Lösung Übungsaufgabe 1.1

FiMa für BA
Prof.Dr.N.Wolik
Lösung Übungsaufgabe 1.1
1 1 1 1
1
:
1, , , , , ... ; beschränkt: 1 = sup = max;
a)
 
2 3 4 5
 n  n∈N
0 = inf;
1
= 0.
n →∞ n
1 2 3 4
 n − 1
b)
: 0, , , , , ... ; beschränkt: 1 = sup;
0 = inf = min;


2 3 4 5
 n  n∈N
n −1
= 1.
streng monoton steigend lim
n→∞ n
c)
( −1)n n n∈N : -1, 2, -3, 4, -5,... ; alternierende Folge; nicht monoton, nicht
beschränkt, nicht konvergent.
streng monoton fallend,
(
lim
)
 (n − 1)2 
1 4 9 16


d)
: 0, , ,
,
, ...;beschränkt: inf = 0 = min;
sup = 1;
 n2 
4 9 16 25

 n∈N
(n − 1) 2
n 2 − 2n + 1
2 1
streng monoton steigend; lim
=
lim
= lim (1 − + 2 ) = 1 .
2
2
n →∞
n →∞
n →∞
n
n
n n
Lösung Übungsaufgabe 1.2
Ja : Für hinreichend große n ( n ≥ N 0 (ε ) ) ist jedes Folgeglied innerhalb des ε Schlauches, d.h. „der hintere Teil“ ist beschränkt.
{a1 ,..., a N 0 −1} ist eine endliche Menge reeller Zahlen und damit ist auch der Anfangsteil
beschränkt.
Lösung Übungsaufgabe 1.3
a)
(an ) n∈N = (2n) :
b)
(bn ) n∈N = (2n − 1) :
c)
(cn ) n∈N = (4(n + 1))
:
d)
(d n ) n∈N = ((−1)n )
:
e)
(ek ) k ∈N = (k 2 − 1)
:
arithmetisch d=2
arithmetisch d=2
arithmetisch d=4
alternierend,
nicht geometrisch, nicht arithmetisch
nicht arithmetisch
ek +1 (k + 1) 2 k 2 + 2k + 1
= 2
=
nicht konstant
ek
k −1
k2 −1
⇒ nicht geometrisch!
geometrisch?
Lösung Übungsaufgabe 1.4
geometrisch ⇒ an = a1q n −1; n = 11, a1 = 5, q = 2 ⇒ a12 = 5120
Lösung Übungsaufgabe 1.5
arithmetisch ⇒ an = a1 + (n − 1)d ; n = 50, a1 = 1, d = 2 ⇒ a50 = 99
FiMa für BA
Prof.Dr.N.Wolik
Lösung Übungsaufgabe 1.6
a1 = 1000,
a10 = 100,
d =?
a10 = a1 + 9d ⇒
d=
a10 − a1
= 100
9
Lösung Übungsaufgabe 1.7
a1 = 10,
a5 = 100000,
geometrisch :
a5 = a1q 4
q=
⇒
(K n = Kn qn ⇒ q = n
4
a5
a1
Kn
)
K0
Lösung Übungsaufgabe 1.8
a)
arithmetische Reihe, da (4n) arithmetisch.
S2 = 4 + 8 = 12
a1 + a11
4 + 44
= 11
= 264
2
2
2
geometrische Reihe, q= .
3
2
( )11 − 1
n
q −1 2 3
S11 = a1
=
= 1,98
q −1 3 2
−1
3
S11 = n
b)
2
S2 =
∑
1
S2 =
2 4 10
+ =
3 9 9
( S∞ =
2
3
1
2
1−
3
11
2 4
= ;
3 3
S11 =
= 2)
∑ 3 = 11⋅ 3 =
2
1
2
22
3
Lösung Übungsaufgabe 1.9
Gegeben: arithmetische Reihe, Sn = 400,
a1 = 1, d = 2;
Gesucht : qn ,n.
a + an
Sn = n ⋅ 1
an = a1 + (n − 1) ⋅ d
;
2
= 1 + 2n − 2 = 2n − 1;
1 + 2n − 1
n = 20,
a20 = 39.
⇒
= n2
⇒
400 = n ⋅
2
Lösung Übungsaufgabe 1.10
Gegeben: geometrische Reihe, Sn ,
Sn = a1
Gesucht: Formel für n:
a1,
q −1
S
⇒ q n = (q − 1) n + 1
q −1
a1
Sn
+ 1]
a1
.
log q
log[(q − 1)
⇒n=
q.
n