PS 2 und LW 9

PS 2 und LW 9
Elektrische Schwingungen
Version vom 8. März 2016
Inhaltsverzeichnis
1
2
3
4
Freie Schwingungen
1
1.1
Grundlagen
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1
1.2
Aufgaben
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4
1.3
Versuchsaufbau und Durchführung
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5
Erzwungene Schwingungen
8
2.1
8
Grundlagen
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.1.1
Spannungsgetriebene Schwingungen (Serienresonanz)
. . . . . . . .
9
2.1.2
Stromgetriebene Schwingungen (Parallelresonanz) . . . . . . . . . .
11
2.2
Aufgaben
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.3
Versuchsaufbau und Durchführung
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
12
12
Gekoppelte Schwingkreise
14
3.1
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
14
3.1.1
Grundlagen
Freie Schwingungen der gekoppelten Kreise . . . . . . . . . . . . . .
14
3.1.2
Erzwungene Schwingungen der gekoppelten Kreise . . . . . . . . . .
18
3.2
Aufgaben
3.3
Versuchsaufbau und Durchführung
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Literaturangaben
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
18
19
19
PS2-LW9
1 Freie Schwingungen
Lehr/Lernziele
•
Praktisches Verständnis der Physik einfacher und gekoppelter elektrischer Resonanzkreise in Analogie zu mechanischen harmonischen Oszillatoren.
•
Übung in der Benutzung eines Digitaloszilloskops zur Messung und Analyse komplexer Signale.
1 Freie Schwingungen
1.1 Grundlagen
Abbildung 1: Schwingkreis im Anfangszustand und während der Oszillation.
Ein passiver elektrischer Oszillator ist ein geschlossener Kreis (Schwingkreis) bestehend
C , einer Spule mit der InL und eines Dämpfungswiderstands R (zumindest der unvermeidliche Leitungs-
aus einer Serienschaltung eines Kondensators mit der Kapazität
duktivität
widerstand der Spule). Ein möglicher Anfangszustand besteht darin, dass der Kondensator
die Ladung
q(0) = q0 = CU0
aufweist und der Schwingkreis oen ist:
I(0) = dq/dt(0) = 0.
Wird der Kreis geschlossen, beginnt sich der Kondensator zu entladen. Die elektrostatische
Energie, die im Kondensator in Form des elektrischen Feldes gespeichert war, wandelt sich
in die Energie des Magnetfeldes der Spule um. Der Anstieg des Stroms
dI/dt und damit die
Geschwindigkeit der Umwandlung der elektrostatischen in magnetische Energie ist durch
die Selbstinduktion
duktivität
L
UL = LdI/dt limitiert. Das Ausmaÿ dieser Trägheit
ist durch die In-
bestimmt, die das Analogon zur Masse im mechanischen Oszillator darstellt.
Während des Entladungsprozesses geht allerdings am Dämpfungswiderstand Energie mit
2
der Leistung RI(t) in Form von Wärme verloren, d.h., der Kondensator wird sich also im
darauolgenden zweiten Schwingungsviertel nicht mehr auf die volle negative Spannung
- 1 -
PS2-LW9
−q0 /C
1 Freie Schwingungen
auadendie Schwingung klingt ab. Da der Strom mit dem Spannungsabfall
RI(t)
linear in die Schwingungsgleichung eingeht, handelt es sich um eine lineare Dämpfung
ähnlich der Stokes'schen Dämpfung beim Pendel.
Auf der eLearning-Seite von PS 2/LW 9 nden Sie ein Applet zum
elektrischen Schwingkreis. Die
Grundlagenvertiefung zu PS 2 (Praktikum II)
gibt eine weitere Herleitung der Formeln, sowie Hinweise auf die Analogie
zwischen mechanischen und elektrischen Oszillatoren.
Eine Möglichkeit die zugehörige Dierentialgleichung anzuschreiben, ist die Anwendung
der Kichho 'schen Maschenregel
UL + UR − UC = 0.1
Durch Einsetzen von Induktionsgesetz, Ohmschen Gesetz und der Proportionalität zwischen Kondensatorladung
q
und Kondensatorspannung
dI
L
dt
|{z}
+RI
| {z }
Trägheitsglied
Reibungsglied
Abkürzungen für den
q(t)
= 0
I = d q(t)/d t
(1)
ausgedrückt, um zu einer
zu gelangen. Nach Division durch
L
erhält man mit den
Dämpfungskoezienten
δ=
und die
q
−
C
|{z}
erhält man:
Rückstellglied
Nun wird noch der Strom als Ladungsänderung
Dierentialgleichung für
UC
R −1 s
2L
(2)
Eigenfrequenz
r
ω0 =
1 −1 s
LC
(3)
die Standardform der Schwingungsgleichung,
d2 q
dq
+
2δ
− ω0 2 q = 0,
dt2
dt
die sich, abgesehen von der abhängigen (schwingenden) Variable
(4)
q,
nicht im geringsten
von der Gleichung für den mechanischen Oszillator unterscheidet. Die Lösung für
UC (t) = q(t)/C
q(t) bzw.
für die gewählte Anfangsbedingung ist eine abklingende Schwingung
q(t) = q0 e−δt cos (ω0d · t + ϕ)
(5)
1 Das Minuszeichen folgt einfach aus der gewählten Richtung des Spannungsabfalls am Kondensator und
hat keine tiefere physikalische Bedeutung.
- 2 -
PS2-LW9
1 Freie Schwingungen
wobei die Phasenkonstante
ϕ nur für die Erfüllung der Anfangsbedingung I(0) = 0 notwen-
dig und ansonsten nicht weiter bedeutend ist. Für die Kreisfrequenz der freien Schwingung
ω0d
erhält man:
ω0d
q
= ω02 − δ 2
(6)
Abbildung 2: Zeitlich abklingende Spannung am Kondensator normiert auf die Anfangsamplitude
UC (t)/U0 = q(t)/q0
für drei verschiedene Werte von
ist der aperiodische Grenzfall. Hierbei ist
Gleichung 5 beschreibt eine Schwingung mit der Kreisfrequenz
ren Amplitude
A
Dämpfungsfaktor
δ . δ = ω0
T0d = 2π/ω0d .
ω0d
(siehe Abb. 2), de-
exponentiell abklingt, wobei die Abklingkonstante identisch mit dem
δ
ist:
t
A(t)/A0 = e−δt = e− τ
Die zweite Form der Gleichung verwendet statt
δ
die Abklingzeit
(7)
τ = 1/δ .
Durch Loga-
rithmieren erhält man einen linearen Zusammenhang zwischen den Schwingungsmaxima
Ai
und den dazugehörigen Zeiten
ti
mit der Steigung
−δ :
ln Ai /A0 = −δti .
(8)
δ << ω0d ist die Kreisfrequenz der freien Schwingung ω0d nahezu
gleich der Eigenfrequenz ω0 . Für starke Dämpfung andererseits ist sie dämpfungsabhängig
Für schwache Dämpfung
(Verstimmung) und kann bis auf Null sinken. Dieser Sonderfall, der sogenannte
sche Grenzfall (AG) tritt ein bei
δ = ω0
aperiodi-
und trennt den Schwingungsfall vom Kriechfall
- 3 -
PS2-LW9
1 Freie Schwingungen
(rein exponentieller Abfall). Der AG ist somit die schwächste Dämpfung bei der gerade
noch keine Schwingung auftritt.
Zur Charakterisierung eines Schwingkreises wird auch gerne (vor allem in der Technik) der
Gütefaktor (oder kurz Güte) deniert:
Q=
Der
ω0
τ
=π
2δ
T0
(9)
Gütefaktor ist proportional zum Verhältnis von Abklingzeit
T0 = 2π/ω0
und ist, im Gegensatz zur Dämpfung
δ,
τ
und Periodendauer
einheitenfrei. Das bedeutet anschau-
lich, dass Schwingungen gleicher Güte eine gleiche Anzahl von Perioden schwingen bis ihre
Amplituden auf einen bestimmten Teil der Anfangsamplituden, z.B. 10%, abgefallen ist.
Von diesem Standpunkt aus betrachtet, ist die Güte eine universellere Gröÿe als die Dämpfung. Beispielsweise haben L-C Schwingkreise (gebräuchlich bis in den 100 MHz Bereich)
Güten um 100, Mikrowellenresonatoren (z.B. Mikrowellenherd, 2.45 GHz) über 10000.
1.2 Aufgaben
1. Stellen Sie mit dem Digitaloszilloskop die frei abklingende Schwingung eines Schwingkreises (Schaltung Abb. 3) dar, der periodisch durch einen Stromimpuls angestoÿen
wird. Verwenden Sie die Spule mit
L = (1.00 ± 0.03)
mH und einen von ihrem
Betreuer festgelegten Kondensator unbekannter Kapazität
C1
oder
C2 .
2. Stellen Sie die Schwingung sowohl mit der geringstmöglichen Dämpfung (nur Spulenwiderstand
R = RL )
dar, als auch mit zusätzlicher Dämpfung durch einen externen
vom Betreuer festgelegten Dämpfungswiderstand
RD = 3, ..., 6 Ω (R = RL + RD ).
Messen Sie in beiden Fällen möglichst genau die Periodendauer der Schwingung durch
Mittelung über mehrere Perioden und berechnen Sie die Kreisfrequenz
ω0d .
3. Bestimmen Sie aus etwa 10 aufeinanderfolgenden Schwingungsmaxima
klingenden Schwingung
Dämpfungsfaktor
δ
A(t)
Ai
der ab-
(Einhüllende) für beide Dämpfungswiderstände den
durch lineare Regression, nach geeigneter Umformung (siehe
Gl. 8).
4. Berechnen Sie aus
ω0d und δ die Eigenfrequenz ω0 aus Gl. 6 für die beiden gedämpften
ω0 .
Schwingungen. Vergleichen Sie die beiden Werte von
5. Berechnen Sie aus der gemessenen Schwingungsfrequenz die Schwingkreiskapazität
C.
Prüfen Sie ob die Frequenzverstimmung (der Unterschied zwischen
ω0
und
ω0d )
berücksichtigt werden muss.
6. Berechnen Sie aus den beiden gemessenen Dämpfungswerten
- 4 -
δ(RL ) und δ(RD + RL )
PS2-LW9
1 Freie Schwingungen
jeweils den Widerstand
RL
der Spule und vergleichen Sie die beiden Werte.
7. Bestimmen Sie denjenigen Dämpfungswiderstand
odische Grenzfall (δ
= ω0 )
R = RD + RL ,
bei dem der aperi-
auftritt und vergleichen Sie mit dem berechneten Wert
nach Gl. 2. Als variabler Widerstand dient hier das Potentiometer (100
Ω).
1.3 Versuchsaufbau und Durchführung
Abbildung 3: Schaltung für Messungen am Einzelschwingkreis. SG ist der Funktionsgenerator, CH1 und CH2 sind die beiden Oszilloskopkanäle. Als Einkoppel0
kondensator dient C = 1 nF .
Aufbau der Schaltung
Sollten Sie mit dem Digitaloszilloskop (DSO) nicht vertraut sein, dann beachten Sie undbedingt den folgenden Hinweis:
Hilfe zur Arbeit mit dem Digitaloszilloskop nden Sie auf der eLearning-Seite
zu PS 2 und LW 9: eine Zusatzinformation Messen mit dem Digitaloszilloskop
- Erste Schritte und ein YouTube-Video zur Bedienung des Oszillskopes.
Letzteres ist besonders empfehlenswert!
Bauen Sie die Schaltung möglichst kompakt auf. Vor allem der Schwingkreis selbst sollte sorgfältig gesteckt sein, um die Dämpfung durch Übergangskontaktwiderstände nicht
unreproduzierbar zu gestalten. Verbinden Sie den Triggerausgang des Signalgenerators
(Triggerausgang ist bei manchen Geräten, z.B. beim HM8130, an der Rückseite zu nden)
mit dem Triggereingang des Oszilloskops (Ext. Trig.). Verstellen Sie bei vorhandenem Eingangssignal den Triggerlevel bis das Bild stillsteht (etwa
+1
V, rechts unten am Schirm
numerisch angezeigt). Stellen Sie den Signalgenerator auf Signalform Rechteck mit etwa
U = 10 V
Amplitude und 20 Hz Frequenz ein. Verwenden Sie CH1 des Oszilloskops um die
Frequenz und Amplitude zu kontrollieren. Achten Sie auf
korrekte Polung der Bananen-
stecker der Koaxleitungen zum DSO und Funktionsgenerator. Falls die externe Triggerung,
- 5 -
PS2-LW9
1 Freie Schwingungen
aus welchen Gründen immer, fehlschlägt, alternativ als interne Triggerquelle CH1 wählen
und den Triggerpegel geeignet einstellen (angezeigt als kleiner horizontaler Pfeil rechts am
Schirm). Überprüfen Sie, speziell wenn sich das DSO nach Drücken der Autoset Taste
in einem unbekannten Zustand bendet, Spannungs- und Zeitskala (CH2 ca. 10 mV/div
und Zeitbasis 10 ms/div), da in anderen Frequenzbereichen (MHz) starke Schwingungen
parasitärer (Leitungs-) Induktivitäten und Kapazitäten auftreten, die mitangeregt werden
und dem eigentlichen Messsignal ähnlich sehen.
Abbildung 4: Aufbau für Messungen an einem Schwingkreis (Beispiel). Der Funktionsgenerator ist über ein T-Stück mit CH1 des Oszilloskopes verbunden.
Funktions-Prinzip
Jedesmal wenn die Rechteckspannung von +U auf −U umpolt, wird der Einkoppelkonden0
sator C um 2U umgeladen. Der entsprechende Strompuls, dessen Höhe im wesentlichen
nur durch den Innenwiderstand des Generators begrenzt ist, lädt innerhalb sehr kurzer
0
Zeit impulsartig den Schwingkreiskondensator C mit der Ladung q0 ≈ 2U C und erzeugt
damit den Anfangszustand der frei abklingenden Schwingung.
Digitaloszilloskop TDS2000B
Links unten am Oszilloskopbildschirm sehen Sie nebeneinander die aktuellen Werte für die
Vertikalverstärkungen in V/Skalenteil (V/div). Skalenteile (divisions ) sind die etwa 1 cm
groÿen Kästchen. Ist nur ein oder gar kein Wert zu sehen, mittels der Taste CH1-Menü
oder CH2-Menü den fehlenden Kanal aktivieren.
Das DSO erlaubt eine beliebige Zeitverschiebung relativ zum Triggerzeitpunkt (Pfeil oben
am Bildschirm). Die Zahl am oberen Rand gibt die Zeit in Bildschirmmitte an. Mit der Tas-
- 6 -
PS2-LW9
1 Freie Schwingungen
te Set-to-zero kann der Triggerzeitpunkt wieder zur Bildmitte geschoben werden. Achten
Sie darauf, dass Sie nie weiter als eine 20 Hz Periode vom Triggerzeitpunkt entfernt sind,
da dort das Signal zunehmend unruhig und bei eingeschalteter Mittelwertbildung auch
verfälscht sein kann. Amplitudenwerte einer abklingenden Schwingung bestimmt man am
besten mit dem Cursor (Amplitudencursor im Cursormenü aktivieren und mit Mehrzweckknopf verschieben). Setzen Sie den einen Cursor auf die Nulllinie und den zweiten auf die
zu messende Amplitude; der Unterschied zwischen den beiden Cursorpostionen (entspricht
dann der Amplitude) wird vom Gerät angezeigt.
Bildschirmausdrucke können einfach durch Drücken auf den Printknopf gemacht werden
wenn (1) ein Drucker angeschlossen und (2) eingeschaltet ist und (3) im Speichermenü die
Funktion des Printknopf tatsächlich auf Ausdrucken festgelegt ist. Die Qualtität dieser
Bilder ist allerdings dürftig, daher wird das Ausdrucken nicht empfohlen. Im Speichermenü
kann aber auch alternativ festgelegt werden, dass der Printknopf eine Speichertransaktion
zum USB Flash drive vornimmt. Hier noch einige Grundeinstellungen für das DSO nach
dem Schema Menütaste/ Optionstaste Einstellwert:
CH1 und CH2/Kopplung DC
CH1 und CH2/Bandbreite 20 MHz
Trigger/Quelle Ext (Triggerausgang Signalgenerator mit Triggereingang Oszi verbinden)
Trigger/Typ Flanke
Erfassung/Mittelwert
Erfassung/Mittelwerte 16 (Mittelung aufeinanderfolg. Kurven zur Rauschunterdrückung)
Abbildung 5: Digitaloszilloskop TDS2000B
- 7 -
PS2-LW9
2 Erzwungene Schwingungen
2 Erzwungene Schwingungen
2.1 Grundlagen
Abbildung 6: (a) Spannungsgetriebener und (b,c) stromgetriebene Resonanzkreise mit
echter (Ri
= ∞)
und behelfsmäÿiger (|Zi |
= 1/(ωC 0 ))
Wechselstrom-
quelle. (d,e) Kraft- und geschwindigkeitsgetriebene Federpendelanaloga.
Der mechanische Oszillator kann im Prinzip auf zwei Arten angetrieben werden, je nachdem ob die Energie über die kinetische oder die potentielle Energie eingekoppelt (bzw.
2
eingeprägt) wird: Und zwar per eingeprägter Kraft
F0 cos ωt
an der Pendelmasse (Erhö-
hung der kinetischen Energie beim Durchschwung mit der Leistung
bzw. per eingeprägter Geschwindigkeit
v0 sin ωt
Pkin,max = F0 vmax )
des Pendelaufhängungspunkts (Erhöhung
der potentiellen Energie im Totpunkt der Pendelbewegung, entsprechend einer Leistung
Ppot,max = Fmax v0 ).
2 Hier und im weiteren werden die zeit
unabhängigen Amplitudenwerte wie z.B. U0
klar zu unterscheiden.
- 8 -
UC0 immer mit
U (t) oder UC (t),
oder
dem Index 0 (Null) gekennzeichnet, um Sie von den zeitabhängigen Gröÿen, z.B
PS2-LW9
2 Erzwungene Schwingungen
Ebenso kann auch der elektrische Schwingkreis auf zwei Arten angetrieben werden, und
U0 cos ωt (Erhöhung der magnetischen Energie bzw.
Pmag,max = U0 Imax ) oder durch Einprägen einer Stroms
zwar durch Einprägen einer Spannung
Leistung im Strommaximum
I0 sin ωt
(Erhöhung der elektrostatischen Energie bzw. Leistung im Kondensator im Span-
nungsmaximum
Pelstat,max = Umax I0 ).
Im folgenden werden die Formeln für den grund-
legenden, spannungsgetriebenen Fall, Abb. 6(a), zusammengestellt. Im Experiment wird
dann aus praktischen Gründen
3
der stromgetriebene Fall nach Schaltung Abb. 6(c) ver4
wendet, der aber mit nahezu identischen Gleichungen beschrieben werden kann
(siehe
Abschnitt 2.1.2).
2.1.1 Spannungsgetriebene Schwingungen (Serienresonanz)
Wieder ndet die Kirchhosche Maschenregel Anwendung, diesmal unter Einschluss der
treibenden Spannung
U (t) = U0 cos ωt mit beliebiger Kreisfrequenz ω . Ausserdem wird nun
UC (t) = q(t)/C statt der Konden-
die Dierentialgleichung mit der Kondensatorspannung
satorladung
q(t)
als abhängige Variable angeschrieben:
dUC
d2 UC
+ RC
+ UC = U0 cos ωt
2
dt
dt
(10)
d2 U C
dUC
U0
2
+
2δ
+
ω
U
=
cos ωt
C
0
dt2
dt
LC
(11)
LC
Auf Standardform gebracht:
Die hier interessanten stationären Lösungen nach Beendigung des Einschwingvorgangs
(t
τ)
sind harmonische Schwingungen mit der Frequenz der treibenden Spannung, aber
mit unterschiedlicher frequenzabhängiger Amplitude
UC0 (ω)
und um
ϕ(ω)
phasenverscho-
ben relativ zur antreibenden Spannung:
UC = UC0 (ω) cos [ωt + ϕ(ω)]
Die Amplitude
UC0 (ω)
ist die
(12)
Resonanzkurve, gegeben durch
3 Bei der einfachen Serienresonanz ieÿt der hohe resonante Strom zwangsläug durch den Generator!
4 Es gibt einen wichtigen wechselstromtechnischen Unterschied: Die Serienschaltung hat bei ω die kleinste
0
Impedanz, die Parallelschaltung die gröÿte (siehe Zusatzinfos zu PS2/PL9). Dieser Unterschied ist aber
nur bedeutend wenn in beiden Fällen Spannungen eingeprägt werden. Die Parallelschaltung kann aber
nur bei Einprägung eines Stromes ungehindert schwingen (ungehindert = zeigt Resonanzüberhöhung
von
U
oder
I ).
Allerdings zeigt die Parallelschaltung auch bei Spannungseinprägung unverändert das
obengenannte Resonanzverhalten der Impedanz, was in elektrischen Bandltern ausgenützt wird.
- 9 -
PS2-LW9
2 Erzwungene Schwingungen
ω02
UC0 = U0 p 2
(ω0 − ω 2 )2 + 4δ 2 ω 2
worin
U0
(13)
die Amplitude der antreibenden Spannung (Erregerspannung) ist. Die Form der
Resonanzkurve ist schematisch in Abb. 7 gezeigt (linkes Bild).
Abbildung 7: Resonanzkurven (schematisch) für die Serienresonanz (links) und für die
Parallelresonanz (rechts). Achtung: nicht maÿstäblich, die Werte von
Umax
sind i.A. deutlich verschieden!
p
ω02 − 2δ 2 .5 Die Breite der
Resonanzkurve ist proportional dem Dämpfungskoezienten
δ : Der Abstand der Kreis√
frequenzen, bei denen die Resonanzamplitude auf 1/ 2 ihres Maximalwertes gesunken ist,
beträgt 2 δ .
Den Maximalwert erreicht die Resonanzkurve bei
ωmax =
Eine einfache Umformung der obigen Gleichung und Einführen der Güte
Q
führt zu einer
universellen Gleichung, die für alle (Serien)Resonanzkreise gilt:
1
UC0 = U0 p
(1 − ω 2 /ω02 )2 + (ω 2 /ω02 )(1/Q2 )
Abb. 8 (linke Hälfte) zeigt diese Resonanzkurve für drei verschiedene Werte von
(14)
Q.
5 Diese Resonanzverstimmung ist weder identisch mit der Verstimmung der frei abklingenden Schwingung, noch besonders universell da sie von der Wahl der schwingenden Gröÿen U oder I abhängt, siehe
Parallelresonanz. Für kleine Dämpfungen
δ
sind jedoch Resonanzfrequenz und Schwingungsfrequenz
der freien Schwingung in guter Näherung gleich.
- 10 -
PS2-LW9
2 Erzwungene Schwingungen
Abbildung 8: Serienresonanz: Normierte Amplitude
UC0 /U0
und Phasenverschiebung
ϕ
der erzwungenen Schwingung eines Serienschwingkreises als Funktion von
ω/ω0 .
Die rechte Winkelskala gilt für den Parallelschwingkreis.
Nahe der Resonanzfrequenz ist die Amplitude
UC0 nur durch die Dämpfung begrenzt. Ist Q
sehr hoch, so nimmt der Schwingkreis während des Einschwingvorgangs eine entsprechend
groÿe Energiemenge auf, die zerstörerische Ausmaÿe annehmen kann (Resonanzkatastrophe). Die Breite der Resonanzkurve ist in den auf
2δ/ω0 = 1/Q . Die Phasenverschiebung
ω0
normierten Kurven (Abb. 8) gleich
zwischen Kondensatorspannung und antreiben-
der Spannung
tan ϕ = 2δω/(ω 2 − ω02 )
dreht beim Gang durch die Resonanz von 0 auf
−π .
(15)
Das negative Vorzeichen bedeutet,
dass die Kondensatorspannung der Erregerspannung hinterher hinkt.
2.1.2 Stromgetriebene Schwingungen (Parallelresonanz)
Der Fall der Parallelresonanz (Abb. 6b) liegt etwas komplizierter, da man hier Knotenund Maschenregel kombinieren muss. Will man weiterhin eine Spannungs quelle verwenden,
0
muss man nun einen Einkoppelkondensators C dazwischenschalten (Abb. 6c), dessen Impedanz im interessanten Frequenzbereich wesentlich gröÿer als die Schwingkreisimpedanz
0
ist, und der daher gemäÿ I ≈ C dU/dt den Strom festlegt, der in den Schwingkreis ieÿt.
Zur Berechnung der Gesamtschaltung bedient man sich am einfachsten der in der Wech6
selstromtechnik üblichen komplexen Methode . Da sich der Schwingungsprozess selbst
physikalisch nicht von der Serienresonanz unterscheidet (auch hier bilden L, R und C denselben geschlossenen Kreis, Innenwiderstand der Spannungsquelle
6 Ableitung der Resonanzkurve in der Grundlagenvertiefung PS2/LW9
- 11 -
Ri ≈ 0
vorrausgesetzt),
PS2-LW9
2 Erzwungene Schwingungen
ist es nicht überraschend, dass man als Endresultat im wesentlichen dieselbe Resonanz2
0
kurve erhält, wobei aber die treibende Spannung U durch −U ω LC ersetzt werden muss.
Die zu erwartende Resonanzkurve nach Schaltung Abb. 6c lautet dann:
UC0 = U0
C0
ω2
C0
ω 2 /ω 20
p
p
=
U
0
C (ω02 − ω 2 )2 + 4δ 2 ω 2
C (1 − ω 2 /ω02 )2 + (ω 2 /ω02 )(1/Q2 )
(16)
2
Im Gegensatz zur Serienresonanz ist die Resonanzkurve nun mit ω gewichtet. Das Map
2
2
ximum liegt daher bei
ω0 + 2δ (Abb.7, rechtes Bild). Die Phasenverschiebung ϕ dreht
von +π auf 0 statt von 0 auf −π (siehe Abb. 8, rechte Winkelskala).
2.2 Aufgaben
1. Messen Sie punktweise die Resonanzkurve
UC0 (ω)
des Parallel-Schwingkreises bei
Frequenzen rund um das Maximum, mit und ohne externen Dämpfungswiderstand.
2. Messen Sie im Schwingkreis OHNE externen Dämpfungswiderstand die Phasen-
ϕ(ω) zwischen Kondensatorspannung UC und Erregerspannung U
ωmax , 0, 8 · ωmax und 1, 2 · ωmax . Prüfen Sie, ob die Phase so gedreht wird, wie in
verschiebung
bei
der
Einführung (Parallelresonanz!) beschrieben.
3. Bestimmen Sie aus der Lage der Maxima und aus den
√
1/ 2-Breiten
der Resonanz-
kurven wiederum Eigenfrequenz, Dämpfung und Gütefaktor und vergleichen Sie die
Werte mit den Ergebnissen der freien Schwingung.
2.3 Versuchsaufbau und Durchführung
Zur Messung der Resonanzkurve verwenden Sie wieder die Schaltung in Abb. 3). Schalten
Sie den Frequenzgenerator auf Sinusspannung mit einer Amplitude von ca. 10 V und deaktivieren Sie die Mittelungsfunktion des Oszilloskops, um den schnellen Signaländerungen
in der Nähe der Resonanz besser folgen zu können (ERFASSUNG/Normale Abtastung,
engl. AQUIRE).
Sie beginnen die Messung am besten bei der Frequenz des Maximums
ωmax
und arbeiten
sich in beide Richtungen vor. Die notwendige Dichte der Datenpunkte können Sie aus
Abb. 8 abschätzen: im Bereich des Maximums ist die Kurve steil, daher müssen die Punkte dichter liegen, abseits vom Maximum genügen wenige Punkte. Der Frequenz-Bereich
braucht nicht weiter zu sein als
ωmax /2
bis
2 · ωmax ;
beurteilen Sie mit Hilfe der Abb. 7
selbst, wie weit Sie messen müssen, um die Resonanzkurve darstellen zu können
Achtung: der Frequenzgenerator zeigt Frequenzen, nicht Kreisfrequenzen an!.
- 12 -
PS2-LW9
2 Erzwungene Schwingungen
Für die Auswertung der Resonanzkurve tragen Sie die gemessenen Spannungsamplituden
UC0
über der Kreisfrequenz (wie in Abb. 7) auf. Bestimmen Sie so genau wie möglich die
ωmax und die Höhe Umax des Maximums, sowie die Breite der Resonanzkurve
√
Umax / 2. Dazu ist vielleicht nützlich, die Messpunkte vom Auswerteprogramm durch
Frequenz
bei
Linien verbinden zu lassen (ausnahmsweise).
Tipp: die Spannungsamplituden können sehr bequem und schnell mittels des Messung
(Measure)-Menüs gemessen werden! Dazu Taste MESSUNG (bzw. MAESURE) drücken
und im Menü Spitze-Spitze-Spannung (USS ) wählen.
Zum Vorzeichen der Phasenverschiebung: Liegt der Nulldurchgang der Kondensatorspannung zeitlich vor dem der Eingangsspannung, so ist die Phasenverschiebung positiv
(die Spannung läuft vor).
Die Messung der Phasenverschiebung erfolgt am besten mit der Cursor-Einrichtung des
Oszilloskops. Zunächst bestimmen Sie die zeitliche Verschiebung
Kurven und aus
∆t
folgt die entsprechende Phasenverschiebung
∆t zwischen den beiden
ϕ (= Winkelunterschied
zwischen den beiden Spannungen).
Eine kurze Anleitung für das Arbeiten mit der CURSOR-Einrichtung nden
Sie in Messen mit dem Digitaloszilloskop - Erste Schritte auf der eLearningSeite.
- 13 -
PS2-LW9
3 Gekoppelte Schwingkreise
3 Gekoppelte Schwingkreise
3.1 Grundlagen
3.1.1 Freie Schwingungen der gekoppelten Kreise
Abbildung 9: Spannungs- und Stromkopplung mit Kopplungsspannung
IK
und der Kopplungsimpedanz
ZK
UK
bzw. -strom
(Induktivität, Kapazität, Ohmscher
Widerstand).
Die Kopplung zweier elektrischer Schwingkreise ähnelt formal der erzwungenen Schwingung des Einzelkreises. Demnach sind in direkter Analogie zu den extern erzwungenen
Schwingungen wiederum zwei Kopplungsmöglichkeiten gegeben (Abb. 9), die Spannungsund die Stromkopplung. Einem Kreis wird etwas Spannung oder Strom abgezapft und
der jeweils andere damit angetrieben.
Als Beispiel dient hier der kapazitiv spannungsgekoppelte Fall (Abb. 10). Die beiden
Dierentialgleichungen für die zwei Einzelkreise erhält man wie im Fall der erzwungenen Schwingungen des Einzelkreises durch Einbeziehung einer zusätzlichen Spannung in
die Schwingkreismasche, hier nun die Kopplungsspannung
UK .
Den Wert dieser Kopp-
I1 + I2 = IK bzw.
dq1 /dt + dq2 /dt = dqK /dt, die, wie man nach Integration sieht, nichts anderes als die Ladungserhaltung q1 + q2 = qK ist. Daraus folgt dann der gesuchte Wert UK = qK /CK =
(q1 + q2 )/CK und die gekoppelten Dierentialgleichungen der gekoppelten Schwingkreise:
lungsspannung erhält man aus der Knotenregel am Kopplungspunkt
q1 + q2
d2 q1 q1
+
=
2
dt
C
CK
2
d q2 q2
q1 + q2
L 2 +
=
dt
C
CK
L
Nun besitzen
(17)
n gekoppelte Schwingkreise i.A. n Eigenschwingungen. Jede dieser Eigen-
schwingungen ist durch folgende Eigenschaften ausgezeichnet:
- 14 -
PS2-LW9
3 Gekoppelte Schwingkreise
•
Alle Oszillatoren schwingen mit der
•
Alle Oszillatoren schwingen mit
gleichen Frequenz.
zeitunabhängiger Amplitude.
Abbildung 10: Oben: Die breiten (blauen) Pfeile zeigen den tatsächlichen Stromuss
in kapazitiv spannungsgekoppelten identischen Resonanzkreisen für die
(links) gleichsinnige und (rechts) gegensinnige Eigenschwingungsmode.
Die schmalen Pfeile legen die Strom- und Spannungrichtungen für die
Formeln fest. Unten: Pendelanalogon mit Federkopplung.
Diese Zeitunabhängigkeit korrespondiert mit der Möglichkeit die Dierentialgleichungen
durch eine Transformation der beiden abhängigen Variablen
q1
und
q2
voneinander unab-
hängig zu machen. Im vorliegenden einfachen Fall sind die neuen schwingenden Gröÿen
der gleich- bzw. gegensinnigen Eigenschwingungen die Dierenz- und die Summenladung:
qgleich = q1 − q2
und
qgegen = q1 + q2
(Abb. 10). Die unabhängigen Dierentialgleichungen
7
erhält man einfach durch Addieren bzw. Subtrahieren obiger Dierentialgleichungen :
d2 qgegen
dt2
1
d2 qgleich
+
qgleich = 0
2
dt
LC
1
2
+(
+
)qgegen = 0
LC LCK
(18)
und kann aus den Koezienten unmittelbar die beiden Eigenfrequenzen ablesen:
1
LC
1
2
=
+
LC LCK
2
=
ωgleich
2
ωgegen
(19)
7 I.A. bestimmt man die Eigenschwingungen durch Lösen eines korrespondierenden Matrixeigenwertproblems dessen Eigenwerte die Eigenfrequenzen sind.
- 15 -
PS2-LW9
3 Gekoppelte Schwingkreise
Wie alle Eigenschwingungen ist sowohl die gleich- als auch die gegensinnige Eigenschwin-
U10 /U20 (hier immer gleich 1)
und eine feste Dierenz der Oszillatorphasenkonstanten ϕ1 − ϕ2 gekennzeichnet. Das können die Amplituden und Phasenkonstanten der beiden Kondensatorspannungen UC1 =
q1 /C und UC2 = q2 /C oder genausogut auch der Spannungen an den Spulen UL1 und UL2
gung durch ein festes Verhältnis der Oszillatoramplituden
wie im vorliegenden Experiment sein.
Bei der
gleichsinnigen Eigenschwingung kompensieren sich die Schwingkreisströme im
Kopplungszweig gerade und der Kopplungskondensator ist strom- und spannungslos. Die
ωgleich ist dann gleich der des Einzelkreises ω0 da nun CK formal kurzge(UK = 0). Das entspricht der spannungslosen Feder im Pendelanalogon. Die
Eigenfrequenz
schlossen ist
Schwingkreisspannungen und damit auch die Anfangsbedingungen sind wegen der Konvention Spannungspfeile von oben nach unten zu zeichnen (da man so auch meistens misst)
gegen phasig
ϕ1 − ϕ2 = π :
U1 (0) = U0 U1 = U0 cos ωgleich t
U2 (0) = −U0 U2 = −U0 cos ωgleich t
Bei der
(20)
gegensinnigen Schwingung addieren sich die Ströme im Kopplungszweig. Der
Kopplungskondensator wird von beiden Seiten symmetrisch aufgeladen und verstärkt dadurch die rückstellende Kraft (elektrische Spannung) der Schwingkreiskapazität jedes einzelnen Schwingkreises. Das entspricht der doppelt gespannten Feder im Pendelanalogon.
Die Schwingkreisspannungen und Anfangsbedingungen sind nun gleichphasig
U1 (0) = U0 U1 = U0 cos ωgegen t
U2 (0) = U0 U2 = U0 cos ωgegen t
Da die Dierentialgleichungen linear sind, gilt das
ϕ1 − ϕ2 = 0:
(21)
Superpositionsprinzip: jede Summe
der, im vorliegenden Fall, beiden Eigenschwingungen ist ebenfalls eine Lösung des Systems.
Eine spezielle Überlagerung erhält man, wenn beide Eigenschwingungen gleichzeitig mit
gleicher Stärke angestossen werden: die vollständige
Schwebung. Das Superpositionsprin-
zip auf die Anfangsbedingungen angewendet
U1 (0) = U0 + U0 = 2U0
U2 (0) = U0 − U0 = 0
(22)
zeigt, dass man einfach nur einen Schwingkreis anstossen muss (ohne den anderen mitanzustossen) um beide Eigenschwingungen simultan und gleich stark anzuregen! Da die
erhaltene Summenschwingung
U1 = U0 cos ωgegen t + U0 cos ωgleich t = 2U0 cos ωs t cos ωm t
U2 = U0 cos ωgegen t − U0 cos ωgleich t = −2U0 sin ωs t sin ωm t
- 16 -
(23)
PS2-LW9
3 Gekoppelte Schwingkreise
ωm = (ωgegen + ωgleich )/2 keine Eigenschwingung mehr ist,
U10 = 2U0 cos ωs t und U20 = −2U0 sin ωs t mit der Schwebungskreisfrequenz ωs = (ωgegen − ωgleich )/2 nicht mehr zeitlich konstant. Der Abstand aufeinanderfolgender Schwebungsknoten, die Schwebungsdauer TS , ist durch den Abstand der
Nullstellen von cos ωs t gegeben, also
mit der Mittenkreisfrequenz
sind auch die Amplituden
TS =
1 2π
π
= .
2 ωs
ωs
(24)
Abbildung 11: Vollständige Schwebung und ihre Eigenschwingungskomponenten.
Schon aus Gründen der Energieerhaltung ist es oensichtlich, dass die Schwebungen der
beiden Einzelkreise gerade um
TS /2
phasenverschoben sein müssen, die Energie also zwi-
schen beiden Kreisen periodisch hin- und herbewegt wird.
Die Eigenfrequenzen liegen umso weiter auseinander, je stärker die Kopplung ist, d.h. je
kleiner
CK
ist. Deshalb werden die Eigenfrequenzen bzw.
einheitenfreien
Kopplungsgrades
K
ωs
und
ωm
zur Denition eines
verwendet, der wie folgt deniert ist (vgl. auch Text
S/W - gekoppelte Pendel, Vorpraktikum für das Lehramt bzw. PS 1 im Praktikum II):
K=
2
2
ωgegen
− ωgleich
C
2ωs ωm
= 2
=
.
2
2
2
ωgegen + ωgleich
ωs + ωm
CK + C
- 17 -
(25)
PS2-LW9
3 Gekoppelte Schwingkreise
3.1.2 Erzwungene Schwingungen der gekoppelten Kreise
Auch die gekoppelten Kreise können zu erzwungenen Schwingungen angeregt werden. Diese
werden des Zusammenhangs wegen - der Vollständigkeit halber - an dieser Stelle nur kurz
behandelt.
Bei einseitiger Anregung regt man wiederum beide Eigenschwingungen gleich stark an.
Man erhält also eine Doppelresonanzkurve, die eine Superposition zweier Eigenschwingungsresonanzkurven ist. Die eine Resonanz tritt bei
ωgleich
auf, die andere bei
ωgegen .
3.2 Aufgaben
1. Erweitern Sie die Schaltung um einen weiteren identischen Schwingkreis und koppeln
Sie beide variabel kapazitiv mittels der Kapazitätsdekade
CK
(Abb. 12).
2. Stellen Sie die frei abklingenden Schwebungssignale beider Kreise simultan am Oszilloskopschirm dar. Schalten Sie die Mittelwertbildung im Erfassungs-(Aquire)Menü
ωm und ωs
CK = 1...10 µF .
wieder ein, um rauschärmere Bilder zu bekommen. Messen Sie
Betreuer vorgegebene Kopplungskondensatorwerte
3. Bestimmen Sie aus
ωm
und
ωs
die dazugehörigen Kopplungsgrade
K
für 2 vom
und vergleichen
Sie sie mit den aus den Kondensatorwerten berechneten. Berechnen Sie weiters aus
ωm
und
ωs
jeweils die beiden Eigenfrequenzen
ωgleich
und
ωgegen .
4. Messen Sie nun die beiden Eigenfrequenzen direkt durch Anregung erzwungener
Schwingungen. Schalten Sie dazu wieder auf Signalform Sinus und normale Abtastung um. Bestimmen Sie die exakte Lage der beiden Eigenfrequenzen durch Maximieren der Resonanzamplitude jeweils für die 2 vorgegebenen Kopplungsstärken
des Vorexperiments. Hinweis: nur die Frequenzen der beiden Maxima sind zu bestimmen, nicht die gesamte Resonanzkurve!
5. Vergleichen Sie die gemessenen Eigenfrequenzen
ωgleich
und
ωgegen
mit den berechne-
ten Eigenfrequenzen.
6. Berechnen Sie nun auch die Kopplungsgrade
Eigenfrequenzen
ωgleich
und
ωgegen
K
nach Gl. 25 aus den gemessenen
und vergleichen Sie auch diese mit den vorher
bestimmten Werten.
- 18 -
PS2-LW9
4 Literaturangaben
3.3 Versuchsaufbau und Durchführung
Abbildung 12: Schaltung für Messungen an kapazitiv spannungsgekoppelte abgestimmten (identischen) Resonanzkreisen.
4 Literaturangaben
•
•
Bergmann Schäfer Band 2 Elektromagnetismus, de Gruyter, Berlin, 1999
Purcell,
Berkeley Physik Kurs 2, Elektrizität und Magnetismus, Vieweg, Braun-
schweig, 1983
•
(zu Sprung- und Impulsantwort) Herter Röcker,
Verlag, Wien, 1976
- 19 -
Nachrichtentechnik, Carl Hanser