6 Produktion: Technologie und Kostenfunktionen

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Produktion: Technologie und Kostenfunktionen
27. Betrachten Sie eine Cobb-Douglas-Produktionsfunktion f (x1 , x2 ) = Axα1 xβ2 .
(a) Bestimmen Sie das Grenzprodukt für den Inputfaktor x1 , die technische Rate der Substitution sowie die Gleichung einer Isoquante. Zeichnen Sie mehrere Isoquanten in einem
Diagramm.
(b) Welcher Zusammenhang besteht zwischen den Parametern α und β der obigen Produktionsfunktion und der Eigenschaft konstanter, steigender bzw. fallender Skalenerträge?
(c) Berechnen Sie die Substitutionselastizität für f . Ist sie konstant? Ist sie konstant entlang
einer gegebenen Isoquante?
(d) Nehmen Sie α = β = 1/4 und A = 1 an. Stellen Sie das Kostenminimierungsproblem bei
gegebenen Output y und finden Sie die Kosten c(y, w1 , w2 ), wenn die Preise der Inputs
w1 , w2 sind.
(e) Sei w1 = 4, und w2 = 9. Berechnen Sie Gesamt-, Durchschnitts-, und Grenzkostenfunktionen und stellen Sie diese grafisch dar.
(f) Angenommen, der Input 2 sei kurzfristig mit x¯2 = 2 fixiert. Die Preise der Inputs sind
wie in 27e. Input 1 kann jedoch ständig optimal angepasst werden. Berechnen Sie die
kurzfristige Kostenfunktion.
28. Die Produktionsfunktion einer Firma lautet Q = f (K, L) = KL − 0.8K 2 − 0.2L2 , wobei Q den
Output, K den Kapitaleinsatz und L den Arbeitseinsatz angibt.
(a) Stellen Sie für den Fall K = 10 Gesamtoutput und Output pro Arbeitseinheit in einem
Diagramm für variierendes L dar. Bei welchem Wert von L erreicht der Output pro Arbeitseinheit sein Maximum? Wie hoch ist dann der Gesamtoutput?
(b) Stellen Sie für den Fall K = 10 die Grenzproduktivitätsfunktion der Arbeit, M PL dar. Bei
welchem Wert von L nimmt M PL einen Wert von Null an, und wie ist dies zu interpretieren?
(c) Vergleichen Sie die Antworten aus 28a und 28b mit den entsprechenden Resultaten für
K = 20.
(d) Handelt es sich um eine Technologie mit steigenden, fallenden oder gleichbleibenden Skalenerträgen?
29. Betrachten Sie ein Unternehmen, welches zwei Inputs K und L zu einem Output gemäß der
Produktionsfunktion
1
f (K, L) = 1
1
+
K
L
verarbeitet. Die Preise der Inputs werden mit r (für K) bzw. w (für L) bezeichnet.
(a) Zeichnen Sie mehrere Isoquanten.
(b) Berechnen Sie die Substitutionselastizität.
(c) Lösen Sie das Outputmaximierungsproblem des Unternehmens, gegeben, dass die Kosten
der Produktion einen Betrag von C nicht überschreiten sollen. Stellen Sie die Outputhöhe
als Funktion von r, w und C dar.
(d) Lösen Sie das Kostenminimierungsproblem des Unternehmens, gegeben, dass zumindest Q
Outputeinheiten hergestellt werden. Stellen Sie die Kosten als Funktion von r, w und Q
dar.
(e) Worin besteht die Dualität von Outputmaximierungsproblem und Kostenminimierungsproblem? (Skizze!)
UE Mikroökonomie I für VWL
Dr. Ana B. Ania, Dipl.-Volkswirt Ilja Neustadt
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(f) Angenommen dass der Kapitalinput kurzfristig mit K = K fixiert ist, Arbeit jedoch ständig
optimal angepaßt werden kann. Berechnen Sie die kurzfristige Gesamtkostenfunktion. Was
ist die Unterschied mit Teil 29d?
(g) Sei r = 1, w = 4. Berechnen sie die Kosten, um Q = 2 zu produzieren, wenn (i) K = 4
fixiert ist; (ii) K = 6 fixiert ist; (iii) K optimal angepaßt werden kann. Kommentieren Sie.
30. Ein Unternehmer plant die Gründung einer Softwarefirma. Er weiß, dass der Output (Com1
1
puteranwendungsprogramme) gemäß der Produktionsfunktion f (K, L) = (K 2 + L 2 ) hergestellt
werden kann, wobei L die Zahl der Beschäftigten und K die Zahl der verwendeten Computer
mißt.
(a) Zeichen Sie mehrere Isoquanten.
(b) Berechnen Sie die Grenzrate der technischen Substitution (MRTS). Geben Sie sie als Funktion von L (entlang einer Isoquante) an. Ist sie fallend?
(c) Berechnen Sie die MRTS bei folgenden Inputkombinationen: (1, 1), (10, 10), (2, 1), (4, 2).
Hängt die MRTS nur vom Verhältnis K
L ab, oder auch vom gewählten Outputniveau?
Finden Sie Werte für K
,
sodass
die
MRTS
die Werte 21 , 1, 2, 3 annimmt. Benutzen Sie die
L
resultierende Wertetabelle, um K
L als Funktion der MRTS (nicht umgekehrt!) darzustellen.
Können Sie diese Funktion auch algebraisch darstellen?
(d) Berechnen Sie die Substitutionselastizität. Ist sie konstant?
(e) Weist die Produktionsfunktion steigende, fallende oder konstante Skalenerträge auf?
31. Betrachten Sie die folgenden Produktionsfunktionen:
f (K, L) = min(2K, 4L)
1
1
g(K, L) = K 3 L 3
h(K, L) = 3K + L
Die Preise der Inputs Kapital und Arbeit sind mit v = 1 und w = 3 gegeben.
(a) Zeichnen Sie mehrere Isoquanten.
(b) Angenommen dass der Kapitalinput kurzfristig mit K = 4 fixiert ist, Arbeit jedoch ständig
optimal angepaßt werden kann. Berechnen Sie kurzfristige Gesamt-, Durchschnitts- und
Grenz-kostenfunktionen. Stellen Sie diese grafisch dar. Wie hoch sind die Grenzkosten der
(i) 10., (ii) 50., (iii) 100. Einheit?
(c) Langfristig können Kapital und Arbeit optimal angepaßt werden. Berechnen Sie langfristige
Gesamt-, Durchschnitts- und Grenzkostenfunktionen und stellen Sie diese grafisch dar.