inhalt - Buch - Das Mathelesebuch
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Inhalt INHALT Handhabung des Buches 13 Teil A: ARITHMETIK 15 1 2 3 4 5 6 7 Was wir in Teil A lernen Zählen Plus Mal Hoch Zahlenreihen Wahrscheinlichkeit 16 17 26 36 49 62 69 Teil B: ALGEBRA 89 1 2 3 4 5 Was wir in Teil B lernen Platzhalter Gleichung System Anwendung 90 91 102 120 126 Teil C: GEOMETRIE 137 1 2 3 4 5 6 Was wir in Teil C lernen Punkt Linie Fläche Raum Vektoren 138 140 144 153 172 183 Teil D: ANALYSIS 197 1 2 3 4 Was wir in Teil D lernen Funktion Differentialrechnung Integralrechnung 198 199 214 221 5 Inhalt 6 Inhalt Ausführliches Inhaltsverzeichnis Handhabung des Buches 13 Teil A: ARITHMETIK 15 1 Was wir in Teil A lernen 16 2 Zählen 17 Eins; Bedeutung der Zahlen; Assoziation mit der Zahl Eins; Zwei; Assoziation mit der Zahl Zwei; Drei; Vier; Fünf; Sechs; Sieben; Acht; Neun; Null und Zehn; Merkfähigkeit; Eins bis Zwanzig (natürliche Zahlen) 3 Plus 26 Ähnliches zusammenfassen; Auswendig lernen: Einspluseins-Tafel; Gerade und ungerade; Fingerrechnen bei der Addition; Kleiner Fünf; Größer Fünf; Kleiner und größer Fünf; Zahlenverständnis; Zusammenfassung der Addition; Subtraktion; Zahlenstrahl; Rechnen am Zahlenstrahl; Vertauschungsgesetz; Ordnen; Ganze Zahlen; Ein Rechenverfahren der Addition; Siebzehn und vier; Zahlenraum bis zu einer Million; Rechenverfahren der Subtraktion; Entbündeln; Ergänzen; Mehrere Lösungswege 4 Mal 36 Ordnen und vertauschen; Zerlegen; Fingerrechnen bei der Multiplikation; Kleiner Fünf; Kleiner und größer Fünf; Größer Fünf; Punkt vor Strich; Kopfrechnen; Kombinieren; Halbschriftliche Multiplikation; Schriftliche Multiplikation; Übungsaufgabe; Division; Brüche; Umkehrung der Multiplikation; Halbschriftliche Division; Schriftliche Division; Übungsaufgabe; Mehrstellige Zahlen dividieren; Runden; Übungsaufgabe; Bruchrechnen; Hauptnenner bei Addition und Subtraktion; Brüche malnehmen; Rationale Zahlen; Prozentrechnen; Kürzen mit Primfaktoren; Größter gemeinsamer Teiler 5 Hoch 48 Zehnerpotenzen; Wissenschaftliche Schreibweise; Potenzen verknüpfen; Erstes Potenzgesetz; Zweites Potenzgesetz; Drittes Potenzgesetz; Weitere Vereinfachungen; Potenz vor Punkt vor Strich; Klammer vor Potenz vor Punkt vor Strich; Vorzeichen beachten; Vorzeichen getrennt berechnen; Brüche als Hochzahlen; Wurzelziehen; Quadratzahlen; Schematisches Rechnen; Besonderheiten; Intervallschachtelung; Reelle Zahlen; Höhere Wurzeln; Übungsaufgabe mit verschiedenen Lösungswegen; Kontrolle; Operieren: zerlegen und zusammensetzen; Logarithmus; Rückführung auf einfachere Rechenoperationen; Logarithmentafeln und Taschenrechner; Einfache Übungsaufgabe; Komplexe Übungsaufgabe; Kopfrechnen 7 Inhalt 6 Zahlenreihen 62 Wörtlich ausformulierte Formeln; Symbolfolgen; Regelmäßige Strukturen im Alltag; Muster erkennen; Primzahlfolge; Sieb des Erathostenes; Verschlüsselung von Daten; RSA-Verschlüsselung; ASCII-Code; Weitere Verschlüsselungsverfahren; Einteilung der Folgen nach Abständen; Monotonie; Grenzwert als Näherungswert; Konvergenz; Divergenz; Ausblick 7 Wahrscheinlichkeit 69 Absolute Häufigkeit; Relative Häufigkeit; Darstellung mit einer Tabelle; Beschreibende Statistik; Darstellung mit Diagrammen; Zusammenhang von Statistik und Wahrscheinlichkeit; Wahrscheinlichkeit und relative Häufigkeit; Gesetz der großen Zahl; Prognosen; Günstige durch Mögliche; Erster Wurf; Zweiter Wurf; Baumdiagramm; Vertauschungen beachten; Darstellung mithilfe von Urnen und Kugeln; Berechnung mit Brüchen; Ohne Zurücklegen; Vergleich zum Ziehen mit Zurücklegen; Bestimmung der Anzahl an Möglichkeiten; Anzahl der Vertauschungen bei fester Reihenfolge; Anzahl der Vertauschungen ohne feste Reihenfolge; Pascalsches Dreieck; Besondere Eigenschaften; Pascal-Sierpinski-Dreieck; Kleiner Fermatscher Satz; Binomische Formeln; Binomialkoeffizienten; Weitere Beispiele; Kombinatorik; (Nicht-)Treffer; Bernoulli-Experimente; Übungsaufgabe; Zufallsvariable; Erwartungswert; Glücksspiele; Zusammenhang zwischen zwei Größen (Beispiel A); Vierfeldertafel; Spezieller Multiplikationssatz; Inverses Baumdiagramm; Zusammenhang zwischen zwei Größen (Beispiel B); Verknüpfungen mit UND/ODER; Bedingte Wahrscheinlichkeit; Vergleich der Beispiele A und B; Ratekunst Teil B: ALGEBRA 89 1 Was wir in Teil B lernen 90 2 Platzhalter 91 Terme; Ausmultiplizieren und Ausklammern; Grundlegende Gesetze der Algebra; Multiplikation von Klammerausdrücken; Binomische Formeln; Kopfrechnen; Binome höherer Art; Abstrakte Formeln mit Variablen; Potenzen und Logarithmen; Zahlenreihen; Explizite und rekursive Darstellung; Umwandlung arithmetischer und geometrischer Folgen; Darstellung von komplexen alternierenden Folgen; Darstellung von einfachen alternierenden Folgen; Muster bei Symbolfolgen; Monotonie; Grenzwerte; Beschränktheit; Wahrscheinlichkeitsformeln; Pfadregeln und Gegenereignis; Bedingte Wahrscheinlichkeit; Formeln der Kombinatorik; Bernoulli-Formel und Summenformel; Eine schöpferische Pause; Eine kleine Formelsammlung (Teil 1) 8 Inhalt 3 Gleichung 102 Drei Mal dasselbe; Veranschaulichung mit der Balkenwaage; Immer beide Seiten beachten; Gleichwertige Umformungen; Definitionsmenge; Beispiel; Zielführung; Eine Unbekannte; Wurzelgleichung; Verschiedene Gleichungsformen; Quadratische Gleichung; Quadratische Ergänzung; Mitternachtsformel (quadratische Lösungsformel); Exaktes Rechnen; Vergleich der Verfahren; Bruchgleichung; Nenner beseitigen; Eine neue Herausforderung; Lösungsformen; Intervallschreibweise; Satz von Vieta; Prozentrechnen; Dreisatz; Übungsaufgaben; Proportionen; Größenvergleich; Gewicht Geld; Währungsumrechnung; Verschiedene Zahlungsmittel; Geldstücke und Scheine; Optimal bezahlen; Zeit; Ein (Schalt-)Jahr; Umwandlung ins Zehnersystem; Schreibweisen; Uhrzeit; Verschiedene Sprechweisen; Räderuhr; Proportionale Zuordnungen; Umgekehrt proportionale Zuordnungen; Weitere Beispiele; Mehrere Größen; Eine Kombination aus Beidem; Antwortsatz; Eine kleine Formelsammlung (Teil 2) 4 System 120 Annahmen; Mehrere Variablen, mehrere Bedingungen; Einsetzungsverfahren; Gleichsetzungsverfahren; Additionsverfahren; Ein System; Lösbarkeit von Gleichungssystemen; Erste Stufe; Zweite Stufe; Von der Treppe zur Lösung; Allgemeingültige Gleichungssysteme; Allgemeine, eindeutige und unlösbare Gleichungssysteme; Unlösbare Gleichungssysteme; Systematische Vorgehensweise; Eigenständig und kreativ 5 Anwendung 126 Vektor und Matrix; Rechengesetze; Multiplikation von Matrizen; Falk-Schema; Kein Vertauschen möglich; Quadratische Matrizen; Inverse Matrizen; Transponierte Matrizen; Grundlegende Rechengesetze; Matrixgleichung; Wirtschaftliche Anwendungen; Leontief-Modell; Materialverflechtungen; Kosten und Preise; Lineare Optimierung; Eckpunktberechnungsmethode; Übungsaufgabe; Simplexverfahren Teil C: GEOMETRIE 137 1 Was wir in Teil C lernen Eine kleine Formelsammlung (Teil 3) 138 2 Punkt 140 Ortsbestimmung am Zahlenstrahl; Zweidimensionales Koordinatensystem; Dreidimensionales Koordinatensystem; Begrifflichkeiten; Schrägperspektive; Exakte Ortsangaben; Spiegelungen; Theoretische Überprüfung; Verschiebung 9 Inhalt 3 Linie 144 Vektor; Gerade; Hauptform: Achsenabschnitt und Steigung; Eine Gerade geht durch zwei Punkte; Punktsteigungsform; Darstellung der Steigung; Gegenseitige Lage; (Schnitt-)Winkel; Verschiedene Schreibweisen; Verschiedene Winkel; Ableitbare Winkel; Bildhafte Darstellung; Parallelität; Grundlegende Konstruktionsmethoden; Kreislinie und Zahl Pi; Parallele Geraden; Senkrechte Geraden; Eine Strecke vervielfachen und teilen; Einen Winkel halbieren; Winkeldrittelung; Einen Winkel vervielfachen; Ein Geodreieck vereinfacht viele Konstruktionen 4 Fläche 153 Begrenzte Flächen; Mathematik und Philosophie; Kreisberechnungen; Übungsaufgabe; Erster Lösungsansatz; Zweiter Lösungsansatz; Rechteck; Quadrat; Raute, Parallelogramm und Drachen; Trapez und allgemeine Vierecke; Weitere Formeln für Umfang und Inhalt; Vom Allgemeinen zum Speziellen; Einteilung von Dreiecken; Konstruktion von Dreiecken; Kongruenzsatz sss; Planfigur; Eine unmögliche Konstruktion; Kongruenzsatz sws; Kongruenzsatz wsw und Winkelsumme; Kongruenzsatz Ssw; Satz des Thales; Besondere Punkte im Dreieck; Umfang und Fläche; Satz des Pythagoras; Allgemeine Formulierung; Berechnung am gleichseitigen Dreieck; Pythagoräisches Zahlentripel; Allgemeine Formel; Pythagoras mit Dreiecken statt Quadraten; Konstruktion der Länge Wurzel Zwei; Trigonometrie; Spezielle Werte; Sinuskurve; Einheitskreis und Kosinuskurve; Ablesen spezieller Werte; Geometrische Berechnungen; Sinussatz; Kosinussatz; Übungsaufgabe; Berechnung im rechtwinkligen Dreieck; Zerlegung in Teilflächen; Maßstab; Ähnlichkeit; Strahlensatz; Flächenvergrößerung; Praktische Beispiele 5 Raum 172 Körper; Spezialfall Würfel; Quader; Prisma; Zylinder; Spitze Körper: Pyramide und Kegel; Regelmäßige Stümpfe; Kugel; Ein Vergleich: Kegel, Halbkugel und Zylinder; Volumen als Hohlmaß; Platonische Körper; Tetraeder; Hexaeder; Oktaeder; Dodekaeder und Ikosaeder; Ähnliche Körper; Mittelpunktswinkel; Räumliche Darstellung; Dreitafelprojektion; Weitere Perspektiven; Eine kleine Formelsammlung (Teil 4) 6 Vektoren 183 Punkt und Vektor; Länge eines Vektors; Gerade und Vektor; Mehrere Darstellungsarten; Punktprobe; Lineare (Un-)Abhängigkeit; Nachweis mit einem linearem Gleichungssystem (LGS); Lagebeziehungen von Geraden; Beispielaufgabe; Parallelverschiebung; Schnittwinkel zweier Geraden; Graphische Darstellung; Ebenen; Skalarprodukt; Normalenvektor; Kreuzprodukt; Von der Normalenform zur Koordinatenform; Spurpunkte; Parallelität mit den Koordinatenachsen und Ebenen; Lagebeziehungen von zwei Ebenen; Weitere Lagebeziehungen; Schnittwinkel mit Ebenen; Abstände; Abstand zwischen Punkt und Gerade; Abstand zwischen Punkt und Ebene; 10 Inhalt Übungsaufgabe; Abstand zwischen zwei windschiefen Geraden; Mathematisch exakte Beschreibung eines Hauses; Vektorbasierte Programme; Eine kleine Formelsammlung (Teil 5) Teil D: ANALYSIS 197 1 Was wir in Teil D lernen 198 2 Funktion 199 Eine eindeutige Zuordnung; Eine Relation; Umkehrfunktion; Quadratische Funktion; Darstellung im zweidimensionalen Koordinatensystem; Verschiebung, Streckung und Spiegelung; Von der Hauptform zur Scheitelform; Weitere Funktionsarten; Ganzrationale Funktion; Symmetrieeigenschaften; Verhalten für plus oder minus unendlich; Schnittpunkte mit den Achsen; Nullstellen; Polynomdivision; Horner-Schema; Substitution; Gebrochene Funktion; Beispielaufgabe; Skizze des Schaubildes; Weitere Asymptoten; Exponentialfunktion; Verschieben, strecken und spiegeln; Konfuzius; Zahl e (Eulersche Zahl); e-Funktion; Exponentielles Wachstum; Exponentielles Wachstum mit e; Beschränktes und logistisches Wachstum; Trigonometrische Funktion; Sinuskurve; Kosinus- und Tangenskurve; Nullstelle, Hochpunkt, Tiefpunkt und Wendepunkt; Funktionen gestalten; Kombinationsmöglichkeiten; Eine kleine Formelsammlung (Teil 6) 3 Differentialrechnung 214 Durchschnitts- und Momentangeschwindigkeit; Konstante Beschleunigung; Sekantensteigung; Tangentensteigung; Ableitung; Betragsfunktion; Differenzierbarkeit und Stetigkeit; Ableitungsregeln; Produktregel; Kettenregel; Quotientenregel; Ableiten mit dem natürlichen Logarithmus; Anwendungen; Extrempunkte; Wendepunkt und Sattelpunkt; Notwendige und hinreichende Bedingung; Differenzialgleichungen beim Wachstum; Charakterisierung 4 Integralrechnung 221 Integral als Fläche unter dem Schaubild; Stammfunktionen bilden; Kettenregel; Flächen zwischen zwei Kurven; Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung; Übungsaufgabe; Keplersche Fassregel; Uneigentliches Integral; Rotationskörper; Mittelwert; Besondere Rotationskörper; Eine kleine Formelsammlung (Teil 7) 11
