des Bruches – egal wie er dargestellt wird –, bleibt immer gleich.
Wenn wir aus einer gemischten Zahl einen unechten Bruch machen können, dann könnte man
doch auch aus einem unechten Bruche eine gemischte Zahl machen. Oder?
Beispiel:
12
2
= 5 ⋅ 2 = 10 ; 10 < 12 ; 12 − 10 = 2 ; = 2
5
5
Probe:
2
2 2 ⋅ 5 + 2 10 + 2 12
=
=
=
5
5
5
5
Man geht wie folgt bei der Zurückführung eines unechten Bruches zu einer gemischten Zahl
vor: Wie oft passt der Nenner in den Zähler ( die 5 passt 2-mal in die 12; 5 · 2 = 10). Dann
bildet man den Rest zwischen dem errechneten und dem gegebenen Zähler (12 – 10 = 2) und
dann bildet man schlussendlich die gemischte Zahl. Die Probe beweist die Richtigkeit!
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Dezimalbrüche bzw. -zahlen
Die Dezimalschreibweise für Brüche, nämlich die so genannten Kommazahlen, findest du im
alltäglichen Gebrauch oft häufig. Maße, Gewichte und auch Längen werden nicht als echte
oder gemischte Zahlen geschrieben, sondern in der Dezimalschreibweise angegeben.
Ein Dezimalbruch ergibt sich aus einer Summe einzelner Brüche. Dazu erweiterst du die
bekannte Stellenwerttafel um die Nachkommastelle (Dezimalen). In der nachfolgenden
Stellenwerttafel sind bereits einige Beispiele eingetragen:
Beispiel:
H
Z
2
1
4
E
z
h
t
Anteile addieren = Ergebnis
2
3
4
2 + 0,3 + 0,04 = 2,34
0
2
3
20 + 0,2 + 0,03 = 20,23
4
5
3
4
4 + 0,5 + 0,03 + 0,004 = 4.534
8
2
1
5
8 + 0,2 + 0,01 + 0,005 = 8,215
2
3
6
7
142 + 0,3 + 0,06 + 0,007 = 142,367
Legende:
H – Hunderter (100; 200; 300…)
Z – Zehner
(10; 20; 30…)
E – Einer
(1; 2; 3…)
z – zehntel
h – hundertstel
t – tausendstel
(0,1; 0,2; 0,3…)
(0,01; 0,02; 0,03…)
(0,001; 0,002; 0,003…)
Weitere Erläuterungen und dazugehörige Aufgaben, einschließlich Lösungswege und
Lösungen, findest du in der Tabelle der Webseite: Brüche.
Viel Spaß beim Rechnen und Knobeln…!
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