7.2 Grundlagen der Wahrscheinlichkeitsrechnung

7.2
Grundlagen der Wahrscheinlichkeitsrechnung
Ein Ereignis heißt in Bezug auf einen Satz von Bedingungen zufällig, wenn es bei der Realisierung dieses Satzes eintreten kann, aber nicht unbedingt eintreten muss.
Def. 7.2.1: Ein Experiment heißt ein Zufallsexperiment, falls folgende Bedingungen erfüllt
sind:
a) Es kann nicht mit Sicherheit gesagt werden, welches Ergebnis sich einstellen wird.
b) Das Experiment soll (wenigstens theoretisch) beliebig oft unter den gleichen Bedingungen
wiederholt werden können.
c) Sämtliche überhaupt möglichen Ergebnisse sollen vor der Durchführung des Experiments
angegeben werden können.
Beispiel von Zufallsexperimenten:
A) Werfen einer Münze;
mögliche Ergebnisse:
W := Wappen,
Z:= Zahl
B) Werfen eines Würfels;
mögliche Ergebnisse: 1,2,3,4,5,6
C) Zählung der in einer Sekunde emittierten α–Teilchen bei einer radioaktiven Substanz;
mögliche Ergebnisse: 0,1,2,3,4,5,6,. . .
D) Schiessen auf eine Zielscheibe;
mögliche Ergebnisse: Alle Punkte der Zielscheibenebene, also alle Punkte im IR2 .
E) Beobachten der Abfertigungszeit eines Schiffes:
Zufallsexperiment als theoretischen Modell. Mögliche Ergebnisse:
Zeiten ab 0 Stunden, also alle Punkte im Intervall [0, ∞[ (= [0, ∞)).
Def. 7.2.2: Die Menge aller überhaupt möglichen Ergebnisse eines Zufallsexperiments heißt die
Ergebnismenge Ω.
Beispiele von
zu Beispiel A)
zu Beispiel B)
zu Beispiel C)
zu Beispiel D)
zu Beispiel E)
Ergebnismengen:
Ω = {Z, W }
Ω = {1, 2, . . . , 6}
Ω = {0} ∪ IN
Ω = IR2
Ω = [0, ∞[
Def. 7.2.3: Ein Ereignis ist eine Teilmenge der Ergebnismenge.
Bem.: Bei überabzählbaren Ergebnismengen bezeichnet man nur Teilmengen aus einer gewissen
Klasse als Ereignisse.
Beispiele von zufällige Ereignissen:
zu Beispiel A): ”Es fällt W ”
zu Beispiel B): ”Es fällt 3”
zu Beispiel C): ”Die Anzahl der in einer Sekunde emittierten α-Teilchen ist = 10.”
59
zu Beispiel C):
”Die Anzahl der in einer Sekunde emittierten α-Teilchen ist ≥ 10.”
zu Beispiel B): ”Es fällt eine gerade Zahl”
d.h. ”Ergebnis ω ∈ {2, 4, 6}”
zu Beispiel D): ”Trefferabstand
vom Mittelpunkt
n
o ≤ 1[cm]
p
2
2
2
d.h. ”Ergebnis ω ∈ (x, y) ∈ IR | x + y ≤ 1
'$
1 cm
&%
Def. 7.2.4: Jedes Ereignis {ω} mit ω ∈ Ω heißt Elementarereignis. ∅ ist das unmögliche
Ereignis (z.B. ”Es fältt eine 7” beim Würfel), Ω das sichere Ereignis (z.B. ”Es fällt W oder Z”
bei der Münze) .
Beispiel von Elementarereignissen:
zu Beispiel B) {5} : ”Es fällt eine 5”
zu Beispiel D): {(0, 1)} : ”Treffer im Punkt (0, 1) ”
Bei einer häufigen Wiederholung des Zufallsexperiments A) beobachtet man, dass W und Z
etwa gleich oft erscheinen, falls eine ideale Münze geworfen wird .
Bei einer häufigen Wiederholung des Zufallsexperiments B), dass die Augenzahlen 1, 2, . . . , 6
etwa gleich oft erscheinen, falls ein idealer Würfel geworfen wird.
Beispiele für die Wahrscheinlichkeit (probability) eines Ereignisses A (Abkürzung P (A))
zu Beispiel A) (ideale Münze):
P ({W }) =
1
2
,
P ({Z}) =
1
2
zu Beispiel B) (idealer Würfel):
P ({1}) = P ({2}) = · · · = P ({6}) =
1
6
Das Resultat bei B) können wir auch so ausdrücken:
P ({1}) = P ({2}) = · · · = P ({6}) =
Anzahl der Elemente von {6}
.
Anzahl der Elemente von Ω (= {1, 2, . . . , 6})
Das lässt sich auch auf die Wahrscheinlichkeit weiterer Ereignisse übertragen:
Die Wahrscheinlichkeit dafür, dass eine gerade Zahl fällt,
= P ({2, 4, 6}) =
Anzahl der Elemente von {2, 4, 6}
Anzahl der Elemente von Ω = {1, . . . , 6}
=
3
1
=
6
2
Def. 7.2.5 (Klassische Definition der Wahrscheinlichkeit): Eine Ergebnismenge Ω erfülle folgende zwei Bedingungen:
a) Ω ist eine endliche Menge
b) Alle Elementarereignisse sind gleichwahrscheinlich.
60
A sei ein beliebiges Ereignis, d.h. A ⊂ Ω. Dann heißt
P (A) :=
card A
Anzahl der für das Ereignis A günstigen Ergebnisse
=
card Ω
Anzahl der möglichen Ergebnisse
mit card M := Anzahl der Elemente von M
die Wahrscheinlichkeit von A.
Sonderfall:
P ({ω}) =
1
card Ω
Def.7.2.6 (Statistische Definition der Wahrscheinlichkeit): Ω sei eine Ergebnismenge, A ⊂ Ω
ein Ereignis und n die Zahl der Wiederholungen des Zufallsexperiments
a) Die absolute bzw. relative Häufigkeit von A bei n Wiederholungen ist definiert durch:
fn (A)
fn (A) := Anzahl der Wiederholungen, bei denen A eintritt, bzw. hn (A) :=
n
b) P (A) :=′′ lim′′n→∞ hn (A) (vergl. Satz 7.9.3b).
Beispiel 7.2.1 Zufallsexperiment: Werfen eine Reißnagels
Mögliche Ergebnisse:
Ergebnis einer Versuchsreihe:
n
5
10
15
40
fn ({K})
2
6
10
25
hn ({K}) 0.4 0.6 0.667 0.625
; Ω := {K,S }
; S (:= Spitze):
K (:= Kopf):
60
40
0.667
160
100
0.625
180
110
0.611
200
125
0.625
P ({K}) =′′ lim′′n→∞ hn ({K}) ≈ 0.625, analog P ({S}) ≈ 0.375
Def. 7.2.7 (Axiomatische Definition der Wahrscheinlichkeit): Wird jedem Ereignis A ⊂ Ω eine
reelle Zahl P (A) zugeordnet, so heißt P (A) Wahrscheinlichkeit von A, wenn folgende Bedingungen erfüllt sind:
a) P (A) ≥ 0
b) P (Ω) = 1 (sicheres Ereignis)
c) P (A ∪ B) = P (A) + P (B), falls A ∩ B = ∅ ist (A, B disjunkt)
Bem.:
a) Bei unendlichen Ergebnismengen Ω müsste c) durch eine allgemeinere Bedingung ersetzt
werden.
b) Die axiomatische Definition umfasst die klassische und die statistische Definition der Wahrscheinlichkeit
1
m = 0.159m)
Bsp. 7.2.2: Auf einem Rad mit fester Achse vom Umfang 1 m (d.h. Radius =
2π
wird eine Maßskala für die Bogenlängen angebracht:
61
@
@
0.25
0.5
u
0
1I
0.75
feste Marke
@
@
Das Zufallsexperiment besteht nun darin, das Rad mit hoher Drehzahl zu drehen und plötzlich
zu stoppen. Die Bogenlängen auf der Maßskala, die dann bei der festen Marke stehenbleibt,
wird als Ergebnis des Zufallexperiments registriert. Die Ergebnismenge besteht also aus allen
möglichen Werten auf der Maßskala, d.h. es ist zunächst Ω = [0, 1[. Alle Ergebnisse sind ”gleichberechtigt” oder anders ausgedrückt - kein Ergebnis ist vor dem anderen bevorzugt. Um nun
bei den folgenden Überlegungen zusätzliche formale Schwierigkeiten zu vermeiden, ändern wir
die Ergebnismenge geringfügig ab:
Ω = [0, 1].
Aufgrund der ”Gleichberechtigung” der Ergebnisse erhalten wir für die Wahrscheinlichkeit von
Teilintervallen [a, b] ⊂ [0, 1]:
0
a
P ([a, b]) =
1
b
Länge von [a, b]
b−a
=
Länge von [0, 1]
1
Für die Wahrscheinlichkeit von Vereinigungen von Teilintervallen [a, b], [c, d] ⊂ [0, 1] erhalten
wir folgende Regeln, wobei wir zwei Fälle unterscheiden müssen:
0
a
c
b
d
Fall 1: [a, b] ∩ [c, d] = ∅
1
P ([a, b] ∪ [c, d]) = Anteil von [a, b] ∪ [c, d] an der Gesamtlänge
= b − a + d − c = P ([a, b]) + P ([c, d]) (vergl. Def. 7.2.7c)
a
0
b
c
d
1
Fall 2: [a, b] ∩ [c, d] 6= ∅
Gilt entsprechend der Skizze speziell 0 ≤ a ≤ b ≤ c ≤ d ≤ 1, so erhält man:
[a, b] ∪ [c, d] = [a, d],
[a, b] ∩ [c, d] = [c, b]
und damit
P ([a, b] ∪ [c, d]) − P ([a, b]) − P ([c, d]) = (d − a) − (b − a) − (d − c) = c − b = −(b − c) = −P ([c, b])
{z
}
|
=[a,d]
= −P ([a, b] ∩ [c, d]) ⇒ P ([a, b] ∪ [c, d]) = P ([a, b]) + P ([c, d]) − P ([a, b] ∩ [c, d]) (vergl. Satz 7.2.2)
Spezialfälle (vergl. die nachstehende Def. 7.2.8):
P ({ω}) = P ([ω, ω]) = ω − ω = 0, d.h. {ω} ist fast unmöglich für jedes ω ∈ Ω.
]0, 1[ ist fast sicher; denn P (]0, 1[) = P (Ω) − P ({0}) − P ({1}) = 1
62
Satz 7.2.1: Folgerungen aus den Bedingungen a) b) und c) von Def. 7.2.7:
i) P (A1 ∪ A2 ∪ . . . ∪ Ak ) = P (A1 ) + P (A2 ) + . . . + P (Ak ), falls Ai ∩ Aj = ∅ f. a. i 6= j
ii) A ⊂ B ⇒ P (B − A) = P (B) − P (A)
iii) A ⊂ B ⇒ P (A) ≤ P (B)
iv) 0 ≤ P (A) ≤ 1
v) P (A) = 1 − P (A)
vi) P (∅) = 0, (unmögliches Ereignis)
Beweis:
i) folgt direkt aus Bedingung c), was durch vollst. Induktion zu beweisen ist
ii) und iii) Es sei A ⊂ B.
Rand von B
B−A
A
Dann kann man B auf folgende Art als Vereinigung zweier disjunkter Mengen darstellen:
B = A ∪ (B − A) ∧ A ∩ (B − A) = ∅ ⇒ (nach Bed. c))
P (B) = P (A) + P (B − A) ≥ P (A) ⇒ P (B − A) = P (B) − P (A)
| {z }
≥0 nach Bed. a)
iv) A ⊂ Ω ⇒ 0
Bed. a)
iii)
≤
P (A) ≤ P (Ω)
Bed. b)
ii)
v) P (A) = P (Ω − A) = P (Ω) − P (A)
=
1
Bed. b)
=
1 − P (A)
v)
vi) ∅ = Ω ⇒ P (∅) = 1 − P (Ω) = 0
Def. 7.2.8: Ein Ereignis A ⊂ Ω heißt
a) fast unmöglich (Abk.: f. u.), wenn P (A) = 0 ist,
b) fast sicher (Abk.: f. s.), wenn P (A) = 1 ist.
Beispiel 7.2.3:
Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit dafür, bei 2 Würfen mit einem idealen Würfel mindestens
eine ”6” zu bekommen? Für die Beschreibung der Ergebnismenge Ω verwenden wir ein Urnenmodell: Dem Würfel entspricht eine Urne mit 6 Kugeln:
1
2
3
4
5
6
Den Würfen entsprechen Ziehungen m. Z.
Die Zusammenstellung erfolgt ”m.B.d.A. ” damit Elementarereignisse bei m.Z. gleichwahrschein63
lich sind (vergl. Satz 7.2.3).
Ω besteht also aus allen Kombinationen m.Z.m.B.d.A. der Ordnung 2 aus 6 Elementen.
card Ω = K2 (6)m.Z.m.B.d.A. = 62
Ereignis A: Bei mindestens einem der Würfe fällt ein ”6”.
Methode 1: Berechnung von P (A) über Ā:
Ā: Bei beiden Würfen fällt keine 6,
d.h. bei beiden Würfen fällt eine der Zahlen 1, . . . , 5 .
Analog wie bei der Konstruktion von Ω gilt:
Ā besteht also aus allen Kombination m.Z.m.B.d.A. der Ordnung 2 aus 5 Elementen:
cardĀ = K2 (5)m.Z.m.B.d.A. = 52
Nach Satz 7.2.3 sind alle Elementareeignisse gleichwahrscheinlich, und daher ist die klassische
Definition anwendbar:
52
cardĀ
= 2
P (Ā) =
cardΩ
6
Nach Satz 7.2.1 v) erhalten wir also
P (A) = 1 − P (Ā) = 1 −
52
= 0.306
62
Satz 7.2.2: Für zwei Ereignisse A, B ⊂ Ω, die nicht disjunkt zu sein brauchen, gilt:
P (A ∪ B) = P (A) + P (B) − P (A ∩ B).
Beispiel 7.2.3, Methode 2:
A = A1 ∪ A2
mit
A1 :
Beim 1. Wurf fällt eine ”6”
A2 :
Beim 2. Wurf fällt eine ”6”
cardA1 = 1 · 6
und cardA2 = 6 · 1 =⇒ P (A1 ) = P (A2 ) =
1
6
A1 ∩ A2 : Bei beiden Würfen fällt eine 6, d.h.
A1 ∩ A2 = {(6, 6)} =⇒ card (A1 ∩ A2 ) = 1 =⇒ P (A1 ∩ A2 ) =
1
36
Nach Satz 7.2.2 erhalten wir also
P (A) = P (A1 ∪ A2 ) = P (A1 ) + P (A2 ) − P (A1 ∩ A2 ) =
1 1
1
+ −
= 0.306
6 6 36
Satz 7.2.3: k Kugeln werden zufällig aus einer Urne gezogen und in einer Stichprobe gesammelt.
”Zufällig” bedeutet dabei: Bei jeder der k Ziehungen hat jede Kugel, die sich (noch) in der Urne
befindet, die gleiche Chance, gezogen zu werden. Dann gilt . . .
a) im Falle der Kombinationen m. Z. m. B. d. A., o. Z. m. B. d. A. und o. Z. o. B. d. A.: Jede
1
Kombination hat die Wahrsch. =
Kk (n)
64
b) im Falle der Kombinationen m. Z. o. B. d. A.: Die Kombinationen haben i.a. verschiedene
1
Wahrscheinlichkeiten, insbesondere ist i.a. die Wahrsch. 6=
Kk (n)
Bem.: Damit man den Kombinationen überhaupt Wahrscheinlichkeiten im Sinne von Def. 7.2.7
zuordnen kann, muss man sie als Elementarereignisse oder allgemeinere Ereignisse in einer geeigneten Ergebnismengen auffassen. Dasselbe gilt auch für die Wahrscheinlichkeiten in der folgenden
Erläuterung zu Satz 7.2.3, wobei einige Wahrscheinlichkeiten außerdem günstiger als bedingte
Wahrscheinlichkeiten (vergl. 7.3) aufzufassen sind.
Erläuterung zu Satz 7.2.3: Urne mit n Kugeln, Stichprobenbrett mit k Fächern bei ”m. B.
d. A”
i) Bei der Vorschrift ”m. Z. m. B. d. A.” ist die Wahrscheinlichkeit bei
1
dem 1. Fach für jede Kugel :
n
1
dem 2. Fach für jede Kugel :
n
..
.
1
dem k–ten Fach für jede Kugel :
n
Jede Kombination m. Z. m. B. d. A. hat damit die Wahrscheinlichkeit
k
1
1
=
n
Kk (n)
ii) Bei der Vorschrift ”o. Z. m. B. d. A” ist die Wahrscheinlichkeit bei
1
dem 1. Fach für jede Kugel :
n
1
dem 2. Fach für jede (restliche) Kugel :
n−1
..
.
1
dem k–ten Fach für jede (restliche) Kugel :
n−k+1
Jede Kombination o. Z. m. B. d. A. hat damit die Wahrscheinlichkeit
1
Kk (n)
1
=
n (n − 1) . . . (n − k + 1)
iii) Je k! verschiedene Kombinationen o. Z. m. B. d. A. entsprechen einer Kombination o. Z.
o. B. d. A. Damit hat jede Kombination o. Z. o. B. d. A. die Wahrscheinlichkeit
1
k!
=
n(n − 1) . . . (n − k + 1)
Kk (n)
iv) Im Gegensatz zu iii) ist die Anzahl der verschiedenen Kombinationen m. Z. m. B. d. A.,
die einer Kombination m. Z. o. B. d. A. entsprechen, abhängig von dem Ziehungsergebnis.
Ein Beispiel dazu: 2 Würfe mit einer idealen Münze:
Kombination m. Z. o. B. d. A.
Kombination m. Z. m. B. d. A.
zweimal ”W”
=
ˆ
”W” beim 1. Wurf und ”W” beim 2. Wurf
zweimal ”Z”
=
ˆ
”Z” beim 1. Wurf und ”Z” beim 2. Wurf
einmal ”W”, einmal ”Z”
=
ˆ
”W” beim 1. Wurf und ”Z” beim 2. Wurf
oder ”Z” beim 1. Wurf und ”W” beim 2. Wurf
65
1
Da nun diese Kombination m. Z. m. B. d. A. nach i) alle die Wahrscheinlichkeit haben,
4
2
1
hat das Ereignis ”einmal ’W’, einmal ’Z’ ” die Wahrscheinlichkeit
=
und nicht die
4
2
1
Wahrscheilichkeit
3
Bem.: Bei Wahrscheinlichkeitsuntersuchungen gilt:
1 Wurf mit 2 Münzen =
ˆ 2 Würfen mit 1 Münze
Dasselbe gilt auch für mehrere Münzen oder für zwei oder mehr Würfel. Dieser Sachverhalt
beruht darauf, dass man Münzen, Würfel oder dergleichen unterscheiden kann z.B. durch verschiedene Farben. Werden etwa ein blauer und ein roter Würfel gleichzeitig geworfen, so kann
man das Wurfergebnis beim blauen Würfel als Wurfergebnis des 1. Wurfes bei einem Würfel
auffassen und das des roten als Wurfergebnis des 2. Wurfes.
66