Mathematik und ihre Didaktik WS 02/03 W. Neidhardt Mathematik
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Mathematik und ihre Didaktik W. Neidhardt WS 02/03 Mathematik und Didaktik I (HS) • Mind-Mapping-Diagramm: Elementare Zahlentheorie • Grundlegende Beweisprinzipien: Prinzip vom kleinsten Element. Natürliche Zahlen, ganze Zahlen, Mengenschreibweise bei Zahlenmengen. Aufgabe: Natürliche Zahlen auf einer Zahlengeraden, die jeweils das arithmetische Mittel der Nachbarzahlen darstellen. Beweis, dass nur die Lösung ”alle Zahlen sind gleich” in Frage kommt. Prinzip vom √ kleinsten Element exakt aufgeschrieben. Beweis: 2 ist irrational (Widerspruch - Prinzip vom kleinsten Element) • Axiome von PEANO (Ziegenbalg, Elementare Zahlentheorie) • Rechenoperationen und ihre Beziehungen (Vollrath, Algebra in der Sekundarstufe): Die 1 als additiver Grundbaustein der nat. Zahlen. Addition, Subtraktion, Multiplikation, Division, Potenzieren, Wurzelziehen und Logarithmieren. Die besondere Rolle der 0 und der 1 (Lit.: Die unglaubliche Karriere der 0, Als die 0 ins Zahlenreich kam). Der Divisionsalgorithmus. • Altägyptische Multiplikation: - Beispiel - Der Algorithmus in Worten - Begründung des Verfahrens - Der Algorithmus als Flussdiagramm • Übung: Aufbau des Programms eins n.html - wie ändert man hieran etwas. • Stellenwertsysteme: - Ein Blick zurück: Entstehung von Zahlsystemen - Römische Zahlen (auch Regeln für die Zahldarstellung) - b-adische Stellenwertsysteme (Beispiel: Umrechnung der Zahl 25 in Systeme mit Basis 2,3, . . . , 26) • Übung: Programm ungerade.html erarbeitet - Programm altaegy.html vorbereitet • Satz von der eindeutigen Darstellung einer Zahl in b-adischen Stellenwertsystemen für b > 1 Folgerungen: - Algorithmen dez. → b-adisch und umgekehrt - Zahlenratespiel - Altägyptisch im Dualsystem - Computersubtraktion mit Begründung, auch im Dualsystem • Die schriftlichen Rechenverfahren genauer durchleuchtet: Addition, Subtraktion (Borgetechnik und Minussprechweise; Ergänzungstechnik), Multiplikation und Division (Kenntnis des jeweiligen Einmaleins) in verschiedenen nicht-dezimalen Stellenwertsystemen. • Teilbarkeitsrelation: Definition der Teilbarkeit, Transitivität. • LdL: Zahlenteufel Kap. 1. Add. Erzeugung der nat. Zahlen aus der 1. Denken in Mustern: 1x1 - 11x11 - 111x111 - 1111x1111 - ... 1 1 ,... Immer kleinere Teilungen: 11 , 1+1 , 1+1+1+1 1 1 1 Hüpfender Floh: 2 + 4 + 8 + . . .. Geometrische Reihe. • Summen- und Produktregel für die Teilbarkeitsrelation. Teilermengen (Wurzelkriterium als Abbruch bei der Teilersuche). Primzahlen. • Teilermengen und Hassediagramme • Anforderungsanalyse mathematischer Aufgaben an Hand von PISA-Aufgaben (Neubrand-Workshop) • LdL: Zahlenteufel Kap. 2: Zahldarstellungen: Römische Zahlen, Stellenwertsystem. ”Hopsen” = Potenzieren LdL: Zahlenteufel Kap. 4: Bäckeraufgabe als abschreckende Textaufgabe (Schlussrechnung). Unendliche Dezimalbrüche. Auch: √ 0, 9 = 1. Rettiche ziehen- Wurzelziehen. Geometrische Motivation für 2 • Primzahlen - Bausteine der nat. Zahlen: Zerlegungsbäume, Gegenbeispiel zum HS der elem. ZT, jede Zahl besitzt mindestens eine PFZ. • Beweis: der kleinste von 1 verschiedene Teiler jeder nat. Zahl a > 1 ist stets eine Primzahl. • Zahlenteufel Kap. 5: Dreieckszahlen, figurierte Zahlen Beweisprinzip der vollständigen Induktion: Abgrenzung von der empirischen Induktion. Beweis: 1 + 2 + 3 + . . . + n = n·(n+1) 2 • LdL: Zahlenteufel Kap. 6: Fibonaccizahlen • Systematisierung der Hassediagramme von Teilermengen - Anzahl der Teiler einer Zahl mit Hilfe der Primfaktorzerlegung • LdL: Zahlenteufel Kap. 7: Pascal-Dreieck • Hasse-Diagramm von T (210) - 4-D-Würfel. • Teilbarkeitskriterium - Primzahlkriterium (ohne Beweis) • Gemeinsame Teiler - ggT • LdL: Zahlenteufel Kap. 8: Elementare Kombinatorik. Stühleproblem (Permutationen); Kehrproblem (k-elementige Teilmengen). • Euklidischer (Subtraktions-)Algorithmus. • LdL: Zahlenteufel Kap. 9: Folgen und Reihen. Mächtigkeit von IN, ungeraden Zahlen, Fibonaccizahlen, Primzahlen, Fakultäten, . . . Geometrische Reihe mit q = 12 und harmonische Reihe (Grenzwert: ∞) • Euklidischer (Division-)Algorithmus. Satz: T (a) ∩ T (b) = T (b) ∩ T (r). Algorithmus an Beispielen.
