Geometrische Grundkonstruktio- nen und -begriffe 2
Werbung
DOWNLOAD Bernhard Bäcker Geometrische Grundkonstruktionen und -begriffe 2 Kompetenzorientierte Aufgaben zum Anforderungsbereich „Zusammenhänge herstellen“ Downloadauszug aus dem Originaltitel: Einleitung Mathematikunterricht vorzubereiten hat sich innerhalb der letzten Jahre stark verändert: Aufgabenstellungen müssen kompetenzorientiert sein, den Bildungsstandards Rechnung tragen. Gleichzeitig ist es weiterhin notwendig, zu differenzieren, den sehr unterschiedlichen Leistungs- und Niveauständen der Schüler gerecht zu werden und diese vorab zu ermitteln. Ein weiterer wichtiger Aspekt – der nicht neu ist: Die Schüler sollen lernen, selbstständig zu arbeiten und bei Schwierigkeiten nicht gleich aufzugeben, sondern sich Hilfen zu organisieren. Dieses Material soll Sie darin unterstützen, diesem Anforderungspaket gerecht zu werden. Orientierung an den Bildungsstandards/Kompetenzorientierung Alle Aufgaben sind klassifiziert nach den in den Bildungsstandards vorgegebenen enen Anforderungsbereien. Alle chen: Reproduzieren, Zusammenhänge herstellen, Verallgemeinern/Reflektieren. Allerdings muss man chneidunge geben kann. beachten, dass es zwischen den Anforderungsbereichen immer auch Überschneidungen hematischen Kompet Eine Übersicht darüber, welche Aufgabe welche allgemeinen mathematischen Kompetenzen (s. S. 3f.) n beinhaltet die gleiche Schwierigkeit fördert, finden Sie auf den Seiten 9f. Diese Zuordnung der Aufgabe Aufgaben en: N wie die Zuordnung zu den Anforderungsbereichen: Nichtt immer ist sie einde eindeutig möglich. ung v gaben na Insgesamt aber haben Sie eine Aufgabensammlung vorr sich liegen liegen, mit der Sie gezielt Aufgaben nach swählen könn en. Anforderungsbereich und Kompetenzen auswählen können. Ermittlung der Leistungsstände ngsstände und Differenzierung Di ng Die Ermittlung der Leistungsstände tungsstände ist ü über d die Auswertungsbögen nm möglich öglich (S. 6, 7). Z Zum um einen können sich die Schüler damit se selbst differenzierten Überblick über ihre und Kenntnisse verelbst einen diffe ber ihr re Fähig Fähigkeiten u schaffen und sehen, welc welche Inhalte sie noch weiter üben müssen sie noch zusätzliche Erkläfen un e Inhal en mü ssen bzw. wo s benötigen, gleichzeitig sehen sie aber auch,, was sie sch schon rungen benöti gen, gleichz on alles können. Zum anderen erhalten Überblick Ihrer Schüler. können Sie einen Über blick über das Leistungsprofil rofil Ihre chüler. So kön nnen Sie, aber auch die Schüler selbst, weitere sein, dass man an „der richtigen Stelle“ übt. Besonders eitere Aufgaben Aufgab gezielt auswählen und sicher sein wenn Schüler selbst organisieren und dafürr v verantwortlich sind, welche Aufgaben/Themen nn sich S nd selbst dafü sie bearbeiten, besteht ansonsten ear nsten die Gefahr, fahr, dass sie genau das üben, was sie schon gut können. Mithilfe der Auswertungsbögen und klassifizierten Aufgaben ist qualitative Differenzierung möglich: Starrtungsbö en un ke Schüler können Aufgaben bearbeiten, die neue Aspekte berühren, während Schwächere önnen komplexe Aufg noch Grundlagen bzw. üben, aber alle arbeiten an der gleichen Thematik weiter. Damit wird rundlage erarbeiten b auch vermieden, dass man die stärkeren Schüler dadurch langweilt, einfach nur mehr Aufgaben zu rmieden, d ass m berechnen, sie quas quasi für ihre Leistungsstärke bestraft. Was macht man nun, wenn die starken Schüler auch die anspruchsvollen Aufgaben berechnet haben und im Grunde keine weiteren Übungsaufgaben benötigen, schwächere Schüler hingegen aber noch Zeit brauchen? Zum einen kann man sich dann natürlich auf die Suche machen, nach noch anspruchsvolleren Aufgaben. Aber ist dies sinnvoll? Vielmehr sollte überlegt werden, wie man diese „Experten“ in den Unterricht einbinden kann, indem man ihre Kompetenzen nutzt: Sie können als Helfer fungieren und schwächere Schüler bei der Bearbeitung ihrer Aufgaben unterstützen. So durchdringen die starken Schüler den Stoff noch einmal von einer anderen Seite – denn Vermittlung von Wissen/Verbalisierung stellt andere Anforderungen in den Mittelpunkt. Die schwächeren Schüler können eine weitere Hilfequel- Bernhard Bäcker: Geometrische Grundkonstruktionen und -begriffe 2 © Persen Verlag 1 Einleitung le nutzen – und gleichaltrige Schüler finden oftmals die „besseren“ Worte als der Lehrer. Natürlich müssen die Experten dafür sensibilisiert werden, dass Helfen nicht das Vorsagen der Lösung bedeutet! Nicht vergessen sollte man: Auch Sie profitieren von diesem System, werden entlastet. Sie können sich gezielt und mit mehr Ruhe der Förderung Einzelner widmen oder auch Aufgaben der Schüler auswerten und neue Übungspakete zusammenstellen. Die Tipp-Karten stellen einen weiteren Baustein der qualitativen Differenzierung dar: Manche Schüler sind in der Lage, die Aufgaben ohne diese zu lösen, andere nutzen diese Hilfe und können dadurch auch Aufgaben eines höheren Anforderungsbereiches lösen. Und die nächste Aufgabe „schaffen“ sie dann vielleicht ohne Tipp-Karte. Wobei: Sich Hilfen zu suchen und diese effektiv zu nutzen stellt eine ganz u nutz eigene, nicht zu unterschätzende Kompetenz dar (s. u.). Selbstständiges Arbeiten/Durchhaltevermögen Wer kennt es nicht: Spätestens bei der ersten Hürde im Lösungsprozess ösungsp ozess bomb bombardieren die Schüler den Lehrer mit Fragen. Ihnen fehlt oft allein die Idee, der Ansatz, die Lösung zu finden, und sie ha haben e, de nsatz, um d ie Lösun nicht das Durchhaltevermögen, weiter selbstständig Lehdig zu überlegen. Sie fordern sofort die Hilfe fe des L rers ein, der ihnen den richtigen Lösungsansatz Dadurch hat die Lehrkraft ansatz liefern efern soll. Dad ehrkraft keine e Zeit, sich intensiv um die Schüler „zu kümmern“, tatsächlich bedürfen. n“, die tatsäc hlich einer ausführlicheren Hilfestellung ilfestellung b dürfen. Denn die meisten Schüler könnten sehr wohl selbstständig lösen, aber nten die Aufgaben se stän ösen, a ber es ist ja so viel einfacher. Hier setzen das oben beschriebene Experten Tippkarten an. ben beschri bene „Helfer-System“ durch h Ex Exp en sowie die Tipp Vor allem mithilfe der Tippkarten kann das selbstständige Arbeiten verstärkt gefördertt werden. Auch eiten verstä rkt geförde Formelsammlungen, Schulbücher, Hilfequelle Verfügung stehen. Nutzt gen, Sch hulbücher, das Internet … sollten als Hilfeque quelle lle zu zur Verfü ein Schüler diese Quellen, sollte dies nicht als „Schwäche“ gewertet werden. ese Quellen äche“ g ewertet we rden Denn: Sich „die richtige“ organisieren, nachzuschlagen, zu re recherchieren dadurch die Aufgabe lösen zu können, ist Hilfe zu organ sieren, nac hieren und da durch d anspruchsvolle Kompetenz und sehr wichtig für persönliche und berufliche Zukunft! Formeln eine anspruch volle Ko hr wichti ür die persön li auswendig nachrangig betrachtet werden. uswendig zu können, sollte demgegenüber über als nac rangig b Wenn auf den Auswertungsbögen na bögen also abgefragt gefra wird, ob eine Hilfe genutzt wurde, so müssen die Schüler wissen, dass das Nutzen einer Hilfe nicht negativ bewertet wird. utzen eine cht n Kann ein Schüler ohne Hilfe lösen, ist dies natürlich toll, aber an dieser Stelle sollte man eher hüle er Aufgaben o hne H darauf achten, o ob ein Schüler, der zu einem falschen Ergebnis kam, Hilfen genutzt hat. Falls nicht, sollte daran mit gearbeitet it ihm gearb beitet werden! Bernhard Bäcker: Geometrische Grundkonstruktionen und -begriffe 2 © Persen Verlag 2 Einleitung Allgemeine mathematische Kompetenzen und die drei Anforderungsbereiche im Fach Mathematik1 Die Aufgaben jeder DIN-A5-Aufgabenkarte wurden jeweils einem Anforderungsbereich zugeordnet – zu erkennen an der Anzahl der Punkte rechts in der Kopfzeile der Karte: • = Anforderungsbereich I • • = Anforderungsbereich II • • • = Anforderungsbereich III Darüber hinaus wird für jede Aufgabe angegeben, welche allgemeinen mathematischen Kompetenzen mit ihnen geübt bzw. angewendet werden. Die Ein- und Zuordnung orientiert sich dabei natürlich an den aktuellen Bildungsstandards für das Fach Mathematik (Mittlerer Schulabschluss). Dennoch: Nicht immer s). De ist eine strikte Einteilung in die Anforderungsbereiche möglich, z. T. hängt diese natürlich auch von der e natü Lerngruppe ab. Genauso verhält es sich bei den allgemeinen Kompetenzen. (K 1) Mathematisch argumentieren Dazu gehört: – Fragen stellen, die für die Mathematik charakteristisch („Gibt …?“, „Wie verändertt sich… sich…?“, kteris ch sind („Gi bt es …?“ „Ist das immer so …?“) und Vermutungen begründet ründe äußern, – mathematische Argumentationen entwickeln (wie Erläuterungen, Beweise), keln (w e Erlä uterungen Begründungen, en, Beweise) ) – Lösungswege beschreiben und begründen. ründen. (K 2) Probleme mathematisch sch lösen Dazu gehört: – vorgegebene und selb selbst Probleme bearbeiten, bst formulierte P – geeignete Hilfsmittel, Strategien und Prinzi Prinzipien Problemlösen auswählen und eignet heuristische Hilfsmi pien zum Probl anwenden, Plausibilität Ergebnisse überprüfen sowie das Finden vo von Lösungsideen und die Lösungswege – die Plausibil tät der Er üfen sow nL reflektieren. (K 3) Ma Mathematisch modellieren eren Dazu gehört: – den Bereich oder Situation, er die Sit uation die modelliert werden sollen, in mathematische Begriffe, Strukturen und Relationen übersetzen, onen übersetzen – in dem jeweiligen mathematischen Modell arbeiten, m jeweili en mathema – Ergebnisse dem entsprechenden Bereich oder der entsprechenden Situation interpretieren und bnisse in d em ent prüfen. 1 Vgl.: Beschluss der Kultusministerkonferenz vom 04.12.2003: Bildungsstandards im Fach Mathematik für den Mittleren Schulabschluss, S. 8ff. Bernhard Bäcker: Geometrische Grundkonstruktionen und -begriffe 2 © Persen Verlag 3 Einleitung (K 4) Mathematische Darstellungen verwenden Dazu gehört: – verschiedene Formen der Darstellung von mathematischen Objekten und Situationen anwenden, interpretieren und unterscheiden, – Beziehungen zwischen Darstellungsformen erkennen, – unterschiedliche Darstellungsformen je nach Situation und Zweck auswählen und zwischen ihnen wechseln. (K 5) Mit symbolischen, formalen und technischen Elementen der Mathematik umgehen Dazu gehört: – mit Variablen, Termen, Gleichungen, Funktionen, Diagrammen, Tabellen arbeiten, beiten – symbolische und formale Sprache in natürliche Sprache übersetzen und umgekehrt, mgekehr – Lösungs- und Kontrollverfahren ausführen, – mathematische Werkzeuge (wie Formelsammlungen, Taschenrechner, sinnvoll und verechner, Software) sin ständig einsetzen. (K 6) Kommunizieren Dazu gehört: – Überlegungen, Lösungswege bzw. Ergebnisse bnisse dokumentieren, okumentieren, verständlich darstellen arstellen und präsentieren, auch unter Nutzung geeigneter er Medien, – die Fachsprache adressatengerecht gerecht verwenden, – Äußerungen von anderen und Texte zu mathematischen Inhalten ver verstehen überprüfen. u mathem erst en und üb berprüfen Die Anforde Anforderungsbereiche allgemeinen mathematischen Kompetenzen ungsbereic der a matischen Kompe tenz Es lassen sich Anforderungsbereiche un unterscheiden: Reproduzieren, Zusammenhänge herstellen h drei Anfor heiden: Repr oduzier sowie Verallge Verallgemeinern Allgemeinen nehmen Anspruch und kognitive Komplexität meinern und Reflektieren.. Im Allg einen nehme von Anforderungsbereich zu Anforderungsbereich zu. on Anforderu gsbereich zu Anforderungsbereich I: Reproduzieren rd eprodu Dieser Anforderungsbereich umfasst die W Wiedergabe und direkte Anwendung von grundlegenden ere ch um Begriffen, Sätzen und Verfa Verfahren hren in einem abgegrenzten Gebiet und einem sich wiederholenden Zusammenhang. Anforderungsbereich II: Zusammenhänge herstellen rungsbereich II Dieser Anforderungsbereich umfasst das Bearbeiten bekannter Sachverhalte, indem Kenntnisse, Fertigorderung keiten und Fä Fähigkeiten verknüpft werden, die in der Auseinandersetzung mit Mathematik auf verschiedenen Gebieten erworben wurden. Anforderungsbereich III: Verallgemeinern und Reflektieren Dieser Anforderungsbereich umfasst das Bearbeiten komplexer Gegebenheiten u. a. mit dem Ziel, zu eigenen Problemformulierungen, Lösungen, Begründungen, Folgerungen, Interpretationen oder Wertungen zu gelangen. Bernhard Bäcker: Geometrische Grundkonstruktionen und -begriffe 2 © Persen Verlag 4 Einleitung Daraus ergibt sich folgende Ausdifferenzierung der allgemeinen mathematischen Kompetenzen: Reproduzieren Zusammenhänge herstellen Verallgemeinern und Reflektieren (K 1) Mathematisch argumentieren. Dazu gehört: – Routineargumentationen wiedergeben (wie Rechnungen, Verfahren, Herleitungen, Sätze, die aus dem Unterricht vertraut sind) – komplexe Argumentationen erläutern – überschaubare mehrschrittige Arguoder entwickeln mentationen erläutern oder entwickeln – verschiedene Argumentationen be– Lösungswege beschreiben und werten begründen – mit Alltagswissen argumentieren – Ergebnisse bzgl. ihres Anwendungskontextes bewerten – Zusammenhänge, Ordnungen und Strukturen erläutern – Fragen stellen, die für die Mathematik charakteristisch sind und Vermutungen begründet äußern (K 2) Probleme mathematisch lösen. Dazu gehört: – Routineaufgaben lösen („sich zu helfen wissen“) – einfache Probleme mit bekannten – auch experimentellen – Verfahren lösen – Probleme bearbeiten, deren Lösung die Anwendung von heuristischen Hilfsmitteln, Strategien und Prinzipien erfordert – Probleme selbst formulieren – die Plausibilität von Ergebnissen nissen überprüfen – anspruchsvolle Probleme bearbeiten chsvolle Prob – das Finden und die nden von Lösungsideen Lösun Lösungswege reflektieren Lösun swege reflektie (K 3) Mathematisch modellieren. Dazu gehört: – vertraute und direkt erkennbare Modelle nutzen – einfachen Erscheinungen aus der Erfahrungswelt mathematische Objekte zuordnen – Resultate am Kontext prüfen fen – Modellierungen, die mehrere Schritte lierungen, d e mehr e Schr erfordern, vornehmen rfordern, vornehm n – Ergebnisse Modellierung interErg bnisse einer Mo l pretieren der Ausgangssituatipreti en und an de on prüfen pr n – einem mathematischen Modell passende send Situationen zuordnen – komplexe oder er unvertraute Situationen S ationen modellieren –v verwendete mathematische Modelle ete ma hematische Mod (wie Formeln, Darstellun(w ormeln Gleichungen, ichungen, Da von Zuordnungen, Zeichnungen, gen v n Zuordnung en, Z strukturierte Darstellungen, Ablaufplästruktu ierte Darstel ne) reflektieren und kritisch beurteilen e) refle tieren u (K 4) Mathem Mathematische Darstellungen verwenden. Dazu gehört: sche Darstel gen ve Darstellungen – vertraute und geübte eübte Darste Objekten und von mathematischen mathemati chen Obje oder nutzen Situationen anfertigen anf – Beziehungen Darstellungsnge zwischen chen Darstellun sformen erkennen und n erkenn nd zwischen den Darstellungsformen wechseln ellungsforme wechse eigene Darstellungen entwickeln –e – verschiedene Formen der Darstellung zweckentsprechend beurteilen – nicht vertraute Darstellungen lesen und ihre Aussagekraft beurteilen (K 5) Mit symbolischen, formalen Elementen der Mathematik umgehen. Dazu gehört: en und technischen hen E – Routineverfahren verwenden nden – Lösungss und Kontrollverfahren aus- – Lösungs- und Kontrollverfahren hin– mit vertrauten Formeln sichtlich ihrer Effizienz bewerten führen meln und SymSymbolen umgehen – Möglichkeiten und Grenzen der Nuten – symbolische und formale Sprache in – mathematische Forzung mathematischer Werkzeuge natürliche Sprache übersetzen und tische Werkzeuge Werkzeuge (wie F melsammlungen, reflektieren umgekehrt mmlungen Taschenrechner, aschenrechn Software) Situationen nutzen, in – mit Variablen, Termen, Gleichungen, e) in Situation en nut denen ihr Einsatz geü geübt wurde Funktionen, Tabellen und Diagrammen arbeiten – mathematische Werkzeuge verständig auswählen und einsetzen (K 6) Kommunizieren. Dazu gehört: – einfache mathematische Sachverhalte mündlich und schriftlich ausdrücken – aus kurzen, einfachen mathematikhaltigen Texten, Grafiken und Abbildungen Informationen entnehmen – auf Fragen und Kritik sachlich und angemessen reagieren – Überlegungen, Lösungswege bzw. Ergebnisse verständlich darstellen – komplexe mathematikhaltige Texte, Grafiken und Abbildungen sinnentnehmend erfassen – die Fachsprache adressatengerecht verwenden – auf Äußerungen von anderen zu mathematischen Inhalten eingehen – mit Fehlern konstruktiv umgehen Bernhard Bäcker: Geometrische Grundkonstruktionen und -begriffe 2 © Persen Verlag – komplexe mathematische Sachverhalte mündlich und schriftlich präsentieren – komplexe mathematische Texte sinnentnehmend erfassen – Äußerungen von anderen zu mathematischen Inhalten bewerten 5 Karte Inhalt/Ziel Leitidee eitid Auswertungsbogen (Lehrkraft) I II III derungsAnforderungsbereich eich TippTipp-Karte Sonstige Hilfen benutzt? Faz Fazit: Anmerkungen Einleitung Bernhard Bäcker: Geometrische Grundkonstruktionen und -begriffe 2 © Persen Verlag 6 Bernhard Bäcker: Geometrische Grundkonstruktionen und -begriffe 2 © Persen Verlag Richtig gelöst? Hilfen benutzt? Hilfen benutzt? – Partnerarbeit (PA) – Helfer – Tippkarte – Nachschlagewerk – Allein Karte Laufkarte (Schüler) Schwierigkeiten? – Ich hatte Schwierigkeiten mit … – Ich konnte die Aufgaben nicht lösen, weil … Schwierigkeiten? Sonstiges Nachricht Einleitung 7 Geometrische Grundkonstruktionen und -begriffe In der 7./8. Klasse der Realschule vertiefen die Schüler im Bereich „Raum und Form“ ihre Vorstellungen von ebenen Figuren und von Körpern, indem sie Dreiecke, Vierecke, Vielecke und Prismen (Netze, Schrägbilder) skizzieren und konstruieren. Sie entdecken und erkunden Eigenschaften von ebenen Figuren und Körpern und lernen, deren geometrische Beziehungen in Lösungsprozessen argumentativ zu nutzen. Das erworbene Wissen über Klassifizierungsmerkmale erlaubt den Schülern, geometrische Figuren aus ihrer Umwelt sachgerecht zu gruppieren und in eindeutiger Weise zu beschreiben. In diesem Buch wird das Thema „Raum und Form“ in zwei Bereiche geteilt: – Geometrische Grundkonstruktionen und -begriffe, – Vielecke und Körper. Während der erste Bereich im Wesentlichen dem elementaren geometrischen Basiswissen für ebene n Basis Figuren mit seiner entsprechenden Begrifflichkeit zugeordnet werden muss, ss, bedient sich der zweite Bereich der Kenntnisse aus dem ersten Bereich. Es wird darin die Betrac Betrachtung geometrischer Eigenhtung geome schaften und Zusammenhänge von einfachen Dreiecken auf Vielecke erweitert. Bei der Betrachtung elecke erwe eitert. Be von Körpern wird auch die dritte Dimension mit einbezogen. Dementsprechend nb en. Deme tsprechend sind auch die Aufgaben ausgesucht und gestaltet worden. Geometrische Grundkonstruktionen truktionen und und -begriffe -b Zuordnung der allgemeinen n Kompete Kompetenzen zen zzu den Aufgaben Unter dem übergeordneten „Geometrische Grundkonstruktionen üben die Schüler eten Thema „Geo t ktionen und -begriffe“ üb anhand der Aufgaben wichtigen Unterthemen: gaben die e folgenden wic – Winkelarten (Scheitelwinkel, Nebenwinkel, Stufenwinkel, Wechselwinkel) bestimmen, Winkelart (Scheitelw kel, Ne nkel, W echselwin el) b von ebenen Figuren Gerade, Strecke, Winkel, Schenkel, – bei der Beschreibung Beschreibung v re die Begriffe Punkt, Punkt, Gera Scheitelpunkt, achsensymmetrisch verwenden, Scheitelpun t, Grad, parallel, senkrecht, cht, achs symmetrisch hv – Dreiecke anhand der Achsensymmetrie (gleichseitig, gleichschenklig) und anhand der Winkelgröße an ie (gleichse ig, gleich (spitzwinklig, stumpfwinklig und rechtwinklig) klassifizieren, spitzwink winklig) klassif i – Winkel Winkelmaße ermit ermitteln, nk konstruieren und Winkel – Winkel mithilfe des Win Winkelsummensatzes kelsum es iim Dreieck und der Sätze über Scheitel-, Neben-, Stufenund Wechselwinkel bestimmen, nkel besti mmen – Planfiguren Konstruktionsvorbereitung oder als Hilfe zur Problemlösung zeichnen, en als als Konstruktio nsvo – den Satz des Thales Begründung der Eigenschaft „rechtwinklig“ anwenden, hales zur Be – Dreiecke Zirkel, Lineal, Geodreieck und dynamischer Geometriesoftware konstruieren, cke mit Zirk el Lin – Beispiele Dreieckskonstruktionen, die nicht lösbar oder nicht eindeutig lösbar sind, werden untere für Drei sucht, – die Kongruenz von Dreiecken als Deckungsgleichheit beschreiben, – kongruente Dreiecke mit der Angabe von (SWS), (WSW), (SSW) und (SWW) konstruieren, – besondere Linien im Dreieck (Winkelhalbierende, Mittelsenkrechte, Seitenhalbierende, Höhen, Inkreis, Umkreis, Schwerpunkt) werden konstruiert, – geometrische Bewegungen (Achsenspiegelung, Parallelverschiebung, Drehung) werden konstruiert. Dieses Thema „Geometrische Grundkonstruktionen und -begriffe“ ist der Leitidee „Raum und Form“ zuzuordnen. In den Bildungsstandards Mathematik wird diese inhaltsbezogene Kompetenz folgendermaßen beschrieben: „Die Schülerinnen und Schüler erkennen und beschreiben geometrische Strukturen in der Umwelt, …, stellen geometrische Figuren im kartesischen Koordinatensystem dar, …, analysieren und klassifizieren geometrische Objekte der Ebene …, beschreiben und begründen Eigenschaften Bernhard Bäcker: Geometrische Grundkonstruktionen und -begriffe 2 © Persen Verlag 8 Geometrische Grundkonstruktionen und -begriffe und Beziehungen geometrischer Objekte (wie Symmetrie, Kongruenz, Ähnlichkeit, Lagebeziehungen) und nutzen diese im Rahmen des Problemlösens zur Analyse von Sachzusammenhängen, wenden Sätze der ebenen Geometrie bei Konstruktionen, Berechnungen und Beweisen an, insbesondere … den Satz des Thales, zeichnen und konstruieren geometrische Figuren unter Verwendung angemessener Hilfsmittel wie Zirkel, Lineal, Geodreieck oder dynamische Geometriesoftware, untersuchen Fragen der Lösbarkeit und Lösungsvielfalt von Konstruktionsaufgaben und formulieren diesbezüglich Aussagen, …“ (Bildungsstandards im Fach Mathematik für den mittleren Schulabschluss, S. 11). Geometrische Grundkonstruktionen und deren mathematische Beschreibung lassen sich fast immer in mehrere Einzelschritte unterteilen, wobei bei jedem Schritt eine unterschiedliche Kompetenz im Vordergrund stehen kann. Somit ist auch klar, dass bei den einzelnen Aufgaben fast imm immer mehrere Kompetenzen in unterschiedlicher Gewichtung gefordert werden und manchmal auch nicht sa sauber voneinander zu trennen sind. Bernhard Bäcker: Geometrische Grundkonstruktionen und -begriffe 2 © Persen Verlag 9 Geometrische Grundkonstruktionen und -begriffe Anforderungsbereich: Karte 1 Aufgabe K1 K2 K3 K4 1 x x 2 x x Aufgabe K1 K2 1 x x 2a, 2b, 2c, 2d, 2e x K3 K4 K1 K2 K3 x x K5 K4 4 K5 x x x K1 K2 K3 K6 x x x K4 K5 x x x K6 x Anforderungsbereich: Karte te 5 K1 1 K2 K3 K4 K5 1 x x x 2a, 2b,, 2c x x x K6 Anforderungsbereich: Karte 6 Aufgabe K6 Anforderungsbereich: Anforderungs 1 Aufgabe x x Karte 4 2a, 2b, 2c x Anforderungsbereich: Anfo orderu 1a, 1b, 1c, 1d, 1e Aufgabe x x Karte 3 2 K6 Anforderungsbereich: Karte 2 Aufgabe K5 K1 K2 K3 K4 1 x x x 2a, 2b, 2c, 2d, 2e x x x 3a, 3b x x x Bernhard Bäcker: Geometrische Grundkonstruktionen und -begriffe 2 © Persen Verlag K5 K6 x x 10 Geometrische Grundkonstruktionen und -begriffe Anforderungsbereich: Karte 7 Aufgabe K1 1 2 K2 K3 x x K4 K5 K6 x x x x x 3 x x x 4 x x x x x x 5 x Anforderungsbereich: rderun Karte 8 Aufgabe K1 1 2 x K2 K3 K4 K5 K6 x x x x x x x x Anforderungsbereich: derungsberreich: Karte 9 Aufgabe K1 K2 K K3 K4 K5 5 1a, 1b, 1c, 1d x x x 2 x x x 3a,, 3b, 3c 3c, 3d, 3e, 3f x x x 4 x K K6 x Anforderungsbereich: Karte te 10 1 Aufgabe K1 K2 K3 K4 K5 K6 1 x x x x x x x x x x 2 Bernhard Bäcker: Geometrische Grundkonstruktionen und -begriffe 2 © Persen Verlag 11 Geometrische Grundkonstruktionen und -begriffe 1 � Das in der Planfigur vorgegebene Dreieck b = 6,8 cm c = 5,4 cm α = 75° soll konstruiert und die Konstruktionsschritte sollen aufgeschrieben werden. Ordne die Karten mit den angegebenen Konstruktionsschritten. Einen Kreisbogen um den Punkt A mit dem Radius b = 6,8 cm zeichnen. Man erhält den Punkt C. Punkt B und C verbinden. An die Strecke AB im Punkt A den Winkel α mit 75° antragen. Die Str Strecke ecke von A nach B cm)) zeichnen. (c = 5,4 c � Konstruiere das Dreieck mit den folgenden Angaben: olgenden Ang aben a = 45 mm; b = 6 cm; γ = 90°. Fertige für die Aufgabe eine Planfigur an. e Planf gur und eine Konstruktionsbeschreibung esch ung an Geometrische Geometri sche Grundkonstruktionen Grund ns und -begriffe begriffe 2 � Färbe in d der gegebenen Figur alle Winkel, die gleich groß sind, mit der gleichen n Farbe. viele Winkel müsstest d du mindestens Wie v stens messen, um die Größe Winkel zu e aller W kennen? � Vervollständige die folgenden Sätze. a) Der Nebenwinkel eines rechten Winkels ist ein Winkel. b) Der Scheitelwinkel eines spitzen Winkels ist ein Winkel. c) Der Nebenwinkel eines stumpfen Winkels ist ein Winkel. d) Der Scheitelwinkel eines rechten Winkels ist ein Winkel. e) Der Nebenwinkel eines spitzen Winkels ist ein Bernhard Bäcker: Geometrische Grundkonstruktionen und -begriffe 2 © Persen Verlag Winkel. 12 Geometrische Grundkonstruktionen und -begriffe 3 � Zeichne jeweils zunächst einen Kreis mit dem Durchmesser AB = 6 cm und dann darin ein rechtwinkliges Dreieck ABC mit den folgenden Winkeln (Winkel α soll bei A liegen und Winkel β bei B). a) α = 30° b) β = 55° c) α = 130° d) β = 10° e) α = 75° � Stelle einen Vergleich der angegebenen Winkel an. Welche Aussagen kannst du über die Größe der Winkel treffen? Begründe. Geometrische Geometri sche Grundkonstruktionen Grund ns und -begriffe begriffe 4 � Zeichne d die Fi Figur in dein Heft, spiegel gel sie an derr y-Achse und gib die Koordinaten derr Bildpunkte an. a A(1 | –3) A’( | ) B( | ) B’( | ) C( | ) C’( | ) D( | ) D’( | ) E( | ) E’( | ) F( | ) F’( | ) G( | ) G’( | ) H( | ) H’( | ) � Wurden die Figuren richtig an der Geraden s gespiegelt? Welche Fehler wurden gemacht? a) b) Bernhard Bäcker: Geometrische Grundkonstruktionen und -begriffe 2 © Persen Verlag c) 13 Geometrische Grundkonstruktionen und -begriffe 5 � Zeichne die beiden Dreiecke ABC und DEF in dasselbe Koordinatensystem. Prüfe, ob die Dreiecke kongruent sind. Ordne die jeweilige Seite des Dreiecks ABC der entsprechenden Seite des Dreiecks DEF zu. • • A(1 | 0,5); B(3 | 1); C(1 | 3,5) D(2,5 | 2); E(5,5 | 2); F(3 | 4) � Sind die zugeordneten Dreiecke ABC und DEF kongruent? Wenn sie nicht kongruent sind, verschiebe einen Punkt so, dass sie kongruent sind. Gib dann auch die Koordinaten des neuen Punktes an. a) b) c) Geometrische Geometri sche Grundkonstruktionen Grund ns und -begriffe begriffe 6 � Lege aus den H Holzstäben von 3 cm,, 4 cm, 8 c cm,, 11 cm, 13 cm und 20 cm Länge so viele Dreiecke wie möglich. Welche Eigenschaften müssen Welch ss die drei rei Holzstäbe haben, damit ein Dreieck gelegt werden kann? � Zeichne die Dreiecke, sofern ofern es möglich ist. Fertige für die Aufgabe a) eine Konstruktionsbeschreibung an. eibung an a) a = 7 cm; cm b = 5 cm; c = 4 cm b) a = 3 cm; b = 4 cm; c = 6 cm c) a = 2 c cm; b = 5 cm; c = 7 cm d) a = 3,4 cm; b = 7,4 cm; c = 5,8 cm e) a = 2,4 cm; b = 33 mm; c = 59 mm � Konstruiere folgende Dreiecke: a) Gleichseitiges Dreieck mit einer Seitenlänge von 4 cm b) Gleichschenkliges Dreieck mit a = 3 cm, b = 3 cm und c = 5 cm Bernhard Bäcker: Geometrische Grundkonstruktionen und -begriffe 2 © Persen Verlag 14 Geometrische Grundkonstruktionen und -begriffe 7 � Konstruiere das Dreieck mit c = 5 cm, α = 65° und β = 55°. Fertige eine Konstruktionsbeschreibung an. � Man möchte das Dreieck mit c = 5 cm, α = 65° und γ = 55° konstruieren. Was muss gemacht werden, ehe man das Dreieck zeichnen kann? � Konstruiere das Dreieck mit b = 5 cm, c = 6,5 cm und β = 40°. Fertige eine Konstruktionsbeschreibung an. � Konstruiere das Dreieck mit b = 5,2 cm, c = 5 cm und β = 55°. Fertige eine Konstruktionsbeschreibung an. � Konstruiere das Dreieck mit b = 3,5 cm, c = 5 cm und β = 50°. Fertige eine ne KonstruktionsbeKonst schreibung an. Worin besteht der wesentliche Unterschied zwischen dieser Aufgabe und den eser Aufgab Aufgaben � und �? Geometrische Geometri sche Grundkonstruktionen Grund ns und -begriffe begriffe 8 � Der Punkt A’ iistt bei einer Achsenspiegelung als Bildpunkt des spiegelun Punktes A entstanden. Die SpiePunkt eS gelachse wurde versehentlich ehentlich gelöscht. Zeichne Spiegelachse e die Spieg wieder ein und notiere deine eine Konstruktionsschritte. onsschritte � Sandra Christina dra und Ch ristin haben jeweils ein Dreieck ABC an einer Geraden eieck AB gespiegelt ge und das Bilddreieck A’B’C’ erhalten. Woran kannst du bei den Abbildungen gleich erkennen, dass sie falsch sind? Bernhard Bäcker: Geometrische Grundkonstruktionen und -begriffe 2 © Persen Verlag 15 Geometrische Grundkonstruktionen und -begriffe 9 � Berechne im Dreieck ABC den dritten Innenwinkel. a) α = 44°; β = 86° b) β = 32°; γ = 115° c) α = 62°; β = 90° d) β = 11°; γ = 13° � In einem Dreieck ist der Winkel 65° bekannt. Notiere vier mögliche Größen für die beiden anderen Winkel. � Berechne in einem gleichschenkligen Dreieck die Basiswinkel, wenn der Winkel „an der Spitze“ bekannt ist. a) α = 25° b) β = 70° c) γ = 90° d) δ = 45° e) ε = 130° f) ζ = 56° � Wie groß ist in der nebenstehenden Abbildung der Winkel APB, wenn die Strecken AB und CD parallel sind? Geometrische Geometri sche Grundkonstruktionen Grund ns und -begriffe begriffe 10 10 � Welche A Achsen- und Punktsymmetrien Flaggen? Macht es einen Unterschied, rien siehst du u auf den Fla beschränkt und die Farben außer Acht lässt? wenn man ma sich auf die Betrachtung der Form bes chrä � Welche der abgebildeten Zeichen, Symbole oder Logos sind drehsymmetrisch? Gib jeweils das Drehzentrum und den Drehwinkel an. Bernhard Bäcker: Geometrische Grundkonstruktionen und -begriffe 2 © Persen Verlag 16 Geometrische Grundkonstruktionen und -begriffe 1 Lösung � Konstruktion eines Dreiecks • • • • Die Strecke von A nach B (c = 5,4 cm) zeichnen. An die Strecke AB im Punkt A den Winkel α mit 75° antragen. Einen Kreisbogen um den Punkt A mit dem Radius b = 6,8 cm zeichnen. Man erhält den Punkt C. Punkte B und C verbinden. � Konstruktion eines Dreiecks Planfigur: Die gegebenen Teile sind mit dickeren Linien gezeichnet. Konstruktionsbeschreibung: • Zeichne die Strecke a = 45 mm mit den Endpunkten B und C. • Zeichne an die Strecke a den Winkel γ = 90° in C und eine Halbgerade von C aus. Kreisbogen en mit de dem m • Zeichne Kre Mittelpunkt Radius cm. nkt C und d dem Radi us 6 cm Der Schnittpunkt ttpunk der Halbge Halbgeraden mit dem mK Kreisbogen en • ergibt rgibt A. mit it B. Bezeichne alle restlichen en Elemente. • Verbinde A m Geometrische Geometri sche Grundkonstruktionen Grund ns und -begriffe begriffe 2 Lösung � Gleich gro große Winkel Wi müsste mindestens zwei Winkel Man mü el messen, durch den Wink Winkeldie anderen ergeben sich dur summensatz im Dreieck e ck und den Beziehungen iehu „Scheitelwinkel“ und „„Nebenwinkel“. Neben � Sätze vervollständigen a) Der Nebenwinkel eines rechten Winkels ist ein rechter Winkel. b) Der Scheitelwinkel eines spitzen Winkels ist ein spitzer Winkel. c) Der Nebenwinkel eines stumpfen Winkels ist ein spitzer Winkel. d) Der Scheitelwinkel eines rechten Winkels ist ein rechter Winkel. e) Der Nebenwinkel eines spitzen Winkels ist ein stumpfer Winkel. Bernhard Bäcker: Geometrische Grundkonstruktionen und -begriffe 2 © Persen Verlag 17 Geometrische Grundkonstruktionen und -begriffe 3 Lösung � Rechtwinklige Dreiecke Aufgabe c) ist nicht lösbar. � Die Winkel α und β liegen an den Punkten C u und D auf dem Kreisbogen reisbogen ((Thaleskreis) und sind deshalb 90° groß. Alle Winkel, die an Punkten unterhalb Kreisbogens liegen, sind größer kten u erhalb des K reisbog rößer als 90°. Alle Winkel, die an Punkten oberhalb b des Kreisbogens liegen, sind kleiner als 90°. Begründung: Bewegt man den Punkt D in Richtung Punktes F, dann verändert Richtung des Pun rändert sich der d Winkel im Dreieck bei A nicht, der e Winkel bei B wird aber größer. Weil die Winkelsumme nkelsumme im Dreieck 180° beträgt, muss (als 90°) werd werden. Genau umgekehrt ve vers der Winkel W nkel δ also so kleiner kl hält es sich beim Winkell γ. Geometrische Geometr sche Grundkonstruktionen Grund ns und -begriffe begriffe 4 Lösung � Spiegelun Spiegelung A(1 | –3) B(3 | –2) C(4 | –3) D(3 | –1) E(3 | 3) F(2 | 0) G(0 0 | 0) H(2 | –1) A’(–1 | –3) B’(–3 | –2)) C’(–4 | –3) D’(–3 ’(–3 | –1) E’(–3 | 3) 3 F’(–2 | 0) G’(0 | 0) H’(–2 | –1) � Fehler bei Spiegelung a) Punkt und Bildpunkt liegen nicht auf einer Senkrechten zur Spiegelachse und haben auch nicht den gleichen Abstand von ihr. b) Punkt und Bildpunkt haben nicht den gleichen Abstand von der Spiegelachse. c) Punkt und Bildpunkt liegen nicht auf einer Senkrechten zur Spiegelachse und haben auch nicht den gleichen Abstand von ihr. Auch der Umlaufsinn ist falsch. Bernhard Bäcker: Geometrische Grundkonstruktionen und -begriffe 2 © Persen Verlag 18 Geometrische Grundkonstruktionen und -begriffe 5 Lösung � Dreiecke sind kongruent Folgende Seiten entsprechen einander. ABC DEF a d b f c e � Kongruenz der Dreiecke ABC und DEF a) Dreiecke ABC und DEF sind nicht kongruent. Änderung ruent. Durch urch die Änd erung der Position des Punktes unktes F auf F(5 | 1) ergibt sich die Kongruenz. b) Dreiecke ABC und DEF sind nicht kongruent. Durch die Änderung der Position Punktes cht kongrue t. Dur h di sition des Pu ktes E auf E(3 | 1) ergibt sich die Kongruenz. e Ko ngruenz. c) Dreiecke ABC und DEF kongruent. EF sind ko ruent Geometrische Geometri sche Grundkonstruktionen Grund ns und -begriffe begriffe 6 Lösung � Folgende Varianten sind möglich: i cm; 3 cm; 11 cm; 13 cm | 4 cm; 8 cm; 11 1 cm | 4 cm m; 11 cm; 13 cm cm; 13 cm; 20 cm 8 cm; 11 cm; 13 cm | 8 cm; m; 13 cm; 20 cm | 11 c Damit ein Dreieck ge gelegt werden kann, müssen die beiden kürzeren Stäbe zusammen immer egt we n, m länger sein als längste Stab des Dreiecks. s der län gste S � Dreiecke zeichnen ke ze ichnen � Konstruktion Dreiecke Dreiecke den Aufgaben c) und e) eiecke zu de en Aufg können gezeichnet werden. n nicht g a) Konstruktionsschritte: • Zeichne Strecke a. • Zeichne Kreisbogen um B mit c und um C mit b. • Kreisbogenschnittpunkt ergibt A. • Verbinde A mit B und A mit C. b) a) b) c) Ž Bernhard Bäcker: Geometrische Grundkonstruktionen und -begriffe 2 © Persen Verlag 19 Geometrische Grundkonstruktionen und -begriffe 7 Lösung � Konstruktionsbeschreibung: • • • Zeichne Strecke c mit A und B. Trage die Winkel α und β an die Strecke c in den Punkten A bzw. B an. Es ergibt sich Schnittpunkt C. � Man muss den Winkel β berechnen. �, �, � Konstruktionsbeschreibung: Zeichne Strecke c mit A und B, trage an c in B den Winkel β an, Kreisbogen um A mit Radius b. Bei � ergeben sich zwei Schnittpunkte C1 und C2, sodass das 1 un � Dreieck nicht eindeutig festgelegt ist. Bei ergibt sich der Schnittpunkt C. Also lso C mit A verbinden. Bei � gibt es keinen Schnittpunkt, also im Unterschied zu � und � auch kein Dreie Dreieck. Geometrische Geometr sche Grundkonstruktionen Grund ns und -begriffe begriffe 8 Lösung � Konstrukt Konstruktion S Spiegelachse i Kreisbogen um Punkt A und Punkt A’ mit gleich Kreisbog großem Radius. Die Schnittpunkte, die entstehen, groß nittp ie so entste werden durch eine Gerade verbunden. Das ist die erade v n. D Spiegelachse. Alternative: ive A und A’ ve verbinden, Mittelpunkt M der Strecke bebinden, Mitte stimmen, mmen, Senkrechte Senkrecht zu dieser Strecke in M zeichnen. Das ist die di Spiegelachse. � Sandras Originaldreieck und Bilddreieck haben offensichtlich keine entsprechend gleich langen Seiten. Christinas Dreiecke haben den gleichen Umlaufsinn, das kann bei einer Achsenspiegelung nicht sein. Bernhard Bäcker: Geometrische Grundkonstruktionen und -begriffe 2 © Persen Verlag 20 Geometrische Grundkonstruktionen und -begriffe 9 Lösung � Berechnung fehlender Innenwinkel a) γ = 50° b) α = 33° c) γ = 28° d) α = 156° c) 45° d) 67,5° � Mögliche Winkelpaare: (100°, 15°); (35°, 80°); (65°, 50°); (40°, 75°) � Die Basiswinkel haben folgende Größe: a) 77,5° b) 55° e) 25° f) 62° � Der Winkel APB ist 91° groß. Geometrische Geometri sche Grundkonstruktionen Grund ns und -begriffe begriffe 10 10 � Senkrecht Senkrechte Symm Symmetrieachse mittig: Lösung Horizontale Symmetrieachse mittig: Hor Punktsymmetrie: Wenn man sich ausschli ausschließlich eßlich auf die Form beschränkt, kommen zwei Flaggen dazu. Horizontale senkrechte Symmetrieachse mittig und Punktsymmetrie: rizontale und un nd senk Punktsymmetrie: symmetr � Drehsymmetrisch. Drehzentrum immer im Zentrum der Figur. Nicht drehsymmetrisch: 90°, 180°, 270°: 180°: 120°, 240°: Jeder beliebige Drehwinkel: Bernhard Bäcker: Geometrische Grundkonstruktionen und -begriffe 2 © Persen Verlag 21 Geometrische Grundkonstruktionen und -begriffe 1 Tipps Zu � Du kannst zunächst nur die Elemente zeichnen, die vorgegeben sind. Beginne mit dem Zeichnen der Strecke von A nach B. Zu � Beginne die Konstruktion mit der Seite a. Danach trägst du den gegebenen W Winkel ab. Die Länge von b muss mit einem Zirkelschlag abgetragen werden. Bernhard Bäcker: Geometrische Grundkonstruktionen und -begriffe 2 © Persen Verlag 22 Geometrische Grundkonstruktionen und -begriffe 2 Tipps Zu � Gleich große Winkel findest du hier durch die Winkelbeziehungen von Scheitelwinkeln. Hinweis zu „Größe aller Winkel“: Denke an die Winkelbeziehungen von Nebenwinkeln und an den Winkelsummensatz in Dreiecken. Zu � Als Hilfe zeichne zwei Geraden in dein Heft, die sich schneiden. Dabei wähle unterschiedliche le un Situationen/Winkel. Bernhard Bäcker: Geometrische Grundkonstruktionen und -begriffe 2 © Persen Verlag 23 Geometrische Grundkonstruktionen und -begriffe 3 Tipps Zu � Zeichne zunächst den Durchmesser und bestimme den Mittelpunkt (z. B. über die Konstruktion der Mittelsenkrechten). Damit ist auch der Radius gegeben. Zu � n du allgemein über Betrachte, welche Unterschiede in der Größe der Winkel vorliegen. Was kannst die Winkel sagen, die auf dem Kreisbogen liegen, die unterhalb des Kreisbogens bogen liegen und die oberhalb des Kreisbogens liegen? Zur Veranschaulichung nimm das Dreieck, das unterhalb des Kreisbogens Überlege dir, wie ens liegt. Übe sich der Winkel γ entwickelt, wenn der Eckpunkt des Dreiecks sich dem Kreisbogen n nähert und dann irgendwann darüber hinausgeht. Dabei ist es auch wichtig, anderen zugehörigen ig, dass du die an Winkel betrachtest; denn die drei Winkel eines Dreiecks nur 180° groß. nes D cks sind zzusammen usammen n Bernhard Bäcker: Geometrische Grundkonstruktionen und -begriffe 2 © Persen Verlag 24 Geometrische Grundkonstruktionen und -begriffe 4 Tipps Zu � Erinnere dich. Punkt und Bildpunkt liegen auf einer Senkrechten zur Spiegelachse, sie liegen jeweils auf der anderen Seite der Spiegelachse und sie haben den gleichen Abstand zur Spiegelachse. Zu � Überprüfe, ob die Bildfigur alle Eigenschaften einer Geradenspiegelung besitzt: esitzt: • Punkt und Bildpunkt liegen auf einer Senkrechten zur Spiegelachse; • Punkt und Bildpunkt haben den gleichen Abstand von der Spiegelachse, egela hse, auf unte unterschiedlichen Seiten; • der Umlaufsinn der Figur ändert sich. Bernhard Bäcker: Geometrische Grundkonstruktionen und -begriffe 2 © Persen Verlag 25 Geometrische Grundkonstruktionen und -begriffe 5 Tipps Zu � Suche Seiten, die im Dreieck ABC die gleiche Länge haben wie im Dreieck DEF. Suche Winkel, die im Dreieck ABC die gleiche Größe haben wie im Dreieck DEF. Zu � ng Seite im Dreieck Kläre, ob es zu jeder Seite des Dreiecks ABC eine entsprechende, gleich lange DEF gibt. e im Dreie Wenn dieses nicht der Fall ist, dann überprüfe, ob mindestens eine Seite Dreieck ABC und DEF gleich lang ist. Verschiebe dann gegebenenfalls den Eckpunkt des Dreiecks, d der dieser Seite gegenüberliegt, sodass alle Seiten gleich lang sind. Bernhard Bäcker: Geometrische Grundkonstruktionen und -begriffe 2 © Persen Verlag 26 Geometrische Grundkonstruktionen und -begriffe 6 Tipps Zu � Achte darauf, dass du alle möglichen Zusammenstellungen von drei Holzstäben findest und entscheide bei jeder Zusammenstellung, ob es ein Dreieck ergibt. Gehe systematisch vor, also z. B.: 3 cm, 4 cm, 8 cm Entscheidung: kein Dreieck, weil 3 cm + 4 cm < 8 cm 3 cm, 4 cm, 11 cm Entscheidung: kein Dreieck, weil 3 cm + 4 cm < 11 cm 3 cm, 4 cm, 13 cm Entscheidung: kein Dreieck, weil 3 cm + 4 cm < 13 cm 3 cm, 4 cm, 20 cm Entscheidung: kein Dreieck, weil 3 cm + 4 cm < 20 cm 4 cm, 8 cm, 11 cm Entscheidung: ergibt ein Dreieck, weil 4 cm + 8 cm m > 11 cm ... Zu � Beginne immer mit der längsten Seite. Beim Zeichn Zeichnen Kreisbögen um die Eckpunkte en der Krei e Eckpunk e gibt es entweder einen Schnittpunkt oder die Dreieckskonstruktion e Dreiecks konstr ktion ist nicht möglich. Zu � b) Beginne mit der läng längsten gsten Seite. Bernhard Bäcker: Geometrische Grundkonstruktionen und -begriffe 2 © Persen Verlag 27 Geometrische Grundkonstruktionen und -begriffe 7 Tipps Zu � Beginne mit dem Zeichnen von Seite c. Zu � Überlege, welche Konstruktionsschritte direkt nach dem Zeichnen der Seite c notwendig sind und was du dementsprechend benötigst. Zu � Beginne mit der Seite c. Trage den Winkel β ab. Konstruiere die eines Kreise Seite b mithilfe eine bogens. Achte hier auf einen Sonderfall. Zu � Beginne mit der Seite c. Trage den ab. Kon Konstruiere die Seite b mithilfe Kreisn Winkel β a lfe eines Krei bogens. Zu � Versuche die Konstru Konstruktion Schnittpunkt? Versuch on wie in Aufgabe �. Warum um gibt es keinen Schn Bernhard Bäcker: Geometrische Grundkonstruktionen und -begriffe 2 © Persen Verlag 28 Geometrische Grundkonstruktionen und -begriffe 8 Tipps Zu � Die Spiegelachse ist die Mittelsenkrechte zwischen A und A’. Zu � Achte auf die Längen der Seiten und auf den Umlaufsinn der Figuren. Bernhard Bäcker: Geometrische Grundkonstruktionen und -begriffe 2 © Persen Verlag 29 Geometrische Grundkonstruktionen und -begriffe 9 Tipps Zu � Wende den Winkelsummensatz im Dreieck an. Zu � Die Summe der drei Winkel muss immer 180° betragen. Zu � Die beiden Basiswinkel sind gleich groß. Zu � Zunächst musst du die Größe eines weiteren Winkels Winkelbeziehungen von Wechse Wechseln Win ls über die Winke winkeln bestimmen. Danach kannst du den W Winkelsummensatz nutzen. inkelsummensat im Dreieck nutze Bernhard Bäcker: Geometrische Grundkonstruktionen und -begriffe 2 © Persen Verlag 30 Geometrische Grundkonstruktionen und -begriffe 10 Tipps Zu � Achsensymmetrie: Betrachte die Achsen, die horizontal und vertikal jeweils durch den Mittelpunkt der Flaggen verlaufen. Bei der Punktsymmetrie muss die Flagge nach einer Drehung um 180° wieder das Aussehen zeigen wie in der Ausgangslage. Zu � Bei der Drehsymmetrie muss die Figur nach dem Drehen um einen bestimmten Punkt und Winkel mmten Pu in der neuen Lage das gleiche Aussehen zeigen wie in der Ausgangssituation. uatio Betrachte z. B. Drehungen um 90°, 120°, 180°, 240° und 270°. Bernhard Bäcker: Geometrische Grundkonstruktionen und -begriffe 2 © Persen Verlag 31 ® Bergedorfer Weitere Downloads, E-Books und Print-Titel des umfangreichen Persen-Verlagsprogramms finden Sie unter www.persen.de Hat Ihnen dieser Download gefallen? Dann geben Sie jetzt ertung auf www.persen.de direkt bei dem Produkt Ihre Bewertung ungen m it. ab und teilen Sie anderen Kunden Ihre Erfahrungen mit. © 2012 Persen Ver Verlag, ag, Buxtehude AAP Lehrerfachverlage GmbH rfachverlage Gmb Alle Rechte vorbehalten. hte vorbeha n. Das Werk als Ganzes sow sowie in seinen Teilen unterliegt dem deutschen Urheberrecht. Der Erwerber des Werkes ist berechtigt, das Werk als Ganzes oder in sein seinen Teilen für den eigenen Gebrauch und den Einsatz im Unterricht zu nutzen. Die Nutzung ist nur für den genannten Zweck gestattet, nicht jedoch für einen weiteren kommerziellen Gebrauch, für die Weiterleitung an Dritte oder für die Veröffentlichung im Internet oder in Intranets. Eine über den genannten Zweck hinausgehende Nutzung bedarf in jedem Fall der vorherigen schriftlichen Zustimmung des Verlages. Die AAP Lehrerfachverlage GmbH kann für die Inhalte externer Sites, die Sie mittels eines Links oder sonstiger Hinweise erreichen, keine Verantwortung übernehmen. Ferner haftet die AAP Lehrerfachverlage GmbH nicht für direkte oder indirekte Schäden (inkl. entgangener Gewinne), die auf Informationen zurückgeführt werden können, die auf diesen externen Websites stehen. Grafik: Bernhard Bäcker, Mele Brink Satz: Satzpunkt Ursula Ewert GmbH, Bayreuth Bestellnr.: 3564DA2 www.persen.de
