4. ¨Ubungsblatt Geometrie in der Ebene Trigonometrische Funktionen

Vorkurs Mathematik für Bau-, Umweltingenieurwesen und Geodäsie
PD Dr. A. Johann
WS 2009/10
Blatt 4
4. Übungsblatt
Hinweise: Es ist nicht notwendig und auch nicht vorgesehen, dass Sie alle hier angegebenen
Aufgaben durchrechnen, dafür sind es zu viele. Der Schwierigkeitsgrad der Aufgaben variiert.
Wenn Sie mit einer Aufgabe nicht zurechtkommen, fragen Sie Ihren Tutor oder machen Sie
einfach eine andere.
Geometrie in der Ebene
Aufgabe 4.1 ((Un-)Gleichungen in zwei Variablen)
Bestimmen/skizzieren Sie den durch die angegebene Gleichung oder Ungleichung beschriebenen
Bereich der Ebene.
(a) 3x − 5y + 11 ≥ 0
(b) 2x − 32 y + 6 < −1
(c) (x − 2)2 + (y + 3)2 = 9
(d) x2 + 6x + y 2 + 2y < −9
(e) xy = 16
(f) x2 + 2x + y 2 = −2
(g) x − y − 1 ≤ 0
(h) (x + 50)(y − 70) < 2
(i) x2 + 6x + y 2 − 4y = −13
(j) 4(x − 3)(y − 2) = 0
(k) y < 3x2 −
1
5
(l) 7x + 3y = 12
Aufgabe 4.2 (Polarkoordinaten)
Ermitteln Sie die Polarkoordinaten der folgenden Punkte.
1
(a)
0
−1
(f)
1
0
(b)
2
3
(g)
4
−3
0
−2
√
−2 3
(c)
(h)
0
(d)
−4
√ −√ 2
(i)
2
1
(e)
1
17
(j)
19
Trigonometrische Funktionen (Sinus, Cosinus, ...)
Aufgabe 4.3 (Additionstheoreme)
Geben Sie die Formeln (Additionstheoreme) für folgende Ausdrücke an:
(a) sin(α + β)
(b) cos(α + β)
(c) sin(−α)
(d) cos(−α)
(e) cos( π2 − α)
(f) sin( π2 − α)
(g) sin(2α)
(h) cos(2α)
(i) cos(π − α)
(j) sin(π − α)
(k) sin(3α)
(l) cos(3α)
sin( α2 )
(o) tan(2α)
(p) tan( α2 )
(m) cos( α2 )
(n)
Hinweise: (a)–(d) finden Sie in jeder Formelsammlung. Das gilt vermutlich auch für die restlichen Teilaufgaben, der Übungseffekt ist aber besser, wenn Sie (e)–(l) aus (a)–(d) berechnen,
wobei Sie cos(0) = 1, sin( π2 ) = 1 und sin2 + cos2 = 1 verwenden sollten. Die Aufgabenteile
(m) und (n) ergeben sich aus (g) und (h) durch den Ansatz cos(α) = cos(2 · α2 ) oder ähnlich.
Kontrollieren Sie Ihre Ergebnisse anhand der Formelsammlung.
Aufgabe 4.4 (Werte der Winkelfunktionen)
Verwenden Sie die Ergebnisse und Hinweise aus Aufgabe 4.3, um die folgende Wertetabelle
auszufüllen. Kontrollieren Sie ihre Ergebnisse anhand einer Formelsammlung.
α
sin(α)
0
cos(α)
tan α
cot(α)
1
√
π/6
3
π/4
π/3
π/2
1
nicht definiert
2π/3
3π/4
5π/6
π
Wie kann man aus dieser Tabelle die Werte der Arcusfunktionen ablesen?
Komplexe Zahlen I
Aufgabe 4.5 (Rechnen mit komplexen Zahlen I)
Schreiben Sie die folgenden komplexen Zahlen in der Form a + ib. Wo liegen diese in der
komplexen Ebene?
(a) (1 + 2i) + (−5 + 6i)
(b) 2(3 − 4i) − 7(1 − i)
(c) (1 + 3i) + 5i + (6 − 8i) − 6
(d) i + 1 − 2i + (1 − 2i) + 3
(e) (1 − i)(1 + i)
(f) (2 + 6i)(3 − 8i)
(g) (1 + i)(2 + 2i)(3 + 3i)
1
(i)
4 + 5i
6
2 − 7i
(k)
+
8 + 2i 6 + 2i
(−5 + 9i) + (−6 − 2i)
(m) (3 + i)(4 + i) +
5 + 4i
(3 + 3i) + (1 − 6i)(−6 − 2i)
(o)
(4 + 7i)(9i)
(h) (1 − (1 − i)(3 + 7i)i)2
2 + 3i
(j)
5 − 4i
(l) (1 + 7i) + ((−3 − 2i) − 5i)(−8i)
(2 − 2i)(3 + 6i)
+ (1 + 3i)(1 − i)
−7 − 5i
5i
(p) (3 − 6i) +
− (−1 + 2i)(−7 − 5i)
5 + 5i
(n)