Knobelaufgaben - KIT - Fakultät für Mathematik

Universität Karlsruhe (TH)
Mathematisches Institut II
Dr. Klaus Spitzmüller
Dipl.-Math. Andreas Weber
Lineare Algebra und Analytische Geometrie I
Fachrichtung Informatik
Knobelaufgaben (Keine Abgabe.)
Wintersemester 05/06
Aufgabe 1. Verschlüsselung mit dem RSA-Algorithmus.
Sie haben soeben eine wichtige Antwort von einem gewissen D.T. abgehört:
46
25
8
5
15
6
23
51.
Dabei haben Sie aber zum Glück gerade noch mitbekommen, dass diese Antwort mit dem RSAAlggorithmus und dem öffentlichen Schlüssel (n, e) = (55, 9) verschlüsselt wurde. Nehmen Sie einfach
mal an, dass der Versender die Buchstaben A, B, . . . , Z mit den Zahlen 1, 2, . . . , 26 sowie den Zahlen
27, 28, . . . , 52 kodiert hat. Was mit den Zahlen 53, 54 und 55 passiert wissen wir leider nicht.
Bestimmen Sie zunächst den privaten Schlüssel (n, d) und versuchen Sie dann die Antwort zu entschlüsseln. Auf welche Frage könnte dies die Antwort sein und wer ist D.T.?
Aufgabe 2. ISBN-Nummer.
Die meisten Bücher sind heutzutage mit einer zehnstelligen Zahl, der ISBN-Nummer, gekennzeichnet,
z1 − z2 z3 z4 − z5 z6 z7 z8 z9 − z10 .
Die erste Ziffer kennzeichnet das Land, die nächsten drei Ziffern den Verlag, die darauffolgenden fünf
Ziffern das Buch, und die letzte Ziffer z10 ist eine Prüfziffer, für die auch die römische Zahl X (für 10)
stehen kann. Sie dient den Buchhändlern bei Bestellungen von Büchern zur Kontrolle dafür, dass die
ersten 9 Ziffern korrekt eingegeben sind. Berechnet wird die Prüfziffer durch
z10 ≡ (1z1 + 2z2 + 3z3 + . . . + 9z9 )
mod 11.
(a) Rechnen Sie nach, dass die Prüfziffer der ISBN-Nummer eines Ihrer Bücher richtig ist.
(b) Bei der Eingabe der ISBN-Nummern werden häufig folgende Fehler gemacht:
(i) Genau eine der ersten neun Ziffern wird falsch eingegeben, oder
(ii) zwei der ersten neun Ziffern werden vertauscht.
Zeigen Sie, dass der Buchhändler solche Fehler an Hand der Prüfziffer entdeckt.
(c) Sie wollen ein Buch bestellen mit der ISBN-Nummer 3 − 540 − 66?88 − 8. Eine Ziffer (?) können
Sie nicht erkennen. Berechnen Sie diese Ziffer.
Aufgabe 3. Schiebchenspiel.
Im bekannten Schiebchenspiel (1) verschiebe man Plättchen mit den Zahlen 1 bis 15 auf der Unterlage
so, dass zum Schluss wieder das freie Feld rechts unten ist. Die Zahlen 1 bis 15 erscheinen dann i. A. in
einer anderen Reihenfolge.
1
2
3
4
5
6
7
8
(1)
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10 11
12
(2)
9
10 11
13 14 15
12
13 15 14
Die erste Person, die eine zulässige (!) Transformation von (1) nach (2) angeben kann, gewinnt einen
Mittelklassewagen (Farbe nach Wunsch). Der Rechtsweg ist ausgeschlossen!
Bitte wenden.
Aufgabe 4. Ringe I.
Sei (R, +, ·) ein Ring mit Einselement. Seien weiter a, b ∈ R mit der Eigenschaft, dass 1 − ab eine
multiplikative Inverse besitzt (hierfür schreibt man oft 1 − ab ∈ R× und nennt R× die Einheitengruppe).
Zeigen Sie, dass auch 1 − ba ∈ R× gilt.
Hinweis: Schauen Sie sich zunächst den Fall R = R an und schreiben Sie (1 − ba)−1 als geometrische
Reihe (falls |ab| < 1). Versuchen Sie, sich auf diesem Wege eine Kandidatin für eine Inverse zu 1−ba ∈ R
zu basteln.
Aufgabe 5. Ringe II.
Weil es soviel Spass gemacht hat: Sei (R, +, ·) ein Ring mit der Eigenschaft, dass x3 = x für alle x ∈ R
gilt. Zeigen Sie, dass R kommutativ ist.
KEINE ABGABE.