Übungsblatt 6

UE Mikrooekonomie I - Martin Obradovits - WS 11/12
Produktion: Technologie und Kostenfunktionen
β
1. Betrachten Sie eine Cobb-Douglas-Produktionsfunktion f (x1 , x2 ) = Axα
1 x2 .
(a) Bestimmen Sie das Grenzprodukt für den Inputfaktor x1 , die technische Rate der Substitution
sowie die Gleichung einer Isoquante. Zeichnen Sie mehrere Isoquanten in einem Diagramm.
(b) Welcher Zusammenhang besteht zwischen den Parametern α und β der obigen Produktionsfunktion und der Eigenschaft konstanter, steigender bzw. fallender Skalenerträge?
(c) Berechnen Sie die Substitutionselastizität für f . Ist sie konstant? Ist sie konstant entlang
einer gegebenen Isoquante?
(d) Nehmen Sie α = β = 1/4 und A = 1 an. Stellen Sie das Kostenminimierungsproblem bei
gegebenen Output y auf und finden Sie die Kosten c(y, w1 , w2 ), wenn die Preise der Inputs
w1 , w2 sind.
(e) Seien w1 = 4 und w2 = 9. Berechnen Sie Gesamt-, Durchschnitts-, und Grenzkostenfunktionen
und stellen Sie diese grafisch dar.
(f) Angenommen der Input 2 ist kurzfristig mit x̄2 = 2 fixiert. Die Preise der Inputs sind wie
in 1e. Input 1 kann jedoch ständig optimal angepasst werden. Berechnen Sie die kurzfristige
Kostenfunktion.
2. Die Produktionsfunktion einer Firma lautet Q = f (K, L) = KL − 0.8K 2 − 0.2L2 , wobei Q den
Output, K den Kapitaleinsatz und L den Arbeitseinsatz angibt.
(a) Stellen Sie für den Fall K = 10 Gesamtoutput und Output pro Arbeitseinheit in einem Diagramm für variierendes L dar. Bei welchem Wert von L erreicht der Output pro Arbeitseinheit
sein Maximum? Wie hoch ist dann der Gesamtoutput?
(b) Stellen Sie für den Fall K = 10 die Grenzproduktivitätsfunktion der Arbeit, M PL , dar. Bei
welchem Wert von L nimmt M PL einen Wert von Null an, und wie ist dies zu interpretieren?
(c) Vergleichen Sie die Antworten aus 2a und 2b mit den entsprechenden Resultaten für K = 20.
(d) Handelt es sich um eine Technologie mit steigenden, fallenden oder gleichbleibenden Skalenerträgen?
3. Betrachten Sie ein Unternehmen, welches zwei Inputs K und L zu einem Output gemäß der Produktionsfunktion
1
f (K, L) = 1
1
+
K
L
verarbeitet. Die Preise der Inputs werden mit r (für K) bzw. w (für L) bezeichnet.
(a) Zeichnen Sie mehrere Isoquanten.
(b) Berechnen Sie die Substitutionselastizität.
(c) Lösen Sie das Outputmaximierungsproblem des Unternehmens, gegeben, dass die Kosten der
Produktion einen Betrag von C nicht überschreiten sollen. Stellen Sie die Outputhöhe als
Funktion von r, w und C dar.
(d) Lösen Sie das Kostenminimierungsproblem des Unternehmens, gegeben, dass zumindest Q
Outputeinheiten hergestellt werden. Stellen Sie die Kosten als Funktion von r, w und Q dar.
(e) Worin besteht die Dualität von Outputmaximierungsproblem und Kostenminimierungsproblem?
(Skizze!)
(f) Es wird angenommen, dass der Kapitalinput kurzfristig mit K = K fixiert ist, Arbeit jedoch
ständig optimal angepaßt werden kann. Berechnen Sie die kurzfristige Gesamtkostenfunktion.
Was ist der Unterschied mit Teil 3d?
(g) Sei r = 1, w = 4. Berechnen sie die Kosten, um Q = 2 zu produzieren, wenn (i) K = 4 fixiert
ist; (ii) K = 6 fixiert ist; (iii) K optimal angepaßt werden kann. Kommentieren Sie.
4. Ein Unternehmer plant die Gründung einer Softwarefirma. Er weiß, dass der Output (Computer1
1
anwendungsprogramme) gemäß der Produktionsfunktion f (K, L) = (K 2 + L 2 ) hergestellt werden
kann, wobei L die Zahl der Beschäftigten und K die Zahl der verwendeten Computer mißt.
(a) Zeichen Sie mehrere Isoquanten.
(b) Berechnen Sie die Grenzrate der technischen Substitution (MRTS). Geben Sie sie als Funktion
von L (entlang einer Isoquante) an. Ist sie fallend?
(c) Berechnen Sie die MRTS bei folgenden Inputkombinationen: (1, 1), (10, 10), (2, 1), (4, 2). Hängt
die MRTS nur vom Verhältnis K
L ab, oder auch vom gewählten Outputniveau? Finden Sie
K
Werte für L , sodass die MRTS die Werte 21 , 1, 2, 3 annimmt. Benutzen Sie die resultierende
Wertetabelle, um K
L als Funktion der MRTS (nicht umgekehrt!) darzustellen. Können Sie
diese Funktion auch algebraisch darstellen?
(d) Berechnen Sie die Substitutionselastizität. Ist sie konstant?
(e) Weist die Produktionsfunktion steigende, fallende oder konstante Skalenerträge auf?
5. Betrachten Sie die folgenden Produktionsfunktionen:
f (K, L) = min(2K, 4L)
1
1
g(K, L) = K 3 L 3
h(K, L) = 3K + L
Die Preise der Inputs Kapital und Arbeit sind mit v = 1 und w = 3 gegeben.
(a) Zeichnen Sie mehrere Isoquanten.
(b) Es wird angenommen, dass der Kapitalinput kurzfristig mit K = 4 fixiert ist, Arbeit jedoch
ständig optimal angepaßt werden kann. Berechnen Sie kurzfristige Gesamt-, Durchschnittsund Grenz-kostenfunktionen. Stellen Sie diese grafisch dar. Wie hoch sind die Grenzkosten
der (i) 10., (ii) 50., (iii) 100. Einheit?
(c) Langfristig können Kapital und Arbeit optimal angepaßt werden. Berechnen Sie langfristige
Gesamt-, Durchschnitts- und Grenzkostenfunktionen und stellen Sie diese grafisch dar.
√
√ 2
6. Eine Firma besitzt die Produktionsfunktion F (K, L) =
K + L . Die Preise der Inputs sind
mit r bzw. w gegeben, der Preis des Outputs mit p.
(a) Hat die Firma Konstante Skalenerträge?
(b) Berechnen Sie die MRTS als Funktion von L entlang einer Isoquante. Ist diese abnehmend?
Was bedeutet eine abnehmende MRTS?
(c) Schreiben Sie das Kostenminimierungsproblem der Firma und finden Sie ihre Kostenfunktion.