Vorbereitungsskript Alt

Mathematik Abiturvorbereitungsskript
Das vorliegende Skript wurde erstellt durch:
Marco Johannes Türk
[email protected]
Für die GTR-Anleitungen wurder ein GTR von Texas Instruments aus der TI-82 Reihe verwendet
Das Skript kann auf Wunsch um weitere Kapitel ergänzt werden, schreiben Sie mir hierzu einfach
eine Mail mit den gewünschten Themen bzw. Kapiteln.
Vielen Dank an Thomas Kässer, Gabriele Türk für das Korrekturlesen des Skriptums.
© 29.01.2014 Marco Johannes Türk
Inhaltsverzeichnis
1 Mathematische Grundlagen
1.1 Bruchrechnen . . . . . . .
1.2 Potenzgesetze . . . . . . .
1.3 Logarithmen . . . . . . .
1.4 Prozentrechnung . . . . .
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2 Lösen von Gleichungen
2.1 Polynomgleichugen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.1.1 Quadratische Gleichungen . . . . . . . . . . . . . . . .
2.1.2 Gleichungen, die auf quadratische Gleichungen führen
2.1.3 Biquadratische Gleichungen . . . . . . . . . . . . . . .
2.2 Exponentialgleichungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2.1 Einfache Exponentialgleichungen . . . . . . . . . . . .
2.2.2 Komplexe Exponentialgleichungen . . . . . . . . . . .
2.3 Der Satz vom Nullprodukt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.4 Trigonometrische Gleichungen . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.4.1 einfache trigonometrische Gleichungen . . . . . . . . .
2.4.2 komplexe trigonometrische Gleichungen . . . . . . . .
2.5 Gleichungen mit dem GTR . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.6 Weitere Aufgaben zum Üben . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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3 Funktionen
3.1 Wirkung von Parametern auf Funktionen . . . . . . . . .
3.2 Polynomfunktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.3 Besondere Symmetrie von Funktionen . . . . . . . . . . .
3.3.1 Achsensymmetrie zur y-Achse . . . . . . . . . . . .
3.3.2 Punktsymmetrie zum Ursprung . . . . . . . . . . .
3.4 Exponentialfunktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.4.1 Eigenschaften der Exponentialfunktion . . . . . . .
3.4.2 Die natürliche Exponentialfunktion . . . . . . . . .
3.4.3 Komplexere Exponentialfunktionen . . . . . . . . .
3.5 Trigonometrische Funktionen . . . . . . . . . . . . . . . .
3.5.1 Der Einheitskreis und das Bogenmaß . . . . . . . .
3.5.2 Trigonometrische Funktionen . . . . . . . . . . . .
3.5.3 Die allgemeine Sinusfunktion . . . . . . . . . . . .
3.6 Gebrochenrationale Funktionen . . . . . . . . . . . . . . .
3.6.1 Nullstellen gebrochenrationaler Funktionen . . . .
3.6.2 Besondere Eigenschaften . . . . . . . . . . . . . . .
3.6.3 Verhalten gegen |x| → ±∞ . . . . . . . . . . . . .
3.6.4 Asymptoten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.6.5 Konstruktion von gebrochenrationalen Funktionen
3.7 Parameterfunktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.8 Globaler Verlauf von Funktionen . . . . . . . . . . . . . .
3.9 Weitere Aufgaben zum Üben . . . . . . . . . . . . . . . .
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Inhaltsverzeichnis
4 Die Ableitung
4.1 Die Deﬁnition . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.1.1 Deutung . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.2 Ableitungsregeln . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.2.1 Die Potenz-, Summen- und Faktorregel
4.2.2 Die Ableitung wichtiger Funktionen . .
4.2.3 Die Kettenregel . . . . . . . . . . . . . .
4.2.4 Die Produktregel . . . . . . . . . . . . .
4.2.5 Die Quotientenregel . . . . . . . . . . .
4.3 Bestimmung der Tangente . . . . . . . . . . . .
4.4 Bestimmung der Normalen . . . . . . . . . . .
4.5 Allgemeine Tangentengleichung . . . . . . . . .
4.6 Berühren zweier Schaubilder . . . . . . . . . . .
4.7 Orthogonales Schneiden zweier Schaubilder . .
4.8 Weitere Aufgaben zum Üben . . . . . . . . . .
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5 Eigenschaften von Funktionen
5.1 Monotonie . . . . . . . . . . .
5.2 Krümmung von Funktionen .
5.3 Lokale Extrema . . . . . . . .
5.4 Wendepunkte . . . . . . . . .
5.5 Bestimmen der Ortskurve . .
5.6 Weitere Aufgaben zum Üben
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6 Konstruktion von Funktionen
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6.1 Konstruktion von Funktionen mit gegebenen Eigenschaften . . . . . . . . . . . . . . 73
6.2 Weitere Aufgaben zum Üben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75
7 Integralrechnung
7.1 Die Stammfunktion . . . . . . . . . . . . . . . . .
7.2 Berechnen von Integralen . . . . . . . . . . . . .
7.3 Rechenregeln für Integrale . . . . . . . . . . . . .
7.4 Die Integralfunktion . . . . . . . . . . . . . . . .
7.5 Bestimmen von Flächeninhalten mit dem Integral
7.6 Flächen zwischen zwei Funktionen . . . . . . . .
7.7 Mittelwerte von Funktionen . . . . . . . . . . . .
7.8 Rotationskörper . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7.9 Uneigentliche Integrale . . . . . . . . . . . . . . .
7.10 Weitere Aufgaben zum Üben . . . . . . . . . . .
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8 Exponentielles Wachsen und Fallen
8.1 Bestimmen der Wachstumsfunktion . . . . . . . . . . . . . .
8.2 Halbwerts- und Verdoppelungszeit . . . . . . . . . . . . . .
8.3 Die Diﬀerentialgleichung des Exponentiellen Wachstums . .
8.4 Die DGL des beschränkten Wachstums und Zerfalls . . . .
8.4.1 Bestimmen der DGL beim beschränkten Wachstum
8.5 Weitere Aufgaben zum Üben . . . . . . . . . . . . . . . . .
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9 Lineare Gleichungssysteme
100
9.1 Das Gauß-Verfahren zur Lösung von LGS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100
9.2 Lineare Gleichungssysteme mit dem GTR . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104
ii
Inhaltsverzeichnis
9.3
9.4
Lösungsmengen von LGS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105
Weitere Aufgaben zum Üben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106
10 Vektoren
10.1 Rechnen mit Vektoren . . . . . . .
10.2 Der Verbindungsvektor . . . . . . .
10.3 Das Skalarprodukt . . . . . . . . .
10.4 Bestimmen orthogonaler Vektoren
10.5 Das Kreuzprodukt . . . . . . . . .
10.6 Weitere Aufgaben zum Üben . . .
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11 Geraden und Ebenen
11.1 Geraden . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
11.2 Gegenseitige Lage von Geraden . . . . . . . . . . . .
11.3 Ebenen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
11.3.1 Die Parameterform . . . . . . . . . . . . . . .
11.3.2 Die Normalengleichung . . . . . . . . . . . .
11.3.3 Die Koordinatengleichung . . . . . . . . . . .
11.4 Gegenseitige Lage von Geraden und Ebenen . . . . .
11.5 Gegenseitige Lage von Ebenen . . . . . . . . . . . .
11.6 Winkelberechnungen . . . . . . . . . . . . . . . . . .
11.6.1 Schnittwinkel von Geraden . . . . . . . . . .
11.6.2 Schnittwinkel Gerade - Ebene . . . . . . . . .
11.6.3 Schnittwinkel zweier Ebenen . . . . . . . . .
11.7 Abstandsberechnung . . . . . . . . . . . . . . . . . .
11.7.1 Abstand Punkt - Ebene . . . . . . . . . . . .
11.7.2 Abstand Punkt - Gerade . . . . . . . . . . . .
11.7.3 Abstand zweier windschiefer Geraden . . . .
11.7.4 Abstand zweier paralleler Geraden . . . . . .
11.7.5 Abstand zweier zueinander paralleler Ebenen
11.8 Spiegelungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
11.8.1 Spiegelung Punkt - Punkt . . . . . . . . . . .
11.8.2 Spiegelung Punkt - Gerade . . . . . . . . . .
11.8.3 Spiegelung Punkt - Ebene . . . . . . . . . . .
11.9 Weitere Aufgaben zum Üben . . . . . . . . . . . . .
12 Stochastik
12.1 Der Wahrscheinlichkeitsbegriﬀ . . . . . . . . . . . . .
12.1.1 Baumdiagramme . . . . . . . . . . . . . . . .
12.1.2 Das Ereignis . . . . . . . . . . . . . . . . . .
12.1.3 Relative Häuﬁgkeiten und Wahrscheinlichkeit
12.2 Das Laplace-Experiment . . . . . . . . . . . . . . . .
12.3 Wahrscheinlichkeiten im Baumdiagramm . . . . . . .
12.4 Das Urnenmodell . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
12.4.1 Ziehen mit Zurücklegen . . . . . . . . . . . .
12.4.2 Ziehen ohne Zurücklegen . . . . . . . . . . . .
12.5 Bernoulli-Experimente . . . . . . . . . . . . . . . . .
12.5.1 Bernoulli-Ketten . . . . . . . . . . . . . . . .
12.5.2 Binomialverteilung . . . . . . . . . . . . . . .
12.6 Der Erwartungswert . . . . . . . . . . . . . . . . . .
12.6.1 Das faire Spiel . . . . . . . . . . . . . . . . .
iii
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140
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164
165
165
167
169
169
171
172
173
Inhaltsverzeichnis
12.7 Einseitiger Hypothesentest . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 174
12.8 Weitere Aufgaben zum Üben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 177
13 Lösungen
13.1 Lösungen
13.2 Lösungen
13.3 Lösungen
13.4 Lösungen
13.5 Lösungen
13.6 Lösungen
13.7 Lösungen
13.8 Lösungen
13.9 Lösungen
13.10Lösungen
13.11Lösungen
zu:
zu:
zu:
zu:
zu:
zu:
zu:
zu:
zu:
zu:
zu:
Lösen von Gleichungen . . . . . . . . .
Funktionen . . . . . . . . . . . . . . .
Die Ableitung . . . . . . . . . . . . . .
Funktionsuntersuchungen . . . . . . .
Konstruktion von Funktionen . . . . .
Integralrechnung . . . . . . . . . . . .
Exponentielles Wachsen und Zerfallen
Lineare Gleichungssysteme . . . . . . .
Vektoren . . . . . . . . . . . . . . . . .
Geraden und Vektoren . . . . . . . . .
Stochastik . . . . . . . . . . . . . . . .
iv
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178
178
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186
192
195
197
201
203
204
207
214
1 Mathematische Grundlagen
Die in dem folgenden Kapitel aufgeführten Grundlagen dienen als Basis, um den abiturrelevanten
Stoﬀ verstehen zu können, bzw. um Fehler im Abitur zu vermeiden, welche für unnötigen Punktabzug sorgen.
1.1 Bruchrechnen
Seien
a
c
und zwei Brüche, dann gelten die folgenden Rechenvorschriften:
b
d
a
+
b
a
−
b
a
·
b
a
:
b
c
d
c
d
c
d
c
d
ad
+
bd
ad
=
−
bd
a·c
=
b·d
cb
ad + cb
=
bd
bd
cb
ad − cb
=
bd
bd
=
=
a
b
c
d
=
a d
a·d
· =
b c
b·c
Bemerkung: Die Zahl b · d beim Addieren und Subdrahieren von Brüchen nennt man den gemeinsamen Nenner, sie ist das Produkt aller Nenner. Das Bilden eines gemeinsamen Nenners kann
man sich sparen, wenn die Nenner der zu addierenden Brüche schon gleich sind.
Beispiel:
1 2
5
6
5+6
11
+ =
+
=
=
3 5
15 15
15
15
7 1
21
8
21 − 8
13
− =
−
=
=
8 3
24 24
24
24
3 4
3·4
12
· =
=
7 9
7·9
63
6
6 3
6 5
6·5
30
: = 83 = · =
=
8 5
8 3
8·3
24
5
Bemerkung: Rechnungen dieser Art müssen nicht so ausführlich wie oben dargestellt aufgeschrieben werden, dies dient lediglich dem Verständnis.
Unter Kürzen versteht man das Teilen des Zählers und des Nenners durch dieselbe Zahl.
Unter Erweitern versteht man das Multiplizieren des Zählers und des Nenners mit derselben
Zahl.
1
1 Mathematische Grundlagen
1.2 Potenzgesetze
Die Potenzgesetze werden zum Vereinfachen von Termen benötigt, dies verringert den Rechenaufwand beim Lösen von Gleichungen und dem Bilden von Ableitungen.
Es gelten die folgenden Gesetzmäßigkeiten:
an = a
· ... · a}
| · a {z
an · am = an+m
n−mal
an
= an−m
am
a n a n
= n
b
b
a0 = 1
1
a
1
−n
a = n
a
√
1
n
a = an
√
m
n m
a = an
a−1 =
an · bn = (a · b)n
(am )n = am·n
Beispiel:
57 · 52 = 57+2 = 59
30 = 1
37
= 37−3 = 34
33
5
3
35
= 5
2
2
1
e
1
= 2
8
e−1 =
8−2
√
3
43 · 73 = (4 · 7)3 = 283
3
25 = 25·3 = 215
√
7
2
1
5 = 53
3
23 = a 7
1 Mathematische Grundlagen
1.3 Logarithmen
Die Logarithmen sind das Gegenstück zur Exponentialfunktion. Mit den Logarithmengesetzen kann
man erhaltene Ergebnisse beim Lösen von Gleichungen vereinfachen. Diese Gesetzmäßigkeiten gelten
für alle Logarithmen. Da jedoch in der Kursstufe häuﬁg nur noch der ln benötigt wird, sind diese
Gesetze hier explizit für den ln formuliert.
ln(a · b) = ln(a) + ln(b)
a
ln
= ln(a) − ln(b)
b
ln (an ) = n · ln(a)
1
ln n = −n · ln(b)
b
1
√
ln n x = · ln(x)
n
ln(1) = 0
ln(e) = 1
Beispiel:
ln(3x) = ln(3) + ln(x)
1
ln
= ln(1) − ln(2) = − ln(2)
2
ln x3 = 3 · ln(x)
1
ln
= −5 · ln(x)
x5
√ 1
ln 3 x = · ln(x)
3
ln(1) = 0
ln(e) = 1
3
1 Mathematische Grundlagen
1.4 Prozentrechnung
Die Prozentrechnung spielt beim Berechnen des Wachstums von Beständen eine wichtige Rolle,
allgemein gilt:
Der Prozentsatz p% gibt einen Anteil von einem Grundwert G an. Die errechnete Zahl nennt
man den Prozentwert W , es gilt
p
·G=W
100
Prozent bedeutet von hundert, d.h. der Prozentsatz gibt einen Anteil von hundert an.
Beispiel: 30% von 1300 kg =
30
100
· 1300 kg = 390 kg.
Eine Zunahme eines Bestandes um p% bedeutet, dass zu dem Anfangswert x ein Anteil von
p% hinzukommt:
p
p x+
·x=x· 1+
100
100
Eine Abnahme eines Bestandes um p% bedeutet, dass von dem Anfangswert x ein Anteil von
p% abgezogen wird:
p
p x−
·x=x· 1−
100
100
Beispiel: Ein Kapital von 1200 € wächst um 10% an, berechne den neuen Wert des Kapitals.
1200 +
10
· 1200 = 1200 + 0, 1 · 1200 = 1200 · (1 + 0, 1) = 1200 · 1, 1 = 1320
100
4
2 Lösen von Gleichungen
• Handelt es sich um eine lineare Gleichung, so muss man durch Äquivalenzumformungen
die Gleichung so umformen, dass die Unbekannte allein auf einer Seite steht.
• Sofern möglich, sollte man immer versuchen, die Gleichung zu faktorisieren, d.h. man
sollte versuchen, aus der Gleichung ein Produkt zu machen. Indem man, wenn möglich, x
(oder x2 , x3 , usw...) ausklammert (oft ist es auch sinnvoll, dass man irgendwelche andern
Faktoren, welche x enthalten ausklammert (z.B. cos(x) siehe Abitur 2012))
• Handelt es sich um nicht lineare Gleichungen, so formt man diese so um, dass sie die
Gestalt Term= 0 haben.
• Je nach Aufgabenstellung muss man am Ende noch eine Lösungsmenge der Form
L = {x1 ; x2 ; ...} angeben.
2.1 Polynomgleichugen
Polynomgleichungen sind Gleichungen der Form a · xn + b · xn−1 + ... = 0, wobei hier a, b, ... irgendwelche Zahlen (auch 0) darstellen, diese Zahlen werden als Koeﬃzienten bezeichnet. Man sagt,
die Gleichung sei vom Grad n, wenn n der größte vorkommende Exponent der Unbekannten ist. Im
Abitur kann nur eine äußerst beschränkte Anzahl an Typen von Polynomgleichungen vorkommen,
diese sind im Folgenden aufgelistet.
2.1.1 Quadratische Gleichungen
Eine quadratische Gleichung ist eine Gleichung der Form a · x2 + b · x + c = 0, mit a, b, c ∈ R; a 6= 0.
Die p-q-Formel: Gegeben sei eine Gleichung der Form x2 + px + q = 0. Die Lösungen dieser
Gleichung sind gegeben durch
r p
p 2
x1;2 = − ±
−q
2
2
Wichtig: Um diese anwenden zu können, muss man beachten, dass der Koeﬃzient von x2 gleich 1
ist. Steht z.B. eine 2 vor x2 muss man noch die komplette Gleichung durch 2 teilen.
5
2 Lösen von Gleichungen
Beispiel: Bestimmen Sie die Lösung der folgenden quadratischen Gleichung: 2x2 − 2x − 4 = 0
0 = 2x2 − 2x − 4
0 = x2 − x − 2
s 1
1 2
x1;2 = ±
+2
2
2
r
1
1
= ±
+2
2
4
r
1
9
= ±
2
4
1 3
= ±
2 2
x1 = 2
x2 = −1
Aufgabe: Bestimmen Sie die Lösungsmenge der folgenden Gleichung: x2 − 6x + 5 = 0.
Aufgabe: Bestimmen Sie die Lösungsmenge der folgenden Gleichung: − 16 x2 + 12 x = − 20
3
6
2 Lösen von Gleichungen
2.1.2 Gleichungen, die auf quadratische Gleichungen führen
Gegeben ist eine Gleichung, welche x oder x2 im Nenner eines Bruches enthält. Um diese Gleichung
lösen zu können, muss man entsprechend die ganze Gleichung mit x bzw. x2 multiplizieren und
erhält somit nach dem Kürzen eine quadratische Gleichung.
2
Beispiel: Lösen Sie die folgende Gleichung 2x − 4 = .
x
2x − 4 =
2
x
2x2 − 4x = 2
0 = 2x2 − 4x − 2
0 = x2 − 2x − 1
p
x1;2 = 1 ± 12 + 1
√
=1± 2
√
x1 = 1 + 2
√
x2 = 1 − 2
Aufgabe: Bestimmen Sie die Lösungsmenge der folgenden Gleichung:
1
2
+ 2 =3
x x
Aufgabe: Bestimmen Sie die Lösungsmenge der folgenden Gleichung: x + 1 −
7
6
=0
x
2 Lösen von Gleichungen
2.1.3 Biquadratische Gleichungen
Biquadratische Gleichungen sind Gleichungen der Form a · x4 + b · x2 + c = 0
Herangehensweise zum Lösen biquadratischer Gleichungen:
1. Bringe die Gleichung auf die Form x4 + p · x2 + q = 0.
2. Setze x2 = u, die Gleichung hat nun die Form u2 + p · u + q = 0
3. Bestimme die Lösungen u1 ; u2 dieser Gleichung mittels der p-q-Formel.
4. Löse die beiden Gleichungen x2 = u1 und x2 = u2 um die Lösungen der ursprünglichen
Gleichung zu erhalten.
Beispiel: Lösen Sie die folgende Gleichung: 2x4 − 5x2 + 2 = 0
Lösung:
2x4 − 5x2 + 2 = 0
5
x4 − x2 + 1 = 0
2
Setze x2 = u:
5
u2 − u + 1 = 0
2
5
u1;2 =
4
5
=
4
5
=
4
5
=
4
1
u1 =
2
u2 = 2
r
25
−1
16
r
25 − 16
±
16
r
9
±
16
3
±
4
±
Rücksubstitution:
x2 =
x1 =
1
2
r
1
2
r
x2 = −
x2 = 2
x3 =
2
√
x4 = − 2
1
2
Die Lösungsmenge lautet demnach: L =
√
(
)
r r
√
1
1 √
− 2; −
;
; 2
2
2
8
2 Lösen von Gleichungen
Aufgabe: Bestimmen Sie die Lösungsmenge der folgenden Gleichung: x4 − 4x2 + 3 = 0.
Aufgabe: Bestimmen Sie die Lösungsmenge der folgenden Gleichung: x4 + 3x2 − 4 = 0.
9
2 Lösen von Gleichungen
2.2 Exponentialgleichungen
Exponentialgleichungen sind Gleichungen, bei welchen die Unbekannte im Exponenten steht.
2.2.1 Einfache Exponentialgleichungen
Beim Lösen von Exponentialgleichungen gilt es zu beachten:
• Die Exponentialfunktion ex ist immer ungleich 0.
• Der Satz vom Nullprodukt ist oft nützlich.
• Die Potenz und Logarithmengesetze sind nützlich: e2x = (ex )2 und e0 = 1, sowie ln(1) = 0
und ln(e) = 1.
• Um eine Exponentialgleichung zu lösen, werden beide Seiten der Gleichung logarithmiert.
Beispiel: Bestimmen Sie die Lösung der folgenden Gleichung 3 · 2x = 5:
3 · 2x = 5
5
2x =
3 5
x
ln (2 ) = ln
3
5
x · ln(2) = ln
3
5
ln 3
x=
ln(2)
Aufgabe: Bestimmen Sie die Lösung der folgenden Gleichung e2x = 3:
Aufgabe: Bestimmen Sie die Lösung der folgenden Gleichung 3 · 42x+1 = 3:
10
2 Lösen von Gleichungen
2.2.2 Komplexe Exponentialgleichungen
Komplexe Exponentialgleichungen sind Gleichungen der Form a · e2x + b · ex + c = 0 bzw. a · ex +
1
b · x + c = 0 ... .
e
Schritte zum Lösen komplexer Exponentialgleichungen:
1. Setze ex = u.
2. Löse die so erhaltene quadratische Gleichung mittels der p-q-Formel
3. Führe die Rücksubstitution durch, durch Bestimmen der Lösung der Gleichung ex = u.
Beispiel: Bestimmen Sie die Lösung der folgenden Gleichung e2x − 6ex + 5 = 0:
Lösung: Setze ex = u:
u2 − 6u + 5 = 0
u1;2 = 3 ±
=3±
√
√
=3±2
u1 = 1
u2 = 5
Rücksubstitution:
ex = 1
x = ln(1)
x1 = 0
ex = 5
x2 = ln(5)
Die Lösungsmenge lautet demnach: L = {0; ln(5)}
11
9−5
4
2 Lösen von Gleichungen
Aufgabe: Bestimmen Sie die Lösung der folgenden Gleichung 2e2x − 5ex + 2 = 0:
Aufgabe: Bestimmen Sie die Lösung der folgenden Gleichung ex − 5 +
12
6
= 0:
ex
2 Lösen von Gleichungen
2.3 Der Satz vom Nullprodukt
Der Satz vom Nullprodukt:
Eine Gleichung, welche aus zwei oder mehr Faktoren besteht (z.B. (x2 − 5) · (ex − 1) = 0) lässt
sich lösen, indem man die einzelnen Faktoren null setzt und die neu erhaltenen Gleichungen
löst.
Beispiel: Bestimmen Sie die Lösungsmenge der folgenden Gleichung Gleichung (x2 − 2x − 1) · x ·
(x2 − 9) = 0.
Lösung:Mit Hilfe des Satzes vom Nullprodukt kann man diese Gleichung lösen, man muss lediglich
Lösungen der Gleichungen x2 − 2x − 1 = 0, x = 0 und x2 − 9 = 0 bestimmen.
0 = x2 − 2x − 1
√
x1;2 = 1 ± 1 + 1
√
x1;2 = 1 ± 2
x3 = 0
0 = x2 − 9
9 = x2
x4;5 = ±3
√
√
Die Lösungsmenge der Gleichung ist L = {−3; 1 − 2; 0; 1 + 2; 3}.
Aufgabe: Bestimmen Sie die Lösung der folgenden Gleichung (2x − 5) · e−x = 0:
Aufgabe: Bestimmen Sie die Lösung der folgenden Gleichung (2x + 4) · (e2x − 4) = 0:
13
2 Lösen von Gleichungen
2.4 Trigonometrische Gleichungen
2.4.1 einfache trigonometrische Gleichungen
Häuﬁg kommt es vor, dass man eine Gleichung der Form sin(x) ± 1 = 0 oder sin(x) = 0 (auch mit
dem Kosinus) lösen muss. Oft ist hierbei noch ein Wertebereich für x angegeben, d.h. Werte für x,
welche man zum Lösen der Gleichung einsetzen darf (z.B. x ∈ [0, 2π]). Dies vereinfacht das Lösen
von trigonometrischen Gleichung ungemein, denn man muss hierbei nur die wichtigen Werte von
Sinus und Kosinus auswendig kennen:
Wichtige Werte von Sinus und Kosinus:
x
0
sin(x)
0
π
2
1
cos(x)
1
0
0
3
π
2
−1
−1
0
π
2π
0
1
Beispiel: Bestimmen Sie die Lösung der folgenden Gleichung für x ∈ [0; 2π].
cos(x) · sin(x) − 2 cos(x) = 0
Lösung: Ausklammern von cos(x) liefert: cos(x) · (sin(x) − 2) = 0. Der Satz vom Nullprodukt sagt
uns: cos(x) = 0 oder sin(x) − 2 = 0.
cos(x) = 0 ⇒ x = π2 oder x = 32 π und sin(x) − 2 = 0 ⇒ sin(x) = 2 ist nicht lösbar, da sin(x) nur
Werte im Bereich von −1 bis 1 annimmt, somit ist die Lösungsmenge: L = { π2 ; 32 π}
Aufgabe: Lösen Sie die folgende Gleichung cos(x) · (sin(x) − 1) = 0; für x ∈ [0; π]:
Aufgabe: Lösen Sie die folgende Gleichung cos(x) · (cos(x) + 1) = 0; für x ∈ [0; π]:
14
2 Lösen von Gleichungen
2.4.2 komplexe trigonometrische Gleichungen
Um nun eine trigonometrische Gleichung lösen zu können, bei welcher anstelle von x mehr steht
z.B. sin(2x + 1) = 0 muss man zunächst substituieren.
Schritte zum Lösen trigonometrischer Gleichungen:
1. Substituiere zunächst den Term der in der trigonometrischen Funktion steht mit einer
neuen Variablen.
2. Bestimme die Lösungen der neu erhaltenen Gleichung unter Berücksichtigung der Periodizität der Sinus und Kosinusfunktion.
3. Führe eine Rücksubstitution durch und berücksichtige das angegebene Intervall.
Beispiel: Bestimmen Sie die Lösung der folgenden Gleichung sin(2x) = 1 für x ∈ [0; 2π].
Lösung:
1. Substituiere 2x = u, somit erhält man die Gleichung sin(u) = 1
π
2. Schaut man in der Tabelle aus 2.4.1 so sieht man, dass die Lösung dieser Gleichung u =
2
ist. Nun muss man noch berücksichtigen, dass die Sinusfunktion 2π periodisch ist, somit
sind die Lösungen dieser Gleichung u = π2 + k · 2π mit k ∈ Z. Deshalb sind z.B. u1 = π2 ;
u2 = π2 + 2π = 52 π; u3 = π2 + 4π = 92 π; ... potentielle Lösungen dieser Gleichung
3. Für die Rücksubstitution muss man nun die Gleichung 2x = u lösen, somit erhält man die
Lösungen für die Gleichung:
π
5
9
2x = π
2x = π
2
2
2
π
5
9
x1 =
x2 = π
x3 = π = 2, 25π
4
4
4
Die Lösung x3 = 2, 25π liegt nicht mehr im angegebenen Intervall, weshalb die Lösungen
dieser Gleichung x1 = π4 und x2 = 54 π sind.
2x =
Aufgabe: Lösen Sie die folgende Gleichung: sin(3x) = 1; für x ∈ [0; 2π]:
15
2 Lösen von Gleichungen
Aufgabe: Lösen Sie die folgende Gleichung: cos(2x) = −1; für x ∈ [0; 2π]:
Aufgabe: Lösen Sie die folgende Gleichung: cos(2x + 1) = 0; für x ∈ [0; π]:
16
2 Lösen von Gleichungen
2.5 Gleichungen mit dem GTR
Möchte man die Lösungsmenge einer Gleichung der Form T erm1 = T erm2 bestimmen, so gibt
es zwei Möglichkeiten, dies mit dem GTR zu tun:
• Fasse die beiden Seiten der Gleichung jeweils als eine Funkion auf. Dann sind die Lösungen
der Gleichung die x-Werte der Schnittpunkte der beiden Funktionen.
• Bringt man zunächst alle Terme auf eine Seite, dass die Gleichung die Form
T erm1 − T erm2 = 0 hat, dann kann man die linke Seite der Gleichung als eine Funktion
auﬀassen und muss mit dem GTR nur noch die Nullstellen dieser Funktion bestimmen.
Diese sind dann die Lösungen der Gleichung.
Beispiel: Bestimmen Sie die Lösungen der Gleichung (sin(πx))2 + x = 3e2x−1 .
Erste Möglichkeit
1. Gib in den GTR die Funktionen Y1 = (sin(πx))2 + x und Y2 = 3e2x−1 ein.
2. Bestimme mit INTERSECT die Schnittpunkte der beiden Funktionen.
3. Die Lösungen der Gleichung sind x1 ≈ −0, 586 und x2 ≈ −0, 395
zweite Möglichkeit
1. Forme die gegebene Gleichung um:
(sin(πx))2 + x = 3e2x−1
(sin(πx))2 + x − 3e2x−1 = 0
2. Gib in den GTR die Funktion Y1 = (sin(πx))2 + x − 3e2x−1 ein.
3. Bestimme mit ZERO die Nullstellen der Funktion.
4. Die Lösungen der Gleichung sind die Nullstellen x1 ≈ −0, 586 und x2 ≈ −0, 395
17
2 Lösen von Gleichungen
2.6 Weitere Aufgaben zum Üben
1. Bestimmen Sie die Lösungsmenge der folgenden Gleichungen
2.
3.
a) x2 − 144 = 0
d) (x − 3)2 − 9 = 0
b) 4x2 − 1024 = 0
e) x2 + 8x − 9 = 0
c) (x + 5)2 − 64 = 0
f) x2 + 25 x −
1
=4
x
1
1
b)
=
x+4
2
16
c) 2x − 4 =
x
d) 2e2x − 4ex − 6 = 0
9
e) 3ex − 10 = − x
e
4
2
f) x + 4x + 4 = 0
a) (x2 − 9) · x2 = 0
d) ex · (ex + 5) = 0
b) (x − 2) · x · (x2 − 4) = 0
e) (x−2 − 9) · (x − 3) · (ln(x) + 1) = 0
c) (ex − 1) · (x2 − x − 2) = 0
f) (x3 − 8) · x5 · (ex − 4) = 0
a)
3
5
=0
g) 2x3 − 12x2 + 18x = 0
4. Bestimmen Sie die Lösungsmenge der folgenden Gleichungen für x ∈ [0, 2π]
a) sin(x) + 1 = 0
b) sin(x) · cos(x) = 0
5. Lösen Sie die folgenden Gleichungen (Aufgaben aus dem Abitur PT seit 2004)
a) 4e2x + 6ex = 4
b) 2ex −
e) e4x − 11e2x + 18 = 0
4
=0
ex
c) x ∈ [0, 2π]; sin(x) · cos(x) − 2 cos(x) = 0
d) x5 − 3x3 − 4x = 0
18
f) (2x2 − 8) · (e2x − 6) = 0
6
1
g) 4 + 2 = 1
x
x
15
x
h) e − 2 − x = 0
e
3 Funktionen
3.1 Wirkung von Parametern auf Funktionen
• Ein Parameter a außerhalb an die Funktion multipliziert f (x) → a · f (x) streckt, bzw.
staucht diese in y-Richtung. Ist |a| > 1 streckt der Parameter den Graphen der Funktion, ist |a| < 1 so staucht er den Graphen der Funktion. Ist a < 0, so wird der Graph
der Funktion an der x-Achse gespiegelt und entsprechend mit dem Faktor a gestreckt
bzw. gestaucht.
Beispiel: Die Funktion f (x) = x2 ist die Normalparabel, die Funktion h(x) = 2 · x2 geht
aus der Normalparabel hervor, indem man diese um einen Faktor 2 in y-Richtung streckt.
• Ein Parameter b der Form f (x) → f (b · x) streckt, bzw. staucht den Graphen der
Funktion in x-Richtung. Ist |b| > 1 wird der Graph der Funktion gestaucht, ist |b| < 1
wird dieser gestreckt. Ist der Parameter negativ, so wird der Graph der Funktion an der
y-Achse gespiegelt und entsprechend mit dem Faktor b gestreckt bzw. gestaucht.
Beispiel: Die Funktion f (x) = sin(x) ist die Sinusfunktion, die Funktion h(x) = sin(2 · x)
geht aus der Sinusfunktion hervor, indem man diese um einen Faktor 2 in x-Richtung
staucht.
• Ein Parameter c innerhalb der Funktion in der Form f (x) → f (x + c) verschiebt den
Graphen der Funktion in x-Richtung. Ist c > 0 so verschiebt man den Graphen der
Funktion im Koordinatensystem nach links, ist c < 0 so verschiebt man den Graphen
der Funktion im Koordinatensystem nach rechts.
Beispiel: Die Funktion f (x) = x2 ist die Normalparabel, die Funktion h(x) = (x−2)2 geht
aus der Normalparabel hervor, indem man diese um 2 in positive x-Richtung verschiebt.
• Ein Parameter d außerhalb an die Funktion addiert f (x) → f (x) + d verschiebt den
Graphen der Funktion in y-Richtung. Ist d > 0 so verschiebt man den Graphen der
Funktion im Koordinatensystem nach oben, ist d < 0 so verschiebt man den Graphen
der Funktion im Koordinatensystem nach unten.
Beispiel: Die Funktion f (x) = x2 ist die Normalparabel, die Funktion h(x) = x2 + 2 geht
aus der Normalparabel hervor, indem man diese um 2 in positive y-Richtung verschiebt.
Beispiel: Wir betrachten die Funktion f (x) = x2 . Die Funktion g(x) = 2 · (x + 2)2 − 1 geht aus der
Funktion f hervor, indem man nacheinander die folgenden Schritte macht:
• Zunächst streckt man die Normalparabel um den Faktor 2 in y-Richtung.
• Danach verschiebt man den Graphen der Funktion um 2 LE nach links.
• Zum Schluss verschiebt man den Graphen der Funktion um 1 LE nach unten.
19
3 Funktionen
Aufgabe: Erläutern Sie, wie die Funktion h(x) = 2(x − 2)3 + 4 aus der Funktion f (x) = x3
hervorgeht.
Aufgabe: Erläutern Sie, wie die Funktion h(x) = 2 sin(x + π) − 5 aus der Funktion f (x) = sin(x)
hervorgeht.
20
3 Funktionen
3.2 Polynomfunktionen
Polynomfunktionen sind Funktionen von der Art f (x) = 4x3 + 3x − 1.
• Polynomfunktionen verhalten sich für große Werte von x wie die größte Potenz von x.
• Für einen geraden Exponenten, z.B. x2 verläuft für x → −∞ f (x) → ∞ und x → ∞
f (x) → ∞.
• Für einen ungeraden Exponenten, z.B. x2 verläuft für x → −∞ f (x) → −∞ und
x → ∞ f (x) → ∞.
Beispiel: Die Funktion f mit f (x) = 4x3 + 3x − 1 verläuft für große x wie die Funktion x3 .
Aufgabe: Skizzieren Sie den groben Verlauf (ohne Null, Extrem-und Wendestellen) der Funktion
f (x) = −2x2 + 3x − 1
Aufgabe: Skizzieren Sie den groben Verlauf (ohne Null, Extrem-und Wendestellen) der Funktion
f (x) = 5x5 − 3x4 + 6x2 + 3x
21
3 Funktionen
3.3 Besondere Symmetrie von Funktionen
Wir beschränken uns auf zwei besondere Arten von Symmetrie, die Punktsymmetrie zum Ursprung
und die Achsensymmetrie zur y-Achse.
3.3.1 Achsensymmetrie zur y-Achse
• Eine Funktion ist genau dann achsensymmetrisch zur y-Achse, wenn f (−x) = f (x) gilt.
• Besitzt eine Polynomfunktion nur gerade Potenzen von x, so ist sie achsensymmetrisch
zur y-Achse
Wichtig: Ein konstanter Faktor am Ende zählt auch als gerade Potenz, denn er verschiebt den
Graphen der Funktion in y-Richtung, dies verändert an der Achsensymmetrie nichts.
Beispiel:Untersuchen Sie die Funktion f (x) = x4 + x2 − 1 auf Symmetrie.
f (−x) = (−x)4 + (−x)2 − 1
= ((−1) · x)4 + ((−1) · x)2 − 1
= (−1)4 · x4 + (−1)2 · x2 − 1
= x4 + x2 − 1 = f (x)
Aufgabe: Untersuchen Sie die Funktion f (x) = 3x4 + x2 + 1 auf Achsensymmetrie.
Aufgabe: Untersuchen Sie die Funktion f (x) = −4x6 + 3x2 − 3 auf Achsensymmetrie.
22
3 Funktionen
3.3.2 Punktsymmetrie zum Ursprung
• Eine Funktion ist genau dann punktsymmetrisch zum Ursprung, wenn
f (−x) = −f (x) gilt.
• Besitzt eine Polynomfunktion nur ungerade Potenzen von x, so ist sie punktsymmetrisch
zum Ursprung.
Wichtig: ein konstanter Faktor ist gerade, die Funktion f (x) = x3 + 1 weist keine besondere
Symmetrie auf!
Beispiel:Untersuche die Funktion f (x) = x3 − 5x auf Symmetrie.
f (−x) = (−x)3 − 5(−x)
= ((−1) · x)3 − 5((−1) · x)
= (−1)3 · x3 − 5(−1) · x
= −x3 + 5x
= −(x3 − 5x) = −f (x)
Aufgabe: Untersuchen Sie die Funktion f (x) = x3 − 3x auf Punktsymmetrie.
Aufgabe: Untersuchen Sie die Funktion f (x) = 3x5 − 2x3 + x auf Punktsymmetrie.
23
3 Funktionen
3.4 Exponentialfunktionen
Eine Funktion der Form f (x) = a · bx nennen wir Exponentialfunktion.
3.4.1 Eigenschaften der Exponentialfunktion
• Für x → −∞ geht f (x) → 0. Zu dieser Eigenschaft der Exponentialfunktion sagt man,
dass sich diese für x → −∞ asymptotisch der x-Achse annähert.
• Für x → ∞ geht f (x) → ∞
• Hat die Exponentialfunktion einen negativen Exponenten, so sind die obigen Eigenschaften
gerade vertauscht.
• Die Exponentialfunktion verläuft immer durch den Punkt P (0/a).
Beispiel: Bestimmen Sie die Gleichung der Exponentialfunktion f (x) = a · bx die durch die Punkte
P(0/2) und Q(3/5) verläuft.
Lösung: wir erhalten 2 Gleichungen, indem wir einfach die beiden Punkte in den Funktionsterm
einsetzen:
f (0) = b · a0 = b · 1 = b = 2
f (3) = b · a3 = 5
2 · a3 = 5
5
a3 =
2
r
a=
3
5
2
q x
Die Exponentialfunktion durch die beiden Punkte lautet f (x) = 2 · 3 52 .
Aufgabe: Bestimmen Sie die Gleichung der Exponentialfunktion f (x) = b · ax die durch die Punkte
P(1|2) und Q(4|6) verläuft.
24
3 Funktionen
3.4.2 Die natürliche Exponentialfunktion
Die Funktion f (x) = A · eB·x nennen wir die natürliche Exponentialfunktion. Hierbei beschreibt
e die eulersche Zahl
e = 2, 71828...
In Zukunft werden wir Exponentialfunktionen immer in der oben angegebenen Form schreiben,
denn diese Form elaubt uns einfachere Handhabe der Funktion beim Ableiten. Wie kann man nun
eine beliebige Exponentialfunktion in diese Form bringen? Erinnert man sich an die Potenzgesetze,
so gilt eln(b) = b. Dies kann man sich zu Nutze machen, um die Basis der Exponentialfunktion
in komplizierter Form zu schrieben, um die Funktion zur Basis e zu erhalten. Für eine Funktion
f (x) = a · bx erhält man:
f (x) = a · eln(b)·x .
Jede Exponentialfunktion f (x) = a · bx lässt sich zur Basis e schreiben als:
f (x) = a · eln(b)·x .
Bemerkung: Man kann natürlich auch gleich die gesuchte Funktion in der Form f (x) = A · eB·x
bestimmen.
q x
Beispiel: Wir möchten die zuvor bestimmte Exponentialfunktion f (x) = 2 · 3 52
zur Basis e
schreiben.
q ln
3 5
2
Lösung: Einsetzen in die obige Gleichung liefert: f (x) = 2 · e
.
Aufgabe: Schreiben Sie die folgenden Exponentialfunktionen in der Form f (x) = A · eB·x .
f (x) = 2x
g(x) = 3 · 4x
·x
h(x) = 2 · 7x
Aufgabe: Bestimmen Sie eine Exponentialfunktion in der Form f (x) = A · eB·x , die durch die
Punkte P (1|3) und Q(2|6) verläuft.
25
3 Funktionen
3.4.3 Komplexere Exponentialfunktionen
Die Funktion f (x) = a · eb·x + c stellt eine verschobene Exponentialfunktion dar. Diese ist um c
nach oben (bzw. unten je nach Vorzeichen) verschoben. es gilt:
• Für x → −∞ geht f (x) → c (Die Funktion nähert sich Asymptotisch der Geraden y = c
an).
• Für x → ∞ geht f (x) → ∞.
• Hat die Exponentialfunktion einen negativen Exponenten, so sind diese Eigenschaften
gerade vertauscht.
Bemerkung: Diese Funktionen werden später bei beschränkten Wachstums und Zefallsprozessen
benötigt, So stellt die Funktion f (x) = c+a·eb·x einen exponentiellen Zerfall dar und mit negativem
a beschreibt es ein beschränktes Wachstum.
Beispiel: Das folgende Schaubild zeigt die Funktionen f (x) = 2 + 2 · e−0,5·x (links) und g(x) =
2 − 2 · e−0,5·x (rechts).
y
4
y
4
3
3
2
2
1
1
O
1
2
3
4
O
5 x
26
1
2
3
4
5 x
3 Funktionen
3.5 Trigonometrische Funktionen
3.5.1 Der Einheitskreis und das Bogenmaß
Wir betrachten einen Kreis mit Radius r = 1 um den Ursprung eines Koordinatensystems. Wählt
man nun einen Punkt auf dem Kreis aus, zeichnet die Strecke Ursprung-Punkt und fällt das Lot
auf die x-Achse, so erhält man ein rechtwinkliges Dreieck mit einem Bestimmten Winkel α.
Man deﬁniert im rechtwinkligen Dreieck zu einem Winkel α verschiedene Seitenverhältnisse,
diese hängen nur von dem Winkel aber nicht von den jeweiligen Seitenlängen ab.
sin(α) =
Gegenkathete
Hypotenuse
cos(α) =
Ankathete
Hypotenuse
tan(α) =
Gegenkathete
Ankathete
Die Ankathete liegt an dem Winkel α und die Gegenkathete liegt diesem gegenüber.
Am Einheitskreis kann man Wegen r = 1 die Verhältnisse Sinus, Cosinus und Tangens direkt
abmessen.
y
O
x
Das Bogenmaß beschreibt zu einem Kreisausschnitt mit Radius r = 1 mit einem Winkel α, die
Länge des entsprechenden Kreisbogens. Es gibt also eine direkte Beziehung zwischen der Länge
des Kreisbogens und dem Winkel.
27
3 Funktionen
Für die Länge des Kreisbogens gilt:
b=
α
· 2π
360°
Man erhält zu einem Winkel α im Gradmaß den entsprechenden Winkel ϕ im Bogenmaß
ϕ=
α
· 2π
360°
Umgekehrt gilt für die Umrechnung vom Bogenmaß ins Gradmaß:
α=
ϕ
· 360°
2π
28
3 Funktionen
3.5.2 Trigonometrische Funktionen
Funktionen der Form f (x) = sin(x); f (x) = cos(x) und f (x) =
sche Funktionen.
sin(x)
cos(x)
= tan(x) heißen trigonometri-
Charakteristische Werte von Sinus und Kosinus:
x
0
sin(x)
cos(x)
0
1
π
2
1
0
π
0
−1
3
π
2
−1
0
2π
0
1
Die restlichen Werte, wie z.B. sin(2, 5π) ergeben sich aus der Tatsache, dass die Sinusfunktion
2π periodisch ist.
Beispiel: Es gilt sin(3, 5π) = sin(1, 5π) = −1 und sin(−3π) = sin(π) = 0
Aufgabe: Skizzieren Sie die Graphen der Funktionen f (x) = sin(x) und g(x) = cos(x) in die unten
stehenden Koordinatensysteme.
y
1
O
𝜋
2
2𝜋
x
𝜋
2
2𝜋
x
y
1
O
29
3 Funktionen
3.5.3 Die allgemeine Sinusfunktion
Die allgemeine Sinusfunktion:
f (x) = a · sin(b · (x − c)) + d
mit a, b, c, d ∈ R
Die Periode berechnet sich mit der folgenden Formel: p =
2π
b
Der Faktor b bestimmt die Periode der Sinusfunktion und den Parameter a bezeichnet man als die
Amplitude.
Beispiel: Hat z.B. die Funktion die Form f (x) = 2 sin(3x − 6) + 1, so können wir nun nicht direkt
eine Aussage für den Wert c treﬀen. Zunächst muss man die Funktion erst in die obige Form bringen,
indem man den Faktor vor x ausklammert (er steht danach immer noch in der Sinusfunktion). In
diesem Beispiel müssen wir 3 ausklammern, so lautet der Funktionsterm f (x) = 2 sin(3(x − 2)) + 1
nun kann man direkt alle Werte a, b, c, d ablesen und die Periode bestimmen.
Aufgabe: Bestimmen Sie die Periode und die Amplitude und die Verschiebungen der angegebenen
Funktion f (x) = sin(2 · (x − π)) + 1.
Aufgabe: Bestimmen Sie die Periode und die Amplitude und die Verschiebungen der angegebenen
Funktion f (x) = 3 cos(−2 · (x − π)) + 3.
Aufgabe: Bestimmen Sie die Periode und die Amplitude und die Verschiebungen der angegebenen
Funktion f (x) = −2 sin(2x − π) − 1.
30
3 Funktionen
3.6 Gebrochenrationale Funktionen
p(x)
, wobei p(x) und
q(x)
q(x) irgendwelche Polynomfunktionen darstellen. So ist z.B. eine gebrochenrationale Funktion
Gebrochenrationale Funktionen, sind Funktionen der Form f (x) =
f (x) =
5x2 − 3x + 1
x−2
3.6.1 Nullstellen gebrochenrationaler Funktionen
Um die Nullstellen einer gebrochenrationalen Funktion zu bestimmen, muss man das Zählerpolynom p(x) null setzen. Man bestimmt also die Nullstellen des Zählers.
(5x − 3) · (x2 − 9)
.
x2 − 1
Lösung: Die Nullstellen der Funktion f sind die Nullstellen des Zählerpolynoms, also 0 = (5x −
3) · (x2 − 9). Diese können wir mit dem Satz vom Nullprodukt direkt ablesen: x1 = 35 ; x2 = 3 und
x3 = −3.
x3 − 5x2 + 6x
Aufgabe: Bestimmen Sie die Nullstellen der Funktion f mit f (x) = 2
.
x + 5x + 6
Beispiel: Bestimmen Sie die Nullstellen der Funktion f mit f (x) =
Aufgabe: Bestimmen Sie die Nullstellen der Funktion f mit f (x) =
2x4 − 3x3
.
x2 − 4
Aufgabe: Bestimmen Sie die Nullstellen der Funktion f mit f (x) =
x2 · (3x − 6)
.
x3 − 27
31
3 Funktionen
3.6.2 Besondere Eigenschaften
Es kann nun vorkommen, dass die Funktion q(x) eine Nullstelle besitzt, man teilt also durch Null.
Dies ist nicht erlaubt, dies nennt man eine Deﬁnitionslücke.
Polstellen sind Nullstellen des Zählers. Es gibt zwei Arten von Polstellen:
• Polstellen mit Vorzeichenwechsel sind einfache, dreifach, fünﬀache, ... Nullstellen im Nenner, d.h. der Funktionswert etwas links von der Polstelle hat ein anderes Vorzeichen wie
der Funktionswert etwas rechts von der Polstelle.
Z.B. besitzt f (x) = x1 eine Polstelle mit Vorzeichenwechsel bei x = 0.
• Polstellen ohne Vorzeichenwechsel sind doppelte, vierfache, sechsfache, ... Nullstellen im
Nenner, d.h. der Funktionswert etwas links von der Polstelle hat das gleiche Vorzeichen
wie der Funktionswert etwas rechts von der Polstelle.
Z.B. besitzt f (x) = x12 eine Polstelle mit Vorzeichenwechsel bei x = 0
Beispiel: Bestimmen Sie die Polstellen und deren Art, der folgenden gebrochenrationalen Funktion
f (x) =
1
(5x − 1)3
Lösung: Die Nullstellen des Nennerpolynoms sind bei x = 15 und ist wegen hoch drei“ eine dreifache
”
Nullstelle, weshalb bei x = 15 ein Pol mit Vorzeichenwechsel vorliegt
Aufgabe: Bestimmen Sie die Polstellen und deren Art, der folgenden gebrochenrationalen Funktion
f (x) =
x3 − 5x2 + 6x
x2 + 2x + 4
Aufgabe: Bestimmen Sie die Polstellen und deren Art, der folgenden gebrochenrationalen Funktion
f (x) =
2x4 − 3x3
x2 − 4
32
3 Funktionen
3.6.3 Verhalten gegen |x| → ±∞
Das Verhalten gegen Unendlich hängt bei den gebrochenrationalen Funktionen vom Grad des Zählerpolynoms (Abkürzung: deg p(x)) und vom Grad des Nennerpolynoms (Abkürzung: deg q(x)) ab.
Der Grad bezeichnet die größte Hochzahl in den jeweiligen Polynomen, so ist z.B. der Grad von
f (x) = x3 + 5x2 − 3x + 1 gleich 3.
• Gilt deg p(x) < deg q(x), so verhält sich die Funktion für x → ±∞ wie z.B. g(x) = x1 , es
gilt also für x → ±∞ geht f (x) → 0.
• Gilt deg p(x) = deg q(x), so muss man für das Verhalten der Funktion gegen ∞ diese ein
wenig umformen. Man klammert die höchste Potenz von x aus, kürzt und lässt x gegen
∞ laufen.
• Gilt deg p(x) > deg q(x), so wächst der Zähler schneller als der Nenner, d.h. die Funktion
geht gegen +∞ oder −∞.
Beispiel: Für die Funktion f (x) =
gilt: für x → ∞ geht f (x) → 0.
5x2 − 3x + 1
Beispiel: Wir betrachten die Funktion f (x) =
. Der Grad des Zählers ist gleich dem
2x2 − 1
Grad des Nenners, wir müssen also, um eine Aussage über das Verhalten gegen ∞ treﬀen zu können,
die Funktion ein wenig umformen. Hierzu klammern wir die höchste Potenz von x in Zähler und
Nenner aus, und können danach kürzen. (Hier teilt man einfach jeden Summanden im Zähler und
im Nenner jeweils mit x2 , und vereinfacht dann so weit wie möglich.)
2 · 5x2 − 3x + 1
x
2
2
2
2
5 − x3 + x12
5x − 3x + 1
x
x
x
f (x) =
=
=
2
2x2 − 1
2 − x12
x2 · 2x2 − 12
x−3
x3 −2x+1
x
x
Sowohl im Zähler, als auch im Nenner gibt es Summanden, welche für x → ∞ gegen null gehen, es
bleiben schließlich nur noch die Konstanten im Zähler und im Nenner zurück. Es gilt: Für x → ∞
geht f (x) → 52 .
Aufgabe: Bestimmen Sie das Verhalten gegen unendlich der folgenden Funktion
f (x) =
x3 − 5x + 6
x2 + 2x + 4
Aufgabe: Bestimmen Sie das Verhalten gegen unendlich der folgenden Funktion
f (x) =
5x2 + 2x − 3
6x2 − 1
33
3 Funktionen
Aufgabe: Bestimmen Sie das Verhalten gegen unendlich der folgenden Funktion
f (x) =
x3 − 2x2 + x − 1
8x3 + x − 7
Aufgabe: Bestimmen Sie das Verhalten gegen unendlich der folgenden Funktion
f (x) =
x−2
x2 − 2x + 2
Aufgabe: Bestimmen Sie das Verhalten gegen unendlich der folgenden Funktion
f (x) =
2 − x2
x2 + 1 − 5x
Aufgabe: Bestimmen Sie das Verhalten gegen unendlich der folgenden Funktion
f (x) =
x3 − 2x + 5
x7
34
3 Funktionen
3.6.4 Asymptoten
Eine Asymptote einer Funktion f (x) ist eine Gerade, an welche sich die Funktion anschmiegt,
d.h. sie nähert sich dieser Geraden immer mehr an. Man unterschiedet zwischen zwei Arten von
Asymptoten:
• Senkrechte Asymptoten sind Geraden mit Gleichungen x = x0 , wobei x0 die Nullstellen
des Nennerpolynoms sind, d.h. senkrechte Asymptoten liegen bei Polstellen vor.
• Waagrechte Asymptoten ﬁndet man bei der Untersuchung des Verhaltens der Funktion
für x → ±∞.
– Ist deg p(x) < deg q(x), so ist y = 0 die waagrechte Asymptote.
– Ist deg p(x) = deg q(x), so ist y = c mit c ∈ R die waagrechte Asymptote, wobei
man c ﬁndet, indem man die Funktion wie zuvor beschrieben auf das Verhalten für
x → ±∞ untersucht.
5x2 + 7x − 4
.
x2 − 1
Lösung: Die senkrechten Asymptoten sind die Nullstellen des Nennerpolynoms, um diese zu bestimmen muss man also die Gleichung x2 − 1 = 0 lösen. Somit sind die senkrechten Asymptoten bei
x = 1 und x = −1. Um die waagrechte Asymptote bestimmen zu können, muss man das Verhalten
gegen ±∞ untersuchen hier gilt:
2 · 5x2 + 7x − 4
x
2
5 + x7 − x42
5x + 7x − 4
x2
x2
x2
f (x) =
=
=
2
x2 − 1
1 − x12
x2 · x − 1
Beispiel: Bestimmen Sie die Asymptoten der Funktion f mit f (x) =
x2
x2
Somit gilt für x → ∞ geht f (x) → 5, deshalb ist die waagrechte Asymptoten y = 5.
Aufgabe: Bestimmen Sie die Asymptoten der Funktion f mit f (x) =
2x2 − 4
.
x−6
Aufgabe: Bestimmen Sie die Asymptoten der Funktion f mit f (x) =
8x2 − 2x + 5
.
x3 + 4x2 − 4x
35
3 Funktionen
Aufgabe: Bestimmen Sie die Asymptoten der Funktion f mit f (x) =
x2 + 2
.
x2 + 1
Aufgabe: Bestimmen Sie die Asymptoten der Funktion f mit f (x) =
5x2 + 4x − 7
.
x2 − 121
Aufgabe: Bestimmen Sie die Asymptoten der Funktion f mit f (x) =
x−3
.
x3 − 8
Aufgabe: Bestimmen Sie die Asymptoten der Funktion f mit f (x) =
3x2 + 7x − 2
.
6x2 − 4
Aufgabe: Bestimmen Sie die Asymptoten der Funktion f mit f (x) =
x3 − 4x2 + 3x − 5
.
x3 − 27
36
3 Funktionen
3.6.5 Konstruktion von gebrochenrationalen Funktionen
Schritte zum Angeben einer gebrochenrationalen Funktion:
• Nullstellen werden als Produkt von Linearfaktoren in den Zähler der zu bestimmenden
Funktion geschrieben.
• Senkrechte Asymptoten werden als Produkt von Linearfaktoren in den Nenner der zu
bestimmenden Funktion geschrieben.
Beispiel: Geben Sie eine gebrochenrationale Funktion f an, welche die folgenden Eingenschaften
besitzt:
• x = 1 und x = 3 sind senkrechte Asymptoten von f .
• x = 0 und x = 4 sind Nullstellen von f .
Lösung: Die einzelnen Linearfaktoren der Nullstellen sind x und (x − 4) (setzt man hier die entsprechenden x-Werte für die Nullstellen ein, so muss jeweils ein Linearfaktor null ergeben). Somit
steht im Zähler der gebrochenrationalen Funktion: x · (x − 4). Im Nenner stehen die Asymptoten
als Linearfaktoren: (x − 1) · (x − 3). Die Funktion die nun die gewünschten Eigenschaften besitzt
lautet:
x · (x − 4)
f (x) =
(x − 1) · (x − 3)
Aufgabe: Geben Sie eine gebrochenrationale Funktion f an, welche die folgenden Eingenschaften
besitzt:
• x = 2 und x = −2 sind senkrechte Asymptote von f .
• x = 0; x = 1 und x = 4 sind Nullstellen von f .
Aufgabe: Geben Sie eine gebrochenrationale Funktion f an, welche die folgenden Eingenschaften
besitzt:
• x = 2 ist eine senkrechte Asymptote von f .
• x = 3 und x = 4 sind Nullstellen von f .
37
3 Funktionen
3.7 Parameterfunktionen
Funktionen ft (x), bei welchen eine zweite Unbekannte auftaucht, nennt man Parameterfunktionen. Der Parameter wird immer als Index an den Funktionsbuchstaben geschrieben. Hierbei
stellt der Parameter (z.B t) eine beliebige, aber feste Zahl in der Funktion dar und wird auch
einfach wie eine Zahl behandelt (beispielsweise beim Ableiten)
Beispiel: Die Funktion ft (x) = (x − t)2 + 2 ist eine Parameterfunktion. Der Parameter t verschiebt
hierbei den Graphen der Funktion ft (x) in x-Richtung.
Aufgabe: Beschreiben Sie, wie sich jeweils der Parameter t auf die einzelnen Funktionen auswirkt.
ft (x) = t · ex
gt (x) = ex + t
ht (x) = x2 + t − 3
it (x) = (x − t)3 + (x − t) + 1
jt (x) = (x − t)2 + t
kt (x) = et·x + t
38
3 Funktionen
3.8 Globaler Verlauf von Funktionen
Wichtig ist, dass man von allen Funktion grob den Verlauf skizzieren kann. Deshalb soll in die
folgenden Koordinatensysteme der Verlauf der angegebenen Funktionen skizziert werden.
f (x) = 2
f (x) = x
f (x) = x2
O
f (x) = −x2
O
f (x) = ex
O
O
f (x) = x3
O
f (x) = −ex
O
39
O
f (x) = −x3
O
f (x) = e−x
O
3 Funktionen
f (x) = −e−x
O
f (x) =
O
f (x) =
1
x
O
1
x2
f (x) = − x12
O
40
f (x) = − x1
O
3 Funktionen
3.9 Weitere Aufgaben zum Üben
1. Gegeben sei die Funktion f (x) = 3x2 − 5x + 1. Die Funktion g entsteht aus der Funktion f ,
indem man folgende Schritte durchführt:
• Zunächst wird die Funktion f um einen Faktor 2 in y-Richtung gestreckt.
• Danach wird die erhaltene Funktion um 2 LE nach oben verschoben.
• Zuletzt wird der neue Funktionsterm um 3 LE nach rechts verschoben.
Bestimmen Sie den Funktionsterm der Funktion g(x).
2. Gegeben sind die Funktion f und g mit f (x) = ex und g(x) = −e−x + 2. Beschreiben Sie, wie
das Schaubild von g aus dem Schaubild von f entsteht.
3. Für jedes a > 0 ist eine Funktion fa gegeben durch
fa (x) =
1
sin(ax) mit a ∈ R
a
Wie wirkt sich eine Veränderung des Parameters a auf das Schaubild von fa aus?
4. Gegeben die Funktion f durch
f (x) = 1 − cos(π · x)
Beschreiben Sie, wie man Kf aus dem Schaubild der Kosinusfunktion erhalten kann.
5. Untersuchen Sie die folgenden Funktionen auf besondere Symmetrie.
a) f (x) = 5x3 + 3x
d) f (x) = 5x2 + 1
b) f (x) = 4x5 + 3x3 − x
e) f (x) = (sin(x))2
c) f (x) = x2 + 3x − 1
f) f (x) = e−x
2
6. Skizzieren Sie den groben Verlauf (ohne Nullstellen, Extremstellen, Wendepunkte) der Schaubilder der folgenden Funktionen
a) f (x) = x2 − 3x
d) f (x) = 3ex
b) f (x) = −x3 + 1
e) f (x) = −e−x
c) f (x) = x7 − 5x3 + x2 − 5
f) f (x) = −x4 + 5x2 − 2
7. Ein Behälter hat ein Fassungsvermögen von 1200 Liter. Die enthaltene Flüssigkeitsmenge zum
Zeitpunkt t wird beschrieben durch die Funktion f mit
f (t) = 1000 − 800 · e−0,01t ; t ≥ 0 t in Minuten, f (t) in Liter
Zu welchem Zeitpunkt ist der Behälter zur Hälfte gefüllt?
8. Für jedes t 6= 0 ist eine Funktion ft gegeben durch ft (x) = (x − 1) · 1 −
Werte von t besitzt ft mehr als eine Nullstelle?
41
1
t
· ex . Für welche
3 Funktionen
9. Bestimmen Sie jeweils die Perioden der angegebenen trigonometrischen Funktionen.
π
a) f (x) = 2 sin(5x)
d) f (x) = 3 sin π · x −
+1
2
b) f (x) = cos(π · x)
e) f (x) = cos(ax + 2)
c) f (x) = sin(3x − 6)
f) f (x) = cos(π · x − 1)
4
10. Gegeben ist die Funktion f mit f (x) = 4− 2 ; x 6= 0. Geben Sie die Asymptoten des Schaubilds
x
von f an. Skizzieren Sie damit das Schaubild von f .
11. Gegeben ist die Funktion f mit f (x) =
ptoten von K an.
1 − 4x2
. Ihr Schaubild ist K. Geben Sie die Asymx2
12. Die Herstellungskosten eines neuen Rheumamittels werden durch eine Funktion f mit
f (x) =
ax + b
;
x+5
x ∈ R+
0
Hierbei gibt f (x) die Kosten in 10.000€ für die x-te Produktionseinheit an, wobei die Einheiten nacheinander produziert werden. Die fünfte Produktionseinheit kostet in der Herstellung
950.000€, die zwanzigste Produktionseinheit kostet nur noch 560.000€.
a) Bestimmen Sie a und b.
b) Ab der wievielten Produktionseinheit sind die Herstellungskosten für eine Produktionseinheit geringer als 400.000€?
13. Gegeben ist eine Funktion f mit f (x) = 6 −
(x2
100
.
− 16)2
a) Geben Sie sämtliche Asymptoten des Schaubilds von f an.
b) Geben Sie die Nullstellen von f an.
c) Skizzieren Sie das Schaubild von f samt Asymptoten für −7 ≤ x ≤ 7
14. Auf einem ebenen Gelände beﬁndet sich ein geradliniger, 500m langer Lärmschutzwall. Das
Proﬁl seines Querschnittes wird beschrieben durch die Funktion f mit
f (x) =
120
− 2 und f (x) ≥ 0 (x und f (x) in Meter)
+ 20
x2
a) Wie breit ist der Wall an seinem Fuß?
b) Zeigen Sie, dass der Wall einen symmetrischen Querschnitt besitzt.
15. Gegeben sei die Funktion f mit f (x) =
Funktion f .
x2 − x − 6
. Bestimmen Sie sämtliche Nullstellen der
x+2
16. Geben Sie eine gebrochenrationale Funktion f an, welche die Folgenden Eigenschaften besitzt:
• x1 = 1 und x1 = −1 sind Nullstellen der Funktion f .
• x = 0, sowie x = 3 und x = −3 sind senkrechte Asymptoten der Funktion.
42
4 Die Ableitung
Die Ableitung ist ein zentraler Begriﬀ in der Mathematik, mit Hilfe der Ableitung kann man grundlegende Eigenschaften von Funktionen ermitteln. Sie liefert eine Aussage darüber wie sich eine
Funktion oder ein Bestand verändert.
4.1 Die Deﬁnition
Formal ist die Ableitung der Grenzwert des Diﬀerenzenquotienten deﬁniert, es gilt:
f 0 (x) = lim
x→x0
f (x) − f (x0 )
f (x + h) − f (x)
= lim
h→0
x − x0
h
4.1.1 Deutung
Diese Formulierung bedeutet, dass wir ein Steigungsdreieck mit Breite x−x0 und Höhe f (x)−f (x0 )
an die Funktion legen, den Punkt x0 fest lassen und die Breite immer kleiner werden lassen, bis der
Punkt x mit dem Punkt x0 identisch ist.
Graphisch passiert hier Folgendes, zunächst zeichnet man eine Sekante an das Schaubild der Funktion, durch die Punkte (x/f (x)) und (x0 /f (x0 )) und bestimmt die Steigung dieser Geraden. Rücken
diese beiden Punkte näher zusammen, so verändert sich die Steigung der Sekanten so lange, bis im
Grenzwert (bei welchem x mit x0 identisch ist) sie einen Wert annimmt. Die Sekante wird hierbei
zu einer Tangenten an das Schaubild.
• Mit der Ableitung einer Funktion f kann man an jeder Stelle der Funktion die Steigung
der Tangenten an den Graphen der Funktion an dieser Stelle bestimmen.
• Die Ableitung beschreibt die Änderungsrate eines Bestandes zu einem Zeitpunkt t0 .
Beispiele:
• Gegeben ist der zurückgelegte Weg in m in Abhängigkeit von der Zeit, z.B. in s, dann beschreibt
die Ableitung die Änderungsrate des Weges, also die Geschwindigkeit in ms (Wichtig: Einheiten
auf den Achsen beachten!)
• Gegeben ist die Gesamtzahl an verkauften Karten an einer Kinokasse in Abhängigkeit von
der Zeit. Dann beschreibt die Ableitung die Änderungsrate der verkauften Anzahl an Karten,
somit die Anzahl der Karten, welche zu diesem Zeitpunkt verkauft werden.
43
4 Die Ableitung
4.2 Ableitungsregeln
4.2.1 Die Potenz-, Summen- und Faktorregel
Potenzregel: Sei f eine Funktion mit f (x) = xp , wobei p ∈ R gilt. Dann gilt für die Ableitung
von f :
f 0 (x) = p · xp−1
Beispiel: Bestimmen Sie die Ableitung der Funktion f mit f (x) = x5 . Mit der Potenzregel folgt:
f 0 (x) = 5 · x4 .
Faktorregel: Sei c ∈ R und f eine Funktion, die die Form f (x) = c · g(x) besitzt, dann gilt für
die Ableitung:
f 0 (x) = c · g 0 (x)
D.h. steht ein konstanter Faktor vor der Funktion, dann können wir die Ableitung bestimmen,
indem wir einfach die Funktion ableiten und den konstanten Faktor wieder an die Ableitung heran
multiplizieren.
Beispiel: Bestimmen Sie die Ableitung der Funktion f mit f (x) = 4 · x4 . Mit der Faktorregel folgt:
f 0 (x) = 4 · 4x3 = 16x3 .
Summenregel: Sei f eine Funktion mit f (x) = g(x) + h(x), dann gilt für die Ableitung der
Funktion f :
f 0 (x) = g 0 (x) + h0 (x)
Beispiel: Bestimmen Sie die Ableitung der Funktion f mit f (x) = x2 +3x−1. Mit der Summenregel
folgt: f 0 (x) = 2x + 3.
44
4 Die Ableitung
Aufgabe: Bestimmen Sie die Ableitung der folgenden Funktionen:
f (x) = x2 − 2x + 3
f (x) = 6x2 + 4x − 1
f (x) = 7
f (x) = 4x5 − 7x
f (x) =
1
x
f (x) =
1
+ 5x − 2
x3
f (x) =
3
1
+ +5
2
x
x
f (x) = 3ax4 + 5x2 + a
f (x) =
x3
+ ax2 + x − 3
a2
f (x) = ax2 + bx + c
f (x) = 10x5 − 5x4 + 3x − 24
f (x) =
√
2x2 + 6x − 4x−2,5
f (x) = x4 + 6x2 − 5x + 3 +
3
4
+ 3
x x
45
4 Die Ableitung
4.2.2 Die Ableitung wichtiger Funktionen
Überblick über die Ableitung wichtiger Funktionen
f (x) = sin(x)
cos(x)
− sin(x)
0
f (x) = cos(x) − sin(x) − cos(x)
− cos(x)
sin(x)
ex
ex
Aufgabe: Bestimmen Sie die Ableitung der folgenden Funktionen:
f (x) = 5 sin(x)
f (x) = sin(x) − cos(x)
√
f (x) = 7 x − cos(x)
f (x) = cos(x) + ex + 3x
f (x) =
√
1
+5 x
x
1
f (x) = √ + 4 ln(x) − 3a
x
f (x) = ex + 2ex − ln(x)
f (x) = 7 ln(x) −
1
+ a2
x
46
√
x
1
√
2 x
ln(x)
1
x
4 Die Ableitung
4.2.3 Die Kettenregel
Sei f (x) eine Verkettung zweier Funktionen u und v, so dass die Funktion f die Form f (x) =
u(v(x)) besitzt. Dann gilt für die Ableitung dieser Funktion:
f 0 (x) = u0 (v(x)) · v 0 (x)
Beispiel: Bestimmen Sie die Ableitung der Funktion f mit f (x) = (3x + 1)3 .
Lösung: Zunächst müssen wir eine äußere und innere Funktion ausﬁndig machen. Hier haben wir
eine äußere Funktion u(x) = x3 und eine innere Funktion v(x) = 3x + 1. Zunächst bilden wir die
Ableitung dieser Funktionen und können uns damit die Ableitungsfunktion f 0 (x) zusammenbasteln:
u(x) = x3
0
u (x) = 3x
v(x) = 3x + 1
v 0 (x) = 3
2
Somit lautet nach der Kettenregel die Ableitung f 0 (x) = 3(3x + 1)2 · 3 = 9(3x + 1)2 .
Aufgabe: Bestimmen Sie die Ableitung der folgenden Funktionen
f (x) = (x + 1)2
f (x) = (sin(x))2
f (x) = cos(−5x)
f (x) =
√
2x
f (x) = (5 − 2x)4
f (x) = e4x−2
f (x) =
p
x4 − 3x
f (x) = sin(cos(x))
f (x) = ex
2 −2x+1
f (x) = ((5 − x)3 + 4x)2
47
4 Die Ableitung
4.2.4 Die Produktregel
Sei f (x) ein Produkt zweier Funktionen u und v, so dass f die Form f (x) = u(x) · v(x) besitzt.
Dann gilt für die Ableitung von f :
f 0 (x) = u0 (x) · v(x) + u(x) · v 0 (x)
Beispiel: Sei f eine Funktion mit f (x) = x2 ·sin(x), nun müssen wir wieder zu Beginn die Funktionen
u und v ausmachen und müssen diese dann ableiten:
v(x) = sin(x)
u(x) = x2
v 0 (x) = cos(x)
0
u (x) = 2x
Nach der Produktregel hat nun die Ableitung die folgende Form: f 0 (x) = 2x · sin(x) + x2 · cos(x).
Aufgabe: Bestimmen Sie die Ableitungen der folgenden Funktionen.
f (x) = x · (2x + 1)
f (x) = x ·
√
x
f (x) = sin(x) · cos(x)
f (x) = x2 · cos(x)
f (x) = ex · (2x3 − 5x + 1)
f (x) = ex · sin(x)
f (x) =
√
x · ex
f (x) = (5x2 − 3) · (2x + 4)
f (x) = 5x · sin(2x + 1)
f (x) = (x2 + 1) · e4x−1
48
4 Die Ableitung
4.2.5 Die Quotientenregel
Sei f (x) ein Quotient zweier Funktionen u und v, so dass f die Form f (x) =
gilt für die Ableitung von f :
f 0 (x) =
u(x)
v(x)
besitzt. Dann
u0 (x) · v(x) − v 0 (x) · u(x)
(v(x))2
x
Beispiel: Sei f eine Funktion mit f (x) = 2x−1
, nun müssen wir wieder zu Beginn die Funktionen
u und v ausmachen und müssen diese dann ableiten:
2
u(x) = x2
v(x) = 2x − 1
0
v 0 (x) = 2
u (x) = 2x
Nach der Quotientenregel hat nun die Ableitung die folgende Form: f 0 (x) =
Aufgabe: Bestimmen Sie die Ableitungen der folgenden Funktionen.
f (x) =
ex
3x + 1
f (x) =
sin(x)
x
f (x) =
5x2 − 3x + 1
4x2 + 2
√
f (x) =
x
ex + 1
f (x) = tan(x) =
sin(x)
cos(x)
f (x) =
1
(cos(x))2
f (x) =
5x + 1
ln(x)
f (x) =
−x2 + 3x
ex · cos(x)
f (x) =
− cos(x) + 3x − 2
8x4 − 3x2 + 1
f (x) =
sin(x) · x2
ex · 4x2
49
2x·(2x−1)−2·x2
.
(2x−1)2
4 Die Ableitung
4.3 Bestimmung der Tangente
Die Funktionsgleichung der Tangenten in einem Punkt (x0 |f (x0 )) an den Graphen einer Funktion f (x) erhält man, indem man die folgenden Schritte durchführt:
1. Bestimme die Steigung der Tangenten, durch Einsetzen der Stelle x = x0 in f 0 (x).
2. Mache den Ansatz y = m · x + b
3. Setze den Punkt (x0 |f (x0 )) sowie die ermittelte Steigung der Tangente in die obige Gleichung ein und bestimme den Wert von b.
Beispiel: Bestimmen Sie die Gleichung der Tangente im Punkt (1|f (1)) an den Graphen der Funktion f mit f (x) = 5x2 − 3x + 1.
Lösung: Zunächst bilden wir die Ableitung der Funktion f : f 0 (x) = 10x − 3, setzen x = 1 in
den Term der Ableitung ein und erhalten f 0 (1) = 10 − 3 = 7. Dies ist die Steigung der Tangenten. Jetzt benötigen wir den Punkt, durch welchen die Tangente verläuft, es muss also noch f (1)
bestimmt werden. Dies machen wir, indem wir 1 in die die Funktionsgleichung einsetzen, es gilt:
f (1) = 5 · 12 − 3 · 1 + 1 = 3, somit ist der Punkt (1|3). Nun müssen wir den Punkt und die Steigung
in die Geradengleichung einsetzen um den y-Achsenabschnitt zu bestimmen:
3=7·1+b
−4 = b
Man erhält hiermit die Gleichung der Tangenten: y = 7x − 4.
Aufgabe: Bestimmen Sie die Gleichung der Tangenten im Punkt (2|f (2)) an den Graphen der
Funktion f mit f (x) = x2 + x2 .
Aufgabe: Bestimmen Sie die Gleichung der Tangenten im Punkt (1|f (1)) an den Graphen der
Funktion f mit f (x) = x1 .
50
4 Die Ableitung
4.4 Bestimmung der Normalen
Die Normale ist eine Gerade, welche in einem Punkt senkrecht auf dem Schaubild steht, sie steht
in diesem Fall auch senkrecht auf der Tangente in dem Punkt.
Man erhält die Gleichung der Normalen in einem Punkt (x0 |f (x0 )) des Schaubilds einer Funktion
f , indem man die folgenden Schritte durchführt:
1. Bestimme die Steigung der Tangenten, durch Einsetzen der Stelle x = x0 in f 0 (x).
2. Bestimme aus der Steigung der Tangenten die Steigung der Normalen mittels
mn = −
1
mt
3. Mache den Ansatz y = m · x + b
4. Setze den Punkt (x0 |f (x0 )) sowie die ermittelte Steigung der Normalen in die obige Gleichung ein und bestimme den Wert von b.
Beispiel: Bestimmen Sie die Gleichung der Normalen im Punkt (1|f (1)) an den Graphen der
Funktion f mit f (x) = 5x2 − 3x + 1.
Lösung: Zunächst bilden wir die Ableitung der Funktion f : f 0 (x) = 10x − 3, setzen x = 1 in
den Term der Ableitung ein und erhalten f 0 (1) = 10 − 3 = 7. Dies ist die Steigung der Tangente.
Um nun die Steigung der Normalen zu erhalten müssen wir die Gleichung mn = − m1t verwenden,
die Steigung der Normalen ist also mn = − 17 . Nun benötigen wir den Punkt, durch welchen die
Tangente verläuft, wir müssen also noch f (1) bestimmen. Dies machen wir, indem wir 1 in die die
Funktionsgleichung einsetzen, es gilt f (1) = 5 · 12 − 3 · 1 + 1 = 3, somit ist der Punkt (1|3). Wir
müssen den Punkt und die Steigung in die Geradengleichung einsetzen um den y-Achsenabschnitt
zu bestimmen:
1
3=− ·1+b
7
22
=b
7
Man erhält hiermit die Gleichung der Tangenten: y = − 17 x + 22
7 .
Aufgabe: Bestimmen Sie die Gleichung der Normalen im Punkt (2|f (2)) an den Graphen der
Funktion f mit f (x) = x2 .
51
4 Die Ableitung
4.5 Allgemeine Tangentengleichung
Die allgemeine Tangentengleichung:
y = f 0 (x0 ) · (x − x0 ) + f (x0 )
Beispiel: Gegeben sei die Funktion f mit f (x) = 5x2 − 3x + 1. Bestimmen Sie die Gleichung der
Tangente im Punkt (1|f (1)).
Lösung: Wir müssen zunächst die Ableitung dieser Funktion bilden: f 0 (x) = 10x − 3. Die Tangente
an der Stelle x0 = 1 sieht nun folgendermaßen aus:
y = f 0 (1) · (x − 1) + f (1)
um die Gleichung der Tangenten zu erhalten müssen wir also lediglich f (1) und f 0 (1) bestimmen:
f (1) = 5 · 12 − 3 · 1 + 1 = 3
f 0 (1) = 10 · 1 − 3 = 7
Somit lautet die Gleichung der Tangenten y = 7 · (x − 1) + 3 = 7x − 4.
Aufgabe: Bestimmen Sie die Gleichung der Tangenten im Punkt (1|f (1)) an den Graphen der
Funktion f mit f (x) = x3 + x22 .
Aufgabe: Bestimmen Sie die Gleichung der Tangenten im Punkt (2|f (2)) an den Graphen der
Funktion f mit f (x) = x2 − 3x + 1.
52
4 Die Ableitung
4.6 Berühren zweier Schaubilder
Die Schaubilder zweier Funktionen f und g berühren sich im Punkt P genau dann, wenn die
folgenden Bedingungen erfüllt sind:
1. Die beiden Schaubilder haben einen gemeinsamen Punkt, d.h. es gilt für ein x0
f (x0 ) = g(x0 )
2. Die Steigung der Tangenten beider Schaubilder in diesem Punkt ist identisch, d.h. es gilt:
f 0 (x0 ) = g 0 (x0 )
Beispiel: Untersuchen Sie, ob sich die Schaubilder der beiden Funktionen f und g mit f (x) =
−x2 + 3x und g(x) = 12 x2 + 32 in einem Punkt berühren.
Lösung: Zunächst müssen wir überprüfen, ob die Graphen der beiden Schaubilder einen gemeinsamen Punkt besitzen.
f (x) = g(x)
1
3
−x2 + 3x = x2 +
2
2
3 2
3
0 = x − 3x +
2
2
0 = x2 − 2x + 1
√
x1;2 = 1 ± 1 − 1
x=1
Nun muss noch überprüft werden, ob die Ableitungen der beiden Funktionen an der Stelle x = 1
den gleichen Wert annehmen.
f 0 (x) = −2x + 3
g 0 (x) = x
f 0 (1) = 1
g 0 (1) = 1
Es sind die beiden Bedingungen erfüllt, somit berühren sich die Schaubilder der beiden Funktion im
Punkt P (1/2) (Den y-Wert des Punktes kann man durch Einsetzen in die ursprüngliche Funktion
bestimmen).
Aufgabe: Untersuchen Sie, ob sich die Schaubilder der beiden Funktionen f und g mit f (x) =
2
x2 − 4x − 7 und g(x) = 3 im Punkt P (−1| − 2) berühren.
x
53
4 Die Ableitung
Aufgabe: Untersuchen Sie, in welchen Punkten sich die Schaubilder der beiden Funktionen f und
4
g mit f (x) = − 14 x3 + 2x und g(x) = berühren.
x
54
4 Die Ableitung
4.7 Orthogonales Schneiden zweier Schaubilder
Die Schaubilder zweier Funktionen f und g schneiden sich im Punkt P genau dann orthogonal,
wenn die folgenden Bedingungen erfüllt sind:
1. Die beiden Schaubilder haben einen gemeinsamen Punkt, d.h. es gilt für ein x0
f (x0 ) = g(x0 )
2. Die Tangenten beider Schaubilder in diesem Punkt schneiden sich orthogonal, d.h. es gilt
für die Steigungen der Tangenten
f 0 (x0 ) · g 0 (x0 ) = −1
Beispiel: Untersuchen Sie, ob sich die Schaubilder der beiden Funktionen f und g mit
2x
x
f (x) =
und g(x) =
in einem Punkt orthogonal schneiden.
x−1
2 − 2x
Lösung: Zunächst müssen wir überprüfen, ob die Graphen der beiden Schaubilder einen gemeinsamen Punkt besitzten.
f (x) = g(x)
2x
x
=
x−1
2 − 2x
2x · (2 − 2x) = x · (x − 1)
4x − 4x2 = x2 − x
0 = 5x2 − 5x
0 = 5x · (x − 1)
x1 = 0
x2 = 1
x2 = 1 ist jedoch keine Lösung, die in Frage kommt, da wir für x = 1 eine Polstelle von f (x) und
g(x) haben. Nun muss man noch überprüfen, ob das Produkt der Ableitungen an der Stelle x = 0,
bzw. x = −1 ergibt
2x
= 2x · (x − 1)−1
x−1
f 0 (x) = 2 · (x − 1)−1 − 2x · (x − 1)−2
2
2x
f 0 (x) =
−
x − 1 (x − 1)2
x
= x · (2 − 2x)−1
2 − 2x
g 0 (x) = (2 − 2x)−1 − x · (2 − 2x)−2 · (−2)
1
2x
g 0 (x) =
+
2 − 2x (2 − 2x)2
1
g 0 (0) =
2
f (x) =
g(x) =
f 0 (0) = −2
Somit gilt f 0 (0) · g 0 (0) = −1, d.h. es sind die beiden Bedingungen erfüllt, somit schneiden sich die
Schaubilder der beiden Funktionen im Punkt P (0|0) orthogonal (Den y-Wert des Punktes kann
man durch Einsetzen in die ursprüngliche Funktion bestimmen).
55
4 Die Ableitung
Aufgabe: Untersuchen Sie, ob sich die Schaubilder der beiden Funktionen f und g mit f (x) =
und g(x) = −x im Punkt P (0|0) orthogonal schneiden.
x
1−x
Aufgabe: Untersuchen Sie, in welchen Punkten sich die Schaubilder der beiden Funktionen f und
5x + 2
g mit f (x) =
und g(x) = x2 − 1 orthogonal schneiden.
2x
56
4 Die Ableitung
4.8 Weitere Aufgaben zum Üben
1. Bestimmen Sie die erste Ableitung der folgenden Funktionen:
a) f (x) = 5x5 − 2x3
f) f (x) = 4 −
b) f (x) = 2x3 − 6x2
c) f (x) = x4 − 3x2 + 4
2.
g) f (x) = 2x +
d) f (x) = x7 − 5x3 + x − 2
2
e) f (x) = 2
x
a) f (x) = 5 sin(x) + x2
2
4
+ 2
x x
d) f (x) = 2 ln(x) + 3
√
e) f (x) = 3 x
c) f (x) = ex + cos(x)
p
a) f (x) = x2 + 4
p
b) f (x) = 4x2 − 2x
f) f (x) = 5x3 + 4 cos(x)
g) f (x) = 5 · (2x2 + 1)4
4
h) f (x) =
(2x + 1)2
5
i) f (x) = 3x2 −
(3x − 1)3
c) f (x) = 4 · ln(2x)
1
d) f (x) = · sin(3x2 )
6
1 2
e) f (x) = 2 cos
x +4
2
4.
2
x3
h) f (x) =
b) f (x) = sin(x) − cos(x) + x
3.
2
x
j) f (x) = e5x−3
k) f (x) = e3−5x
f) f (x) = (4x + 1)3
p
a) f (x) = 2x · x2 + 1
l) f (x) = e−x
2
g) f (x) = x · sin(x)
b) f (x) = 3x2 · e−4x
1
c) f (x) = x3 · e2x
2
d) f (x) = (2x + 5) · e−x
h) f (x) = x2 · cos(x2 )
i) f (x) = (x − 3)5 · (15 − x2 )3
j) f (x) = ex−3 · ln(2x)
e) f (x) = x · ln(2x)
k) f (x) = x2 · e−x
f) f (x) = x2 · ln(x2 )
l) f (x) = ax a ∈ R
5. Bestimmen Sie die erste Ableitung der folgenden Funktionen (Aufgaben aus dem Abitur PT
seit 2004).
f) f (x) = x2 · sin(3x + 1)
x2
x2 + 3
b) f (x) = x3 · e2x
1
c) f (x) = · sin(4x2 )
8
d) f (x) = (1 + sin(x))2
a) f (x) =
e) f (x) =
g) f (x) = (2 − 3x) · e−x
h) f (x) =
sin(2x)
x
i) f (x) = (sin(x) + 7)5
2x2
j) f (x) = (2x2 + 5) · e−2x
2x2 − 3
6. Gegeben ist die Funktion f mit f (x) = x2 + 2; x 6= 0.
Das Schaubild von f hat im Punkt P (1|v) die Tangente t. Ermitteln Sie eine Gleichung von
t. Die Tangente schneidet die x-Achse im Punkt S. Bestimmen Sie die Koordinaten von S.
57
4 Die Ableitung
x2
7. Gegeben ist die Funktion f mit f (x) = x+1
. Das Schaubild von f hat im Punkt P 1 12 die
Normale n. Ermitteln Sie eine Gleichung von n.
8. Gegeben ist die Funktion f mit f (x) = 1−4x
. Ihr Schaubild ist K.Bestimmen Sie den Schnittx2
punkt der Tangente an K im Punkt P (1|f (1)) mit der x-Achse.
2
9. Gegeben sind die Funktion f mit f (x) = x2 und g mit g(x) = 2x − 3. Bestimmen Sie die
gemeinsamen Punkte der beiden zugehörigen Graphen. Untersuchen Sie, ob sich die beiden
Graphen senkrecht schneiden.
10. Gegeben sind die Funktion f und g mit f (x) = ex und g(x) = −e−x + 2. Zeigen Sie, dass sich
die Schaubilder von f und g im Punkt P (0/1) berühren.
11. Gegeben ist die Funktion f mit f (x) = x2 + 4x − 3. Gesucht ist:
a) Die Gleichung der Tangente mit Steigung m = −2.
b) Die Gleichung der Tangente, welche orthogonal ist zur Geraden mit der Gleichung y =
− 13 x + 4.
c) Die Gleichung der Tangente, welche parallel ist zur Geraden y = 4x − 72 .
12. Für jedes a 6= 0 ist eine Funktion fa gegeben mit
fa (x) =
4
x3 + 4a
Bestimmen Sie den Punkt Qa , in dem Ka eine waagrechte Tangente besitzt. Wo liegen alle
Punkte Qa ?
58
5 Eigenschaften von Funktionen
5.1 Monotonie
• Eine Funktion f ist auf einem Intervall I monoton wachsend, wenn gilt: f 0 (x) ≥ 0 für
alle x ∈ I. Monoton wachsend bedeutet, dass der Funktionswert immer größer wird, oder
gleich bleibt.
• Eine Funktion f ist auf einem Intervall I streng monoton wachsend, wenn gilt:
f 0 (x) > 0 für alle x ∈ I. Streng monoton wachsend bedeutet, dass der Funktionswert
immer größer wird.
• Eine Funktion f ist auf einem Intervall I monoton fallend, wenn gilt: f 0 (x) ≤ 0 für alle
x ∈ I. Monoton fallend bedeutet, dass der Funktionswert immer kleiner wird, oder gleich
bleibt.
• Eine Funktion f ist auf einem Intervall I streng monoton wachsend, wenn gilt:
f 0 (x) < 0 für alle x ∈ I. Streng monoton fallend bedeutet, dass der Funktionswert immer
kleiner wird.
Die Monotonie benötigt man häuﬁg bei der Interpretation von Schaubildern. Im nachfolgenden
Schaubild sind sowohl die Funktion f , als auch ihre Ableitungsfunktion f 0 gezeichnet.
𝑓
y
y
𝑓′
1
O
.5
1
O
x
Beispiel: Geben sie das Intervall an, in welchem die Funktion f
• monoton wächst.
• streng monoton wächst.
• monoton fällt.
• streng monoton fällt.
59
1
x
5 Eigenschaften von Funktionen
Lösung: An dem Schaubild der Funktion f sieht man die folgenden Eigenschaften wie folgt:
• Monotones Wachsen bedeutet, dass der Graph der Funktion nach oben verläuft. In diesem
Beispiel ist dies zwischen 0 und 1 der Fall, d.h. in dem Intervall [0; 1] wächst die Funktion
monoton.
• Streng monotones Wachsen bedeutet, dass der Graph der Funktion nach oben verläuft und
nirgends eine waagrechte Tangente besitzt. In diesem Beispiel ist dies zwischen 0 und 1 der
Fall, wobei die Stellen x = 0 und x = 1 nicht mehr dazu gehören, da der Graph dort eine
waagrechte Tangente besitzt. D.h. in dem Intervall (0; 1) wächst die Funktion streng monoton.
• Monotones Fallen bedeutet, dass der Graph der Funktion nach unten verläuft. In diesem
Beispiel ist dies für x ≤ 0 und für x ≥ 1 der Fall.
• Streng monotones Fallen bedeutet, dass der Graph der Funktion nach unten verläuft und
nirgends eine waagrechte Tangente besitzt. In diesem Beispiel ist dies für x < 0 und für x > 1
der Fall.
Am Schaubild der Ableitungsfunktion sieht man diese Eigenschaften folgendermaßen:
• Monotones Wachsen bedeutet, dass der Graph der Ableitungsfunktion oberhalb oder auf der
x-Achse verläuft. In diesem Beispiel ist dies zwischen 0 und 1 der Fall, d.h. in dem Intervall
[0; 1] wächst die Funktion monoton.
• Streng monotones Wachsen bedeutet, dass der Graph der Ableitungsfunktion immer oberhalb
der x-Achse verläuft. In diesem Beispiel ist dies zwischen 0 und 1 der Fall, wobei die Stellen
x = 0 und x = 1 nicht mehr dazu gehören, da der Graph dort die x-Achse schneidet. D.h. in
dem Intervall (0; 1) wächst die Funktion streng monoton.
• Monotones Fallen bedeutet, dass der Graph der Ableitungsfunktion immer unterhalb oder auf
der x-Achse verläuft. In diesem Beispiel ist dies für x ≤ 0 und für x ≥ 1 der Fall.
• Streng monotones Fallen bedeutet, dass der Graph der Ableitungsfunktion immer unterhalb
der x-Achse verläuft. In diesem Beispiel ist dies für x < 0 und für x > 1 der Fall.
Aufgabe: Das folgende Schaubild zeigt den Graphen einer Funktion f . Bestimmen Sie die Bereiche,
in denen die Funktion f monoton wächst und monoton fällt. Machen Sie diese im Schaubild farblich
kenntlich.
y
1
O
60
1
x
5 Eigenschaften von Funktionen
Aufgabe: Das folgende Schaubild zeigt den Graphen der Ableitungsfunktion einer Funktion f .
Bestimmen Sie die Bereiche, in denen die Funktion f monoton wächst und monoton fällt. Machen
Sie diese im Schaubild farblich kenntlich.
y
1
O
61
1
x
5 Eigenschaften von Funktionen
5.2 Krümmung von Funktionen
• Der Graph einer Funktion f (x) heißt in einem Intervall I rechtsgekrümmt, wenn für alle
x aus dem Intervall gilt
f 00 (x) < 0
• Der Graph einer Funktion f (x) heißt in einem Intervall I linksgekrümmt, wenn für alle x
aus dem Intervall gilt:
f 00 (x) > 0
Beispiel: Der Graph der Funktion f (x) = x2 ist linksgekrümmt, denn es gilt f 0 (x) = 2x ⇒
f 00 (x) = 2, die zweite Ableitung ist also für alle x größer 0.
Der Graph der Funktion beschreibt eine Linkskurve, würde man mit dem Auto auf einer solch
geformten Straße von links nach rechts fahren wollen, so müsste man das Lenkrad des Autos nach
links einschlagen.
Aufgabe: Untersuchen Sie, in welchen Berechein der Graph der Funktion f mit f (x) = (x − 1)3
links, bzw. rechtsgekrümmt ist.
Alternative Möglichkeit zur Untersuchung der Krümmung von Schaubildern:
• Der Graph einer Funktion f ist in einem Intervall I rechtsgekrümmt, wenn die Ableitungsfunktion streng monoton fallend ist.
• Der Graph einer Funktion f ist in einem Intervall I linksgekrümmt, wenn die Ableitungsfunktion streng monoton steigend ist.
Aufgabe: Markieren Sie in den folgenden Schaubildern die Bereiche, in denen die Funktion f rechts,
bzw. linksgekrümmt ist.
-2
-1
y
2
y
2
y
2
1
1
1
O
1
2 x
-2
-1
O
1
2 x
-2
-1
O
-1
-1
-1
-2
-2
-2
62
1
2 x
5 Eigenschaften von Funktionen
5.3 Lokale Extrema
Schritte zum Bestimmen von Extrema:
• Bestimme die Nullstellen der ersten Ableitung: f 0 (x) = 0
• Setze nun die in Frage kommende Stelle in die zweite Ableitung ein. Gilt
– f 00 (x0 ) > 0, so liegt ein Tiefpunkt vor.
– f 00 (x0 ) < 0, so liegt ein Hochpunkt vor.
– f 00 (x0 ) = 0, so kann man keine Aussage über die Art des Extremas treﬀen.
• Für f 00 (x0 ) = 0 muss man f 0 auf einen Vorzeichenwechsel untersuchen, um über die Art
des Extremas etwas aussagen zu können.
– Besitzt f 0 bei x0 einen Vorzeichenwechsel von + nach −, so liegt in x0 ein Hochpunkt
vor.
– Besitzt f 0 bei x0 einen Vorzeichenwechsel von − nach +, so liegt in x0 ein Tiefpunkt
vor.
– Besitzt f 0 bei x0 keinen Vorzeichenwechsel, so liegt in x0 ein Sattelpunkt vor.
Beispiel: Untersuchen Sie die Funktion f (x) = 2x3 + 3x2 − 12x auf Hoch und Tiefpunkte.
Lösung: Um die Funktion f auf Extrema zu untersuchen, benötigen wir zunächst die ersten beiden
Ableitungen dieser Funktion:
f (x) = 2x3 + 3x2 − 12x
f 0 (x) = 6x2 + 6x − 12
f 00 (x) = 12x + 6
Wir müssen nun die Nullstellen der ersten Ableitung bestimmen.
f 0 (x) = 0
0 = 6x2 + 6x − 12
0 = x2 + x − 2
r
1
1
x1;2 = − ±
+2
2
4
r
1
9
=− ±
2
4
1 3
=− ±
2 2
Nun muss man die beiden Stellen in die zweite Ableitung einsetzen, um zu überprüfen, welche Art
von Extremum vorliegt.
f 00 (x) = 12x + 6
f 00 (1) = 18
f 00 (−2) = −18
D.h. bei x1 = 1 liegt ein Tiefpunkt vor und bei x2 = −2 liegt ein Hochpunkt vor, diese lauten
H(−2|20) und T (1| − 7).
63
5 Eigenschaften von Funktionen
Aufgabe: Untersuchen Sie die Funktion f mit f (x) = x3 + 6x2 + 9x auf Hoch- und Tiefpunkte und
bestimmen sie deren Koordinaten.
Beispiel für Vorzeichenwechsel: Untersuchen Sie die Funktion f (x) = (x − 1)4 auf Hoch-und
Tiefpunkte.
Lösung: Die Ableitung bestimmen wir mit der Kettenregel: f 0 (x) = 4 · (x − 1)3 und f 00 (x) =
12 · (x − 1)2 . Potentielle Extremstellen sind Nullstellen der ersten Ableitung:
f 0 (x) = 0
0 = 4 · (x − 1)3
0=x−1
x=1
Durch Einsetzen in die zweite Ableitung können wir überprüfen, ob ein Extremum vorliegt:
f 00 (1) = 12 · (1 − 1)2 = 0
Wir können mit der zweiten Ableitung keine Aussage treﬀen, ob überhaupt ein Extremum vorliegt.
Um überprüfen zu können, ob ein Hochpunkt oder Tiefpunkt vorliegt, müssen wir die erste Ableitung
auf einen Vorzeichenwechsel untersuchen. Hierzu setzt man eine Stelle etwas links von der Nullstelle
der ersten Ableitung (z.B. 0,9) und eine Stelle etwas rechts davon (z.B. 1,1) in die erste Ableitung
ein.
f 0 (0, 9) = 4 · (0, 9 − 1)3 = 4 · (−0, 1)3 = −0, 004
f 0 (1, 1) = 4 · (1, 1 − 1)3 = 4 · 0, 13 = 0, 004
64
5 Eigenschaften von Funktionen
D.h. links von der Nullstelle hat die erste Ableitung ein anderes Vorzeichen wie rechts von der
Nullstelle, es liegt also ein Extremum von. Da die erste Ableitung einen Vorzeichenwechsel von −
nach + besitzt, ist dieses Extremum ein Tiefpunkt, somit besitzt die Funktion f bei (1|0) einen
Tiefpunkt.
Aufgabe: Untersuchen Sie die Funktion f mit f (x) = 3x5 − 20x3 + 7 auf Hoch- und Tiefpunkte
und bestimmen sie deren Koordinaten.
65
5 Eigenschaften von Funktionen
5.4 Wendepunkte
Schritte zum Bestimmen von Wendestellen:
• Bestimme die Nullstellen der zweiten Ableitung: f 00 (x) = 0
• Gilt f 000 (x0 ) 6= 0, so liegt ein Wendepunkt vor, andernfalls muss man die zweite Ableitung
auf einen Vorzeichenwechsel untersuchen.
• Besitzt die zweite Ableitung einen Vorzeichenwechsel (egal ob von + nach − oder von −
nach +), dann liegt bei x0 ein Wendepunkt vor.
Beispiel: Untersuchen Sie die Funktion f mit f (x) = x3 − 2x2 − 4x + 8 auf Wendepunkte.
Lösung: Zunächst bestimmt man die ersten drei Ableitungen:
f (x) = x3 − 2x2 − 4x + 8
f 0 (x) = 3x2 − 4x − 4
f 00 (x) = 6x − 4
f 000 (x) = 6
Wir müssen die Nullstellen der zweiten Ableitung bestimmen:
f 00 (x) = 0
0 = 6x − 4
4 = 6x
2
x=
3
Damit nun ein Wendepunkt vorliegt, muss die dritte Ableitung an dieser Stelle ungleich null sein
000 2
f
=6
3
6= 0
2 2
2 128
somit lautet der Wendepunkt W
f
, also W
3
3
3 27
66
5 Eigenschaften von Funktionen
Aufgabe: Untersuchen Sie die Funktion f mit f (x) = x5 − 3x3 − 2x auf Wendepunkte.
Aufgabe: Untersuchen Sie die Funktion f mit f (x) = x4 + 3x auf Wendepunkte.
67
5 Eigenschaften von Funktionen
Aufgabe: Untersuchen Sie die Funktion f mit f (x) = x4 + 3x3 + 3x2 + x auf Wendepunkte.
Aufgabe: Untersuchen Sie die Funktion f mit f (x) = x6 + x4 + 2x + 1 auf Wendepunkte.
68
5 Eigenschaften von Funktionen
5.5 Bestimmen der Ortskurve
Gegeben ist ein Extrem- oder Wendepunkt, dessen Koordinaten von einem Parameter (z.B. t)
Abhängen. Gesucht ist die Kurve, auf der alle Extrem-oder Wendepunkte liegen. Schritte zum
Bestimmen der Ortskurve:
1. Stelle die zwei Gleichungen x = x-Koordinate des Extrem-oder Wendepunkts und y =
y-Koordinate des Extrem-oder Wendepunks auf.
2. Löse die Gleichung x = x-Koordinate des Extrem-oder Wendepunkts nach der auf der
rechten Seite enthaltenen Variablen auf.
3. Setze dies in dann in die Gleichung y = y-Koordinate des Extrem-oder Wendepunks ein.
Die so erhaltene Funktion ist die Ortskurve der Extrem oder Wendepunkte.
Sonderfälle:
• Die x-Koordinate enthält keine Unbekannte (sie ist also eine Zahl). Dann liegen alle Extrempunkte auf der Geraden x = x-Koordinate des Extrem-oder Wendepunktes.
• Die y-Koordinate enthält keine Unbekannte (sie ist also eine Zahl). Dann liegen alle Extrempunkte auf der Geraden y = y-Koordinate des Extrem-oder Wendepunktes.
Beispiel: Die Extrempunkte einer Funktion haben die Form E(4t−2|4t2 ) bestimmen Sie die Kurve,
auf welcher alle Extrempunkte liegen.
Lösung: Der Extrempunkt liefert uns die beiden Gleichungen:
y = 4t2
x = 4t − 2
Die erste Gleichung lösen wir nach t auf und setzen dies dann in die zweite Gleichung ein.
x = 4t − 2
x + 2 = 4t
x+2
t=
4
x+2 2
y =4·
4
2
Die Ortskurve lautet y = 4 · x+2
.
4
Beispiel: Die Extrempunkte einer Funktion haben die Form E(4|4t3 ) bestimmen Sie die Kurve,
auf welcher alle Extrempunkte liegen.
Lösung: Der x-Wert des Extrempunktes ist konstant, deshalb liegen alle Punkte auf der Geraden
mit der Gleichung x = 4.
Beispiel: Die Extrempunkte einer Funktion haben die Form E(2t3 | − 2) bestimmen Sie die Kurve,
auf welcher alle Extrempunkte liegen.
Lösung: Der y-Wert des Extrempunktes ist konstant, deshalb liegen alle Punkte auf der Geraden
mit der Gleichung y = 4.
69
5 Eigenschaften von Funktionen
Aufgabe: Die Extrempunkte einer Funktion haben die Form E(2t + 1|4t3 − 2t + 1) bestimmen Sie
die Kurve, auf welcher alle Extrempunkte liegen.
Aufgabe: Gegeben ist die Funktion f mit f (x) = −x3 + tx2 . Bestimmen Sie die Extrem-und
Wendepunkte in Abhängigkeit von t und Geben sie jeweils Kuven an, auf denen alle Extrem-bzw.
Wendepunkte liegen.
70
5 Eigenschaften von Funktionen
5.6 Weitere Aufgaben zum Üben
1. Die Geschwindigkeit eines Schwimmers schwankt periodisch um einen Wert. Messungen beim
Training haben gezeigt, dass sich die Bewegung näherungsweise durch die GeschwindigkeitsZeit-Funktion v mit
v(t) = 0, 4 · sin(12t) + 1, 5
beschreiben lässt (Zeit t in s, Geschwindigkeit v(t) in
m
s)
a) Zwischen welchen Werten schwankt die Geschwindigkeit des Schwimmers ?
b) Skizzieren Sie ein Schaubild von v. Zu welchen Zeitpunkten nimmt die Geschwindigkeit
am stärksten ab ?
2. Durch f (t) = 20t · e−0,5t wird die Konzentration eines Medikaments im Blut eines Patienten
beschrieben. Dabei wird t in Stunden seit der Einnahme und f (t) in mg
l gemessen. Die folgenden Betrachtungen sind nur für die Zeitspanne der ersten 12 Stunden nach der Einnahme des
Medikaments durchzuführen.
a) Nach welcher Zeit erreicht die Konzentration ihren höchsten Wert ? Wie groß ist dieser
höchste Wert ?
b) Das Medikament ist nur wirksam, wenn seine Konzentration im Blut mindestens 4 mg
l
beträgt. Berechnen Sie die Zeitspanne, in der das Medikament wirksam ist.
c) Zu welchem Zeitpunkt wird das Medikament am stärksten abgebaut?
d) Wie groß ist zum Zeitpunkt t = 4 die momentane Änderungsrate der Konzentration?
e) Ab diesem Zeitpunkt wird die Konzentration des Medikaments nun näherungsweise durch
die Tangente an das Schaubild von f an der Stelle t = 4 beschrieben. Bestimmen Sie
damit den Zeitpunkt, zu dem das Medikament vollständig abgebaut ist.
100
.
(x2 − 16)2
Weisen Sie nach, dass f genau eine Extremstelle besitzt.
3. Gegeben ist eine Funktion f mit f (x) = 6 −
4. Die normale Körpertemperatur eines gesunden Menschen liegt bei 36,5°C. Die Funktion f mit
f (t) = 36, 5 + t · e−0,1·t
beschreibt modellhaft den Verlauf einer Fieberkurve bei einem Erkrankten. Dabei ist t ≥ 0
die Zeit in Stunden nach Ausbruch der Krankheit und f (t) die Körpertemperatur in °C.
a) Wann innerhalb der ersten 48 Stunden ist die Temperatur am höchsten ? Geben Sie diese
Temperatur an.
b) Zu welchen beiden Zeitpunkten innerhalb der ersten 48 Stunden nimmt die Körpertemperatur am stärksten zu bzw. ab ?
5. Die Geschwindigkeit v(t) eines Motorbootes ist für t > 0 stets positiv und wird durch
v(t) = 960 · e−t − 960 · e−2t t ≥ 0
beschrieben. (Zeit t in min, Geschwindigkeit v(t) in
m
min )
a) Bestimmen Sie die höchste Geschwindigkeit des Motorbootes in diesem Zeitraum.
b) Wann nimmt die Geschwindigkeit des Motorbootes in diesem Zeitraum am stärksten ab?
71
5 Eigenschaften von Funktionen
6. Ein Staubecken wird zur Zeit der Schneeschmelze gefüllt. Da die Schneeschmelze temperaturabhängig ist, kann die momentane Zuﬂussrate des Wassers durch die Funktion w mit
π w(t) = 50 · sin
· t + 60 ; 0 ≤ t ≤ 24
12
beschrieben werden (t in Stunden seit Beobachtungsbeginn, w(t) in
nimmt die momentane Zuﬂussrate am stärksten ab ?
72
m3
h ).
Zu welchem Zeitpunkt
6 Konstruktion von Funktionen
6.1 Konstruktion von Funktionen mit gegebenen
Eigenschaften
Zum eindeutigen Bestimmen einer Polynomgleichung vom Grad n benötigt man n + 1 Gleichungen.
Diese Gleichungen kann man nun aus den verschiedenen Angaben aus dem Aufgabentext herauslesen:
• Punkte P (a|b) auf dem Funktionsgraphen liefern eine Information, nämlich f (a) = b.
• Nullstellen x0 liefern wie Punkte eine Information: f (x0 ) = 0.
• Extrempunkte E(a|b) liefern zwei Informationen: f (a) = b und f 0 (a) = 0.
• Wendepunkte W (a|b) liefern wie Extremstellen zwei Informationen: f (a) = b und
f 00 (a) = 0.
• Die Symmetrie schränkt die Anzahl der benötigten Informationen ein, denn es können nur
gerade oder ungerade Potenzen von x im Funktionsterm vorkommen.
• Die Steigung m der Tangenten in einem Punkt P (a|b) liefert wie Extrempunkte zwei
Informationen: f (a) = b und f 0 (a) = m.
Hiermit ergibt sich nun das folgende Schema zum Bestimmen von Polynomfunktionen vom Grad n:
Herangehensweise zum Bestimmen ganzrationaler Funktionen vom Grad n:
1. Schreibe den zu bestimmenden Funktionsterm in der Form
f (x) = an · xn + an−1 · xn+1 + ... + a0
2. Bestimme die ersten beiden Ableitungen dieser Funktion.
3. Verwerte die angegebenen Informationen um n + 1 Gleichungen zu erhalten.
4. Nutze diese Gleichungen, um die Koeﬃzienten an , an−1 , ..., a0 zu bestimmen. (Löse das
erhaltene Gleichungssystem.)
73
6 Konstruktion von Funktionen
Beispiel: Das Schaubild einer ganzrationalen Funktion dritten Grades berührt die x-Achse im Ursprung. Der Punkt H(1|1) ist der Hochpunkt des Schaubilds. Bestimmen Sie die Funktionsgleichung.
Lösung: Eine ganzrationale Funktion dritten Grades sieht allgemein folgendermaßen aus: f (x) =
ax3 + bx2 + cx + d. Für die Ableitung gilt: f 0 (x) = 3ax2 + 2bx + c. Wir haben die 4 Unbekannten
a, b, c, d, welche es zu bestimmen gilt, d.h. wir benötigen 4 Informationen:
• f (0) = 0 ⇒ a · 03 + b · 02 + c · 0 + d = 0 ⇒ d = 0.
Denn im Aufgabentext steht, dass der Graph die x-Achse im Ursprung berührt, also ist dieser
ein Punkt auf dem Schaubild der Funktion
• f (1) = 1 ⇒ a + b + c + d = 1.
• f 0 (0) = 0 ⇒ c = 0
Weil f (x) die x-Achse im Ursprung berührt, muss die Steigung der Funktion f die gleiche
sein, wie die Steigung der x-Achse, diese ist 0.
• f 0 (1) = 3a + 2b + c = 0
Die Gleichungen zusammen liefern: a + b = 1 und 3a + 2b = 0. Die erste Gleichung können wir z.B.
nach a auﬂösen und in die zweite Gleichung einsetzten:
3 · (1 − b) + 2b = 0
3 − 3b + 2b = 0
b=3
Somit erhält man für a: a + 3 = 1 ⇒ a = −2. Die Funktionsgleichung lautet nun: f (x) = −2x3 + 3x2
Aufgabe: Das Schaubild einer ganzrationalen Funktion dritten Grades hat den Wendepunkte
W (0|0) und den Hochpunkt H(2|2). Bestimmen Sie die Gleichung der Funktion.
74
6 Konstruktion von Funktionen
6.2 Weitere Aufgaben zum Üben
1. Für eine ganzrationale Funktion f zweiten Grades gilt: T (−1| − 4) ist Tiefpunkt und Q(2|5)
ein weiterer Punkt ihres Schaubilds. Ermitteln Sie eine Funktionsgleichung von h.
2. Eine Parabel geht durch P1 (0|4), P2 (1|0) und P3 (2|18). Bestimmen Sie die Gleichung dieser
Parabel.
3. Eine zur y-Achse symmetrische Parabel hat in P (1|6) die Steigung 2. Bestimmen Sie die
Gleichung der Parabel.
4. Bestimmen Sie a und b so, dass das Schaubild der Funktion f mit f (x) = ax4 + bx2 den
Wendepunkt W (1| − 2, 5) besitzt.
75
7 Integralrechnung
7.1 Die Stammfunktion
Eine Stammfunktion F einer Funktion f ist eine Funktion, für welche gilt:
F 0 (x) = f (x)
Diese ist nur bis auf eine Konstante c genau bestimmt, da ein konstanter Summand beim
Ableiten wegfällt.
Die folgenden Stammfunktion werden häuﬁg benötigt, deshalb sollte man sie auswendig können:
f (x)
Wichtige Stammfunktionen:
F (x)
f (x)
F (x)
xn ; n 6= −1
1
· xn+1 + c
n+1
a · xn ; n 6= −1
1
· a · xn+1 + c
n+1
1
x
ln |x| + c
1
k·x+b
1
ln |k · x + b| + c
k
ex
ex + c
a · ek·x+b
a k·x+b
e
+c
k
sin(x)
− cos(x) + c
a · sin(b · x)
a
− cos(b · x) + c
b
cos(x)
sin(x) + c
a · cos(b · x)
a
sin(b · x) + c
b
Beispiel: Geben Sie zu den angegebenen Funktionen eine Stammfunktion an.
1
F (x) = x6
6
4
F (x) = x7
7
1
F (x) = ln(2x)
2
F (x) = 4ex
7
F (x) = e3x−2
3
F (x) = −4 cos(x)
13
F (x) =
sin(5x − 3π)
5
5 1
F (x) =
· (7x − 3)11
11 7
f (x) = x5
f (x) = 4x6
1
2x
f (x) = 4ex
f (x) =
f (x) = 7e3x−2
f (x) = 4 sin(x)
f (x) = 13 cos(5x − 3π)
f (x) = 5(7x − 3)10
76
7 Integralrechnung
Aufgabe: Geben Sie zu den angegebenen Funktionen eine Stammfunktion an.
f (x) = 4x3 − 3x + 2
f (x) = 6x5 − 4x3 + 3x
f (x) =
2
x
f (x) =
1
4x + 1
f (x) =
1
5
− 3 + 3x + 16x3
4
x
x
f (x) = 5ex + 3
f (x) = 2e7x−2
f (x) = e4x−2 + 4
f (x) = 10e5x−10 + 3x − 2
f (x) = −2 cos(x)
f (x) = 3 cos(4x − 2)
f (x) = sin(πx)
f (x) = −7 sin(4x + 7π)
77
7 Integralrechnung
7.2 Berechnen von Integralen
Der Hauptsatz der Diﬀerential-und Integralrechnung:
Z
b
f (x)dx = [F (x)]ba = F (b) − F (a)
a
D.h. wenn wir eine Stammfunktion F einer Funktion f kennen, können wir das Integral einfach
als Diﬀerenz zweier Funktionswerte der Stammfunktion berechnen.
Beispiel: Berechnen Sie das folgende Integral:
3
Z
6x2 − 2x + 1dx.
1
Z
1
3
3
6x2 − 2x + 1dx = 2x3 − x2 + x 1 = 2 · 27 − 9 + 3 − (2 − 1 + 1) = 54 − 9 + 1 = 46
Aufgabe: Berechnen Sie das folgende Integral:
π
4
Z
2 · sin(4x)dx.
0
Aufgabe: Berechnen Sie das folgende Integral:
Z
1
1 + ex dx.
0
Aufgabe: Berechnen Sie das folgende Integral:
Z
3
2+
1
Aufgabe: Berechnen Sie das folgende Integral:
Z
2
0
78
1
dx.
x2
2x − 2e−2x dx.
7 Integralrechnung
7.3 Rechenregeln für Integrale
Für ein Integral gelten die folgenden Rechenregeln:
Z
a
b
Z b
Z b
f (x) + g(x)dx =
f (x)dx +
g(x)dx
a
a
Z b
Z b
r · f (x)dx = r ·
f (x)dx
a
a
Z b
Z c
Z b
f (x)dx =
f (x)dx +
f (x)dx
a
a
c
Die letzte Rechenregel vewendet man, wenn man ein Integral in mehrere zerlegt, um z.B. den
Flächeninhalt zu berechnen, den eine Funktion mit der x-Achse einschließt.
Beispiele: Man kann sich die Rechenregeln zunutze machen um Integrale umzuformen, bevor man
diese ausrechnet.
Z 3
Z 3
Z 3
3
3
x + sin(x)dx =
x dx +
sin(x)dx
0
0
0
Z π
Z π
5 cos(x)dx = 5 ·
cos(x)dx
0
0
Z 2π
Z π
Z 2π
sin(x)dx =
sin(x)dx +
sin(x)dx
0
0
π
Z 2
Z −1
Z 1
Z 2
x2 − 1dx =
x2 − 1dx +
x2 − 1dx +
x2 − 1dx
−2
−2
−1
1
Das letzte Beispiel werden wir noch einmal aufgreifen, wenn wir die Fläche berechnen wollen, die
der Graph einer Funktion mit der x-Achse einschließt.
79
7 Integralrechnung
7.4 Die Integralfunktion
Lässt man bei einem Integral eine Grenze variabel, so erhält man eine Funktion, welche einem für
einen gegebenen Wert der Variablen den Wert des entsprechenden Integrals ausgibt.
Eine Integralfunktion ist eine Funktion der Form:
Z x
Ja (x) =
f (t)dt
a
Eine Integralfunktion wird immer dann benötigt, wenn man einen Bestand aus einer gegebenen
Änderungsrate rekonstruieren möchte.
Beispiel: Gegeben ist die Funktion v(t) = e−t (t in Sekunden und v(t) in
Geschwindigkeit der Bewegung eines Teilchens.
m
s ),
diese beschreibt die
• Bestimmen Sie eine Funktion, die den Abstand dieses Teilchens vom Ausgangspunkt in Abhängigkeit von der Zeit, beginnend mit dem Zeitpunkt t0 = 0 beschreibt.
• Wie weit ist das Teilchen nach 10 s vom Ausgangspunkt entfernt?
Lösung: Um das Weg-Zeit-Gesetz zu erhalten, müssen wir lediglich die Integralfunktion bestimmen:
Z t
Z t
t
s(t) =
v(x)dx =
e−x dx = −e−x 0 = −e−t + 1 = 1 − e−t
0
0
Um die Entfernung vom Ausgangspunkt zu bestimmen, muss 10 in die Integralfunktion eingesetzt
werden:
s(10) = 1 − e−10 ≈ 0, 99995
Aufgabe: Die Funktion v(t) = 3·sin(2t) mit t in Sekunden und v(t) in ms beschreibt die Geschwindigkeit eines Fadenpendels. (Ein negatives Vorzeichen bedeutet eine Bewegung in die entgegengestzte
Richtung.)
• Bestimmen Sie eine Funktion, die den Abstand des Pendels vom Ausgangspunkt in Abhängigkeit von der Zeit, beginnend mit dem Zeitpunkt t0 = 0 beschreibt.
• Bestimmen Sie die Zeit, die das Pendel benötigt, um wieder zum Ausgangspunkt zurückzukehren (d.h. der Abstand zum Ausgangspunkt ist 0).
80
7 Integralrechnung
7.5 Bestimmen von Flächeninhalten mit dem Integral
Schritte zum Bestimmen des mit der x-Achse und dem Funktionsgraphen in einem Intervall
I = [a; b] eingeschlossenen Flächeninhalts:
1. Bestimme die Nullstellen der Funktion.
2. Überprüfe, ob Nullstellen in dem Integrationsbereich liegen. (D.h. liegt eine Nullstelle in
dem Intervall I = [a; b])
3. Zerlege das Integral in eine Summe mehrerer Integrale, wobei man von Anfangswert bis
zur ersten Nullstelle, von Nullstelle zu Nullstelle (wenn mehrere Nullstellen im Integrationsbereich liegen) und von Nullstelle bis Endwert integriert.
4. Bilde die Beträge der einzelnen Ergebnisse und summiere sie auf.
Beispiel: Bestimmen Sie die Fläche, die die Funktion f (x) = x2 − 1 im Intervall I = [−2; 2] mit
der x-Achse einschließt.
Lösung: Zunächst müssen wir prüfen, ob Nullstellen im Integrationsbereich liegen. Die Funktion
besitzt die Nullstellen x1 = −1 und x2 = 1, diese liegen beide im Integrationsbereich, also müssen
wir das Integral aufteilen:
−1
1 3
1
1
4
x − 1dx =
x −x
=− +1−
· (−8) + 2 =
3
3
3
3
−2
−2
1
Z 1
1 3
1
1
4
x2 − 1dx =
x −x
= −1− − +1 =−
3
3
3
3
−1
−1
2
Z 2
1 3
8
1
4
x2 − 1dx =
x −x = −2−
−1 =
3
3
3
3
1
1
Z
−1
2
Somit ist die von der Funktion mit der x-Achse eingeschlossene Fläche:
A=
4 4 4
12
+ + =
=4
3 3 3
3
81
7 Integralrechnung
Aufgabe: Bestimmen Sie die Fläche, die die Funktion f (x) = x4 −3x3 +2x2 im Intervall I = [−1; 2]
mit der x-Achse einschließt.
Aufgabe: Bestimmen Sie die Fläche, die die Funktion f (x) = x2 − 4x + 3 im Intervall I = [0; 4]
mit der x-Achse einschließt.
82
7 Integralrechnung
7.6 Flächen zwischen zwei Funktionen
Schritte zum Bestimmen des von zwei Funktionsgraphen eingeschlossenen Flächeninhalts:
1. Bilde die Diﬀerenzfunktion h(x) = f (x) − g(x). (Hierbei gilt obere minus untere Funkti”
on“) Um zu entscheiden, welche die obere“ und welche die untere“Funktion ist, ist eine
”
”
Skizze sehr hilfreich.
2. Bestimme die Schnittstellen x1 und x2 der beiden Funktionen.
Z x2
3. Berechne das Integral
f (x) − g(x)dx
x1
Beispiel: Bestimmen Sie die Fläche, die von den beiden Funktionen f (x) = x2 und g(x) = x
eingeschlossen wird.
Lösung: Zunächst bestimmen wir die Schnittstellen der beiden Funktionen f und g:
f (x) = g(x)
x2 = x
x2 − x = 0
x · (x − 1) = 0
D.h. die beiden Schnittstellen sind x1 = 0 und x2 = 1, somit können wir nach Bilden der Diﬀerenzfunktion h(x) = x − x2 die eingeschlossene Fläche ausrechnen.
Z
0
1
1 2 1 3
x − x dx =
x − x
2
3
2
1
=
0
1 1
1
− =
2 3
6
Aufgabe: Bestimmen Sie die Fläche, die von den beiden Funktionen f (x) = x−1 und g(x) = −x2 +1
eingeschlossen wird.
83
7 Integralrechnung
Aufgabe: Bestimmen Sie die Fläche, die von den beiden Funktionen f (x) = 9−x2 und g(x) = x2 −9
eingeschlossen wird.
84
7 Integralrechnung
7.7 Mittelwerte von Funktionen
Für den Mittelwert m einer Funktion f in einem Intervall I = [a; b] gilt:
1
m=
b−a
Z
b
f (x)dx
a
Beispiel: Bestimmen Sie den Mittelwert der Funktion f (x) = x2 auf dem Intervall I = [1; 3].
Lösung: Den Mittelwert m können wir einfach mit der Formel bestimmen.
1
m=
3−1
Z
1
3
1 1 3 3 1
1
1
1 26
13
x dx =
x
= ·
· 27 − · 1 = ·
=
2 3
2
3
3
2 3
3
1
2
Aufgabe: Bestimmen Sie den Mittelwert der Funktion f (x) = sin(π · x) auf I = [0; 2].
Aufgabe: Bestimmen Sie den Mittelwert der Funktion f (x) = x3 −4x+1 auf dem Intervall I = [0; 3].
85
7 Integralrechnung
7.8 Rotationskörper
Für das Volumen eines Körpers, der durch die Rotation des Graphen einer Funktion um die
x-Achse ensteht, gilt:
Z b
V =π·
f (x)2 dx
a
Beispiel: Bestimmen Sie
√ das Volumen des Drehkörpers, der dadurch entsteht, wenn der Graph
der Funktion f (x) = x · 4 − x um die x-Achse rotiert, wobei dieser Drehkörper durch die beiden
Nullstellen begrenzt wird.
Lösung: Die Nullstellen der Funktion sind x1 = 0 und x2 = 4. Somit gilt für das Volumen des
Drehkörpers:
Z 4
Z 4
√
V =π·
(x · 4 − x)2 dx = π ·
x2 · (4 − x)dx
0
0
Z 4
4
1 4 4
256
64
2
3
3
=π·
4x − x dx = π · x − x
=π·
− 64 = π
3
4
3
3
0
0
Aufgabe: Bestimmen
Sie für −2 ≤ x ≤ 2 das Volumen des Rotationskörpes, der entsteht, wenn die
√
Funktion f (x) = 4 − x2 um die x-Achse rotiert.
Aufgabe: Bestimmen Sie für 0 ≤ x ≤ 3 das Volumen des Rotationskörpes, der entsteht, wenn die
Funktion f (x) = e−x um die x-Achse rotiert.
86
7 Integralrechnung
7.9 Uneigentliche Integrale
Uneigentliche Integrale sind Integrale, bei welchen eine Integrationsgrenze ins Unendliche reicht.
Schritte zum Bestimmen eines uneigentlichen Integrals:
1. Führe eine neue Variable b als entsprechende Integrationsgrenze ein.
2. Berechne das Integral mit der variablen Integrationsgrenze.
3. Bestimme den Grenzwert für b → ∞
Beispiel: Überprüfen Sie, ob die ins Unendliche reichende Fläche begrenzt durch die Gerade x = 1,
1
der x-Achse und den Graphen der Funktion f (x) = 2 existiert und bestimmen Sie gegebenenfalls
x
den Flächeninhalt.
Rb
Lösung: Wir wählen b als obere Integrationsgrenze und werten dann das Integral 1 f (x)dx aus:
Z
1
b
1
1 b
1
dx = −
=− +1
x2
x 1
b
Nun muss man nur noch den Grenzwert für b → ∞ bestimmen, dies liefert:
1
lim − + 1 = 1
b→∞ b
D.h. der Grenzwert existiert, und der Flächeninhalt hat den Wert 1.
Aufgabe: Überprüfen Sie, ob die ins Unendliche reichende Fläche begrenzt durch die y-und die
x-Achse und den Graphen der Funktion f (x) = 4e−3x+1 existiert und bestimmen sie gegebenenfalls
den Flächeninhalt.
Aufgabe: Überprüfen Sie, ob die ins Unendliche reichende Fläche begrenzt durch die Gerade x =
3
1, der x-Achse und den Graphen der Funktion f (x) =
existiert und bestimmen Sie
(2x + 1)2
gegebenenfalls den Flächeninhalt.
87
7 Integralrechnung
7.10 Weitere Aufgaben zum Üben
1. Geben Sie eine Stammfunktion an
j) f (x) = 4 ·
4
a) f (x) = 2x3 − x2 + 2
3
b) f (x) = 3x3 − 4x
√
4x + 1
3
k) f (x) = √
x
c) f (x) = 6(2x − 1)3
d) f (x) = −6(2x − 3)2
l) f (x) = √
e) f (x) = 3x−2 + 4x2
3
f) f (x) =
2x
3
g) f (x) = 4 − 3x2
x
4
h) f (x) =
(2x − 2)2
4
i) f (x) =
x−1
4
3x + 1
m) f (x) = 2e2x
n) f (x) = 2(x2 − 9e3x )
o) f (x) = 2 · e−x +
1
x3
p) f (x) = 3 cos(2x + 1)
q) f (x) = 3 sin(2x − 9)
2. Bestimmen Sie die folgenden Integrale
a)
Z
ln 2
e2x dx
e)
0
b)
Z
c)
Z
d)
Z
π
2
Z
4 sin(2x)dx
0
9
2
√ − 1dx
x
e
2
+ 4xdx
x
4
1
1
f)
Z
g)
Z
h)
Z
0
−1
3
0
(2x − 1)4 dx
0
2
1 + e−x dx
4
dx
(x + 1)2
2x − 2e−2x dx
0
3. Bestimmen Sie den Flächeninhalt, der von den beiden Kurven eingeschlossen wird.
a) f (x) = x + 1 g(x) = x2 + 1
b) f (x) = 2 · sin(x) g(x) = − sin(x) x ∈ [0; π]
x2 − 36
; x ∈ R. Ihr Schaubild sei K, K stellt für
x2 + 16
−6 ≤ x ≤ 6 den Querschnitt eines 500 m langen Kanals dar (x in Meter, f (x) in Meter). Die
sich anschließende Landﬂäche liegt auf der Höhe y = 0. Der Pegelstand wird in Bezug auf den
tiefsten Punkt des Kanals gemessen und beträgt maximal 2, 25 m
4. Gegeben ist eine Funktion f durch f (x) =
a) Wie viel Kubikmeter Wasser sind in dem Kanal, wenn er ganz gefüllt ist?
b) Zu wie viel Prozent ist der Kanal bei einem Pegelstand von 1,00 m gefüllt?
5. Die Geschwindigkeit eines Schwimmers schwankt periodisch um einen Wert. Messungen beim
Training haben gezeigt, dass sich die Bewegung näherungsweise durch die GeschwindigkeitsZeit-Funktion v mit
v(t) = 0, 4 · sin(12t) + 1, 5
beschreiben lässt (Zeit t in s, Geschwindigkeit v(t) in
innerhalb von 50 Perioden zurück?
88
m
s ).
Welchen Weg legt der Schwimmer
7 Integralrechnung
6. Für jedes k > 0 ist eine Funktion fk gegeben durch
fk (x) =
3k · ex
e2x + k
mit x ∈ R
Der Term f4 (x) beschreibt für x ≥ 0 die Zuwachsrate der von einer Bakterienkultur bedeckten
cm²
Fläche zum Zeitpunkt x (x in min ab Beobachtungsbeginn, f4 (x) in min
). Um wie viele Quadratzentimeter vergrößert sich die von der Kultur bedeckte Fläche in den ersten 2 Minuten?
7. Ein Supermarkt A führt eine neue Zahnpasta ein. In einem Modell beschreibt die Funktion f
427x + 15
der Form f (x) =
die verkaufte Stückzahl f (x) innerhalb der Woche x.
2x + 15
a) Bestimmen Sie näherungsweise, wie viele Tuben Zahnpasta der Supermarkt A in den
ersten 52 Wochen insgesamt verkauft.
b) Nach wie vielen Wochen sind insgesamt mehr als 1500 Tuben verkauft ?
8. Für jedes t > 0 ist eine Funktion ft gegeben durch
ft (x) = t · cos(x);
−
π
π
≤x≤
2
2
Das Schaubild der Funktion ft schließt mit der x-Achse eine Fläche ein. Bei Rotation dieser
Fläche um die x-Achse entsteht ein Drehkörper. Berechne dessen Volumen in Abhängigkeit
von t.
9. Ein Behälter hat ein Fassungsvermögen von 1200 Liter. Die enthaltene Flüssigkeitsmenge zum
Zeitpunkt t wird beschrieben durch die Funktion f mit
f (t) = 1000 − 800 · e−0,01t ;
t ≥ 0 (t in Minuten, f (t) in Liter
Bestimmen Sie die mittlere Flüssigkeitsmenge während der ersten Stunde.
100
. Das Schaubild von f , die x-Achse
− 16)2
und die Gerade y = 7 begrenzen im Bereich −7 ≤ x ≤ 7 eine Fläche. Diese Fläche stellt
die Seitenansicht einer 14 m langen, 7 m hohen und 10 m breiten Steinbrücke dar. Wie viele
Kubikmeter Stein wurden für die Brücke verbaut?
10. Gegeben ist eine Funktion f mit f (x) = 6 −
89
(x2
8 Exponentielles Wachsen und Fallen
8.1 Bestimmen der Wachstumsfunktion
Jeder exponentielle Wachstums-und Zerfallsprozess f (t) = A · bt lässt sich durch die Funktion
f (t) = A · ek·t mit k = ln(b) beschreiben. Die Zahl A ist der Bestand zum Zeitpunkt t = 0, f (t)
der Bestand zum Zeitpunkt t und die Basis b nennt man Wachstumsfaktor für
• k > 0 heißt k Wachstumskonstante und es handelt es sich um ein exponentielles Wachstum.
• k < 0 heißt k Zerfallskonstante und es handelt es sich um einen exponentiellen Zerfall.
Schritte zum bestimmen der Wachstumsfunktion:
1. Mache den Ansatz f (t) = A · ek·t .
2. Für zwei angegebene Bestände B1 und B2 zu zwei Zeitpunkten t1 und t2 , Löse das Gleichungssystem B1 = A · ek·t1 ; B2 = A · ek·t2 .
3. Für eine angegebene prozentuale Zu- bzw. Abnahme gilt:
p • Wachstumskonstante: k = ln 1 +
100
p • Zerfallskonstante: k = ln 1 −
100
Beispiel: Die Konzentration eines Medikamentes im Blut einer Versuchsperson wird in täglichen
Abständen bestimmt. Für die Konzentration gilt:
Zeit t in Tagen
Konzentration in mg
l
0
10
1
7,20
2
5,18
3
3,72
4
2,68
5
1,93
Bestimmen Sie die Zerfallsfunktion. Nach wievielen Tagen sinkt die Konzentration erstmals unter
0, 5 mg
l .
Lösung: Ansatz f (t) = A · ek·t , aus der Tabelle entnehmen wir f (0) = 10 somit gilt 10 = A · e0 = A
und
f (1) = 7, 20
7, 20 = A · ek·1
= 10 · ek
7, 20
= ek
10
k = ln
7, 20
10
≈ −0, 33
Die Wachstumsfunktion lautet f (t) = 10 · e−0,33t . Um zu bestimmen, wann die Konzentration unter
den wert 0,5 fällt muss man die Gleichung 0, 5 = 10 · e−0,33t lösen.
0, 5 = 10 · e−0,33t
0, 05 = e−0,33t
ln(0, 05) = −0, 33t
t ≈ 9, 1
90
8 Exponentielles Wachsen und Fallen
Nach ungefähr 9 Tagen sinkt die Konzentration erstmals unter 0,5 mg
l .
Aufgabe: Ein Kapital von 10 000€ wird mit einem Zinssatz von 5% jährlich verzinst.
a) Geben Sie die Funktion an, welche die zeitliche Entwicklung des Kapitals beschreibt.
b) Nach wie vielen Jahren hat sich das Kapital verdoppelt?
c) Vor wie viel Jahren betrug das Kapital bei gleichem Zinssatz 7 000€?
d) Nach wie vielen Jahren nimmt das Kapital erstmals um 3 000€ zu?
91
8 Exponentielles Wachsen und Fallen
8.2 Halbwerts- und Verdoppelungszeit
Hat ein exponentieller Wachstums- oder Zerfallsprozess die Form f (t) = A · ek·t , dann gilt für
die Zeit, in der sich der Bestand verdoppelt, bzw. halbiert:
Verdoppelungszeit: TV =
ln(2)
k
Halbwertszeit: TH = −
ln(2)
k
Beispiel: Innerhalb eines Jahres zerfallen ca. 2,3% der Masse des radioaktiven Elements Cäsium.
Bestimmen Sie die Zefallsfunktion, wenn zu Beobachtungsbeginn 130g Cäsium vorhanden waren.
Nach welcher Zeit ist die Hälfte des Cäsiums zerfallen?
Lösung: Ansatz: f (t) = A · ek·t . Da der A den Bestand zum Zeitpunkt t = 0 darstellt, gilt A = 130.
p 2,3
Für k gilt k = ln 1 − 100
= ln 1 − 100
≈ −0, 023, somit lautet die Zerfallsfunktion f (t) = 130 ·
ln(2)
e−0,023·t . Die Halbwertszeit kann man mit der gegebenen Formel berechnen: TH = − −0,023
≈ 30, 1.
Nach ungefähr 30 Jahren ist die Hälfte des vorhandenen Cäsiums zerfallen.
Aufgabe: Ein Auto verliert pro Jahr etwa 13% an Wert, nach wie vielen Jahren hat sich der Wert
des Autos halbiert?
Aufgabe: Ein Kapital verdoppelt sich in 10 Jahren, wie groß ist der jährliche Zinssatz?
92
8 Exponentielles Wachsen und Fallen
Aufgabe: Plutonium 239 hat eine Halbwertszeit von 24 400 Jahren.
a) Im Zwischenlager sind 300kg Plutonium eingelagert. Welche Menge war es vor 20 Jahren? Wie
viel wird in 200 Jahren noch vorhanden sein?
b) Wie viel Prozent einer Menge Plutoniums sind nach 1 000, 10 000, 100 000 Jahren noch vorhanden?
c) Wie lange dauert es, bis 30% (bzw. 99%) des Plutoniums zerfallen sind?
93
8 Exponentielles Wachsen und Fallen
8.3 Die Diﬀerentialgleichung des Exponentiellen
Wachstums
Betrachtet man exponentielle Wachstums oder Zerfallsprozesse, so stellt man fesst, dass der Bestand
umso schneller wächst, je mehr vorhanden ist. Zum Beispiel stelle man sich in idealisierter Weise
eine Tierpopulation vor, welche beiliebig viele Nahrungsmittel und Platz zur Verfügung hat. Es ist
einsichtig, dass um so mehr Tiere zur Population hinzukommen werden, je mehr schon vorhanden
sind. Was bedeutet dies nun für die Funktion f (t), die den Bestand zu einem Zeitpunkt t beschreibt?
Die Ableitung dieser Funktion beschreibt wie stark sich der Bestand verändert, die obige Formulierung der Bestand ändert sich umso schneller, je mehr vorhanden ist, deutet auf eine Proportionalität
hin.
Beim exponentiellen Wachstum (bzw. Zerfall) ist die Änderungsrate f 0 (t) proportional zum
Bestand f (t). Man schreibt:
f 0 (t) ∼ f (t)
Als Gleichung bedeutet dies:
f 0 (t) = k · f (t)
Für k < 0 liegt exponentieller Zerfall und für k > 0 liegt exponentielles Wachstum vor.
Eine Gleichung, in welche Funktionen auftauchen (und deren Ableitungen) nennt man Diﬀerentialgleichung (Abgekürzt DGL).
Wir wissen jetzt aber noch nicht, wie die eigentliche Funktion f (t) aussieht, die einen solchen Prozess
beschreibt. In der Mathematik gibt es systematische Methoden, um solche Funktionen zu ﬁnden.
In der Schule und im Abitur ist es lediglich relevant nachweisen zu können, dass eine Funktion eine
Lösung einer DGL ist.
Die Lösung der DGL des exponentiellen Wachstums ist eine Exponentialfunktion, denn diese verändert sich beim Ableiten nicht, es kommt nur ein Vorfaktor hinzu. Also beschreibt die Funktion
f (t) = A · ek·t einen exponentiellen Wachstums oder Zerfallsprozess.
An der DGL des exponentiellen Wachstums
f 0 (t) = k · f (t)
kann man die Wachstumskonstante k für die Funktion f (t) = A · ek·t ablesen. Den Anfangsbestand muss man aus der Aufgabenstellung bestimmen.
Beispiel: Der Bakterienbestand ein einer Probe wird durch die Diﬀerentialgleichung
f 0 (t) = 0, 5 · f (t)
t in Stunden
beschrieben. Zwei Stunden nach Beobachtungsbeginn sind in der Probe 10 000 Bakterien vorhanden.
Geben Sie eine Funktion f (t) an, die den Bakterienbestand in Abhängigkeit von der Zeit beschreibt.
Lösung: An der DGL sieht man, dass es sich um exponentielles Wachstum mit der Wachstumskonstante k = 0, 5 handelt. Weiter erhalten wir aus dem Aufgabentext, die Gleichung f (2) = 10 000.
Die Funktion hat also die Form f (t) = A · e0,5·t . Es verbleibt noch die Zahl A zu bestimmen.
f (2) = A · e0,5·2 = A · e = 10 000
10 000
⇒A=
≈ 3667
e
Die Wachstumsfunktion lautet also f (t) = 3677 · e0,5·t ; t in Stunden.
94
8 Exponentielles Wachsen und Fallen
Aufgabe: Für die vorhandene Masse m(t) eines radioaktiven Isotops gilt die Diﬀerentialgleichung:
m0 (t) = −0, 0432 · m(t)
t in Tagen
Zu Beobachtungsbeginn seien 100g des Isotops vorhanden.
a) Berechnen Sie die Halbwertszeit dieses Isotops.
b) Geben Sie eine Gleichung m(t) an, die die noch vorhandene Masse des Isotops in Tagen
beschreibt.
c) Nach wie vielen Tagen ist weniger als 5% des Isotops vorhanden?
Aufgabe: Zeigen Siem dass die Funktion f (t) = 3·e4·t eine Lösung der Diﬀerentialgleichung f 0 (t) =
4 · f (t) ist. Handelt es sich hierbei um exponentielles Wachstum oder um exponentiellen Zerfall?
Geben Sie die Halbwerts oder die Verdoppelungszeit an.
95
8 Exponentielles Wachsen und Fallen
8.4 Die DGL des beschränkten Wachstums und Zerfalls
Die Grundidee des beschränkten Wachstums ist die, dass sich ein Bestand f (t) um so weniger ändert,
je näher sich dieser einer Grenze S annähert.
Zum Beispiel: In einem Teich ist Platz für eine gewisse Anzahl S an Fischen, zunächst werden
viele Fische hinzukommen, je mehr Fische jedoch im Teich sind, umso weniger Platz ist für die
neu hinzukommenden, so dass weniger Fische hinzukommen werden (zumindest hier in unserem
Modell).
Für das beschränkte Wachstum gilt, dass die Änderungsrate f 0 (t) eines Bestands proportional
zur Diﬀerenz aus Sättigungsgrenze und Bestand ist:
f 0 (t) ∼ S − f (t)
Als Gleichung ergibt dies:
f 0 (t) = k · (S − f (t))
Eine Lösung dieser Diﬀerentialgleichung ist die Funktion:
f (t) = S − A · e−k·t
Bemerkung: Man beachte hierbei das Minuszeichen im Exponenten. Für A < 0 liegt beschränktes
Wachstum und für A > 0 liegt beschränkter Zerfall vor.
Beispiel: Weisen Sie nach, dass die Funktion f (t) = 10 − 2 · e−2·t eine Lösung der folgenden
Diﬀerentialgleichung ist:
f 0 (t) = 2 · (10 − f (t)) .
Lösung: Um dies nachzuweisen muss man lediglich die Funktion ableiten und in die DGL einsetzen.
Als Ableitung erhalten wir: f 0 (t) = 4 · e−2·t . Nun setzen wir f (t) und f 0 (t) in die DGL ein und
vereinfachen dies so weit wie möglich:
2 · 10 − 10 − 2 · e−2·t = 2 · 10 − 10 + 2 · e−2·t
= 4 · e−2·t = f 0 (t)
Somit ist die Funktion eine Lösung der DGL.
Aufgabe: Weisen Sie nach, dass die Funktion f (t) = 7000−3000·e−0,1431·t eine Lösung der folgenden
DGL ist:
f 0 (t) = k · (7000 − f (t)) .
96
8 Exponentielles Wachsen und Fallen
8.4.1 Bestimmen der DGL beim beschränkten Wachstum
Schritte zum Bestimmen der DGL beim beschränkten Wachstum
1. Schreibe auf die linke Seite der Gleichung f 0 (t) (oder eine entsprechend andere Bezeichnung, z.B. h0 (x) usw.).
2. Schreibe auf die rechte Seite der Gleichung in Summe alle Terme die eine Änderung der
gesuchten Größe verursachen. Hierbei treten zwei mögliche Fälle auf:
i) Eine konstante Zunahme Z, schreibe hierfür +Z auf die rechte Seite der Gleichung.
ii) Eine Abnahme proportional zum Bestand: Schreibe −k · f (t) auf die rechte Seite der
Gleichung.
3. Klammere k aus, um die Gleichung auf die Form
f 0 (t) = k · (S − f (t))
zu bringen.
4. Die gesuchte Wachstumsfunktion ist
f (t) = S − A · e−k·t
Die Größe A muss aus dem Aufgabentext bestimmt werden.
Beispiel: Nach Aufstellen erhält man die Gleichung
f 0 (t) = Z − k · f (t) .
Ausklammern ergibt dann die Funktion:
f 0 (t) = k ·
Z
− f (t)
k
.
Die Größe Zk ist somit die gesuchte Schranke S.
Beispiel: In einem Wasserbehälter mit einem Loch am Boden ﬂieße konstant 50 Liter pro Minute hinein. Die abﬂießende Menge entspricht 2% von dem im Behälter beﬁndlichen Volumen. Der
Behälter sei so dimensioniert, dass er nicht überlaufe und zu Beginn seien 200 l im Behälter.
a) Geben Sie die DGL dieses Prozesses an.
b) Bestimmen Sie eine Funktion f (t), die das in dem Behälter beﬁndliche Volumen modelliert.
c) Wie viel Liter muss der Behälter mindestens fassen?
97
8 Exponentielles Wachsen und Fallen
Lösung:
a) Wir haben eine konstante Zunahme von +50 und eine Abnahme von −0, 02 · f (t), somit lautet
die DGL:
f 0 (t) = 50 − 0, 02 · f (t) = 0, 02 · (2500 − f (t))
b) Es gilt f (t) = S − A · e−k·t , wobei man die Größen S und k direkt aus der DGL ablesen kann,
es gilt S = 2500 und k = 0, 02. A wird aus der Bedingung f (0) = 200 bestimmt:
f (t) = 2500 − A · e−0,02·t
f (0) = 2500 − A · e0 = 200
⇒ A = 2300
Somit lautet die gesuchte Funktion:
f (t) = 2500 − 2300 · e−0,02·t
c) Die maximale Füllmenge entspricht der Schranke, denn für t → ∞ verschwindet der Term
2300 · e−0,02·t , also muss der Behälter mindestens 2500 l fassen.
Aufgabe: Ein Teich bietet Platz für maximal 7000 Fische. In einem Modell soll angenommen werden, dass die Änderungsrate des Fischbestandes proportional zur Anzahl der noch Platz ﬁndenden
Fische ist. Anfangs beﬁnden sich 4000 im Teich. Nach einem Monat sind 4400 Fische vorhanden.
a) Geben Sie eine zugehörige Diﬀerentialgleichung an.
b) Bestimmen Sie eine Funktion, welche diesen Fischbestand in Abhängigkeit von der Zeit beschreibt.
98
8 Exponentielles Wachsen und Fallen
8.5 Weitere Aufgaben zum Üben
1. Die Radioaktive Substanz Bismut zerfällt allmählich und wandelt sich dabei in Polonium um.
a) Welche Masse ist von 10g Bismut nacht 12 Tagen vorhanden, wenn täglich 13% des
vorhandenen Materials zerfallen?
b) Wann ist nur noch 1g Bismut vorhanden?
c) Wie groß ist die Halbwertszeit?
2. Cholera wird durch den Bazillus Vibrio Cholerae hervorgerufen. Zu Beginn eines Experimentes
wird eine Kolonie von 400 Bazillen in eine Nährlösung gebracht. Zwei Stunden später Zählt
man bereits 30 000. Man geht bei der Vermehrung von einem exponentiellen Wachstum aus.
a) Bestimmen Sie die Wachstumsfunktion zum Zeitschritt 2 Stunden.
b) Wie lautet die Wachstumsfunktion zum Zeitschritt 1 Stunde?
3. Die Konzentration eines Medikamentes im Blut wird durch eine Funktion f (t) = a · t · e−b·t
mit a > 0 und b > 0 beschrieben. Hierbei wird t in Stunden nach der Einnahme und f (t) in
mg
l gemessen. Bestimmen Sie die konstanten a und b, wenn die Konzentration vier Stunden
nach der Einnahme ihren größten Wert 10 mg
l erreicht.
4. Herr Mayer eröﬀnet ein Konto und zahlt darauf 500€ ein. Er erhält jährlich 0,5% Zinsen, die
er am Ende des Jahres auf das Konto gutgeschrieben lässt.
a) Wie viel Geld hat Herr Mayer nach 10 Jahren auf seinem Konto?
b) Wie viele Jahre müsste er warten bis sich das Geld auf dem Konto verdoppelt hat?
5. In der Zeichentrickserie Futurama besitzt der Protagonist Philip J. Fry im Jahr 2000 ein Konto
mit 93ct. 1000 Jahre in der Zukunft existiert dieses Konto immer noch unberührt. Es stellt
sich heraus, dass sich mittlerweile ein Geldbetrag von 4,3 Milliarden Dollar angehäuft hat.
Welcher mittlere Zinsastz lag bei der Verzinsung der 93ct zugrunde?
99
9 Lineare Gleichungssysteme
Ein lineares Gleichungssystem (oft auch einfach kurz LGS) besteht in der Regel aus 3 Gleichungen mit 3 Unbekannten. Es besitzt z.B. die Form
3x1 + 6x2 − 2x3 = −4
3x1 + 2x2 + x3 = 0
3
2 x1 + 5x2 − 5x3 = −9
Dies kann man auch kurz als eine Matrix schreiben:


3 6 −2 −4
3 2 1 0 
3
−9
5
−5
2
Wobei die Einträge der Matrix die einzelnen Koeﬃzienten der jeweiligen Gleichung sind, zwischen den einzelnen Spalten steht in jeder Zeile ein Plus, welches jedoch nicht geschrieben wird,
und jede Spalte steht repräsentativ für eine Variable
9.1 Das Gauß-Verfahren zur Lösung von LGS
Man löst ein lineares Gleichungssystem, indem man es zunächst mit Äquivalenzumformungen
auf die Stufenform bringt und danach schrittweise nach den Variablen x3 , x2 und x1 auﬂöst.
Erlaubte Äquivalenzumformungen sind:
• Gleichungen miteinander vertauschen. In der Matrixschreibweise entspricht dies dem Vertauschen von Zeilen.
• Gleichungen mit einer Zahl c 6= 0 multiplizieren (bzw. durch eine Zahl dividieren), hierzu
multipliziert man jeden Eintrag einer Zeile mit dieser Zahl c.
• eine Gleichung durch die Summe oder Diﬀerenz zweier Gleichungen ersetzen. D.h. man
addiert eine Gleichung (eine Zeile) zu einer anderen Gleichung (Zeile).
Ein lineares Gleichungssystem liegt in der Zeilenstufenform vor, wenn es die folgende Form
besitzt:


∗ ∗ ∗ ∗
0 ∗ ∗ ∗
0 0 ∗ ∗
Wobei ∗ irgendwelche Zahlen darstellen.
Beispiel: Bestimmen Sie die Lösung des folgenden LGS:
3x1 + 6x2 − 2x3 = −4
3x1 + 2x2 + x3 = 0
3
2 x1 + 5x2 − 5x3 = −9
100
9 Lineare Gleichungssysteme
Lösung: Das Gleichungssystem wird in ausführlicher und in

I 3x1 + 6x2 − 2x3 = −4
3 6

II 3x1 + 2x2 + x3 = 0
3 2
3
III 32 x1 + 5x2 − 5x3 = −9
2 5
Matrixschreibweise gelöst:

−2 −4
1 0 
IIa = II − I
−5 −9
Zunächst ersetzen wir die zweite Gleichung durch die Diﬀerenz aus der zweiten und der ersten
Gleichung:


I 3x1 + 6x2 − 2x3 = −4
3 6 −2 −4
Ia = − 12 · I
 0 −4 3 4 
IIa
− 4x2 + 3x3 = 4
3
3
III 2 x1 + 5x2 − 5x3 = −9
5 −5 −9
2
Nun wird die erste Gleichung mit − 12 mulitpliziert
Ia − 32 x1 − 3x2 + 1x3 = 2
IIa
− 4x2 + 3x3 = 4
III 32 x1 + 5x2 − 5x3 = −9
− 32
 0

3
2

−3 1 2
−4 3 4 
5 −5 −9
IIIa = III + Ia
Wir ersetzen nun die dritte Gleichung durch die Summe aus der ersten und dritten Gleichung:

 3
Ia − 32 x1 − 3x2 + 1x3 = 2
− 2 −3 1 2
 0 −4 3 4 
IIa
− 4x2 + 3x3 = 4
IIIa
0
+ 2x2 − 4x3 = −7
0
2 −4 −7
IIIb = 2 · IIIa
Jetzt wird die dritte Gleichung mit 2 multipliziert.
 3
Ia − 32 x1 − 3x2 + 1x3 =
2
−2
 0
IIa
− 4x2 + 3x3 =
4
IIIb
+ 4x2 − 8x3 = −14
0

−3 1 2
−4 3 4 
4 −8 −14
IIIc = IIIb + IIa
Nun ersetzt man die dritte Gleichung durch die Summe aus der dritten und der zweiten Gleichung:
 3

Ia − 32 x1 − 3x2 + 1x3 =
2
− 2 −3 1 2
 0 −4 3 4 
IIa
− 4x2 + 3x3 =
4
IIIc
− 5x3 = −10
0
0 −5 −10
Jetzt können wir schrittweise die Lösung des linearen Gleichungssystems ablesen, indem wir die
einzelnen Gleichungen nacheinander auﬂösen:
−5x3 = −10
x3 = 2
Aus der zweiten Gleichung folgt nun:
−4x2 + 3x3 = 4
−4x2 + 3 · 2 = 4
−4x2 + 6 = 4
−4x2 = −2
1
x2 =
2
101
9 Lineare Gleichungssysteme
Mit der letzten Gleichung erhalten wir nun:
3
− x1 − 3x2 + x3 = 2
2
3
1
− x1 − 3 · + 2 = 2
2
2
3
3
− x1 =
2
2
x1 = −1
Somit besteht die Lösung aus dem Tupel: −1; 12 ; 2
Die Lösung eines LGS besteht aus einem Tupel aus drei Zahlen, diese schreibt man in der Form
(x1 ; x2 ; x3 ). Man kann dieses Tupel auch als einen Punkt im dreidimensionalen Koordinatensystem auﬀassen und in der Form (x1 |x2 |x3 ) schreiben.
Aufgabe: Bestimmen Sie die Lösung des folgenden LGS:
2x1 − 4x2 + 5x3 = 3
3x1 + 3x2 + 7x3 = 13
4x1 − 2x2 − 3x3 = −1
102
9 Lineare Gleichungssysteme
Aufgabe: Bestimmen Sie die Lösung des folgenden LGS:
−x1 + 7x2 − x3 = 5
4x1 − x2 + x3 = 1
5x1 − 3x2 + x3 = −1
103
9 Lineare Gleichungssysteme
9.2 Lineare Gleichungssysteme mit dem GTR
Schritte zum Lösen eines LGS mit dem GTR:
1. Schreibe zunächst das LGS in der Matrixschreibweise.
2. Gib das LGS in den GTR als Matrix ein:
M AT RIX → EDIT → EN T ER
Stelle die Matrix auf 3 × 4 und gib das Gleichungssystem ein.
3. Bringe das Gleichungssystem in die reduzierte Zeilenstufenform:
M AT RIX → M AT H → rref (→ M AT RIX
→ wähle die entsprechende Matrix aus
4. Lies die Lösung des LGS am GTR ab.
Beispiel: Löse das folgende LGS mit dem GTR:
x1 −
x1 +
x1
1
2 x2
x2
− 2x3
− 34 x3
= 12
= 0
= 32
Lösung: Zunächst bringen wir das LGS in die Matrixschreibweise (wenn an einer Stelle ein Eintrag
fehlt, wie z.B. in der ersten Gleichung, schreiben wir an der entsprechenden Stelle in der Matrix
eine 0)


1 − 12 0 12
1 1 −2 0 
1 0 −3 3
4 2
Dann geben wir diese in den GTR ein und
bringen. Der GTR gibt dann aus:

1
0
0
lassen ihn das LGS in die reduzierte Zeilenstufenform

0 0 −9
1 0 −19
0 1 −14
D.h. die Lösung des LGS ist (−9; −19; −14).
Aufgabe: Überprüfen Sie ihre Ergebnisse aus dem vorherigen Abschnitt mit dem GTR
104
9 Lineare Gleichungssysteme
9.3 Lösungsmengen von LGS
Ein lineares Gleichungssystem besitzt entweder keine, eine, oder unendlich viele Lösungen. Man
sieht dies folgendermaßen:
• keine Lösung: Ein lineares Gleichungssystem besitzt keine Lösung, wenn nach dem Umformen eine falsche Aussage im Gleichungssystem steht. Z.B.:


1 0 0 1
0 1 0 2
0 0 0 3
Wenn also in einer Zeile nur Nullen außer bei der letzten Stelle stehen.
• eine Lösung: Ein lineares Gleichungssystem besitzt eine Lösung, wenn man es mit Umformungen auf die Zeilenstufenform brigen kann, wenn man also ein Ergebnis erhält.
• unendlich viele Lösungen: Ein lineares Gleichungssystem besitzt unendlich viele Lösungen, wenn in einer oder mehreren Zeilen eine wahre Aussage steht. Z.B.:


1 0 0 1
0 1 1 2
0 0 0 0
D.h. wenn also in einer oder mehreren Zeilen nur Nullen stehen.
105
9 Lineare Gleichungssysteme
9.4 Weitere Aufgaben zum Üben
1. Lösen Sie das lineare Gleichungssystem und überprüfen Sie ihre Ergebnisse mit dem GTR
2x1 + 2x2 + x3 = 4
= −1
a) x1 − 3x2
3x1
+ 2x3 = 2
x1 +
b) x1 −
x1 −
1
4 x2
1
2 x2
x2
+ x3 = 0
− 2x3 = 3
+ 12 x3 = 12
x1 + 2x2 − x3 =
8
0
c) −x1 + x2 + 2x3 =
−x1 − 5x2 − 4x3 = −12
d)
x1
2x1
+ x2 + x3 = 6
x2 + x3 = 5
− x2 + x3 = 3
106
10 Vektoren
Ein Vektor ist eine Zusammenfassung von Zahlen zu einem Objekt. In der Geometrie ergibt sich
die folgende Deutung von Vektoren:
Ein Vektor beschreibt eine Parallelverschiebung im zwei- bzw. dreidimensionalen Raum (dem
R2 bzw. dem R3 ), d.h. Vektoren
• zeigen in eine bestimmte Richtung
• haben eine bestimmte Länge
 
a1
#»

Man schreibt Vektoren in der Form a = a2 , wobei die einzelnen Einträge der Länge der
a3
Verschiebung in die Richtung der jeweiligen Koordinatenachse entsprechen.
10.1 Rechnen mit Vektoren
 
 
a1
b
#»  1 
#»


Für die Vektoren a = a2 und b = b2 sowie c ∈ R gelten die folgenden Rechenregeln:
a3
b3
    

a1
b1
a1 + b1
#»
#»
a + b = a2  + b2  = a2 + b2 
a3
b3
a3 + b3
  

a1
c · a1
#»



c · a = c · a2 = c · a2 
a3
c · a3
D.h. man addiert (bzw. subdrahiert) zwei Vektoren, indem man die einzelnen Einträge addiert
(bzw subdrahiert) und man multipliziert einen Vektor mit einer Zahl, indem man jeden einzelnen
Eintrag mit dieser Zahl multipliziert.


 
1
−4
#»
Beispiel: Sei #»
a =  0  und b =  7 , dann gilt:
−3
2

    
1
−4
−3
#»
#»
a + b = 0 + 7 = 7 
−3
2
−1
107

  
1
3
3 · #»
a =3· 0 = 0 
−3
−9
10 Vektoren
 
a1
Für die Länge eines Vektors #»
a = a2  gilt:
a3
| #»
a| =
q
a21 + a22 + a23
Man nennt dies auch den Betrag eines Vektors.
 
3
Beispiel: Bestimmen Sie die Länge des Vektors #»
a = 0
4
Lösung:
p
√
| #»
a | = 32 + 42 = 25 = 5
 
 
1
−4
#»  
#»


1 . Berechnen Sie:
Aufgabe: Gegeben seien die Vektoren a = 2 und b =
3
2
a) #»
a+
#»
b) b −
#»
b
#»
a
#»
c) 3 · b
#»
d) − b
#»
e) #»
a +3· b
#»
f) #»
a· b
108
#»
g) |3 · b |
#»
h) | #»
a + b|
10 Vektoren
10.2 Der Verbindungsvektor
Bestimmen des Verbindungsvektors zweier Punkte:
# »
Für zwei Punkte P (p1 |p2 |p3 ) und Q(q1 |q2 |q3 ) kann man den Verbindungsvektor P Q angeben,
dieser beginnt bei P und zeigt in Richtung Q, wobei die Länge dieses Vektors der Abstand der
beiden Punkte zueinander ist. Den Verbindungsvektor bestimmt man mit:


q1 − p 1
# »
P Q =  q2 − p 2 
q3 − p 3
Beispiel: Die Punkte A(1|1|1), B(1|2|4) und C(2|5|6) bilden ein Dreieck. Geben Sie die Verbindungsvektoren der einzelnen Dreiecksseiten an, und berechnen Sie die Kantenlängen der jeweiligen
Dreiecksseiten.
Lösung: Die Verbindungsvektoren können wir gleich ausrechnen:

  
1−1
0
# »
AB = 2 − 1 = 1
4−1
3

  
2−1
1
# » 


AC = 5 − 1 = 4
6−1
5

  
1−2
−1
# » 


CB = 2 − 5 = −3
4−6
−2
Für die Seitenlänge gilt:
  0 # »
|AB| = 1
3 p
√
= 02 + 12 + 32 = 10
  1 # »
|AC| = 4
5 p
√
= 12 + 42 + 52 = 32
  −1 # »
|CB| = −3
−2 p
√
= (−1)2 + (−3)2 + (−2)2 = 16 = 4
109
10 Vektoren
10.3 Das Skalarprodukt
 
 
a1
b1
#»
Das Skalarprodukt: Für zwei Vektoren #»
a = a2  und b = b2  deﬁniert man die folgende
a3
b3
Rechenvorschrift:
   
a1
b1
#»
#»
a · b = a2  · b2  = a1 · b1 + a2 · b2 + a3 · b3
a3
b3
Man berechnet also das Skalarprodukt, indem man den ersten Eintrag des ersten Vektors mit
dem ersten Eintrag des zweiten Vektors multipliziert und mit den entsprechend anderen miteinander multiplizierten Einträgen aufaddiert.
Für das Skalarprodukt gilt die folgende Indetität:
#»
#»
#»
#»
a · b = | #»
a | · | b | · cos(^ #»
a; b )
D.h. das Skalarprodukt ist genau dann null, wenn der von den beiden Vektoren eingeschlossene
Winkel ein rechter Winkel ist.
#»
#»
Stehen zwei Vektoren #»
a und b orthogonal aufeinander, dann gilt: #»
a · b = 0.


 
1
6
#»
Beispiel: Überprüfen Sie, ob die beiden Vektoren #»
a = −4 und b =  0  orthogonal aufein3
−2
ander stehen.
Lösung: Um dies zu überprüfen, dass zwei Vektoren senkrecht aufeinander stehen, müssen wir
überprüfen, ob das Skalarprodukt dieser beiden Vektoren 0 ergibt:
   
1
6
#»
#»
a · b = −4 ·  0  = 1 · 6 + (−4) · 0 + 3 · (−2) = 6 − 6 = 0
3
−2
Aufgabe: Überprüfen Sie, ob die beiden Vektoren orthogonal aufeinander stehen:
 
 
 
 
2
1
2
5
#»
a) #»
a = −2 b = −1
c) #»
x = −3 #»
z = 2 
0
1
4
−1
 
 
1
−5
b) #»
u = 2 #»
v = 3 
3
1
110
10 Vektoren


2
Aufgabe: Geben Sie vier unterschiedliche Vektoren an, die zu dem Vektor #»
n = −2 orthogonal
3
stehen.


 
2
1
#»
#»



Aufgabe: Bestimmen Sie a so, dass u = −2 und v = a orthogonal aufeinander stehen.
4
1
Aufgabe: Die Punkte A(1|1|3) B(5| − 3|1) und C(3|5| − 1) bilden das Dreieck ABC. Zeigen Sie,
dass das Dreieck ABC gleichschenklig und rechtwinklig ist.
111
10 Vektoren
10.4 Bestimmen orthogonaler Vektoren
Schritte zum Bestimmen eines Normalenvektors #»
n:
#»
#»
Gegeben sind zwei Vektoren a und b und gesucht ist ein dritter Vektor #»
n , für den gilt #»
n ⊥ #»
a
#»
#»
und n ⊥ b .
 
n1
#»
#»

1. Schreibe den Vektor n als n = n2 
n3
#»
2. Stelle die beiden Gleichungen #»
n · #»
a = 0 und #»
n · b = 0 auf.
3. Setze n1 = 1 und ermittle aus den beiden Gleichungen aus 2. n2 und n3 .


 
1
0
#»
Beispiel: Bestimmen Sie einen Vektor #»
n , der zu den beiden Vektoren #»
a =  2  und b = 1
−1
2
orthogonal steht.
 
n1
#»
Lösung: Zunächst machen wir den Ansatz #»
n = n2 . Hieraus erhalten wir mit #»
a und b die
n3
beiden
Gleichungen:
#»
n·
#»
n·
#»
a = n1 · 1 + n2 · 2 + n3 · (−1) = 0
#»
b = n1 · 0 + n2 · 1 + n3 · 2 = 0
Wir setzen n1 = 1, somit erhalten wir die beiden Gleichungen:
0 = 1 + 2n2 − n3
0 = n2 + 2n3
mit n2 = −2n3 ergibt sich die folgende Gleichung:
−1 = 2 · (−2n3 ) − n3
−1 = −4n3 − n3 = −5n3
1
n3 =
5


1
#»
und deshalb n2 = − 25 . Der zu #»
a und b orthogonale Vektor lautet: #»
n = − 25 
1
5
112
10 Vektoren
10.5 Das Kreuzprodukt
Das Kreuzprodukt:
 
 
a1
b1
#»
Sucht man einen zu den beiden Vektoren #»
a = a2  und b = b2  orthogonal stehenden
a3
b3
#»
Vektor n , so kann man diesen mit dem Kreuzprodukt bestimmen:


a2 b3 − a3 b2
#»
#»
n = #»
a × b = a3 b1 − a1 b3 
a1 b2 − a2 b1
#»
Außerdem entspricht der Betrag des Vektors #»
n der von den beiden Vektoren #»
a und b aufgespannten Parallelogrammﬂäche.
Merkregel:
1. Schreibe die beiden Vektoren jeweils zweimal untereinander und streiche die erste und
letzte Zeile.
2. Verbinde nun mit Pfeile über Kreuz die die einzelnen Einträge. Hierbei erhalten nach unten
gerichtete Pfeile ein positives und nach oben gerichtete Pfeile ein negatives Vorzeichen.
3. Addiere sich kreuzende Pfeile und schreibe diese von oben nach unten in einen Vektor.
(
)
Berechnen von Dreiecksﬂächen mit dem Kreuzprodukt:
Gegeben ist ist das von den drei Punkten A, B und C aufgespannte Dreieck. Gesucht ist der
Flächeninhalt des Dreiecks ABC, hierfür gilt:
1 # » # »
A4 = · AB × AC 2


 
1
0
#»
Beispiel: Bestimmen Sie einen Vektor #»
n , der zu den beiden Vektoren #»
a =  2  und b = 1
−1
4
orthogonal steht.
#»
Lösung: Der zu #»
a und b orthogonale Vektor lässt sich mit dem Kreuzprodukt bestimmen:
    
  
1
0
2·4
− (−1) · 1
9
 2  × 1 = (−1) · 0 −


1·4
= −4
−1
4
1·1
−
2·0
1
113
10 Vektoren
 
 
2
1
#»
Aufgabe: Bestimmen Sie einen Vektor #»
n , der zu den beiden Vektoren #»
a = 1 und b = 0
4
3
orthogonal steht.
 
 
1
1
#»
Aufgabe: Bestimmen Sie einen Vektor #»
n , der zu den beiden Vektoren #»
a = 3 und b = 2
5
2
orthogonal steht.
114
10 Vektoren
10.6 Weitere Aufgaben zum Üben


 
2
−1
#»  
#»


3 . Berechnen Sie:
1. Gegeben seien die Vektoren a = −4 und b =
7
2
a) #»
a+
#»
b) b −
#»
b
#»
a
#»
c) −2 · b
#»
d) 4 b + 3a
#»
e) | #»
a +3· b|
#»
f) | b + 3 #»
a|
2. Überprüfen Sie, ob das Dreieck ABC gleichschenklig ist:
a) A(3|7|2), B(−1|5|1), C(2|3|0)
b) A(−5|2| − 1), B(0|5| − 3), C(−1|6| − 3)
3. Überprüfen Sie, ob das Dreieck ABC rechtwinklig ist:
a) A(5|1|0), B(1|5|2), C(−1|1|6)
b) A(8|4|0), B(0|6|2), C(0|0|8)
c) Zeigen Sie, dass das Dreieck aus b) auch gleichschenklig ist
4. Bestimmen Sie jeweils den Mittelpunkt von
a) A(0|0|1) und B(4|5|6)
b) A(2|1|1) und B(8|2|3)
115
#»
g) |3 · b |
#»
h) | #»
a + b|
11 Geraden und Ebenen
11.1 Geraden
Jede Gerade lässt sich in der Form:
g : #»
x = #»
p + t · #»
u
t∈R
schreiben. Der Vektor #»
p wird Stützvektor genannt, er stellt den Ortsvektor eines Punktes auf
der Geraden dar, und den Vektor #»
u nennt man den Richtungsvektor, er zeigt in die Richtung
(bzw. die entgegengesetzte Richtung) der Geraden
Bestimmen der Geradengleichung:
1. Schreibe einen der beiden Punkte als Vektor. Dieser ist der Stützvektor der Geraden.
2. Bestimme den Verbindungsvektor der beiden gegebenen Punkte, dies ist der Richtungsvektor der Geraden.
Beispiel: Bestimmen Sie die Geradengleichung der Geraden, die durch die beiden Punkte A(1|−2|5)
und B(4|6| − 2) verläuft und überprüfen Sie, ob der Punkt C(7|14| − 9) auf der Geraden
 liegt.

1
Lösung: Wir wählen den Ortsvektor des Punktes A als Stüzvektor, es gilt also: #»
p = −2. Jetzt
5
müssen wir den Verbindungsvektor der beiden Punkte A und B bestimmen:

  
4 −
1
3
#»
u =  6 − (−2) =  8 
−2 −
5
−7
Die Geradengleichung lautet deshalb:


 
1
3
g : #»
x = −2 + t ·  8 
5
−7
#»
Punktprobe: Wir setzen den Punkt für x in die Geradengleichung ein und überprüfen, ob es ein t
gibt, so dass die Gleichung erfüllt ist:
   
 
7
1
3
 14  = −2 + t ·  8 
−9
5
−7


 
6
3
 16  = t ·  8 
−14
−7
Somit erhalten wir drei Gleichungen, aus welchen wir t bestimmen können. Erhalten wir aus jeder
Gleichung das gleiche t, somit liegt der Punkt auf der Geraden:
6=t·3
t=2
16 = t · 8
−14 = t · −7
t=2
t=2
D.h. der Punkt C liegt auf der Geraden g.
116
11 Geraden und Ebenen
Aufgabe: Geben Sie zu den Punkten A(0|5| − 4), B(6|3|1) und C(9| − 9|0) jeweils eine Geradengleichung durch die Punkte A und B, A und C, sowie durch die Punkte B und C an.
117
11 Geraden und Ebenen
11.2 Gegenseitige Lage von Geraden
Für zwei Geraden g : #»
x = #»
p + r · #»
u und h : #»
x = #»
q + t · #»
v gibt es vier mögliche Lagen im
Raum. Der folgende Entscheidungsbaum soll dabei helfen, die gegenseitige Lage von Geraden
zu bestimmen:
#»
u und #»
v sind Vielfache voneinander, d.h. es
#»
gilt u = k · #»
v
#»
u und #»
v sind keine Vielfache voneinander,
d.h. es gilt #»
u 6= k · #»
v
Ein Punkt von g liegt
auf h
Ein Punkt von g liegt
nicht auf h
Die Gleichung
#»
p + r · #»
u = #»
q + t · #»
v
liefert eine Lösung
für r und t
Die Gleichung
#»
p + r · #»
u = #»
q + t · #»
v
liefert keine Lösung
für r und t
Die Geraden
identisch
Die Geraden
parallel
Die Geraden schneiden sich
Die Geraden
windschief
sind
sind
sind
Beispiel: Untersuchen Sie die beiden Geraden g und h auf gegenseitige Lage.
 
 
 
 
7
2
4
1
#»
#»







g : x = −2 + r · 3
h : x = −6 + t · 1
2
1
−1
2
Lösung: Zunächst überprüfen wir, ob die beiden Richtungsvektoren Vielfache voneinander sind:
 
 
2
1
3 = k · 1
1
2
dies liefert uns drei Gleichungen für k:
2=k
3=k
1 = 2k
1
k=2
k=3
k=
2
Somit sind die Richtungsvektoren keine Vielfache voneinander. Wir müssen nun überprüfen, ob sich
die beiden Geraden scheiden, d.h. wir müssen die Gleichung
 
   
 
7
2
4
1
−2 + r · 3 = −6 + t · 1
2
1
−1
2
lösen:


   
 
7
2
4
1
−2 + r · 3 = −6 + t · 1
2
1
−1
2
   
 
 
7
4
1
2
−2 − −6 = t · 1 − r · 3
2
−1
2
1
 
 
 
3
1
2
4 = t · 1 − r · 3
3
2
1
118
11 Geraden und Ebenen
Dies liefert uns drei Gleichungen mit zwei Unbekannten:
3 = t − 2r
4 = t − 3r
3 = 2t − r
Wir wählen die ersten beiden Gleichungen um einen Wert für t und r zu bestimmen. Hierzu formen
wir die erste Gleichung nach t um: t = 3 + 2r und setzen sie in die zweite Gleichung ein.
4 = 3 + 2r − 3r
4=3−r
r = −1
Hieraus erhalten wir ein Ergebnis für t = 3 + 2 · (−1) = 3 − 2 = 1. Zuletzt muss man auch noch
überprüfen, ob die letzte Gleichung auch für t = 1 und r = −1 eine wahre Aussage liefert.
3 = 2t − r
3 = 2 · 1 − (−1) = 2 + 1 = 3 X
D.h. die beiden Geraden scheiden sich, es muss also nur noch der Schnittpunkt bestimmt werden,
indem man r = −1 in g oder t = 1 in h einsetzt.
 
 
7
2
#»
x = −2 + (−1) · 3
2
1
   
7
−2
= −2 + −3
2
−1
 
5

= −5
1
Die Geraden scheiden sich also im Punkt S(5| − 5|1).
Aufgabe: Untersuchen Sie die beiden Geraden g und h auf gegenseitige Lage.
 
 
 
 
1
2
3
4
#»
#»







g : x = 2 +r· 4
h : x = 6 + t · 8
3
1
4
2
119
11 Geraden und Ebenen
Aufgabe: Untersuchen Sie die beiden Geraden g und h auf gegenseitige Lage.
 
 
 
 
3
4
1
−4
#»
#»







g : x = 6 +r· 8
h : x = 0 + t · −6
4
2
3
2
120
11 Geraden und Ebenen
Aufgabe: Untersuchen Sie die beiden Geraden g und h auf gegenseitige Lage.
 
 
 
 
4
1
0
2
#»
#»







g : x = 2 +r· 1
h : x = 0 + t · 0
5
2
0
1
121
11 Geraden und Ebenen
11.3 Ebenen
11.3.1 Die Parameterform
Jede Ebene lässt sich in der Form:
E : #»
x = #»
p + r · #»
u + s · #»
v
r; s ∈ R
schreiben. Man nennt diese Form die Parameterform der Ebene. Der Vektor #»
p wird als Stützvektor bezeichnet, er stellt den Ortsvektor eines Punktes in der Ebene dar und die Vektoren #»
u
und #»
v nennt man die Spannvektoren, sie spannen die Ebene auf.
Bestimmen der Ebenengleichung:
1. Schreibe einen der drei Punkte als Vektor. Dieser ist der Stützvektor der Ebene.
2. Bestimme zwei verschiedene Verbindungsvektoren der drei gegebenen Punkte, diese sind
die Spannvektoren der Ebene.
Beispiel: Die Punkte A(1| − 1|1), B(1, 5|1|0) und C(0|1|1) spannen eine Ebene auf, geben Sie die
Parametergleichung dieser Ebene an.
Lösung: Wir wählen den Ortsvektor des Punktes A als Stützvektor der Ebene, d.h.
 
1
#»
p = −1
1
# »
# »
Als Richtungsvektoren wählen wir die Vektoren #»
u = AB und #»
v = AC:
 
0, 5
# »
#»
u = AB =  2 
−1
 
−1
# »  
#»
2
v = AC =
0
Somit lautet die Parametergleichung der Ebene:
 
 
 
1
0, 5
−1
#»





2
E : x = −1 + r ·
+s· 2 
1
−1
0
122
11 Geraden und Ebenen
 
 
 
2
1
2
Aufgabe: Gegeben ist die Ebene E : #»
x = 0 + r · 3 + s · −1. Überprüfen Sie, ob die
1
5
1
Punkte A(7|5| − 3) und B(7|1|8) in der Ebene liegen.
123
11 Geraden und Ebenen
Aufgabe: Geben Sie eine Parametergleichung der Ebene E an, in welcher die Punkte A(2|0|3),
B(1| − 1|5) und C(3| − 2|0) liegen.
Aufgabe: Geben Sie eine Parametergleichung der Ebene E an, in welcher die Punkte A(1|1|1),
B(1|2|3) und C(3|3|6) liegen.
124
11 Geraden und Ebenen
Aufgabe: Überprüfen Sie, ob die Punkte A(0|1| − 1), B(2|3|5), C(−1|3| − 1), D(2|2|2) in einer
Ebene liegen.
125
11 Geraden und Ebenen
11.3.2 Die Normalengleichung
Jede Ebene lässt sich in der Form:
E : ( #»
x − #»
p ) · #»
n =0
schreiben, man nennt diese Form die Normalenform der Ebene. Der Vektor #»
p wird als Stützvektor bezeichnet, er stellt den Ortsvektor eines Punktes in der Ebene dar und den Vektor #»
n
nennt man den Normalenvektor der Ebene, dieser steht senkrecht auf der Ebene.
Bestimmen der Ebenengleichung:
1. Bestimme zwei verschiedene Verbindungsvektoren der drei gegebenen Punkte, diese sind
die Spannvektoren der Ebene.
2. Bestimme aus den beiden Spannvektoren der Ebene einen Normalenvektor der Ebene.
3. Verwende einen Ortsvektor der drei Punkte als Stützvektor der Ebene.
Beispiel: Die Punkte A(1| − 1|1), B(1, 5|1|0) und C(0|1|1) spannen eine Ebene auf, geben Sie die
Normalengleichung dieser Ebene an.
Lösung: Wir wählen den Ortsvektor des Punktes A als Stützvektor der Ebene, d.h.
 
1
#»
p = −1
1
# »
# »
Als Richtungsvektoren wählen wir die Vektoren #»
u = AB und #»
v = AC:
 
0, 5
# »
#»
u = AB =  2 
−1
 
−1
# »  
#»
2
v = AC =
0
Den Normalenvektor der Ebene kann man mit dem Kreuzprodukt
    
0, 5
−1
2·0
−
#»
n = #»
u × #»
v =  2  ×  2  = (−1) · (−1) −
−1
0
0, 5 · 2
−
bestimmen:
  
(−1) · 2
2
0, 5 · 0  = 1
2 · (−1)
3
Deshalb lautet die Normalengleichung der Ebene:

   
1
2
#»





E : x − −1
· 1 = 0
1
3

  

5
−10
Aufgabe: Gegeben ist die Ebene E : #»
x =  #»
x − 2 ·  8  = 0. Überprüfen Sie, ob die
3
5
Punkte A(6|2|5) und B(7|1|8) in der Ebene liegen.
126
11 Geraden und Ebenen
Aufgabe: Geben Sie eine Normalengleichung der Ebene E an, in welcher die Punkte A(2|0|3),
B(1| − 1|5) und C(3| − 2|0) liegen.
Aufgabe: Geben Sie eine Normalengleichung der Ebene E an, in welcher die Punkte A(2|5|7),
B(1|2|3) und C(2|1|4) liegen.
127
11 Geraden und Ebenen
11.3.3 Die Koordinatengleichung
Jede Ebene lässt sich in der Form:
E : ax1 + bx2 + cx3 = d
schreiben, man nennt diese Form die Koordinatenform
  der Ebene. Die Zahlen a, b, c bilden
a
#»

einen Normalenvektor der Ebene in der Form n = b .
c
Bestimmen der Ebenengleichung:
 
x1
#»
#»

1. Schreibe den Vektor x in der Normalenform, in der Form x = x2 
x3
2. Multipliziere die Normalenform der Ebene aus und bringe die Gleichung auf die oben
angegebene Form
Beispiel: Die Punkte A(1| − 1|1), B(1, 5|1|0) und C(0|1|1) spannen eine Ebene auf, geben Sie die
Koordinatengleichung dieser Ebene an.
Lösung: Wir wählen den Ortsvektor des Punktes A als Stützvektor der Ebene, d.h.
 
1
#»
p = −1
1
# »
# »
Als Richtungsvektoren wählen wir die Vektoren #»
u = AB und #»
v = AC:
 
0, 5
#
»
#»
u = AB =  2 
−1
 
−1
# »
#»
v = AC =  2 
0
Den Normalenvektor der Ebene kann man mit dem Kreuzprodukt
    
0, 5
−1
2·0
−
#»
#»
#»





2
n= u×v =
× 2
= (−1) · (−1) −
−1
0
0, 5 · 2
−
Deshalb lautet die Normalengleichung der Ebene:

   
1
2
E :  #»
x − −1 · 1 = 0
1
3
128
bestimmen:
  
(−1) · 2
2


0, 5 · 0 = 1
2 · (−1)
3
11 Geraden und Ebenen


x1
Wir schreiben nun den Vektor #»
x als #»
x = x2  und multiplizieren die Gleichung aus:
x3
     
x1
1
2
x2  − −1 · 1 = 0
x3
1
3
       
x1
2
1
2
x2  · 1 − −1 · 1 = 0
x3
3
1
3
2x1 + x2 + 3x3 − (1 · 2 − 1 · 1 + 1 · 3) = 0
2x1 + x2 + 3x3 = 4
Die Koordinatengleichung der Ebene E lautet also
E : 2x1 + x2 + 3x3 = 4
Aufgabe: Gegeben ist die Ebene E in der Normalenform

   
4
−2
E :  #»
x − 2 ·  1  = 0
3
2
Geben Sie eine Koordinatengleichung der Ebene E an.
Aufgabe: Die Punkte A(2|1| − 3), B(2|4|1) und C(3|0|1) spannen eine Ebene auf, geben Sie die
Koordinatengleichung dieser Ebene an.
129
11 Geraden und Ebenen
11.4 Gegenseitige Lage von Geraden und Ebenen
#» gibt es drei mögliche
Für die Gerade g : #»
x = #»
p + r · #»
u und die Ebene E : #»
x = #»
q + t · #»
v +s·w
Lagen im Raum. Der folgende Entscheidungsbaum soll dabei helfen, die gegenseitige Lage von
Geraden und Ebenen zu bestimmen:
Der Normalenvektor #»
n der
Ebene und der Richtungsvektor der Geraden stehen nicht
senkrecht aufeinander, d.h. es
gilt #»
n · #»
u 6= 0
Der Normalenvektor #»
n der Ebene und der Richtungsvektor der Geraden stehen senkrecht aufeinander, d.h. es gilt
#»
n · #»
u =0
Löse das Gleichungssystem
#»
#»
p + r · #»
u = #»
q + t · #»
v +s·w
Punktprobe: Ein Punkt der
Geraden liegt in der Ebene
Punktprobe: Ein Punkt der
Geraden liegt nicht in der
Ebene
Die Gerade schneidet die
Ebene
Die Geraden liegt in der
Ebene
Die Geraden verläuft parallel zur Ebene
   
−2
3
Beispiel: Untersuchen Sie die Gerade g : #»
x =  0 +t· 0  und die Ebene E : 2x1 +x2 +4x3 = 5
1
−5
auf gegenseitige Lage.
Lösung: Um die gegenseitige Lage untersuchen zu können, benötigt man ein Normalenvektor der
Ebene. Diesen können wir aus den Koeﬃzienten der Ebene ablesen:
 
2
#»
n = 1
4
Bildet man das Skalarprodukt, so gilt:
   
2
3
#»
#»



n · u = 1 · 0  = 2 · 3 + 1 · 0 + 4 · (−5) = −14
4
−5
D.h. der Richtungsvektor der Geraden und der Normalenvektor der Ebene stehen nicht senkrecht
aufeinander, somit gibt es einen Durchstoßpunkt, diesen kann man in der Koordinatenform bestimmen, indem man die einzelnen Koordinaten der Geraden in die Ebenengleichung einsetzt.
   
 
x1
−2
3
#»
x = x2  =  0  + t ·  0 
x3
1
−5
x1 = −2 + 3t
x2 = 0
x3 = 1 − 5t
130
11 Geraden und Ebenen
Dies setzt man in die Ebenengleichung ein und löst die Gleichung nach t auf:
2x1 + x2 + 4x3 = 5
2 · (−2 + 3t) + 0 + 4 · (1 − 5t) = 5
−4 + 6t + 4 − 20t = 5
−14t = 5
t=−
5
14
Somit lautet der Schnittpunkt:
 
 
−2
3
5  
#»


0 −
x =
· 0
14
1
−5


5
−2 − 14 · 3


0
=
5
1+ ·5
 43 14
− 14

0 
=
39
14
39
0
14
 
 
4
1
#»



Aufgabe: Untersuchen Sie die Gerade g : x = 6 + t · 2 und die Ebene
2
3
E : 2x1 + 4x2 + 6x3 = 16 auf gegenseitige Lage.
43
S −
14
131
11 Geraden und Ebenen
 
 
4
1
Aufgabe: Untersuchen Sie die Gerade g : #»
x = 6 + t · 2 und die Ebene
2
3
E : x1 + x2 − x3 = 1 auf gegenseitige Lage.
132
11 Geraden und Ebenen


 
−2
7
Aufgabe: Untersuchen Sie die Gerade g : #»
x =  1  + t · 8 und die Ebene
4
6
 
 
 
1
0
1
E : #»
x = 4 + r · −1 + s · 0 auf gegenseitige Lage.
3
1
3
133
11 Geraden und Ebenen
11.5 Gegenseitige Lage von Ebenen
Für die Ebenen E1 : ax1 + bx2 + cx3 = d und E2 : ex1 + f x2 + gx3 = h gibt es drei mögliche
Lagen im Raum. Der folgende Entscheidungsbaum soll dabei helfen, die gegenseitige Lage von
Ebenen zu bestimmen:
Die
Normalenvektoren
#»
#»
n 1 und
n 2 sind keine Vielfache voneinander,
d.h. es gilt #»
n 1 6= k · #»
n2
Die Normalenvektoren #»
n 1 und #»
n 2 sind Vielfache voneinander,
#»
#»
d.h. es gilt n 1 = k · n 2
Löse eine Ebene nach einer Variablen auf und setze
die Gleichung in die andere
Ebene ein
Punktprobe: Ein Punkt der
Ebene E1 liegt in der Ebene
E2
Punktprobe: Ein Punkt der
Ebene E1 liegt nicht in der
Ebene E2
Die Ebenen schneiden sich
in einer Geraden.
Die Ebenen sind identisch
Die Ebenen sind parallel
Beispiel: Untersuchen Sie die gegenseitige Lage der beiden Ebenen: E1 : 2x1 + x2 − 2x3 = 6 und
E2 : 2x1 − 2x2 + x3 = 12 und bestimmen Sie gegebenenfalls die Schnittgerade.
Lösung: Zunächst überprüfen wir, ob die Normalenvektoren der beiden Ebenen Vielfache voneinander sind. Es gilt:
 
 
2
2
#»
#»
n1 =  1 
n 2 = −2
−2
1
Die beiden Vektoren können aufgrund des ersten und des zweiten Eintrags keine Vielfache voneinander sein, somit schneiden sich die beiden Ebenen in einer Geraden. Um die Schnittgerade zu
bestimmen lösen wir die erste Ebenengleichung z.B. nach x2 auf:
2x1 + x2 − 2x3 = 6
x2 = 6 − 2x1 + 2x3
und setzen dies in die zweite Gleichung ein:
2x1 − 2x2 + x3 = 12
2x1 − 2 · (6 − 2x1 + 2x3 ) + x3 = 12
2x1 − 12 + 4x1 − 4x3 + x3 = 12
6x1 − 3x3 = 24
6x1 = 24 + 3x3
1
x1 = 4 + x3
2
134
11 Geraden und Ebenen
Wir haben nun x1 in abhängigkeit von x3 nun soll noch x2 in Abhängigkeit von x3 angegeben
werden
x2 = 6 − 2x1 + 2x3
1
= 6 − 2 · (4 + x3 ) + 2x3
2
= 6 − 8 + x3 + 2x3
= −2 + 3x3
D.h. alle Schnittpunkte haben nun die Form:
  

x1
4 + 12 x3
x2  = −2 + 3x3 
x3
x3
Man kann nun für x3 irgendeine Zahl wählen und erhält einen Punkt, der auf beiden Ebenen liegt.
x3 ist sozusagen der Parameter der Schnittgeraden

   1 
4 + 12 x3
4
2 x3
−2 + 3x3  = −2 +  3x3 
0 + x3
0
x3
 
1
4
2
= −2 + x3 ·  3 
0
1
Die Schnittgerade lautet also:

1
4
2
g : #»
x = −2 + t ·  3 
0
1

135
11 Geraden und Ebenen
Aufgabe: Untersuchen Sie die Gegenseitige Lage der beiden Ebenen: E1 : x1 − x2 + 2x3 = 7 und
E2 : 6x1 + x2 − x3 = −7 und bestimmen Sie gegebenenfalls die Schnittgerade.
136
11 Geraden und Ebenen
11.6 Winkelberechnungen
11.6.1 Schnittwinkel von Geraden
Schneiden sich die Geraden g : #»
x = #»
p + t · #»
u und h : #»
x = #»
q + r · #»
v , dann gilt für ihren
Schnittwinkel α:
| #»
u · #»
v|
cos(α) = #» #»
|u| · |v |


 
 
 
2
1
5
−2
#»
#»







1
1  schneiden sich.
Beispiel: Die Geraden g : x =
+ t · 3 und h : x = 3 + s ·
−1
2
0
1
Bestimmen Sie den Winkel α, unter welchem sich die beiden Geraden schneiden.
Lösung: Für den Schnittwinkel gilt:
| #»
u · #»
v|
cos(α) = #» #»
|u| · |v |
|1 · (−2) + 3 · 1 + 2 · 1|
p
cos(α) = √
2
1 + 32 + 22 · (−2)2 + 12 + 12
3
√
cos(α) = √
14 · 6
α ≈ 70, 9°
 
 
 
 
1
1
2
1
#»
#»







Aufgabe: Die Geraden g : x = 1 + t · 0 und h : x = 2 + s · −1 schneiden sich.
0
3
3
3
Bestimmen Sie den Winkel α, unter welchem sich die beiden Geraden schneiden.
 
 
 
 
2
1
0
5
Aufgabe: Die Geraden g : #»
x = 0 + t · 1 und h : #»
x =  4  + s ·  2  schneiden sich.
7
1
−5
10
Bestimmen Sie den Winkel α, unter welchem sich die beiden Geraden schneiden.
137
11 Geraden und Ebenen
11.6.2 Schnittwinkel Gerade - Ebene
Schneiden sich die Gerade g : #»
x = #»
p + t · #»
u und die Ebene E : [ #»
x − #»
q ] · #»
n = 0, dann gilt für
ihren Schnittwinkel α(≤ 90°):
| #»
u · #»
n|
sin(α) = #» #»
|u| · |n|
 
 
3
1
#»



Aufgabe: Berechnen Sie den Schnittwinkel zwischen der Geraden g : x = 0 + t · −1 und
1
2
der Ebene E : 7x1 − x2 + 5x3 = 24.
Lösung: Den Normalenvektor der Ebene können wir aus der Ebenengleichung direkt ablesen:
 
7
#»
n = −1
5
somit gilt für den Schnittwinkel:
| #»
u · #»
n|
sin(α) = #» #»
|u| · |n|
|1 · 7 + (−1) · (−1) + 2 · 5|
p
sin(α) = p
12 + (−1)2 + 22 · 72 + (−1)2 + 52
18
sin(α) = √ √
6 · 75
α ≈ 58, 1°
 
 
1
1
#»



Aufgabe: Berechnen Sie den Schnittwinkel zwischen der Geraden g : x = 4 + t · 2 und der
9
1
Ebene E : 3x1 + 5x2 − 2x3 = 7
138
11 Geraden und Ebenen
11.6.3 Schnittwinkel zweier Ebenen
Schneiden sich zwei Ebenen mit den Normalenvektoren #»
n 1 und #»
n 2 , dann gilt für ihren Schnittwinkel α(≤ 90°):
| #»
n 1 · #»
n 2|
cos(α) = #»
| n 1 | · | #»
n 2|
Beispiel: Bestimmen Sie den Schnittwinkel zwischen den Ebenen E1 und E2 .

   

   
1
5
2
6
E1 :  #»
x − 2 · 0 = 0
E2 :  #»
x − 3 · 1 = 0
0
1
7
0
Lösung: Für den Schnittwinkel gilt:
| #»
n 1 · #»
n 2|
cos(α) = #»
| n 1 | · | #»
n 2|
|5 · 6 + 0 · 1 + 1 · 0|
√
cos(α) = √
2
5 + 02 + 12 · 62 + 12 + 02
30
√
cos(α) = √
26 · 37
α ≈ 14, 7°
Aufgabe: Bestimmen Sie den Schnittwinkel zwischen den Ebenen E1 und E2 .
E2 : x1 − x2 + 7x3 = 0
E1 : x1 + x2 + x3 = 10
Aufgabe: Bestimmen Sie den Schnittwinkel zwischen den Ebenen E1 und E2 .
E2 : 2x1 − 3x2 − 3x3 = 7
E1 : 3x1 + 5x2 = 0
139
11 Geraden und Ebenen
11.7 Abstandsberechnung
11.7.1 Abstand Punkt - Ebene
Schritte zum Bestimmen des Abstand eines Punktes P zu eine Ebene E:
# »
1. Bestimme die Gleichung der zu E orthogonal stehenden Geraden, d.h. die Gerade mit OP
als Stützvektor und dem Normalenvektor der Ebene als Richtungsvektor.
2. Berechne den Schnittpunkt F der Geraden mit der Ebene.
# »
3. Bilde den Vektor P F
# »
4. Der Abstand des Punktes zur Ebene ist die Länge des Vektors P F
Beispiel: Bestimmen Sie den Abstand des Punktes P (2|0|1) von der Ebene E : x1 + 8x2 − 4x3 = 25.
Lösung: Der Normalenvektor der Ebene ist der Richtungsvektor der Geraden:
 
1
#»

8
n=
−4
Die Geradengleichung lautet somit:
 
 
2
1
g : #»
x = 0 + r ·  8 
1
−4
Diese setzen wir nun in die Ebenengleichung ein, um den Schnittpunkt zu bestimmen:
x1 + 8x2 − 4x3 = 25
(2 + r) + 8 · (8r) − 4 · (1 − 4r) = 25
2 + r + 64r − 4 + 16r = 25
81r = 27
1
r=
3
Den Schnittpunkt mit der Ebene erhalten wir nun, indem wir
1
3
 
 
2
1
1  
#»


x = 0 + · 8
3
1
−4
 7 
=
3
8
3
− 13

Den Abstand des Punktes zur Ebene ist die Länge des Vektors
 1 

3
8
3
− 43

140
in die Geradengleichung einsetzen:
11 Geraden und Ebenen
somit gilt:
s 2 2
1 2
8
4
d=
+
+ −
3
3
3
r
1 64 16
=
+
+
9
9
9
r
81
9
=
= =3
9
3
Aufgabe: Bestimmen Sie den Abstand des Punktes P (3| − 1|7) von der Ebene E : 3x2 + 4x3 = 0.
141
11 Geraden und Ebenen
Die Hesse’sche Normalenform:
Für den Abstand eines Punktes zu einer Ebene gilt:
#» #» #» [ r − p ] · n d = | #»
n|
wobei #»
n 0 ein Normalenvektor der Ebene mit Länge 1 ist.
Liegt eine Ebene in der Koodinatenform ax1 + bx2 + cx3 = d vor, so gilt für den Abstand d
eines Punktes R(r1 |r2 |r3 ) zu dieser Ebene:
ar1 + br2 + cr3 − d d= √
a2 + b2 + c2 Beispiel: Bestimmen Sie den Abstand des Punktes P (1|1| − 2) zur Ebene E : 2x1 − 10x2 + 11x3 = 0
Lösung: Den Abstand kann man mit der Hesse’schen Normalenform bestimmen:
2 · 1 − 10 · 1 + 11 · (−2) √
d=
22 + 102 + 112
−30 = √
225 =2
Aufgabe: Bestimmen Sie den Abstand des Punktes P (1|1| − 2) zur Ebene

   
3
2
E :  #»
x −  5  · −1
−1
2
142
11 Geraden und Ebenen
11.7.2 Abstand Punkt - Gerade
Schritte zum Bestimmen des Abstandes eines Punktes P zu einer Geraden g : #»
x = #»
p + t · #»
u:
1. Bilde den Verbindungsvektor von dem Punkt P zu einem beliebigen Punkt G auf der
# »
Geraden: P G
# »
2. Bestimme das t für das die Gleichung P G · #»
u = 0 erfüllt ist.
# »
3. Setze dieses t in den Vektor P G ein und bestimme seine Länge
Alternative Version mit GTR:
1. Bilde den Verbindungsvektor von dem Punkt P zu einem beliebigen Punkt G auf der
# »
Geraden: P G
2. Bilde den Betrag dieses Vektors.
3. Bestimme mit dem GTR das Minimum dieser Funktion, der entsprechende y-Wert ist der
Abstand des Punktes zur Geraden.
Beispiel: Bestimmen Sie den Abstand des Punktes P (2| − 3|5) zu der Geraden
 
 
4
2
g : #»
x = 3 + t ·  1 
3
−1
Lösung: Ein beliebiger Punkt G auf der Geraden hat die Form G(4 + 2t|3 + t|3 − t). Bestimme den
# »
Verbindungsvektor P G:

 

4 + 2t − 2
2 + 2t
# » 
PG = 3 + t + 3  =  6 + t 
3−t−5
−2 − t
Wir bestimmen das t, für das der Verbindungsvektor senkrecht auf dem Richtungsvektor der Geraden steht:
# »
0 = P G · #»
u

  
2 + 2t
2



6+t · 1 
0=
−2 − t
−1
0 = 2 · (2 + 2t) + 1 · (6 + t) + (−1) · (−2 − t)
0 = 4 + 4t + 6 + t + 2 + t
6t = −12
t = −2
# »
Wir setzen nun t in P G ein und bestimmen die Länge dieses Vektors:

  
2 + 2 · (−2)
−2
 6 + (−2)  =  4 
−2 − (−2)
0
 
−2 p
 4  = (−2)2 + 42 + 02
0 √
= 20 ≈ 4, 47
143
11 Geraden und Ebenen
Aufgabe: Bestimmen Sie den Abstand des Punktes P (6|7| − 3) zu der Geraden
 
 
2
3
#»



g : x = 1 +t· 0 
4
−2
144
11 Geraden und Ebenen
11.7.3 Abstand zweier windschiefer Geraden
Sind g und h zwei windschiefe Geraden im Raum mit g : #»
x = #»
p + t · #»
u und h : #»
x = #»
q + s · #»
v
#»
#»
#»
#»
#»
#»
#»
und ist n ein Normalenvektor zu u und v , d.h. n ⊥ u und n ⊥ v , dann gilt für den Abstand d
dieser Geraden:
#» #» #» ( q − p ) · n d = | #»
n|
Beispiel: Bestimmen Sie den Abstand der windschiefen Geraden g und h zueinander:
 
 
 
 
6
4
4
0
g : #»
x = 1 +t· 1 
h : #»
x = 0 + s · −1
−4
−6
3
3
Lösung: zunächst müssen wir einen Normalenvektor bestimmen, dies kann man z.B. mit dem
Kreuzprodukt tun:
   
4
0
#»
u × #»
v =  1  × −1
−6
3


1·3
− (−6) · (−1)

4·3
= (−6) · 0 −
4 · (−1) −
1·0


−3

= −12
−4
Jetzt können wir uns die Formel zu nutzen machen, um den Abstand der beiden Geraden zueinander
zu bestimmen.
#» #» #» ( q − p ) · n d = | #»
n|
    

4
6
−3 0 −  1  · −12 3
−4
−4


=
−3 −12
−4 



−2
−3




−1
−12
·
7
−4
= p
(−3)2 + (−12)2 + (−4)2 −10 10
=
= √
169 13
145
11 Geraden und Ebenen
Aufgabe: Bestimmen Sie den Abstand der windschiefen Geraden g und h zueinander:
 
 
 
 
7
1
−3
1
#»
#»







0 +s· 0 
g : x = 7 + t · −2
h: x =
4
6
5
−3
146
11 Geraden und Ebenen
11.7.4 Abstand zweier paralleler Geraden
Sind zwei Geraden g und h mit g : #»
x = #»
p + t · #»
u und h : #»
x = #»
q + s · #»
v zueinander parallel, so
hat jeder Punkt auf der einen Geraden den gleichen Abstand zur anderen Geraden.
Bestimmen des Abstandes zweier paralleler Geraden:
1. Überprüfe, ob die beiden Geraden parallel sind (zwei Geraden sind genau dann parallel,
wenn die Richtungsvektoren vielfache voneinander sind).
2. Da alle Punkte auf der Geraden g den gleichen Abstand zur Geraden h besitzen genügt
es den Abstand eines Punktes auf g zu h zu bestimmen.
3. Bestimme den Abstand des Punktes #»
p zur Geraden h wie im Abschnitt Abstand Punkt
- Gerade beschrieben.
Beispiel: Bestimmen Sie den Abstand der beiden Geraden g und h zueinander:
 
 
 
 
2
1
2
3
g : #»
x = 1 + t · 0
h : #»
x = 3 + s · 0
2
1
4
3
Lösung: Zunächst überprüfen wir, ob die beiden Geraden auch parallel sind, es gilt:
 
 
1
3
0 = 1 · 0
3
1
3
Somit sind die Richtungsvektoren Vielfache voneinander, und die Geraden sind damit parallel,
oder identisch. Um den Abstand der beiden Geradenzueinander

 zu
 bestimmen genügt es nun den
2
3
Abstand des Punktes P (2|1|2) zur Geraden h : #»
x = 3 + s · 0 zu bestimmen. Wir bilden den
4
3
# »
Verbindungsvektor P H, wobei H ein beliebigen Punkt auf der Geraden darstellt:

 

2 + 3s − 2
3s
# »
PH =  3 − 1  =  2 
4 + 3s − 2
2 + 3s
Es wird das s nun so bestimmt, dass der Verbindungsvektor senkrecht auf dem Richtungsvektor der
Geraden steht:
# »
0 = P H · #»
v

  
3s
3
0 =  2  · 0
2 + 3s
3
0 = 3s · 3 + 2 · 0 + (2 + 3s) · 3
0 = 9s + 6 + 9s
−6 = 18s
1
s=−
3
147
11 Geraden und Ebenen
# »
Wir setzen s = − 13 in P H ein und bestimmen die Länge des Vektors:
  
3 · − 13
−1

= 2 
2
2 + 3 · − 13
1
  −1 p
 2  = (−1)2 + 22 + 12
1 √
= 6 ≈ 2, 45

Aufgabe: Bestimmen Sie den Abstand der beiden Geraden g und h zueinander:
 
 
 
 
4
1
2
3
#»
#»







g : x = 2 +t· 3
h: x = 2 +s· 9
3
4
2
12
148
11 Geraden und Ebenen
11.7.5 Abstand zweier zueinander paralleler Ebenen
Sind zwei Ebenen E1 und E2 zueinander parallel, so hat jeder Punkt in der einen Ebenen den
gleichen Abstand zur anderen Ebene.
Bestimmen des Abstandes zweier paralleler Ebenen:
1. Überprüfe, ob die beiden Ebenen parallel sind (zwei Ebenen sind genau dann parallel,
wenn die Normalenvektoren Vielfache voneinander sind).
2. Da alle Punkte in der Ebene E1 den gleichen Abstand zur Ebenen E2 besitzen genügt es
den Abstand eines Punktes in E1 zu E2 zu bestimmen.
3. Bestimme einen Punkt P der in E1 liegt und bestimme den Abstand dieses Punktes P
zur Ebene E2 wie im Abschnitt Abstand Punkt - Ebene beschrieben.
Beispiel: Überprüfen Sie, ob die beiden Ebenen E1 : 4x1 −6x2 +2x3 = 8 und E2 : 2x1 −3x2 +x3 = 7
zueinander parallel sind und bestimmen Sie deren Abstand.
Lösung: Die Normalenvektoren der Ebenen lauten:
 
 
4
2
#»
#»
n 1 = −6
n 2 = −3
2
1
Für diese gilt:


 
4
2
−6 = 2 · −3
2
1
Somit sind die beiden Ebenen zueinander parallel, oder sie sind identisch. Wir müssen nun einen
Punkt bestimmen, der in der Ebene E1 liegt, er muss also die Gleichung 4x1 − 6x2 + 2x3 = 8
erfüllen. Ein möglicher Punkt hier wäre z.B. P (2|0|0). Mit der Hesseschen Normalenform kann man
nun Abstand dieses Punktes zur Ebene E2 bestimmen:
ar1 + br2 + cr3 − d d= √
a2 + b2 + c2 2 · 2 − 3 · 0 + 1 · 0 − 7
= p
22 + (−3)2 + 12 −3 = √3 ≈ 0, 80
√
=
14 14
149
11 Geraden und Ebenen
Aufgabe:
Überprüfen


  Sie,
 ob die beiden Ebenen E1 : 1x1 + 2x2 + 3x3 = 4 und
2
−1
E2 :  #»
x − 2 · −2 = 0 zueinander parallel sind und bestimmen Sie deren Abstand.
2
−3
150
11 Geraden und Ebenen
11.8 Spiegelungen
11.8.1 Spiegelung Punkt - Punkt
Um einen Punkt P an einem Punkt Q zu spiegeln, muss man die folgenden Schritte durchführen:
# »
1. Bestimme den Verbindungsvektor P Q, dieser zeigt von P aus in Richung Q.
2. Den Spiegelpunkt P 0 erhält man nun durch den Vektorzug:
# » # »
# »
OP 0 = OP + 2 · P Q
Beispiel: Spiegeln Sie den Punkt P (3|4|5) am Punkt Q(2|1|2).
# »
Lösung: Zunächst bestimmen wir den Verbindungsvektor P Q:
 
−1
# »  
P Q = −3
−3
Für den Ortsvektor des Spiegelpunktes gilt nun:
 
   
3
−1
1
# »0





OP = 4 + 2 · −3 = −2
5
−3
−1
Somit lautet der Spiegelpunkt P 0 (1| − 2| − 1).
Aufgabe: Spiegeln Sie den Punkt P (1|2|7) am Punkt Q(3|1|1).
151
11 Geraden und Ebenen
11.8.2 Spiegelung Punkt - Gerade
Um einen Punkt P an einer Geraden g : #»
x = #»
q + r · #»
u zu spiegeln, muss man die folgenden
Schritte durchführen:
1. Bestimme eine Hilfsebene, in welcher der Punkt P liegt und die #»
u als Normalenvektor
besitzt
2. Bestimme den Durchstoßpunkt Q der Geraden mit der Hilfsebene
3. Den Spiegelpunkt P 0 erhält man, indem man den Punkt P am Punkt Q spiegelt.
Beispiel: Spiegeln Sie den Punkt P (2|3|4) an der Geraden
 
 
2
1
g : #»
x = 1 + t · 0
2
1
Lösung: Zunächst bestimmen wir die Hilfsebene, in welcher der Punkt P liegt und die den Richtungsvektor der Geraden als Normalenvektor besitzt.

   
2
1
#»





E: x− 3
· 0 = 0
4
1
Nun muss der Durchstoßpunkt der Geraden mit der Ebene bestimmt werden, diesen kann man
bestimmen, indem man die Gerade in die Ebene einsetzt
 
       
   
2
1
2
1
0
1
1
0 = 1 + t · 0 − 3 · 0 = −2 + t · 0 · 0
2
1
4
1
−2
1
1
   
   
0
1
1
1
0 = −2 · 0 + t · 0 · 0 = 0 · 1 + (−2) · 0 + (−2) · 1 + t · (1 · 1 + 0 · 0 + 1 · 1)
−2
1
1
1
0 = −2 + 2t
t=1
Hiermit kann man den Durchstoßpunkt Q bestimmen:
 
   
2
1
3
#»
x = 1 + 1 · 0 = 1
2
1
3
Somit lautet Q(3|1|3). Um den Spiegelpunkt zu bestimmen, muss man jetzt nur noch den Punkt P
am Punkt Q spiegeln:
 
1
# »  
P Q = −2
−1
 
   
2
1
4
# »0





OP = 3 + 2 · −2 = −1
4
−1
2
Der Spiegelpunkt P 0 lautet somit P 0 (4| − 1|2).
152
11 Geraden und Ebenen
Aufgabe: Spiegeln Sie den Punkt P (5| − 2|1) an der Geraden g mit:
 
 
−1
4
#»



6 + t · −1
g: x =
5
−1
153
11 Geraden und Ebenen
11.8.3 Spiegelung Punkt - Ebene
Um einen Punkt P an einer Ebene E zu spiegeln, muss man die folgenden Schritte durchführen:
1. Bestimme eine Hilfsgerade, mit dem Ortsvektor des Punktes P als Stützvektor und der
Normalenvektor der Ebene als Richtungsvektor der Geraden.
2. Bestimme den Durchstoßpunkt Q der Hilfsgeraden mit der Ebene
3. Den Spiegelpunkt P 0 erhält man, indem man den Punkt P am Punkt Q spiegelt.
Beispiel: Spiegeln Sie den Punkt P (1|4|7) an der Ebene E : x1 − x2 − 2x3 = −11.
Lösung: Zunächst bestimmt man die Hilfgerade, hierzu benötigt man den Normalenvektor der
Ebene, diese kann man direkt an der Ebene ablesen, somit lautet die Hilfsgerade:
 
 
1
1
#»



g : x = 4 + t · −1
7
−2
Jetzt muss der Durchstoßpunkt mit der Ebene bestimmt werden:
−11 = (1 + t) − (4 − t) − 2 · (7 − 2t)
−11 = 1 + t − 4 + t − 14 + 4t
−11 = −17 + 6t
6 = 6t
t=1
Hiermit erhält man den Durchstoßpunkt Q:
 
   
1
1
2
#»
x = 4 + 1 · −1 = 3
7
−2
5
Es gilt Q(2|3|5), wir müssen also nur noch den Punkt P am Punkt Q spiegeln:
 
1
# »  
P Q = −1
−2
 
   
1
1
3
# »0
OP = 4 + 2 · −1 = 2
7
−2
3
Der Spiegelpunkt lautet P 0 (3|2|3).
154
11 Geraden und Ebenen
Aufgabe: Spiegeln Sie den Punkt P (1|2|3) an der Ebene E : 2x1 − 2x2 + x3 = 6.
155
11 Geraden und Ebenen
11.9 Weitere Aufgaben zum Üben
1. Gegeben 
sinddie Gerade
g und die Ebene E durch
 
1
2
g : #»
x = 1 + t · −1 ; t ∈ R und E : 4x1 − 2x2 + 4x3 = 11. Prüfen Sie nach, ob der
0
2
Punkt A(3|0|2) auf der Geraden g liegt. Zeigen Sie: Die Gerade g ist orthogonal zur Ebene E.
Bestimmen Sie die Koordinaten desjenigen Punktes der Ebene E, welcher vom Punkt A den
kleinsten Abstand hat.
 
 
1
0
#»



2. Zeigen Sie, dass die Gerade g : x = 2 + t · 1 ; t ∈ R parallel ist zur Ebene E :
1
2
2x1 − 2x2 + x3 = 5. Berechnen Sie dann ihren Abstand.
3. Spiegeln Sie den Punkt P (4|5|2) am Punkt L(1|2| − 1).
4. Spiegeln Sie den Punkt P (0| − 1|6) an der Ebene E : x1 + 2x2 − 2x3 = 4.
 
 
−3
1
#»



2 + t · 2 ; t ∈ R.
5. Spiegeln Sie den Punkt P (1|4|2) an der Geraden g : x =
4
1
6. Gegeben sind im Raum eine Gerade g und ein Punkt A, der nicht auf g liegt. Beschreiben Sie
ein Verfahren zur Bestimmung des Abstandes von A zu g.
7. Von einem senkrechten Kreiskegel kennt man die Koordinaten der Spitze S, die Koordinaten
eines Punktes P des Grundkreises sowie eine Koordinatengleichung der Ebene E, in der der
Grundkreis liegt. Beschreiben Sie ein Verfahren, um den Mittelpunkt M und den Radius r des
Grundkreises zu bestimmen.
8. Gegeben sind zwei Punkte A und B. Diese liegen bezüglich einer Ebene E symmetrisch. Beschreiben Sie ein Verfahren zur Bestimmung einer Gleichung von E.
9. Die Ebene E enthält die Punkte A(6|1|0), B(2|3|0) und C(3|0|2, 5).
a) Bestimmen Sie eine Koordinatengleichung der Ebene E und stellen Sie diese Ebene in
einem Koordinatensystem dar.
b) Unter welchem Winkel schneidet die Ebene E die x1 -Achse?
c) Zeigen Sie, dass das Dreieck ABC gleichschenklig ist.
d) Welche Punkte der x1 -Achse bilden jeweils mit A und B ein Rechtwinkliges Dreieck mit
Hypotenuse AB?
10. In einem Koordinatensystem beschreibt die x1 x2 -Ebene die Meeresoberﬂäche (1LE entspricht
1m). Zwei U-Boote U1 und U2 bewegen sich geradlinig mit jeweils konstanter Geschwindigkeit.
Die Position von U1 zum Zeitpunkt t ist gegeben durch




140
−60
#»
x =  105  + t · −90 (t in min seit Beobachtungsbeginn
−170
−30
U2 beﬁndet sich zu Beobachtungsbeginn im Punkt A(68|135| − 68) und erreicht nach drei
Minuten den Punkt B(−202| − 405| − 248).
a) Wie weit bewegt sich U1 in einer Minute?
156
11 Geraden und Ebenen
b) Woran erkennen Sie, dass sich U1 von der Meeresoberﬂäche weg bewegt?
c) Welchen Winkel bildet die Route von U1 mit der Meeresoberﬂäche?
d) Berechnen Sie die Geschwindigkeit von U2 in
m
min
11. Ein Gebäude hat als Grundﬂäche das Rechteck ABCD mit A(4|0|0), B(4|6|0), C(0|6|0) und
D(0|0|0) und als Dachﬂäche das Viereck EF GH mit E(4|0|4), F (4|6|1), G(0|6|5) und H(0|0|8)
(Koordinatenangaben in Meter).
a) Stellen Sie das Gebäude in einem Koordinatensystem dar.
b) Bestimmen Sie die Koordinatengleichung der Ebene, in der die Dachﬂäche EF GH liegt.
c) Welchen Neigungswinkel besitzt die Dachﬂäche?
d) Zeigen Sie das die Dachﬂäche ein Parallelogramm ist und berechnen Sie dessen Flächeninhalt.
e) Im Innern des Gebäudes soll eine Lampe im Punkt L(d|d|d) angebracht werden. Die
Lampe soll von der Bodenﬂäche und der Dachﬂäche des Gebäudes den gleichen Abstand
haben. Bestimmen Sie d.
157
12 Stochastik
12.1 Der Wahrscheinlichkeitsbegriﬀ
Ein Zufallsexperiment ist ein Experiment, bei welchem bei der Durchführung des Experiments
mehrere Ausgänge möglich sind. Es ist jedoch nicht möglich vorherzusagen, welches Ergebnis
bei der Durchführung eines Zufallsexperimentes eintritt. Unter gleichbleibenden Bedingungen
muss ein Zufallsexperiment beliebig oft wiederholt werden können.
Beispiel: Der Wurf eines Würfels stellt ein Zufallsexperiment dar, man kann nicht vorhersagen,
welche Augenzahl dieser nach dem Wurf anzeigt.
Aufgabe: Beschreiben Sie weitere mögliche Zufallsexperimente
Ein Zufallsexperiment ist erst dann vollständig beschrieben, wenn eine Menge von möglichen
Ausgängen (oder Ergebnissen) e1 ; e2 ; ...; ek festgelegt ist, so dass bei jeder Durchführung genau
eines dieser Ergebnisse eintritt. Man nennt die Menge S = {e1 ; e2 ; ...; ek } die Ergebnissmenge
(auch Ausgangsmenge)
Beispiel: Bei dem oben beschriebenen Zufallsexperiment wäre eine mögliche Ergebnismenge die
Augenzahlen die auftreten können, also S = {1; 2; 3; 4; 5; 6}.
Aufgabe: Stellen Sie zu ihren angegebenen Zufallsexperimenten eine mögliche Ergebnismenge dar
158
12 Stochastik
12.1.1 Baumdiagramme
Ein Zufallsexperiment lässt sich in der Form eines Baumdiagramms darstellen, hierbei stehen
auf den einzelnen Ästen des Baums die möglichen Ausgänge des Experimentes. Von einem
Ausgang können sich dann (sofern man ein zweites Experiment durchführt) wieder einzelne
Äste abzweigen.
Beispiel: Zunächst wird ein vierseitiger Würfel geworfen, das Ergebnis notiert, danach eine Münze
geworfen und ebenfalls das Ergebnis notiert. Stellen Sie die möglichen Ausgänge in einem Baumdiagramm dar.
Lösung:
Bemerkung: Ist das Ergebnis eindeutig läst man oft auch einfach die Klammern weg.
Aufgabe: Zunächst wird ein Würfel geworfen, das Ergebnis notiert, danach eine Münze geworfen
und ebenfalls das Ergebnis notiert und der Wurf der Münze widerholt. Stellen Sie die möglichen
Ausgänge in einem Baumdiagramm dar.
159
12 Stochastik
12.1.2 Das Ereignis
Ein Zufallsexperiment hat die Ergebnismenge S = {e1 ; e2 ; ...; ek }. Ein Ereignis ist eine Teilmenge A von S. Das Gegenereignis Ā enthält die Elemente aus S, die nicht in A enthalten
sind.
Beispiel: Der Wurf eines Würfels hat die Ergebnismenge S = {1; 2; 3; 4; 5; 6}. Mögliche Ereignisse
wären:
• A: Die angezeigte Augenzahl ist Gerade: A = {2; 4; 6}. Das Gegenereignis lautet: Die Augenzahl ist ungerade Ā = {1; 3; 5}
• B: Die angezeigte Augenzahl ist entweder 1 oder 2 B = {1; 2}.
• C: Die angezeigte Augenzahl ist kleiner als 4 C = {3; 2; 1}
Aufgabe: Ein Würfel wird zweimal nacheinander geworfen und jedes mal die gefallene Augenzahl
notiert. Skizzieren Sie die Ergebnismenge und markieren Sie die folgenden Ereignisse
• A: Zwei gleiche Augenzahlen.
• B: Die Augensumme ist kleiner als 8.
• C: Die Augensumme ist mindestens 8.
160
12 Stochastik
12.1.3 Relative Häuﬁgkeiten und Wahrscheinlichkeit
Ist ein Ereignis bei n maligem Durchführen eines Zufallsexperiments H mal eingetreten, so nennt
H
man die Zahl H seine absolute Häuﬁgkeit und die Zahl h =
seine relative Häuﬁgkeit.
n
Die relative Häuﬁgkeit h ist eine Zahl zwischen 0 und 1 (0 ≤ h ≤ 1).
Weiter gilt für die relative Häuﬁgkeit das empirische Gesetz der großen Zahlen: Führt
man ein Zufallsexperiment hinreichend oft durch, so stabilisieren sich die relativen Häuﬁgkeiten
eines Eregebnisses, sie nähern sich immer mehr einer Zahl p mit 0 ≤ p ≤ 1 an. Die Zahl p nennt
man die Wahrscheinlichkeit des Ergebniss (Bezeichnung P (ei )).
Beispiel: Wirft man ein Würfel und notiert sich die geworfene Augenzahl, so kann man bei mehrmaligen werfen die absoluten und relativen Häuﬁgkeiten der einelnen Augenzahlen bestimmen, es
stellt sich heraus, dass bei einem gewöhnlichen Würfel (auch fairer Würfel genannt), alle Seiten bei
hinreichend großer Durchführungszahl, ungefähr gleichhäuﬁg auftreten, die relativen Häuﬁgkeiten
nähern sich allesamt immer mehr der Zahl 16 an, diese ist die Wahrscheinlichkeit eine bestimmte
Zahl zu würfeln.
Die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses, welches sich aus verschiedenen Ausgängen eines Zufallsexperiments zusammensetzt errechnet sich, indem man die Wahrscheinlichkeiten der einzelnen Ausgänge aufaddiert
Beispiel: Die Wahrscheinlichkeit des Ereignisses A: Augenzahl kleiner 5 beim Wurf eines fairen
Würfels errechnet sich aus der Summe der einzelnen in Frage kommenen Ausgänge:
P (A) = P (1) + P (2) + P (3) + P (4) =
1 1 1 1
2
+ + + =
6 6 6 6
3
Für die Wahrscheinlichkeit des Gegenereignisses Ā eines Ereignisses A gilt:
P (Ā) = 1 − P (A)
Beispiel: Die Wahrscheinlichkeit des Gegenereignisses aus dem vorherigen Beispiel, also die Wahrscheinlichkeit mindestens eine 5 zu würfeln beträgt:
P (Ā) = 1 − P (A) = 1 −
161
2
1
=
3
3
12 Stochastik
12.2 Das Laplace-Experiment
Wenn für alle Ergebnisse eines Zufallsexperients gleiche Wahrscheinlichkeiten angenommen werden können (z.B. der Wurf einer fairen Münze, der Wurf eines fairen Würfels, oder das Ziehen
aus einer Urne ), dann heißt das Zufallsexperiment Laplace-Experiment.
Für die Wahrscheinlichkeit P (A) eines Ereignisses A eines Laplace-Experiments gilt:
P (A) =
Anzahl der Ergebnisse, bei denen A eintritt
Anzahl aller möglichen Ergebnisse
Beispiel: Beim Werfen einer fairen Münze ist die Wahrscheinlichkeit Kopf oder Zahl zu werfen
gleich groß es gilt P (Kopf) = 12 und P (Zahl) = 12 .
162
12 Stochastik
Aufgabe: Bei einer Lotterie enthält eine Urne 400 Lose; davon sind 10 Hauptgewinne und 90 Trostpreise. Alle Lose seien äußerlich gleich beschaﬀen, so dass man nach durchmischen davon ausgehen
kann, dass alle Lose mit der gleichen Wahrscheinlichkeit gezogen werden können. Bestimmen Sie
die Wahrscheinlichkeit:
a) Einen Hauptgewinn zu ziehen.
c) Eine Niete zu ziehen.
b) Einen Trostpreis zu ziehen.
d) Keine Niete zu ziehen
Aufgabe: Ein Glücksrad hat einhundert gleichgroße Sektoren. Sie tragen zweiziﬀrige Nummern
von 00 bis 99. Mit X werde die erste Ziﬀer und mit Y werde die zweite Ziﬀer bezeichnet. Das
Zufallsexperiment besteht im einmaligen Drehen des Glücksrads und Feststellen der Nummer auf
dem Sektor. Geben Sie die Wahrscheinlichkeiten der folgenden Ereignisse an:
a) X = Y
b) X = 5
c) X · Y ≥ 50
d) X < 3 und Y > 2
Aufgabe: Aus einem Skatspiel mit 32 Karten wird eine Karte gezogen. Mit welcher Wahrscheinlichkeit ist die gezogene Karte
a) ein Ass
d) weder eine Pik-Karte noch ein Ass
b) ein Pik-Ass
e) eine Pik-Karte oder ein Ass
c) eine Pik-Karte, aber kein Ass
f) ein Ass, aber keine Pik-Karte
163
12 Stochastik
12.3 Wahrscheinlichkeiten im Baumdiagramm
In einem Baumdiagramm werden die Wahrscheinlichkeiten, dass ein Ergebnis eintritt auf die
einzelnen Pfade geschrieben. Ist das Baumdiagramm ein Baumdiagramm eines mehrstuﬁgen
Zufallsexperiments so gilt die
Pfadregel: Im Baumdiagramm ist die Wahrscheinlichkeit eines Pfades gleich dem Produkt der
Wahrscheinlichkeiten auf den Teilstrecken des Pfades.
Beispiel: Zunächst wird ein fairer vierseitiger Würfel geworfen, das Ergebnis notiert, danach eine
faire Münze geworfen und ebenfalls das Ergebnis notiert. Stellen Sie die möglichen Ausgänge in
einem Baumdiagramm dar und berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit für das Ereignis A : Augenzahl
gerade und die Münze zeigt Kopf.
Lösung: Da es sich hierbei um einen fairen Würfel, bzw. um eine faire Münze handelt, können
wir annehmen, dass jede Seite des Würfels mit gleicher Wahrscheinlichkeit eintritt, nämlich P (1) =
P (2) = P (3) = P (4) = 14 . Ebenso gilt dies für die Münze P (K) = P (Z) = 12 hiermit kann man das
Baumdiagramm zeichnen:
⁄
⁄
⁄
⁄
⁄
⁄
⁄
⁄
⁄
⁄
⁄
⁄
⁄
⁄
⁄
⁄
⁄
⁄
⁄
⁄
⁄
⁄
⁄
⁄
⁄
⁄
⁄
⁄
⁄
⁄
⁄
⁄
⁄
⁄
⁄
⁄
Um nun die Wahrscheinlichkeit für das Ereignis A zu bestimmen, müssen wir alle Pfade des Baumdiagramms herausﬁnden die zu dem Ereignis dazu gehören und die Wahrscheinlichkeiten dieser
Pfade aufaddieren. Zu dem Ereignis A gehören die Pfade 2K und 4K, somit gilt für die Wahrscheinlichkeit P (A) = 18 + 18 = 14 .
Aufgabe: Bei einer Flaschenproduktion sind höchstens 5% Ausschuss. Mit welcher Wahrscheinlichkeit ist in einer Packung mit 3 Flaschen höchstens eine davon Ausschuss? Zeichnen Sie hierzu ein
Baumdiagramm dieses 3-Stuﬁgen Zufallsexperiments.
164
12 Stochastik
12.4 Das Urnenmodell
Viele Zufallsexperimente lassen sich im Urnenmodell darstellen. Dabei beziehen sich beim einstuﬁgen Experiment die Kugelfarben auf die Ergebnisse und der jeweilige Farbanteil auf die
Wahrscheinlichkeiten.
In einer Urne beﬁnden sich eine Anzahl n von der Form identische Kugeln. Die Kugeln in der
Urne seien gut durchmischt, so dass man annehmen kann, dass die Wahrscheinlichkeit das man
eine bestimmte Kugel zieht, für jede Kugel gleich groß ist. Diese Kugeln können nun mit einer
Farbe markiert werden, so dass man die Wahrscheinlichkeit eine Kugel einer bestimmten Farbe
zu ziehen folgendermaßen berechnen kann:
P (Farbe) =
Anzahl der Kugeln diser Farbe
Gesamtzahl der Kugeln
12.4.1 Ziehen mit Zurücklegen
Beim Ziehen mit Zurücklegen wird die Kugel nach dem Zug und dem Feststellen der Farbe
wieder in die Urne gelegt, so dass sie für den nächsten Zug wieder zur Verfügung steht. Die
Wahrscheinlichkeiten der einzelnen Farben sind nach dem Zug immer noch so groß wie vor
dem Zug.
Beispiel: In einer Urne beﬁnden sich 3 weiße und 2 rote Kugeln. Es wird zweimal mit zurücklegen
gezogen und die Farben nacheinander notiert. Zeichnen Sie ein Baumdiagramm dieses Zufallsexperiments und bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeit für das Ereigniss A : mindestens eine rote Kugel
gezogen.
Lösung: Die Wahrscheinlichkeiten für die einzelnen Farben ergeben sich direkt:
P (rot) =
2
5
P (weiß) =
3
5
Somit kann man für dieses Zufallsexperiment das folgende Baumdiagramm zeichnen:
⁄
⁄
⁄
( )
⁄
⁄
⁄
⁄
⁄
(
)
⁄
⁄
⁄
(
)
⁄
⁄
⁄
( )
⁄
⁄
⁄
⁄
Zu dem Ereignis mindestens eine rote Kugel zu ziehen gehören drei Pfade, somit gilt
P (A) = P (rw) + P (wr) + P (rr) =
165
6
6
4
16
+
+
=
25 25 25
25
12 Stochastik
Aufgabe: In einer Urne beﬁnden sich 2 schwarze, 2 rote und 6 grüne Kugeln. Es wird zweimal mit
zurücklegen gezogen. Zeichnen Sie für dieses Zufallsexperiment ein Baumdiagramm und bestimmen
Sie die einzelnen Wahrscheinlichkeiten.
166
12 Stochastik
12.4.2 Ziehen ohne Zurücklegen
Beim Ziehen ohne Zurücklegen wird die Kugel nach dem Zug und dem Feststellen der Farbe
nicht mehr in die Urne zurückgelegt, so dass für den nächsten Zug die Gesamtzahl der Kugeln um 1 verringert ist und von dieser Farbe eine Kugel weniger zur Verfügung steht. Die
Wahrscheinlichkeiten der einzelnen Farben ändern sich also nach dem Zug.
Beispiel: In einer Urne beﬁnden sich 3 weiße und 2 rote Kugeln. Es wird zweimal ohne zurücklegen
gezogen und die Farben nacheinander notiert. Zeichnen Sie ein Baumdiagramm dieses Zufallsexperiments und bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeit für das Ereigniss A : genau eine weiße Kugel
gezogen.
Lösung: Die Wahrscheinlichkeiten für den ersten Zug ergeben sich direkt:
P (rot) =
2
5
P (weiß) =
3
5
Für den zweiten Zug stehen dann nur noch 4 Kugeln zur Verfügung, dies muss man beim Zeichnen
des Baumdiagramms beachten:
⁄
⁄
⁄
( )
⁄
⁄
⁄
⁄
⁄
(
)
⁄
⁄
⁄
(
)
⁄
⁄
⁄
( )
⁄
⁄
⁄
⁄
Zu dem Ereignis genau eine weiße Kugel zu ziehen gehören zwei Pfade, es gilt somit:
P (A) = P (rw) + P (wr) =
167
6
6
12
+
=
20 20
20
12 Stochastik
Aufgabe: In einer Urne beﬁnden sich 2 grüne, 3 rote und 5 blaue Kugeln. Es werden zwei Kugeln
ohne Zurücklegen gezogen.
a) Fertigen Sie ein Baumdiagramm an.
b) Mit welcher Wahrscheinlichkeit wird eine grüne und eine rote Kugel gezogen.
c) Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit, dass keine blaue Kugel gezogen wird.
168
12 Stochastik
12.5 Bernoulli-Experimente
Ein Zufallsexperiment mit nur zwei Ergebnissen heißt Bernoulli-Experiment. Die Wahrscheinlichkeit für einen Treﬀer wird mit p, die für eine Niete mit q bezeichnet, wobei q = 1 − p
ist.
Beispiel: Der Wurf eines Würfels mit den beiden Ausgängen: Die Augenzahl ist 1 und die Augenzahl
ist nicht 1, ist ein Bernoulli-Experiment es gilt hier für die Wahrscheinlichkeiten p = 16 und q = 56 .
12.5.1 Bernoulli-Ketten
Ein Zufallsexperiment, das aus n unabhängigen Durchführungen desselben BernoulliExperimentes besteht, heißt Bernoulli-Kette der Länge n.
Beispiel: In der deutschen Bevölkerung haben rund 7% die Blutgruppe AB. Das Blut von 5 Personen wird nacheinander auf diese Blutgruppe untersucht. Mit welcher Wahrscheinlichkeit zeigt nur
die Blutuntersuchung für die zweite Person die Blutgruppe AB an?
Lösung: Besteht keine Verwandschaftsbeziehung zwischen den Personen und sind alle Personen aus
der deutschen Bevölkerung, kann man die einzelnen Blutgruppenuntersuchungen als unabhängige
Durchführung desselben Bernoulli-Experiments betrachten. Mit Treﬀer ( 1“) für die Blutgruppe
”
AB, n = 5 und p = 0, 07 ergibt sich:
P (01000) = 0, 93 · 0, 07 · 0, 93 · 0, 93 · 0, 93 = 0, 934 · 0, 071 ≈ 0, 0524
d.h. bei rund 5% aller solcher Untersuchungen zeigt nur die zweite Person die Blutgruppe AB an.
Aufgabe: Welche kombinationsmöglichkeiten gibt es wenn bei zwei Personen die Blutgruppe AB
festgestellt werden soll.
Die Formel von Bernoulli: Gegeben ist eine Bernoulli-Kette der Länge n mit der Treﬀerwahrscheinlichkeit p. Die Zufallsvariable X gibt die Anzahl der Treﬀer an. Dann beträgt die
Wahrscheinlichkeit für genau k Treﬀer mit k ∈ {0; 1; ...; n}
n
P (X = k) =
· pk · (1 − p)n−k
k
n
nennt man den Binomialkoeﬃzient, er gibt an, wie viele Möglichkeiten es gibt, um k
k
Objekte in n verschiedene Fächer einzusortieren. Es gilt:
n!
n
=
k
k! · (n − k)!
169
12 Stochastik
Beispiel: In der deutschen Bevölkerung haben rund 7% die Blutgruppe AB. Das Blut von 5 Personen wird nacheinander auf diese Blutgruppe untersucht. Mit welcher Wahrscheinlichkeit haben
zwei der fünf untersuchten Personen die Blutgruppe AB?
Lösung: Besteht keine Verwandschaftsbeziehung zwischen den Personen und sind alle Personen aus
der deutschen Bevölkerung, kann man die einzelnen Blutgruppenuntersuchungen als unabhängige
Durchführung desselben Bernoulli-Experiments betrachten. Die Wahrscheinlichkeit für genau zwei
Treﬀer können wir mit der Formel von Bernoulli berechnen, wobei n = 5, k = 2 und p = 0, 07 gilt.
Somit gilt für die Wahrscheinlicht, dass zwei Personen die Blutgruppe AB haben:
5
P (X = 2) =
· 0, 072 · 0, 933
2
≈ 0, 039
D.h. bei rund 3, 9% aller Untersuchungen zeigen zwei Personen die Blutgruppe AB.
Beispiel: Ein Tierarzt behandelt 10 kranke Tiere mit einem Medikament, das nach Angaben des
Herstellers in 80% aller Anwendungen zur Heilung führt. Es wird angenommen, dass sich die Heilungsprozesse nicht gegenseitig beeinﬂussen. Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeit, dass mindestens
9 von 10 Tiere geheilt werden.
Lösung: Da sich die Heilungsprozesse nicht gegenseitig beeinﬂussen, kann man die Behandlung
als eine Bernoulli-Kette der Länge 10 mit p = 0, 8 ansehen. X beschreibt die Anzahl der geheilten
Tiere, es gilt
P (X ≥ 9) = P (X = 9) + P (X = 10)
10
10
9
1
=
· 0, 8 · 0, 2 +
· 0, 810 · 0, 20
9
10
≈ 0, 376
D.h. in fast 38% der Fälle werden mindestens 9 von 10 Tiere geheilt.
Aufgabe: Bestimmen Sie aus dem letzten Beispiel die Wahrscheinlichkeit, dass höchstens 7 Tiere
geheilt werden.
Aufgabe: Ein idealer Würfel wird viemal nacheinander geworfen. Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeit für:
a) zwei Sechsen
b) höchstens zwei Sechsen
c) mindestens eine Sechs
170
12 Stochastik
12.5.2 Binomialverteilung
Mit der Formel von Bernoulli kann man zu festem n und p zu jedem k mit 0 ≤ k ≤ n die
Wahrscheinlichkeit P (X = k) berechnen. Man nennt die Zuordnung, die jedem der möglichen
Werte von k der Zufallsvariablen X die Wahrscheinlichkeit
n
· pk · (1 − p)n−k
k
zuordnet die Binomialverteilung mit der Parametern n und p.
Man schreibt für die Wahrscheinlichkeit P (X = k) auch Bn;p (k) und nennt X eine
Bn;p -Verteilte Zufallsvariable.
Aus dem gezeichneten Diagramm kann man dann direkt die Wahrscheinlichkeiten ablesen.
Beispiel: Das folgende Diagramm zeigt die Verteilung eine binomialverteilte Zufallsvariablen mit
den Parametern n = 10 und p = 0, 6.
Bestimmen Sie aus dem Diagramm näherungsweise P (X = 6), P (4 < X < 7) und P (X 6= 5).
Lösung: Die Wahrscheinlichkeiten sind einfach die y-Werte im dem Angegebenen Schaubild, deshalb
gilt:
P (X = 6) ≈ 0, 25
P (4 < X < 7) = P (X = 5) + P (X = 6) ≈ 0, 2 + 0, 25 = 0, 45
P (X 6= 5) = 1 − P (X = 5) ≈ 1 − 0, 2 = 0, 8
171
12 Stochastik
12.6 Der Erwartungswert
Der Erwartungswert µ einer binominalverteilten Zufallsvariablen beschreibt die wahrscheinlichste Anzahl der Treﬀer k der Binomialverteilung. Im Schaubild der Binomialverteilung ist
der Erwartungswert in der Nähe oder gleich dem k mit der größten Wahrscheinlichkeit. Den
Erwartungswert einer binomialverteilten Zufallsvariablen mit den Parametern n und p errechnet
sich folgendermaßen
µ=n·p
Beispiel: Ein Sportschütze gibt wiederholt 4 Schüsse auf ein Ziel ab. Er triﬀt bei jedem Schuss mit
der Wahrscheinlichkeit 0, 7. Mit wie vielen Treﬀern kann er im Mittel pro Serie rechnen?
Lösung: Es sei X die Zufallsvariable für die Anzahl der Treﬀer in einer Serie. X ist eine binomialverteilte Zufallsvariable mit den Parametern p = 0, 7 und n = 4. Für den Erwartungswert dieser
Zufallsvariablen gilt µ = n · p = 4 · 0, 7 = 2, 8. Somit kann der Schütze bei sehr vielen Serien zu
jeweils 4 Schüsse im Mittel pro Serie mit jeweils 2,8 Treﬀern rechnen.
Kann eine Zufallsgröße X die Werte x1 , x2 , ..., xr annehmen, so heißt
E(X) = x1 · P (X = x1 ) + x2 · P (X = x2 ) + ... + xr · P (X = xr )
der Erwartungswert der Zufallsgröße. Anstatt E(X) schreibt man oft auch kurz µ.
Beispiel: Zwei Würfel werden gleichzeitig geworfen und die Augensumme notiert. Bestimmen Sie
den Erwartungswert.
Lösung: Die Zufallsvariable X gibt die Augensumme der beiden Würfel an. X kann somit die Werte
2; 3; ...; 12 annehmen. Für den Erwartungswert gilt nun:
µ=2·
1
2
3
4
5
6
5
4
3
2
1
+3·
+4·
+5·
+6·
+7·
+8·
+9·
+ 10 ·
+ 11 ·
+ 12 ·
36
36
36
36
36
36
36
36
36
36
36
µ=7
D.h. bei sehr vielen Wiederholungen ist mit einer mittleren Augensumme von 7 zu rechnen.
Aufgabe: In einer Fabrik werden die hergestellten Teile von einer Kontrolleurin überprüft, die jedes
Teil mit einer Wahrscheinlichkeit von 95% richtig beurteilt. Wie viele falsche Entscheidungen sind
bei 100 Kontrollen zu erwarten?
172
12 Stochastik
12.6.1 Das faire Spiel
Ein Spiel heißt fair, wenn der Erwartungswert des Gewinns für jeden Spieler 0 ist. D.h. ein
Spiel ist genau dann fair, wenn auf lange Zeit gesehen genau soviel gewonnen wird, wie man für
das Spiel zahlt.
Schritte zum Überprüfen, ob ein Spiel fair ist:
1. Berechne den Erwartungswert der Auszahlung, dieser ist die Summe
g1 · p1 + g2 · p2 + ...
g stellt hier die Auszahlung und p die Wahrscheinlichkeit mit der das Geld g ausbezahlt
wird
2. Ist dieser Erwartungswert der Auszahlung genau so groß wie der Einsatz, so ist das Spiel
fair
Beispiel: Bei einem Spiel mit einem fairen Würfel erhält der Spieler die von ihm erwürfelte Augenzahl in € ausgezahlt. Bestimmen Sie den Einsatz, damit dieses Spiel fair ist.
Lösung: Die Zufallsvariable X, die die Höhe des Gewinns beschreibt, kann also die Werte 1; 2; ...; 6
annehmen. Da die Wahrscheinlichkeit bei jedem Wurf p = 16 ist, beträgt der erwartete Gewinn:
E(X) = 1 ·
1
1
1
1
1
1
21
+2· +3· +4· +5· +6· =
= 3, 5
6
6
6
6
6
6
6
D.h. bei einem Einsatz von 3, 5€ ist das Spiel fair
Aufgabe: Bei einem Glücksspiel zieht ein Spieler eine von insgesamt 30 Kugeln (mit Zurücklegen)
aus einer Urne. 18 dieser Kugeln sind mit dem Wert 1, die übrigen 12 sind mit dem Wert -2
beschriftet. Im ersten Fall bekommt der Spieler einen Euro von der Bank, im zweiten Fall muss er
zwei Euro an die Bank zahlen. Entscheiden Sie, ob das Spiel fair ist.
173
12 Stochastik
12.7 Einseitiger Hypothesentest
Beim Testen einer Hypothese wird aufgrund vorliegender Daten die Gültigkeit einer Nullhypothese
überprüft.
Wichtige Begriﬀe:
Eine Nullhypothese besitzt die Form H0 : p ≤ ...; H0 : p = ..., oder H0 : p ≥ ... (z.B. ein
Bauteil defekt), wird diese Nullhypothese abgelehnt, so wird die Alternativhypothese
H1 angenommen.
Die Irrtumswahrscheinlichkeit α ist die Wahrscheinlichkeit mit der man eine Hypothese fälschlicherweise angenommen hat, da beim Testen einer Hypothese ein Zufallsexperiment zugrunde liegt kann mann nie mit absoluter Sicherheit sagen, ob die Entscheidung
richtig ist.
Die Daten bei der Untersuchung, die zur Annahme der Nullhypothese führen werden
Annahmebereich genannt, die Daten die zur Ablehnung führen werden Ablehnungsbereich genannt.
Man unterscheidet zwischen zwei Arten von Hypothesentests:
• rechtsseitiger Hypothesentest: Die Alternativhypothese besitzt die Form H1 : p > ...,
Der Ablehnungsbereich besteht aus Werten, welche größer sind als die Werte die zum
Annahmebereich gehören, Der Ablehnungsbereich hat deshalb die Form {k; ...; n} und es
wird ein minimales k gesucht, damit P (A) ≤ α gilt.
• linksseitiger Hypothesentest: Die Alternativhypothese besitzt die Form H1 : p < ..., Der
Ablehnungsbereich besteht aus Werten, welche kleiner sind als die Werte die zum Annahmebereich gehören, Der Ablehnungsbereich hat deshalb die Form {0; ...; k} und es wird
ein maximales k gesucht, damit P (A) ≤ α gilt.
Schritte zum durchführen eines Hypothesentests:
1. Bestimme die Nullhypothese und lege die Irrtumswahrscheinlichkeit fest.
2. Entscheide, ob es sich hierbei um einen rechtsseitigen, oder einen linksseitigen Hypothesentest handelt.
3. Mache den Ansatz P (X ∈ A) ≤ α und löse die erhaltene Ungleichung mit dem GTR.
Beispiel: Ein Chiphersteller garantiert, dass der Anteil an Ausschuss höchstens 4% beträgt. Ein
Käufer ﬁndet unter 100 Chips 9 defekte Chips. Kann man hieraus mit einer Irrtumswahrscheinlichkeit von 5% schließen, dass der Anteil an Ausschuss größer als 4% ist?
Lösung: Die Nullhypothese lautet: H0 : p ≤ 0, 04 für Chip defekt“ (in Worten: mit einer Wahr”
scheinlichkeit von kleiner gleich von 4% ist ein Chip defekt) und n = 100. Die zugehörige Alternativhypothese lautet: H1 : p > 0, 04.
Wegen H1 : p > 0, 04 handelt es sich um einen rechtsseitigen Test mit α = 5%. Man lehnt die
Nullhypothese ab, wenn man zu viele defekte Chips in der Stichprobe ﬁndet. X sei die Zufallsvariable für die Anzahl defekter Chips, so ist ein minimales k ∈ N und damit ein Ablehnungsbereich
174
12 Stochastik
Ā = {k, ..., 100} der Nullhypothese so zu bestimmen , dass gilt:
P (X ∈ A) ≤ α
P (X ≥ k) ≤ 0, 05
1 − P (X ≤ k − 1) ≤ 0, 05
0, 95 ≤ P (X ≤ k − 1)
Für n = 100 und p = 0, 04 erhält man mit dem GTR:
P (X ≤ 6) ≈ 0, 894
P (X ≤ 7) ≈ 0, 952
Somit ist k − 1 = 7, also k = 8. Damit lautet der Ablehnungsbereich Ā = {8, ..., 100}. Da 9 im
Ablehnungsbereich liegt, kann man bei α = 5% auf mehr als 4% Ausschuss schließen. Aufgabe: Eine
Firma, welche Computer herstellt, garantiert, dass bei einer Lieferung höchstens 3% der Computer
fehlerhaft sind. Ein Großhändler macht eine Stichprobe mit 30 Computern und ﬁndet dabei 3
Fehlerhafte. Kann der Großhändler mit einer Irrtumswahrscheinlichkeit von α = 2% schließen, dass
die Firma eine falsche Angabe gemacht hat?
175
12 Stochastik
Aufgabe: Bei der Massenproduktion von Weingläsern beträgt der Ausschussanteil 7%. Durch eine
Optimierung im Produktionsverfahren soll der Ausschussanteil gesenkt werden. Bei einer Kontrolle
werden 100 Gläser getestet und dabei 3 defekte Gläser gefunden. Kann man hierbei mit einer
Irrtumswahrscheinlichkeit von 10% annehmen, dass die Optimierung des Produktionsverfahrens
den Ausschussanteil verringert hat?
176
12 Stochastik
12.8 Weitere Aufgaben zum Üben
1. Bei einem Fest möchte ein Besucher an einem Glücksrad spielen. Bevor er spielt, stellt er
folgende Rechnung auf:
x1 · P (x1 ) + x2 · P (x2 ) + x3 · P (x3 ) = 1€ ·
1
1
1
1
− 3€ · + 4€ · = − €
3
2
6
2
a) Welche Information erhält er durch diese Rechnung?
b) Wie könnte das verwendete Glücksrad aussehen und die Gewinnregel lauten?
2. Eine Urne enthält 5 rote, 3 weiße und 2 gelbe Kugeln. Es werden 3 Kugeln mit Zurücklegen
gezogen. Mit welcher Wahrscheinlichkeit erhält man keine gelbe Kugel?
Nun werden 2 Kugeln ohne Zurücklegen gezogen. Mit welcher Wahrscheinlichkeit haben die
beiden Kugeln die gleiche Farbe?
3. In einem Behälter beﬁnden sich 2 rote und 4 blaue Kugeln. Es werden 2 Kugeln mit Zurücklegen gezogen.
Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit, dass mindestens eine der beiden Kugeln rot ist.
Wie viele rote Kugeln hätten sich in dem Behälter beﬁnden müssen, damit die Wahrscheinlichkeit, mindestens eine rote Kugel zu ziehen, 0,84 betragen hätte?
4. In einem Behälter beﬁnden sich 6 Kugeln mit den Nummern 1 bis 6. Es wird solange ohne
Zurücklegen gezogen, bis eine gerade Nummer gezogen wird.
Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeit dafür, dass erst im dritten Zug eine gerade Nummer
gezogen wird.
Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass man höchstens dreimal zieht?
5. Ein Glücksrad hat die Sektoren mit den Zahlen 1, 2 und 3 mit folgender Wahrscheinlichkeitsverteilung:
Sektor
Wahrscheinlichkeit
1
0,2
2
0,3
3
0,5
Das Glücksrad wird zu folgendem Glücksspiel verwendet: Der Spieler zahlt zunächst 1 € Einsatz. Dann wird das Glücksrad dreimal gedreht. Sind die drei ermittelten Zahlen verschieden,
bekommt der Spieler seinen Einsatz zurück. Kommt dreimal die „1“, erhält der Spieler 100 €.
Sonst erhält er nichts. Ist dieses Spiel fair?
6. Ein Basketballspieler übt Freiwürfe. Erfahrungsgemäß triﬀt er bei 80% seiner Würfe.
Mit welcher Wahrscheinlichkeit triﬀt er mit den ersten beiden Würfen zweimal?
Geben Sie ein Ereignis A und ein Ereignis B an, so dass gilt:
50
10
P (A) = 0, 2
P (B) =
· 0, 840 · 0, 210
40
7. In einer Urne beﬁnden Sich 3 schwarze und 3 weiße Kugeln. Es wird solange ohne Zurücklegen
gezogen, bis eine weiße Kugel gezogen wird.
Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, das erst im dritten Zug eine weiße Kugel gezogen wird?
Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass man höchstens dreimal zieht?
177
13 Lösungen
13.1 Lösungen zu: Lösen von Gleichungen
1. Bestimmen Sie die Lösungsmenge der folgenden Gleichungen
a) L = {−12; 12}
b) L = {−16; 16}
c) (x + 5)2 − 64 = 0 | + 64
√
(x + 5)2 = 64 |
x + 5 = ±8
x1 + 5 = 8
|−5
x1 = 3
x2 + 5 = −8 | − 5
x2 = −13
L = {−13; 3}
d) L = {0; 6}
2.
e) L = {−9; 1}
f) L = −1; 35
a) L = 14
1
1
b)
=
| · (x + 4)
x+4
2
1
1 = · (x + 4) | · 2
2
2=x+4 |−4
x = −2
L = {−2}
c) L = {−2; 4}
d) 2e2x − 4ex − 6 = 0
ex = u
2u2 − 4u − 6 = 0 | : 2
u2 − 2u − 3 = 0
u1;2 = 1 ±
√
1+3
u1;2 = 1 ± 2
u1 = 3
u2 = −1
Rücksubstitution:
ex = u
ex = 3 | ln
x = ln(3)
ex = −1
x = ln(−1)
178
13 Lösungen
L = {ln(3)}
e)
ex = u
3u2 − 10u − 9 = 0
√
1
u1 = · (5 − 2 13) < 0
3
√
1
u2 = · (5 + 2 13)
3
Rücksubstitution:
ex = u
√
1
ex = · (5 − 2 13) < 0
3
√
1
x = ln
· (5 − 2 13)
3
√
1
ex = · (5 + 2 13)
3
√
1
x = ln
· (5 + 2 13)
3
√ L = ln 13 · (5 + 2 13)
f) L = { }
g) L = {0; 3}
3.
a) (x2 − 9) · x2 = 0
x2 − 9 = 0
x2 = 9
x = ±3
x2 = 0
x=0
L = {−3; 0; 3}
b) L = {−2; 0; 2}
c) L = {−1; 0; 2}
d) L = { }
e) L = − 13 ; 13 ; 3
f) L = {0; ln(4); 2}
4. Bestimme Sie die Lösungsmenge der folgenden Gleichungen für x ∈ [0, 2π]
a) sin(x) + 1 = 0 | − 1
sin(x) = −1
3
x= π
2
L = 32 π
b) L = 12 π; 32 π
c) L = 14 π; 34 π; 54 π; 74 π
d) L = 0; 12 π; π; 32 π; 2π
e) L = {0; π; 2π}
179
13 Lösungen
f) L =
n
(2k+1)·π
10
+ 35 k = (0; 1; ...; 8)}
5. Lösen Sie die Gleichungen (Aufgaben aus dem Abitur PT seit 2004)
a) L = ln 12
b) L = 12 ln(2)
c) L = π2 ; 32 π
d) L = {−2; 0; 2}
e) L = 12 ln(2); 12 ln(9)
f) L = −2; 2; 12 ln(6)
√ √ g) L = − 3; 3
h) L = {ln 5}
13.2 Lösungen zu: Funktionen
1. Gegeben sei die Funktion f (x) = 3x2 − 5x + 1.
• Zunächst wird die Funktion f um einen Faktor 2 in y-Richtung gestreckt:
fneu1 (x) = 2 · (3x2 − 5x + 1) = 6x2 − 10x + 2
• Danach wird die erhaltene Funktion um 2 LE nach oben verschoben:
fneu2 (x) = 6x2 − 10x + 2 + 2 = 6x2 − 10x + 4
• Zuletzt wird der neue Funktionsterm um 3 LE nach rechts verschoben:
fneu3 (x) = 6(x − 3)2 − 10(x − 3) + 4 = g(x)
Bestimmen Sie den Funktionsterm der Funktion g(x).
2. Die Funktion g entsteht aus f , indem man die folgenden Schritte durchführt:
• Spiegle zunächst den Graphen der Funktion an der y-Achse. ex → e−x
• Spiegle danach den neu erhaltenen Graphen der Funktion an der x-Achse. e−x → −e−x
• Verschiebe zuletzt den erhaltenen Graphen um LE in positive y-Richtung.
3.
• Für 0 < a < ∞ gilt: wird a größer, so verkleinert sich die die Amplitude und die Periode.
• Für a →= 0 gilt:die Amplitude geht gegen ∞ und die Periode gegen ∞, im Grunde
handelt es sich nicht mehr um eine Funktion.
• Für −∞ < a < 0 gilt für kleiner werdende a, dass sich die Amplitude und die Periode
vergrößert. Der Graph ist an der x-Achse gespiegelt
4.
• Spiegle zunächst die Kosinusfunktion an der x-Achse
• Stauche die Funktion um einen Faktor π in x-Richtung.
• Verschiebe das Schaubild der Fuktion um 1LE in positve y-Richtung.
5. Untersuchen Sie die folgende Funktionen auf besondere Symmetrie.
a) Punktsymmetrisch zum Ursprung
b) Punktsymmetrisch zum Ursprung
c) keine besondere Symmetrie erkennbar
d) Achsensymmetrisch zur y-Achse
e) f (−x) = (sin(−x))2 = (− sin(x))2 = ((−1) sin(x))2 = (−1)2 (sin(x))2 = (sin(x))2 =
f (x) =⇒ Achsensymmetrisch zur y-Achse
f) f (−x) = e−(−x) = e−((−1)x) = e−(−1)
y-Achse.
2
2
2 x2
180
= e−x = f (x) =⇒ Achsensymmerisch zur
2
13 Lösungen
6.
a)
b)
y
O
O
d)
y
O
x
x
x
e)
y
f)
y
O
O
c)
y
x
y
O
x
x
7. Ein Behälter hat ein Fassungsvermögen von 1200 Liter. Die enthaltene Flüssigkeitsmenge zum
Zeitpunkt t wird beschrieben durch die Funktion f mit
f (t) = 1000 − 800 · e−0,01t ; t ≥ 0 t in Minuten, f (t) in Liter
Zu welchem Zeitpunkt ist der Behälter zur Hälfte gefüllt?
f (t) = 1000 − 800 · e−0,01t
600 = 1000 − 800 · e−0,01t
−400 = −800 · e−0,01t
1
= e−0,01t
2
1
ln
= −0, 01t
2
ln 12
t=−
≈ 69, 3
0, 01
Nach 69,3 Minuten ist der Behälter zur Hälfte gefüllt.
8. Für jedes t 6= 0 ist eine Funktion ft gegeben durch ft (x) = (x − 1) · 1 − 1t · ex . Für welche
Werte von t besitzt ft mehr als eine Nullstelle?
Die Funktion besitzt immer die Nullstelle x1 = 1, d.h. die Funktion ft besitzt genau denn
181
13 Lösungen
mehr als eine Nullstelle, wenn die Gleichung 1 −
1−
1
t
· ex = 0 erfüllt ist. Somit
1 x
·e =0
t
1
1 = · ex
t
t = ex
ln(t) = x
ist dies genau dann der Fall, wenn ln(t) existiert. Dies ist für alle t > 0 der Fall.
9. Bestimmen Sie jeweils die Perioden der angegebenen trigonometrischen Funktionen.
2π
2π
=
b
5
2π
b) f (x) = cos(π · x) =⇒ p =
=2
π
a) f (x) = 2 sin(5x) =⇒ p =
2π
c) f (x) = sin(3x − 6) = sin(3 · (x − 2)) =⇒ p =
3
π
1
2π
d) f (x) = 3 sin π · x −
+ 1 = 3 sin π · x −
+ 1 =⇒ p =
=2
2
2
π
2
2π
e) f (x) = cos(ax + 2) = cos(a · (x + )) =⇒ p =
a
a
1
2π
f) f (x) = cos(π · x − 1) = cos(π(x )) =⇒ p =
=2
π
π
10. Für x → ∞ geht x12 → 0, somit ist y = 4 Die waagrechte Asymptote des Schaubilds. Die
senkrechte Asymptote ist die Nullstelle des Nenners, also x = 0.
y
2
O
2
x
1 − 4x2
1
4x\2
1
=
−
= 2 − 4. Damit
x2
x2
x\2
x
können wir die Asymptoten direkt ablesen: y = −4 ist die waagrechte Asymptote, sowie x = 0
ist die senkrechte Asymptote.
11. Wir können den Funktionsterm umschreiben zu f (x) =
182
13 Lösungen
12.
a)
5a + b
= 95
10
950 = 5a + b
f (5) =
950 − 5a = b
20a + b
f (20) =
= 56
25
1400 = 20a + b
1400 − 20a = b
950 − 5a = 1400 − 20a
450 = 15a
a = 30
b = 800
b)
30x + 800
= 40
x+5
40x + 200 = 30x + 800
f (x) =
10x = 600
x = 60
ab der 61 Produktionseinheit sind die Kosten geringer als 400.000 €.
13.
a) Waagrechte Asymptote: y = 6. Senkrechte Asymptoten sind die Nullstellen des Nenners,
somit: x2 − 16 = 0 =⇒ x = ±4. x = 4 und x = −4 sind senkrechte Asymptoten der
Funktion.
b)
f (x) = 0
100
6− 2
=0
(x − 16)2
6=
(x2
100
− 16)2
6 · (x2 − 16)2 = 100
100
(x2 − 16)2 =
6r
100
6
r
100
x2 = 16 ±
6
x2 − 16 = ±
183
13 Lösungen
s
10
x = ± 16 ± √
6
s
10
x1 = 16 + √
6
s
10
x2 = 16 − √
6
s
10
x3 = − 16 + √
6
s
10
x4 = − 16 − √
6
c)
y
2
O
14.
2
x
a)
f (x) = 0
120
−2=0
x2 + 20
120
=2
2
x + 20
120 = 2 · (x2 + 20)
60 = x2 + 20
x2 = 40
√
x = ± 40
√
x1 = 40
√
x2 = − 40
Die Breite entspricht dem Abstand der Nullstellen zueinander:
√
√
√
40 + 40 = 2 40 ≈ 12, 6m
184
13 Lösungen
b)
120
−2
(−x)2 + 20
120
= 2
−2
x + 20
= f (x)
f (−x) =
Damit wurde gezeigt, dass die Funktion achsensymmetrisch ist.
15. Die Nullstellen einer gebrochenrationalen Funktion erhält man, indem man die Nullstellen des
Zählerpolynoms bestimmt.
0 = x2 − x − 6
r
1
1
x1;2 = ±
+6
2
4
r
1
25
= ±
2
4
1 5
= ±
2 2
x1 = 3
x2 = −2
16. Die Nullstellen Schreibt man als Produkt in den Zähler, und die Senkrechten Asymptoten
schreibt man als Produkt in den Nenner der zu bestimmenden Funktion.
f (x) =
(x − 1) · (x + 1)
x2 − 1
= 3
x · (x − 3) · (x + 3)
x − 9x
185
13 Lösungen
13.3 Lösungen zu: Die Ableitung
1. Bestimmen Sie die erste Ableitung der folgenden Funktionen:
a) f 0 (x) = 25x4 − 6x2
f) f 0 (x) =
b) f 0 (x) = 6x2 − 12x
c) f 0 (x) = 4x3 − 6x
2.
g) f 0 (x) = 2 −
d) f 0 (x) = 7x6 − 15x2 + 1
4
e) f 0 (x) = − 3
x
a) f 0 (x) = 5 cos(x) + 2x
c) f 0 (x) = ex − sin(x)
4.
1
a) f 0 (x) = √
· (2x)
2 x2 + 4
1
b) f 0 (x) = √
· (8x − 2)
2 4x2 − 2x
4
4
c) f 0 (x) =
·2=
2x
x
1
0
d) f (x) = · cos(3x2 ) · 6x = x · cos(3x2 )
6
1 2
0
e) f (x) = −2 sin
x +4 ·x
2
a) f 0 (x) = 2 ·
6
x4
2
8
h) f 0 (x) = − 2 − 3
x
x
2
0
d) f (x) =
x
1
e) f 0 (x) =
2
3x 3
f) f 0 (x) = 15x2 − 4 sin(x)
b) f 0 (x) = cos(x) + sin(x) + 1
3.
2
x2
f) f 0 (x) = 3(4x + 1)2 · 4
g) f 0 (x) = 20 · (2x2 + 1)3 · 4x
h) f 0 (x) = −8(2x + 1)−3 · 2
i) f 0 (x) = 6x + 15(3x − 1)−4 · 3
j) f 0 (x) = 5e5x−3
k) f 0 (x) = −5e3−5x
l) f 0 (x) = −2x · e−x
2
p
1
x2 + 1 + 2x · √
· 2x
2 x2 + 1
b) f 0 (x) = 6x · e−4x − 3x2 · 4e−4x
3
1
c) f 0 (x) = x2 · e2x + x3 · 2e2x
2
2
d) f 0 (x) = 2 · e−x − (2x + 5) · e−x
e) f 0 (x) = ln(2x) + 1
f) f 0 (x) = 2x · ln(x2 ) + 2x
g) f 0 (x) = sin(x) + x · cos(x)
h) f 0 (x) = 2x · cos(x2 ) + x2 · (− sin(x)) · 2x
i) f 0 (x) = 5(x − 3)4 · (15 − x2 )3 + (x − 3)5 · 3(15 − x2 )2 · (−2x)
1
j) f 0 (x) = ex−3 · ln(2x) + ex−3 ·
x
k) f 0 (x) = 2x · e−x − x2 · e−x
l) f 0 (x) = ln(a) · ax
5. Bestimmen Sie die erste Ableitung der folgenden Funktionen (Aufgaben aus dem Abitur PT
seit 2004).
186
13 Lösungen
a) f 0 (x) =
f) f 0 (x) = 2x · sin(3x + 1) + x2 · 3 cos(3x + 1)
2x
2x3
−
x2 + 3 (x2 + 3)2
g) f 0 (x) = −3 · e−x − (2 − 3x) · e−x
b) f 0 (x) = 3x2 · e2x + x3 · 2e2x
1
c) f 0 (x) = · cos(4x2 ) · 8x
8
0
d) f (x) = 2(1 + sin(x)) · cos(x)
e) f 0 (x) =
h) f 0 (x) = −
sin(2x) 2 cos(2x)
+
x2
x
i) f 0 (x) = 5(sin(x) + 7)4 · cos(x)
8x3
4x
−
2x2 − 3 (2x2 − 3)2
j) f 0 (x) = 4x · e−2x − (2x2 + 5) · 2e−2x
6. Gegeben ist die Funktion f mit f (x) =
.
2
x
+ 2; x 6= 0; P (1|4)
2
x2
m = f 0 (1) = −2
f 0 (x) = −
y = m · x + 2 = −2x + b
4 = −2 + b
b=6
yt = −2x + 6
Bestimmen von S:
yt = 0
0 = −2x + 6
−6 = −2x
x=3
Der Punkt, in dem die Tangente die x-Achse schneidet ist S(3|0).
7. Gegeben ist die Funktion f mit f (x) =
Normale n.
x2
x+1 .
Das Schaubild von f hat im Punkt P 1 12 die
2x
x2
−
x + 1 (x + 1)2
1
3
mt = f 0 (1) = 1 − =
4
4
mn · mt = −1
4
mn = −
3
4
n=m·x+b=− x+b
3
1
4
=− +b
2
3
11
b=
6
4
11
n=− x+
3
6
f 0 (x) =
187
13 Lösungen
8. Gegeben ist die Funktion f mit f (x) =
1−4x2
x2
=
1
x2
− 4 P (1| − 3)
2
x3
0
mt = f (1) = −2
f 0 (x) = −
y = m · x + b = −2x + b
−3 = −2 + b
b = −1
y = −2x − 1
Bestimmen des Schnittpunktes:
yt = 0
0 = −2x − 1
1 = −2x
1
x=−
2
Der Punkt, in dem die Tangente die x-Achse schneidet ist S − 12 |0 .
9. Gegeben sind die Funktion f mit f (x) =
2
x
und g mit g(x) = 2x − 3.
f (x) = g(x)
2
= 2x − 3
x
2 = 2x2 − 3x
0 = 2x2 − 3x − 2
3
0 = x2 − x − 1
2
r
3
9
x1,2 = ±
+1
4
16
r
3
25
= ±
4
16
3 5
= ±
4 4
x1 = 2
1
x2 = −
2
Die gemeinsamen Punkte sind P1 (2|1) und P2 − 12 |−4 . Überprüfen auf orthogonales Schneiden: hier muss gelten f 0 (x0 ) · g 0 (x0 ) = −1
f 0 (x) = −
2
x2
g 0 (x) = 2
1
f 0 (2) · g 0 (2) = − · 2 = −1
2
1
1
f0 −
· g0 −
= −8 · 2 = −16 6= −1
2
2
im Punkt P1 schneiden sich die Schaubilder senkrecht, im Punkt P2 nicht.
188
13 Lösungen
10. Gegeben sind die Funktionen f und g mit f (x) = ex und g(x) = −e−x + 2. P (0|1).
Es muss gelten f (0) = g(0) und f 0 (0) = g 0 (0):
f (0) = e0 = 1
g(0) = −e0 + 2 = −1 + 2 = 1
⇒ f (0) = g(0)
für die Steigung der Tangenten:
f 0 (x) = ex
f 0 (0) = e0 = 1
g 0 (x) = e−x
g 0 (0) = e0 = 1
⇒ f 0 (0) = g 0 (0)
Hiermit ist gezeigt, dass sich die Funktionen f und g im Punkt P berühren.
11. Gegeben ist die Funktion f mit f (x) = x2 + 4x − 3. Gesucht ist:
a) Die Gleichung der Tangente mit Steigung m = −2.
D.h. wir suchen die Stelle x, bei welcher die Ableitung f 0 (x) = −2 ist:
f 0 (x) = 2x + 4
f 0 (x) = −2
2x + 4 = −2
2x = −6
x = −3
Außerdem benötigen wir noch den y-Wert, durch welchen die Tangente verläuft, diesen
erhält man einfach durch Einsetzen:
f (−3) = (−3)2 + 4 · (−3) − 3
= 9 − 12 − 3 = −6
Bestimmen der Tangenten:
mt = −2
y = m · x + b = −2x + b
−6 = −2 · (−3) + b
−6 = 6 + b
b = −12
y = −2x − 12
b) Die Gleichung der Tangente, welche orthogonal ist zur Geraden mit der Gleichung y =
− 13 x + 4.
Für die Steigung der Tangenten muss gelten, damit diese orthogonal auf der Geraden
steht:
mt · mn = −1
1
mn
1
mt = − 1 = 3
−3
mt = −
189
13 Lösungen
D.h. wir suchen die Stelle x, bei welcher die Ableitung f 0 (x) = 3 ist:
f 0 (x) = 2x + 4
f 0 (x) = 3
2x + 4 = 3
2x = −1
1
x=−
2
Außerdem benötigen wir noch den y-Wert, durch welchen die Tangente verläuft, diesen
erhält man einfach durch Einsetzen:
2
1
1
1
f −
= −
+4· −
−3
2
2
2
1
19
= −2−3=−
4
4
Bestimmen der Tangenten:
mt = 3
y = m · x + b = 3x + b
19
1
− =3· −
+b
4
2
19
6
− =− +b
4
4
13
b=−
4
13
y = 3x −
4
c) Die Gleichung der Tangente, welche parallel ist zur Geraden y = 4x − 72 .
Die Tangente ist Parallel zur dieser Geraden, d.h. sie muss die gleiche Steigung besitzen,
also mt = 4. D.h. wir suchen die Stelle x, bei welcher die Ableitung f 0 (x) = 4 ist:
f 0 (x) = 2x + 4
f 0 (x) = 4
2x + 4 = 4
2x = 0
x=0
Außerdem benötigen wir noch den y-Wert, durch welchen die Tangente verläuft, diesen
erhält man einfach durch Einsetzen:
f (0) = (0)2 + 4 · (0) − 3
= −3
Bestimmen der Tangenten:
mt = 4
y = m · x + b = 4x + b
−3 = 4 · (0) + b
b = −3
y = 4x − 3
190
13 Lösungen
12. Für jedes a 6= 0 ist eine Funktion fa mit
4
x3 + 4a
= 4(x3 + 4a)−1
fa (x) =
fa0 (x) = 4(x3 + 4a)−2 · 3x2
12x2
(x3 + 4a)2
0
fa (x) = 0
=
12x2
(x3 + 4a)2
x=0
4
1
fa (0) =
=
4a
a
0=
Die Punkte Qa mit waagrechter Tangente lauten Qa 0 a1
191
13 Lösungen
13.4 Lösungen zu: Funktionsuntersuchungen
1.
a) Da der größte Wert der Sinusfunktion 1 und der kleinste Wert -1 ist, erhält man die
maximale Geschwindigkeit, indem man 1 anstelle der Sinusfunktion schreibt und den
minimalen Wert, indem man -1 anstelle der Sinusfunktion schreibt.
vmax = 0, 4 · 1 + 1, 5 = 1, 9
vmin = 0, 4 · (−1) + 1, 5 = 1, 1
D.h. die Geschwindigkeit des Schwimmers schwankt zwischen den Werten 1, 1 ≤ v(t) ≤
1, 9.
b) Der Graph des Schaubilds
y
1
O
.5
x
Die Geschwindigkeit nimmt am Stärksten ab, wenn die Ableitung ein Minimum besitzt,
also wenn f 00 (x) = 0 und f 000 (x) > 0.
f (t) = 0, 4 · sin(12t) + 1, 5
f 0 (t) = 12 · 0, 4 · cos(12t) = 4, 8 · cos(12t)
f 00 (t) = 12 · 4, 8 · (− sin(12t)) = −57, 6 · sin(12t)
f 000 (t) = −691 · cos(12t)
Wir müssen also die Gleichung f 00 (t) = 0 lösen
0 = −57, 6 · sin(12t)
0 = sin(12t)
Setze 12t = u
0 = sin(u)
u1 = π + k · 2π
u2 = 0 + k · 2π
Rücksubstitution:
12t = u
u
t=
12
π
π
t1 =
+k·
12
6
π
t2 = k ·
6
192
13 Lösungen
Wir müssen nun herausﬁnden, bei welchen der beiden Stellen ein Tiefpunkt vorliegt:
f 000 (
π
) = −691 · cos(π) = 691
12
π
d.h. bei t = 12
liegt ein Tiefpunkt der zweiten Ableitung vor. Somit nimmt die Geschwinπ
digkeit zu den Zeitpunkten t = 12
+ k · π6 mit k ∈ Z.
2.
a) Das Maximum bestimmen wir mit dem GTR, für dieses muss die Bedingung f 0 (t) = 0
genügen. Der GTR liefert, dass nach t ≈ 2 Stunden ist die Konzentration mit f (2) =
14, 7 mg
l am größten.
b) Bestimme die Schnittpunkte der Funktion f (t) mit der Geraden y = 4, diese sind: t1 ≈
0, 22 und t2 ≈ 7, 15 Somit ist die Wirksamkeitsdauer t2 −t1 = 6, 93. D.h. das Medikament
ist 6, 93 Stunden wirksam.
c) Bestimme das Minimum der Ableitung f 00 (t) = 0. Der GTR liefert t ≈ 4, d.h. nach 4
Stunden wird das Medikament am stärksten abgebaut.
d) Für die momentane Änderungsrate setze t = 4 in die erste Ableitung ein. GTR: f 0 (4) ≈
−2, 71
e) Bestimme Zunächst den Punkt, in welchem die Tangente angelegt werden soll P (4|10, 8),
die Steigung der Tangenten wurde in d) bestimmt.
y =m·t+b
10, 8 = −2, 71 · 4 + b
b = 21, 64
Die Tangente Lautet somit y = −2, 71t+21, 64, das Medikament ist vollständig abgebaut,
wenn die Tangente den Wert 0 annimmt.
0 = −2, 71t + 21, 64
−21, 64 = −2, 71t
t≈8
Nach 8 Stunden ist das Medikament vollständig abgebaut.
3. Wir bestimmen den Extrempunkt der Funktion.
100
= 6 − 100 · (x2 − 16)−2
(x2 − 16)2
f 0 (x) = 200 · (x2 − 16)−3 · 2x
f (x) = 6 −
f 00 (x) = −600 · (x2 − 16)−4 · 4x2 + 200 · (x2 − 16)−3 · 2
f 0 (x) = 0
0 = 200 · (x2 − 16)−3 · 2x =
400x
(x2 − 16)3
0 = 400x
x=0
00
f (0) = −600 · (0 − 16)−4 · 4 · 02 + 200 · (0 − 16)−3 · 2
400
=
6= 0
(−16)3
Damit wäre gezeigt, das die Funktion nur ein Extremum besitzt.
193
13 Lösungen
4.
a) Für das Maximum bestimme f 0 (t) = 0. Der GTR liefert: t ≈ 10 nach ungefähr 10 Stunden
ist die Temperatur mit 40°C maximal.
b) Für die stärkste Zu-,bzw. Abnahme muss man die Extrempunkte der ersten Ableitung
bestimmen f 00 (t) = 0 und den Graph von f 0 (x) auf globale Maxima bzw. Minima untersuchen. Zu Krankheitsbeginn ist nämlich die Änderungsrate am größten, d.h. bei t = 0
nimmt die Körpertemperatur am stärksten zu. Die stärkste Abnahme ﬁnden wir bei dem
Minimum der ersten Ableitung: t ≈ 20
5.
a) Für das Maximum bestimme v 0 (t) = 0. Der GTR liefert: t ≈ 0, 69 nach ungefähr 0, 69
m
Minuten ist die Geschwindigkeit mit 240 min
maximal.
b) Für die stärkste Abnahme muss man den Tiefpunkt der ersten Ableitung bestimmen:
f 00 (t) = 0. Der GTR liefert: t ≈ 1, 39, d.h. nach 1, 39 Minuten nimmt die Geschwindigkeit
am stärksten ab.
6. Die Stärkste Abnahme ﬁndet man am minimum der ersten Ableitung: f 0 (x) = 0, der GTR
liefert: t ≈ 12 Stunden die Zuﬂussrate am stärksten abnimmt
194
13 Lösungen
13.5 Lösungen zu: Konstruktion von Funktionen
1. Ansatz:
f (x) = ax2 + bx + c
f 0 (x) = 2ax + b
Der Text liefert die folgenden Gleichungen:
f (−1) = −4
−4 = a · (−1)2 + b · (−1) + c
−4 = a − b + c
0
f (−1) = 0
0 = −2a + b
f (2) = 5
5 = a · 22 + b · 2 + c
5 = 4a + 2b + c
Es muss also nur noch das Gleichungssystem gelöst werden:
a
− b + c = −4
−2a + b
= 0
4a + 2b + c = 5
Die Lösungen dieses Gleichungssystems sind: a = 1; b = 2 und c = −3, somit lautet die
Funktion f (x) = x2 + 2x − 3.
2. Ansatz:
f (x) = ax2 + bx + c
f 0 (x) = 2ax + b
Der Text liefert die folgenden Gleichungen:
f (0) = 4
4 = a · 02 + b · 0 + c
−4 = c
f (1) = 0
0=a+b+c
f (2) = 18
18 = a · 22 + b · 2 + c
18 = 4a + 2b + c
Es muss also nur noch das Gleichungssystem gelöst werden:
a + b = 4
4a + 2b = 22
Die Lösungen dieses Gleichungssystems sind: a = 7; b = −3 und c = −4, somit lautet die
Funktion f (x) = 7x2 − 3x − 4.
195
13 Lösungen
3. Ansatz:
f (x) = ax2 + bx + c
f 0 (x) = 2ax + b
Der Text liefert die folgenden Gleichungen:
f (1) = 6
6 = a · 12 + b · 1 + c
6=a+b+c
0
f (1) = 2
2 = 2a + b
Da die Parabel achsensymmetrisch ist, darf der Funktionsterm nur gerade Potenzen von x
besitzen, es muss also b = 0 gelten. Dies vereinfacht die Gleichungen zu 6 = a + c und 2 = 2a,
somit gilt a = 1 und c = 5. Die Funktionsgleichung lautet also: f (x) = x2 + 5.
4. Ansatz:
f (x) = ax4 + bx2
f 0 (x) = 4ax3 + 2bx
f 00 (x) = 12ax2 + 2b
Der Text liefert die folgenden Gleichungen:
f (1) = −2, 5
−2, 5 = a · 14 + b · 12
−2, 5 = a + b
f 00 (1) = 0
0 = 12a + 2b
Es muss also nur noch das Gleichungssystem gelöst werden:
a + b = −2, 5
12a + 2b =
0
Die Lösungen dieses Gleichungssystems sind: a = −0, 5; b = 3, somit lautet die Funktion
f (x) = −0, 5x4 + 3x2 .
196
13 Lösungen
13.6 Lösungen zu: Integralrechnung
1.
2.
1
4
a) F (x) = x4 − x3 + 2x
2
9
3 4
b) F (x) = x − 2x2
4
3
c) F (x) = (2x − 1)4
4
d) F (x) = −(2x − 3)3
4
e) F (x) = −3x−1 + x3
3
3
f) F (x) = ln(x)
2
g) F (x) = −x−3 + 3x−1
−2
h) F (x) =
(2x − 2)1
i) F (x) = 4 ln(|x − 1|)
3
2
j) F (x) = (4x + 1) 2
3
√
k) F (x) = 6 x
8√
l) F (x) =
3x + 1
3
m) F (x) = e2x
2
n) F (x) = x3 − 6e3x
3
1
o) F (x) = −2e−x − x−2
2
3
p) F (x) = sin(2x + 1)
2
3
q) F (x) = − cos(2x − 9)
2
a)
Z
ln 2
0
1 2x ln 2
e dx =
e
=
2
0
1
1
= · 22 − =
2
2
2x
1 2 ln(2) 1 0
e
− e
2
2
3
2
b)
Z
4
9
√
√
√
9
2
√ − 1dx = 4 x − x 4 = 4 9 − 9 − (4 4 − 4)
x
=3−4=1
c)
Z
1
e
e
2
+ 4xdx = 2 ln(x) + 2x2 1 = 2 ln e + 2e2 − (2 ln 1 + 2 · 12 )
x
= 2 + 2e2 − 2 = 2e2
d)
1
Z
0
1
(2x − 1) dx =
(2x − 1)5
10
1
1
1
=
+
=
10 10
5
4
1
=
0
1
1
(1)5 − ( (−1)5 )
10
10
e)
Z
0
π
2
π
4 sin(2x)dx = [−2 cos(2x)]02 = −2 cos(π) + 2 cos(0)
= +2 + 2 = 4
197
13 Lösungen
f)
0
Z
−1
0
1 + e−x dx = x − e−x −1 = −e0 − (−1 − e1 )
= −1 + 1 + e = e
g)
Z
0
3
3
4
4
4
4
dx = −
= − − (− )
2
(x + 1)
(x + 1) 0
4
1
= −1 + 4 = 3
h)
Z
0
2
2
2x − 2e−2x dx = x2 + e−2x 0 = 22 + e−4 − (e0 )
= 4 + e−4 − 1 = 3 + e−4
3.
a) Zunächst muss man die Schnittpunkte der beiden Funktionen bestimmen:
f (x) = g(x)
x + 1 = x2 + 1
0 = x2 − x = x · (x − 1)
Die Schnittpunkte, und somit auch die Integrationsgrenzen sind x1 = 0 und x2 = 1,
außerdem gilt in dem Integrationsbereich f (x) > g(x) (nachrechnen durch Einsetzen
einer Stelle von x mit 0 < x < 1). Somit gilt für die eingeschlossene Fläche:
Z 1
Z 1
1 2 1 3 1
2
A=
f (x) − g(x)dx =
x − x dx =
x − x
2
3
0
0
0
1 1
1
= − −0=
2 3
6
b) Zunächst muss man die Schnittpunkte der beiden Funktionen bestimmen:
f (x) = g(x)
2 sin(x) = − sin(x)
0 = −3 sin(x) = sin(x)
Die Schnittpunkte, und somit auch die Integrationsgrenzen sind x1 = 0 und x2 = π,
außerdem gilt in dem Integrationsbereich f (x) > g(x), somit gilt für die eingeschlossene
Fläche:
Z π
Z π
A=
f (x) − g(x)dx =
3 sin(x)dx = [−3 cos(x)]π0
0
0
= −3 cos(π) + 3 cos(0) = 3 + 3 = 6
4.
a) Zunächst muss man die Querschnittsﬂäche bestimmen, indem das Integral von -6 bis 6
berechnet, da die Funktion in diesem Bereich vollständig unterhalb der x-Achse verläuft,
entspricht der Betrag des Wertes des Integrals der Querschnittsﬂäche des Kanals. Der
GTR liefert A ≈ 13, 6m2 . da der Kanal 500m lang ist beträgt das Volumen des Wassers
V = 6800m3 .
198
13 Lösungen
b) Um das Volumen zu bestimmen, wenn der Pegelstand 1m beträgt, muss man zunächst
die von der Funktion f und der Geraden y = −1, 25 eingeschlossene Fläche bestimmen.
Man berechnet mit dem GTR:
Z x2
x2 − 36
−1, 25 − 2
dx
x + 16
x1
Wobei x1 und x2 die Schnittstellen der Funktion f und der Geraden sind. Der GTR liefert
für die Schnittstellen x1 ≈ −2, 67 und x2 ≈ 2, 67. Somit ist die Querschnittsﬂäche wenn
der Kanal 1 m gefüllt ist: 3, 29m2 und der Kanal beinhaltet deshalb V = 3, 29 · 500 =
1645m3 Wasser. Der kanal ist somit bei einem Füllstand von 1m zu 1645
6800 ≈ 0, 242 = 24, 2%
gefüllt.
5. Zunächst muss man die Periodenlänge bestimmen:
2π
π
=
12
6
p=
50 Perioden sind somit 50 · π6 =
über der Geschwindigkeit, also:
25π
3
≈ 26, 18. Der zurückgelegte Weg entspricht dem Integral
25π
3
Z
s=
v(t)dt
0
Der GTR liefert: s ≈ 39, 3. D.h. der Schwimmer hat eine Strecke von 39,3m zurückgelegt.
6. Die Zunahme der Fläche kann man mit dem Integral berechnen:
Z 2
f4 (x)dx
0
Der GTR liefert
Z
2
f4 (x)dx ≈ 5, 06
0
Somit nimmt die Fläche in den ersten 2 Minuten um 5, 06cm2 zu.
7.
a) Die verkauften Stückzahlen lassen sich näherungsweise mit einem Integral berechnen:
52
Z
f (x)dx
0
Der GTR liefert:
Z
52
f (x)dx ≈ 7801
0
Der Supermarkt hat in den ersten 52 Wochen ungefähr 7801 Tuben Zahnpasta verkauft.
b) Im GTR betrachtet man die Integralfunktion
Z x
f (t)dt
0
und bestimmt den Schnittpunkt dieser Funktion mit der Geraden y = 1500. Dieser liefert:
x ≈ 15, 34, also hat der Supermarkt in der 16 Woche mehr als 1500 Tuben verkauft.
199
13 Lösungen
8. Für das Volumen eines Rotationskörpers gilt:
Z
V =π·
x2
f (x)2 dx
x1
somit gilt:
π
2
Z
V =π·
− π2
π
2
Z
=π·
− π2
2
(t · cos(x))2 dx
t2 · cos(x)2 dx
Z
=π·t ·
π
2
− π2
cos(x)2 dx
Das Integral können wir nun mit dem GTR auswerten:
Z
π
2
− π2
cos(x)2 dx ≈ 1, 57
Somit gilt für das Volumen des Rotationskörpers in Abhängigkeit von t: V ≈ 1, 57πt2
9. Um die mittlere Flüssigkeitsmenge zu bestimmen, muss man den Mittelwert der Funktion f
mit der folgenden Formel zu berechnen:
Z 60
1
m̄ =
f (x)dx
60 0
Der GTR liefert m̄ ≈ 398. Somit beträgt die mittlere Flüssigkeitsmenge während den ersten
60 Minuten im Behälter ungefähr 398 Liter.
10. Das Volumen der Brücke kann man mit der Formel Querschnittsﬂäche mal Breite berechnen.
Zunächst bestimmt man die vier Nullstellen der Brücke f (x) = 0, der GTR liefert: x1 ≈ −4, 48;
x2 ≈ −2, 45; x3 ≈ 3, 45 und x4 ≈ 4, 48. Um die Querschnittsﬂäche zu bestimmen muss man
diese in mehrere Teilﬂächen zerlegen, denn zwischen den beiden Nullstellen muss man ein
Rechteck legen um die Fläche in diesem Bereich zu bestimmen. Es gilt hierbei:
Z −4,48
Z 3,45
A=
7 − f (x)dx + (−3, 45 + 4, 48) · 7 +
7 − f (x)dx
−7
−3,45
Z
7
+ (4, 48 − 3, 48) · 7 +
7 − f (x)dx
4,48
≈ 37, 98
Das Volumen der Brücke beträgt somit: V ≈ 380m3 , es wurden 380m3 Stein verbaut.
200
13 Lösungen
13.7 Lösungen zu: Exponentielles Wachsen und
Zerfallen
1
a) Ansatz f (t) = A · ek·t
13
k = ln 1 −
≈ −0, 139
100
A = 10
Somit lautet die Wachstumsfunktion f (t) = 10 · e−0,139·t . Masse nach 12 Tagen:
f (12) = 10 · e−0,139·12 ≈ 1, 89
b) Zeit bis nur noch 1g vorhanden ist:
1 = 10 · e−0,139·t
1
= e−0,139·t
10
ln(0, 1) = −0, 139 · t
t ≈ 16, 6
Nach ungefähr 16,6 Tagen ist nur noch 1g Bismut vorhanden
c) Halbwertszeit:
ln(2)
k
ln(2)
=−
≈ 4, 99
−0, 139
TH = −
Die Halbwertszeit von Bismut beträgt ungefähr 5 Tage
2
a) Ansatz f (t) = A · ek·t
f (0) = 400
0
A · e = A = 400
f (1) = 30000
400 · ek·1 = 30000
ek = 75
k = ln(75) ≈ 4, 32
Somit lautet die Wachstumsfunktion zum Zeitschritt 2 Stunden f (t) = 400 · e4,32·t mit t
in 2 Stunden.
b) Der Übergang zur Funktion mit dem Zeitschritt ersetzt man die Variable t durch eine
neue Variable t = 12 t, denn zuvor war ein Zeitschritt 2 Stunden, wir wollen aber dass der
neue Zeitschritt genau halb so groß ist, somit lautet die neue Wachstumsfunktion:
1
f (t) = 400 · e4,32· 2 t = 400 · e2,16t
201
13 Lösungen
3 Der Aufgabentext liefert zwei Gleichungen f (4) = 10 und f 0 (4) = 0.
f (t) = a · t · e−b·t
f 0 (t) = a · e−b·t − a · b · t · e−b·t
= a · e−b·t · (1 − b · t)
f 0 (4) = a · e−b·4 · (1 − b · 4) = 0
0 = 1 − 4b
1
b=
4
1
f (4) = a · 4 · e− 4 ·4 = 10
10 = 4a · e−1
a = 2, 5e
4
a) Ansatz: f (t) = A · ek·t
f (0) = 500
0
A · e = A = 500
0, 5
k = ln 1 +
≈ 0, 005
100
Kontostand nach 10 Jahren:
f (10) = 500 · e0,005·10 ≈ 525, 64
b) Verdoppelungszeit:
TV =
ln(2)
≈ 138, 6
0, 005
Er müsste 139 Jahre Warten bis sich das Geld auf dem Konto verdoppelt hätte.
5 Ansatz f (t) = A · ek·t der Text liefert die folgenden Gleichungen:
A = 0, 93
f (1000) = 4 300 000 000
= 4, 3 · 109
0, 93 · e1000k = 4, 3 · 109
e1000k ≈ 4, 62 · 109
1000k ≈ 22, 3
k = 0, 0222
p k = ln 1 +
100 p
0, 0222 = ln 1 +
100
p
0,0222
e
=1+
100
p = 100 ∗ (e0,0222 − 1) ≈ 2, 24
Bei einem Zinssatz von 2,24% vermehrt sich ein Betrag von 93ct innerhalb von 1000 Jahren
auf 4,3 Milliarden Dollar.
202
13 Lösungen
13.8 Lösungen zu: Lineare Gleichungssysteme
1.
a)
b)
c)
d)






1 2 2 1 4
1 1 12 2
1 1
2 2
1 −3 0 −1 → 1 −3 0 −1 → 0 −4 − 1 −3
2
3 0 2 2
3 0 2 2
3 0
2 2






3 3 3
3 3
3 3
3
3
2 6
2 6
2 6
0 −4 − 1 −3 → 0 −4 − 1 −3 → 0 12 3 9 
2
2
2
3 0
2 2
0 −3 12 −4
0 −12 2 −16






3 3 32 6
2 2 1 4
2 2 0 6
0 12 3 9  → 0 8 1 6  → 0 8 0 8 
2
0 0 72 −7
0 0 1 −2
0 0 1 −2




1 1 0 3
1 0 0 2
0 1 0 1  → 0 1 0 1 
0 0 1 −2
0 0 1 −2
D.h. Die Lösung des LGS ist das Tupel (2/1/ − 2)






1 14
1 0
1 14
1 0
1 14
1 0
1 − 1 −2 3  → 0 − 3 −3 3  → 0 −3 −12 12
2
4
1 −1 12 12
0 − 54 − 12 12
0 −5 −2 2






1
1
1 0
1 14 1 0
1 14 1 0
4
0 15 60 −60 → 0 15 60 −60 → 0 1 4 −4
0 −15 −6 6
0 0 54 −54
0 0 1 −1




1 14 0 1
1 0 0 1
0 1 0 0  → 0 1 0 0 
0 0 1 −1
0 0 1 −1
D.h. Die Lösung des LGS ist das Tupel (1/0/ − 1)






1
2 −1 8
1 2 −1 8
1 2 −1 8
−1 1
2 0  → 0 3
1 8  → 0 3 1 8
−1 −5 −4 −12
0 −3 −5 −4
0 0 −4 4






1 2 −1 8
1 2 0 7
1 2 0 7
0 3 1 8  → 0 3 0 9  → 0 1 0 3 
0 0 1 −1
0 0 1 −1
0 0 1 −1


1 0 0 1
0 1 0 3 
0 0 1 −1
D.h. Die Lösung des LGS ist das Tupel (1/3/ − 1)






1 1 1 6
1 1
1 6
1 1
1 6
0 1 1 5 → 0 1
1 5  → 0 3
3 15 
2 −1 1 3
0 −3 −1 −9
0 −3 −1 −9






1 1 1 6
1 1 1 6
1 1 0 3
0 3 3 15 → 0 3 3 15 → 0 3 0 6
0 0 2 6
0 0 1 3
0 0 1 3




1 1 0 3
1 0 0 1
0 1 0 2 → 0 1 0 2
0 0 1 3
0 0 1 3
D.h. Die Lösung des LGS ist das Tupel (1/2/3)
203
13 Lösungen
13.9 Lösungen zu: Vektoren

1.
a)
b)
c)
d)
e)
f)
g)
h)
2.
    
2
−1
1
−4 +  3  = −1.
7
2
9
     
−1
2
−3
 3  − −4 =  7 
2
7
−5
   
−1
2
−2 ·  3  = −6
2
−4
 
   
−1
2
2





4 · 3 + 3 · −4 = 0 
2
7
29
 
   
2
−1 −1 p
√
−4 + 3 ·  3  =  5  = (−1)2 + 52 + 132 = 195
7
2 13  
   
−1
2 5 p
√
 3  + 3 · −4 = −9 = 52 + (−9)2 + 232 = 635
2
7 23    
−1 −3 p
√
3 ·  3  =  9  = (−3)2 + 92 + 62 = 126
2 6      
2
−1 1 p
√
−4 +  3  = −1 = 12 + (−1)2 + 92 = 83
7
2 9 # » # »
# »
a) Wir bestimmmen die Längen der Verbindungsvektoren AB; AC und BC:
 
−4
# »  
AB = −2
−1
p
√
# »
|AB| = (−4)2 + (−2)2 + (−1)2 = 21
 
4
# »  
4
AC =
−2
p
√
# »
|AB| = (42 + 42 + (−2)2 = 36 = 6
 
−1
# »  
1
BC =
0
p
√
# »
|BC| = (−1)2 + 12 + 02 = 2
Da zwei der drei Seiten gleich lang sind ist das Dreieck gleichschenklig.
204
13 Lösungen
# » # »
# »
b) Wir bestimmmen die Längen der Verbindungsvektoren AB; AC und BC:
 
5
# »  
3
AB =
−2
p
√
# »
|AB| = 52 + 32 + (−2)2 = 21
 
−1
# »  
AC = −4
−2
p
√
# »
|AB| = (−1)2 + (−4)2 + (−2)2 = 21
 
3
# »  
BC = −2
−1
p
√
# »
|BC| = 32 + (−2)2 + (−1)2 = 14
3.
Da zwei der drei Seiten gleich lang sind ist das Dreieck gleichschenklig.
# » # »
# »
a) Wir bestimmmen die Längen der Verbindungsvektoren AB; AC und BC:
 
−4
# »  
4
AB =
2
 
−6
# »  
0
AC =
6
 
−2
# »  
BC = −4
4
# » # »
AB · AC = (−4) · (−6) + 4 · 0 + 2 · 6 = 36
# » # »
AB · BC = (−4) · (−2) + 4 · (−4) + 2 · 4 = 0
# » # »
AC · BC = (−6) · (−2) + 0 · (−4) + 6 · 4 = 36
Da das Skalarprodukt zweier Verbindungsvektoren 0 ist, ist der von den beiden Seiten
eingeschlossene Winkel 90°, somit ist das Dreieck rechtwinklig.
# » # »
# »
b) Wir bestimmmen die Längen der Verbindungsvektoren AB; AC und BC:
 
−8
# »  
2
AB =
2
 
−8
# »  
AC = −4
8
 
0
# »  
BC = −6
6
# » # »
AB · AC = (−8) · (−8) + 2 · (−4) + 2 · 8 = 72
# » # »
AB · BC = (−8) · 0 + 2 · (−6) + 2 · 6 = 0
# » # »
AC · BC = (−8) · 0 + (−4) · (−6) + 8 · 6 = 72
205
13 Lösungen
Da das Skalarprodukt zweier Verbindungsvektoren 0 ist, ist der von den beiden Seiten
eingeschlossene Winkel 90°, somit ist das Dreieck rechtwinklig.
c) Wir bestimmen die Längen der einzelnen Seiten:
p
√
# »
|AB| = (−8)2 + 22 + 22 = 72
p
√
# »
|AC| = (−8)2 + (−4)2 + 82 = 132
p
√
# »
|BC| = 02 + (−6)2 + 62 = 72
4.
Zwei der drei Dreiecksseiten sind gleich lang, somit ist das Dreieck gleichschenklig.
# » # »
# »
a) Den Mittelpunkt können wir mit dem Vektorzug OM = OA + 12 · AB bestimmen.
 
4
# »  
AB = 5
5
 
 
0
4
1
# »
OM = 0 + · 5
2
1
5
 
2

= 2, 5
3, 5
Der Mittelpunkt M beﬁndet sich bei M (2|2, 5|3, 5).
b)


6
# »
AB =  1 
−2
 
 
2
6
# »   1  
OM = 1 + · 1
2
1
2
 
5
= 1, 5
2
Der Mittelpunkt M beﬁndet sich bei M (5|1, 5|2).
206
13 Lösungen
13.10 Lösungen zu: Geraden und Vektoren
1. Wir führen eine Punktprobe durch:
   
 
3
1
2
0 = 1 + t · −1
2
0
2
 
 
2
2
−1 = t · −1
2
2
Für t = 1 ist dies ein wahre Aussage, somit liegt der Punkt auf der Gerade.
Die Gerade steht orthogonal auf der Ebene, wenn der Richtungsvektor der Geraden ein vielfaches des Normalenvektors der Ebene ist. Es gilt:
 
 
2
4
−1 = k · −2
2
4
Für k = 12 ist dies eine wahre Aussage, somit ist der Richtungsvektor ein vielfaches des
Normalenvektors der Ebene, und somit durchstößt die Gerade die Ebene senkrecht.
Da der Punkt A auf der Geraden liegt und die Gerade senkrecht auf der Ebene steht, müssen
wir nur den Durchstoßpunkt der Geraden mit der Ebene bestimmen. Hierzu setzen wir die
Geradengleichung in die Ebenengleichung ein.
4x1 − 2x2 + 4x3 = 11
4 · (1 + 2t) − 2 · (1 − t) + 4 · (2t) = 11
4 + 8t − 2 + 2t + 8t = 11
18t = 9
1
t=
2
Einsetzen von t in die Geradengleichung liefert den Punkt mit dem kleinsten Abstand zum
Punkt A
 
   
1
2
2
1
1 + · −1 =  1 
2
2
0
2
1
Der mit dem kleinsten Abstand zum Punkt A ist F 2 12 1 .
2. Die Gerade ist genau dann parallel zur Ebene, wenn der Normalenvektor der Ebene und der
Richtungsvektor der Geraden orthogonal auf einander stehen:
   
0
2
1 · −2 = 0 · 2 + 1 · (−2) + 2 · 1 = 0
2
1
somit ist die Gerade parallel zur Ebene, den Abstand der Geraden zur Ebene kann man mit
der Hesse’schen Normalenform bestimmen, indem wir den Abstand eines Punktes auf der
207
13 Lösungen
Geraden zur Ebene bestimmen:
ar1 + br2 + cr3 − d d = √
a2 + b2 + c2 2 · 1 − 2 · 2 + 1 − 5
=p
22 + (−2)2 + 12 2 2
= √ =
3
9
# » # »
# »
3. Den Spiegelpunkt erhält man mit dem Vektorzug: OP 0 = OP + 2P L
 
 
4
−3
# »
OP 0 = 5 + 2 · −3
2
−3
 
−2
= −1
−4
Der Spiegelpunkt lautet P 0 (−2| − 1| − 4).
4. Zunächst bestimmt man die Hilfgerade:


 
0
1
#»



g : x = −1 + t · 2 
6
−2
Jetzt muss der Durchstoßpunkt mit der Ebene bestimmt werden:
4 = t + 2 · (−1 + 2t) − 2 · (6 − 2t)
4 = t − 2 + 4t − 12 + 4t
4 = −14 + 9t
18 = 9t
t=2
Hiermit erhält man den DurchstoßpunktQ:
 
   
0
1
2
#»
x = −1 + 2 ·  2  = 3
6
−2
2
Es gilt Q(2|3|2), wir müssen also nur noch den Punkt P am Punkt Q spiegeln:
 
2
# »  
4
PQ =
−4
 
   
1
2
5
# »
OP 0 = 4 + 2 ·  4  =  12 
2
−4
−6
Der Spiegelpunkt lautet P 0 (5|12| − 6).
208
13 Lösungen
5. Zunächst bestimmen wir die Hilfsebene, in welcher der Punkt P liegt und die den Richtungsvektor der Geraden als Normalenvektor besitzt.

   
1
1
E :  #»
x − 4 · 2 = 0
2
1
Nun muss der Durchstoßpunkt der Geraden mit der Ebene bestimmt werden, diesen kann
man bestimmen, indem man die Gerade in die Ebene einsetzt
 
       
   
−3
1
1
1
−4
1
1
0 =  2  + t · 2 − 4 · 2 = −2 + t · 2 · 2
4
1
2
1
2
1
1
   
   
−4
1
1
1







0 = −2 · 2 + t · 2 · 2 = (−4) · 1 + (−2) · 2 + 2 · 1 + t · (1 · 1 + 2 · 2 + 1 · 1)
2
1
1
1
0 = −6 + 6t
t=1
Hiermit kann man den Durchstoßpunkt Q bestimmen:
 
   
−3
1
−2
#»
x =  2  + 1 · 2 =  4 
4
1
5
Somit lautet Q(−2|4|5). Um den Spiegelpunkt zu bestimmen, muss man jetzt nur noch den
Punkt P am Punkt Q spiegeln:
 
−3
# »
PQ =  0 
3
 
   
1
−3
−5
# »0





4
OP = 4 + 2 · 0
=
2
3
8
Der Spiegelpunkt P 0 lautet somit P 0 (−5|4|8).
6. Siehe Kapitel Abstand Punkt - Gerade.
7. Lies zunächst den Normalenvektor #»
n der Ebene ab und bestimme die Gerade durch den Punkt
S mit #»
n als Richtungsvektor. Der Schnittpunkt der Geraden mit der Ebene ist der Mittelpunkt
# »
M des Grundkreises, der Radius ist die Länge des Vektors M P .
# »
8. Der Vektor AB ist ein Normalenvektor der Ebene E, somit benötigen wir nur noch einen
Punkt der in der Ebene liegt, dann kann man die Normalengleichung der Ebene angeben. Da
die beiden Punkte symmetrische zur Ebene liegen, ist der Mittelpunkt von A und B ein Punkt
# » # »
# »
in der Ebene, diesen kann man mit dem Vektorzug OM = OA + 12 · AB bestimmen.
9. a) Zunächst benötigen wir einen Normalenvektor #»
n der Ebene, diesen können wir mit dem
Kreuzprodukt bestimmen:


−4
# »
AB =  2 
0


5
# » # »
#»
n = AB × AC = −10
10
209


−3
# »
AC =  −1 
2, 5
13 Lösungen
Diesen kann man noch kürzen (es ändert nichts an der Orientierung des Vektors, somit
ist dieser immer noch ein Normalenvektor der Ebene):
 
1
#»
n = −2
2
Die Normalengleichung der Ebene lautet deshalb:

   
2
1
#»





E: x− 3
· −2 = 0
0
2
     
1
2
1
#»
x · −2 − 3 · −2 = 0
2
0
2
x1 − 2x2 + 2x3 + 2 − 6 = 0
x1 − 2x2 + 2x3 = 4
 
1
#»

b) Der Richtungsvektor der x1 -Achse lautet r = 0. Für den Schnittwinkel gilt nun:
0
| #»
r · #»
n|
sin(α) = #» #»
| r | · |n|
=
1
1
p
=
3
1 · 12 + (−2)2 + 22
α ≈ 19.5°
c)
p
√
# »
|AB| = (−4)2 + 22 + 02 = 10
p
p
# »
|AC| = (−3)2 + (−1)2 + 2, 52 = 16, 25
p
p
# »
|BC| = 12 + (−3)2 + 2, 52 = 16, 25
Damit ist das Dreieck gleichseitig.
d) Punkte auf der x1 -Achse haben die Form X(t|0|0).


6−t
# »
XA =  1 
0


2−t
# »
XB =  3 
0
 
−4
# »  
2
AB =
0
210
13 Lösungen
# » # »
Die Punkte für die das Dreieck rechtwinklig ist erhält man aus der Bedingung: XA· XB =
# » # »
# » # »
0; XA · AB = 0 und XB · AB = 0
# » # »
XA · XB = 0
(6 − t) · (2 − t) + 3 = 0
12 − 2t − 6t + t2 = 0
t2 − 8t + 12 = 0
t1 = 2
t2 = 6
# » # »
XA · AB = 0
(6 − t) · (−4) + 2 = 0
−24 + 4t + 2 = 0
t3 = 5, 5
# »
vvXB · AB = 0
(2 − t) · (−4) + 6 = 0
−8 + 4t + 6
t4 = 0, 5
Die Punkte auf der x1 -Achse, damit das Dreieck Rechtwinklig ist lauten S1 (2|0|0); S2 (6|0|0);
S3 (5, 5|0|0) und S4 (0, 5|0|0).
10.
a) Das U-boot U1 fährt in 1 Minute 1 mal den Richtungsvektor, d.h. der Zurückgelegte Weg
in einer Minute ist der Betrag des Richtungsvektors:


−60 √
p
−90 = (−60)2 + (−90)2 + (−30)2 = 12600 ≈ 112, 25
−30 Das U-boot legt in einer Minute eine Strecke von 112,25m zurück
b) Die x3 -Koordinate des richtungsvektors ist negativ, d.h. dieser zeigt im Koordinatensystem nach unten“.
”
 
0
c) Der Normalenvektor der Meeresoberﬂäche ist 0, somit gilt für den Schnittwinkel:
1
| #»
r · #»
n|
sin(α) = #» #»
| r | · |n|
−30
= p
≈
2
2
2
1 · (−60) + (−90) + (−30) α = 15, 5°
d) Bestimme zunächst den Verbindungsvektor der beiden Punkte und diesen Betrag:


−270
# » 
AB = −540
−180
p
√
# »
|AB| = (−270)2 + (−540)2 + (−180)2 = 396900 = 630
211
13 Lösungen
Die Geschwindigkeit ist somit
v=
11.
s
630
m
=
= 210
t
3
min
a)
𝑥3
1
1
O
𝑥2
1
b) Bestimme einen Normalenvektor der Dachﬂäche:


0
# »
EF =  6 
−3
 
−4
# »
EG =  6 
1


24
#
»
#
»
#»
n = EF × EG =  12 
−24
Somit lautet die Normalengleichung und damit die Koordinatengleichung:

   
4
2
 #»




x− 0
· 1 = 0
4
2
2x1 + x2 + 2x3 = 16
212
13 Lösungen
c) Für den Neigungswinkel der Dachﬂäche gilt:
   
2
0 1 · 0 2
1 2
cos(α) = √ √
=
3
9
·
1
α = 48, 2°
# » # »
d) Die Dachﬂäche
  ist ein Parallelogramm, wenn gilt EF = HG. Es gilt:
0
# »
# »
EF =  6  = HG somit ist das Viereck ein Parallelogramm. Für die Fläche des
−3
Parallelogramms gilt:
# » # » p
A = EF × EG = 242 + 122 + (−24)2 = 36
e) Die Lampe hat vom Boden den Abstand d. Der Abstand von dem Punkt zum Dach muss
damit auch d sein, hierzu setzen wir dem Punkt in die Hesse’sche Normalenform ein:
2d + d + 2d − 16 5d − 16 d=
= 3 3
Dies liefert uns die beiden Gleichungen:
5d − 16
3
3d = 5d − 16
d=
−2d = −16
d=8
5d − 16
−d =
3
−3d = 5d − 16
−8d = −16
d=2
Da der Punkt (8|8|8) außerhalb der Ebene liegt, ist der Punkt, in welchem sich die Lampe
beﬁndet (2|2|2).
213
13 Lösungen
13.11 Lösungen zu: Stochastik
1.
a) Mit dieser Rechnung wird der Erwartungswert des Gewinns berechnet, das Ergebnis
bedeutet, dass er im Schnitt 0,5€ verlieren wird.
b) Ein mögliches Glücksrad besteht aus drei Sektoren, mit den Mittelpunktswinkeln 12 ·
360° = 180°; 13 · 360° = 120° und 16 · 360° = 60°. Bei dem größten Sektor muss man 3€
bezahlen, bei dem Sektor zu 120° erhält man 1€ und bei dem kleine Sektor erhält man
4€.
2.
P (keine gelb) =
8
10
3
=
512
= 0, 512
1000
P (zwei gleiche) = P (rr) + P (gg) + P (ww) =
=
5 4
2 1
3 2
· +
· +
·
10 9 10 9 10 9
14
45
3.
P (mindestens eine rote Kugel) = 1 − P (bb) = 1 −
4
5
· 46 =
6
9
Es beﬁnden sich 4 blaue und n rote Kugeln in der Urne
P (mindestens eine rote Kugel) = 1 − P (bb) =
4
4
16
·
=1−
= 0, 84
n+4 n+4
(n + 4)2
16
(n + 4)2
2
(n + 4) = 100
0, 16 =
n=6
Die zweite Lösung n = −14 macht an dieser Stelle keinen Sinn. Es hätten 6 rote Kugeln in
der Urne sein müssen.
4. u: ungerade g: gerade Nummer
P (uug) =
3 23
3
·
=
6 54
20
P (höchstens drei Züge) = 1 − P (uuu) = 1 −
3 2
19
· · 14 =
6 5
20
5. Das Spiel ist fair, wenn der Erwartungswert für den Gewinn 0€ beträgt.
E(Auszahlung) = 6 · 0, 2 · 0, 6 · 0, 5 · 1€ + 0, 22 · 100€ = 0, 18€ + 0, 8€ = 0, 98€
E(Gewinn) = E(Auszahlung) − 1€ = −0, 02€ 6= 0
Da der Erwartungswert des Gewinns ist nicht 0, somit ist das Spiel auch nicht fair.
6.
P (2 treffer) = 0, 8 · 0, 8 = 0, 64
A: Der Basketballspieler wirft 10 mal und triﬀt dabei nie.
B: Der Basketballspieler wirft 50 mal und erzielt dabei genau 40 Treﬀer.
214
13 Lösungen
7.
P (ssw) =
3 2 3
· · = 0, 15
6 5 4
P (höchstens drei Züge) = 1 − P (sss) = 1 −
215
3 2
19
· · 14 =
6 5
20

Zugehörige Unterlagen

P3.

Übungsaufgaben zur Sinusfunktion mit der Gleichung:

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