Probe-Klausur MST Mathematik II SS07

Probe-Klausur Mathematik II
Prof. Dr. B. Grabowski
Dauer:120 Minuten
Probe-Klausur MST Mathematik II
SS07
Dauer : 120 Minuten
Prof. Dr. B. Grabowski
(Erlaubte Hilfsmittel: Nichtprogrammierbarer Taschenrechner, 2 DIN A 4-Blätter)
Name:
Matr.-Nr.:
Punktzahl:
Hinweise:
• Begründen Sie alle Aussagen bzw. machen Sie Lösungswege deutlich!
• Wählen Sie die angegebene Zahl von Aufgaben aus jedem Kapitel aus!
• Lösen Sie mehr Aufgaben, so werden nur die 7 Aufgaben bewertet, für die Sie in der Summe
die höchste Punktzahl erzielen!
Viel Erfolg
Prof. Dr. B. Grabowski
1
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Dauer:120 Minuten
I. Komplexe Zahlen
1) (3 Punkte)
a) Seien z1 = 5 − j , z 2 = 3e jπ / 2 .
z1
Berechnen Sie
und z1 + z 2* und stellen Sie die Ergebnisse in NF u n d EF dar!
*
z2
b) Berechnen Sie alle Nullstellen z ∈ C des Polynoms : z 4 + 16 = 0 !
Zeichnen Sie die Lösungen als Zeiger in ein Koordinatensystem!
II. Allgemeine Eigenschaften von Funktionen und Zahlenfolgen (2 aus 3 auswählen)
2) (3 Punkte)
Untersuchen Sie die Funktion y = ( x 3 − 3 x) sin( 2 x −
π
2
) in Ihrem Definitionsbereich D = R
auf
a) Nullstellen (geben Sie alle Nullstellen an)!
b) Symmetrie !
c) Welche Periode besitzt die Funktion y ( x) = sin(2 x −
π
2
d) Skizzieren Sie diese Funktion im Bereich x∈ [-2π,2 π] !
)?
3) (3 Punkte)
Geben Sie die behebbaren Unstetigkeitsstellen, Polstellen, Nullstellen und Asymptoten folgender
gebrochen rationaler Funktion an! Berechnen Sie alle Grenzwerte durch getrennte Betrachtung von
links- und rechtsseitigem Grenzwert! Skizzieren Sie den Graph der Funktion!
( x 3 + x 2 − 9 x − 9)(2 x − 4)
f ( x) =
( x 2 − 3x + 2)(4 x 2 − 36)
4) (2 Punkte)
Berechnen Sie folgenden Grenzwert lim a n mit
n →∞
an =
3
n + 3n − 1 + 4n − 4
2n 3 − 2n + 3
9
6
III. Differentialrechnung
3
(2 aus 4 Aufgaben auswählen)
5) (3 Punkte)
In welchen Bereichen ist die Funktion f(t) = 5(1 − 3t )e −2t
( t ¥ 0)
a) monoton wachsend?
b) konvex?
c) Bestimmen Sie die Asymptote der Funktion für t ض !
2
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6) (3 Punkte)
a) Entwickeln Sie f(x) = sin(x) um x0=0 in eine Taylor-Reihe!
b) Approximieren Sie sin(1) durch ein Taylorpolynom n.ter Ordnung, wobei Sie n so wählen,
dass der Fehler, der bei dieser Approximation entsteht, höchstens 10-4 beträgt!
7) (3 Punkte)
Der Bewegungsablauf eines Körpers sei durch eine Funktion y = f(x) wie folgt in Abhängigkeit
des Zeitparameters t gegeben:
x(t ) = t ,
y (t ) = t + 1 , t¥0.
a) Wie groß ist der Anstieg der Tangenten an die Kurve zur Zeit t=2 ?
b) Wie lautet die Gleichung dieser Tangenten?
8) (2 Punkte)
Welchen Anstieg besitzt die Tangente an die Funktion y = x cos( x )
im Punkt P=( π , y (π )) ?
IV. Grenzwertberechnung (1 aus 2 auswählen)
9) (2 Punkte)
Berechnen Sie folgenden Grenzwert:
x − x2
lim(
)
x →∞ x + 1
10) (1 Punkt)
Berechnen Sie folgenden Grenzwert:
sin( x) cos( x)
lim
x →0
2x
V. Integralrechnung (1 aus 2 auswählen)
11) (3 Punkte)
a) Berechnen Sie den Inhalt der Fläche, die für 3 ≤x ≤ 6 von der x-Achse und der Funktion
2
f(x) =
eingeschlossen wird!
2
3x − 3
b) Geben Sie alle Stammfunktionen folgender Funktion an: f(x) = x2 sin(x)
3
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12) (2 Punkte)
Berechnen Sie
π
a) ∫ sin( x) cos( x)dx
b) ∫ 3e ( 2 x +1) dx
0
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Tabellen:
F(x)
sin(x)
cos(x)
ln(x)
(x>0)
ex
f'(x)
cos(x)
-sin(x)
1/x
ex
Weiterhin gelten folgende Beziehungen zwischen cos(x) und sin(x):
cos( x) = sin( x +
π
2
) ,
π
sin( x) = cos( x − ) .
2
4