Aufgabenblatt - voelkel.bnv

Übungsaufgaben – Grundkurs Mathematik
1. Berechne den
 Schnittwinkel


der Ebene E : x1 + x2 − x3 = 0 und der Gerade
1
0
→
g : x =  0  + λ  1  auf eine Dezimale gerundet.
1
−1
2. Berechne den Schnittwinkel ϕ der Ebenen E : x1 + 10 x2 + 9 x3 − 4 = 0 und
F : 11 x1 + 19 x2 + 8 x3 − 4 = 0.
3. Bestimme eine Gleichung der Schnittgerade von
 


 
0
2
1
→  
E: x =
0 + λ  −1  + µ  1 
1
2
3
und

F :





1
1
2
→  
x =
0 + σ  −1  + τ  −1  .
0
1
2
4. Untersuche die Lage der Ebenen E : x1 − x2 + 3 x3 − 6 = 0 und
 




1
3
1
→
F : x =  1  + λ  0  + µ  −3  .
0
−1
1
5. Gib eine Parameterdarstellung derjenigen Ebene an, die
(a) durch den Punkt P ( −3 | − 5 | − 7 ) geht und parallel ist zur x1 x3 -Ebene,




4
2
→
(b) die Gerade g : x =  1  + λ ·  3  enthält und parallel ist zur x3 -Achse.
−3
−1
6. Gegeben sind die Punkte A( 3 | − 2 | 2 ), B( 1 | 2 | − 1 ) sowie die Geraden








3
0
1
2
→
→
g : x =  −2  + j ·  1  und h : x =  2  + k ·  −3 .
2
−1
−1
2
M bezeichnet den Mittelpunkt der Strecke [AB].
(a) Berechne die Koordinaten des Punktes M und die Entfernung AM .
(b) Untersuche die gegenseitige Lage von g und h.
7. K und L sind die Kantenmitten der vierseitigen Pyramide ABCDE.
E( 0 | 0 | 6 )
D( −3 | −12 | 0 )
K
(a) Zeige, dass sich CK und DL
schneiden und berechne den
Schnittpunkt S.
L
C( −3 | 0 | 0 )
A( 6 | −12 | 0 )
(b) Untersuche die Lage von AC und
ES.
B( 6 | 0 | 0 )
8. Abstand eines Punktes von einer Geraden: Gegeben ist der Punkt P ( 0 | − 2 | 1 ) sowie die
Gerade g = AB durch die Punkte A( 5 | 2 | 6 ) und B( −1 | 8 | − 3 ).
g
B
u
A
X
(a) Stelle eine Geradengleichung für g auf.
F
(b) Berechne den Abstand des Punktes P von der Geraden g.
d
P
9. Gegeben ist das Dreieck ABC durch seine Eckpunkte A( 6 | 3 | −4 ), B( 8 | 6 | 2 ) und C( 2 | 9 | 8 ).
(a) Berechne den Vektor der Seitenhalbierenden zur
Seite [AC].
C
(b) Berechne den Umfang U∆ des Dreiecks ABC.
(c) Stelle die Gleichung der Geraden p auf, die parallel
zu [AB] durch die Mitte M der Seite [BC] verläuft.
A
B
F
O
(d) Wie lautet eine Gleichung der Ebene E in Normalenform, in der das Dreieck ABC liegt?
(e) Berechne den Innenwinkel α bei Punkt A.
10. Das Spurdreieck
x3
E
S3
S2
x2
S1
x1
(a) Bestimme die Achsenpunkte und gib die Gleichungen der Spurgeraden für die Ebene
E1 : x1 + 3 x2 + 5 x3 − 15 = 0 an.
(b) Bestimme die Achsenpunkte und gib Gleichungen der Spurgeraden für E2 an.






9
−3
3
→
E2 : x =  −2  + k  −2  + m  −4 
−7
14
7


 
−1
1
→ 
11. Die Ebene E3 ist von den beiden Spurgeraden s3 : x =
0  + γ  2  und
0
0


 
−1
1
→ 


x
s2 :
=
0
+δ
0  festgelegt. Stelle von E3 eine Koordinatengleichung auf!
0
2
12. Bestimme eine Koordinatengleichung
der Ebene E4 , die parallel zur x2 −Achse ist und die
 
 
1
1
→
Spurgerade s : x =  0  + µ  0  hat.
2
1
13. Gerade und Parallelenpaar im vorgegebenen Abstand
p
2
g
B
u
Q
A
X
F
p1
d
P
d
Gegeben ist der 
Punkt P ( 0 |− 2 | 1 ) und die Gerade
5
2
→



x =
g :
2 + λ −2 . Berechne Gleichungen
6
3
für dasjenige Parallelenpaar, das parallel zu g ist, wobei
eine Gerade den Punkt P enthält.